ДИАГОНАЛЬНАЯ

МАТРИЦА ОПЕРАТОРА

Лекция по дисциплине

«Линейная алгебра

и аналитическая геометрия»

поток гр. ПМ(б), ПО(б)

Определение 1. Линейный оператор называется оператором

простой структуры, если ∃ базис, состоящий из собственных

векторов этого оператора.

Определение 2. Оператор называется диагонализируемым,

если ∃ базис, в котором его матрица диагональная.

Теорема 1. Линейный оператор f

диагонализируем оператор f - оператор

простой структуры.

Определение 2. Квадратная матрица А

называется диагонализируемой в ℝ (ℂ), если

∃ 𝑇: det 𝑇 ≠ 0 такая, что матрица 𝑇−1𝐴𝑇 -

диагональная.

где 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛 - характеристические числа

матрицы А

Т – матрица перехода, состоящая из

линейно-независимых собственных векторов

оператора f соответственно с собственными

числами 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛, т. е. собственные

векторы матрицы А

Теорема 3. Пусть собственные числа 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛

матрицы А порядка n, кратности к-ых соотв-но равны

попарно различны. Если

где 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑠 - ранги матриц

,

то матрица А приводится к диагональному виду.

Следствие. Если все собственные числа матрицы попарно

различны, то матрица приводится к диагональному

виду.

Пример. Найти собственные векторы линейного оператора f,

заданного в некотором базисе матрицей

Характеристическое уравнение оператора

корни этого уравнения: 𝜆1 = 𝜆2 = 9, 𝜆3 = −9.

Все корни – собственные числа.

Найдем собственный вектор, отвечающий 𝑘1 = 9

как решение ОСЛУ

Собственный корень

Аналогично собственный вектор, отвечающий

В=9 0 00 9 00 0 −9

.

Таким образом, матрица А приводится к диагональному виду,

например

Найдем матрицу T, удовлетворяющую условию

𝑇−1𝐴𝑇 = 𝐵

𝑇 =0 1 2

−2 −2 11 0 2

.

I. Чему равно максимальное число линейно независимых

собственных векторов линейного оператора, заданного в

некотором базисе матрицей А, если

а) 𝑨 =𝟏 −𝟏𝟏 𝟑

; б) 𝑨 =𝟐 𝟎𝟎 −𝟑

;

в) 𝑨 =𝟓 𝟏 𝟎𝟎 𝟓 𝟏𝟎 𝟎 𝟓

; г) 𝑨 =

−𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 −𝟏

𝟎 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎 𝟑

;

д) 𝑨 =𝟏 𝟎 𝟎

−𝟏 𝟏 𝟐𝟑 𝟎 𝟏

; е)𝑨 =

𝟑 𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟑 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 −𝟓 𝟏𝟎 𝟎 𝟎 −𝟓

II. Выяснить, приводится ли в вещественном пространстве

матрица к диагональному виду ( в случае приводимости записать

диагональный вид матрицы с точностью до расположения

диагональных элементов)

а) 𝑨 =𝟏 𝟑𝟏 𝟏

; б) 𝑨 =𝟑 𝟐

𝟏𝟎 𝟐; в) 𝑨 =

𝟐 𝟓𝟎 𝟐

;

г) 𝑨 =𝟏 −𝟏 −𝟏𝟏 −𝟏 −𝟏𝟏 −𝟏 −𝟏

; д) 𝑨 =𝟑 𝟓 𝟏𝟎 𝟑 𝟓𝟎 𝟎 𝟑

;

е) 𝑨 =𝟎 𝟏 −𝟏𝟏 𝟎 −𝟏𝟐 −𝟏 −𝟏

; ж) 𝑨 =𝟏 −𝟑 𝟑

−𝟐 −𝟔 𝟏𝟑−𝟏 −𝟒 𝟖

;

з) А =

𝟐 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟑 𝟎 𝟎 𝟐

; и) А =

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟏 𝟏 −𝟏 −𝟏𝟏 −𝟏 𝟏 −𝟏𝟏 −𝟏 −𝟏 𝟏

III. В некотором базисе е1, е2, …, еn линейный оператор f задан

матрицей А. В вещественном линейном пространстве найти базис,

в котором матрица оператора f имеет диагональный вид, если:

а)𝑨 =−𝟏 𝟒𝟏 −𝟏

; б) 𝑨 =𝟎 𝟐𝟑 𝟏

; в)𝑨 =𝟐 𝟎 𝟐𝟎 𝟒 𝟎𝟐 𝟎 𝟐

;

г)𝑨 =𝟐 𝟒 𝟔𝟒 𝟐 𝟔

−𝟒 −𝟒 −𝟖; д) 𝑨 =

𝟕 𝟎 𝟎𝟏𝟎 −𝟏𝟗 𝟏𝟎𝟏𝟐 −𝟐𝟒 𝟏𝟑

;

е) 𝑨 =𝟓 𝟔 𝟑

−𝟏 𝟎 𝟏𝟏 𝟐 −𝟏

; ж) А =

−𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟏 −𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 −𝟏 𝟏𝟎 𝟎 𝟏 −𝟏

;

з) А =

−𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟏 − 𝟏 −𝟏 −𝟏𝟏 −𝟏 −𝟏 −𝟏𝟏 −𝟏 −𝟏 −𝟏

IV. Найти матрицу Т, диагонализирующую данную матрицу А, и

записать соответствующую диагональную матрицу, если:

а) 𝑨 =𝟏 𝟒𝟒 𝟏

; б) 𝑨 =𝟔 𝟐𝟐 𝟑

; в) 𝑨 =𝟒 −𝟐 𝟎

−𝟐 𝟑 −𝟐𝟎 −𝟐 𝟐

;

г) 𝑨 =−𝟗 𝟓𝟒 𝟑𝟔𝟎 𝟎 𝟎

−𝟑 𝟏𝟖 𝟏𝟐; д) 𝑨 =

−𝟏 −𝟐 −𝟑−𝟐 −𝟏 −𝟑𝟐 𝟐 𝟒

;

е) 𝑨 =𝟓 −𝟔 𝟐𝟔 −𝟕 𝟐𝟔 −𝟔 𝟏

; ж) А =

𝟐 𝟎 −𝟑 −𝟑 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 −𝟏 −𝟑𝟎 𝟎 𝟐 𝟒