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Institute of Structural Engineering Page 1

Baustatik II, Prof. Dr. E. Chatzi

Baustatik II - Kapitel II

Die Verformungsmethode - HerleitungBeispiele von unverschieblichen Systemen



Baustatik II

Lernziele dieses Kapitels

Die Verformungsmethode

• Kinematische gegen statische Unbestimmtheit

• Herleitung: Die Gleichungen

• Begriffe von Stab- und Kreuz-Steifigkeiten

• Allgemeines „φ-Δ” Lösungsverfahren

• Das Drehwinkelverfahren

• Beispiele: Unverschiebliche Systeme



Erinnerung: Statische vs Kinematische Unbestimmtheit(Kraft- vs. Verfomungsmethode)

Welche Methode wurden Sie wählen zur Berechnung folgender Strukturen?

a. Die Kraftmethodeb. Die Verformungsmethode

(axial) dehnstarreElemente

EA = ∞A

BC

D

Beispiel 1

(axial) dehnstarreElementeEA = ∞

A

B C

D

Beispiel 2




Beispiel 1: Grad der kinematischen Unbestimmtheit im Rahmen der Verfomungsmethode

0xBδ =

0zBδ =

φB φC0zCδ =


EA = ∞

0 RV Ddof MbN bbk = − − −

#1 Ndof = Anzahl vor Freiheitsgraden (für rahmen Elemente 3 × #Knoten)

#2 bR = beschränkte DOFs wegen Reaktionen

#3 bD = beschränkte DOFs wegen dehnstarrer Stäben.

#4 = triviale DOFs wo M= 0 (nicht berücksichtigt)

0x z x z xA A A D D D Cδ δ ϕ δ δ ϕ δ= = = = = = =

0x z zB B Bδ δ δ= = =

34 3 27 0Vk = ⋅ − − − =⇒

A

B C

D

0Mb





0xBδ =

0zBδ =

φB φC0zCδ =


EA = ∞

0 2 R Mdof DV bb bk N= − − − =

A

B C

D

Der Grad der statischen Unbestimmtheit wird wie folgt berechnet:

3 0 7 3 4h p r n= + − = + − =

Da h > kv → die Verformungsmethode ist in diesem Fall einfacher zur Systemlösung zu implementieren.




φB

x xB Cδ δ=

0zBδ =

φC0zCδ =



#1: Ndof = Anzahl vor Freiheitsgraden(für rahmen Elemente 3 × #Knoten)

#2: bR = beschränkte DOFs wegen Reaktionen

#3: bD = beschränkte DOFs wegen dehnstarrer El.

#4: = Triviale DOFs wo M= 1 (nicht berücksichtigt)

0x z x zA A A D Dδ δ ϕ δ δ= = = = =

& 0x x z zB B B Bδ δ δ δ= = =

34 3 35 1Vk = ⋅ − − − =⇒

A

B C

D

0Mb( 0) D DMϕ =





φB

x xB Cδ δ=

0zBδ =

φC0zCδ =


0 3 R Mdof DV bb bk N= − − − =

A

B C

D


Der Grad der statischen Unbestimmtheit wird wie folgt berechnet:

3 0 5 3 2h p r n= + − = + − =

Da h < kv → die Kraftmethode ist in diesem Fall einfacher zur Systemlösung zu implementieren




Wieso ist der Grad der kinematischen Unbestimmtheit von Interesse?

Im Unterschied zur Kraftmethode, bei der aus dem Gleichungssystem derFormänderungsbedingungen unbekannte Schnittgrößen (Kräfte) ermittelt werden,treten bei der Verformungsmethode Verformungen (bzw. Formänderungen) alsUnbekannte auf, die aus Gleichgewichtsbedingungen zu berechnen sind.

Die Verformungsmethode bietet ein Näherungsverfahren zur Berechnung ebener,statisch unbestimmter Stabwerke. Die Näherung besteht darin, dass die Stäbe alsdehnstarr angesehen und nur Biegeverformungen berücksichtigt werden. DieVerformungsmethode stellt demnach ein Weggrößenverfahren dar.



Die Verformungsmethode - HauptelementeFrage: Welche ist der Grad der kinematischen Unbestimmtheit kV dieser Elemente im Rahmen der Verfomungsmethode?

L

A B

beidseitig eingespannter Balken einseitig eingespannter BalkenL

A B(axial) dehnstarre

Elemente

0!Vk =

#1. 3 2 6#2. 3 2 6

DOF

R

Nb

= ⋅ == ⋅ =

#1. 3 2 6#2. 3 1 4#3. dehnstar 0 1

#4. M 0 nicht berücksichtigt 1

DOF

RBx D

BB Mo

Nb

u b

bϕ

= ⋅ == + =

⇒ = → =

= ⇒ → =

Diese sind die Hauptelemente der Verformungsmethode





Achtung! Vorzeichenkonvention Verformungsmethode für die Schnittgrössen M und V an den Stabenden und Knoten:

an den Stabenden:

Gegenuhrzeigersinn

an den Knoten



Die VerformungsmethodeWir betrachten 2 Hauptarten von Elementen mit ihren entsprechenden Freiheitsgraden & Schrittgrößen:

Li k

beidseitig eingespannter Balken einseitig eingespannter Balken

Li k

Mik

Vik k

Vki

Mkii

MAB

Vik k

Vki

i

Wie können Schnittgrössen

mit Verformungen

verknüpft werden?

φi ki

υkυi

DOFs zu befreien

EEBφi ki

φkυkυi

DOFs zu befreien

BEB



Herleitung: Die Gleichungen

Wie können Schnittgrössen mit Verformungen verknüpft werden?

Fangen wir mit dem Fall des beidseitig eingespannten Balkens an: Schnittgrössen Infolge vorgeschriebenen Translationen und Verdrehungen an den Enden des Balkens.

k

i´

k´

υi

υk

Mik

Vik

Vki

Mki

φk

φi

i

Positive Drehung im Gegenuhrzeigersinn

Positive Verschiebung



Herleitung: Die Gleichungen

Die Dleichungen der Verformungsmethode verknüpfen die Kräfte mit den Verformungen (Translation und Rotation in den Knoten)

k

i´

k´

υi

υk

Mik

Vik

Vki

Mki

φk

φi

i

Positive Drehung im Gegenuhrzeigersinn

Positive Verschiebung

Fangen wir mit dem Fall des beidseitig eingespannten Balkens an: Schnittgrössen Infolge vorgeschriebenen Translationen und Verdrehungen an den Enden des Balkens.



Herleitung: Die Gleichungen (Euler-Bernoulli Theorie)

( ) ( ) EB beamik ik ik ikM x M V x EIw x M V x′′= − − →− = − −

Herleitung der Last-Verformungsgleichungen für ein beidseitig eingespanntes dehnstarres Euler-Bernoulli (EB) Balkenelement in der xz-Ebene.



( )2

1( ) 2dx

ik ik ik ikxEIw x M V x EIw x M x V c∫′′ ′− = − − → = + +

Die Randbedingungen ergeben Folgendes:2

01 1

0( ) 02

xi ik ik iEIw x M V c c EIϕ

= ′→ = ⋅ + + ⇒ = −

( ) ( )0 , i kw x w x Lϕ ϕ′ ′= − = = − =

2 2

( )2 2

x Lk ik ik i k ik ik i

L LEIw x M L V EI EI M L V EIϕ ϕ ϕ= ′→ = ⋅ + − ⇒ = − ⋅ − +

φi

Vki

Mki

M(x)

V(x) kφk

(II)

(III)

(I)

V(x)

M(x)

Mik

Vik

A

Herleitung der Last-Verformungsgleichungen für ein dehnstarres Euler-Bernoulli Balkenelement in der xz-Ebene.


x

y




( )2 2 3( )

2( ) ( ) 2 2 6

II dxik ik i ik ik i

x x xI EIw x M x V EI EIw x M V EI x cϕ ϕ∫′⇒ = + − → = + − +

( ) ( )0 , i kw x w x Lυ υ= − = = − =2 3

02 2

0 0 02 6

xi ik ik i iEI M V EI c c EIυ ϕ υ

=→− = + − ⋅ + ⇒ = −

2 3

2 6x L

k ik ik i iL LEI M V EI L EIυ ϕ υ=→− = + − −

(IV)

(V)

Die Randbedingungen ergeben Folgendes:

x

y

Vki

Mki

M(x)

V(x)

kV(x)

M(x)

Mik

Vik

i


υiυk



Aus den Gleichungen (III), (V) ergeben sich 2 Gleichungen für die Unbekannten Vik, Mik2

3 2 3

2 3

2 3 2 3

3

2 2 2 4 2( ), ( )

2 61

2 62

2 12 21 6 2

k ik ik i k ik ik i

k ik ik i i k ik ik i i

k k ik i ik i ii

L L L L LEI M L V EI EI M V EIIII V

L L L LEI M V EI L EI EI M V EI L EI

L L LEI EI V EI E EEI I EIVL L

IL

ϕ ϕ ϕ ϕ

υ ϕ υ υ ϕ υ

υυ ϕ ϕ υ ϕ

= − ⋅ − + = − ⋅ − + ⇒ ⇒

− = + − − − = + − −

⇒ − + −= − − − +− =⇒ 26

k kEIL

υ ϕ−

( )2

& ik ik i kL EIM V

Lϕ ϕ= − + −



φi

Vki

Mki

M(x)

V(x) kφk

V(x)

M(x)

Mik

Vik

Ax

y



3 2 3 2

2 2

12 6 1

(

2 6

6 4), ( )

6 2

ik i i k k

ik i i k k

EI EI EI EIVL L L LEI

IEI EI EIML LL L

II Vυ ϕ υ ϕ

υ ϕ υ ϕ

= − − +

− +⇒

−

= +

Von den Gleichgewichtsbedingungen am Stab erhalten wir weiter: ,ik ki BA ik kiV V M M V L= = − −

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 2 6 4

ki i i k k

ki i i k k

EI EI EI EIVL L L LEI EI EI EIM

L LL L

υ ϕ υ ϕ

υ ϕ υ ϕ

= − − + −

= + − +

Aus den Gleichungen (III), (V) ergeben sich 2 Gleichungen für die Unbekannten Vik, Mik



φi

Vki

Mki

M(x)

V(x) kφk

V(x)

M(x)

Mik

Vik

Ax

y



Die Gleichungen für die Verformungsmethode für einen Euler-Bernoulli Balken(ohne axiale Effekte) ist unten gegeben.

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

ik i i k k

ik i i k k

ki i i k k

ki i i k k

EI EI EI EIVL L L L

EI EI EI EIML LL L

EI EI EI EIVL L L L

EI EI EI EIML LL L

υ ϕ υ ϕ

υ ϕ υ ϕ

υ ϕ υ ϕ

υ ϕ υ ϕ

= − − + −

= + − +

= − − + −

= + − +




Daher gilt es:


3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

ik

ik

ki

ki

EI EI EI EIL L L L

V EI EI EI EIM L LL LV EI EI EI EI

L L L LMEI EI EI EI

L LL L

− − − − = − − −

−

i

i

k

k

υϕυϕ

Steifigkeitsmatrix [K]




3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

ik

ik

ki

ki

EI EI EI EIVL L L LEI EI EI EIML L L LEI EI EI EI

V L L L LEI EI EI E

M L L L

− − − −

= − − −

−

i

i

k

kI

L

υϕυϕ

Daher gilt es:

Herleitung der Last-Verformungsgleichungen

Steifigkeitsmatrix [K]




Die Beiträge von jedem Freiheitsgrad (φΑ, φΒ, υΑ, υΒ ), können isoliert werden und umfassen die Spalten der folgenden Matrix.

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

ik

ik

ki

ki

EI EI EI EIL L L L


L L L LMEI EI EI EI

L LL L

− − − − = − − − −

i

i

k

k

υϕυϕ

υi υkφi φk




Die VerformungsmethodeDie Beiträge von jedem Freiheitsgrad (φi, φk, υi, υk ) können aus den vorherigen Matrix berechnet werden, Spalten 1 & 3 entsprechen den Verformungs-DOFs.

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

ik

ik

ki

ki

EI EI EI EIL L L L


L L L LMEI EI EI EI

L LL L

− − − − = − − − −

i

i

k

k

υϕυϕ

υk

* υk

υi

* υi




* φi

Die Beiträge von jedem Freiheitsgrad (φi, φk, υi, υk ) können aus den vorherigen Matrix berechnet werden. Spalten 2 & 4 entsprechen den Verdrehungs-DOFs.

φi

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

ik

ik

ki

ki

EI EI EI EIL L L L


L L L LMEI EI EI EI

L LL L

− − − − = − − − −

i

i

k

k

υϕυϕ

* φk

φk



4 2

2 4ik i

ki k

EI EIM L LM EI EI

L L

ϕϕ

=

Die VerformungsmethodeWenn wir nur die Moment-Drehungsbeziehung berücksichtigen für einen Balken mit Endknoten i, k, können wir den vorherigen Ausdruck in einer kompakteren Form schreiben

φi

4 2

2 4ik i

ki k

EI EIM L LM EI EI

L L

ϕϕ

= ⇒

φk Stabsteifigkeiten

( 1) : Moment in , das entsteht, wenn in ein Knotendrehwinkel 1 wirkt.( 1) : Moment in , das entsteht, wenn in ein Knotendrehwinkel 1 wirkt.

ik ik k k

ki ki i i

t M i kt M k i

= ϕ = ϕ =

= ϕ = ϕ =

Kreuzsteifigkeiten

Kreuzsteifigkeiten

( 1) : Moment in , das erforderlich ist, um in einen Knotendrehwinkel 1 zu erzeugen.( 1) : Moment in , das erforderlich ist, um in einen Knotendrehwinkel 1 zu erzeugen.

ik ik i i

ki ki k k

s M i is M k k

= ϕ = ϕ =

= ϕ = ϕ =

Stabsteifigkeiten



4 2

2 4ik i

ki k

EI EIM L LM EI EI

L L

ϕϕ

=

Die VerformungsmethodeWenn wir nur die Moment-Drehungsbeziehung berücksichtigen, können wir den vorherigen Ausdruck in einer kompakteren Form schreiben

φi

4 2

2 4ik i

ki k

EI EIM L LM EI EI

L L

ϕϕ

= ⇒

φk Stabsteifigkeiten Kreuzsteifigkeiten

i ki

k

Stab- & Kreuzsteifigkeiten für den BEB:



4 2

2 4ik i

ki k

EI EIM L LM EI EI

L L

ϕϕ

=

Die VerformungsmethodeWenn wir nur die Moment-Drehungsbeziehung berücksichtigen, können wir den vorherigen Ausdruck in einer kompakteren Form schreiben

φi

4 2

2 4ik i

ki k

EI EIM L LM EI EI

L L

ϕϕ

= ⇒

φk Stabsteifigkeiten Kreuzsteifigkeiten

i ki

k


nicht zwingend; abhängig von der Lagerung des betrachteten Stabes zwingend (Maxwell)

ik ki

ik ki

s st t

≠ →

= →



Die Beiträge von jedem Freiheitsgrad (φi, φk, υi, υk ) können superponiert werden.

Die Verformungsmethode – einseitig eingespannter Balken



Die Verformungsmethode – einseitig eingespannter Balken

* φk

* φi

* υi

* υk

Die Beiträge von jedem Freiheitsgrad (φΑ, φΒ, υΑ, υΒ ) können superponiert werden.



Zeichnung der MomenteDie Orientierung der Momente ist einfach zu definieren, entsprechend der verformten Figur und diesen empirischen Regeln:

für ein wirkenden Knotendrehwinkel

kφii

2EI L4EI L

Moment am KnotenMoment am Stabende

Moment am Knoten

Moment am Stabende

Richtung der Pfeile:von der Zugzone zur Drückzone

Richtung der Pfeile:von der Zugzone zur Drückzone



Zeichnung der QuerkräfteDie Querkräfte können über das Gleichgewicht berechnet werden, um den Momenten auszugleichen.

kφii

2EI L

4EI L

Moment am Stabende

Moment am Stabende

iV kV

( )( )

2

2

0 4 2 0 6

0 0 6

i k k

y i k i

M EI L EI L V L V EI L

F V V V EI L↑+= ⇒ + + = ⇒ = − ↓

= →− + = ⇒ = − ↑

∑∑

für ein wirkenden Knotendrehwinkel



Zeichnung der QuerkräfteDie Querkräfte können über das Gleichgewicht berechnet werden, um den Momenten auszugleichen.

kφii

2EI L

4EI L

26EI L26EI L

für ein wirkenden Knotendrehwinkel am linken Ende

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

ik

ik

ki

ki

EI EI EI EIL L L L


L L L LMEI EI EI EI

L LL L

− − − − = − − −

−

i

i

k

k

υϕυϕ



Die VerformungsmethodeDas Lösungsvorgehen ist für Balken und Fachwerke gleich und ist folgendermassen gegliedert:

1. Bestimmen Sie die kinematischen Freiheitsgrade der Struktur und den Grad der kinematischen Unbestimmtheit k. Eine Zeichnung der Verformungsfigur der Struktur hilft hierbei.

2. Das Superpositionsprinzip wird im Folgenden angewandt:

• Zustand “0”- Grundstab: Der Fall bei dem alle kinematischen Freiheitsgrade gehalten sind. Bestimmen Sie die Stabendmomente (Festeinspannmomente) für jedes Element infolge der aufgebrachten Last. Hierzu können die nachfolgenden Tabellen beigezogen werden.

• Zustand “i”, i=1…,k : Lösen Sie jeden einzelnen kinematischen Freiheitsgrad in Folge und berechnen Sie die infolge Einheitsverschiebung entstehenden Momente und Querkräfte.




3. Formulieren Sie die Gleichgewichtsbedingungen für jeden Knoten als Summe der superponierten Momente aller Zustände. Die Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen entspricht der Anzahl der unbekannten Knotenrotationen.

4. Im Falle von verschieblichen Systemen müssen Bedingungen für die translatorischen Freiheitsgrade (Verschiebungen) hinzugefügt werden. Diese werden typischerweise mittels Prinzip der virtuellen Arbeit oder Querkraftgleichgewichtsbedingung für Teile der Struktur formuliert.

5. Lösen Sie die obigen Gleichgewichtsbedingungen für die unbekannten Freiheitsgrade.

6. Substituieren Sie die Knotenrotationen in die Last-Verformungsgleichungen. Evaluieren Sie die Stabendmomente und die dazugehörigen Querkräfte.



Festeinspannmomente für beidseitig eingespannte Balken - Tabelle I

P

L/2 L/2P/2

PL/8

P/2

PL/8

P

a bPb2(3a+b)/L3

Pab2/L2

Pa2(a+3b)/L3

Pa2b/L2

M

L/2 L/2

6Mab/L3

M/4 M/4

a b

Mb(2a-b)/L2

6Mab/L3

M

3M/2L 3M/2L

Ma(2b-a)/L2

q

L/2 L/2qL/2

qL2/12

qL/2

L/2 L/2

a b

2qd/L2[ab2+(a-2b)d2/3]

qL2/12

qL/4

5qL2/96

qL/4

5qL2/96q

q

3qL/20

qL2/30

7qL/20

qL2/20

qd d 2qd/L2[a2b+(b-

2a)d2/3]

2qd [b/L+(ab-d2)(b-a)/L3] 2qd [a/L+(ab-d2)(b-a)/L3]

L/2 L/2



Festeinspannmomente für einseitig eingespannte Balken - Tabelle II

P

L/2 L/211P/16

3PL/16

5P/16

P

a b

Pab(L+b)/2L2

M

L/2 L/2

a b

M

q

L/2 L/2

qL2/8

L/2 L/2

a b

q

q

qd d

5qL2/64

qL2/15

M/2(1-3b2/L2)

M/8

A=Pa^2(b+2L)/(2L^3)

B=P-A

3/8qL5/8qL

qbd/L2[L2-b2-d2]

L/2 L/2



Stabendmomente infolge Verformungen - Tabelle IIIDie Herleitung dieser Begriffe, im Fall eines EEB, wurde früher anhand der EB-Theorie demonstriert (s. Folie).

φi

2 ik kiEI L t t= =

26EI L4 ik kiEI L s s= =

26EI L

υi26EI L

26EI L

312EI L

312EI L

beidseitig eingespannt

φi23EI L

3EI L

23 ikEI L s=

υi23EI L

33EI L

33EI L

einseitig eingespannt

Rotation Rotation

VerschiebungVerschiebung

* φi* φi

* υi* υi

0kit =



Stab- & Kreuz-Steifigkeiten - Tabelle III - BEBDie Herleitung dieser Begriffe, im Fall der BEB, wurde früher anhand der EB-Theorie demonstriert:

φi

2EI L

26EI L4EI L

26EI Lφk =0

Beidseitig eingespannt

Rotation

* φi

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

ik i i k k

ik i i k k

ki i i k k

ki i i k k

EI EI EI EIVL L L L

EI EI EI EIML LL L

EI EI EI EIVL L L L

EI EI EI EIML LL L

υ ϕ υ ϕ

υ ϕ υ ϕ

υ ϕ υ ϕ

υ ϕ υ ϕ

= − − + −

= + − +

= − − + −

= + − +

Das entspricht (s. Folie):




3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

ik i i k k

ik i i k k

ki i i k k

ki i i k k

EI EI EI EIVL L L L

EI EI EI EIML LL L

EI EI EI EIVL L L L

EI EI EI EIML LL L

υ ϕ υ ϕ

υ ϕ υ ϕ

υ ϕ υ ϕ

υ ϕ υ ϕ

= − − + −

= + − +

= − − + −

= + − +

Stab- & Kreuz-Steifigkeiten - Tabelle III - BEBDie Herleitung dieser Begriffe, im Fall der BEB, wurde früher anhand der EB-Theorie demonstriert:

φi

2EI L

26EI L4EI L

26EI Lφk =0

Beidseitig eingespannt

Rotation

* φiDas entspricht (s. Folie 19):




Stab- & Kreuz-Steifigkeiten - Tabelle III - EEBFür den einseitig eingespannten Balken EEB, ignorieren wir φk, die sich in Bezug auf die weiteren Freiheitsgraden ausdrücken lässt (wegen Mk=0). Dann die Last-Verformungsbeziehungen sehen so aus

φi

23EI L3EI L

23EI LφB nichtbetr.

Einseitig eingespannt

Rotation

* φi

3 2 3

2 2

3 2 3

3 3 3

3 3 3

3 3 3

0

ik i i k

ik i i k

ki i i k

ki

EI EI EIVL L LEI EI EIM

LL LEI EI EIVL L L

M

υ ϕ υ

υ ϕ υ

υ ϕ υ

= − − +

= + −

= − − +

=2 26 2 6 4 0

3 1 32 2 2

ki i i k k

k i i k

EI EI EI EIML LL L

L L

υ ϕ υ ϕ

ϕ υ ϕ υ

= + − + =

⇒ = − − +



3 2 3

2 2

3 2 3

3 3 3

3 3 3

3 3 3

0

ik i i k

ik i i k

ki i i k

ki

EI EI EIVL L LEI EI EIM

LL LEI EI EIVL L L

M

υ ϕ υ

υ ϕ υ

υ ϕ υ

= − − +

= + −

= − − +

=

Stab- & Kreuz-Steifigkeiten - Tabelle III - EEBFür den einseitig eingespannten Balken EEB, ignorieren wir φk, die sich in Bezug auf die weiteren Freiheitsgraden ausdrücken lässt (wegen Mk=0).

Dann die Last-Verformungsbeziehungen sehen so aus

φi

23EI L3EI L

23EI LφB nichtbetr.

Einseitig eingespannt

Rotation

* φi

Stab- & Kreuzsteifigkeiten für den EEB:



φ2 ist der einzige Freiheitsgrad dieses Systems, folglich;k=1

Beispiel - einfacher Balken mit gleicher Spannweite

x,u

z,w

F

l/2 l/2

1. Bestimmen Sie die kinematischen Freiheitsgrade der Struktur und den Grad der kinematischen Unbestimmtheit k. Eine Zeichnung der Verformungsfigur der Struktur hilft hierbei.

φ212

3



F

l l/2

12

3

• a) Zustand“0” - Grundstab: Der Fall bei dem alle kinematischen Freiheitsgrade gehaltensind. Bestimmen Sie die Festeinspannmomente für jeden einseitig eingespanntenBalken (EEB) infolge der aufgebrachten Last. (vgl. Tabellen in vorherigen Folien)

1keine

Beanspruchung11F/16

3Fl/16

5F/16

Alternativ können die Festeinspannmomente für den Stab 2-3 durch die Kraftmethode ermittelt werden.

l/2

Beispiel

EEB EEB

2EEB 3EEB



2. a) Zustand“0”: Die resultierenden Festeinspannmomente und Querkräfte sind:

12 3

keineBeanspruchung

11F/16

3Fl/16

5F/16

0 0 0 012 21 23 32

30 & , 016FlM M M M= = = =

Festeinspannmomente

Festeinspannquerkräfte

0 0 0 012 21 23 32

11 50 & , 16 16

F FV V V V= = = − =

Respektiere die dazugehörige Vorzeichenkonvention!

Beispiel

(1)

(2)

EEB EEB



l l

12

3

2. b) Zustand“1” : Lösen des kinematischen Freiheitsgrads φ2, und Berechnung der Stabendmomente und Stabendquerkräfte infolge φ2=1. (Tabelle III)

φ2

Beispiel

1

23EI l23EI l

3EI lEEB

2 3

3EI l

23EI l23EI l

EEB



1 2 3

1 1 1 112 21 23 32

3 30, & , 0EI EIM M M Ml l

= = = =

Endmomente

Endquerkräfte

1 1 1 112 21 23 322 2

3 3 & EI EIV V V Vl l

= = − = = −

Beispiel

(3)

(4)

3EI l

23EI l23EI l 23EI l23EI l

3EI l

2. b) Zustand“1” : Lösen des kinematischen Freiheitsgrads φ2, und Berechnung der Stabmomente und Querkräfte infolge φ2=1.

Respektiere die dazugehörige Vorzeichenkonvention!



l l

12

3

3. Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen am Knoten 2 (wo φ2 gelöstwurde) mittels Superposition der Momente von allen Zuständen.

φ2

Beispiel

2 21 230 0M M M= ⇒ + =∑

( ) ( )0 1 0 121 21 23 232

0

3 3 3 6 30 016 16 32

M M M M

EI Fl EI EI Fl Fll l l EI

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

+ ⋅ + + ⋅ = →

+ ⋅ + + ⋅ = ⇒ = − ⇒ = −

(1),(3)

4. Auflösen der Gleichgewichtsbedingungen nach den unbekannten Knotenrotationen.

21M 23M2



l l

12

3

5. Mittels Substitution der ermittelten Knotenrotationen in die Superpositions-gleichungen können die Endmomente und Querkräfte ermittelt werden.

φ2

Beispiel

20 1

21 21 21 21

20 1

23 23 23 23 21

3 3032 32

3 3 316 32 32

EI Fl FlM M M Ml EI

Fl EI Fl FlM M M M Ml EI

ϕ

ϕ

= + ⋅ = + ⋅ − ⇒ = −

= + ⋅ = + ⋅ − ⇒ = = −

Endmomente

Endquerkräfte2

0 121 21 21 212

20 1

23 23 23 232

3 3032 32

11 3 1916 32 32

EI Fl FV V V VEIl

F EI Fl FV V V VEIl

ϕ

ϕ

= + ⋅ = − ⋅ − ⇒ =

= + ⋅ = − − ⋅ − ⇒ = −



l l

12

3

Die Gleichgewicht im Knoten 2 ermöglicht die Berechnung der vertikalen Auflagereaktion am Knoten 2,

φ2

Beispiel

23 21 2 2110 016z

FF V V R R↑+

= ⇒ − + = ⇒ =∑21V 23V

2Rwährend die vertikale Reaktion in den Knoten 1,3 via Superposition bestimmt wird.

20 1

12 12 12 122

20 1

32 32 32 322

3 3032 32

5 3 1316 32 32

EI Fl FV V V VEIl

F EI Fl FV V V VEIl

ϕ

ϕ

= + ⋅ = − ⋅ − ⇒ =

= + ⋅ = − ⋅ − ⇒ =

1332

F

31332

FR =

332F

1332FR =



l l

12

3

Nun können die Schnittkräftediagramme für das Biegemoment und die Querkraft gezeichnet werden. Vergewissern Sie sich, dass Sie beim Zeichnen die klassische Vorzeichenkonvention benutzen.

Beispiel

F

1 32

21 233 332 32Fl Flwo M M = − = −

[M]

6.532

Fl

+

_

Querkraftdiagram?Hausübung

Zeichnen immernach klassischenKonvention



Das Drehwinkelverfahren

j iij

ij ij

w wl l

ψ− ∆

= =

Wenn sich die Länge eines Stabes nicht ändert, lassen sich dessen Knotenverschiebungen senkrecht zur Stabachse gemäß:

Source: K. Meskouris, E. Hake, Statik der Stabtragwerke

durch eine Stabsehnenverdrehung ausdrücken.

Die relative Verschiebung Δ = wj - wi(senkrecht zur Stabachse) wird nun als funktion von ψij geäussert.

Das bietet eine äquivalente Formulierung der Verformungsmethode, die auf der Verwendung des Drehwinkels der Stabachse beruht. In diesem Fall werden alle Verformungen im Sinne von Verdrehungen (d.h. keine Verschiebungen) ausgedrückt.

q(x)

lij

i j

wiwj

j

i

ψij

ψij φj

φiΔ



Gegenüberstellung des allgemeines & des Drehwinkel- Verfahrens

j

i

ψij

ψij

Δ

26Tabelle III 6

wo

ij jiij ji ij

ij

EIM M EIM Mlllψ

ψ

++

⇒ = =− ∆⇒ = =−∆ =

Wir können nun auch Verschiebungen als Verdrehungen (Drehwinkeln) ausdrücken!

j

j´

Δ

i

aus Tabelle III

Für einen beidseitig eingespannten Balken (BEB), gilt es:

Allgemeines Verfahren Drehwinkelverfahren

Verschiebesteifigkeit



Das DrehwinkelverfahrenDeshalb treten als Unbekannte nur Verdrehungen auf, und zwar Knotendrehwinkel φ und Stab-drehwinkel ψ. Um das Verfahren zu systematisieren, wird für diese Winkel die angegebene Vorzeichenregelung getroffen (s.u.).

φj

Positive Vorzeichenkonvention

ψij

q(x)

lij

i j

j

i

ψij

ψij φj

φi

wiwj

Δ




Das Drehwinkelverfahren dient der Berechnung der Stabendmomente. Ein StabendmomentMij setzt sich im Allgemeinen aus drei Anteilen zusammen:• dem Festspannmoment des Grundstabs,• den Einflüssen der Knotenverdrehungen φi und φj• dem Einfluss der Verschiebungen die nun in Bezug auf den Stabdrehwinkel ψij

ausgedrückt werden

Die Festeinspannmomente können mit Hilfe der Kraftmethode berechnet oder für ausgewählte Lastfälle den Tabellen I und II entnommen werden.

Nach der Ermittlung der unbekannten Drehwinkel und der Stabendmomente ergibt sich der Momentenverlauf durch Superposition mit den Momenten des gelenkig gelagerten Einfeldträgers.


0ijM

q(x)

lij

i j

j

i

ψij

ψij φj

φi

wiwj

Δ



Stabendmomente bei stabweise konstantem Trägheitsmoment

Als Grundstäbe, deren Endmomente zu berechnen sind, treten (1) der beidseitig (BEB) und (2) der einseitig eingespannte (EEB), gerade Stab auf. Deren Festeinspannmomente können mit Hilfe des Kraftgrössenverfahrens berechnet werden. In den Tabellen I und II sind diese für Standardlastfälle angegeben.


Grundstab: Festeinspannmomente

Stabendmomente infolge Knotenverdrehung (Stab- & Kreuz- Steifigkeiten)

bei gelenkiger Gegenseite 3ij iEIMlφ

+

=

i jφi

i jφi

φj

bei beidseitiger Einspannung:(Superposition)

4 2

2 4

ij i j

ji i j

EI EIMl lEI EIMl l

φ φ

φ φ

+

+

= +

= +

Gemäss Tabelle III für die Stabendmomente infolge ϕi , gilt demnach:

bei eingespannter Gegenseiteφii j4 2, ij i ji i

EI EIM Ml l

φ φ+ +

= =



Erinnerung - Steifigkeiten

( 1) : Moment in , das erforderlich ist, um in einen Knotendrehwinkel 1zu erzeugen.


ik ik i i

ki ki k k

s M i i

s M k k

= ϕ = ϕ =

= ϕ = ϕ =

Stabsteifigkeiten


ik ik k k

ki ki i i

t M i kt M k i

= ϕ = ϕ =

= ϕ = ϕ =

Kreuzsteifigkeiten



Erinnerung – Steifigkeiten BEB & EEB



ik ik i i

ki ki k k

s M i i

s M k k

= ϕ = ϕ =

= ϕ = ϕ =

Stabsteifigkeiten


ik ik k k

ki ki i i

t M i kt M k i

= ϕ = ϕ =

= ϕ = ϕ =

Kreuzsteifigkeiten

beidseitig eingespannter Balken4 2, ij ji ji ij

EI EIs s t tl l

= = = =

einseitig eingespannter Balken3 , 0ij i ij

EIs tlφ= =

φii j

i jφi



Stabendmomente infolge des Drehwinkels

j

j´

Δ

i

aus Tabelle III

Allgemeines “φ-Δ” Verfahren Drehwinkelverfahren

26EI L∆

26EI L∆ 6 ijEI LψBEB j

i

ψij

ψij

Δ

6 ijEI Lψ

ij Lψ ∆=

= Verschiebesteifigkeit vij

j

i

ψij

ψij

Δ

3 ijEI Lψ

ij Lψ ∆=

Verschiebesteifigkeit vji=

j

j´

Δi aus Tabelle III

23EI L∆EEB




EEB - Einseitige Einspannung ( i ) :

( )3 3, 0ij ij ij ij ijEI EIM v s tl lψ+ = − = − + = − +

BEB - Beidseitige Einspannung:

( )6 4 2,ij ji ij ij ji ij ijEI EI EIM M v v s tl l lψ+ = = − = = − + = − +

EEB - Einseitige Einspannung ( j ) :

( )3 3, 0ji ji ji ji jiEI EIM v s tl lψ+ = − = − + = − +

jψij

ψji

i j

i j

i

Verschiebesteifigkeiten ( )ij ij ijv s t= − +



Der Drehwinkel ψij kann als äquivalent zu die Verformung induziert durch zwei umgekehrteKnotenverdrehungen φi = φj = - ψij gesehen werden.

Somit gilt:

Warum ist die Verschiebesteifigkeit als definiert?

j

i

ψij

ψij


( )ij ij ijv s t= − +

ji

φi4

ijij

EIsl

=

(*)iij ij iM sϕ ϕ= − iji ji iM t

ϕ ϕ= −

2ji

ij

EItl

=

BEBj

iφj

2ij

ij

EItl

=

jij ij jM tϕ ϕ= − jji ji jM s

ϕ ϕ= −

4ji

ij

EIsl

=BEB

-ψijji

-ψijijMjiM

( )jiij ij ij ij ij ijM M M s tϕϕ ψ= + = − + ( )jiji ji ji ji ji ijM M M s tϕϕ ψ= + = − +ijv ijv

(*) negativ weil im Uhrzeigersinn



( ) ( 1) : Moment in , das entsteht, wenn ein Stabdrehwinkel 1 wirkt.( ) ( 1) : Moment in , das entsteht, wenn ein Stabdrehwinkel 1 wirkt.

ik ik ik ik ik ik

ki ki ki ki ki ki

v s t M iv s t M k

= − + = ψ = ψ =

= − + = ψ = ψ =

Verschiebesteifigkeiten

nicht zwingend; abhängig von der Lagerung des betrachteten Stabes zwingend (Maxwell)

ik ki

ik ki

ik ki

s st tv v

≠ →

= →

=





Die vollständigen Gleichungen der Stabendmomente erhält man durch Zusammenfassungder drei einzeln behandelten Einflüsse:


Zusammenfassung

( )0ij

ij ij ij i ij j ij ij ij

v

M M s t s tϕ ϕ ψ= + + − +

0 Festeinspannmoment Stabsteifigkeit Kreuzsteifigkeit

, Knotendrehwinkel Stabdrehwinkel

ij

ij

ij

i j

ij

Mstϕ ϕ

ψ




Tabelle IV (dies folgt aus Tabelle 3)

Zusammenfassung

Steifigkeit BEB EEB EEB

Stab-

Kreuz-

Verschiebe-

4ij ji

EIs sL

= = 3ijEIsL

=

2ij ji

EIt tL

= =

6ij ji

EIv vL

= =

0jit =

3ij ji

EIv vL

= = ij ij ijv s t= +

3ji

EIsL

=

0ijt =

3ij ji

EIv vL

= =

( 1) : Moment in , das erforderlich ist, um in einen Knotendrehwinkel 1 zu erzeugen.( 1) : Moment in , das erforderlich ist, um in einen Knotendrehwinkel 1 zu erzeugen.

ik ik i i

ki ki k k

s M i is M k k

= ϕ = ϕ =

= ϕ = ϕ =


ik ik k k

ki ki i i

t M i kt M k i

= ϕ = ϕ =

= ϕ = ϕ =




Die vollständigen Gleichungen der Stabendmomente erhält man durch Zusammenfassungder drei einzeln behandelten Einflüsse:


Zusammenfassung

bei einseitiger Einspannung (i) :

( )

( )

0

0

2 2 3

2 2 3

ij ij i j ij

ji ji i j ij

EIM MlEIM Ml

φ φ ψ

φ φ ψ

= + + −

= + + −i j

bei beidseitiger Einspannung:

i j

bei einseitiger Einspannung (j) : ( )

0 3ji ji j ji

EIM Ml

φ ψ= + − i j

( )0 3ij ij i jiEIM M l φ ψ= + −



Das DrehwinkelverfahrenBeispiel - Unverschiebliches System mit Belastung


Das im Bild dargestellten Beispiel soll nach dem Drehwinkelverfahren berechnet werden. Wegen der elastischen Unverschieblichkeit treten nur die drei Knotendrehwinkel ϕ2, ϕ3 und ϕ4als Unbekannte auf. Die Festeinspannmomente lauten:

φ2φ3 φ4

20 0 034 4534 43 45

0 0 034 43 452 2

34 45

3: 64 , 67infolge infolge :

infolge :

.512 16

6 345 , 40

pl PlM M kNm M kNm

EI EIM M s kNm M s kNml

P

l

p

s

= − = = = =

= = ∆ = = − ∆ = −∆

Zustand“0”- Grundstab

IR=24, IS=12





φ2 φ3 φ4

( ) ( )

( ) ( )

12 2 21 2 23 2 3 32 2 312 12 23 23

34 3 4 43 3 4 45 423 23 23

2 4 2 2, , 2 , 2

2 2 32 , 2 ,

i i i iS S R R

i i iR R R

EI EI EI EIM M M Ml l l lEI EI EIM M Ml l l

φ φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ

= = = + = +

= + = + =

Stabendmomente wegen Knotendrehwinkel (Stabdrehwinkel=0)

Zustand“i”

Durch Superposition: 0 iij ij ijM M M= + +

IR=24, IS=12





φ2 φ3 φ4

2 21 23 2 2 3

12 243 32 34 3 2 3 4

4 43 45 4 3 4

2 3 4

0 28 8 0

0 109 8 28 6 0

0 8.5 6 24 0

1.2611, 4.4137, 0.7493

S RI sei gleich I

M M M M

M M M M

M M M M

φ φ

φ φ φ

φ φ

φ φ φ

⇒ =

= + = = + = = + = → = + + + =

= + = = + + =

⇒ = = − =

∑ ∑∑ ∑∑ ∑

Knotengleichungen





φ2 φ3 φ4

Demnach

Momentenfläche infolge p, P und s

Zeichnen immer nachklassischen Konvention

Slide Number 1Slide Number 2Slide Number 3Slide Number 4Slide Number 5Slide Number 6Slide Number 7Slide Number 8Slide Number 9Slide Number 10Slide Number 11Slide Number 12Slide Number 13Slide Number 15Slide Number 16Slide Number 17Slide Number 18Slide Number 19Slide Number 20Slide Number 21Slide Number 22Slide Number 23Slide Number 24Slide Number 25Slide Number 26Slide Number 27Slide Number 28Slide Number 29Slide Number 30Slide Number 31Slide Number 32Slide Number 33Slide Number 35Slide Number 36Slide Number 37Slide Number 38Slide Number 39Slide Number 40Slide Number 41Slide Number 42Slide Number 43Slide Number 44Slide Number 45Slide Number 46Slide Number 47Slide Number 48Slide Number 49Slide Number 50Slide Number 51Slide Number 52Slide Number 53Slide Number 54Slide Number 55Slide Number 56Slide Number 57Slide Number 58Slide Number 59Slide Number 60Slide Number 61Slide Number 62Slide Number 63Slide Number 64Slide Number 65Slide Number 66Slide Number 67Slide Number 68Slide Number 69Slide Number 70

Method of Finite Elements I - Homepage | ETH Zürich · 2020. 3. 22. · statisch unbestimmter...

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