Post on 19-Jul-2015
SobreMecánica Cuántica
Dr. David G. Pacheco Salazar
Escuela Profesional de Física e-mail: davidpachecos@gmail.com
Y si tuviese profecía, y entendiese todos los misterios y toda ciencia, y si tuviese toda la fe, de tal manera que trasladase los montes, y no tengo amor, nada soy.
1ra Corintios 13:2
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Years That Shook Physics”1864 Maxwell Equations1887 Michelson-Morley exp. debunks “ether” 1895 Rontgen discovers x rays1897 Becquerel discovers radioactivity1897 Thomson discovers the electron1900 Planck proposes energy quantization1905 Einstein Photoelectric Effect1911 Rutherford discovers the nucleus1911 Braggs and von Laue use x rays to determine crystal structures1911 Ones finds superconductors1913 Bohr uses QM to explain hydrogen spectrum1914 Proton is discovered1915 Einstein proposes general relativity 1923 Compton demonstrates particle nature of light1923 de Broglie proposes matter waves1925 Davisson & Germer prove matter is wavelike1925 Heisenberg states uncertainty principle1926 Schrodinger develops wave equation1924-6 Boson and Fermion distributions developed1934 Neutron is discovered
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“Cuántico” viene de la palabra “QUANTUM”, que en latín significa “cuanto”. En términos de la física, el comportamiento cuántico es aquel donde cantidades físicas como la energía se dan en la naturaleza solo en ciertos valores específicos, o “ p a q u e t e s ” .
En el átomo de hidrogeno, mientras mas lejos este el electrón del núcleo, menos energía tiene. PERO solo puede estar a ciertas
distancias, no a cualquiera
Una manera de verlo:
En el sistema solar, mientras mas lejos este el planeta del sol, menos energía potencial tiene
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Mecánica Clásica vs Mecánica Cuántica
A s í c o m o n e c e s i t a m o s g e n e r a l iz a r la s le y e s f í s ic a s a la r e la t iv id a d p a r a c a s o s d e m u c h a v e lo c id a d o m a s a , a n iv e l a t ó m ic o , la s p a r t íc u la s s e c o m p o r t a n d e m a n e r a d i f e r e n t e a lo q u e v e r ía m o s e n o b je t o s a s im p le v is t a .Un átomo esta compuesto esencialmente de varias partículas
cargadas eléctricamente. Los e le c t r o n e s (carga negativa) giran en torno a los p r o t o n e s(carga positiva) y n e u t r o n e s
(sin carga) en su núcleo
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¿Qué sabían al final del siglo XIX?
•Movimiento de los planetas: mecánica clásica (NEWTON)•Electricidad (rayos, creación y control de la electricidad), magnetismo (imanes, corrientes). •Ondas (Sonido, luz)•Química (Dalton, Lavoisier, Avogadro, Mendeleev) •Termodinámica, Mecánica Estadística (Maxwell, Boltzmann)
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¿De qué están hechas las cosas? •¿Existen los átomos?•Propiedades: ¿cantidad, variedad, tamaño, interacciones entre ellos? •Relación entre luz y materia
•Tamaño y origen del universo•ADN, neuronas
¿Qué NO sabían al final del siglo XIX?
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J.J. Thompson (1856-1940) descubre el “electrón” (Cambridge, UK)
Premio Nobel Física, 1906
Descubrimiento del electrón. (Cambridge, UK)
•Hay “algo” dentro de la materia con carga negativa y muy ligero•Tiene que haber algo con carga positiva•Primera “partícula” sub-atómica
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M. Planck(1858-1947)
Premio Nobel Física, 1918
Cuantización de la energía(Berlin, Alemania)
EspectroEmisión
Cuerpo negroIn
tens
idad
Longitud deonda
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Mecánica CuánticaEsta pequeña variación en la manera de comportarse le da explicación a varios fenómenos que no se entendían
- Ej: Radiacion de cuerpo negro
En el caso de la luz, también se encontró que esta no solo se comportaba como una onda, sino que como partícula: F O T O N
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Todo está formado por átomos, pero y la Luz?
L a L u z e r a in ic ia lm e n t e d e f in id a c o m o u n a o n d a .
Pero se descubrió el E f e c t o C o m p t o n , que demuestra su condición de partícula
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Y e s d e e s t a m a n e r a c o m o la lu z in t e r a c t ú a c o n lo s á t o m o s :
Á tomos absorben fotones completos, quedando en un estado de mayor energía, y luego los vuelven a emitir.
En los espectro de líneas, podemos ver claramente que los átomos de un gas puro solo emiten (y absorben) fotones de determinados colores
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Cuantización
ωNE =Constante de Planck
MASA=M
Velocidad v
2
21
mvE =
2 4 6 8 10
2
4
6
8
2 4 6 8 10
2
4
6
8
10
12
14
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Premio Nobel Física, 1921http://www.phys.virginia.edu/classes/252/photoelectric_effect.html
Explicación del efecto fotoeléctrico
Albert Einstein (1879-1955)
18http://www.phys.virginia.edu/classes/252/photoelectric_effect.html
1) Confirmación de la hipótesis atómica2) Confirmación de la hipótesis de Planck3) Crisis del concepto de tiempo absoluto y
reforma de la mecánica de Newton
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Observa estructura atómica=Nucleos + electrones
Premio Nobel Química, 1908http://www.rutherford.org.nz/biography.htm
http://people.hofstra.edu/faculty/Terry_L_Brack/courses/chem3a/elements/sld021.htm
Ernerst Rutherford (1871-1937)Cambridge (UK), McGill,Montreal (Canada), (Manchester, UK)
291 2 3 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Problemas: 1) estabilidad de los átomos, 2) Espectro de emisión
xx
x
xx
xx
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SOLUCION:Cuantización órbitas atómicas
Premio Nobel Física, 1922
Niels Bohr(1885-1962)(Manchester, UK)(Copenhagen, Denmark)
La energía de loselectrones está
cuantizada
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Los electrones se comportan a la vez como ondas y como partículas.
Premio Nobel Física, 1929
Louis De Broglie (1892-1987)
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Experimento Clásico de Doble Hendidura
Se dirige un haz de luz hacia 2 ranuras, por efecto de la interferencia de ondas se obtiene el patrón mostrado...
Comportamiento típico de O N D A S
In t e r f e r e n c ia
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Y las partículas?
Ahora, qué ocurrirá si en vez de usar un haz de luz, usáramos un haz de electrones?
Normalmente esperaríamos que fuera como disparar balas
Las que entraran por los agujeros pasarían derecho a la
muralla
Comportamiento típico de P A R T IC U L A S
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Sin embargo...
• Se forma el mismo patrón de interferencia que con las ONDAS!• Esto significa que el electrón pasa por AMBAS ranuras a la vez...
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1921: Recapitulando
3 hipótesis fenomenológicas– Hipótesis de Planck– Modelo Einstein– Modelo de Bohr
1 Principio “filosófico”: De Broglie
Muchos experimentos (Rutherford, Millikan, Cuerpo
negro, átomo hidrógeno)
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Formulación de la ecuación generalde la mecánica cuántica.
Premio Nobel Física, 1933
-3 -2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Erwin Schrodinger(1887-1961) (AUS)Graz, Berlin, Dublin
Un electrón queda completamente descritopor su función de onda.
= Probabilidad de encontrar electrón en x
2)(xΨ
=Ψ 2)(x
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Premio Nobel Física, 1932
W. Heisenberg (1901-1976)
Formulación matricialde la mecánica cuántica.Principio de incertidumbre
mvx
≥∆⋅∆
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In c e r t id u m b r eLos científicos deterministas decían que se podía encontrar
una descripción (matemática) que permitiera explicar todo, incluso el comportamiento humano, siempre que se lograrán conocer las condiciones iniciales... PERO !
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P r in c ip io d e In c e r t id u m b r e
La mecánica cuántica encontró que:
N o es posible medir con precisión la P OSI C I ON y la V E LOC I DA D de una partícula al mismo tiempo
Finalmente, cantidades tan normales para nosotros de medir como estas, se transforman en “p r o b a b i l id a d e s ” de encontrar una partícula con una cierta posición y una cierta velocidad
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¿ P a r t íc u la s v e r g o n z o s a s ?
A escala atómica, ningún aparato puede decirnos al mismo tiempo exactamente dónde y exactamente a qué velocidad se está moviendo una partícula.
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P r in c ip io d e In d e t e r m in a c ió n
En otras palabras, nuestro otrora simple y redondito electrón pasa a ser una F u n c ió n d e P r o b a b i l id a d de encontrarlo a lo largo de alguna cierta extensión espacial. Esto va asociado a la naturaleza de o n d a que tienen las partículas
E s como si toda su carga y su masa estuviesen distribuidos según una cierta manera, pero en cuanto nosotros metemos la mano (o algún instrumento) para hacerlo reaccionar y medir alguna de sus propiedades, va a depender del proceso si se va a comportar como partícula o como onda
Lo mismo sucede con todas las p a r t íc u la s s u b -a t ó m ic a s .
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Las Reglas Cuánticas ...
• Función de onda: descripción más completa
• Cuadrado de función de onda = PROBABILIDAD de que
algo ocurra
• La función de onda = solución de ecuación de
Schrödinger
• Principio de superposición:
21 Ψ+Ψ=Ψ
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Probabilidad, Funciones de onda y la interpretacion de Copenague
Si las partículas son ondas … ¿ qué es lo que ondula ?
Probabilidad
La funcion de onda permite establecer la probabilidad de encontrar una partícula en un dado momento y un dado lugar del espacio.
La probabilidad de encontrar la particula en “alguna parte” tiene que ser 1. La función de onda debe ser normalizada.
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El potencial a veces no depende del tiempo, y la dependencia de ψ en el tiempo y el espacio se puede separar. Entonces queda:
ahora dividimos por la función ψ(x) f(t):
El lado izquierdo depende solo de t, y el derecho solo de x. Por lo tanto, cada lado tiene que ser constante !!
La ecuación de autovalores de Schrödinger
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Integramos en ambos lados:
donde C es la constante de integracion (ponemos cero).
Por lo tanto:
Si recordamos la solución de la partícula libre:
en que f(t) = e -iω t, asi que: ω = B / ħ, lo que significa que B = E !
Entonces, multiplicando por ψ(x), la ecuación de Schrödinger solo dependiente del espacio (no del tiempo) queda:
La ecuación de autovalores de Schrödinger
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Esta ecuacion se llama de “autovalores” o la “ecuacion de Schrödinger independiente del tiempo” Es tan fundamental como la otra, pero ha generado errores en muchos cursos de cuántica: Esta ecuación solo aplica en casos estacionarios.
Para simplificar, se escribe asi:
donde:
H Eψ ψ=
2 2
2ˆ
2H V
m x
∂= − +∂
Es el operador Hamiltoniano.
H
La Ecuación de Autovalores de Schrödinger
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¿ que es un “operador” ?
Un operador “opera” sobre una funcion y da como resultado otra funcion. Los operadores útiles son cosas que uno puede medir, “observables”.
Ejemplo: Este operador, deriva una funcion respecto de t, divide por la misma funcion y multiplica por ih
2 2
2ˆ
2H V
m x
∂= − +∂
Este es el operador hamiltoniano.
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Valor medioSi medimos una magnitud repetidas veces, o medimos un conjunto grande de partículas, obtenemos el promedio de esa magnitud. Llamado “valor medio o “expectation value” en ingles. El valor medio de la posición x es:
Eso era para x discreto, si x es continua, hay que integrar:
1 1 2 2 N N i i
i
x Px P x P x P x= + + + = ∑L
x
( )x P x x dx= ∫* *( ) ( ) ( ) ( )x x x x dx x x x dx= Ψ Ψ = Ψ Ψ∫ ∫
Y esto da:
Para cualquier funcion de x, por ejemplo g(x):
*( ) ( ) ( ) ( )g x x g x x dx= Ψ Ψ∫
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La partícula en una cajaLa particula en la caja consiste en un electron oalgo así que está encerrado en una caja de paredes indestructibles y durísimas. La energía potencial dentro de la caja es cero, y en la pared sube a infinito punto rojo:
La función ψ debe caer a cero donde el potencial es ∞.Dentro de la caja V=0 y la funcion de Schrödinger vale:
La solución general es:
x0 L
donde
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Las condiciones de borde del potencial V
hacen que ψ tiene que ser cero a x = 0 y a x = L. Esto hace que solo valgan las
soluciones con n entero, como kL = nπ.
La funcion de onda es:
La normalizamos:
y la ψ normalizada es:
Hay ciertas restricciones
⇒
x0 L
2 /A L=⇒
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La Energía esta cuantizada
Los valores de k válidos en estado estacionario son:
Si se calcula la Energía da:
La energía depende del valor de n y no puede ser cero.
El caso especial de n = 1 recibe el nombre
de “estado basal”.
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Mecánica Cuántica
Imprescindible para reconciliar hipótesis atómica con experimentos
Imprescindible para entender estabilidad de la materia Imprescindible para entender la tabla periódica
(química) Nos permite entender la naturaleza
a escala atómica
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El experimento del gato de Schrödinger o paradoja de Schrödinger es un experimento imaginario, diseñado por Erwin Schrödinger para exponer uno de los aspectos más extraños, a priori, de la mecánica cuántica.
Supongamos un sistema formado por una caja cerrada y opaca que contiene un gato, una botella de gas venenoso, una partícula radiactiva con un 50% de probabilidades de desintegrarse y un dispositivo tal que, si la partícula se desintegra, se rompe la botella y el gato muere. Al depender todo el sistema del estado final de un único átomo que actúa según la mecánica cuántica, tanto la partícula como el gato forman parte de un sistema sometido a las leyes de la mecánica cuántica.
Gato de Schrödinger
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Siguiendo la interpretación de Copenhague, mientras no abramos la caja, el gato está en un estado tal que está vivo y muerto a la vez. En el momento en que abramos la caja, la sola acción de observar al gato modifica el estado del gato, haciendo que pase a estar solamente vivo, o solamente muerto.
Esto se debe a una propiedad física llamada superposición cuántica.
Gato de Schrödinger
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Explicación cuánticaMientras no abramos la caja, el gato está en un estado tal que está vivo y muerto a la vez. En el momento en que abramos la caja, la sola acción de observar al gato modifica el estado del gato, haciendo que pase a estar solamente vivo, o solamente muerto.
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Efecto Túnel
Hechos experimentales
•Decaimiento alfa (nucleos de Helio)
•Transmisión de electrones en los diodos y transistores
Clásicamente es imposible, pero la naturaleza ondulatoria del electrón le permite atravesar barreras de energía
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Tunelamiento
Se puede considerar que el tuneleo es una manifestación mas del principio de incertidumbre. ∆E. ∆t > ħ La partícula puede violar la conservación de energía en una cantidad ∆E por un tiempito del orden de ∆t ~ ħ / ∆E.
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Aplicaciones: Creación de DIODOS => permite el desarrollo de la electrónica como la conocemos, es decir, los computadores,
controladores, naves accionadas remotamente, satélites, etc. ...Y tal vez mucho más en el futuro.
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¿ Q u é n o s d ic e ¿ Q u é n o s d ic e e n t o n c e s la m e c á n ic a e n t o n c e s la m e c á n ic a
C u á n t ic a ? ? ? !C u á n t ic a ? ? ? !
La Mecánica cuántica ya no describe el mundo en función de
parámetros extractos, sino de probabilidades...
Hechos:ii) Dualidad partícula ondaiii) Principio de Incertidumbre
N uevo modelo del Á tomo C uántico
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Mecánica Cuántica: la teoría de TODO
Química deAtomos y Moléculas(< 10.000 átomos)
Estructura electrónica de sólidos:Metales, aislantes, semiconductoresMagnetismoSuperconductividad.>10.000 átomos
Física Nuclear.Física de Partículas
+ Relatividad
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Mecánica Cuántica:la teoría de los sólidos
Estructura electrónica de sólidos:Metales, aislantes, semiconductoresMagnetismoSuperconductividad.>10.000 átomos
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¿Qué pasa con los “semiconductores”?
Unas muestras conducen y otras no
Portadores de carga positiva
La conductividad depende de la temperatura
El problema de las interfases
Pauli: Semiconductors are the physics of the dirt
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Principio de “exclusión”
W. Pauli(1900-1958)Premio Nobel Física, 1945
Sociología de los electrones (I)
E. Fermi (1901-1954)Premio Nobel Física, 1938
Paul Dirac(1902-1984)CambridgeFlorida
Generalizan mecánica estadísticapara el caso de electrones
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Mecánica Cuántica de losElectrones en un cristal
Premio Nobel Física, 1952
Felix Bloch 1905-1983(Suiza)
Zonda Prohibida
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“Física del estado sólido”
• Arnold Sommerfield (Ale): termodinámica de metales• A. H. Wilson :
• Metales vs aislantes• Semiconductores
• E. Wigner, F. Seitz (Princeton, U.S.) : PRIMER CALCULO REALISTA de la ESTRUCTURA ELECTRÓNICA de un SOLIDO
• J. Bardeen, E. Wigner (Princeton, US): Función de trabajo de un metal (propiedades de superficies)
• J. Shockley, J. Slater (M.I.T., US): estados de superficie
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II Guerra Mundial43 Millones de Muertos
•Francis Crick: diseño de minas navales (Porstmouth)•Bohr, E. Fermi, Teller, Feynman: Los Alamos Manhattan Project•J. Bardeen•Schrodinger: refugiado en Dublin “What is life”•Einstein: Princeton (US)
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J. Bardeen TRANSISTOR(Bell Labs, NJ, USA)
Willian Schockley, John Bardeen, Walter Brattain (1947, ATT Labs, USA)
Premio Nobel 1956
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¿Qué es un transistor?
Funcionalmente (I): grifo (amplificador) de corriente
Funcionalmente (II): “bit”
Estructuralmente: una hetero-estructura de
materiales semiconductores. Inventado por John Bardeen, Walter Brattain y Willian
Schockley (1947, ATT Labs, USA)
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Un transistor
•Efecto de las impurezas en la conducción•Propiedades de las interfases•Conducción a través de interfases•Electrones y “huecos”
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Premio Nobel Física, 1956(por la invención del transistor)Premio Nobel Física, 1972(por la teoría de la superconductividad)
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Invención de la nanotecnología“There is plenty of room at the bottom”
Premio Nobel Física, 1965
R. Feynman (US)(1918-1988)
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Circuitos impresos
(Si)
Diodo Transistor
Materiales s e mic o n d u c t o r e s : Revolución tecnológica actual MICROELECTRÓNICA
Aplicaciones de la Mecánica Cuántica
Walter H. Schottky
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LED’s
RGB Azul (GaN) U.V (Si)
Ventajas: Bajo consumo y alta eficiencia
OPTOELECTRÓNICA
Tubos fluorescentes
Iluminación: Conseguir luz blanca
Sustitución de bombillas y tubos fluorescentes
Iluminación de ciudades
Láseres
Investigación
Códigos de barras
Metrología
Telecomunicaciones
Medicina
Aplicaciones de la Mecánica Cuántica
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Iluminación: Conseguir luz blanca
Sustitución de bombillas y tubos fluorescentes
Iluminación de ciudades
Aplicaciones de la Mecánica Cuántica
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Láseres
Dimensiones realmente pequeñas
Investigación
Códigos de barras
Metrología
Telecomunicaciones
Medicina
Aplicaciones de la Mecánica Cuántica
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Procesador Pentium=Un Chip con 100 millones de transistores.
1 cm2/108=10-8 cm2= (10-4 cm) (10-4 cm)=(0.1 m)2
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El átomo como ente complejo: certezas
Descubrimiento de los rayos X (Roetgen, 1895)– rayos catódicos + sólido (ánodo) ⇒ atravesaban
sólidos opacos a la luz
Descubrimiento de la radiactividad natural (Becquerel, 1896) – radiación procedente del sulfato de uranilo y
potasio• Radiación α, β y γ
Descubrimiento del electrón (Thomson, 1897) – Componente de los rayos catódicos ⇒ q negativa– Efecto fotoeléctrico ⇒ electrón dentro del átomo
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Partículas Atómicas Fundamentales
Carga (C) Masa (kg)
protón 1,6021 x 10-19 1,6725 x 10-27
neutrón 0 1,6748 x 10-27
electrón –1,6021 x 10-19 9,1091 x 10-31
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Otras partículas más pequeñas: ¿realmente indivisibles?
Partículas elementales: quarks
Probablemente tampoco sean inmutables
Existencia de partículas más pequeñas próximas al átomo ideal ⇒ quantum de materia
Actualmente se conocen más de 20 partículas elementales– Tubos de descarga, desintegraciones nucleares y
radiación cósmica ⇒No necesariamente dentro del átomo como constituyentes del mismo
100
Otras partículas elementales de interés
Positrón (e+,β+) (Dirac 1930)*
Principio de simetría de carga eléctrica
Presente en la radiación cósmica
Encontrado en la descomposición de núcleos inestables
Antiprotón (p-)• Encontrado en aceleradores de partículas
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Otras partículas elementales de interés
Neutrinos (υ)• Explican la emisión de partículas β- de ciertos
núcleos inestables: n →p + β- +υ (conservación de la energía) ⇒ 1956 (Reactor nuclear EEUU)
Mesones
• Sugeridos por Yukawa (1935) y encontrados en 1947 en la radiación cósmica
• Piones (π) y Muones (µ) ⇒ unen p y n en el núcleo
Fotones (γ): “partículas” de luz (E = h υ)
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Partículas elementales más importantes
Partículas elementales
Estables
Inestables: Másicas
Másicas
Energéticas
ElectrónProtónPositrónAntiprotón
Neutrino
Fotón
Neutrón
Mesones