Mecanica Cuántica, Pacheco

SobreMecánica Cuántica

Dr. David G. Pacheco Salazar

Escuela Profesional de Física e-mail: [email protected]

Y si tuviese profecía, y entendiese todos los misterios y toda ciencia, y si tuviese toda la fe, de tal manera que trasladase los montes, y no tengo amor, nada soy.

1ra Corintios 13:2

3

Years That Shook Physics”1864 Maxwell Equations1887 Michelson-Morley exp. debunks “ether” 1895 Rontgen discovers x rays1897 Becquerel discovers radioactivity1897 Thomson discovers the electron1900 Planck proposes energy quantization1905 Einstein Photoelectric Effect1911 Rutherford discovers the nucleus1911 Braggs and von Laue use x rays to determine crystal structures1911 Ones finds superconductors1913 Bohr uses QM to explain hydrogen spectrum1914 Proton is discovered1915 Einstein proposes general relativity 1923 Compton demonstrates particle nature of light1923 de Broglie proposes matter waves1925 Davisson & Germer prove matter is wavelike1925 Heisenberg states uncertainty principle1926 Schrodinger develops wave equation1924-6 Boson and Fermion distributions developed1934 Neutron is discovered

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“Cuántico” viene de la palabra “QUANTUM”, que en latín significa “cuanto”. En términos de la física, el comportamiento cuántico es aquel donde cantidades físicas como la energía se dan en la naturaleza solo en ciertos valores específicos, o “ p a q u e t e s ” .

En el átomo de hidrogeno, mientras mas lejos este el electrón del núcleo, menos energía tiene. PERO solo puede estar a ciertas

distancias, no a cualquiera

Una manera de verlo:

En el sistema solar, mientras mas lejos este el planeta del sol, menos energía potencial tiene

5

Mecánica Clásica vs Mecánica Cuántica

A s í c o m o n e c e s i t a m o s g e n e r a l iz a r la s le y e s f í s ic a s a la r e la t iv id a d p a r a c a s o s d e m u c h a v e lo c id a d o m a s a , a n iv e l a t ó m ic o , la s p a r t íc u la s s e c o m p o r t a n d e m a n e r a d i f e r e n t e a lo q u e v e r ía m o s e n o b je t o s a s im p le v is t a .Un átomo esta compuesto esencialmente de varias partículas

cargadas eléctricamente. Los e le c t r o n e s (carga negativa) giran en torno a los p r o t o n e s(carga positiva) y n e u t r o n e s

(sin carga) en su núcleo

6

¿Qué sabían al final del siglo XIX?

•Movimiento de los planetas: mecánica clásica (NEWTON)•Electricidad (rayos, creación y control de la electricidad), magnetismo (imanes, corrientes). •Ondas (Sonido, luz)•Química (Dalton, Lavoisier, Avogadro, Mendeleev) •Termodinámica, Mecánica Estadística (Maxwell, Boltzmann)

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¿De qué están hechas las cosas? •¿Existen los átomos?•Propiedades: ¿cantidad, variedad, tamaño, interacciones entre ellos? •Relación entre luz y materia

•Tamaño y origen del universo•ADN, neuronas

¿Qué NO sabían al final del siglo XIX?

8

Oficina Correos 1900 Oficina Correos 2000

Ordenadores

Tubos Neón

Plástico

M.S.

M.S.

M.S.

9

J.J. Thompson (1856-1940) descubre el “electrón” (Cambridge, UK)

Premio Nobel Física, 1906

Descubrimiento del electrón. (Cambridge, UK)

•Hay “algo” dentro de la materia con carga negativa y muy ligero•Tiene que haber algo con carga positiva•Primera “partícula” sub-atómica

10

M. Planck(1858-1947)


Cuantización de la energía(Berlin, Alemania)

EspectroEmisión

Cuerpo negroIn

tens

idad

Longitud deonda

11

Mecánica CuánticaEsta pequeña variación en la manera de comportarse le da explicación a varios fenómenos que no se entendían

- Ej: Radiacion de cuerpo negro

En el caso de la luz, también se encontró que esta no solo se comportaba como una onda, sino que como partícula: F O T O N

12

Todo está formado por átomos, pero y la Luz?

L a L u z e r a in ic ia lm e n t e d e f in id a c o m o u n a o n d a .

Pero se descubrió el E f e c t o C o m p t o n , que demuestra su condición de partícula

13

Algunos Fotones son más energéticos que otros...

14

Y e s d e e s t a m a n e r a c o m o la lu z in t e r a c t ú a c o n lo s á t o m o s :

Á tomos absorben fotones completos, quedando en un estado de mayor energía, y luego los vuelven a emitir.

En los espectro de líneas, podemos ver claramente que los átomos de un gas puro solo emiten (y absorben) fotones de determinados colores

15

Cuantización

ωNE =Constante de Planck

MASA=M

Velocidad v

2

21

mvE =

2 4 6 8 10

2

4

6

8

2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

12

14

16

Premio Nobel Física, 1921http://www.phys.virginia.edu/classes/252/photoelectric_effect.html

Explicación del efecto fotoeléctrico

Albert Einstein (1879-1955)

17

Explicación del efecto fotoelectrico

ωNE =Constante de Planck.... OTRA VEZ

18http://www.phys.virginia.edu/classes/252/photoelectric_effect.html

1) Confirmación de la hipótesis atómica2) Confirmación de la hipótesis de Planck3) Crisis del concepto de tiempo absoluto y

reforma de la mecánica de Newton

19http://www.physics2005.org/

20

Medida de la carga de un electrón


Robert Millikan (1868-1953)

21

Observa estructura atómica=Nucleos + electrones

Premio Nobel Química, 1908http://www.rutherford.org.nz/biography.htm

http://people.hofstra.edu/faculty/Terry_L_Brack/courses/chem3a/elements/sld021.htm

Ernerst Rutherford (1871-1937)Cambridge (UK), McGill,Montreal (Canada), (Manchester, UK)

22

Descripción clásica del H

El electrón (carga negativa)gira en torno al protón (carga

positiva)

23


positiva)


24


positiva)


25


positiva)


26


positiva)


27


positiva)


28


positiva)


291 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Problemas: 1) estabilidad de los átomos, 2) Espectro de emisión

xx

x

xx

xx

30

SOLUCION:Cuantización órbitas atómicas


Niels Bohr(1885-1962)(Manchester, UK)(Copenhagen, Denmark)

La energía de loselectrones está

cuantizada

31

I Guerra Mundial

32

Los electrones se comportan a la vez como ondas y como partículas.


Louis De Broglie (1892-1987)

33

Dualidad Partícula-Onda

Pero, será verdad que TODAS las partículas se comportan como

ondas??

34

Experimento Clásico de Doble Hendidura

Se dirige un haz de luz hacia 2 ranuras, por efecto de la interferencia de ondas se obtiene el patrón mostrado...

Comportamiento típico de O N D A S

In t e r f e r e n c ia

35

Y las partículas?

Ahora, qué ocurrirá si en vez de usar un haz de luz, usáramos un haz de electrones?

Normalmente esperaríamos que fuera como disparar balas

Las que entraran por los agujeros pasarían derecho a la

muralla

Comportamiento típico de P A R T IC U L A S

36

Sin embargo...

• Se forma el mismo patrón de interferencia que con las ONDAS!• Esto significa que el electrón pasa por AMBAS ranuras a la vez...

37

La Explicación de esto, es que el electrón, análogo a los fotones, se comporta como

una onda....

38

1921: Recapitulando

3 hipótesis fenomenológicas– Hipótesis de Planck– Modelo Einstein– Modelo de Bohr

1 Principio “filosófico”: De Broglie

Muchos experimentos (Rutherford, Millikan, Cuerpo

negro, átomo hidrógeno)

39

Formulación de la ecuación generalde la mecánica cuántica.


-3 -2 -1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Erwin Schrodinger(1887-1961) (AUS)Graz, Berlin, Dublin

Un electrón queda completamente descritopor su función de onda.

= Probabilidad de encontrar electrón en x

2)(xΨ

=Ψ 2)(x

40


W. Heisenberg (1901-1976)

Formulación matricialde la mecánica cuántica.Principio de incertidumbre

mvx

≥∆⋅∆

http://www.learn.co.uk/

41

In c e r t id u m b r eLos científicos deterministas decían que se podía encontrar

una descripción (matemática) que permitiera explicar todo, incluso el comportamiento humano, siempre que se lograrán conocer las condiciones iniciales... PERO !

42

P r in c ip io d e In c e r t id u m b r e

La mecánica cuántica encontró que:

N o es posible medir con precisión la P OSI C I ON y la V E LOC I DA D de una partícula al mismo tiempo

Finalmente, cantidades tan normales para nosotros de medir como estas, se transforman en “p r o b a b i l id a d e s ” de encontrar una partícula con una cierta posición y una cierta velocidad

43

¿ P a r t íc u la s v e r g o n z o s a s ?

A escala atómica, ningún aparato puede decirnos al mismo tiempo exactamente dónde y exactamente a qué velocidad se está moviendo una partícula.

44

P r in c ip io d e In d e t e r m in a c ió n

En otras palabras, nuestro otrora simple y redondito electrón pasa a ser una F u n c ió n d e P r o b a b i l id a d de encontrarlo a lo largo de alguna cierta extensión espacial. Esto va asociado a la naturaleza de o n d a que tienen las partículas

E s como si toda su carga y su masa estuviesen distribuidos según una cierta manera, pero en cuanto nosotros metemos la mano (o algún instrumento) para hacerlo reaccionar y medir alguna de sus propiedades, va a depender del proceso si se va a comportar como partícula o como onda

Lo mismo sucede con todas las p a r t íc u la s s u b -a t ó m ic a s .

45

El “F=ma” cuántico

),()(),(

2 2

22

txt

ixVx

txme

Ψ∂∂=Ψ+

∂Ψ∂−

Ecuación de Schrödinger

46

Las Reglas Cuánticas ...

• Función de onda: descripción más completa

• Cuadrado de función de onda = PROBABILIDAD de que

algo ocurra

• La función de onda = solución de ecuación de

Schrödinger

• Principio de superposición:

21 Ψ+Ψ=Ψ

47

Probabilidad, Funciones de onda y la interpretacion de Copenague

Si las partículas son ondas … ¿ qué es lo que ondula ?

Probabilidad

La funcion de onda permite establecer la probabilidad de encontrar una partícula en un dado momento y un dado lugar del espacio.

La probabilidad de encontrar la particula en “alguna parte” tiene que ser 1. La función de onda debe ser normalizada.

48

El potencial a veces no depende del tiempo, y la dependencia de ψ en el tiempo y el espacio se puede separar. Entonces queda:

ahora dividimos por la función ψ(x) f(t):

El lado izquierdo depende solo de t, y el derecho solo de x. Por lo tanto, cada lado tiene que ser constante !!

La ecuación de autovalores de Schrödinger

49

Integramos en ambos lados:

donde C es la constante de integracion (ponemos cero).

Por lo tanto:

Si recordamos la solución de la partícula libre:

en que f(t) = e -iω t, asi que: ω = B / ħ, lo que significa que B = E !

Entonces, multiplicando por ψ(x), la ecuación de Schrödinger solo dependiente del espacio (no del tiempo) queda:

La ecuación de autovalores de Schrödinger

50

Esta ecuacion se llama de “autovalores” o la “ecuacion de Schrödinger independiente del tiempo” Es tan fundamental como la otra, pero ha generado errores en muchos cursos de cuántica: Esta ecuación solo aplica en casos estacionarios.

Para simplificar, se escribe asi:

donde:

H Eψ ψ=

2 2

2ˆ

2H V

m x

∂= − +∂

Es el operador Hamiltoniano.

H

La Ecuación de Autovalores de Schrödinger

51

¿ que es un “operador” ?

Un operador “opera” sobre una funcion y da como resultado otra funcion. Los operadores útiles son cosas que uno puede medir, “observables”.

Ejemplo: Este operador, deriva una funcion respecto de t, divide por la misma funcion y multiplica por ih

2 2

2ˆ

2H V

m x

∂= − +∂

Este es el operador hamiltoniano.

52

Valor medioSi medimos una magnitud repetidas veces, o medimos un conjunto grande de partículas, obtenemos el promedio de esa magnitud. Llamado “valor medio o “expectation value” en ingles. El valor medio de la posición x es:

Eso era para x discreto, si x es continua, hay que integrar:

1 1 2 2 N N i i

i

x Px P x P x P x= + + + = ∑L

x

( )x P x x dx= ∫* *( ) ( ) ( ) ( )x x x x dx x x x dx= Ψ Ψ = Ψ Ψ∫ ∫

Y esto da:

Para cualquier funcion de x, por ejemplo g(x):

*( ) ( ) ( ) ( )g x x g x x dx= Ψ Ψ∫

53

La partícula en una cajaLa particula en la caja consiste en un electron oalgo así que está encerrado en una caja de paredes indestructibles y durísimas. La energía potencial dentro de la caja es cero, y en la pared sube a infinito punto rojo:

La función ψ debe caer a cero donde el potencial es ∞.Dentro de la caja V=0 y la funcion de Schrödinger vale:

La solución general es:

x0 L

donde

54

Las condiciones de borde del potencial V

hacen que ψ tiene que ser cero a x = 0 y a x = L. Esto hace que solo valgan las

soluciones con n entero, como kL = nπ.

La funcion de onda es:

La normalizamos:

y la ψ normalizada es:

Hay ciertas restricciones

⇒

x0 L

2 /A L=⇒

55

La Energía esta cuantizada

Los valores de k válidos en estado estacionario son:

Si se calcula la Energía da:

La energía depende del valor de n y no puede ser cero.

El caso especial de n = 1 recibe el nombre

de “estado basal”.

5621 Ψ+Ψ=Ψ

La molécula de Hidrógeno...

57

Mecánica Cuántica

Imprescindible para reconciliar hipótesis atómica con experimentos

Imprescindible para entender estabilidad de la materia Imprescindible para entender la tabla periódica

(química) Nos permite entender la naturaleza

a escala atómica

58

El experimento del gato de Schrödinger o paradoja de Schrödinger es un experimento imaginario, diseñado por Erwin Schrödinger para exponer uno de los aspectos más extraños, a priori, de la mecánica cuántica.

Supongamos un sistema formado por una caja cerrada y opaca que contiene un gato, una botella de gas venenoso, una partícula radiactiva con un 50% de probabilidades de desintegrarse y un dispositivo tal que, si la partícula se desintegra, se rompe la botella y el gato muere. Al depender todo el sistema del estado final de un único átomo que actúa según la mecánica cuántica, tanto la partícula como el gato forman parte de un sistema sometido a las leyes de la mecánica cuántica.

Gato de Schrödinger

http://es.wikipedia.org/wiki/Experimento_imaginario

http://es.wikipedia.org/wiki/Erwin_Schr?dinger



http://es.wikipedia.org/wiki/Mec?nica_cu?ntica

http://es.wikipedia.org/wiki/Part?cula

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec?nica_cu?ntica

59

Siguiendo la interpretación de Copenhague, mientras no abramos la caja, el gato está en un estado tal que está vivo y muerto a la vez. En el momento en que abramos la caja, la sola acción de observar al gato modifica el estado del gato, haciendo que pase a estar solamente vivo, o solamente muerto.

Esto se debe a una propiedad física llamada superposición cuántica.

Gato de Schrödinger

http://es.wikipedia.org/wiki/Interpretaci?n_de_Copenhague

http://es.wikipedia.org/wiki/Superposici?n_cu?ntica

60

Explicación cuánticaMientras no abramos la caja, el gato está en un estado tal que está vivo y muerto a la vez. En el momento en que abramos la caja, la sola acción de observar al gato modifica el estado del gato, haciendo que pase a estar solamente vivo, o solamente muerto.

61

El gato de Schrodinger

muertogatovivogato −− Ψ+Ψ=Ψ

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Efecto Túnel

Hechos experimentales

•Decaimiento alfa (nucleos de Helio)

•Transmisión de electrones en los diodos y transistores

Clásicamente es imposible, pero la naturaleza ondulatoria del electrón le permite atravesar barreras de energía

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Tunelamiento

Se puede considerar que el tuneleo es una manifestación mas del principio de incertidumbre. ∆E. ∆t > ħ La partícula puede violar la conservación de energía en una cantidad ∆E por un tiempito del orden de ∆t ~ ħ / ∆E.

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E f e c t o T ú n e l

El Secreto está en la P r o b a b i l ida d . . .

65

Aplicaciones: Creación de DIODOS => permite el desarrollo de la electrónica como la conocemos, es decir, los computadores,

controladores, naves accionadas remotamente, satélites, etc. ...Y tal vez mucho más en el futuro.

66

¿ Q u é n o s d ic e ¿ Q u é n o s d ic e e n t o n c e s la m e c á n ic a e n t o n c e s la m e c á n ic a

C u á n t ic a ? ? ? !C u á n t ic a ? ? ? !

La Mecánica cuántica ya no describe el mundo en función de

parámetros extractos, sino de probabilidades...

Hechos:ii) Dualidad partícula ondaiii) Principio de Incertidumbre

N uevo modelo del Á tomo C uántico

67

Mecánica Cuántica: la teoría de TODO

Química deAtomos y Moléculas(< 10.000 átomos)

Estructura electrónica de sólidos:Metales, aislantes, semiconductoresMagnetismoSuperconductividad.>10.000 átomos

Física Nuclear.Física de Partículas

+ Relatividad

68

Mecánica Cuántica:la teoría de los sólidos

Estructura electrónica de sólidos:Metales, aislantes, semiconductoresMagnetismoSuperconductividad.>10.000 átomos

69

¿Qué es un sólido?

Una estructura PERIODICAMENTE

repetida

70

Metal Aislante

71

¿Qué pasa con los “semiconductores”?

Unas muestras conducen y otras no

Portadores de carga positiva

La conductividad depende de la temperatura

El problema de las interfases

Pauli: Semiconductors are the physics of the dirt

72

Principio de “exclusión”

W. Pauli(1900-1958)Premio Nobel Física, 1945

Sociología de los electrones (I)

E. Fermi (1901-1954)Premio Nobel Física, 1938

Paul Dirac(1902-1984)CambridgeFlorida

Generalizan mecánica estadísticapara el caso de electrones

73

Mecánica Cuántica de losElectrones en un cristal


Felix Bloch 1905-1983(Suiza)

Zonda Prohibida

74

“Física del estado sólido”

• Arnold Sommerfield (Ale): termodinámica de metales• A. H. Wilson :

• Metales vs aislantes• Semiconductores

• E. Wigner, F. Seitz (Princeton, U.S.) : PRIMER CALCULO REALISTA de la ESTRUCTURA ELECTRÓNICA de un SOLIDO

• J. Bardeen, E. Wigner (Princeton, US): Función de trabajo de un metal (propiedades de superficies)

• J. Shockley, J. Slater (M.I.T., US): estados de superficie

75

II Guerra Mundial43 Millones de Muertos

•Francis Crick: diseño de minas navales (Porstmouth)•Bohr, E. Fermi, Teller, Feynman: Los Alamos Manhattan Project•J. Bardeen•Schrodinger: refugiado en Dublin “What is life”•Einstein: Princeton (US)

76

J. Bardeen TRANSISTOR(Bell Labs, NJ, USA)

Willian Schockley, John Bardeen, Walter Brattain (1947, ATT Labs, USA)

Premio Nobel 1956

77

¿Qué es un transistor?

Funcionalmente (I): grifo (amplificador) de corriente

Funcionalmente (II): “bit”

Estructuralmente: una hetero-estructura de

materiales semiconductores. Inventado por John Bardeen, Walter Brattain y Willian

Schockley (1947, ATT Labs, USA)

78

Un transistor

•Efecto de las impurezas en la conducción•Propiedades de las interfases•Conducción a través de interfases•Electrones y “huecos”

79

Premio Nobel Física, 1956(por la invención del transistor)Premio Nobel Física, 1972(por la teoría de la superconductividad)

80

1951: Whirlwind Computer – The First to Display Real Time Video

81

Primer ordenador con electrónicaCompletamente transistorizada.

82

J. Kilby (Texas Instruments, US)inventa el circuito integrado


83

Invención de la nanotecnología“There is plenty of room at the bottom”


R. Feynman (US)(1918-1988)

85

Circuitos impresos

(Si)

Diodo Transistor

Materiales s e mic o n d u c t o r e s : Revolución tecnológica actual MICROELECTRÓNICA

Aplicaciones de la Mecánica Cuántica

Walter H. Schottky

86

LED’s

RGB Azul (GaN) U.V (Si)

Ventajas: Bajo consumo y alta eficiencia

OPTOELECTRÓNICA

Tubos fluorescentes

Iluminación: Conseguir luz blanca

Sustitución de bombillas y tubos fluorescentes

Iluminación de ciudades

Láseres

Investigación

Códigos de barras

Metrología

Telecomunicaciones

Medicina


87

Células solares

Investigación espacial

Energías renovables


88

Semáforos


89

Iluminación: Conseguir luz blanca

Sustitución de bombillas y tubos fluorescentes

Iluminación de ciudades


90

Láseres

Dimensiones realmente pequeñas

Investigación

Códigos de barras

Metrología

Telecomunicaciones

Medicina


91

Procesador Pentium=Un Chip con 100 millones de transistores.

1 cm2/108=10-8 cm2= (10-4 cm) (10-4 cm)=(0.1 m)2

92

CONCLUSION

Compresión de la naturaleza a escala atómica=

Mecánica Cuántica

93

¡¡Muchas

gracias !!

95

El átomo como ente complejo: certezas

Descubrimiento de los rayos X (Roetgen, 1895)– rayos catódicos + sólido (ánodo) ⇒ atravesaban

sólidos opacos a la luz

Descubrimiento de la radiactividad natural (Becquerel, 1896) – radiación procedente del sulfato de uranilo y

potasio• Radiación α, β y γ

Descubrimiento del electrón (Thomson, 1897) – Componente de los rayos catódicos ⇒ q negativa– Efecto fotoeléctrico ⇒ electrón dentro del átomo

96

El Modelo del Átomo

Thomson, electrón 1897

Rutherfordprotons 1919

James Chadwickneutrons 1932

97

Partículas Atómicas Fundamentales

Carga (C) Masa (kg)

protón 1,6021 x 10-19 1,6725 x 10-27

neutrón 0 1,6748 x 10-27

electrón –1,6021 x 10-19 9,1091 x 10-31

98

Otras partículas más pequeñas: ¿realmente indivisibles?

Partículas elementales: quarks

Probablemente tampoco sean inmutables

Existencia de partículas más pequeñas próximas al átomo ideal ⇒ quantum de materia

Actualmente se conocen más de 20 partículas elementales– Tubos de descarga, desintegraciones nucleares y

radiación cósmica ⇒No necesariamente dentro del átomo como constituyentes del mismo

99

Acelerador de partículas del CERN (Suiza)

100

Otras partículas elementales de interés

Positrón (e+,β+) (Dirac 1930)*

Principio de simetría de carga eléctrica

Presente en la radiación cósmica

Encontrado en la descomposición de núcleos inestables

Antiprotón (p-)• Encontrado en aceleradores de partículas

101

Otras partículas elementales de interés

Neutrinos (υ)• Explican la emisión de partículas β- de ciertos

núcleos inestables: n →p + β- +υ (conservación de la energía) ⇒ 1956 (Reactor nuclear EEUU)

Mesones

• Sugeridos por Yukawa (1935) y encontrados en 1947 en la radiación cósmica

• Piones (π) y Muones (µ) ⇒ unen p y n en el núcleo

Fotones (γ): “partículas” de luz (E = h υ)

102

Partículas elementales más importantes

Partículas elementales

Estables

Inestables: Másicas

Másicas

Energéticas

ElectrónProtónPositrónAntiprotón

Neutrino

Fotón

Neutrón

Mesones

103

Leptones y Antileptones(más ligeras)

antimuón µ+muón µ-

antineutrino νeneutrino νe

positrón e+electrón e-

Nombre Símbolo

Nombre Símbolo

AntileptonesLeptones

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