VU EF V.Karpuškienė

VAR modeliai Vector Autoregresive Models

2012-12-05

Literatūra:•Asteriou D. Applied Econometrics A Moderm approach using EWievs and Microfit. Palgrave Macmilan, 2008 (15. Vector Autoregressive (VAR) Models and Causality test) psl. 298-307

•Gujaraty D, 22.9 skyrelis (Vector Autoregression)

•G.S Madala, Kajal Lahiri. Introduction to Econometrics Fourth edition, Willey, 2009,Chapter 14 “Vector Autoregressins, Unit Roots and Cointegration ”. 551-579psl.

VU EF V.Karpuškienė

VAR modeliai

• Bendra VAR modelio išraiška• VAR modelio sudarymo etapai• Priežatingumo analizė• Reakcija į impulsus• VAR modelio sudarymo pavyzdys

VU EF V.Karpuškienė

1.Bendra VAR modelio išraiškaVAR(p)

0;)0(~;1

10

pWNeeZAAZettit

p

it

Zt - endogeninių kintamųjų n matavimų (dimensijų);

A 0 konstantų n matavimų vektorius

e t –paklaidų vektorius. Paklaidos yra baltasis triukšmas (WN)

Ai, n*n matavimų koeficientų prie kintamųjų matrica

p – autoregresijos eilė.

p-eilės vektorinė autoregresija

VU EF V.Karpuškienė

1.Bendra VAR modelio išraiškaPaprastesnis modelis

Turim dvi laiko eilutes Yt ir Xt (t=1n) Abu reiškiniai yra tarpusavio sąveikoje ir priklauso nuo dabartinių

bei ankstesnių periodų reikšmių

yttttt XYXY 1121111210

xttttt XYYX 1221212120

VU EF V.Karpuškienė

1.Bendra VAR modelio išraiškaPaprastesnis modelis

Turim dvi laiko eilutes Yt ir Xt (t=1n) Abu reiškiniai yra tarpusavio sąveikoje ir priklauso nuo dabartinių

bei ankstesnių periodų reikšmių

yttttt XYXY 1121111210

xttttt XYYX 1221212120

VU EF V.Karpuškienė

1.Bendra VAR modelio išraiška

1 β12 Yt β10 γ11 γ12 Yt-1 εyt

β21 1 Xt β20 γ21 γ22 Xt-1 εXt** = + +

ZB Γ1Z εt

ttt eZAAZ 110

Γ0Baltas triukšmas

VU EF V.Karpuškienė

1.Bendra VAR modelio išraiška

ttt eZAAZ 110

tttt eXaYaaY 111211110

tt Be 1

tttt eXaYaaX 212212120 Kur

)1/()( 2112211 xtytte

)1/()( 2112122 ytxtte

VU EF V.Karpuškienė

1.VAR lengvumai ir sunkumai – Lengvumai/privalumai:

• Paprastumas • Parametrų įverčiams apskaičiuoti galima taikyti

MKM– Sunkumai/problemos

• Laisvės laipsnių problema• Lygčių išdėstymas VAR modelyje, gali įtakoti

parametrų įverčius• Koeficientai neturi ekonominės interpretacijos.

Interpretavimui naudojamės atsako į impulsus analize

VU EF V.Karpuškienė

2. VAR modelio sudarymo etapai

• Modelio identifikavimas – kintamųjų nustatymas bei duomenų surinkimas

• Kintamųjų stacionarumo užtikrinimas• VAR vėlavimų eilės p parinkimas• Modelio parametrų įvertinimas• Modelio adekvatumo įvertinimas

VU EF V.Karpuškienė

2.VAR modelio stacionarumo sąvoka

• Vektorinė autoregresija yra stacionari tuomet, kai determinanto: šaknys moduliu yra

didesnės už vienetą Pvz. VAR(1)

01

p

iiiA

1i

VU EF V.Karpuškienė

Kintamųjų stacionarumo užtikrinimas

• Kintamųjų stacionarumo tikrinimas– Grafinė analizė– Korelogramos – ADF testas

• Stacionarumo matricos šaknų tikrinimas

VU EF V.Karpuškienė

Kintamųjų stacionarumo užtikrinimas

• Grafinė analizė

0

5

10

15

20

25

94 96 98 00 02 04 06 08 10

EMIGR1_VILN

8

9

10

11

12

13

14

94 96 98 00 02 04 06 08 10

GIMST1_VILN

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

94 96 98 00 02 04 06 08 10

IST1_VILN

5

6

7

8

9

94 96 98 00 02 04 06 08 10

SANT1_VILN

VU EF V.Karpuškienė

Stacionarumo patikrinimas (EVIEWS)

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1 0 1

Inverse Roots of AR Characteristic Polynomial Atvirkstinės šaknys turi būti mažesnės

už vienetą

Išvada: VAR nėra stacionari, nes viena

atvirkštinė šaknis yra didesnė už 1

VU EF V.Karpuškienė

Stacionarumo patikrinimas

• Jeigu vektorinės autoregresijos kintamieji nėra stacionarūs, tuomet jie logaritmuojami arba integruojami

VU EF V.Karpuškienė

VAR modelio p eilės parinkimas • Alternatyvos ir pasekmės:

– Parinkta adekvati p vėlavimų eilė modelio įverčiai nepaslinkti ir efektyvūs

– Parinkta per didelė p vėlavimų eilė dalis kintamųjų statistiškai nereikšningi modelio įverčiai nėra efektyvūs dėl mažesnio laisvės laipsnių skaičiaus

– Parinkta per maža p vėlavimų eilė dalis veiksnių poveikio atsiduria paklaidose kai kurie įverčiai gali būti paslinkti

VU EF V.Karpuškienė

VAR modelio p eilės parinkimas

• Sudaromi įvairaus vėlavimo VAR modeliai• Palyginami jų determinuotumo

rodikliai(AIC, SBC, HQ)

VU EF V.Karpuškienė

VAR modelio sudarymo etapai

• Modelio koeficientų įvertinimas – VAR modelio kiekvienos lygties koeficientai vertinami taikant mažiausių kvadratų metodu.

VU EF V.Karpuškienė

VAR modelio sudarymo etapai

• Modelio adekvatumo įvertinimas.Modelis yra adekvatus, jeigu

• Modelio paklaidos yra baltasis triukšmas (Jack Berra testas)

• Paklaidos neautokoreliuotos (Korelogramos ir Ljung-Box testas)

• Paklaidos homoskedastiškos (White testas)

VU EF V.Karpuškienė

Priežastingumo analizė

Tarkim, turim dvi laiko eilutes Yt ir Xt (t=1n)

• Priežastingumo analizės esmė –atsakyti ar:– Yt daro įtaką Xt

– Xt daro įtaką Yt

– Tarp Xt ir Yt yra abipusė sąveika– Tarp Xt ir Yt nėra jokios sąveikos

VU EF V.Karpuškienė

Priežastingumo analizė

• Granger priežastingumo testas

VU EF V.Karpuškienė

Granger priežastingumo testastjti

m

jiti

k

it eYXY 110

tjtj

m

jiti

n

it eYXX 220

Galimi atvejai

Atvejis 1: Pirmoje lygtyje vėluojančių kintamųjų Xt-i grupė yra statistiškai reikšminga (t.y koeficientai nelygūs 0), o

antroje lygtyje esanti vėluojančių Yt-j kintamųjų grupė yra statistiškai nereikšminga

Tuomet darome išvadą, kad Xt daro įtaką Yt

(1)

(2)

Atvejis 2: Antroje lygtyje vėluojančių kintamųjų Yt-i grupė yra statistiškai reikšminga (t.y koeficientai nelygūs 0), o

pirmoje lygtyje esanti vėluojančių kintamųjų Xt-j grupė yra statistiškai nereikšminga

Tuomet darome išvadą, kad Ytdaro įtaką Xt

VU EF V.Karpuškienė

Granger priežastingumo testastjti

m

jiti

k

it eYXY 110

tjtj

m

jiti

n

it eYXX 220

Atvejis 4: Pirmoje ir antroje lygtyse vėluojančios Xt-i ir Yt-j grupės yra statistiškai nereikšmingos (t.y koeficientai

tikėtina lygūs 0),

Tuomet darome išvadą, kad Xt ir Yt tarpusavyje nepriklausomi

(1)

(2)

Galimi atvejai

Atvejis 3: Pirmoje ir antroje lygtyse vėluojančios Xt-i ir Yt-j grupės yra statistiškai reikšmingos (t.y koeficientai

nelygūs 0),

Tuomet darome išvadą, kad Xt ir Yt sieja tarpusavio priklausomybė

VU EF V.Karpuškienė

Granger priežastingumo testasTikriname pirmąjį atvejį

1 žingsnis• Apskaičiuojame regresijos lygtį:• Surandame RSSR

tjti

m

jt eYY 110

2 žingsnis• Apskaičiuojame regresijos lygtį:

• Surandame RSSu

tjti

m

jiti

k

it eYXY 110

VU EF V.Karpuškienė

Granger priežastingumo testas3 žingsnis• Formuluojame hipotezes:

4 žingsnis• Apskaičiuojame Fapskaič. statistiką:

H0: ∑ β=0 , t.y., Xt nedaro įtakos Yt HA: ∑ β≠0 , t.y., Xt daro įtaką Yt

)1(//)(

.

mknRSSkRSSRSSF

u

URapskaič

5 žingsnis

• Jeigu Fapskaič. >Fk,n-(k+m+1) atmetame H0 ir darome išvadą su pasirinktu reikšmingumo lygmeniu, kad Xt daro

įtaką Yt,

• Jeigu Fapskaič. <Fk,n-(k+m+1) negalime atmesti H0 ir darome išvadą su pasirinktu reikšmingumo lygmeniu, kad Xt

nedaro įtakos Yt,

VU EF V.Karpuškienė

Granger priežastingumo testas

Analogiškai tikriname 2, 3 ir 4 atvejus

VU EF V.Karpuškienė

Pastabos apie Granger priežasringumą

• Tai statistinis priežastingumas susietas su pasirinktais veiksniais, t.y įtraukus kitus veiksnius gali pasikeisti

• Granger testas jautrus duomenų dažnumui ir sezoniškumui

• Granger testas jautrus įtrauktų periodų skaičiui

VU EF V.Karpuškienė

Reakcija į impulsus

tttt eXaYaaY 111211110

tt Be 1 )1/()( 2112121 xtytte

tttt eXaYaaX 212212120

)1/()( 2112212 ytxtte

111211101 tttt eXaYaaY

1,22221201 tttt eXaYaaX

2se

Yt

Yt

Yt

Yt+1

YtXt+1

VU EF V.Karpuškienė

Reakcija į impulsusCholeski išskaidymas

tttt eXaYaaY 111211110

tt Be 1)1/()( 2112121 xtytte

tttt eXaYaaX 212212120

)1/()( 2112212 ytxtte

111211101 tttt eXaYaaY

1,22221201 tttt eXaYaaX

2se

Xt

YtYt+1

YtXt+1

et

e1t

e2t

Yt e1t

e2t

Xt

Xt

VU EF V.Karpuškienė

VAR modelio pavyzdysPriklausomybė tarp nedarbo lygio ir infliacijos

4

6

8

10

12

14

16

18

20

90 95 100 105 110

HICP_M

UN

R_L

T

-4

0

4

8

12

16

20

98 99 00 01 02 03 04 05 06

UNR_LT HICP_LT

VU EF V.Karpuškienė

Stacionarumo užtikrinimasGrafinė analizė

-2

-1

0

1

2

98 99 00 01 02 03 04 05 06

DHICP

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06

DUNR

VU EF V.Karpuškienė

Mažiausios dispersijos testas

..

Integruotumo eilė 0 1 2 3HICP_LT 1.974254 0.595277 0.843492 1.446177UNR_LT 3.640464 0.562704 0.581936 0.917874

VU EF V.Karpuškienė

VAR vėlavimų eilės p parinkimasVAR vėlavimų atrinkimo kriterijaiĮtraukti endogeniniai kintamieji: D_HICP_LT UNR_LT Egzogeninis kintamasis: C Imties dydis: 1998M01 2007M05

Lag LogL LR FPE AIC SC HQ

0 -338.0219 NA   2.525943  6.602367  6.653527  6.623089

1 -136.7732  390.7742  0.054835  2.772295  2.925775  2.834460

2 -126.5922  19.37361  0.048639  2.652275   2.908074*  2.755883

3 -120.4026  11.53791  0.046627  2.609759  2.967877  2.754809

4 -112.7063   14.04764*   0.043418*   2.537986*  2.998424   2.724479*

5 -111.2914  2.527578  0.045687  2.588182  3.150939  2.816118

6 -107.8129  6.078956  0.046202  2.598308  3.263385  2.867687

7 -103.5924  7.211692  0.046072  2.594027  3.361423  2.904849

8 -103.0384  0.925033  0.049355  2.660940  3.530657  3.013205

VU EF V.Karpuškienė

VAR modelio parametrų skaičiavimas

1 2 3 4HICP = 0.692 - 0.018HICP - 0.062*HICP - 0.061*HICP - 0.083*HICP (0.17168) (0.10017) (0.09669) (0.09649) (0.09851)

t t t t t

1 2 3 4 - 0.084*UNR + 0.26*UNR - 0.111*UNR - 0.106*UNR (0.08502) (0.14992) (0.14934) (0.08735)

t t t t

2 0.092R

2 0.092R

1 2 3 4UNR = 0.024 + 0.230HICP + 0.044*HICP - 0.204*HICP - -0.254*HICP (0.17168) (0.10017) (0.09669) (0.09649) (0.09851)

t t t t t

1 2 3 4 +1.404*UNR - 0.243*UNR - 0.411*UNR + 0.244*UNR (0.08502) (0.14992) (0.14934) (0.08735)

t t t t

2 0.984R

VU EF V.Karpuškienė

Modelio paklaidų pasiskirstymo pagal normalujį skirstinį tikrinimas

VAR Residual Normality Tests Cholesky (Lutkepohl) H0: paklaidų normalumas Imties dydis: 1998M01 2007M05

Component Jarque-Bera df Prob.

1 1.425498 2 0.4903

2 1.925259 2 0.3819

Joint 3.350757 4 0.5009

VU EF V.Karpuškienė

Modelio taikymas ekonominei analizei

1. Granger priežastingumo įvertinimas2. Reakcijos į impulsus analizė3. Prognozavimas VAR modeliu

VU EF V.Karpuškienė

Granger priežastingumo testas Granger priežastingumo testas VAR Granger Causality/Block Exogeneity Wald Tests Date: 06/10/07 Time: 9:23 Sample: 1998M01 2007M05 Included observations: 107

Dependent variable: D_HICP_M Excluded Chi-sq df Prob. UNR_LT 17.70245 4 0.0014 All 17.70245 4 0.0014

Dependent variable: UNR_LT Excluded Chi-sq df Prob. D_HICP_M 15.52862 4 0.0037 All 15.52862 4 0.0037

Išvados

Atmetame nulinę hipotezę, kad

nedarbo UNR_LT kintamųjų grupė

nedaro įtakos infliacijai (t.y nedarbas

yra infliacijos Granger priežastis)

Taip pat atmetame hipotezę, kad

infliacijos kintamųjų D_HICP_LT grupė

nedaro įtakos nedarbui (t.y., infliacijos

pokyčiai) yra nedarbo Granger

priežastis

VU EF V.Karpuškienė

Reakcijos į impulsus analizė

-1.2

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Response of UNR to UNR

-1.2

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Response of UNR to HICP

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Response of HICP to UNR

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Response of HICP to HICP

Response to Nonfactorized One Unit Innovations ± 2 S.E.

VU EF V.Karpuškienė

Reakcija į impulsus

• Reakcijos į impulsus analizė rodo, kad abiejų kintamųjų reakcija į sistemą atėjusį impulsą (po pirmojo laikotarpio) yra gana ženkli, autoregresinis jos poveikis abiejų kintamųjų atvejų yra nemenkas

VU EF V.Karpuškienė

Reakcijos į impulsus analizė• Pokyčiai nedarbo lygyje laikotarpiu t veikia

infliacijos reikšmes laikotarpiu t+1. Taipogi impulsas nedarbo lygio rodikliui, laikotarpiu t, išprovokuoja didesnį poveikį laikotarpiu t+1, t.y. reakcija yra stiprėjanti pirmus du laikotarpius, o vėliau poveikis silpnėja

• Infliacijos gi poveikis nedarbo lygio rodikliui yra vėluojantis.

VU EF V.Karpuškienė

Prognozavimas VAR modelio pagalba

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06

HICP (Baseline) Actuals

HICP

4

6

8

10

12

14

16

18

20

98 99 00 01 02 03 04 05 06

UNR (Baseline) Actuals

UNR