Post on 08-Aug-2019
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Symmetrieoperationen - Zusammenfassung
‚Fixed Point‘
Drehachsen
Drehinversionsachsen
‚No fixed Point‘
Translationen keine Translationen
Schraubenachsen Gleitspeigelebenen
3
Symmetriegruppen - Zusammenfassung
Punktsymmetriegruppen P – Symmetrie von Molekülen;
Makroskopische Kristallformen
Translationssymmetriegruppe T – Translationssymmetrie
des Gitters
Raumgruppen R - Symmetrie von Kristallstrukturen (Gitter + Basis)
Die Raumgruppen erhalten alle Symmetrieelemente die die
Kristallstrukturen invariant lassen.
4
Teil I: Zotov
1 Koordinatensysteme, Das Raumgitter, Das reziproke Gitter, Der Metrik-Tensor
2 Abstrakte Gruppen, Symmetrieoperationen, Punktsymmetrie und
Punktsymmetriegruppen
3 Translationssymmetrie, Transformationen des Gitters, Kombinationen von
Translationen und Punksymmetrieoperationen
4 1-, 2- und 3D Raumgruppen
5 Beispiele von Raumgruppen und einfache Kristallstrukturen
6 Makroskopische physikalische Eigenschaften der Kristallen
5
Raumgruppen
R = {T, P};
T = {t1, t2, …}; T ≤ R (T ist Untergruppe von R)!
P = {P1, P2, …Pn};
P ist nicht unbedingt eine Untergruppe von R
6
Raumgruppen
1-Dimensional (‚Fries‘)
Lehre von 3D Raumgruppen
2-Dimensional (‚Wall-paper‘) Surface Science
Lehre von 3D Raumgruppen
3-Dimensional
Kristallographie
Kristallchemie
Kristallphysik
Materialwissenschaften
7 7
Raumgruppensymbole
B s1 ( s2 s3)
Gitterzentrierung:
P primitives
I innenzentriertes
F flächenzentriertes
R trigonales
C(A,B)basisflächenzentriertes
Symmetrie
parallel oder
senkrecht zur
Blickrichtung 1
Symmetrie
parallel oder
senkrecht zur
Blickrichtung 2
Symmetrie
parallel oder
senkrecht zur
Blickrichtung 3
8
Blickrichtungen
triklin
monoklin [010]
orthorhombisch [100], [010], [001]
tetragonal [001], [100], [110]
trigonal [001], [100], [110] (hex)
hexagonal [001], [100], [110]
kubisch [100], [111], [110]
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‚Eindimensionale‘ (1D) Raumgruppen
Basis
t
Basis: Punksymmetrie 1
Primitives Gitter; Raumgruppe p1
Cl
H
Cl
H
Cl
H
Cl
H
t
Basis
2t 3t
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‚Eindimensionale‘ (1D) Raumgruppen
Basis Translation t
v = t/2
Gleitspiegelebene g
Basis: Punktsymmetrie 1
Primitives Gitter; Raumgruppe pg 1
2
11
H H
O
H H
O
H H
O
H H
O
t
m
‚Eindimensionale‘ (1D) Raumgruppen
pm
m
Basis
Basis: Punksymmetrie m
Primitives Gitter; Raumgruppe pm
m‘‘ = m x t
Die Raumgruppensymbole zeigen nicht alle Symmetrieelemente!
1 2 3
2t
m m m‘‘ m‘‘ m‘‘
1/2t
1‘ 2‘
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Gruppengeneratoren
Schar S = {S1, S2, …Sm} der Gruppe G
Gi = ∏a xSa für jedes Element Gi der Gruppe G
Beispiel I
Alle ganze Zahlen; Verknupfungsregel = Addition
S1 = 1; S2 = -1
M > 0 M = MxS1 ; 5 = (1+1+1+1+1)
N< 0 N = NxS2 ; -3 = [(-1) + (-1) + (-1)]
0 = S1xS2 ; 1 + (-1) = 0
Gl.(1)
13 13
Punktgruppe 3
Gruppentafel
3 1 3 32
1 1 31 32
3 3 32 1
32 32 1 3
Generator ist die Rotation auf 120 Grad (S = 3)
1 = (3)3
32 = 3.3
Allgemein, alle zyklische Gruppen haben nur 1 Generator f (Gk = fk ; S = f)
Gruppengeneratoren
14
7 ‚eindimensionale‘ Raumgruppen
p1
pg
p2 (+ 2‘ Drehachse at x = ½; 2‘ = 2 x t)
pm. (+ m‘ at x = ½, 3/2 …; m‘ = t x m)
p.m
pmg [+ 2‘ Drehachse at x = ¼ und ¾
(2‘ = m x g) + m‘ at x = ½; m‘ = t x m]
pmm (+ 2‘ Drehachse + i + m‘)
2‘
m‘
2‘
m‘
m‘ 2‘
t
x 0 ½ 1 2
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Zweidimensionale (‚Wall-paper‘) Raumgruppen
Schiefwinkliges Gitter
0
a
b
2(1/2 ,1/2) = a x b x 2(0,0)
Generatoren: a, b, 2(0,0)
2(1/2,0) = a x 2(0,0) 2(0,1/2) = b x 2(0,0) Generatoren: a, b
a
b 0
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Zweidimensionale Raumgruppen
Rechteckiges Gitter
Zentrierungen: t0 = 0; t1= (a+b)/2
Generatoren: a, b, t1, m(0,y)
g
g‘ m‘
g = m x t1
m‘ = m x a
g‘ = g x m‘ = (m x t1) x (m x a)
a
b
17 17
Zweidimensionale Raumgruppen
S. Dutch, Univ. Wisconsin, 2011
Rechteckiges Gitter
Generatoren: a, b, g(0,y)
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Zweidimensionale Raumgruppen
Generatoren
a
4(0,0)
m(x,0)
m
m‘
m‘ = 4 x m; m‘‘ = 43 x m
2(0,0) = 4(0,0)2
2‘(0,1/2) = 2 x b = 4 x 4 x a
Quadratisches Gitter
m‘‘ a
a
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Trigonales Gitter
Zweidimensionale Raumgruppen
g || b
m || [2 1 0]; g || [1 -1 0]
m’ || [0 1 0]
m‘ = 3 x m
m‘‘ = 32 x m
Generatoren
a
3(0,0)
m(x,0)
a b
g’ || a
3‘ (2/3,1/3)
m‘‘
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Hexagonales Gitter
Zweidimensionale Raumgruppen Generatoren
a
6(0,0)
a b
3 (2/3,1/3) = (62 x b) x (64 x a)
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Asymmetrische Einheit (Elementarzelle)
• kleinste Kristalleinheit ohne Symmetrie
• häufig ein Molekül gros
• kann auch nur ein Molekülbruchteil einhalten
(spezielle Lage)
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17 Zweidimensionalen Raumgruppen
Schiefwinkliges P1 P2
Rechteckiges Pm Pg P2m Pmm2 Pgg2
Quadratisches P4 P4mm P4gm
Zentriert-Quadratisches Cm Cmm2
Rhombisches P3, P31m, P3m1, P6, P6mm
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Dreidimensionalle (3D) Raumgruppen Kristallstrukturen
32 Kristallklassen
Punktlagensymmetrien
14 Bravais-Gitter
7 Kristallsysteme
230 Raumgruppen
makroskopisch mikroskopisch 6 Kristallfamilien
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Triklin
P1 P 1
Monoklin
P2, P21, C2, Pm, Pc, Cm, Cc P2/m, P21/m, C2/m, P2/c, P21/c, C2/c
Orthorhombisch
P222, P2221, P21212, P212121, C2221, C222, F222, I222, I2121,21,
Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma2, Pca21, Pnc2, Pmn21, Pba2, Pna21, Pnn2, Cmm2, Cmc21, Ccc2, Amm2, Abm2, Ama2, Aba2, Fmm2, Fdd2, Imm2, Iba2,
Ima2
Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma, Cmcm, Cmca, Cmmm, Cccm, Cmma,
Ccca, Fmmm, Fddd, Immm, Ibam, Ibca, Imma
tetragonal
P4, P41, P42, P43, I4, I41 P 4 , I 4
P4/m, P42/m, P4/n, P42/n, I4/m, I41/a P422, P4212, P4122, P41212, P4222, P42212, P4322, P43212, I422, I4122
P4mm, P4bm, P42cm, P42nm, P4cc, P4nc, P42mc, P42bc, I4mm, I4cm, I41md, I41cd
P 4 2m, P 4 2c, P 4 21m, P 4 21c, P 4 m2, P 4 c2, P 4 b2, P 4 n2, I 4 m2, I 4 c2, I 4 2m, I 4 2d
P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P42/mmc, P42/mcm, P42/nbc, P42/nnm, P42/mbc, P42/mnm, P42/nmc,
P42/ncm, I4/mmm, I4/mcm, I41/amd, I41/acd
trigonal
P3, P31, P32, R3 P 3 , R 3 P312, P321, P3112, P3121, P3212, P3221, R32 P3m1, P31m, P3c1, P31c, R3m, R3c
P 3 1m, P 3 1c, P 3 m1, P 3 c1, R 3 m, R 3 c
hexagonal
P6, P61, P65, P62, P64, P63 P 6 P6/m, P63/m
P622, P6122, P6522, P6222, P6422, P6322 P6mm, P6cc, P63cm, P63mc P 6 m2, P 6 c2, P 6 2m, P 6 2c
P6/mmm, P6/mcc, P63/mcm, P63/mmc
kubisch
P23, F23, I23, P213, I213 Pm 3 , Pn 3 , Fm 3 , Fd 3 , Im 3 , Pa 3 , Ia 3
P432, P4232, F432, F4132, I432, P4332, P4132, I4132
P 4 3m, F 4 3m, I 4 3m, P 4 3n, F 4 3c, I 4 3d
Pm 3 m, Pn 3 n, Pm 3 n, Pn 3 m, Fm 3 m, Fm 3 c, Fd 3 m, Fd 3 c, Im 3 m, Ia 3 d
Die 230 Raumgruppen
29
International Tables of Crystallography Vol A
Raumgruppen Tabellen
Symbol P 4
Nummer 75
Ursprung an 4
Symmetrieoperationen (1) 1; (2) 2 (00z); (3) 4+ (00z); (4) 4- (00z)
Generatoren t(1,0,0) t(0,1,0) t(0,0,1) 2(00z) 4+(00z)
Primitives Gitter
30 30
International Tables of Crystallography Vol A
Raumgruppen Tabellen
Raumgruppediagramm Punktsymmetrie
1
2
4
3
Symmetrie
operationen
31
Transformationen der Atomkoordinaten
0 -1 0
1 0 0
0 0 1
4-zählige Drehachse parallel zu Z; 4+ f = 90o, Gl (5a)
T1 = x‘y‘z‘ = -y x z (Atom 3)
Zwei Rotationen auf 90o
T = (T1)2 x‘y‘z‘ = -x -y z (Atom 2)
4-zählige Drehachse parallel zu Z; 4- f = -90o, Gl (5a)
0 1 0
-1 0 0
0 0 1
T = x‘y‘z‘ = y -x z (Atom 4)
32 32
Punktsymmetrie-Bestimmung
I 21 3 23
P 43 21 2 422
Pccn = P 21/c 21/c 2/n
m m m
2/m 2/m 2/m
Ersetzt man in einer Raumgruppe die
translationsbehafteten
Symmetrieoperationen durch normale
Drehachsen und Spiegelebenen, erhält
man die Kristallklasse (Punktgruppe)
44
Klassifikation der Raumgruppen
# Nach Existenz von Inversionszentrum
# Nach Kristallklassen (32)
# Nach arithmetischen Kristallklassen (73)
# Nach Gruppe–Untergruppe Relationen
45
Klassifikation nach Inversion
Zentrosymmetrische Raumgruppen (91) (Raumgruppen mit Inversionszentrum)
Nicht-zentrosymmetrische Raumgruppen (139)
50
Klassifikation nach arithmetischen
Kristallklassen
Arithmetische Kristallklassen = Klassen von Raumgruppen mit den
gleichen Punktgruppen und gleichen Zentrierungen
Beispiele:
AK Raumpruppen
mP Pm, Pc, Pn
mC Cc
2P P2, P21
51
Klassifikation
nach Gruppe-Untergruppe
Relationen Symmorphe Raumgruppen
Definition 1: Die Punktgruppe P ist eine Untergruppe von R ( P ≤ R)
Definition 2: Raumgruppen wo alle Symmetrieoperationen (außer die
Translationen) lassen einen Punkt fest.
73 Symmorphe Raumgruppen
157 Nicht-symmorphe Raumgruppen
Erkennung: Die Schriftsymbole sind ohne Schraubenachsen und ohne
Gleitspeigelebenen
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Allgemeine Lagen:
• Punktsymmetrie: 1
• Die Vielzahl (Multiplicity) M = NZ * Ordnung der Punktgruppe;
(NZ – die Zahl von Zentrierungsvektoren)
• Zahl von symmetrieäquivalenten Atomen = M/NZ
Spezielle Lagen:
• auf Symmetrieelementen (Punktsymmetrie der Lage ist großer als 1)
• die Vielzahl M erniedrigt
• Zahl von symmetrieäquivalenten Atomen = M/NZ
Atom Lagen
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Raumgruppe C 2221
NZ = 2
P = 222
Ordnung = 4
M = 2*4 = 8
Spezielle Lage 4b
Punksymmetrie .2.
4/2 = 2 symmetrieäq. Atome
56
F 4/m 3 2/m
NZ = 4
P = m 3 m
Ordnung 48
allgemeine Position
M = 4 * 48 = 192
Symmetrieäq. Atome
Spezielle Lage 32f
32/4 = 8