UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSUniversidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIALESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

SISTEMA DE PARTÍCULAS

Mg. Luis Alberto Bolarte Canals

2015 – I 1

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4.1 – Definición y clasificación de los sistemas de partículas.

• ¿Qué es un sistema de partículas?¿Qué es un sistema de partículas?

Modelo más complejo que el de la partícula. Considera los objetos como Modelo más complejo que el de la partícula. Considera los objetos como agregados agregados de partículas que interaccionande partículas que interaccionan..

Se usa cuando el modelo de partícula no es adecuado y Se usa cuando el modelo de partícula no es adecuado y considera las dimensiones considera las dimensiones del objetodel objeto en estudio. en estudio.

• Clasificación de los sistemas de partículas.Clasificación de los sistemas de partículas.

Discretos Discretos nº finito de partículasnº finito de partículas Continuos Continuos distribución continua de materiadistribución continua de materia

DeformablesDeformables RígidosRígidos

Cambia distancia No cambia Cambia distancia No cambia

Deformables RígidosDeformables Rígidos

Cambia forma No cambiaCambia forma No cambia

1m

2m

3m

4m

nm1r

2r

XY

Z

O

X

Y

Z

O

dm

r

4

5

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• Momento lineal de un sistema de partículasMomento lineal de un sistema de partículas

Para un Para un sistema de partículas discretosistema de partículas discreto se define el se define el momento lineal del sistema momento lineal del sistema comocomo

i iivmvmvmppp

221121

ComoComoM

vmv i iiCM

M

p

M

vmv i iiCM

CMvMp

• Para un Para un sistema de referenciasistema de referencia colocado en el colocado en el CMCM del sistema de partículas ( del sistema de partículas (sistema sistema CC) el CM está en ) el CM está en reposoreposo (su velocidad es nula). Por tanto en relación con el (su velocidad es nula). Por tanto en relación con el sistema Csistema C el el momento lineal del sistema es nulomomento lineal del sistema es nulo..

0i ipp

Para Para sistema Csistema C

Sistema CSistema C Sistema de referencia de momento nuloSistema de referencia de momento nulo

4.2 – Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas.

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• Fuerzas internas y fuerzas externasFuerzas internas y fuerzas externas

1m

2m

S

S’• Sistema SSistema S

21 , FF

Fuerzas externasFuerzas externas

2112 , ff

Fuerzas internasFuerzas internas

• Fuerza externa resultante Fuerza externa resultante que actúa sobre el que actúa sobre el sistema Ssistema S

i

iext FFFF

21

• Para el Para el sistema Ssistema S se puede demostrar que se puede demostrar que

dt

pdFext

ComoComo CMvMp

CMCM

ext aMdt

vdMF

• Si el Si el sistema Ssistema S se encuentra aislado se encuentra aislado

0

dt

pdFext ctevCM

El CM de un sistema de El CM de un sistema de partículas se mueve como si partículas se mueve como si fuera una partícula de masa fuera una partícula de masa igual a la masa total del igual a la masa total del sistema y estuviera sujeto a la sistema y estuviera sujeto a la fuerza externa resultante.fuerza externa resultante.

El CM de un sistema de partículas aislados se mueve El CM de un sistema de partículas aislados se mueve con velocidad constante en relación con cualquier con velocidad constante en relación con cualquier sistema de referencia inercial.sistema de referencia inercial.

2F

12f 21f

1F

4.2 – Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas.

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Trayectoria del CM de sistemas de partículas sometido a Trayectoria del CM de sistemas de partículas sometido a fuerzas externasfuerzas externas

Trayectoria del CM de un sistema Trayectoria del CM de un sistema de partículas aisladode partículas aislado

4.2 – Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas.

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4.3 – Momento angular de un sistema de partículas.

• Para un sistema de dos partículas el Para un sistema de dos partículas el momento angular del sistemamomento angular del sistema respecto de un respecto de un puntopunto O O se define como se define como

i

OOOO iLvmrvmrLLL

22211121

• Y el Y el momento de las fuerzas externasmomento de las fuerzas externas respecto de un punto respecto de un punto O O se define como se define como

i

extO

extO

extO

extO i

MFrFrMMM 221121

LXLY

LZ

O

1F

2F

21r

• Para el Para el sistema de partículas sistema de partículas se puede demostrar se puede demostrar queque

dt

LdM OextO

• Si Si no hay fuerzas externasno hay fuerzas externas, o la , o la suma de sus suma de sus momentosmomentos respecto al punto respecto al punto OO es es nulanula, entonces, entonces

0

dt

LdM OextO

cteLO

12f 21f

1r 2r

1m

2m

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4.4 – Momento angular interno y orbital.

• Se define el Se define el momento angular internomomento angular interno de un sistema de partículas como el momento de un sistema de partículas como el momento angular total calculado con respecto al angular total calculado con respecto al CMCM o o sistema Csistema C

i

CMCMCMCMint iLLLLL

21

orbL

CMr

LXLY

LZ

O

• Para el Para el sistema de partículas sistema de partículas se puede se puede demostrar quedemostrar que

orbintO LLL

• También se puede demostrar queTambién se puede demostrar que

dt

LdM intextCM

• Se define el Se define el momento angular orbitalmomento angular orbital de un sistema de partículas como el momento de un sistema de partículas como el momento angular del angular del CMCM calculado con respecto a calculado con respecto a OO o o sistema Lsistema L

CMCMorb vMrL

intL

CX

CY

CZ

CM

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Momentos angulares interno y orbital de algunos sistemas de partículasMomentos angulares interno y orbital de algunos sistemas de partículas

Una pelotaUna pelota La TierraLa Tierra Un electrón en un átomoUn electrón en un átomo

4.4 – Momento angular interno y orbital.

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4.11 – Energía cinética de un sistema de partículas.

• La La energía cinética de un sistema de partículasenergía cinética de un sistema de partículas (respecto un (respecto un SRISRI o o sistema Lsistema L) se define) se define

2332

12222

12112

1221 vmvmvmvmEc

iii

• Teniendo en cuenta que el trabajo total lo podemos separar en el trabajo de las Teniendo en cuenta que el trabajo total lo podemos separar en el trabajo de las fuerzas fuerzas externasexternas y las y las internasinternas, es posible expresar el trabajo total como, es posible expresar el trabajo total como

intWWW ext

• Con lo cual el Con lo cual el teorema del trabajo y la energía cinética para un sistema de partículasteorema del trabajo y la energía cinética para un sistema de partículas se se expresa comoexpresa como

EcWWext int

• Se define la Se define la energía cinética internaenergía cinética interna como la energía cinética referida a un sistema de como la energía cinética referida a un sistema de referencia situado en el referencia situado en el CMCM o o sistema Csistema C..

• La relación entre la energía cinética referida a un La relación entre la energía cinética referida a un sistema Csistema C y un y un sistema Lsistema L viene dada viene dada por:por:

221

CMintorbint MvEcEcEcEc

Un término para cada partículaUn término para cada partícula

Teorema de KoeningTeorema de Koening

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4.12 – Energía propia, energía interna y energía total de un sistema de partículas.

• Si las Si las fuerzas internasfuerzas internas que actúan en un sistema de partículas son que actúan en un sistema de partículas son conservativas conservativas entonces hay definida unaentonces hay definida una energía potencial interna energía potencial interna y y

intint EpW EcEpW intext intintext EpEcEpEcW

• Definiendo la Definiendo la energía propiaenergía propia como como

intEpEcU UWext

• Hay definido un término de Hay definido un término de energía potencial internaenergía potencial interna para cada par de partículas para cada par de partículas

Un término para cada par de partículasUn término para cada par de partículas 231312 EpEpEpEpEpij

ijint

• Si el sistema de partículas se encuentra Si el sistema de partículas se encuentra aisladoaislado o el o el trabajo de las fuerzas externas es trabajo de las fuerzas externas es nulonulo

0U

• Se define la Se define la energía internaenergía interna como como

intintint EpEcU

cteEpEcU int

• La La energía potencial internaenergía potencial interna depende de la depende de la posición relativa de las partículasposición relativa de las partículas y cambia y cambia según varía la posición relativa de las partículas durante el movimiento. Si las fuerzas según varía la posición relativa de las partículas durante el movimiento. Si las fuerzas son centrales la energía potencial interna son centrales la energía potencial interna sólo depende de la distancia que separasólo depende de la distancia que separa a a cada par de partículas.cada par de partículas.

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• Si las Si las fuerzas externasfuerzas externas que actúan sobre el sistema son que actúan sobre el sistema son conservativasconservativas entonces hay entonces hay definida una definida una energía potencial externaenergía potencial externa y y

extext EpW

Si las fuerzas internas son conservativasSi las fuerzas internas son conservativas

UEpext 0 extintext EpEpEcEpU cteEpEpEc extint

• Definiendo la Definiendo la energía totalenergía total como como

extint EpEpEcE Si todas las fuerzas Si todas las fuerzas son conservativasson conservativas

cteE

• Hay definido un término de Hay definido un término de energía potencial externaenergía potencial externa para cada partícula del sistema para cada partícula del sistema

Un término para cada partículaUn término para cada partícula 321 extextexti

extext EpEpEpEpEpi

4.12 – Energía propia, energía interna y energía total de un sistema de partículas.

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RETROALIMENTACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

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MUCHAS GRACIAS

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