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Baustatik II, Prof. Dr. E. Chatzi
Baustatik II - Kapitel II
Die Verformungsmethode - HerleitungBeispiele von unverschieblichen Systemen
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Baustatik II
Lernziele dieses Kapitels
Die Verformungsmethode
• Kinematische gegen statische Unbestimmtheit
• Herleitung: Die Gleichungen
• Begriffe von Stab- und Kreuz-Steifigkeiten
• Allgemeines „φ-Δ” Lösungsverfahren
• Das Drehwinkelverfahren
• Beispiele: Unverschiebliche Systeme
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Erinnerung: Statische vs Kinematische Unbestimmtheit(Kraft- vs. Verfomungsmethode)
Welche Methode wurden Sie wählen zur Berechnung folgender Strukturen?
a. Die Kraftmethodeb. Die Verformungsmethode
(axial) dehnstarreElemente
EA = ∞A
BC
D
Beispiel 1
(axial) dehnstarreElementeEA = ∞
A
B C
D
Beispiel 2
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Erinnerung: Statische vs Kinematische Unbestimmtheit(Kraft- vs. Verfomungsmethode)
Beispiel 1: Grad der kinematischen Unbestimmtheit im Rahmen der Verfomungsmethode
0xBδ =
0zBδ =
φB φC0zCδ =
(axial) dehnstarreElemente
EA = ∞
0 RV Ddof MbN bbk = − − −
#1 Ndof = Anzahl vor Freiheitsgraden (für rahmen Elemente 3 × #Knoten)
#2 bR = beschränkte DOFs wegen Reaktionen
#3 bD = beschränkte DOFs wegen dehnstarrer Stäben.
#4 = triviale DOFs wo M= 0 (nicht berücksichtigt)
0x z x z xA A A D D D Cδ δ ϕ δ δ ϕ δ= = = = = = =
0x z zB B Bδ δ δ= = =
34 3 27 0Vk = ⋅ − − − =⇒
A
B C
D
0Mb
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Erinnerung: Statische vs Kinematische Unbestimmtheit(Kraft- vs. Verfomungsmethode)
Beispiel 1: Grad der kinematischen Unbestimmtheit im Rahmen der Verfomungsmethode
0xBδ =
0zBδ =
φB φC0zCδ =
(axial) dehnstarreElemente
EA = ∞
0 2 R Mdof DV bb bk N= − − − =
A
B C
D
Der Grad der statischen Unbestimmtheit wird wie folgt berechnet:
3 0 7 3 4h p r n= + − = + − =
Da h > kv → die Verformungsmethode ist in diesem Fall einfacher zur Systemlösung zu implementieren.
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Erinnerung: Statische vs Kinematische Unbestimmtheit(Kraft- vs. Verfomungsmethode)
φB
x xB Cδ δ=
0zBδ =
φC0zCδ =
(axial) dehnstarreElementeEA = ∞
0 RV Ddof MbN bbk = − − −
#1: Ndof = Anzahl vor Freiheitsgraden(für rahmen Elemente 3 × #Knoten)
#2: bR = beschränkte DOFs wegen Reaktionen
#3: bD = beschränkte DOFs wegen dehnstarrer El.
#4: = Triviale DOFs wo M= 1 (nicht berücksichtigt)
0x z x zA A A D Dδ δ ϕ δ δ= = = = =
& 0x x z zB B B Bδ δ δ δ= = =
34 3 35 1Vk = ⋅ − − − =⇒
A
B C
D
0Mb( 0) D DMϕ =
Beispiel 2: Grad der kinematischen Unbestimmtheit im Rahmen der Verfomungsmethode
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Erinnerung: Statische vs Kinematische Unbestimmtheit(Kraft- vs. Verfomungsmethode)
φB
x xB Cδ δ=
0zBδ =
φC0zCδ =
(axial) dehnstarreElementeEA = ∞
0 3 R Mdof DV bb bk N= − − − =
A
B C
D
Beispiel 2: Grad der kinematischen Unbestimmtheit im Rahmen der Verfomungsmethode
Der Grad der statischen Unbestimmtheit wird wie folgt berechnet:
3 0 5 3 2h p r n= + − = + − =
Da h < kv → die Kraftmethode ist in diesem Fall einfacher zur Systemlösung zu implementieren
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Die Verformungsmethode
Wieso ist der Grad der kinematischen Unbestimmtheit von Interesse?
Im Unterschied zur Kraftmethode, bei der aus dem Gleichungssystem derFormänderungsbedingungen unbekannte Schnittgrößen (Kräfte) ermittelt werden,treten bei der Verformungsmethode Verformungen (bzw. Formänderungen) alsUnbekannte auf, die aus Gleichgewichtsbedingungen zu berechnen sind.
Die Verformungsmethode bietet ein Näherungsverfahren zur Berechnung ebener,statisch unbestimmter Stabwerke. Die Näherung besteht darin, dass die Stäbe alsdehnstarr angesehen und nur Biegeverformungen berücksichtigt werden. DieVerformungsmethode stellt demnach ein Weggrößenverfahren dar.
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Die Verformungsmethode - HauptelementeFrage: Welche ist der Grad der kinematischen Unbestimmtheit kV dieser Elemente im Rahmen der Verfomungsmethode?
L
A B
beidseitig eingespannter Balken einseitig eingespannter BalkenL
A B(axial) dehnstarre
Elemente
0!Vk =
#1. 3 2 6#2. 3 2 6
DOF
R
Nb
= ⋅ == ⋅ =
#1. 3 2 6#2. 3 1 4#3. dehnstar 0 1
#4. M 0 nicht berücksichtigt 1
DOF
RBx D
BB Mo
Nb
u b
bϕ
= ⋅ == + =
⇒ = → =
= ⇒ → =
Diese sind die Hauptelemente der Verformungsmethode
0 RV Ddof MbN bbk = − − −
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Die Verformungsmethode
Achtung! Vorzeichenkonvention Verformungsmethode für die Schnittgrössen M und V an den Stabenden und Knoten:
an den Stabenden:
Gegenuhrzeigersinn
an den Knoten
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Die VerformungsmethodeWir betrachten 2 Hauptarten von Elementen mit ihren entsprechenden Freiheitsgraden & Schrittgrößen:
Li k
beidseitig eingespannter Balken einseitig eingespannter Balken
Li k
Mik
Vik k
Vki
Mkii
MAB
Vik k
Vki
i
Wie können Schnittgrössen
mit Verformungen
verknüpft werden?
φi ki
υkυi
DOFs zu befreien
EEBφi ki
φkυkυi
DOFs zu befreien
BEB
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Herleitung: Die Gleichungen
Wie können Schnittgrössen mit Verformungen verknüpft werden?
Fangen wir mit dem Fall des beidseitig eingespannten Balkens an: Schnittgrössen Infolge vorgeschriebenen Translationen und Verdrehungen an den Enden des Balkens.
k
i´
k´
υi
υk
Mik
Vik
Vki
Mki
φk
φi
i
Positive Drehung im Gegenuhrzeigersinn
Positive Verschiebung
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Herleitung: Die Gleichungen
Die Dleichungen der Verformungsmethode verknüpfen die Kräfte mit den Verformungen (Translation und Rotation in den Knoten)
k
i´
k´
υi
υk
Mik
Vik
Vki
Mki
φk
φi
i
Positive Drehung im Gegenuhrzeigersinn
Positive Verschiebung
Fangen wir mit dem Fall des beidseitig eingespannten Balkens an: Schnittgrössen Infolge vorgeschriebenen Translationen und Verdrehungen an den Enden des Balkens.
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Herleitung: Die Gleichungen (Euler-Bernoulli Theorie)
( ) ( ) EB beamik ik ik ikM x M V x EIw x M V x′′= − − →− = − −
Herleitung der Last-Verformungsgleichungen für ein beidseitig eingespanntes dehnstarres Euler-Bernoulli (EB) Balkenelement in der xz-Ebene.
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( )2
1( ) 2dx
ik ik ik ikxEIw x M V x EIw x M x V c∫′′ ′− = − − → = + +
Die Randbedingungen ergeben Folgendes:2
01 1
0( ) 02
xi ik ik iEIw x M V c c EIϕ
= ′→ = ⋅ + + ⇒ = −
( ) ( )0 , i kw x w x Lϕ ϕ′ ′= − = = − =
2 2
( )2 2
x Lk ik ik i k ik ik i
L LEIw x M L V EI EI M L V EIϕ ϕ ϕ= ′→ = ⋅ + − ⇒ = − ⋅ − +
φi
Vki
Mki
M(x)
V(x) kφk
(II)
(III)
(I)
V(x)
M(x)
Mik
Vik
A
Herleitung der Last-Verformungsgleichungen für ein dehnstarres Euler-Bernoulli Balkenelement in der xz-Ebene.
Die Verformungsmethode
x
y
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Die Verformungsmethode
( )2 2 3( )
2( ) ( ) 2 2 6
II dxik ik i ik ik i
x x xI EIw x M x V EI EIw x M V EI x cϕ ϕ∫′⇒ = + − → = + − +
( ) ( )0 , i kw x w x Lυ υ= − = = − =2 3
02 2
0 0 02 6
xi ik ik i iEI M V EI c c EIυ ϕ υ
=→− = + − ⋅ + ⇒ = −
2 3
2 6x L
k ik ik i iL LEI M V EI L EIυ ϕ υ=→− = + − −
(IV)
(V)
Die Randbedingungen ergeben Folgendes:
x
y
Vki
Mki
M(x)
V(x)
kV(x)
M(x)
Mik
Vik
i
Herleitung der Last-Verformungsgleichungen für ein dehnstarres Euler-Bernoulli Balkenelement in der xz-Ebene.
υiυk
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Aus den Gleichungen (III), (V) ergeben sich 2 Gleichungen für die Unbekannten Vik, Mik2
3 2 3
2 3
2 3 2 3
3
2 2 2 4 2( ), ( )
2 61
2 62
2 12 21 6 2
k ik ik i k ik ik i
k ik ik i i k ik ik i i
k k ik i ik i ii
L L L L LEI M L V EI EI M V EIIII V
L L L LEI M V EI L EI EI M V EI L EI
L L LEI EI V EI E EEI I EIVL L
IL
ϕ ϕ ϕ ϕ
υ ϕ υ υ ϕ υ
υυ ϕ ϕ υ ϕ
= − ⋅ − + = − ⋅ − + ⇒ ⇒
− = + − − − = + − −
⇒ − + −= − − − +− =⇒ 26
k kEIL
υ ϕ−
( )2
& ik ik i kL EIM V
Lϕ ϕ= − + −
Herleitung der Last-Verformungsgleichungen für ein dehnstarres Euler-Bernoulli Balkenelement in der xz-Ebene.
Die Verformungsmethode
φi
Vki
Mki
M(x)
V(x) kφk
V(x)
M(x)
Mik
Vik
Ax
y
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3 2 3 2
2 2
12 6 1
(
2 6
6 4), ( )
6 2
ik i i k k
ik i i k k
EI EI EI EIVL L L LEI
IEI EI EIML LL L
II Vυ ϕ υ ϕ
υ ϕ υ ϕ
= − − +
− +⇒
−
= +
Von den Gleichgewichtsbedingungen am Stab erhalten wir weiter: ,ik ki BA ik kiV V M M V L= = − −
3 2 3 2
2 2
12 6 12 6
6 2 6 4
ki i i k k
ki i i k k
EI EI EI EIVL L L LEI EI EI EIM
L LL L
υ ϕ υ ϕ
υ ϕ υ ϕ
= − − + −
= + − +
Aus den Gleichungen (III), (V) ergeben sich 2 Gleichungen für die Unbekannten Vik, Mik
Herleitung der Last-Verformungsgleichungen für ein dehnstarres Euler-Bernoulli Balkenelement in der xz-Ebene.
Die Verformungsmethode
φi
Vki
Mki
M(x)
V(x) kφk
V(x)
M(x)
Mik
Vik
Ax
y
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Die Gleichungen für die Verformungsmethode für einen Euler-Bernoulli Balken(ohne axiale Effekte) ist unten gegeben.
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
ik i i k k
ik i i k k
ki i i k k
ki i i k k
EI EI EI EIVL L L L
EI EI EI EIML LL L
EI EI EI EIVL L L L
EI EI EI EIML LL L
υ ϕ υ ϕ
υ ϕ υ ϕ
υ ϕ υ ϕ
υ ϕ υ ϕ
= − − + −
= + − +
= − − + −
= + − +
Die Verformungsmethode
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Daher gilt es:
Herleitung der Last-Verformungsgleichungen für ein dehnstarres Euler-Bernoulli Balkenelement in der xz-Ebene.
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
ik
ik
ki
ki
EI EI EI EIL L L L
V EI EI EI EIM L LL LV EI EI EI EI
L L L LMEI EI EI EI
L LL L
− − − − = − − −
−
i
i
k
k
υϕυϕ
Steifigkeitsmatrix [K]
Die Verformungsmethode
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3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
ik
ik
ki
ki
EI EI EI EIVL L L LEI EI EI EIML L L LEI EI EI EI
V L L L LEI EI EI E
M L L L
− − − −
= − − −
−
i
i
k
kI
L
υϕυϕ
Daher gilt es:
Herleitung der Last-Verformungsgleichungen
Steifigkeitsmatrix [K]
Die Verformungsmethode
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Die Beiträge von jedem Freiheitsgrad (φΑ, φΒ, υΑ, υΒ ), können isoliert werden und umfassen die Spalten der folgenden Matrix.
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
ik
ik
ki
ki
EI EI EI EIL L L L
V EI EI EI EIM L LL LV EI EI EI EI
L L L LMEI EI EI EI
L LL L
− − − − = − − − −
i
i
k
k
υϕυϕ
υi υkφi φk
Die Verformungsmethode
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Die VerformungsmethodeDie Beiträge von jedem Freiheitsgrad (φi, φk, υi, υk ) können aus den vorherigen Matrix berechnet werden, Spalten 1 & 3 entsprechen den Verformungs-DOFs.
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
ik
ik
ki
ki
EI EI EI EIL L L L
V EI EI EI EIM L LL LV EI EI EI EI
L L L LMEI EI EI EI
L LL L
− − − − = − − − −
i
i
k
k
υϕυϕ
υk
* υk
υi
* υi
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Die Verformungsmethode
* φi
Die Beiträge von jedem Freiheitsgrad (φi, φk, υi, υk ) können aus den vorherigen Matrix berechnet werden. Spalten 2 & 4 entsprechen den Verdrehungs-DOFs.
φi
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
ik
ik
ki
ki
EI EI EI EIL L L L
V EI EI EI EIM L LL LV EI EI EI EI
L L L LMEI EI EI EI
L LL L
− − − − = − − − −
i
i
k
k
υϕυϕ
* φk
φk
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4 2
2 4ik i
ki k
EI EIM L LM EI EI
L L
ϕϕ
=
Die VerformungsmethodeWenn wir nur die Moment-Drehungsbeziehung berücksichtigen für einen Balken mit Endknoten i, k, können wir den vorherigen Ausdruck in einer kompakteren Form schreiben
φi
4 2
2 4ik i
ki k
EI EIM L LM EI EI
L L
ϕϕ
= ⇒
φk Stabsteifigkeiten
( 1) : Moment in , das entsteht, wenn in ein Knotendrehwinkel 1 wirkt.( 1) : Moment in , das entsteht, wenn in ein Knotendrehwinkel 1 wirkt.
ik ik k k
ki ki i i
t M i kt M k i
= ϕ = ϕ =
= ϕ = ϕ =
Kreuzsteifigkeiten
Kreuzsteifigkeiten
( 1) : Moment in , das erforderlich ist, um in einen Knotendrehwinkel 1 zu erzeugen.( 1) : Moment in , das erforderlich ist, um in einen Knotendrehwinkel 1 zu erzeugen.
ik ik i i
ki ki k k
s M i is M k k
= ϕ = ϕ =
= ϕ = ϕ =
Stabsteifigkeiten
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4 2
2 4ik i
ki k
EI EIM L LM EI EI
L L
ϕϕ
=
Die VerformungsmethodeWenn wir nur die Moment-Drehungsbeziehung berücksichtigen, können wir den vorherigen Ausdruck in einer kompakteren Form schreiben
φi
4 2
2 4ik i
ki k
EI EIM L LM EI EI
L L
ϕϕ
= ⇒
φk Stabsteifigkeiten Kreuzsteifigkeiten
i ki
k
Stab- & Kreuzsteifigkeiten für den BEB:
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4 2
2 4ik i
ki k
EI EIM L LM EI EI
L L
ϕϕ
=
Die VerformungsmethodeWenn wir nur die Moment-Drehungsbeziehung berücksichtigen, können wir den vorherigen Ausdruck in einer kompakteren Form schreiben
φi
4 2
2 4ik i
ki k
EI EIM L LM EI EI
L L
ϕϕ
= ⇒
φk Stabsteifigkeiten Kreuzsteifigkeiten
i ki
k
Stab- & Kreuzsteifigkeiten für den BEB:
nicht zwingend; abhängig von der Lagerung des betrachteten Stabes zwingend (Maxwell)
ik ki
ik ki
s st t
≠ →
= →
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Die Beiträge von jedem Freiheitsgrad (φi, φk, υi, υk ) können superponiert werden.
Die Verformungsmethode – einseitig eingespannter Balken
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Die Verformungsmethode – einseitig eingespannter Balken
* φk
* φi
* υi
* υk
Die Beiträge von jedem Freiheitsgrad (φΑ, φΒ, υΑ, υΒ ) können superponiert werden.
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Zeichnung der MomenteDie Orientierung der Momente ist einfach zu definieren, entsprechend der verformten Figur und diesen empirischen Regeln:
für ein wirkenden Knotendrehwinkel
kφii
2EI L4EI L
Moment am KnotenMoment am Stabende
Moment am Knoten
Moment am Stabende
Richtung der Pfeile:von der Zugzone zur Drückzone
Richtung der Pfeile:von der Zugzone zur Drückzone
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Zeichnung der QuerkräfteDie Querkräfte können über das Gleichgewicht berechnet werden, um den Momenten auszugleichen.
kφii
2EI L
4EI L
Moment am Stabende
Moment am Stabende
iV kV
( )( )
2
2
0 4 2 0 6
0 0 6
i k k
y i k i
M EI L EI L V L V EI L
F V V V EI L↑+= ⇒ + + = ⇒ = − ↓
= →− + = ⇒ = − ↑
∑∑
für ein wirkenden Knotendrehwinkel
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Zeichnung der QuerkräfteDie Querkräfte können über das Gleichgewicht berechnet werden, um den Momenten auszugleichen.
kφii
2EI L
4EI L
26EI L26EI L
für ein wirkenden Knotendrehwinkel am linken Ende
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
ik
ik
ki
ki
EI EI EI EIL L L L
V EI EI EI EIM L LL LV EI EI EI EI
L L L LMEI EI EI EI
L LL L
− − − − = − − −
−
i
i
k
k
υϕυϕ
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Die VerformungsmethodeDas Lösungsvorgehen ist für Balken und Fachwerke gleich und ist folgendermassen gegliedert:
1. Bestimmen Sie die kinematischen Freiheitsgrade der Struktur und den Grad der kinematischen Unbestimmtheit k. Eine Zeichnung der Verformungsfigur der Struktur hilft hierbei.
2. Das Superpositionsprinzip wird im Folgenden angewandt:
• Zustand “0”- Grundstab: Der Fall bei dem alle kinematischen Freiheitsgrade gehalten sind. Bestimmen Sie die Stabendmomente (Festeinspannmomente) für jedes Element infolge der aufgebrachten Last. Hierzu können die nachfolgenden Tabellen beigezogen werden.
• Zustand “i”, i=1…,k : Lösen Sie jeden einzelnen kinematischen Freiheitsgrad in Folge und berechnen Sie die infolge Einheitsverschiebung entstehenden Momente und Querkräfte.
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Die Verformungsmethode
3. Formulieren Sie die Gleichgewichtsbedingungen für jeden Knoten als Summe der superponierten Momente aller Zustände. Die Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen entspricht der Anzahl der unbekannten Knotenrotationen.
4. Im Falle von verschieblichen Systemen müssen Bedingungen für die translatorischen Freiheitsgrade (Verschiebungen) hinzugefügt werden. Diese werden typischerweise mittels Prinzip der virtuellen Arbeit oder Querkraftgleichgewichtsbedingung für Teile der Struktur formuliert.
5. Lösen Sie die obigen Gleichgewichtsbedingungen für die unbekannten Freiheitsgrade.
6. Substituieren Sie die Knotenrotationen in die Last-Verformungsgleichungen. Evaluieren Sie die Stabendmomente und die dazugehörigen Querkräfte.
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Festeinspannmomente für beidseitig eingespannte Balken - Tabelle I
P
L/2 L/2P/2
PL/8
P/2
PL/8
P
a bPb2(3a+b)/L3
Pab2/L2
Pa2(a+3b)/L3
Pa2b/L2
M
L/2 L/2
6Mab/L3
M/4 M/4
a b
Mb(2a-b)/L2
6Mab/L3
M
3M/2L 3M/2L
Ma(2b-a)/L2
q
L/2 L/2qL/2
qL2/12
qL/2
L/2 L/2
a b
2qd/L2[ab2+(a-2b)d2/3]
qL2/12
qL/4
5qL2/96
qL/4
5qL2/96q
q
3qL/20
qL2/30
7qL/20
qL2/20
qd d 2qd/L2[a2b+(b-
2a)d2/3]
2qd [b/L+(ab-d2)(b-a)/L3] 2qd [a/L+(ab-d2)(b-a)/L3]
L/2 L/2
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Festeinspannmomente für einseitig eingespannte Balken - Tabelle II
P
L/2 L/211P/16
3PL/16
5P/16
P
a b
Pab(L+b)/2L2
M
L/2 L/2
a b
M
q
L/2 L/2
qL2/8
L/2 L/2
a b
q
q
qd d
5qL2/64
qL2/15
M/2(1-3b2/L2)
M/8
A=Pa^2(b+2L)/(2L^3)
B=P-A
3/8qL5/8qL
qbd/L2[L2-b2-d2]
L/2 L/2
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Stabendmomente infolge Verformungen - Tabelle IIIDie Herleitung dieser Begriffe, im Fall eines EEB, wurde früher anhand der EB-Theorie demonstriert (s. Folie).
φi
2 ik kiEI L t t= =
26EI L4 ik kiEI L s s= =
26EI L
υi26EI L
26EI L
312EI L
312EI L
beidseitig eingespannt
φi23EI L
3EI L
23 ikEI L s=
υi23EI L
33EI L
33EI L
einseitig eingespannt
Rotation Rotation
VerschiebungVerschiebung
* φi* φi
* υi* υi
0kit =
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Stab- & Kreuz-Steifigkeiten - Tabelle III - BEBDie Herleitung dieser Begriffe, im Fall der BEB, wurde früher anhand der EB-Theorie demonstriert:
φi
2EI L
26EI L4EI L
26EI Lφk =0
Beidseitig eingespannt
Rotation
* φi
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
ik i i k k
ik i i k k
ki i i k k
ki i i k k
EI EI EI EIVL L L L
EI EI EI EIML LL L
EI EI EI EIVL L L L
EI EI EI EIML LL L
υ ϕ υ ϕ
υ ϕ υ ϕ
υ ϕ υ ϕ
υ ϕ υ ϕ
= − − + −
= + − +
= − − + −
= + − +
Das entspricht (s. Folie):
Stab- & Kreuzsteifigkeiten für den BEB:
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3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
ik i i k k
ik i i k k
ki i i k k
ki i i k k
EI EI EI EIVL L L L
EI EI EI EIML LL L
EI EI EI EIVL L L L
EI EI EI EIML LL L
υ ϕ υ ϕ
υ ϕ υ ϕ
υ ϕ υ ϕ
υ ϕ υ ϕ
= − − + −
= + − +
= − − + −
= + − +
Stab- & Kreuz-Steifigkeiten - Tabelle III - BEBDie Herleitung dieser Begriffe, im Fall der BEB, wurde früher anhand der EB-Theorie demonstriert:
φi
2EI L
26EI L4EI L
26EI Lφk =0
Beidseitig eingespannt
Rotation
* φiDas entspricht (s. Folie 19):
Stab- & Kreuzsteifigkeiten für den BEB:
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Stab- & Kreuz-Steifigkeiten - Tabelle III - EEBFür den einseitig eingespannten Balken EEB, ignorieren wir φk, die sich in Bezug auf die weiteren Freiheitsgraden ausdrücken lässt (wegen Mk=0). Dann die Last-Verformungsbeziehungen sehen so aus
φi
23EI L3EI L
23EI LφB nichtbetr.
Einseitig eingespannt
Rotation
* φi
3 2 3
2 2
3 2 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
0
ik i i k
ik i i k
ki i i k
ki
EI EI EIVL L LEI EI EIM
LL LEI EI EIVL L L
M
υ ϕ υ
υ ϕ υ
υ ϕ υ
= − − +
= + −
= − − +
=2 26 2 6 4 0
3 1 32 2 2
ki i i k k
k i i k
EI EI EI EIML LL L
L L
υ ϕ υ ϕ
ϕ υ ϕ υ
= + − + =
⇒ = − − +
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3 2 3
2 2
3 2 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
0
ik i i k
ik i i k
ki i i k
ki
EI EI EIVL L LEI EI EIM
LL LEI EI EIVL L L
M
υ ϕ υ
υ ϕ υ
υ ϕ υ
= − − +
= + −
= − − +
=
Stab- & Kreuz-Steifigkeiten - Tabelle III - EEBFür den einseitig eingespannten Balken EEB, ignorieren wir φk, die sich in Bezug auf die weiteren Freiheitsgraden ausdrücken lässt (wegen Mk=0).
Dann die Last-Verformungsbeziehungen sehen so aus
φi
23EI L3EI L
23EI LφB nichtbetr.
Einseitig eingespannt
Rotation
* φi
Stab- & Kreuzsteifigkeiten für den EEB:
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φ2 ist der einzige Freiheitsgrad dieses Systems, folglich;k=1
Beispiel - einfacher Balken mit gleicher Spannweite
x,u
z,w
F
l/2 l/2
1. Bestimmen Sie die kinematischen Freiheitsgrade der Struktur und den Grad der kinematischen Unbestimmtheit k. Eine Zeichnung der Verformungsfigur der Struktur hilft hierbei.
φ212
3
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F
l l/2
12
3
• a) Zustand“0” - Grundstab: Der Fall bei dem alle kinematischen Freiheitsgrade gehaltensind. Bestimmen Sie die Festeinspannmomente für jeden einseitig eingespanntenBalken (EEB) infolge der aufgebrachten Last. (vgl. Tabellen in vorherigen Folien)
1keine
Beanspruchung11F/16
3Fl/16
5F/16
Alternativ können die Festeinspannmomente für den Stab 2-3 durch die Kraftmethode ermittelt werden.
l/2
Beispiel
EEB EEB
2EEB 3EEB
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2. a) Zustand“0”: Die resultierenden Festeinspannmomente und Querkräfte sind:
12 3
keineBeanspruchung
11F/16
3Fl/16
5F/16
0 0 0 012 21 23 32
30 & , 016FlM M M M= = = =
Festeinspannmomente
Festeinspannquerkräfte
0 0 0 012 21 23 32
11 50 & , 16 16
F FV V V V= = = − =
Respektiere die dazugehörige Vorzeichenkonvention!
Beispiel
(1)
(2)
EEB EEB
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l l
12
3
2. b) Zustand“1” : Lösen des kinematischen Freiheitsgrads φ2, und Berechnung der Stabendmomente und Stabendquerkräfte infolge φ2=1. (Tabelle III)
φ2
Beispiel
1
23EI l23EI l
3EI lEEB
2 3
3EI l
23EI l23EI l
EEB
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1 2 3
1 1 1 112 21 23 32
3 30, & , 0EI EIM M M Ml l
= = = =
Endmomente
Endquerkräfte
1 1 1 112 21 23 322 2
3 3 & EI EIV V V Vl l
= = − = = −
Beispiel
(3)
(4)
3EI l
23EI l23EI l 23EI l23EI l
3EI l
2. b) Zustand“1” : Lösen des kinematischen Freiheitsgrads φ2, und Berechnung der Stabmomente und Querkräfte infolge φ2=1.
Respektiere die dazugehörige Vorzeichenkonvention!
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l l
12
3
3. Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen am Knoten 2 (wo φ2 gelöstwurde) mittels Superposition der Momente von allen Zuständen.
φ2
Beispiel
2 21 230 0M M M= ⇒ + =∑
( ) ( )0 1 0 121 21 23 232
0
3 3 3 6 30 016 16 32
M M M M
EI Fl EI EI Fl Fll l l EI
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ ⋅ + + ⋅ = →
+ ⋅ + + ⋅ = ⇒ = − ⇒ = −
(1),(3)
4. Auflösen der Gleichgewichtsbedingungen nach den unbekannten Knotenrotationen.
21M 23M2
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l l
12
3
5. Mittels Substitution der ermittelten Knotenrotationen in die Superpositions-gleichungen können die Endmomente und Querkräfte ermittelt werden.
φ2
Beispiel
20 1
21 21 21 21
20 1
23 23 23 23 21
3 3032 32
3 3 316 32 32
EI Fl FlM M M Ml EI
Fl EI Fl FlM M M M Ml EI
ϕ
ϕ
= + ⋅ = + ⋅ − ⇒ = −
= + ⋅ = + ⋅ − ⇒ = = −
Endmomente
Endquerkräfte2
0 121 21 21 212
20 1
23 23 23 232
3 3032 32
11 3 1916 32 32
EI Fl FV V V VEIl
F EI Fl FV V V VEIl
ϕ
ϕ
= + ⋅ = − ⋅ − ⇒ =
= + ⋅ = − − ⋅ − ⇒ = −
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l l
12
3
Die Gleichgewicht im Knoten 2 ermöglicht die Berechnung der vertikalen Auflagereaktion am Knoten 2,
φ2
Beispiel
23 21 2 2110 016z
FF V V R R↑+
= ⇒ − + = ⇒ =∑21V 23V
2Rwährend die vertikale Reaktion in den Knoten 1,3 via Superposition bestimmt wird.
20 1
12 12 12 122
20 1
32 32 32 322
3 3032 32
5 3 1316 32 32
EI Fl FV V V VEIl
F EI Fl FV V V VEIl
ϕ
ϕ
= + ⋅ = − ⋅ − ⇒ =
= + ⋅ = − ⋅ − ⇒ =
1332
F
31332
FR =
332F
1332FR =
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l l
12
3
Nun können die Schnittkräftediagramme für das Biegemoment und die Querkraft gezeichnet werden. Vergewissern Sie sich, dass Sie beim Zeichnen die klassische Vorzeichenkonvention benutzen.
Beispiel
F
1 32
21 233 332 32Fl Flwo M M = − = −
[M]
6.532
Fl
+
_
Querkraftdiagram?Hausübung
Zeichnen immernach klassischenKonvention
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Das Drehwinkelverfahren
j iij
ij ij
w wl l
ψ− ∆
= =
Wenn sich die Länge eines Stabes nicht ändert, lassen sich dessen Knotenverschiebungen senkrecht zur Stabachse gemäß:
Source: K. Meskouris, E. Hake, Statik der Stabtragwerke
durch eine Stabsehnenverdrehung ausdrücken.
Die relative Verschiebung Δ = wj - wi(senkrecht zur Stabachse) wird nun als funktion von ψij geäussert.
Das bietet eine äquivalente Formulierung der Verformungsmethode, die auf der Verwendung des Drehwinkels der Stabachse beruht. In diesem Fall werden alle Verformungen im Sinne von Verdrehungen (d.h. keine Verschiebungen) ausgedrückt.
q(x)
lij
i j
wiwj
j
i
ψij
ψij φj
φiΔ
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Gegenüberstellung des allgemeines & des Drehwinkel- Verfahrens
j
i
ψij
ψij
Δ
26Tabelle III 6
wo
ij jiij ji ij
ij
EIM M EIM Mlllψ
ψ
++
⇒ = =− ∆⇒ = =−∆ =
Wir können nun auch Verschiebungen als Verdrehungen (Drehwinkeln) ausdrücken!
j
j´
Δ
i
aus Tabelle III
Für einen beidseitig eingespannten Balken (BEB), gilt es:
Allgemeines Verfahren Drehwinkelverfahren
Verschiebesteifigkeit
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Das DrehwinkelverfahrenDeshalb treten als Unbekannte nur Verdrehungen auf, und zwar Knotendrehwinkel φ und Stab-drehwinkel ψ. Um das Verfahren zu systematisieren, wird für diese Winkel die angegebene Vorzeichenregelung getroffen (s.u.).
φj
Positive Vorzeichenkonvention
ψij
q(x)
lij
i j
j
i
ψij
ψij φj
φi
wiwj
Δ
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Das Drehwinkelverfahren
Das Drehwinkelverfahren dient der Berechnung der Stabendmomente. Ein StabendmomentMij setzt sich im Allgemeinen aus drei Anteilen zusammen:• dem Festspannmoment des Grundstabs,• den Einflüssen der Knotenverdrehungen φi und φj• dem Einfluss der Verschiebungen die nun in Bezug auf den Stabdrehwinkel ψij
ausgedrückt werden
Die Festeinspannmomente können mit Hilfe der Kraftmethode berechnet oder für ausgewählte Lastfälle den Tabellen I und II entnommen werden.
Nach der Ermittlung der unbekannten Drehwinkel und der Stabendmomente ergibt sich der Momentenverlauf durch Superposition mit den Momenten des gelenkig gelagerten Einfeldträgers.
Source: K. Meskouris, E. Hake, Statik der Stabtragwerke
0ijM
q(x)
lij
i j
j
i
ψij
ψij φj
φi
wiwj
Δ
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Stabendmomente bei stabweise konstantem Trägheitsmoment
Als Grundstäbe, deren Endmomente zu berechnen sind, treten (1) der beidseitig (BEB) und (2) der einseitig eingespannte (EEB), gerade Stab auf. Deren Festeinspannmomente können mit Hilfe des Kraftgrössenverfahrens berechnet werden. In den Tabellen I und II sind diese für Standardlastfälle angegeben.
Source: K. Meskouris, E. Hake, Statik der Stabtragwerke
Grundstab: Festeinspannmomente
Stabendmomente infolge Knotenverdrehung (Stab- & Kreuz- Steifigkeiten)
bei gelenkiger Gegenseite 3ij iEIMlφ
+
=
i jφi
i jφi
φj
bei beidseitiger Einspannung:(Superposition)
4 2
2 4
ij i j
ji i j
EI EIMl lEI EIMl l
φ φ
φ φ
+
+
= +
= +
Gemäss Tabelle III für die Stabendmomente infolge ϕi , gilt demnach:
bei eingespannter Gegenseiteφii j4 2, ij i ji i
EI EIM Ml l
φ φ+ +
= =
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Erinnerung - Steifigkeiten
( 1) : Moment in , das erforderlich ist, um in einen Knotendrehwinkel 1zu erzeugen.
( 1) : Moment in , das erforderlich ist, um in einen Knotendrehwinkel 1zu erzeugen.
ik ik i i
ki ki k k
s M i i
s M k k
= ϕ = ϕ =
= ϕ = ϕ =
Stabsteifigkeiten
( 1) : Moment in , das entsteht, wenn in ein Knotendrehwinkel 1 wirkt.( 1) : Moment in , das entsteht, wenn in ein Knotendrehwinkel 1 wirkt.
ik ik k k
ki ki i i
t M i kt M k i
= ϕ = ϕ =
= ϕ = ϕ =
Kreuzsteifigkeiten
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Erinnerung – Steifigkeiten BEB & EEB
( 1) : Moment in , das erforderlich ist, um in einen Knotendrehwinkel 1zu erzeugen.
( 1) : Moment in , das erforderlich ist, um in einen Knotendrehwinkel 1zu erzeugen.
ik ik i i
ki ki k k
s M i i
s M k k
= ϕ = ϕ =
= ϕ = ϕ =
Stabsteifigkeiten
( 1) : Moment in , das entsteht, wenn in ein Knotendrehwinkel 1 wirkt.( 1) : Moment in , das entsteht, wenn in ein Knotendrehwinkel 1 wirkt.
ik ik k k
ki ki i i
t M i kt M k i
= ϕ = ϕ =
= ϕ = ϕ =
Kreuzsteifigkeiten
beidseitig eingespannter Balken4 2, ij ji ji ij
EI EIs s t tl l
= = = =
einseitig eingespannter Balken3 , 0ij i ij
EIs tlφ= =
φii j
i jφi
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Stabendmomente infolge des Drehwinkels
j
j´
Δ
i
aus Tabelle III
Allgemeines “φ-Δ” Verfahren Drehwinkelverfahren
26EI L∆
26EI L∆ 6 ijEI LψBEB j
i
ψij
ψij
Δ
6 ijEI Lψ
ij Lψ ∆=
= Verschiebesteifigkeit vij
j
i
ψij
ψij
Δ
3 ijEI Lψ
ij Lψ ∆=
Verschiebesteifigkeit vji=
j
j´
Δi aus Tabelle III
23EI L∆EEB
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Stabendmomente infolge des Drehwinkels
EEB - Einseitige Einspannung ( i ) :
( )3 3, 0ij ij ij ij ijEI EIM v s tl lψ+ = − = − + = − +
BEB - Beidseitige Einspannung:
( )6 4 2,ij ji ij ij ji ij ijEI EI EIM M v v s tl l lψ+ = = − = = − + = − +
EEB - Einseitige Einspannung ( j ) :
( )3 3, 0ji ji ji ji jiEI EIM v s tl lψ+ = − = − + = − +
jψij
ψji
i j
i j
i
Verschiebesteifigkeiten ( )ij ij ijv s t= − +
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Der Drehwinkel ψij kann als äquivalent zu die Verformung induziert durch zwei umgekehrteKnotenverdrehungen φi = φj = - ψij gesehen werden.
Somit gilt:
Warum ist die Verschiebesteifigkeit als definiert?
j
i
ψij
ψij
Stabendmomente infolge des Drehwinkels
( )ij ij ijv s t= − +
ji
φi4
ijij
EIsl
=
(*)iij ij iM sϕ ϕ= − iji ji iM t
ϕ ϕ= −
2ji
ij
EItl
=
BEBj
iφj
2ij
ij
EItl
=
jij ij jM tϕ ϕ= − jji ji jM s
ϕ ϕ= −
4ji
ij
EIsl
=BEB
-ψijji
-ψijijMjiM
( )jiij ij ij ij ij ijM M M s tϕϕ ψ= + = − + ( )jiji ji ji ji ji ijM M M s tϕϕ ψ= + = − +ijv ijv
(*) negativ weil im Uhrzeigersinn
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( ) ( 1) : Moment in , das entsteht, wenn ein Stabdrehwinkel 1 wirkt.( ) ( 1) : Moment in , das entsteht, wenn ein Stabdrehwinkel 1 wirkt.
ik ik ik ik ik ik
ki ki ki ki ki ki
v s t M iv s t M k
= − + = ψ = ψ =
= − + = ψ = ψ =
Verschiebesteifigkeiten
nicht zwingend; abhängig von der Lagerung des betrachteten Stabes zwingend (Maxwell)
ik ki
ik ki
ik ki
s st tv v
≠ →
= →
=
Stabendmomente infolge des Drehwinkels
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Das Drehwinkelverfahren
Die vollständigen Gleichungen der Stabendmomente erhält man durch Zusammenfassungder drei einzeln behandelten Einflüsse:
Source: K. Meskouris, E. Hake, Statik der Stabtragwerke
Zusammenfassung
( )0ij
ij ij ij i ij j ij ij ij
v
M M s t s tϕ ϕ ψ= + + − +
0 Festeinspannmoment Stabsteifigkeit Kreuzsteifigkeit
, Knotendrehwinkel Stabdrehwinkel
ij
ij
ij
i j
ij
Mstϕ ϕ
ψ
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Das Drehwinkelverfahren
Tabelle IV (dies folgt aus Tabelle 3)
Zusammenfassung
Steifigkeit BEB EEB EEB
Stab-
Kreuz-
Verschiebe-
4ij ji
EIs sL
= = 3ijEIsL
=
2ij ji
EIt tL
= =
6ij ji
EIv vL
= =
0jit =
3ij ji
EIv vL
= = ij ij ijv s t= +
3ji
EIsL
=
0ijt =
3ij ji
EIv vL
= =
( 1) : Moment in , das erforderlich ist, um in einen Knotendrehwinkel 1 zu erzeugen.( 1) : Moment in , das erforderlich ist, um in einen Knotendrehwinkel 1 zu erzeugen.
ik ik i i
ki ki k k
s M i is M k k
= ϕ = ϕ =
= ϕ = ϕ =
( 1) : Moment in , das entsteht, wenn in ein Knotendrehwinkel 1 wirkt.( 1) : Moment in , das entsteht, wenn in ein Knotendrehwinkel 1 wirkt.
ik ik k k
ki ki i i
t M i kt M k i
= ϕ = ϕ =
= ϕ = ϕ =
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Das Drehwinkelverfahren
Die vollständigen Gleichungen der Stabendmomente erhält man durch Zusammenfassungder drei einzeln behandelten Einflüsse:
Source: K. Meskouris, E. Hake, Statik der Stabtragwerke
Zusammenfassung
bei einseitiger Einspannung (i) :
( )
( )
0
0
2 2 3
2 2 3
ij ij i j ij
ji ji i j ij
EIM MlEIM Ml
φ φ ψ
φ φ ψ
= + + −
= + + −i j
bei beidseitiger Einspannung:
i j
bei einseitiger Einspannung (j) : ( )
0 3ji ji j ji
EIM Ml
φ ψ= + − i j
( )0 3ij ij i jiEIM M l φ ψ= + −
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Das DrehwinkelverfahrenBeispiel - Unverschiebliches System mit Belastung
Source: K. Meskouris, E. Hake, Statik der Stabtragwerke
Das im Bild dargestellten Beispiel soll nach dem Drehwinkelverfahren berechnet werden. Wegen der elastischen Unverschieblichkeit treten nur die drei Knotendrehwinkel ϕ2, ϕ3 und ϕ4als Unbekannte auf. Die Festeinspannmomente lauten:
φ2φ3 φ4
20 0 034 4534 43 45
0 0 034 43 452 2
34 45
3: 64 , 67infolge infolge :
infolge :
.512 16
6 345 , 40
pl PlM M kNm M kNm
EI EIM M s kNm M s kNml
P
l
p
s
= − = = = =
= = ∆ = = − ∆ = −∆
Zustand“0”- Grundstab
IR=24, IS=12
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Das DrehwinkelverfahrenBeispiel - Unverschiebliches System mit Belastung
Source: K. Meskouris, E. Hake, Statik der Stabtragwerke
φ2 φ3 φ4
( ) ( )
( ) ( )
12 2 21 2 23 2 3 32 2 312 12 23 23
34 3 4 43 3 4 45 423 23 23
2 4 2 2, , 2 , 2
2 2 32 , 2 ,
i i i iS S R R
i i iR R R
EI EI EI EIM M M Ml l l lEI EI EIM M Ml l l
φ φ φ φ φ φ
φ φ φ φ φ
= = = + = +
= + = + =
Stabendmomente wegen Knotendrehwinkel (Stabdrehwinkel=0)
Zustand“i”
Durch Superposition: 0 iij ij ijM M M= + +
IR=24, IS=12
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Das DrehwinkelverfahrenBeispiel - Unverschiebliches System mit Belastung
Source: K. Meskouris, E. Hake, Statik der Stabtragwerke
φ2 φ3 φ4
2 21 23 2 2 3
12 243 32 34 3 2 3 4
4 43 45 4 3 4
2 3 4
0 28 8 0
0 109 8 28 6 0
0 8.5 6 24 0
1.2611, 4.4137, 0.7493
S RI sei gleich I
M M M M
M M M M
M M M M
φ φ
φ φ φ
φ φ
φ φ φ
⇒ =
= + = = + = = + = → = + + + =
= + = = + + =
⇒ = = − =
∑ ∑∑ ∑∑ ∑
Knotengleichungen
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Das DrehwinkelverfahrenBeispiel - Unverschiebliches System mit Belastung
Source: K. Meskouris, E. Hake, Statik der Stabtragwerke
φ2 φ3 φ4
Demnach
Momentenfläche infolge p, P und s
Zeichnen immer nachklassischen Konvention
Slide Number 1Slide Number 2Slide Number 3Slide Number 4Slide Number 5Slide Number 6Slide Number 7Slide Number 8Slide Number 9Slide Number 10Slide Number 11Slide Number 12Slide Number 13Slide Number 15Slide Number 16Slide Number 17Slide Number 18Slide Number 19Slide Number 20Slide Number 21Slide Number 22Slide Number 23Slide Number 24Slide Number 25Slide Number 26Slide Number 27Slide Number 28Slide Number 29Slide Number 30Slide Number 31Slide Number 32Slide Number 33Slide Number 35Slide Number 36Slide Number 37Slide Number 38Slide Number 39Slide Number 40Slide Number 41Slide Number 42Slide Number 43Slide Number 44Slide Number 45Slide Number 46Slide Number 47Slide Number 48Slide Number 49Slide Number 50Slide Number 51Slide Number 52Slide Number 53Slide Number 54Slide Number 55Slide Number 56Slide Number 57Slide Number 58Slide Number 59Slide Number 60Slide Number 61Slide Number 62Slide Number 63Slide Number 64Slide Number 65Slide Number 66Slide Number 67Slide Number 68Slide Number 69Slide Number 70