מאמר מאת: ג. פייגנבאום , כ.ה.פאפאדימיטריו ,ס.שנקר

מאמר מאת:מאמר מאת:ג. פייגנבאום , כ.ה.פאפאדימיטריו ,ג. פייגנבאום , כ.ה.פאפאדימיטריו ,

ס.שנקרס.שנקר

Sharing the Cost of Multicast Sharing the Cost of Multicast TransmissionsTransmissions

מרצים:מרצים:עודד אלהרר , גור הילדסהייםעודד אלהרר , גור הילדסהיים

Sharing the cost of Multicast Transmissions 2

נושאים

.multicastingמהי בעיית ה•

מטרות המאמר ומוסכמות.•

מכניזם שיתוף עלויות.•

מודל הרשת – פורמלי. •

המכניזם – תכונות.•


נושאים )המשך(

מכניזמים: שייפלי והמחיר השולי•המטרה – עלות הפרוטוקול•מכניזם ראשון: מחיר שולי•אלגוריתם המחיר השולי• המפיק רווחה multicastעץ •

מקסימאלית.


נושאים )המשך(

מכניזם שייפלי•

אלגוריתם שייפלי•

מסקנות ועבודות עתידיות.•


Multicastingבעיית הכיום, השימוש ברשת הוא למטרות שידורי •

unicast.שידורים אלו דורשים שליחת חבילות מידע •

ספציפיות לכל לקוח.כל תחנות הרדיו באינטרנט פועלות בדרך •

שידור זו.יש צורך לצמצם כמות שידורים זו.•


)המשך(Multicastingבעיית ה

.Broadcastפתרון השימוש ב •אינו פרקטי ובטח לא רווחי!•:multicastפתרון ה • כל חבילה תועתק, לפי הצורך, •

בנתבים. בונים עץ מכוון ברשת – השורש הוא •

המקור, עלים וצמתים – לקוחות.


Unicating vs. Multicasting


• The network is a graph.• Nodes are Autonomous Systems• Edges are physical connections

between ASs.

• Goal: share costs between users.

מוסכמות - מודל הרשת


מוסכמות )המשך(• Each AS has users• Cost of service for user i:• When• Participation in multicast:• User receives multicast: • Utility per user

ix0ix

i1i

iu


מוסכמות )המשך(

• Personal welfare for user i: • Define mechanism by

• Users must inform network of their utility.

i i i iw u x ( ) ( ), ( )CSM u x u u

1 2, ,..., nu u u u


מוסכמות )המשך(

• Users do not need to cooperate with network authorities or amongst themselves.

• Users are usually selfish.• Conclusion: users report the

value to maximize iw


מטרה

• Finding a strategyproof (truthful) mechanism.

• The user maximizes his welfare by revealing his true utility value.

• Formally, this means

|

,

ii i i

i

w u w u v

i v


מה בהמשך?

.מכניזם שיתוף עלויותנגדיר •נגדיר דרישות מהמכניזם על מנת שיהיה סביר.•בהרצאה זו נעסוק בשני מכניזמים:•

.(SH) והמכניזם של שייפלי (MC)מחיר שולי מכניזמים אלו מקיימים את הדרישות העיקריות •

ואת דרישות הסיבוכיות.


מכניזם שיתוף עלויותהמכניזם לשיתוף עלויות הוא בעצם •

אמצעי לחישוב של.iלכל משתמש מספק ערכי•מצד אחד, נדרש חישוב מבוזר יעיל.•מהצד השני, נדרשת כמות הודעות קטנה.•

דבר זה קובע עד כמה סביר האלגוריתם(feasible).

, ( )x u u ,i iu x u


מודל הרשת – פורמלי.

• We define:– User Population P.– Node Set N.– Set of bidirectional Links L.– User i resides in AS )node( N


מודל הרשת )המשך(

• Single source at sending some particular content.

• Given Receiver set

• Construct Multicast Treerooted at .

s N

R P

T R Ls


מודל הרשת )המשך(

נניח לשם נוחות כי קיים עץ גלובלי•(universal tree( T(P) .ששורשו במקור

נראה בהמשך שללא ההנחה החישוב •יותר מסובך.

תת-עץ מינימאלי R: T(R)לכל תת קבוצה • שנדרש להגיע לחברי UTשל ה

תת-הקבוצה מהמקור.


מודל הרשת )המשך(S

T(P)



T(P)



T(R)


מודל הרשת )המשך(• Defines for each user i single T(i).• Thus • Simple implementation, stable.• Path from source to user i

independent of other users presence.

• Tree may not be optimal )Steiner(.

i R

T R T i


העלות והרווחה

• Each link l has cost c(l)≥0 .• Cost is known to nodes at links ends.• Tree cost for T(R) is c(T(R)) .• Overall Welfare = Net worth is

,R R ii R

l T R

NW R u c T R u u

c T R c l


העלות והרווחה

חשוב לשים לב שהרווחה הכוללת מהשידור • תלויה בחלוקת אינה סכום הרווחות ואינה

העלויות.הרווחה לכן – סכום תועלות משתמשים •

פחות עלות כוללת.התשלום לכן, אינו משפיע בכלל על הרווחה •

הכללית!


העלות

• Since the cost function satisfies:

1. Nondecreasing

2. Submodular

i R

T R T i

c T R i c T R

1 2 1 2 1 2

1 2, ,

c T R c T R c T R R c T R R

R R R P


מכניזם - תכונות

כאמור, יוגדר לפי•כפונקציה של התועלת הכללית.

יוגדר כרשימת הלקוחות לכן•(receiver set)

ונקבע את הרווחה •

( ), ( )x u u

| ( ) 1iR u i P u

W u NW R u


מכניזם - תכונות• Requirements:• Strategyproofness:

• No Positive Transfers )NPT(:

• Voluntary Participation )VP(:

• Consumer Sovereignty )CS(:

, , : |ii i i iu i v w u w u v

0ix u

0iw u

: | 1iiu u v


מכניזם - תכונות• Two more requirements to prevent

trivial undesirable results:• Budget balance:

• Efficiency:R that maximizes NW is called Efficient Set

ii P

x u c T R u

:R P NW R u NW R


הערות

תוצאה ידועה בתורת המשחקים: שתי •הדרישות האחרונות אינן מתקיימות יחדיו.

אין מכניזם חסין אסטרטגיה שהנו מאוזן •תקציב וגם יעיל.

יש מכניזם ידוע שהנו גם יעיל וגם שמקיים •.SP ושהנו VP ו NPTאת


מכניזם: עלות שולית

סט יעיל מקסימאלי.יהיהגדרה

מוגדר היטב כיוון שהמחיר הינו תת מודולרי – איחוד סטים יעילים הוא גם

סט יעיל.

נקבע:

*R u

* *1, | 0,i ju i R u u j R u


מכניזם: עלות שולית

:נגדיר פונקצית העלות•

.Budget Balancedלא •

כל שחקן משלם על ההפרש בין התועלת •שלו לבין התרומה השולית שלו לרווחה

הכללית.

*

| 0ii i ix u u W u W u

W u NW R u


מטרה –עלות השידור בעומס

• Cost sharing must not “burden” network.

• “burden” = trans. Over L by ASs.• One round for node α

message received from all neighbors in T(P) local computationmessage sent to all neighbors in T(P)


מטרה –עלות השידור בעומסנסמן•

ונדרוש•

וחסימה על גודל הודעה יחידה. •

i i Pl L

n T P

p P

m c l u

, 1l Lmessages O n messages O


תורת המשחקיםנושא המאמר מקשר בין תורת המשחקים, •

מדעי המחשב ורשתות תקשורת. ולכן נדרושSP פחות חזק מ Nashש"מ •

.SPפתרון שהוא מתייחסים למניעים ועומס הרשת בו זמנית.•, חישוב מרוכז ידרושמבוזרהחישוב ברשת •

פחות הודעות אולם אינו סביר.


אלגוריתם למימוש מכניזם עלות שולית

2: מכניזם עלות שולית דורש 1משפט •הודעות בדיוק לכל חיבור.

נראה אלגוריתם המחשב את חלוקת •העלויות על ידי ביצוע של מעברים:

bottom up ו top down.האלגוריתם אופטימאלי ביחס למספר •

ההודעות.


אלגוריתם למימוש מכניזם עלות שולית )המשך(

• Proof:• Let’s view the algorithm:

• Notations:

c

4,1

S

2 3

4 2

4 3 3

22c

u

p

Ch



• More notations:

| 0Ch W u

W u u W u c

4,1

S

2 3

4 2

4 3 3

22

min ,iy u W root



• For each node α: )bottom up(• After receiving messagefrom

all node’s children calculate:

• If welfare is negative

Leave tree and send 0

Else send welfare.

A

Ch

W u A c

4,1

S

2 3

4 2

4 3 3

22

1 1

2

0

1



• Algorithm: top down:

• Root sends welfare down

• Foreach node except root:

if 0, OR <0 Then{i i res A

4,1

S

2 3

4 2

4 3 3

22

1 1

2

0

1 0, 0, i ix i res 1 to , }send Ch



( )

else{

min( , )

( ),

if , 0

else

,send to }

p

i i

i i

A A W

i res

u A x

x u A

Ch A

4,1

S

2 3

4 2

4 3 3

22

1 1

2

0

1

3 3

1

2 2

X=0

X=3X=3,0

X=2



αהאלגוריתם פועל כך שלכל •

סט iאם הרווח קטן מערך זה, ללא משתמש •.0המשתמשים יהיה זהה ולכן ישלם המשתמש

אם הרווח גדול יותר נפסיד ערך רווחה זה ולכן •ישלם

המשתמש את ההפרש.

min ,iy u W root



ראינו אלגוריתם שבשליחת שתי סיכום: •הודעות לחיבור מחשב חלוקת עלויות.

בעץ תיעשה ביחד עם העברת•.העברת

. 2ערכים שגויים יתוקנו במעבר •בהמשך נראה השוואה למכניזם שייפלי.•

iy u

i u


מכניזם: שייפלי

• Without the efficiency requirement.• Budget Balanced.• Many mechanisms.• SP demands that:

Mechanism be defined by function f


מכניזם: שייפלי מחיר חיוביהפונקציה•ו-• וככל שיש יותר משתתפיםBBכלומר, •

התשלום למשתתף יורד. את fנחשב בעזרת •

0: 2 PPf

,i i iif R j f R f R c T R

, ( )x u u


מכניזם: שייפלי• Algorithm:• Set k = 1 and

• foreach k≥2 set

1 1( ) 1,i u R u P

1| 1

1

0

k ki

k ki i

ki ik

i ki i

R u i

x u f R u

u x u

u x u


מכניזם: שייפלי• But: • Algorithm converges in finite number of

iterations.• We note: as the receiver

set.• No welfare maximization )efficiency(• Min

welfare loss produced by Shapley.

1k kR u R u

kR u R u

*maxu NW R u NW R u


Welfare maximizing multicast tree

• Until now we assumed to have a universal tree T)P( for each source.

• For each R, T)R( was a sub-tree of T)P(.

• Clearly, this tree is not necessarily the lowest cost tree, and not necessarily the tree which maximizes the welfare.

• So, why choosing T)P( in advance?


Welfare maximizing multicast tree (cont.)

• Let’s assume that we are given a graph and not a tree.

• The transmission tree is different for every R.

• Finding R that maximizes the welfare is an NP complete problem.

• Proof: reduction to SAT


Shapley Value Mechanism

• We consider a mechanism that is strategyproof, NPT, VP, CS.

• As we have seen, we can also demand the mechanism to be budget-balanced or efficient but not both.

• Shapley Value mechanism )SH( is strategyproof, NPT, VP, CS and budget-balanced.


Shapley Value Mechanism (cont.)

• Moreover: among all budget-balanced strategyproof mechanisms SH is the one which minimizes the worst-case welfare loss.

• Hence, if budget-balanced is our main concern, SH is a natural choice.


Shapley Value Mechanism (cont.)

• SH basic: divide link cost equally between the users which use this link.

• The mechanism acts in iterations:– Initialize:

• all users are assumed to receive the transmission )CS(.

– Step )repeated(:• Calculate the cost share of each user.• Exclude users with negative welfare )VP(.


Example (cont.)s

C=2

C=3

C=10

C=3

C=3

u=4u=10

u=12

u=5.1

u=5

Initialize: All nodes are assumed to receive the transmission


Example (cont.)s

C=2

C=3

C=10

C=3

C=3

u=4u=10

u=12

u=5.1

u=5

Step: Calculate the cost shares and exclude users with negative welfare

21x c

X=5

X=2

X=5 X=3

X=6


Example (cont.)s

C=2

C=3

C=10

C=3

C=3

u=4u=10

u=12

u=5.1

u=5


X=0

X=2.5

X=5.5 X=4

X=7


Example (cont.)s

C=2

C=3

C=10

C=3

C=3

u=4u=10

u=12

u=5.1

u=5


X=0

X=3.33

X=0 X=4.83

X=7.83


The brute force algorithm

• A distributed algorithm for implementing SH.

i

i i

Initialize: the source performs a PI to

wake up all nodes and users.

Each user i determines his u and

update x =0, =1.


The brute force algorithm (cont.)

• The algorithm acts in iterations.

• Each iteration consists of a bottom up traversal followed by a top down one.



i

The bottom up traversal:

1. Each user i sends to his node

2. Each node remembers which users

and how many in the subtree under it

want the transmission (P ) and sends

the data to its father.



The top down traversal:

1.Upon receiveing massages from all its children,

the source sends x=0 to its children.

2. Let l be the link from the node to his father.

Let c(l) be the link cost.

Each node alfa, upon receiving x, does:

c(l) x x+

P



3. Node sends x to its users and children

nodes.

4. Each user updates x and , and begins

the bottom up traversal again.

Termination: when the group of users

doesn't change after an iteration.



• Correctness:– VP and CS – every user decides whether to

receive the transmission or not.

– NPT – holds because for each l, c)l( ≥ 0.

– BB – for each l, c)l( is divided )equally( between the users downstream.

– SP – x does not depend on u, so why cheat?



• Complexity:– In each iteration, at most 2n

massages are sent )one up and one down from each node, massages to/from users are not considered(.

– At most P iterations.– O)nP( overall.


Conjecture

• The brute-force algorithm is optimal )massages complexity-wise(.

• There is no solid proof in the paper.


Conclusions

• SH is less feasible than MC.• But, if the we change the model so

central calculations are permitted:– The nodes can send u and c to the source,

and it can perform the calculation centrally.– The massages complexity then is the same

as in MC.


Future work

• NPT does not apply to all real-world businesses. Would it change the results if we drop this requirement?

• Are all BB mechanisms yield a quadratic massage complexity?


Future work

• The principle of profit maximization was not considered at all in the model requirements.

• However, it’s an open problem if there is a mechanism that is strategyproof and maximizes the profit.

מאמר מאת: ג. פייגנבאום , כ.ה.פאפאדימיטריו ,ס.שנקר

Documents

Transcript of מאמר מאת: ג. פייגנבאום , כ.ה.פאפאדימיטריו ,ס.שנקר