02-Cap02.pdf

7/29/2019 02-Cap02.pdf

1/262

2Anlisis de Fourier

The material essential for a students mathematical laboratory is very simple. Each student should have acopy of Barlows tables of squares, etc., a copy of Crelles Calculation Tables, and a seven-place table of

logarithms. Further it is necessary to provide a stock of computing paper, ...and lastly, a stock ofcomputing forms for practical Fourier analysis. With this modest apparatus nearly all the computation

hereafter described may be performed, although time and labor may often be saved by the use ofmultiplying and adding machines, when these are available.

E.T. Whitakker and G. Robinson, The calculus of observations, 19241.

En este captulo se revisan algunos conceptos del anlisis de Fourier. Despus de una

breve resea histrica, se recuerdan algunas nociones elementales de la serie de Fourier,que permite representar una seal peridica como una suma infinita de componentessinusoidales. Se estudia luego la transformada de Fourier, que juega un papel similar enel anlisis de las seales no peridicas, y es de aplicacin ms general que la serie. Lamotivacin principal de la aplicacin de la serie o la transformada es obtener el espectrode una seal dada, que revela el contenido frecuencial de la misma. La descripcin de laseal en el dominio frecuencial (o transformado) frecuentemente es ms revelador que larepresentacin original en funcin del tiempo.

2.1. Resea histrica

La historia2 del anlisis de Fourier tiene ms de 200 aos. Sus orgenes principian unos 60aos antes del momento en que Jean Baptiste Joseph Fourier present la primera versinde su trabajo sobre la teora de la conduccin del calor a la Academia de Pars (1807).El ao 1750 es un buen punto de partida: Fernando VI era rey de Espaa, y Jorge II de

1El material indispensable para el laboratorio matemtico de un alumno es muy simple. Cada estudiantedeber tener una copia de la tabla de cuadrados de Barlow, una copia de las Tablas de Clculos de Crelle, yuna tabla de logaritmos a siete decimales. Adems, es necesario que cuente con papel borrador, y finalmente,un cuaderno para hacer anlisis prctico de Fourier. Con este modesto equipamiento podr realizar casitodos los clculos descriptos aqu, aunque podr ahorrar tiempo y esfuerzo utilizando mquinas de sumary multiplicar, si estn disponibles.

2

Parte de esta resea est extractada de Briggs y Henson, 1995. En el Apndice E se resumen las biografasde las principales personalidades que participaron en el desarrollo del anlisis de Fourier y del procesamien-to de seales en general.

61

7/29/2019 02-Cap02.pdf

2/262

62 2. Anlisis de Fourier

Inglaterra; las colonias de Amrica del norte estaban en medio de las guerras con los na-tivos y los franceses; unos aos despus Carlos III creaba el virreynato del Ro de la Plata

(1776). Voltaire, Rousseau y Kant estaban escribiendo sus libros en Europa; Bach acababade morir, y Mozart estaba pronto a nacer; y el clculo de Leibnitz y Newton, publicado 75aos antes, estaba permitiendo la creacin de poderosas nuevas teoras sobre la mecnicaceleste y la mecnica del continuo.

En ese momento los esfuerzos de los fsicos y matemticos se concentraban en dos prob-lemas principales, que sentaran las bases de lo que posteriormente se conocera comoanlisis de Fourier:

El problema de la cuerda vibrante o la propagacin del sonido en un medio elstico;

La determinacin de las rbitas de los planetas a partir de mediciones.

2.1.1. El problema de la cuerda vibrante

Una cuerda elstica (un alambre metlico) sujeta en ambos extremos, vibra al ser gol-peada o punteada. Para simplificar el modelo se supondr que la cuerda es un objetounidimensional, ocupando el intervalo 0 x 1 en el plano x-y cuando est en reposo.En el tiempo t = 0 se desplaza de su posicin inicial, manteniendo sus extremos fijos. Laforma de la cuerda se puede expresar como el grafo de una funcin

y = f(x), 0 x 1, con f(0) = f(1) = 0.

Apenas la cuerda se libera comienza a vibrar: ste es el modelo de una cuerda punteada.El modelo de la cuerda golpeada tiene en cuenta adems que en t = 0 a cada punto xde la cuerda se le imparte una velocidad g(x) (la velocidad inicial) en la direccin y. Laexpresin y(t, x) describe el grfico del desplazamiento del punto x de la cuerda en eltiempo t.

El movimiento queda gobernado por las ecuaciones:

(i)2y(t, x)

t2= a

2y(t, x)x2

(ecuacin de onda)

(ii) y(t, 0) = y(t, 1) = 0 para todo t (condiciones de borde)

(iii) y(0, x) = f(x),y(t, x)

t= g(x) (condiciones iniciales)

La solucin de este problema atrajo la atencin de muchas generaciones de matemticos.Un hecho evidente es que para cada entero k, tanto

y(t, x) = sen kx sen akt (2.1)

comoy(t, x) = sen kx cos akt (2.2)

satisfacen (i) y (ii). La primera verifica (iii) si f(x) = 0 y g(x) = aksen kx, y la segunda

cumple con (iii) si f(x) = sen kx y g(x) = 0.

Procesamiento Digital de Seales U.N.S. 2011

7/29/2019 02-Cap02.pdf

3/262

2.1. Resea histrica 63

Cualquier combinacin lineal finita de funciones como (2.1) y (2.2), esto es, una funcinde la forma

y(t, x) = k(k cos akt + k sen akt) sen kx (2.3)

tambin satisface (i) y (ii), y verifica (iii) para cierta eleccin de f( ) y g( ). Pero si f( )y g( ) son funciones arbitrarias es muy probable que la suma finita de (2.3) no satisfaga(iii). Por otra parte, una suma infinita de la forma (2.3) tambin verifica (i) y (ii) siempreque sea posible derivar la serie trmino a trmino.

Es natural preguntarse: cundo es posible tal diferenciacin? Si la solucin expresada enforma de serie converge, y puede diferenciarse, se puede hacer que cumpla con la condi-cin (iii) para cualquier eleccin de f( ) y g( )? Existen otras soluciones al problema?Las series de Fourier se idearon para intentar solucionar estas preguntas, y en el curso de

su desarrollo se precisaron conceptos tales como conjunto y funcin.Una de las primeras soluciones al problema de la cuerda vibrante fue propuesto por J.DAlembert en 1747, quien deriv una solucin simple y elegante de la forma

y(t, x) = v(at + x) v(at x),que puede interpretarse como la suma de dos ondas viajeras, una desplazndose haciala izquierda y otra hacia la derecha. Para el caso de la cuerda punteada, hay una nicaf( ) y la solucin involucra la funcin v( ) que puede calcularse a partir de f( ). Por lotanto, DAlembert crey que haba resuelto el problema completamente.

En esta poca la palabra funcin tena un significado muy restringido: significaba frmula,

y representaba objetos tales como f(x) = x2

, o f(x) = x tan x2

+ 10ex

. Poda ser tancomplicada como se quisiese, pero tena que ser una nica expresin analtica. Algo como

f(x) =

(3x2, si 0 x 1/2,(1 x2), si 1/2 x 1,

no calificaba como funcin en el intervalo [0, 1]. En otra palabras, funcin y grfico sig-nificaban objetos diferentes. Cada funcin puede ser representada por su grafo, pero notodo grafo puede dibujarse como el grfico de una funcin.

Euler pens que no era necesario que la posicin inicial de la cuerda fuese una funcin,pero s un grfico, y que la solucin de la onda viajera deba ser vlida, interpretando las

dos ondas como grficos. Este razonamiento fsico fue rechazado por DAlembert; surazonamiento analtico slo funcionaba para funciones.

Tanto Euler como Lagrange resolvieron el problema discretizando la cuerda vibrante:la supusieron formada por un nmero finito de pequeas partculas conectadas. La solu-cin requera encontrar los valores que toma la funcin que describe el desplazamientode la cuerda sobre un conjunto de puntos.

En 1755 Daniel Bernoulli propuso otra solucin en funcin de ondas estacionarias. Su ar-gumento se comprende mejor al considerar la solucin

y(t, x) = sen kx cos akt.

Cuando k = 1, los puntos x = 0 y x = 1 (los extremos de la cuerda) permanecen fijos paratodo t, y los otros puntos se mueven segn una ley que depende del coseno del tiempo.


7/29/2019 02-Cap02.pdf

4/262


Cuando k = 2, los puntos x = 0, x = 1 y tambin el punto x = 1/2 quedan fijos; el restode los puntos se mueve. En cualquier instante de tiempo t dado, la forma de la cuerda es

la de una sinusoide, y el movimiento de un punto arbitrario es una funcin cosenoidal deltiempo. El punto x = 1/2 se denomina nodo. Para cualquier k > 1 arbitrario, los puntos1/k, 2/k, ..., (k 1)/k de la cuerda quedan fijos, mientras que el resto de los puntos sedesplazan como se describi ms arriba. Estas son las llamadas ondas estacionarias; lospuntos fijos interiores se denominan nodos y el movimiento para k = 1, 2, ... se denomina

primer armnico, segundo armnico, etc. Bernoulli afirm que cada solucin de la cuerdapulsada con condiciones iniciales y(0, x) = f(x), y(0, x)/t = 0 es una suma de estasarmnicas, y que esta suma poda ser infinita.

Euler no estaba de acuerdo con este planteo y sus principales objeciones fueron dos. Enprimer lugar, las hiptesis de Bernoulli implicaran que cualquier funcin f(x) podrarepresentarse como

f(x) = k

k sen kx, (2.4)

porque en t = 0 la condicin inicial puede ser cualquier f(x). Sin embargo, el miem-bro derecho de (2.4) es una funcin peridica (e impar), mientras que el miembro de laizquierda es completamente arbitrario. La segunda objecin es que (2.4) no puede ser unasolucin general del problema, ya que el miembro de la derecha (aunque sea una serie in-finita) es una funcin analtica y por lo tanto una funcin (en el sentido que se entendaentonces). Sin embargo, como el mismo Euler haba observado anteriormente en conex-in con la solucin propuesta por DAlembert, la posicin inicial de la cuerda poda sercualquier grfico, y no necesariamente una funcin. En sntesis, la solucin propuesta por

Bernoulli sera aplicable slo a una clase muy restringida de funciones.Bernoulli insisti en que su solucin era vlida para todas las funciones. Su respuesta ala primera objecin de Euler fue que la serie (2.4) inclua una sucesin infinita de coefi-cientes k, y que eligindolos de manera apropiada se poda hacer que la serie tomara elvalor f(x) para infinitamente muchos x. Hoy se sabe que si dos funciones f( ) y g( )son iguales en infinitamente muchos puntos, no necesariamente son iguales en todos lospuntos; sin embargo, en aquella poca la naturaleza del infinito y de una funcin no esta-

ba completamente comprendida, y este argumento pareca plausible. Euler no lo acept,pero por otros motivos.

En 1804 Joseph Fourier comenz sus estudios sobre la conduccin del calor en slidos,y en slo tres aos descubri las ecuaciones bsicas de conduccin de calor, desarrollnuevos mtodos para resolverlas, utiliz sus mtodos para solucionar muchos problemasprcticos, y aport evidencia experimental para soportar su teora.

Una de las situaciones ms simples en las que se puede aplicar la tcnica de anlisisideada por Fourier es considerar un disco bidimensional para el cual la temperatura so-

bre el borde es conocida. A partir de estos datos, se desea determinar la temperatura encualquier punto interior del disco

En estado estacionario, la temperatura u(r, ) de un punto (r, ) obedece a la ecuacin deLaplace (en coordenadas polares)

r ru(r, )

r +1

r

2u(r, )

2= 0. (2.5)


7/29/2019 02-Cap02.pdf

5/262


Las temperaturas en el borde del disco estn dadas por

u(1, ) = f(), (2.6)donde f( ) es una funcin continua dada. El problema de encontrar u(r, ) para todo r y es anlogo al de la cuerda vibrante. Empleando un anlisis muy similar al de Bernoulli,Fourier observ que la suma finita

u(r, ) =N

n=N

Anrjnjejn

tambin es una solucin de (2.5), y que eligiendo adecuadamente los coeficientes An sepoda hacer que satisficiera la condicin de borde (2.6). En otras palabras, se puede es-cribir

f() =

n=

An ejn (2.7)

cuando f( ) es una funcin continua.Fourier avanz un paso ms y asegur que su mtodo serva no slo cuando f( ) fueseuna funcin sino tambin cuando f( ) estuviese dada por un grafo arbitrario, elim-inando las distinciones entre un grfico y una funcin. De hecho, si la afirmacin deFourier fuese correcta, cualquier grafo tendra una frmula, dada por la serie asociadacon l.

Fourier, como Euler, calcul la expresin de los coeficientes Ak de una forma muy labo-riosa (y errnea). La versin corregida es

An =1

2

Z

f()ejn d. (2.8)

La serie (2.7) se conoce como serie de Fourier, y los coeficientes (2.8) como coeficientes deFourier de f( ). Fourier observ que los coeficientes An tienen sentido siempre que f( )sea un grfico limitando un rea definida (integrable en la terminologa actual), y porlo tanto declar que sus resultados eran vlidos para cualquier f( ) que tuviese esapropiedad.

En 1807 Fourier present su trabajo Mmoire sur la propagation de la chaleur al Instituto dePars. El trabajo recibi apenas una tenue acogida, y los jueces recomendaron a Fourierque puliera su trabajo, y lo presentara para el gran premio de 1812. El panel de jueces dela Academia para este concurso inclua a Lagrange, Laplace, y Legendre, y acordaron aFourier el gran premio, pero no sin reservas: incomodaba el comentario de Fourier acercade que cualquier funcin peridica arbitraria poda ser representada con la ecuacin (2.7).El gran premio contena el siguiente comentario:

La forma en la que el autor arriba a sus ecuaciones no est exenta de dificultades, y suanlisis deja algo que desear, sea en generalidad o an en rigurosidad.

En definitiva, el artculo nunca fue publicado, y el trabajo de Fourier sobre la conduccindel calor, y la teora de las series trigonomtricas que lo soportaba, recin vio la luz con lapublicacin en 1822 de Thorie analytique de la chaleur. Desde ese ao, el trabajo de Fourierrecibi comentarios muchos ms entusiastas que los de la Academia de Pars. James ClerkMaxwell lo llam un gran poema matemtico. La carrera entera de William Thompson(Lord Kelvin) estuvo marcada por la teora del calor de Fourier:


7/29/2019 02-Cap02.pdf

6/262


El teorema de Fourier no es slo uno de los ms bellos resultados del anlisis moderno,sino que se ha vuelto un instrumento indispensable en el tratamiento de casi cualquier

recndito problema de la fsica moderna.

Euler falleci en 1783, y no tuvo oportunidad de conocer el trabajo de Fourier. Sin embar-go quedaban pendientes sus objeciones al trabajo de Bernoulli: cmo poda una funcinarbitraria ser la suma de funciones peridicas? La solucin propuesta por Fourier es ex-tremadamente simple: la funcin dada se define sobre un intervalo cerrado (por ejemplo,[0, 1] o [0, ], etc.), donde representa una cantidad fsica de inters (el desplazamiento dela cuerda, la distribucin de calor en la periferia del disco, etc.) La clave est en extenderla funcin fuera de ese intervalo, y hacer que esa extensin sea peridica. Por supuesto, siuna funcin se piensa como una frmula, estas extensiones no son funciones. La ideade Fourier de admitir funciones que son idnticas en un intervalo y diferentes fuera de l

hizo posible aplicar su teora a una gran variedad de problemas, y condujo a un examencrtico de la nocin de funcin.

Como observ Fourier, los coeficientes An de (2.126) tienen sentido para todas las fun-ciones para las cuales la integral es finita, y crea que la serie (2.7) era exactamente igual af( ) para todas las f( ) posibles y para todo . Esto es cierto todas las funciones bue-nas (suaves a tramos), aunque no es cierto (de manera no trivial) para cualquier f( ).Ninguna de las afirmaciones de Fourier acerca de las series sera considerada correcta

bajo los parmetros matemticos de hoy en da. Dirichlet tom el trabajo de Fourier ylo fundament de manera rigurosa, sentando bases firmes para el anlisis moderno. Enprimer lugar era necesario precisar el concepto de funcin, y la definicin de Dirichlet esla que se estudia en los cursos de anlisis actuales: una funcin es una regla que asignaun valor definido f(x) a cualquier x en un conjunto de puntos. Bajo esta definicin unafuncin ya no tiene que ser una frmula o un grfico, y en 1828 Dirichlet dio un ejem-plo que Fourier ni siquiera habra imaginado: la funcin caracterstica del conjunto denmeros racionales, definida como

f(x) =

(1, si x es racional,

0, si x es irracional.

Esta funcin no puede representarse con ningn grfico; tampoco encierra ningn rea,de modo que sus coeficientes de Fourier no pueden ser calculados con (2.8).

Sin embargo, para todas las funciones que pueden dibujarse, Dirichlet prob que laserie de Fourier converge a f(x) en cualquier punto x donde f( ) sea continua, y al valormedio [f(x+) + f(x)]/2 si f( ) tiene una discontinuidad en x. Adems demostr que sif( ) es suave en un intervalo [a, b], entonces la serie de Fourier converge uniformementea f(x) para todo x 2 [a, b]. Este fue el primer resultado importante sobre la convergenciade las series de Fourier. Posteriormente, C. Jordan demostr que las funciones contin-uas de variacin acotada tienen series de Fourier convergentes. A lo largo de los aosaparecieron otros muchos teoremas estableciendo condiciones suficientes para que unafuncin tenga una serie de Fourier convergente.

Para trabajar con funciones que no pueden dibujarse es necesario generalizar la idea de laintegral ms all de la idea intuitiva del rea bajo una curva. Slo entonces es posible

calcular los coeficientes de Fourier de una funcin con un nmero infinito de discon-tinuidades. Riemann desarroll una teora de integracin que soportaba tales funciones,


7/29/2019 02-Cap02.pdf

7/262


y dio un ejemplo de una funcin que no satisface las condiciones de Dirichlet pero quetiene una serie de Fourier que converge punto a punto. Tambin inici el estudio de series

trigonomtricas que no tienen por qu ser series de Fourier de alguna funcin.Dirichlet crea (y pensaba que iba a poder probar) que la serie de Fourier de toda funcincontinua, y posiblemente de cualquier funcin integrable segn el criterio de Riemannconverge en todo punto. Este punto de vista era compartido por muchos matemticosprominentes, como Riemann, Weierstrass y Dedekind. Sin embargo, en 1876 Du Bois-Reymond ide una funcin continua cuya serie de Fourier es divergente en un punto.

Cantor tambin estuvo interesado en el estudio de las series de Fourier. Observ que elcambio de una funcin f( ) en unos pocos puntos no vara sus coeficientes de Fourier, yse pregunt cuntos puntos podan ignorarse, y qu tipos de conjuntos formaban, lo quelo condujo al estudio de conjuntos infinitos y nmeros cardinales.

En 1904 Fjer prob que la serie de Fourier de una funcin continua es sumable en unsentido particular (el promedio de las primeras sumas parciales converge), y bajo estepunto de vista converge uniformemente a la funcin. Este teorema es extremadamentetil e impuls el estudio de la sumabilidad de las series.

El hecho notado por Cantor que el cambio de una funcin en unos pocos puntos noaltera los coeficientes de Fourier porque la integral (2.8) no se ve afectada por ellos, lleva formular de manera diferente la identidad de las funciones con las series: en lugarde preguntarse cundo la serie de Fourier y la funcin son iguales en todo punto, sedebe examinar cundo las dos son iguales en todo intervalo excepto en aquellos queson irrelevantes para la integracin. Este problema condujo a una revisin crtica de la

integral de Riemann, y motiv a Lebesgue a definir una nueva integral que fuese msflexible. Conceptos tales como conjuntos de medida nula y igualdad de funciones casi en todopunto cambiaron el significado de funcin todava ms: dos funciones son iguales sidifieren slo sobre un conjunto de medida nula. Por lo tanto, la funcin de Dirichlet (lafuncin caracterstica de los racionales) es igual a 0 casi en todo punto. As, a lo largo dela historia, el concepto de funcin evolucion desde una frmula, pasando por un grafo,luego una regla, hasta llegar en la actualidad a convertirse en una clase de equivalencia.El concepto de integral de Lebesgue se ha vuelto imprescindible en el anlisis moderno.

Antes del ejemplo de 1876 de Du Bois-Reymond los matemticos crean que la serie deFourier de una funcin continua converge en todo punto. Como no pudieron probar estahiptesis, el ejemplo les hizo pensar que exactamente lo opuesto podra ser cierto: esto

es, que existiese una funcin continua cuya serie de Fourier diverge en todo punto. En1926 Kolmogorov prob algo menos, pero igualmente sorprendente: existen una funcinLebesgue-integrable definida sobre [, ] (espacio L1) cuya serie de Fourier diverge entodo punto. La funcin ideada por Kolmogorov no es continua, ni Riemann integrable.Luego de que este ejemplo fuese publicado se esperaba que tarde o temprano alguiendescubriese una funcin continua con una serie de Fourier divergente en casi todo pun-to. Sin embargo, hubo una nueva sorpresa. En 1966 Carleson prob que si f( ) es decuadrado integrable (espacio L2), entonces la serie de Fourier converge a f( ) en casitodo punto. En particular, esto es cierto para funciones continuas, de modo que Fouriercasi tena razn! El teorema de Carleson es mucho ms difcil de probar que la may-ora de los resultados que se han citado. En 1967 R. A. Hunt demostr que la serie de

Fourier de cualquier funcin definida sobre un intervalo [a, b] tal que Rba jf(x)jpdx < ,con 1 < p < (espacios Lp) converge en casi todo punto, y en la direccin inversa, Y.


7/29/2019 02-Cap02.pdf

8/262


Tabla 2.1: Datos de la rbita del asteroide Pallas.

Ascencin (grados)

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330

Declinacin x(minutos)

408 89 66 10 338 807 1238 1511 1583 1462 1183 804

Katznelson y J. P. Kahane mostraron en 1966 que dado un conjunto E de medida nula en[, ] existe una funcin continua cuya serie de Fourier diverge en E.

2.1.2. La determinacin de las rbitas de los planetas

El segundo problema que anticip las bases del anlisis de Fourier, particularmente ensu forma discreta, fue la determinacin de las rbitas de los cuerpos celestes. Euler, La-grange y Alexis Claude Clairaut hicieron contribuciones fundamentales al proponer quelos datos obtenidos a partir de las observaciones podan ser aproximados por combina-ciones lineales de funciones peridicas. El clculo de los coeficientes de esas expansionestrigonomtricas llev al clculo de lo que hoy llamamos transformada discreta de Fourier.En realidad, un artculo escrito en 1754 por Clairaut contiene la primera frmula explcitapara el clculo de la transformada discreta de Fourier (TDF).

Clairaut y Lagrange haban estudiado el problema de ajustar datos astronmicos; co-mo estos datos tienen patrones peridicos, era natural emplear funciones aproximadoras

formadas por una suma ponderada de un nmero finito de funciones seno y coseno. Lasolucin del clculo de los pesos de las funciones trigonomtricas condujo a una de lasprimeras expresiones de la transformada discreta de Fourier. Una pgina del trabajo deLagrange publicado en 1759, que se muestra en la Fig.2.1, contiene todos los ingredientesde una serie discreta de Fourier de senos; en la figura, el smbolo representa a .

En junio de 1801 el astrnomo Zach public las posiciones orbitales de Ceres, un nuevopequeo planeta que haba sido descubierto por G. Piazzi en enero del mismo ao.Desafortunadamente Piazzi slo pudo observar 9 grados de la rbita antes que desa-pareciera detrs del sol. Zach public varias predicciones de su posicin, incluyendo unacalculada por Gauss que difera notoriamente de las dems. Cuando Ceres fue redescu-

bierto por Zach en diciembre de 1801 estaba casi exactamente donde Gauss haba predi-cho. Casi al mismo tiempo Gauss obtuvo los datos de posicin del asteroide Pallas, quese muestran en la Tabla 2.1. La variable representa la ascensin en grados, y la vari-able x la declinacin en minutos. La dupla (n, xn) representa un par de datos, donden = 0, . . . , 11. Para determinar la rbita es necesario encontrar una funcin continua de que pase por cada uno de los 12 pares de puntos con el menor error posible. Como losvalores de x parecen tener una distribucin peridica en funcin de , Gauss propusouna funcin de la forma

x = f() = a0 +5

k=1

ak cos

2k360

+ bk sen

2k360

+ a6 cos

26360

. (2.9)

Esta ecuacin tiene doce coeficientes desconocidos (los ak y los bk) cada uno de los cualesmultiplica a una funcin coseno o seno de un cierto perodo o frecuencia, denominados


7/29/2019 02-Cap02.pdf

9/262


Fig. 2.1. Pgina de La Naturaleza y Propagacin del Sonido, escrito por Lagrange en 1759,donde trata la solucin del problema de la cuerda vibrante, supuesta formada por m 1partculas cuyos desplazamientos yn son sumas de funciones senoidales de distintafrecuencia. Esta representacin es escencialmente una transformada discreta de Fourierde senos.

modos. El perodo fundamental, representado por los trminos con coeficientes a1 y b1,es de 360 grados; los modos con k > 1 poseen perodos menores, de 360/k grados. Elcoeficiente a0 representa el valor medio de la funcin.

Para determinar los 12 coeficientes son necesarias 12 condiciones, que resultan de exigir

que la funcin f() pase por los datos X, es decirxn = f(n)


7/29/2019 02-Cap02.pdf

10/262


para n = 1, . . . , 12. Esto conduce a un sistema de 12 ecuaciones con 12 incgnitas

x1 = a0 + 5k=1

hak cos

2k360 1

+ bk sen

2k360 1

i+ a6 cos

26360 1

...

x12 = a0 +5

k=1

hak cos

2k360 12

+ bk sen

2k360 12

i+ a6 cos

26360 12

que puede escribirse como

x = Mc,

dondex = (x1, . . . , x12)

0, c = (a0, a1, b1, . . . , a5, b5, a6)

0,

y

M =

0BBBBBBBB@

1 cos20

360 1

sen20

360 1 cos25360 1 sen25360 1 cos26360 1

1 cos20

360 2

sen20

360 2 cos25360 2 sen25360 2 cos26360 2

......

.... . .

......

...

1 cos20

360 12

sen20

360 12 cos25360 12 sen25360 12 cos26360 12

1CCCCCCCCA

.

El vector de coeficientes c se puede calcular como c = M1

x, y sus valores sona0 = 780,6,a1 = 411,0, b1 = 720,2,a2 = 43,4, b2 = 2,2,a3 = 4,3, b3 = 5,5,a4 = 1,1, b4 = 1,0,a5 = 0,3, b5 = 0,3.a6 = 0,1,

En la Fig.2.2 se comparan los datos, marcados , y la funcin f() graficada comouna curva suave. Ms all de que la funcin pasa exactamente por los puntos que rep-resentan los datos medidos, lo importante es que los coeficientes ak y bk permiten otrainterpretacin: representan la estructura o comportamiento frecuencial de los datos.Los coeficientes de mayor valor corresponden al modo constante a0 y al modo funda-mental (a1 y b1). Los coeficientes de los modos de frecuencia mayor tienen magnitudesque apenas alcanzan el 10 % de la magnitud de los primeros, pero igual son necesariospara aproximar los datos con exactitud.

El sistema de 12 ecuaciones con 12 incgnitas poda resolverse sin mayor esfuerzo an enpocas de Gauss. Sin embargo, ya sea por buscar un atajo o sorprendido por las simetrasde las funciones seno y coseno, Gauss descubri una forma de reordenar los coeficientesy las ecuaciones en tres subproblemas que se resolvan de manera ms sencilla. Un pe-

queo clculo contenido en su tratado sobre interpolacin Theoria Interpolationes MethodoNova Tractata, datado en 1805 pero publicado pstumamente en 1866, contiene la primera


7/29/2019 02-Cap02.pdf

11/262


Fig. 2.2. Los doce puntos marcados describen la posicin del asteroide Pallas. La decli-nacin x en minutos se graca en funcin de la ascencin en grados. Para aproximarlos datos se utiliza una suma ponderada de doce funciones seno y coseno con diferentesperodos (curva continua). Los coecientes de la suma ponderada se calculan con unatransformada discreta de Fourier.

prueba clara e indudable del empleo de la transformada rpida de Fourier (ms cono-cida por sus siglas en ingls FFT), cuya autora se atribuye generalmente a Cooley yTukey por su trabajo publicado en 1965. Es una irona del destino que el trabajo de Gaussfuese citado en la enciclopedia matemtica de Burkhardt Encyklopdie der Matematischen

Wissenchaften, publicada en 1904, y nuevamente en 1977 en un trabajo de Goldstine, quienreprodujo estos resultados y mostr que el particionado ideado por Gauss es el corazndel mtodo de clculo de la moderna transformada rpida de Fourier. En 1985 Heide-man, Johnson y Burrus reconstruyeron la historia completa de la FFT en una fascinantepieza de investigacin, donde resaltan:

Los trabajos de Burkhardt y de Goldstine pasaron tan desapercibidos como el mismotrabajo de Gauss.

Estos mtodos sern estudiados con mucho mayor detalle en Captulos posteriores.

2.1.3. Influencia en otras ramas de la ciencia

Las series de Fourier han permitido el desarrollo de nuevos campos en la matemtica.Uno de los teoremas fundamentales del anlisis funcional, el teorema de Riesz-Fischer,se demuestra usando series de Fourier. Se considera que este teorema es la base de lateora de transformacin de von Newman, que muestra la equivalencia entre la descrip-cin ondulatoria y matricial de la mecnica cuntica. Otra teora de transformacin quepersegua los mismos objetivos fue desarrollada por P. A. M. Dirac, en la que juega unpapel fundamental la funcin , cuyas propiedades inusuales (algunas de las cualesse estudian en la Seccion 2.3.4) no son consistentes con el anlisis clsico (von Newmanla describe como una ficcin en lugar de una funcin). El estudio de tales objetos, de-nominados hoy en da funciones generalizadas o distribuciones, es una rama importante delanlisis desarrollada por S. L. Sobolev y L. Schwartz. En algunos aspectos, los espaciosde tales funciones son el dominio natural de las series de Fourier.


7/29/2019 02-Cap02.pdf

12/262


Un objeto matemtico relacionado con las series es la transformada, introducida por Fouri-er al estudiar la conduccin del calor en una barra de longitud infinita. Se ha aplicado en

rea tales como conduccin de calor, ptica, procesamiento de seales y probabilidad, yrecibi importantes contribuciones de N. Wiener, quien desarroll lo que hoy en da seconoce como anlisis armnico generalizado. Tambin se ha vuelto ms abstracta en una ra-ma de la matemtica conocida como anlisis armnico, algunas de las principales figurasfueron E. Cartan, H. Weyl, y Harish-Chandra.

Las series de Fourier fueron ideadas para estudiar un problema fsico; no sorprende en-tonces que hayan encontrado tantas aplicaciones. Como muestra esta breve resea, losintentos para comprender el comportamiento de estas series sentaron las bases del anli-sis riguroso.

Una de las ramas ms tericas de la matemtica es la teora de nmeros, y a primera

vista parecera que no tiene puntos de contacto con las series de Fourier. Sin embargo,H. Weyl utiliz los resultados de convergencia de Fjer para probar uno de sus teoremasms relevantes.

Otra de las reas de aplicacin de las series de Fourier es la cristalografa. En 1985 H.A. Hauptman y J. Karle ganaron el premio Nobel de Qumica por desarrollar un nuevomtodo de clculo de las constantes cristalogrficas a partir de sus coeficientes de Fourier,que pueden inferirse por mediciones. Dos ingredientes fundamentales de su desarrolloson el teorema de Weyl comentado ms arriba, y los teoremas de Toeplitz sobre las seriesde Fourier de funciones no negativas.

Recientemente, el desarrollo de mtodos computacionales rpidos para el clculo de una

versin discreta de la transformada de Fourier, iniciado por J. Cooley y J. Tukey en 1965,aumentaron enormemente su rango de aplicacin. La transformada rpida de Fourier(FFT) tuvo una difusin tan masiva que en 1993 se estim que casi la mitad de todo eltiempo de clculo de las supercomputadoras se gastaba calculando FFT, an para tareastales como la multiplicacin de grandes nmeros.

Otro desarrollo reciente que ha recibido gran atencin es la teora de onditas (wavelets).En este caso las funciones no se expanden en series de Fourier, sino utilizando otras basesortogonales que son apropiadas para clculos eficientes, lo que dio lugar a nuevos algo-ritmos utilizados en procesamiento de seales y para la solucin numrica de ecuaciones.

2.2. Series de Fourier

Una seal x (t) es peridica de perodo T0 si x (t) = x (t + kT0) para todo k entero. Laexpansin en series de Fourier consiste en expresarla como una suma infinita de trminosseno y coseno, que habitualmente se escribe como

x (t) = a0 +

k=1

ak cos

2T0

kt

+

k=1

bk sin

2T0

kt

. (2.10)

Los coeficientes ak y bk representan las amplitudes de los trminos coseno y seno, re-spectivamente. La cantidad 2/T0 = 0 es la frecuencia angular fundamental de la seal,

y en consecuencia, la cantidad k(2/T0) = k0 representa el k-simo armnico de lafrecuencia fundamental. Cada una de las funciones seno y coseno de la expresin (2.10)


7/29/2019 02-Cap02.pdf

13/262

2.2. Series de Fourier 73

Fig. 2.3. Vericacin grca de las ecuaciones (2.11) y (2.13), para m 6= n, y de la ecuacin(2.12).

se denomina funcin base, y forman un conjunto ortogonal sobre el intervalo T0, lo quesignifica que satisfacen las siguientes relaciones:

ZT00

cos m0t cos n0t dt =

(T0/2, m = n,

0, m 6= n,(2.11)

ZT0

0cos m0t sen n0t dt = 0, para todo m, n, (2.12)

ZT00

sen m0t sen n0t dt =( T0/2, m = n,

0, m 6= n. (2.13)

Estas relaciones pueden verificarse analticamente (calculando la integral) o bien estu-diando grficamente el producto de dos seales de diferentes frecuencias, tal como seve en la Fig. 2.3: el producto de dos armnicos de distinta frecuencia, en el lapso de unperodo fundamental de la seal genera una funcin con idntica rea por encima y pordebajo del eje de las abscisas, y por lo tanto el rea neta (la integral) es nula.

Para determinar el coeficiente a0, se integran ambos miembros de la ecuacin (2.10) sobreun perodo completo:

ZT0/2T0/2

x (t) dt =ZT0/2T0/2

a0 dt +ZT0/2T0/2

"

k=1

ak cos

k2T0

t

+bk sin

k

2T0

t

#dt = a0T0,

ya que las integrales sobre un perodo de tiempo de los trminos cos k0t y sen k0t sonnulas. Se encuentra entonces que a0 es el valor medio de la seal peridica x (t) sobre unperodo, es decir

a0 =1T0

ZT0/2T0/2

x (t) dt. (2.14)

Para determinar los coeficientes ak se multiplican ambos miembros de la ecuacin (2.10)

por la funcin cos k0t, y se integra sobre un perodo completo. Es indistinto integrarsobre el intervalo T0/2 t < T0/2 o sobre el intervalo 0 t T0, como se ver en la


7/29/2019 02-Cap02.pdf

14/262


Seccin 2.4 (Ejemplo 2.14). Utilizando las identidades (2.11) y (2.12), se encuentra que

ak =2T0

ZT0/2T0/2 x (t) cos k0t dt, k = 1, 2, . . . (2.15)

De manera anloga, aplicando la ecuacin (2.13) puede determinarse que

bk =2T0

ZT0/2T0/2

x (t) sen k0t dt, k = 1, 2, . . . (2.16)

2.2.1. Serie de Fourier con exponenciales complejas

La serie de Fourier de la ecuacin (2.10) se puede escribir de una manera ms compactautilizando exponenciales complejas; basta sustituir en (2.10) los trminos seno y coseno

por su forma exponencialcos k0t =

12

ejk0t + ejk0t

,

sen k0t =12j

ejk0t ejk0t

= j

12

ejk0t + ejk0t

.

Se obtiene entonces

x (t) = a0 +

k=1

ak jbk

2

ejk0t +

ak + jbk

2

ejk0t

. (2.17)

Definiendo el nmero complejo ck en base a ak y bk como

ck =

8>>>>>:

1

2 (ak jbk) , k>

0,a0, k = 0,

12

a(k) + jb(k)

, k < 0,

(2.18)

se puede escribir la ecuacin (2.17) de manera ms simple:

x (t) =

k=

ckejk0t, (2.19)

donde

ck =1T0 Z

T0/2

T0/2

x (t) ejk0t dt, k = 0, 1, 2, . . . (2.20)La expansin en series (2.19) se conoce como serie de Fourier compleja. Los coeficientes ckdados por (2.20) son los coeficientes complejos de Fourier3.

La ecuacin (2.20) explica cmo calcular todos los coeficientes complejos de Fourier apartir de una seal peridica x (t) dada. Por ello se la suele denominar ecuacin de anlisis.Por otra parte, la ecuacin (2.19) indica cmo reconstruir la seal x (t) a partir de unconjunto de coeficientes ck dados, y por tal motivo se la suele denominar ecuacin desntesis.

3La derivacin de la ecuacin (2.20) tambin puede obtenerse siguiendo un procedimiento similar alutlizado para la serie de senos y cosenos, sabiendo que

ZT00 ejn0 tejm0 tdt = ZT0

0 ej(n

m)0 t

dt = (T0, n = m,

0, en caso contrario.


7/29/2019 02-Cap02.pdf

15/262


Algunas propiedades

El anlisis de (2.18) y (2.20) revela que:1. Si la funcin x (t) es par los coeficientes ck son reales. En efecto, si x (t) es par, esto es

x (t) = x (t), la serie (2.10) es una serie de cosenos (los coeficientes bk son nulos).De (2.18) se observa que ck = c(k) 2 R (k 0).

2. Si x (t) es impar, i.e. x (t) = x (t) , los coeficientes ck son imaginarios. En estecaso la serie (2.10) es una serie de senos (los coeficientes ak son nulos), y de (2.18) sedesprende que ck = c(k) 2 I (k 0).

3. Si x (t) es realck = c

k, (2.21)

donde el smbolo indica conjugacin.

2.2.2. Qu significan las frecuencias negativas?

De acuerdo la representacin de la serie compleja (2.19), una seal peridica contienetodas la frecuencias (positivas y negativas) que estn armnicamente relacionadas enrelacin entera con la frecuencia fundamental 0. Segn Haykin (1989), la presencia delas frecuencias negativas se debe a que el modelo matemtico de la seal descrito por laecuacin (2.19) requiere el uso de frecuencias negativas. De hecho, esta representacinutiliza una funcin base (ejk0t) que toma valores complejos, lo que tampoco tiene signifi-

cado fsico. La razn de utilizar funciones que toman valores complejos y componentesde frecuencia negativas permite una descripcin matemtica compacta de una seal per-idica, que es til tanto para la teora como para las aplicaciones.

Sin embargo, para Porat (1997) la existencia fsica de las frecuencias negativas se manifi-esta, por ejemplo, al pensar en el giro de una rueda. Ciertamente la rotacin en sentidohorario es diferente del giro en sentido antihorario; de modo que si la velocidad angularde una rueda que gira en sentido antihorario se define como positiva, la rotacin en senti-do horario ser negativo. La frecuencia angular de una seal juega el mismo papel que lavelocidad angular de la rueda y puede tomar cualquiera de los dos signos. Para sealesque toman valores reales, la propiedad de simetra conjugada ck = c(k) (2.21) de los co-

eficientes de la serie de Fourier o de la transformada de Fourier X(f) = X (f) que seestudia en la Seccin 2.5.10 oculta la existencia de frecuencias negativas. Sin embargo,para seales complejas las frecuencias positivas y negativas son diferentes. Por ejemplo,la seal compleja ej2f0t con f0 > 0 es distinta de la seal con f0 < 0.

Las seales complejas tambin son motivo de controversia, debido a que tales sealesno suelen encontrarse como entidades fsicas. En realidad, sirven como representacionesmatemticas apropiadas para seales reales de cierto tipo. Un ejemplo familiar en deingeniera elctrica es la representacin fasorial de tensiones y corrientes alternas utiliza-da en el anlisis de estado estacionario de circuitos elctricos. Una tensin real v(t) =vm cos (2f0t + 0) se representa con el fasor V = vme

j0 ; la relacin entre v(t) y V esv(t) = Re

fVej2f0t

g. El fasor representa la seal alterna real con una seal constante com-

pleja V.


7/29/2019 02-Cap02.pdf

16/262


2.2.3. Espectro discreto

La representacin de una seal peridica por medio de una serie de Fourier es equiva-lente a resolver la seal en sus diferentes componentes armnicos. La expresin de la seriede Fourier compleja (2.19) indica que una seal peridica x (t) de perodo T0 tiene com-ponentes de frecuencia 0, f0, 2f0, 3f0, . . ., donde f0 = 1/T0 es la frecuencia funda-mental. Mientras que x (t) pertenece al dominio tiempo, donde t es una variable definidacontinuamente sobre un intervalo finito o infinito, su descripcin en el dominio de la fre-cuencia consta de componentes ck concentrados en las frecuencias k f0, k = 0,1,2, . . . . Elgrfico de ck en funcin de la frecuencia f = k f0 = k/T0 se denomina espectro4 de la seal.Dada una seal x (t) se puede determinar su espectro utilizando la ecuacin de anlisis(2.20); recprocamente, si se especifica el espectro, es posible determinar la seal temporalasociada utilizando la ecuacin de sntesis (2.19). Esto implica que la seal peridica x (t)

puede especificarse de dos formas equivalentes:1. en el dominio tiempo, donde se representa x (t) como una funcin de la variable real

tiempo;

2. en el dominio frecuencia, donde la seal es descrita por su espectro en funcin de lasfrecuencias armnicas de f0.

Ambas representaciones son aspectos diferentes de un mismo fenmeno, y no son inde-pendientes una de otra, sino que estn fuertemente relacionadas entre s por las ecua-ciones de sntesis y anlisis (2.19) y (2.20), respectivamente.

En general, el coeficiente de Fourier ck es un nmero complejo, de modo que se puede

expresar en la forma polarck = jckj ej arg(ck ).

El trmino jckj define la amplitud de la k-sima componente armnica de la seal x (t) ,y la grfica de jckj versus la frecuencia permite obtener el espectro de amplitud discreto dela seal. El grfico del arg (ck) en funcin de la frecuencia se denomina espectro de fasediscreto de la seal. Se dice que el espectro es discreto porque tanto la amplitud comola fase de ck estn concentrados en frecuencias que son mltiplos enteros (positivos ynegativos) de la frecuencia fundamental f0, y no estn definidos para otros valores defrecuencia.

Las propiedades de la Seccin 2.2.1 muestran que los coeficientes complejos de Fourier

(2.20) de una seal x (t) que toma valores reales verifican c(k) = ck , donde ck es elcomplejo conjugado de ck. Es un hecho conocido quec(k) = jck j = jckj ,y

arg (ck) = arg (ck ) = arg (ck) .Esto significa que el espectro de amplitud de una seal peridica x (t) que tome valoresreales es simtrico (una funcin par de la frecuencia), y que el espectro de fase es anti-simtrico (una funcin impar de la frecuencia) respecto de un eje vertical que pase por elorigen.

4El trmino espectro proviene del latn spectrum, o imagen. Fue utilizado originariamente por Newtonen sus investigaciones sobre la naturaleza de la luz.


7/29/2019 02-Cap02.pdf

17/262


Fig. 2.4. Espectro discreto de x (t) = A cos0t: mdulo-fase (a) y parte real-parteimaginaria (b) .

EJEMP LO 2.1. Serie de Fourier de una constanteSi bien una seal constante x (t) = A, t no es una seal peridica tpica, es fcil ver quecumple con la condicin que x (t) = x (t + T0) para todo t y cualquier T0; es una seal peridica deperodo arbitrario. Los coecientes de la serie de Fourier se calculan a partir de la ecuacin (2.20),resultando para k = 0,

c0 = 1T0

ZT0/2T0/2

x (t) dt = 1T0

ZT0/2T0/2

A dt = A,

y para k 6= 0, k = 1, 2, 3 , . . .

ck =1

T0

ZT0/2T0/2

x (t) ejk0t dt = 1T0

1jk0A e

jk0tT0/2T0/2

=A

jk0T0

ejk0T0/2 ejk0T0/2

=A

jk0T0 [2j sen (k0T0/2)] (2.22)

=A

ksen k = 0.

(En el desarrollo del ltimo trmino de (2.22) se tuvo en cuenta que 0T0 = 2). En consecuencia,

el espectro discreto de una seal constante x (t) = A consta de un nico valor A para la frecuenciaf = 0, asociada a k = 0. En este caso no tiene sentido hablar de los armnicos superiores.

EJEMP LO 2.2. Serie de Fourier de un cosenoLa funcin peridica x (t) = A cos0t se puede expresar, aplicando la frmula de Euler, como

x (t) = A cos0t

=A2

ej0t + A2

ej0t.

Una comparacin con la ecuacin (2.19) revela que esta expresin coincide con la serie de Fourier;por lo tanto, los nicos coecientes complejos no nulos son c(

1) y c1, y su valor es

c(1) = c1 =A2

.


7/29/2019 02-Cap02.pdf

18/262


Fig. 2.5. Espectro discreto de x (t) = A sen0t: mdulo-fase (a) y parte real-parte imaginar-ia (b) .

De modo que el espectro discreto de una seal tipo coseno es real, y slo tiene dos valores no nulos,correspondientes a la primera armnica k = 1, o bien a las frecuencias 0, tal como se muestraen la Fig. 2.4, en donde el espectro discreto ha sido gracado en las dos formas tpicas: mdulo yfase o parte real-parte imaginaria.

EJE MPLO 2.3. Serie de Fourier de una sinusoideDe manera similar, puede determinarse el espectro de una seal x (t) = A sen0t. Teniendo encuenta que

sen0t = 12j ej0t + 1

2jej0t

=j2

ej0t j2

ej0t

se deduce que el espectro discreto consta solamente de dos valores no nulos, correspondientes a laprimera armnica (frecuencia 0), para k = 1 y cuyos valores son

c(1)

= jA

2, c

1=

j

A

2.

Este espectro es imaginario puro, como muestra la Fig. 2.5 tanto en mdulo y fase como en la formaparte real-parte imaginaria.

EJE MPLO 2.4. Serie de Fourier de un tren de pulsos rectangularesLa Fig. 2.6 muestra un tren peridico de pulsos rectangulares de amplitud A, duracin y perodoT0. Por conveniencia se elige que el origen del tiempo ( t = 0) coincida con el centro del pulso. Sobreun perodo T0/2 < t T0/2, la seal puede describirse analticamente como

x (t) = 8>>>:A, /2 < t < /2,A/2, t = /2,0, en caso contrario.


7/29/2019 02-Cap02.pdf

19/262


Fig. 2.6. Tren peridico de pulsos rectangulares de amplitud A, duracin , y perodo T0.

El espectro discreto de x (t) formado por los coecientes complejos ck se calcula a partir de laecuacin (2.20). Se encuentra que5

ck =1

T0 ZT0/2

T0/2

x(t) ejk0t dt = 1T0 Z

/2

/2

A ejk0t dt

=A

ksen

kT0

, k = 0, 1, 2 , . . .

que, por motivos que sern evidentes ms adelante, tambin puede escribirse como

ck = A

T0

sen

kT0

kT0

, k = 0, 1, 2, . . . (2.23)

El espectro de amplitud jckj y de fase arg (ck) en funcin de los valores discretos de frecuenciafk = k/T0, para un ciclo de trabajo /T0 = 1/5, se ha gracado en la Fig. 2.7. Se observa que:

1. El espaciado entre las lneas del espectro de la Fig.2.7 est determinado por la frecuenciafundamental f0 de la seal, que es la inversa del perodo T0, f0 = 1/T0.

2. La envolvente de la magnitud del espectro est determinada por la amplitud A y la duracin del pulso, y sigue una forma tipo (sen x) /x. El valor del espectro a la frecuencia f = 0 esprecisamente el valor medio o de continua de la seal x (t) , que vale A/T0 (como se deducede la Fig. 2.6).

3. La envolvente del espectro de amplitud cruza por cero en frecuencias que son mltiplos de1/ (el ancho del pulso), y que pueden o no coincidir con las lneas espectrales separadask/T0. En este caso particular, como /T0 = 1/5 los ceros de la envolvente del espectro seanulan para los mltiplos de 5 veces la frecuencia fundamental, como revela la Fig. 2.7(a).

4. El espectro de fase toma los valores 0 y , segn sea el signo de [sen (k/T0)] / (k/T0).La eleccin del signo de (positivo o negativo) es irrelevante; en la gura se han elegido deforma de preservar la antisimetra. Debe resaltarse que el valor de la fase es indenido paraaquellos armnicos en donde se anula ck (en este caso, los mltiplos de 5f0); esta indenicinen la fase se ha indicado con cruces en la Fig. 2.7(b).

Observacin: En la Fig. 2.4 y en la Fig. 2.5 el espectro se ha graficado en funcin de lasarmnicas de la frecuencia angular 0 = 2/T0 (en radianes por segundo), mientras queen la Fig.2.7 la variable independiente son los armnicos de la frecuencia fundamentalf0 = 1/T0 (en ciclos por segundo). Aunque las dos representaciones son equivalentes,se ver ms adelante que en ciertos casos una puede ser ms conveniente que la otrapues algunas constantes de proporcionalidad toman valores unitarios.

5En muchas aplicaciones, el valor de la funcin en t = /2 es irrelevante, y las funciones

x1 (t) = A, /2 t /2,0, en caso contrario, x2 (t) =8

7/29/2019 02-Cap02.pdf

20/262


Fig. 2.7. Espectro discreto del tren peridico de pulsos rectangulares para un ciclo de trabajo/T0 = 1/5; amplitud (a) y fase (b) .

2.2.4. La funcin sinc(

)

Esta funcin juega un papel muy importante en el anlisis de Fourier, en el estudio desistemas lineales e invariantes en el tiempo y en la teora de comunicaciones en general.Se define la funcin sinc() como

sinc(x) =sen x

x, (2.24)

cuya grafica se representa en la Fig.2.8. La funcin sinc(x) alcanza su mximo en x = 0,donde vale 1 (puede probarse aplicando la regla de lHpital), y tiende a cero cuandox tiende a , oscilando entre valores positivos y negativos, con una envolvente quedecae segn 1/x. La funcin pasa por cero para los valores enteros de la variable x, esdecir, cuando x =

1,

2, . . . etc. El tramo de la funcin entre dos ceros consecutivos se

denomina lbulo. El tramo comprendido entre x = 1 es el lbulo principal, y los demsson los lbulos laterales.

Los extremos relativos ocurren en x = xk donde d[sinc(x)]/dx = 0, es decir cuando

xk cos(xk) sen(xk) = 0, o bien tan(xk) xk = 0.Esta es una ecuacin trascendente, y no puede resolverse de forma analtica. Los primerosextremos relativos y los valores de la funcin en estos puntos se listan en la Tabla 2.2. Estatabla muestra que la abscisa del extremo y su mdulo son aproximadamente k + 1/2, y[(n + 1/2)]1 para el k-simo lbulo, cuando k ! .Aunque no es trivial, puede demostrarse que el rea encerrada por la funcin sinc (

) es

finita: Z

sinc(x) dx = 1,


7/29/2019 02-Cap02.pdf

21/262


Fig. 2.8. La funcin sinc(x).

Tabla 2.2: Ubicacin y valor de los extremos relativos.

abscisa xk 0,000 1,430 2,459 3,471 4,477 5,482 6,484 7,486 8,488

sinc(xk) 1,000 0,217 0,128 0,091 0,071 0,058 0,049 0,042 0,037

y en forma general, Z

sinc(ax)dx =1jaj ,

es decir, que la integral de la funcin converge. Esta igualdad se puede demostrar demanera sencilla aplicando los resultados de la Seccin 2.5.12. Es interesante comparar elrea de los distintos lbulos. El rea del lbulo principal es

A0 =Z11

sinc(x) dx = 2

Si() = 1,17898,

donde Si(x) =Rx

0 sen() des la funcin seno integral, cuyos valores estn tabulados. SiAk indica el rea del k-simo lbulo, se encuentra que

Ak =1

Si[(k + 1)] 1

Si(k).

Algunos valores de las reas de los lbulos laterales expresados en porcentajes del reatotal se listan en la Tabla 2.3, y se representan en la Fig. 2.9(a). En la Fig. 2.9(b) se muestraque el rea es muy aproximadamente inversamente proporcional al nmero de lbulo.

Tabla 2.3: rea relativa de los lbulos laterales.

lbulo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

rea ( %) 118 13,8 8,2 5,8 4,5 3,7 3,1 2,7 2,4 2,1

Si bien la funcin sinc() tiene rea acotada, esto no ocurre para j sinc()j, lo que sedemuestra fcilmente separando el intervalo de integracin en segmentos de longitud1/a (la distancia entre ceros sucesivos del sinc), y notando que jsen(ax)/(ax)j


7/29/2019 02-Cap02.pdf

22/262


Fig. 2.9. rea de los lbulos de la funcin sinc( ).

jsen(ax)/(n)

jpara (n

1)/a

x

n/a. EntoncesZ

0

sen(ax)ax dx Z1/a

0

sen(ax) dx +Z2/a1/a

sen(ax)2 dx+ +Zn/a(n1)/a

sen(ax)n dx + =

1

n=1

1n

Zn/a(n1)/a

jsen(ax)j dx = 2

n=1

1n

jcos(n)j = 2

n=1

1n

.

La serie del ltimo trmino, conocida como serie armnica, no converge. Por lo tanto,

l mT!

ZTT

jsinc(ax)j dx ! .

Utilizando la funcin sinc(

) la expresin (2.23) de los coeficientes ck de la serie de Fourier

del tren de pulsos rectangulares del Ejemplo 2.4 se puede escribir de manera ms com-pacta como

ck = A

T0sinc

kT0

, k = 0, 1, 2 , . . . .

2.3. La transformada de Fourier

La transformada de Fourier juega un papel importante en muchas ramas de la cien-cia. Si bien puede ser pensada de manera estrictamente funcional, como es comn enel tratamiento de otras transformadas, tambin asume en muchos casos un significado

fsico tan preciso como el de las funciones de las cuales se deriva. Una forma de onda ptica, elctrica o acstica y su espectro son apreciados igualmente como representacinmatemtica o entidades medibles: un osciloscopio nos muestra la forma de onda, y unespectrmetro (un prisma!) o un analizador de espectro revela el espectro ptico o elc-trico. La apreciacin acstica es ms directa, ya que el odo oye el espectro. Las formasde onda y los espectros son transformadas unas de los otros; la transformada de Fourieres entonces una relacin eminentemente fsica.

En muchas ramas de la ciencia se conoca la teora de Fourier no en forma matemtica,sino como un conjunto de proposiciones acerca de un fenmeno fsico. Frecuentemente,la interpretacin fsica de un teorema es un hecho experimentalmente comprobable, yesto permite al cientfico mantenerse alejado de lo que matemticamente puede ser muyabstracto. El nfasis en la interpretacin fsica permite tratar de manera natural con tpi-cos que normalmente se consideraran mas avanzados.


7/29/2019 02-Cap02.pdf

23/262

2.3. La transformada de Fourier 83

Fig. 2.10. Ondas cuadradas de distintos perodos y sus coecientes de Fourier en funcin delnmero de armnico. T0 = 2 (a); T0 = 4 (b); T0 = 8 (c) .

2.3.1. Desarrollo de la transformada de Fourier

En la Seccin 2.2 se estudi cmo una seal peridica puede representarse como unacombinacin lineal de exponenciales complejas armnicamente relacionadas. Estos resul-tados pueden extenderse para desarrollar una representacin de seales aperidicas comocombinacin lineal de exponenciales complejas. La introduccin de esta representacines una de las ms importantes contribuciones de Fourier, y el desarrollo que se presentaaqu es muy similar al que l desarroll en su trabajo original.

Los coeficientes complejos de la serie de Fourier de la onda peridica cuadrada del Ejem-plo 2.4 estn dados por la expresin (2.23), repetida aqu por comodidad,

ck = A

T0sinc

kT0

, k = 0, 1, 2, (2.25)

donde T0 es el perodo de la seal, y el tiempo durante el cual la seal toma el valorA. En la Fig.2.10 se grafican los valores de estos coeficientes, para un valor fijo de ydistintos valores del perodo T0, en funcin del nmero de armnica k. En la Fig. 2.11se ha repetido esta figura con algunas modificaciones. En primer lugar, se ha graficadoT0ck en lugar de ck, y se ha modificado el eje de abscisas, graficando los coeficientes enfuncin de la frecuencia fk = k/T0 de los armnicos, y no en funcin del nmero k dearmnico. La importancia de estos cambios puede apreciarse examinando la ecuacin(2.25). Multiplicando ck por T0 se obtiene

T0ck = Asinc

k

T0

= A

sen (f)f

f=k/T0

.

Pensando en f como una variable continua, la funcin Asen(f) / (f) represen-ta la envolvente de los coeficientes T0ck, y estos coeficientes son simplemente muestras


7/29/2019 02-Cap02.pdf

24/262


Fig. 2.11. Ondas cuadradas de distintos perodos y sus coecientes de Fourier (escalados porel perodo T0) en funcin de la frecuencia fk = k/T0. T0 = 2 (a); T0 = 4 (b);T0 = 8 (c) .

equiespaciadas de esta envolvente. Adems, si (el tiempo de encendido) se deja fi-jo, la envolvente de T0ck es independiente de T0. Sin embargo, tal como se observa en la

Fig. 2.11, a medida que aumenta el espaciado entre los pulsos ( T0 crece o disminuye f0)la envolvente se muestrea ms finamente. Cuando T0 se hace arbitrariamente grandela onda peridica cuadrada original se parece a un pulso: en el dominio tiempo se tieneuna seal aperidica que coincide con un perodo de la onda cuadrada. Adems los coefi-cientes de la serie de Fourier (multiplicados por T0) son muestras cada vez ms prximasentre s de la envolvente, de manera que, en un sentido que se especificar en seguida,el conjunto de coeficientes de la serie de Fourier tiende a la funcin envolvente cuandoT0 ! .Este ejemplo ilustra la idea bsica del desarrollo de Fourier para representar seales aper-idicas. Especficamente, se piensa en una seal aperidica como el lmite de una sealperidica cuando el perodo se hace arbitrariamente grande, y se examina el compor-

tamiento en el lmite de la representacin en series de Fourier. Para tal fin se considerauna seal aperidica x (t) cualquiera que tenga duracin finita6; esto es, que para algnnmero T, x (t) = 0para jtj > T,comosemuestraenlaFig.2.12 (a) .Apartirdeestasealaperidica se puede construir una seal peridica x (t) de la cual x (t) sea un perodoreplicando x (t) cada T0 unidades de tiempo como se observa en la Fig. 2.12(b) . A medi-da que se incrementa T0, x (t) se asemeja a x (t) sobre un intervalo de tiempo mayor y enel lmite, cuando T0 ! , ambas seales son idnticas para cualquier valor finito de t.Es interesante examinar este efecto sobre la representacin en serie de Fourier de x (t) (la

6Esto no es estrictamente necesario; basta que sea de duracin finita en el sentido que se define en la Sec-cin 2.8.2. La hiptesis adoptada aqu no cambia los resultados fundamentales pero facilita la demostracin.


7/29/2019 02-Cap02.pdf

25/262


Fig. 2.12. (a) Seal aperidica h (t); (b) seal peridica h (t) construida a partir de h (t).

seal peridica). Reescribiendo por conveniencia las ecuaciones (2.20) y (2.19), se tiene

x (t) =

k=

ckej2k f0t, (2.26)

ck =1T0

ZT0/2T0/2

x (t) ej2k f0t dt, k = 0, 1, 2, . . . (2.27)

Ya que x (t) = x (t) cuando jtj < T0/2, y como x (t) = 0 fuera de este intervalo, (2.27)puede reescribirse como

ck =1T0 Z

T0/2

T0/2

x (t) ej2k f0t dt =1T0 Z

x (t) ej2k f0t dt. (2.28)

Si se define X(f) como la envolvente de T0ck reemplazando la variable discreta k f0 poruna variable continua f, se tiene

X(f) =Z

x (t) ej2f t dt, (2.29)

y entonces los coeficientes ck resultan

ck =1T0

X(k f0) . (2.30)

Combinando (2.30) con (2.26), x (t) puede escribirse en funcin de X(f) como

x (t) =

k=

1T0

X(k f0) ej2k f0t

=

k=

X(k f0) ej2k f0tf0 (2.31)

ya que f0 = 1/T0. Cuando T0 ! , x (t) se aproxima a x (t), y por lo tanto, (2.31) es unarepresentacin de x (t) . Adems, f0 ! 0 cuando T0 ! , y entonces el miembro derechode (2.31) se convierte en una integral. Esto puede apreciarse interpretando grficamentela ecuacin (2.31) como se muestra en la Fig. 2.13. Cada trmino de la sumatoria es el reade un rectngulo de altura X(k f0) ejk2f0t y ancho f0 (como t no es una variable en esteanlisis se est calculando el valor de x () para un valor determinado de su argumento).


7/29/2019 02-Cap02.pdf

26/262


Fig. 2.13. Interpretacin grca de la ecuacin (2.31).

De acuerdo con la interpretacin de Riemann de la integral, cuando f0 ! 0 la sumatoriade (2.31) converge, por definicin, a la integral de X(f) ej2f t. De acuerdo entonces alhecho que x (t) ! x (t) cuando T0 ! , las ecuaciones (2.31) y (2.29) se convierten en

x (t) =Z

X(f) ej2f td f, (2.32)

X(f) =Z

x (t) ej2f t dt, (2.33)

respectivamente. Las ecuaciones (2.32) y (2.33) se denominan par transformado de Fouri-er; la ecuacin (2.33) se denomina transformada de Fourier de x (t) , o ecuacin de anlisis,mientras que la ecuacin (2.32) es la transformada inversa de Fourier de X(f) , o tambinecuacin de sntesis. La ecuacin de sntesis (2.32) juega un papel similar al de la ecuacin(2.19) para las seales peridicas, ya que ambas tratan de la descomposicin de una sealcomo una combinacin lineal de exponenciales complejas. Para seales peridicas estas

exponenciales tienen amplitud ck dadas por (2.20) o (2.27), y sus frecuencias toman val-ores sobre un conjunto discreto k f0, k = 1, 2, . . . armnicamente relacionadas entres. Para el caso de las funciones aperidicas, las exponenciales complejas ocurren paraun continuo de frecuencias, y de acuerdo a la ecuacin de sntesis (2.32) tienen ampli-tud X(f) d f. En analoga con la terminologa empleada para los coeficientes de la seriede Fourier de una seal peridica, la transformada X(f) de la seal aperidica x (t) sedenomina el espectro de x (t) , ya que brinda informacin referida a cmo se combinanondas sinusoidales de distinta frecuencia para componer la seal x (t) .

2.3.2. Transformada directa e inversa de Fourier

Sea x() una funcin real o compleja de una variable real s. A veces, x() puede no estardisponible explcitamente como funcin, sino como un conjunto de valores discretos. Sinembargo, para fijar ideas se asume que x() est definida en el intervalo (,), y quetiene algunas propiedades, entre ellas las de ser absolutamente integrable sobre la lneareal. Esto significa que Z

jx (s)j ds < . (2.34)

Si ste es el caso se puede definir una funcin X() que evaluada en el punto f toma elvalor

X(f) = Z

x (s) ej2f s ds,

< f< (2.35)


7/29/2019 02-Cap02.pdf

27/262


donde j =p1. Si se satisface (2.34), entonces X(f) est bien definida, ya que

jX(f)j = Z x (s) ej2f s ds < Z

x (s) ej2f s ds = Z jx (s)j ds < (2.36)

puesej2f s = 1. La funcin X(f) es la transformada de Fourier de x(), y queda definida

de manera nica por (2.35). Se dice que la funcin X() est definida en el dominio fre-cuencial o dominio transformado, mientras que la funcin x() original est definida en eldominio espacial si s es una coordenada espacial (con dimensiones de longitud), o en eldominio temporal si x() es una funcin dependiente del tiempo (s = t), lo que ser elcaso habitual. De importancia fundamental es el hecho que tambin existe una relacininversa entre x() y X(), dada por

x (s) = Z

X(f) ej2f sd f,

< f< . (2.37)

Esta relacin permite obtener x() como la transformada inversa de Fourier de X(). En laecuacin (2.37) f es una variable muda, que toma todos los valores desde a amedida que se calcula la integral; la verdadera variable es s. Lo contrario ocurre en laecuacin (2.35), donde s es la variable muda de integracin, y f la variable de la funcin.

La transformada de Fourier tiene una interpretacin fsica. El kernel o ncleo de la trans-formada de Fourier es el trmino ej2f s (el de la transformada inversa es ej2f s); aplican-do la frmula de Euler estos ncleos pueden escribirse como

ej2f s = cos (2f s) j sen (2f s) .

Para el caso de la ecuacin (2.35) y para cada valor fijo de f, el ncleo consiste de ondas(senos y cosenos) con un perodo o longitud de onda T = 1/f, medido en las unidadesde s (ya sean longitud o tiempo). Estas ondas se llaman modos. Anlogamente, los modoscorrespondientes a un valor fijo de f tienen una frecuencia de f perodos por unidadde longitud, o ciclos por unidad de tiempo: la combinacin ciclos por segundo se llamaHertz, abreviado Hz.

La transformada inversa de Fourier (2.37) puede verse como una receta para recuperarel valor de la funcin x () en un punto t a partir de una combinacin de modos de todaslas frecuencias < f < . El modo asociado con una frecuencia particular f tiene uncierto peso en esta combinacin y ese peso est dado por X(f). Este proceso de con-

struir una funcin a partir de sus modos recibe frecuentemente el nombre de sntesis:dados los pesos de los modos X(f), se puede generar la funcin x () para cada valor det que se desee. El conjunto completo de valores de X() se denomina el espectro de x (),ya que expresa el contenido frecuencial completo de la funcin o seal x (). Igualmenteimportante es el proceso opuesto, denominado anlisis: dada la funcin x () se puede en-contrar qu cantidad X(f) del modo de frecuencia f est presente en x () , aplicandola transformada directa (2.35).

EJEMP LO 2.5. Transformada directaLa funcin temporal (exponencial decreciente)

x (t) =( et, t 0,

0, t < 0,(2.38)


7/29/2019 02-Cap02.pdf

28/262


Fig. 2.14. Seal x(t) = et, > 0, t > 0 (a). Representacin mdulo-fase (b) y partereal-imaginaria (c) de la transformada de Fourier.

con > 0, cumple con (2.34), es decir, es absolutamente integrable. De la ecuacin (2.35),

X(f) = Z x (t) ej2f tdt = Z

0e(+2f)tdt = + j2fe(+j2f)t

0

y entonces,

X(f) =

+ j2f.

La expresin de X(f) es una funcin compleja de f; es interesante hallar las expresiones de la partereal y la parte imaginaria, X(f) = R (f) + jI(f)

R (f) = RefX(f)g = 2 + (2f)2

,

I(f) = Im

fX(f)

g=

2f

2

+ (2f)2 ,

y tambin del mdulo y la fase, X(f) = jX(f)j ej(f),

jX(f)j = q2 + (2f)2

, (f) = tan12f

.

Cada una de estas funciones est gracada en la Fig. 2.14, ilustrando las diversas formas de presentarla transformada de Fourier.

Para probar la validez de la ecuacin de sntesis (2.37) se puede determinar la funcinx (t) del ejemplo anterior a partir de su transformada de Fourier X(f).

EJE MPLO 2.6. Transformada inversaDado el espectro

X(f) =

+ j2f=

2 + (2f)2j 2f

2 + (2f)2,

calculado en el ejemplo anterior, la transformada inversa x (t) se obtiene aplicando la ecuacin desntesis (2.37),

x(t) =Z

X(f) ej2f td f

=Z

"

2+(2f)2j 2f

2+(2f)2

#ej2f td f

=Z

" cos (2f t)

2+(2f)2+

2fsin (2f t)

2+(2f)2

#d f + j

Z

" sin (2f t)

2+(2f)2 2fcos (2f t)

2+(2f)2

#d f.


7/29/2019 02-Cap02.pdf

29/262


Fig. 2.15. Integracin de una funcin impar.

La segunda integral es nula porque cada trmino del integrando es una funcin impar. La Fig. 2.15muestra el primer integrando de la segunda integral y permite una interpretacin grca. Como lafuncin es impar, g (t) = g (t) , y en consecuencia, el rea bajo la funcin desde f0 hasta f0 esnula. En el lmite, a medida que f ! la integral de la funcin es nula7. Bajo estas consideraciones,

x(t) =

(2)2

Z

cos (2f t)

(/2)2 + f2d f +

2

(2)2

Z

fsin (2f t)

(/2)2 + f2d f.

De una tabla de integrales, se tiene queZ

cos axb2 + x2

dx =

beab, a > 0,

Z

x sin axb2 + x2

dx = eab, a > 0,

y por lo tanto,

x (t) =

(2)2

/2e(2t)(/2)

+

2

(2)2

he(2t)(/2)

i=

2et +

2et

= et, t > 0.

En general, si las funciones x() y X() estn relacionadas por las ecuaciones (2.35) y(2.37), se dice que las dos funciones forman un par transformado de Fourier, y esta relacinse indica

x () , X() .Otra notacin usual es

X() = Ffx ()g y x () = F1 fX()g .7En realidad, cualquier integral de a + es en realidad un lmite denido porZ+

x (t) dt = l m

T1 ,T2!

Z+T2T1

x (t) dt (2.39)

donde T1 y T2 tienden a innito independientemente uno del otro. El valor principal de Cauchy (VPC) de unaintegral es un lmite ms especco, denido como

VPCZ+

x (t) dt

= l m

T!

Z+TT

x (t) dt. (2.40)

Mientras que (2.39) implica (2.40), es posible que exista (2.40) pero no (2.39): por ejemplo, la integral (2.40)de todas las funciones impares es nula, pero la integral (2.39) de estas funciones puede no existir. Para las

funciones que satisfacen la Condicin 1 (vase la Seccin 2.3.3) las integrales de Fourier pueden interpretarseen el sentido de (2.39). En cambio, para las funciones que satisfacen la Condicin 2 las transformadas sedenen por el valor principal de Cauchy (2.40) de la integral.


7/29/2019 02-Cap02.pdf

30/262


Fig. 2.16. Contorno de integracin para el clculo de la transformada del Ejemplo 2.7 paraf< 0 (a) y para f> 0 (b) .

Comentario sobre el clculo de las integrales impropias

El clculo de la transformada de Fourier implica evaluar integrales impropias, y en al-gunas ocasiones se pueden calcular ms fcilmente aplicando la teora de Cauchy de lasfunciones analticas. La idea es aplicar el clculo de integrales complejas sobre curvascerradas para evaluar integrales reales sobre la recta real.

Si f(x) es una funcin de una variable real x, la extensin analtica de f( ) es la funcinf(z), donde z = x + jy 2 C, tal que f(x) = f(z)jImfzg=0 . En particular, son de utilidadlos lemas de Jordan, dos de los cuales son:

1. Si f(z) es una funcin analtica en todo punto del semiplano Imfzg 0, salvoen un nmero finito de puntos zk, k = 1 , . . . , n, que no estn sobre el eje real, sil mjzj! f(z) = 0 para z 2 Imfzg > 0, entonces

Z

f(x)ejx dx = j2n

k=1

Resz=zkff(z)eizg,

donde la sumatoria se extiende sobre todos los puntos singulares de f(z) con-tenidos en Imfzg > 0.

2. Si la funcin f(z) posee puntos singulares sobre el eje real, por ejemplo en z = z0,la contribucin del residuo de ese polo es slo j.

En el caso de la transformada o la antitransformada, el integrando es de la forma ejx,donde es una constante. Dependiendo de su signo, la regin de analiticidad sera Imfzg >0 si > 0, o Imfzg < 0 si < 0, como se detalla en los siguientes ejemplos.

EJE MPLO 2.7. Transformada de Fourier de x (t) = 1/tAunque la funcin x (t) = 1/t es singular en el origen, an as puede calcularse la transformada deFourier considerando

X(f) = l m!0

Z

1t

ej2f t dt + Z

1t

ej2f t dt .


7/29/2019 02-Cap02.pdf

31/262


Esta integral se puede calcular como la integral de contorno

ZC

1

z ej2f z

dz,donde el contorno de integracin C es el borde del semidisco de radio R con una pequea indentacinde radio en el origen, donde R se hace tender a innito, y a cero. Bajo estas condiciones, laintegral coincide con la transformada que se desea calcular si Imfzg = 0. En este caso, la funcinf(z) = 1/z tiene un polo en el eje real, en z = 0.

El semiplano donde yace C se elige de modo que el integrando tienda a cero cuando R ! , yesto impone condiciones sobre f, de manera de satisfacer las condiciones de los lemas de Jordan. En

cualquier caso la regin de integracin debe elegirse de modo queej2f z ! 0 cuando R ! .

Si f> 0, esta regin est dada por Imfzg < 0, y si f< 0, la regin de analiticidad es Imfzg > 0.Para una curva C contenida en la regin Imfzg > 0, que corresponde a f < 0, donde C estformada por la unin de las curvas R = R e

j, 0

, el segmento de recta [

R,

], la curva

= ej , con 0, y el segmento de recta [, R], como se muestra en Fig.2.16(a) , laintegral de contorno es nula porque la curva no encierra ningn polo. Se tiene entonces que

0 =Z

C

1z

ej2f z dz =ZR

1t

ej2f t dt +Z

1z

ej2f z dz +ZR

1t

ej2f t dt +Z

R

1z

ej2f z dz,

donde se efectu el cambio de variable z 7! t = Refzg sobre las rectas.Sobre la curva R se hace la sustitucin z 7! Rej , dz = jRej d, resultando

ZR1z

ej2f z dz =Z

0

1R ej

ej2f(R ej )jR ej d = j

Z

0ej2f R(cos +j sen ) d.

Teniendo en cuenta que

l mR!+

ej2f R(cos +j sen ) = l mR!+

ef R sen Como para esta regin sen 0, la nica manera que el integrando se anule para R ! es quef< 0. Entonces,

l mR!0

ZR

1z

ej2f z dz = 0 para f< 0.

Sobre la curva se tiene que z = ej , dz = jejd, y por lo tanto,Z

1z

ej2f z dz =Z0

1ej

ej2f(ej )jej (d) = j

Z0

ej2f(cos +j sen ) d.

El signo del d tiene en cuenta que la curva est orientada en sentido horario. Cuando ! 0, elargumento de la integral tiende a 1, y entonces

lm!0

Z

1z

ej2f z dz = j.

A partir de estos resultados se encuentra que

0 = lm!0

Z

1t

ej2f t dt +Z

1t

ej2f t dt

| {z }X(f)

j,

de modo queX(f) = j si f< 0.

Si f > 0, el contorno de integracin que se elige es el que se representa en la Fig. 2.16(b) . Eldesarrollo es idntico, con un par de salvedades:


7/29/2019 02-Cap02.pdf

32/262


Fig. 2.17. Contorno de integracin para el clculo de la transformada del Ejemplo 2.8, parat > 0 (a) y para t < 0 (b) .

Sobre la curva R resulta que sen 0, y la integral sobre R se anula slo si f> 0.Sobre la curva el recorrido es ahora en sentido horario, y se encuentra

l m!0

Z

1z

ej2f z dz = j,

y por lo tanto,X(f) = j si f> 0,

estableciendo entonces el par transformado

1t

, jsgn(f).

EJE MPLO 2.8. Otra forma de calcular la transformada inversa de X(f) = /( + j2f)En este caso,

x(t) = Z

X(f)ej2f t

d f = IC + j2z ej2tzdz = 1j2IC /(j2) + z ej2tzdz.La funcin X(f) es singular en z = /(j2) = j/(2), que pertenece a la regin Imfzg > 0pues > 0. Si t > 0, la curva C debe estar contenida en la regin Imfzg > 0, de modo queej2tz ! 0 cuando R ! . El contorno de integracin se muestra en la Fig. 2.17(a) y por lo tantoencierra al polo. En consecuencia,

x(t) =1

j2

ICImfzg>0

/(j2) + zej2tzdz = j2Res

1

j2

/(j2) + zej2tz

z=/(j2)

= et, t > 0,

Para t < 0, la curva C debe elegirse dentro del dominio Imfzg < 0 como se muestra en laFig. 2.17(b) . Ya que esta curva no encierra ningn polo,

x(t) =Z

X(f)ej2f td f =1

j2

ICImfzg

7/29/2019 02-Cap02.pdf

33/262


Combinando los resultados para t > 0 y t < 0, se tiene que

x(t) = et

u(t)que coincide con (2.38).

An contando con herramientas tan poderosas como las presentadas en los ejemplos an-teriores, en algunos casos deben utilizarse otras tcnicas para calcular las transformadaso antitransformadas, como se muestra a continuacin.

EJEMP LO 2.9. Transformada de Fourier de x (t) = sgn tEn este ejemplo, recproco del Ejemplo 2.7, la funcin x (t) = sgn t no es absolutamente integrable,

y tampoco parece sencillo obtener una extensin analtica. De hecho, no se cumple uno de losrequisitos de los lemas de Jordan (especcamente, que l mjzj! f(z) = 0). La resolucin se basaen considerar una sucesin de funciones (que s tengan transformadas) y que se aproximen al sgn ten el lmite; por ejemplo, la sucesin x (t) = ejtj sgn t cuando ! 0. La transformada de cadauno de los elementos de la sucesin es

X(f) =Z

x (t) ej2f tdt =

Z

ejtj sgn t ej2f tdt

=Z0

e(j2f) tdt +Z

0e(+j2f) tdt

= e(j2f) t

j2f

0

+e(+j2f) t

+ j2f

0

= 1j2f +

1+ j2f

.

Cuando ! 0, se tiene que

X(f) = lm!0

X(f) = lm!0

1j2f +

1+ j2f

=1

jf,

que permite establecer el par transformado

sgn t , 1jf

.

Las seales de los Ejemplos 2.7 y 2.9 no son frecuentes en los problemas de procesamien-to, y en general las transformadas pueden resolverse integrando funciones reales o bienaplicando las propiedades que se vern en la Seccin 2.5. Sin embargo, estas transfor-madas son importantes porque tienen relacin con la transformada de Hilbert, como seexplora en el Ejercicio 32.

Comentario sobre la variable en el dominio transformado ( o f)

En este apunte se ha definido la transformada de Fourier X(f) delaseal x (t) en funcin

de la variable frecuencial f, que se mide en ciclos por segundo (cps, o Hz). Sin embargotambin es frecuente en la literatura definir la transformada X() de la seal x (t) en


7/29/2019 02-Cap02.pdf

34/262


funcin de la frecuencia angular , que se mide en rad/s. La relacin entre una y otra for-ma de expresin es sencilla. Sabiendo que = 2f, es inmediato definir [cf. la ecuacin

(2.33) o (2.35)]X() =

Z

x (t) ejt dt,

de modo queX() = X(f)jf= 2 .

Para el caso de la ecuacin de sntesis (2.32) o (2.37), es necesario efectuar un cambio enla variable de integracin. Resulta entonces

x (t) =Z

X(f) ej2f td f =1

2

Z

X(f)jf= 2 ej2f td(2f)

= 12Z X() ejtd.

En la variable frecuencia angular el par transformado de Fourier se expresa entoncescomo

X() =Z

x (t) ejt dt, (2.41)

x (t) =1

2

Z

X() ejtd. (2.42)

En consecuencia, expresar la transformada de una seal en funcin de la frecuencia f ode la frecuencia angular se limita simplemente a efectuar un cambio de variable. Parael caso del Ejemplo 2.6 se tiene que

X() = X(f)jf= 2 =

+ j2f

f= 2

=

+ j.

Debe tenerse en cuenta que el clculo de la transformada de algunas funciones especialesrequiere algunas precauciones (vea el Ejemplo 2.18).

2.3.3. Existencia de la integral de Fourier

Hasta ahora no se ha cuestionado la validez de las ecuaciones (2.32) y (2.33), suponien-do que las ecuaciones integrales estn bien definidas para todas las funciones. En gen-eral, para las mayora de las funciones encontradas en el anlisis cientfico prctico latransformada de Fourier y la transformada inversa estn bien definidas. No se intentapresentar aqu una discusin terica sobre la existencia de las transformadas de Fourier,sino destacar condiciones para su existencia y dar ejemplos de estas condiciones. Debidoa la similitud de las ecuaciones de sntesis (2.32) y de anlisis (2.33), las condiciones deexistencia son igualmente aplicables tanto a la transformada directa como a la transfor-mada inversa, intercambiando los roles de las variables tiempo-frecuencia. Sin embargo,

para no oscurecer la presentacin, las condiciones de existencia se enunciarn para latransformada directa (2.33). La discusin sigue la presentacin de Papoulis (1962).


7/29/2019 02-Cap02.pdf

35/262


Fig. 2.18. Transformada de Fourier de un pulso.

CONDICIN 1. Si x (t) es absolutamente integrable,

Z jx (t)j dt < (2.43)

existe la transformada de Fourier X(f) existe, y est dada por la ecuacin (2.36). Demanera similar, si X(f) es absolutamente integrable,Z

jx (f)j d f< ,

existe la transformada de Fourier inversa dada por la ecuacin (2.37).

Esta condicin ya fue comentada en la Seccin 2.3.2, ecuacin (2.36).

EJEMP LO 2.10. Transformada de Fourier de un pulsoEl pulso de la Fig. 2.18 denido como

x (t) =

8>>>:

A, jtj < /2,A/2, t = /2,0, jtj > /2.

verica la Condicin 1 [ecuacin (2.43)]. Por lo tanto, su transformada de Fourier existe y estdada por

X(f) =Z/2/2

Aej2f tdt

= AZ/2/2

cos (2f t) dt jAZ/2/2

sen (2f t) dt| {z }=0

.

La segunda integral es cero porque el integrando es impar. Entonces,

X(f) =A

2fsen (2f t)

/2/2 = Asen (f)

f= Asinc (f) . (2.44)

Nuevamente, como en el Ejemplo 2.5, los trminos que pueden cancelarse se mantienen para enfatizar

la caracterstica sen(ax)/ax de la transformada de Fourier de un pulso (Fig. 2.18).


7/29/2019 02-Cap02.pdf

36/262


Fig. 2.19. Evaluacin grca de la ecuacin (2.46).

A partir de este resultado se puede calcular la transformada inversa (2.32), es decir, obtener x (t) apartir de X(f) dada por (2.44). Entonces

x (t) = Z

Asinc (f) ej2f td f

= AZ

sen (f)f

[cos (2f t) +j sen (2f t)] d f.

El integrando imaginario es impar; por lo tanto,

x (t) =A

Z

sen (f) cos (2f t)f

d f.

Aplicando la identidad trigonomtrica sin u cos v = 12 [sen (u + v)+ sen(u v)], x (t) se puedeexpresar

x (t) = A2

Z

sen [2f(/2 + t)]f

d f + A2

Z

sen [2f(/2 t)]f

d f,

que se puede escribir como

x (t) = A (/2 + t)Z

sen [2f(/2 + t)]2f(/2 + t)

d f + A (/2 t)Z

sen [2f(/2 t)]2f(/2 t) d f.

(2.45)Ya que Z

sen (2ax)

2axdx =

12 jaj ,

resulta

x (t) =A2

/2 + tj/2 + tj +

A2

/2

tj/2 tj . (2.46)

Cada uno de los trminos de la ecuacin (2.46) se muestran en la Fig. 2.19; por inspeccin, esevidente que estos trminos se suman para dar

x (t) =

8>>>:

A, jtj < /2,A/2, t = /2,0, jtj > /2.

El Ejemplo 2.10 ha permitido establecer el par transformado de Fourier (Fig.2.18)

x (t) = A, jtj < /2 , X(f) = Asin (f)f

= Asinc (f) .


7/29/2019 02-Cap02.pdf

37/262


En los ejemplos anteriores, la existencia de la transformada de Fourier estaba aseguradapues la funcin temporal satisface la CONDICIN 1. Ya se ha observado que debido a la

simetra entre las ecuaciones que permiten calcular la transformada a partir de la sealy viceversa vanse las ecuaciones (2.32) y (2.33) la versin dual de la CONDICIN 1establece que una condicin suficiente para la existencia de la transformada inversa (2.32)es que la transformada X(f) sea absolutamente integrable. En efecto, si

R jX(f)j d f 0 y si para jtj > > 0 la funcin x (t) /t es absoluta-mente integrable [ecuacin (2.43)], entonces X(f) existe y tiene transformada inversade Fourier (2.32).

Para el caso de la transformada del Ejemplo 2.6 la condicin homloga a la CONDICIN 2(es decir, intercambiando los roles de las variables t y f) se satisface eligiendo t = 0, = /2, y (f) = /( + j2f). Es evidente que jx(f)/fj es absolutamente integrablepara

jfj> > 0. Un caso dual al de la transformada de Fourier X(f) del Ejemplo 2.10

se estudia en el Ejemplo 2.11, que trata de la funcin temporal sin (at) / (at), que no esabsolutamente integrable, y por lo tanto no cumple con la C ONDICIN 1.

EJEMP LO 2.11. Transformada de una funcin del tipo sin (at) / (at)El grco de la funcin

x (t) = 2A f0sen (2f0t)

2f0t,

se muestra en la Fig.2.20. Esta funcin cumple con los requisitos pedidos por la Condicin 2,con (t) = 2A f0/ (2f0t), = 0. Adems, x (t) /t cumple con las condiciones de integrabilidadexigidas, ya que Z

x (t)t dt < 2A f02f0

Z

1t2 dt = A < .


7/29/2019 02-Cap02.pdf

38/262

7/29/2019 02-Cap02.pdf

39/262


Las funciones de los Ejemplos 2.10 y 2.11 son de variacin acotada. Una funcin que notiene variacin acotada en cercanas del origen es sen (1/t) , que no tiene transformada

de Fourier. Sin embargo esta CONDICIN es slo suficiente, pues hay funciones que notienen variacin acotada pero s tienen transformada de Fourier, tal como el impulso odelta de Dirac (t) . En realidad el impulso no es estrictamente una funcin, sino unadistribucin, tal como se ver en la Seccin 2.3.4.

2.3.4. El impulso o delta de Dirac (t)

Estrictamente hablando la teora de la transformada de Fourier se aplica a funciones tem-porales que cumplen con las condiciones de Dirichlet. Tales condiciones incluyen a lasfunciones que tienen energa finita, es decir, que verifican

E =Z

x2 (t) dt < , (2.48)

como la exponencial decreciente del Ejemplo 2.5 o la funcin pulso del Ejemplo 2.10.Sin embargo, como se estudi en el Captulo 1, hay otras seales de uso frecuente en elanlisis de sistemas (las funciones peridicas, el escaln unitario, las seales constantes,etc.) que no tienen energa finita pero s potencia promedio finita, que satisfacen

P = l mT!

1T

ZT/2T/2

x2 (t) dt < . (2.49)

En general estas seales no verifican las condiciones de Dirichlet, y no tienen transfor-

mada de Fourier. Con las herramientas desarrolladas hasta el momento no es posiblecalcular la transformada de Fourier de una funcin senoidal o cosenoidal. Sin embargoestas seales se pueden representar usando series de Fourier. Resulta deseable extenderla teora de la transformada para poder

1. combinar la serie y la transformada de Fourier en una teora unificada, de modo detratar la serie como un caso particular de la transformada de Fourier;

2. poder aplicar la transformada de Fourier a seales de potencia promedio finita, yaque son muy usadas en el anlisis de sistemas.

Tales objetivos pueden alcanzarse introduciendo el delta de Dirac o impulso unitario. Suuso simplifica muchas derivaciones que de otro modo requeriran desarrollos extensos y

complejos. Aunque este concepto se aplica en la solucin de muchos problemas la defini-cin matemtica precisa debe interpretarse en el sentido no de una funcin normal, sinoen base a la teora de distribuciones.

Se detallarn aqu algunas propiedades especficas del delta de Dirac que son necesariaspara soportar los desarrollos posteriores.

Definicin

Normalmente, la funcin impulso (t) se define como

(t t0) = 0, t 6= t0 (2.50)Z

(t t0) dt = 1. (2.51)


7/29/2019 02-Cap02.pdf

40/262

7/29/2019 02-Cap02.pdf

41/262

7/29/2019 02-Cap02.pdf

42/262

7/29/2019 02-Cap02.pdf

43/262


Fig. 2.23. Transformada de Fourier de pulsos de distinto ancho.

La transformada inversa no es tan directa, y se basa el resultado (2.52). Entonces,

x (t) =Z

Kej2f tdt =Z

Kcos (2f t) dt = K (t) ,

lo que establece el par transformado que se muestra en la Fig. 2.2

02-Cap02.pdf

Documents

Transcript of 02-Cap02.pdf