-

.Introducción alálgebra lineal

-EDITORIAL LIMUSA.'MEXU:O 1"0

Veni6n autorizada en españolde la obra publU:ada en ins.'- poi'Jobn Wiley A SoDl, loc., bajo el tituloELEMENTAR.Y LINEAR. ALGEBRA® 1973 by Jobo Wiley A SoDa, Inc:.

Traducci6n:MARIO TOR.IlES SALAZAll

R.evisi6ntknia:ALEJANDRO OOOERS LOPEZ

InYeltipdor de Tiempo Completo .,Cateddtic:o de Matem6ticu de laUnivenidad Nadonal Aut6Doma de Má:ico.

Todos los derechos reservados:

e 1980. EDITORIAL LIMUSA. S. A.BaJeleras 95. Primer piso. México l.D. F.Miembro de la CÍDlua NKional de laIndustria Editorial. RepstJo Núm. 121

Primera edkión: 1976 Primera reimpresión. 1978Sepnda reimptelÍÓn: 1980

Impnro en México(2911)ISBN 988 - 18 - 0631 - X

Contenido

PrólopGuía para el mstruetor

7

9

Capítulo 1

Sistemas de ecu_iones lineales y matrieeB

1.1 Introduccióna los sistemas de ecuaciones lineales, 131.2 Eliminación de Gauss, 201.3 Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales, 311.4 Matrices y operaciones con matrices, '351.5 Reglas del álgebra de matrices, 421.6 Invena de una matriz, 481.7 Matrices elementales y un' método para encontrar A-t, 5.3I.S' Otros r-esultados concernientes a los sistemas de ecuaciones

y a la invenibilidad, 61

11

Capítulo 2

Determinantes

2.1 La funci6n determinante, 692.2 Cálculo de determinantes mediante la reducción a la forma

escalonada, 762.3 Propiedades de la función determinante, 822.4 Desarrollo por cofactores; la regla de Cramer, 89

,.

69

,Capítulo 3

.Veetoree en H' y en Ha . 1013.1 Introducción geométrica al estudio de los vectores, 1013.2 Nonna de un vector; álgebra vectorial, 111

10

11

3.3 Producto punto; proyecciones, 1143.4 Producto cruz, [213.5 Rectas y planos en R3, 129

Capítulo 4

Espaeios veetoriales

4.1 Espacio euclidiano de n dimensiones, 1374.2 Espacios vectoriales en general, 1424.3 Subespacios, 1484.4 Independencia lineal, 1564.5 Bases y dimensi6n, 1614.6 Espacio de los renglones de una matriz; coordenadas;

aplicaciones a la obtención de bases, 1694.7 Espacios con producto interior, 1784.8 Longitud y ángulo en espacios con producto interior, 1844.9 Bases ortonormalef..; el proceso de Gram-Schmidt, 190

137

Capítulo S

Transformaciones lineales

5.1 Introducci6n a las transformaciones lineales, 2015.2 Propiedades de las transformaciones lineales; núcleo e

imagen, 2105.3 Estudio detallado de las transformaciones matriciales;

el teorema de la dimensi6n, 2155.4 Matrices que representan transfor.naciones lineales, 2255.5 Cambios de base, 2375.6 Semejanza, 249

201

Capítulo 6

\' aloJ"ef4caraeterísticos, v~tOl"e&característicos y formas cuadnítleu 255

6.1 Valores característicos y vectores característicos, 2556.2 Diagonalización, 2636.3 Diagonalización ortogonal; matrices simétricas, 2706.4 Formas cuadráticas; secciones cónicas, 2766.5 Superficies cuadráticas, 287

Capítulo 7

Introducción a los métodos numéricos del á1sebra lineal"~1Eliminación de Gauss con condensaci6n pivotal, 2957.2 Los métodos de Gauss-Seidel y de Jacobi, 302

295

11 eo,.,.aIdo7.3 Aproximación a 101 valores característicos mediante el

método de las potencias, 3087.4 Aproximación a 101 valores característicos DO dominantes

mediante la contracción, 317

~-P"'''' • 1_ejeftleioeIadlee

CAPITULO 1

Sistemas de ecuoeioneslineales y matrices

1.1 INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

En esta leCCión se dad la tenninología básica y le expondrá un método pararesolver sistemas de ecuaciones lineales.

Una reéta en el plano xy se puede representar alaebnicamente mediante unaecuación de la fonna

Q1X + OV' = bA una ecuación de esta clue le le denomina ecuación lineal en lu variables xy y. En fonna general, se defme una ecutldón liMGI en lu n variable. XI,X2, ••• ,x,. como aquella que puede expresarse en la fonna

"txl + arz + ... + .a,.x. = b

donde tll, tl2, ••• , ti,. Y b son constantes realea.

Ejemplo 1Las siguientes son ecuaciones lineales:

x + 3y = 7

Xl + x2 + ... + x. = l

Es preciso observu que en una ecuación lineal no aparecen productos o raícesde ninsuna variable. TodaI laa variables eado elevadas a la primera potenciaÚlliClIIlente, y no aparecen como araumentos de funciOnes triaonOJMtricu, lo-

15

14 SbteflUlS de ecuaciones lineales y motrices

garítmicas o exponenciales. Ninguna de las siguientes ecuaciones cumple con ladefinición de ecuación lineal:

x + 3y2 = 7Y - sen x = O

3x + 2y - z + xz = 4~ + 2x2 + x3 = 1

Una solución de una ecuación lineal alx. +.a2X2 + ... + anxn = b es unasucesión de 1; números SI, S2, ... , sn tales que se satisface la ecuación alsubstituir XI = SI, X2 = S2,' .. , xn = Sn' Al conjunto formado por todas lassoluciones de la ecuación se le denomina su conjunto solución.

Ejemplo 2

Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones:

(i) 4x - 2y = lPara encontrar las soluciones de (i), se puede asignar un valor arbitrario a X ydespejar y, o escoger un valor arbitrario para y y despejar x. Si se sigue elprimer camino, asignar a la x un valor arbitrario t. se obtiene:

x = 1,lY = 21 -- 2

Estas fórmulas describen el conjunto solución en términos de un parámetroarbitrario t. Las soluciones numéricas específicas se pueden determinar "dandovalores específicos a la t. Por ejemplo, si t = 3 se obtiene la solución x = 3,y = 11/2, Y si 1= -1/2 se obtiene la solución x = -1/2, y = -3/2.

Si se sigue el segundo camino, y se asigna a y un valor arbitrario 1, resulta:

y = t

Estas fórmulas son diferentes de las primeras, no obstante, describen el mismoconjunto solución a medida que la t varía sobre todos los números realesposibles. Por ejemplo, las fórmulas anteriores daban la solución x = 3, y = 11/2cuando 1=3, mientras que estas fórmulas dan la misma solución cuando sehace 1= 11/2.

Para encontrar el conjunto solución (ii), se pueden asignar valores a cuales-quiera dos variables y despejar la tercera variable. En particular, si se asignanvalores arbitrarlos s y t a X2 Y Xl, respectivamente, y se despeja x 1> seobtiene

Xl = 5 + 45 - 7t,

Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables XI, Xl,·'·' Xn,recibe el nombre de sbte1llll tk eCUllciones lineales. Una sucesión de númeross .. S2, •• " s" es .JOlución del sistema si las substituciones XI = SlJ Xl =

Introducción a los sistemas de ecuaciones üneaks I S

52, ... , x'1 =.)n, son una solución para cada una de las ecuaciones en elsistema. Por ejemplo. el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas

t'\x) - x:! + 3x3 = - l3x1 + x2 + 9x3 = -4

tiene la solución XI = l. X 2 = 2, x 3 = - 1, dado que estos valores satisfacen lasdos ecuaciones. Sin embargo, x) = 1, x 2 = 8, x 3 = l no es una solución yaque estos valores solamente satisfacen la primera de las dos ecuaciones en elsistema.

No todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen soluciones. Por ejemplo,si multiplicamos la segunda ecuación del sistema

.r + v = 4.'

2x + 2y = 6

por 1/2, entonces es evidente que no hay solución alguna. dado que las dosecuaciones del sistema resultante

x+y=4x+y=3

se contradicen entre sí.Si un sistema de ecuaciones no tiene soluciones se dice que es inconsistente.

Si al menos hay una solución, entonces es consistente. Para ilustrar las posibili-dades de solución de un sistema de ecuaciones lineales. hay que considerar unsistema general de dos ecuaciones lineales con las incógnitas x y y:

Q)X + b1y = e)Q2X + b2y = c2

(al *0 ó b, *0).(a2 * ° ó b2 * O)

Las gráficas de estas ecuaciones son rectas, digamos /1 y /2. Dado que unpunto (x, y) pertenece a una recta si y sólo si los números x y y satisfacen laecuación de la recta, las soluciones del sistema de ecuaciones corresponderán alos puntos de intersección de l, y /2. Hay tres posibilidades (ver la figura 1.1).

p..... 1.1 (o) Niquna solución. (b) Una solución. (e) Número infinito de soluciones.

(a) Las rectas pueden ser paralelas, en cuyo caso no hay intersección, y comoconsecuencia, no hay solución para el sistema.

(b) Las rectas l. y 12 se intersecan en un punto, y en este caso, el sistematiene exactamente una solución.

(e) Las rectas l. y 12 puede coincidir, en cuyo caso hay una infinidad depuntos en la intersección, y como consecuencia, una ínfínídad de solu-ciones para el sistema.

Aun cuando sólo se consideró el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas,posterionnente se demostrará que el mismo resultado es válido para sistemasarbitrarios; es decir, todo sistema de ecuaciones lineales: no tiene solución,tiene exactamente U1IIl solución, o tiene una infinidad de soluciones.

Un sistema arbitrario de m ecuaciones lineales en n incógnitas se escribiráasí:

a11x1 + al~2 +~IXl + a2~2 +

+ a1"x" = b1+ a2ftx" = b2

donde x ¡, X2, ••• , x"' son las incógnitas y las a's y b's con subíndices de-notan constantes.

Por ejemplo, un sistema general de tres ecuaciones lineales en cuatro incóg-nita. se escribe oí:

a11x1 + al~2 + a13x3 + a14x4 = b1Q21Xl + anX2 + ~~3 + a2"x" = b2a31x1 + a3~2 + a~3 + a34x" = b3

El empleo de dos subíndices para los coeficientes de las incógnitas es unanotación muy útil que se adoptará para determinar la colocación de los coefi-cientes en el sistemL El primer subíndice del coeficiente a" indica la ecuaciónen que aparece el coeficiente, y el segundo subíndice, qué incógnita multiplica.De esta manera, Q12 está- en-la primera ecuación y multiplica a la incógnita X2.

Si mentalmente se lleva un registro de la colocación de los signos + de lasincógnitas y de los signos =, un sistema de m ecuaciones lineales en n incóg-nitas se puede abreviar escribiendo únicamente el arreglo rectangular de nú-meros:

- Este _ conoce como la ..mz amen'" del sistema. (El térmíno matriz seemplea en mateJÚticu para denotar un arreglo rectangular de números. Lasmatrices aparecen en varios contextos; en secciones posteriores se efectuará un

Introducción a los sistemas de ecuaciones lin«lles 17

estudio detallado acerca de ellas.) Como un ejemplo, la matriz aumentada delsistema de ecuaciones

es

Xl + x2 + 2x3 = 92x1 + 4x2 - 3x3 = 13xI + 6x2 - 5x3 = O

1 24 -36 -5 !]

El método básico para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste enreemplazar el sistema dado por un nuevo sistema que tenga el mismo conjuntosolución, pero que sea más fácil de resolver. Por lo general, este nuevo sistemase obtiene en una serie de etapas, aplicando los siguientes tres tipos de opera-ciones.

1. Multiplicar una ecuación por una constante diferente de cero.2. Intercambiar dos ecuaciones.3. Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

Dado que los renglones (líneas horizontales) de una matriz aumentada corres-ponden a las ecuaciones del sistema asociado, estas tres operaciones equiva-len a las siguientes operaciones con los renglones de la matriz aumentada.

1. Multiplicar un renglón por una constante diferente de cero.2. Intercambiar dos renglones.3. Sumar un múltiplo de un renglón a otro.

A continuación se da un ejemplo que ilustra la forma en que estas operacio-nes se pueden emplear para resolver sistemas de ecuaciones lineales. No esnecesario preguntarse cómo se seleccionaron las etapas en este ejemplo, dadoque en la siguiente sección se desarrollará un procedimiento específico y sis-temático para calcular las soluciones. Por ahora, el esfuerzo principal debededicarse a entender los cálculos y la discusión.

Ejemplo 3

En la columna de la izquierda, abajo, el sistema de ecuaciones lineales seresuelve trabajando con las ecuaciones del sistema, mientras que en la columnade la derecha, el mismo sistema se resuelve trabajando con los renglones de lamatriz aumentada.

X + y + ~z = 92x + 4y - 3z = 13x + 6y - 5z = O [~ l 2

4 -36 -5 1]

La primera ecuación multiplicada por- 2 se suma a la segunda para ob-tener

x+ y+:2z= 92y -7z = -17

3x + 6y - 5z = O

La primera ecuación multiplicada por-3 se suma a la tercera para ob-tener

x + y + 2z = 92y- 7z = ,-173y - Ilz = -27

La segunda ecuación se multiplicapor 1/2 para obtener

x+y+2z= 9

7 17Y - -z=--2 23y - Ilz = -27

La segunda ecuación multiplicada por-3 se suma a la tercera para obtener

x+y+ 2z= 97 17y--z= --2 21 3- 2z = - 2-

La tercera ecuación se multiplica por- 2 para obtener

x+y+ 2z= 9

7 17y--z= --2 2z = 3

El primer renglón multiplicado por- 2 se suma al segundo para obtener

[~ ~ -~ -1~]6 -5 O

El primer renglón multiplicado por-3 se suma al tercero para obtener

1 2 9]2 -7 -173 -11 -27

El segundo renglón se multiplica por1/2 para obtener

1 1 2 9

O 1 7 172 2

O 3 -11 -27

El segundo renglón multiplicado por-3 se suma al tercero para obtener

l 1 .2 9

O 1 7 172 2

O O 1 32 2

El tercer renglón le multiplica por- 2 para obtener

1

O

O

1

1

O

2721

9172

3

El sistema se simplificó lo suficiente como para' poder encontrar la solución.De la tercera ecuación se sabe que z = 3. Substituyendo este valor en la se-gunda ecuación, y despejando y, se obtiene y = 2. Substituyendo y = 2 y z = 3

Introducción (J los mt~mtU de ~CUllcionn liMtIIn 19

en la primera ecuación, y despejando para x, resulta x = l. Por tanto, lasolución es

x = 1, y = 2, z=3

EJERCICIOS 1.1

l. ¿Cuáles de las siauientes ecuaciones son lineales en x lo xl y X 3?

(b) Xl + X2 + X3 = sen k

(k es una constante)

(e) Xl - 3x2 + 2X3l/2 = 4(e) Xl + X2 -1 - 3X3 = 5

2. Encuentre el conjunto solución de:(a) 6x - 7y = 3(e) -3xI + 4x2 - 7x3 + 8x. = 5

(d) Xl = ViX3 - X2 + 7(f) Xl = x3

(b) 2xI + 4x2 - 7x3 = 8(d) 2v - w + 3x + y - 4z = O

3. Encuentre la matriz aumentada de cada uno de los sistemas de ecuaciones linealessi¡uientes.

Xl - 2x2 = O(a) 3xl + 4x2 = - 1

2xI - x2 = 3

(e)+ x3 = 1

2x2 - x3 + x5 = 22x3 + x. = 3

(d) Xl

4. Encuentre el sistema de ecuaciones lineales correspondiente a cada una de las matricesaumentadas siguientes.

(a) [~

O -1 !] (b) [f O ~]1 1 I-1 2 -1

(e) D 2 3 4 5]

(d) [~

O O O 1]4 3 2 I 1 O O 2O I O 3O O I 4

5. ¿Para qué valorees) de la constante k, el sistema de ecuaciones lineales sipiente notiene soluciones? ¿Para qué valores tiene exactamente una solución? ¿Para qué valorestiene un número Infinito de soluciones?

X - y = 32x - 2y = k

6. Considere el sistema de ecuaciones

ax + by = kex + dy = Iex + fy = m

Discuta la posición relativa de las rectas 4X' +by = k, ex +dy = I Y ex +fy =m cuaDdo:<a>el sistema no tiene soluciones(b) el sistema tiene exactamente una solución(e) el sistema tiene un número infinito de soluciones

7. Demuestre que si el sistema de ecuaciones del ejercicio 6 es consistente, entonces almenos una de lu ecuaciones se puede descartar del sistema sin alterar el conjuntosolución.

8. En el ejercicio 6, Je&n k = I =m = O; demuestre que el liJtema debe ser conaistente.¿Qué se puede decir acerca del punto de intersección de lu tres rectas si el sistematiene exactamente una solución?

9. Considere el aistema de ecuaciones

x + y + 2z = ax + z = b

2x + y + 3z = e

Demuestre que, para que este sistema pueda ser consistente, a, b y e deben satisfacerla ecuación e =a +b.

10. Demuestre que si dos ecuaciones lineales en las variables Xl, X2, ••• , XII tienen elmismo conjunto solución, entonces cada ecuación es un múltiplo de la otra.

1.2 ELIMINACION DE GAUSS

En esta sección daremos un procedimiento sistemático para la solución desistemas de ecuaciones lineales. El método se basa en la idea de reducir la matrizaumentada a una forma que sea lo suficientemente sencilla como para poderresolver el sistema de ecuaciones a simple vista.

En la última etapa del ejemplo 3 se obtuvo la matriz aumentada

l

O

1

. 1

272l

91723O

después de la cual, fue fácil obtener la solución x = 1, Y = 2, z = 3 para el sis-tema original de ecuaciones. Sin embargo, es posible hacer la solución másevidente, a partir de la matriz aumentada, aplicando unas cuantas operacionesadicionales en los renglones. Por ejemplo, en la matriz anterior, sume el segun-do renglón multiplicado por -1 al primer renglón para obtener

O 11 352 2

O 1 7 17.,._ 2 2

O O l 3

Eliminlldón d~ Gouss 21

Ahora, sume el tercer renglón multiplicado por -(11/2) al primer renglón, y alsegundo sume el tercero multiplicado por 7/2. Esto da

ool

2

3

(1.1 )

o OO • 1

O

El sistema de ecuaciones correspondiente es

Xl = 1x2 = 2

'(3 = 3

por tanto, la solución

Xl = 1,

se hace obvia examinando la matriz aumentada.La matriz (1.1) es un ejemplo de una matriz que tiene la forma escalontlda

~ducida. Para tener esta forma, una matriz debe tener las siguientes propie-dades.

l. Si un renglón no consta exclusivamente de ceros, entonces el primer ele-mento diferente de cero en el renglón es l.

2. Si hoy renglones que constan exclusivamente de ceros, entonces están agru-pados en la parte inferior de la matriz.

3. Si los renglones i y j + 1 son dos renglones sucesivos cualesquiera que noconstan exclusivamente de ceros, entonces, el primer número diferente decero en el renglón i + 1 aparece a la derecha del primer número diferentede cero en el renglón j.

4. Todas las columnas que contienen el primer elemento diferente de cero de :algún renglón tienen ceros en todas las posiciones restantes.

Si una matriz cumple con las propiedades 1, 2 Y 3, se dice que está en forma .~JaIloruJd¡¡.

•Ejemplo 4

Las siguientes matrices tienen la forma escalonada reducida.

[~ O O jJ [~ O n [~l -2 O

U[O' g]1 O 1 O O l O'

O 1 -1 O O O O- O O O

Las siguientes matrices están en forma escalonada.

11 Sbtmta tk «IIIIdona lInetües y ItIIItrlca

[00

1

: ~ ~J,[~ ; ~],r~O l 5 O O O l~

lOO

2 61 -1O O ~]

El estudiante debe asegurarse que cada una de las matrices anteriores cumplacon los requisitos necesarios.

Si mediante una sucesión' de operaciones se puede llevar la matriz aumen-tada de un sistema de ecuaciones lineales a la forma escalonada reducida,entonces, el conjunto solución del sistema se puede obtener a simple vi'\ta, oen el peor de los casos, después de unas cuantas etapas mú. El siguienteejemplo ilustrará este punto.

Ejemplo S

Suponga en cada uno de los siguientes casos que la matriz aumentada de unsistema de ecuaciones lineales se ha ílevado.omedíante operaciones en los ren-glones, a la forma escalonada reducida que se muestra a continuación. Resuelvalos sistemas.

J_ •

(a) [~O O -!] (b) [~

O O 4 -i]l O l O 2O 1 O 1 3

(e) [~

6 O O 4 -¡j (d) [~

O O nO 1 O 3 l . OO O 1 5 O OO O O O

Solución de (a). El sistema de ecuaciones correspondiente es

Xl 5x2 = -2

xa = 4

Por inspección, Xl = 5, x2 = -2, xa = 4.

Solución de (b). El sistema de ecuaciones correspondiente es

Xl + 4x. = -1x2 + 2x. = 6

x3 + 3x.. = 2

Puesto que cada una de las incógnitas XI, X2 Y Xl inician una ecuación, se lesdenomina wuillbks prlnciptzles. Despejando las variables principales, en térmmosde X4, se obtiene

.... Xl = -1 - 4x4x2 = 6 - 2x4x3 = 2 - 3x.

Eliminlldón de Gtum 23

Se tiene un número infinito de soluciones, ya que a X4 se le puede asignar unvalor arbitrario t. El conjunto solución queda defínído por las f6nnulas

Xl = -1 - 4/, X2 = 6 - 2f, X3 = 2 - 31. X .. = I

SohJción de (c). El sistema de ecuaciones correspondiente es

Xl + 6x2 + 4x5 = -2x3 + 3x!) = I

x4 + SX5 = 2

En este caso, las variables principales son Xl, X3 Y X4. Despejando las variablesprincipales en términos de las variables restantes se obtiene

Xl = -2 - 4x5 - 6x2x3 = 1 - 3x5x4 = 2 - Sx;;

Puesto que a X s se le puede asignar un valor arbítrario, t. y a Xl se le puedeasignar un valor arbitrario, s, se tiene un número infinito de soluciones. Elconjunto solución queda defmido por las fórmulas

Xl = - 2 - 41 - 6s. x~ = 1 - 3/, X4 = 2 - St,

Solución de (d). En el sistema de ecuaciones correspondiente, la última ecua..ción es

Puesto que esta ecuación nunca se puede satisfacer, no hay solución para elsistema.

El estudiante acaba de ver con qué facilidad se resuelve un sistema deecuaciones lineales una vez que su matriz aumentada tiene la fonna escalonadareducida. Ahora se dará un procedimiento -esquemático, conocido como el/mi·NJdón de GaU$$.JoTdon,· que puede ser empleado para llevar cualquier matriza la fonna escalonada reducida. A medida que se enuncia cada etapa, se ilus-trará el procedimiento llevando la siguiente matriz a la fonna escalonada re-ducida.

• CIIII Frledrich GIIW# (1777 - 1855). Se le .uele llamar "el príncipe de 101matem'ticOl".Hizo importantes contribuciones a la teoría de lo. números, I la teoría de funciones, a laprobabilidad y la estadística. Descubrió un método para calcular las órbitas de los uteroi-des; fue el autor de descubrimientos búicos en la teoría del electromqnetismo y ademásinventó un te1épafo.

Omtilk Jordim (1838 - 1922). Jordan fue profesor en la Ecole Polytechnique de París.Fue un pionero en varias ramu de lu matemáticas, incluyendo la teoría de tu matrices.Ea (IIIDOIO, en particular. por el teomna de las curvas de Jordan, el cual af'mna que "unaCÜIYa cemda simple (tal como una circunferencia o un cuadrado) dMde al plano en do.JeliODel conexu ~".

24 Sistemtll de ecJIIIdoMJ lin«JJes y 1IUltr;~S

[~ o -24 -104 -5

~ I~ ~~J6 -5 -1

Etapa 1. Localizar en el extremo izquierdo la columna (línea vertical) que noconsta exclusivamente de ceros.

[~ ~ -~~ ~ I~ ~~]2 4 -5 6 -5 -1LColumna en el extremo izquierdo que

no consta exclusivamente de ceros

Etapa 2. Si es necesario, intercambiar el renglón superior con otro renglón, detal manera que el elemento que está al comienzo de la columna seftalada en laetapa 1 sea diferente de cero.

4 -lOO -24 -5 (

Se intercambiaron los dOS)primeros renglones de lamatriz anterior.

Etapa 3. Si el elemento que ahora está al comienzo de la columna que seencontró en la etapa 1 es a, entonces, multiplicar el primer renglón por il«,de tal manera que el primer elemento sea un l.

[~2 -5O -24 -5

~ ~ !'i]6 -5 -1 (

El primer renglón de la)matriz anterior se multi-plica por 1/2.

Etapa 4. Sumar múltiplos adecuados del primer renglón a los renglones que lesiguen, de tal forma que en la columna localizada en la etapa 1, todos loselementos después del primero sean ceros.

[~ 2OO

-5-25

3 6O 7O -17

14]12-29 (

El primer renglón de la)matriz anterior se multi-plicó por -2 y el resul-tado se sumó al tercer~nglón. '

Etapa S. Cubrir el primer renglón de la matriz y comenzar de nuevo con laetapa 1 aplicada a la subrnatriz resultante. Proseguir de esta manera huta quela matriz completa est6 en fonna escalonada.

....

Elimilllldón • ea.. 15

o O -2 O 7 12

O O S O -17 -29t Columna en el extremo izquierdo

deJa submatriz que no constaexclusivamente de ceros

72

-6l

S

O·O

O

O

O

O -17 -29

72

12

O o 1 o -6

1o O oO

(

Se multiplic6 por -1/2)el primer rengl6n d'e lasubmatriz.

(

El primer renglón de la SUb-)matriz se multiplic6 por -Sy el resultado se sumó alsegundo renglón de la sub-matriz.

(

Se cubrió el primer rengl6n)de la submatriz y se regres6a la etapa 1.

....___ Columna en el extremo izquierdode Ja nueva submatrlz que noconsta exclusivamente ele ceros

(El primer (y único) ren-)gl6n de la nueva subma-triz se multiplic6 por 2.

La matriz completa ya está en forma escalonada.

26 SUtema de eCUlldonn IintttIIn y 1IIIltrlces

Etapa 6. Comenzando por el último renglón, y avanzando hacia arriba, sumarmúltiplos adecuados de cada renglón a los renglones que estén encima de él,de tal manera que se satisfaga el cuarto requisito de la definición de matriz enfonna escalonada reducida.

[~ 2 -S 3 6 Ir] (1 segundo renglón de 1)matriz anterior se le sumó

O 1 O O el tercero multiplicado porO O O 1 7/2.

[~ 2 -S 3 O

Ü(Al primer renglón se le)

O l O O sumó el tercero multipli-O O O l cado por -6.

H 2 O 3 O ~](Al primer renglón se le)O l O O sumó el segundo multipli-O O O l cado por 5.

La última matriz tiene la fonna escalonada reducida.

Ejemplo 6

Resuelva mediante eliminación de Gauss-Jordan.

Xl + 3X2 - 2xa + 2xs - O2x1 + 6x2 - SXa - 2x4 + 4xs - 3x6 = - 1

SXa + IOx4 + 15x6 = 52x1 + 6x2 + 8x. + 4xs + 18x6 = 6

La matriz aumentada del sistema es

[~3 -2 O6 -5 -2O S 106 O 8

2 O O]4 -3 -1O 15 54 18 6

Sumando el primer renglón, multiplicado por -2, al segundo y cuarto renglo-nes se obtiene

[~3 -2 OO -1 -2O 5 10048

2 O O]O -3 -1O 15 5O 18 6

Multiplicando el segundo renglón por -1, Y después, sumando el segundo reneglón, multiplicado por -5, al tercero, y el segundo renglón, multiplicado por-4, al cuarto, se obtiene

[~3 -2O lO OO O

o2OO

2OOO

o3O6 ~l

Intercambiando el tercero y cuarto renglones, y después, multiplicando el tercerrenglón de la matriz resultante por 1/6, se obtiene la forma escalonada

1 3 -2 O 2 O OO O l 2 O 3 1

O O O O O l 1-3

O O O O O O O

Sumando el tercer renglón, multiplicado por -3, al segundo renglón, y des-pués, sumando el segundo renglón de la matriz resultante, multiplicado por 2,al primero, se obtiene la forma escalonada reducida.

1 3 O 4 2 O OO O 2 O O O

O O O O O 1 I3

O O O O O O O

El sistema de ecuaciones correspondiente es

Xl + 3x2 + 4x. + 2xs = OX3 + 2x. = O

lxs=-3(Se eliminó la última ecuación, ~1 + ~2 + Ox) + ~4 + Oxs + Ox6 = O, dadoque las soluciones de las ecuaciones restantes la satisfacen automáticamente.)Despejando las variables principales, se obtiene

Xl = -3x2 - 4x. - 2xsx3 = -2x.

1Xs = 3

Si a X2, X., y Xs se les asignan los valores arbitrarios r. s y t. respectivamente,el conjunto solución qu~da defmido por las fórmulas

Xl = -3r - 4s - 21, X3 = -2s, lxa =-3

Ejemplo 7

A menudo es más conveniente resolver un sistema de ecuaciones lineales ne-vando la matriz aumentada a la forma escalonada, en vez de seguir adelantehasta obtener la forma escalonada reducida. Cuando se aplica este último mé-todo, el sistema de ecuaciones correspondiente se puede resolver mediante unat6cnica conocida como sub,tltudón en t'eJ1e1'lll. Se ejemplificará este métodousando el sistema de ecuaciones que aparece en el ejemplo 6.

De los cálculos hechos en el ejemplo 6, se obtuvo una forma escalonada cela matriz aumentada:

l 3 -2 O 2 O OO 012 O 3 l

o O O O o l l3OO o o o o o

Para resolver el sistema de ecuaciones correspondiente

Xl + 3x2 - 2x3 + 2x5 = OX3 + 2x4 + 3x6 = 1

1x6 =-3primero, hIly que resolver estas ecuaciones para las variables principales; esto da

Xl = -3x2 + 2x3 - 2x5x3 = 1 - 2x. - 3x6

l3

•A continuación, comenzando con la última ecuación, y avanzando hacÍll arriba,se substituye cada ecuación en todas las ecuaciones que estén por encima -deelkz. .

Substituyendo X6 = 1/3 en la segunda ecuaci6n, se obtiene

Xl = -3x2 + 2x3 - 2xsx3 = -2x4

lx6 = 3

Substituyendo X3 = -2x. en la primera ecuación, se obtiene

Xl = -3x2 - 4x. - 2x5X3 = -2x •

lXs = 3

Finalmente, _ tUignIm valore, arbitrarlos a ltu varillbles que no son prindpaJes.

•

EUmi1ttldón ü GcIUS 29

Si a X2, X4 Y Xs se les asignan los valores arbitrarios T, s y t, respectiva-mente, el conjunto solución queda defmido por las fórmulas

Xa = -2s, 1x -_6 - 3Xl = -3, - 4s - 2/, X. = s, X5 = 1,

que coinciden con la solución que se obtuvo en el ejemplo 6.Al método para resolver sistemas de ecuaciones lineales llevando la matriz

aumentada a la forma escalonada, se le conoce por el nombre de EUmlflllclónüGcua

EJERCICIOS 1.21. ¿Cuále. de las ailuientes matrices tienen la forma escalonada reducida?

(a) [~

O

~J (b) [¡ 1

~J (e) H 1

~JO O 1O O O

(d) ~

2 O 3 O](e) [~

O O n (f) [~O 3 !]O 1 1 O O 1 1 2

O O O 1 1 OO O O O

2. ¿Cuáles de lu ailuientea matrices están en forma escalonada?

(a) G 2

fJ (b) [~-7 5 ~] G

1

~O 1 3 (c) 1O O

(d) [~

3O 2 ]

(e) ~3 4J

rnO

~O 220 1 2 (f) OO O O 1 O 3 OO O O O

3. Para cada inciso. supon.. que la matriz aumentada del sistema de ecuacione. linealesse ha llevado. mediante operaciónes en lo. renat'ones, a la fODDa escalonada reducidaque se muestra. Resuelva el sistemL

!~~J5 OO 1O OO O

O 3O -11 1

O1O

OO1O

5 -1]3 14 2O O

4:' Para cada inciso. supcmp que la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineale.se ha llevado. mediante operaciones en lo. ren¡lones, a la forma acalonada que semuestra. Resuelva el aistemL

2 -4 _~.1 -2O 1

(b) G

(e) [~

5 -4O 1O OO O

o ,-7 -s~1 7 31 4 2O O O

s. Resuelva cada uno de los sipientes sistemas mediante la oliminación de Gaua-Jordan.

2xI + x2 + x3 = 8(a) 3xI - 2x2 - x3 = 1

4xI - 7x2 + 3x3 = 10

Xl + x2 + x3 = O(b) -2x1 + 5x2 + 2x3 = O

-7x1+7x2+ x3=0

Xl + x2 - 2x3 + x. + 3x5 = 13x1 + 2x2 - 4x3 - 3x. - 9x5 = 3

(e) 2x1 - x2 + 2x3 + 2x. + 6x5 = 26xI + 2x2 - 4x3 = 6

2x2 - 4x3 - 6x. - 18x5 = O

6. Resuelva cada uno de 101 sistemas del ejercicio 5 mectiante la eliminación de Gaua.

7. Resuelva cada uno de los sipientel sistemu mediante la eliminación de Gaua-Jordan.

2xI - 3x2 = -2(a) 2xI + x2 = 1

3x1 + 2x2 = 1 (b)

3x1 + 2x2 - x3 = -155x1 + 3x2 + 2x3 = O3xI + x2 + 3x3 = 11lIx¡+ 7x2 = -30

(e)4x1 - 8x2 = 123xI - 6x2 = 9

-2xI + 4x2 = -6

8. Resuelva cada uno de 101 sistemu del ejercicio 7 mediante la eliminación de Guu.

9. Resuelva cada uno de 101 liauientes sistemu mediante la eliminación de Gau.Jordan.

(a) 5x1 + 2x2 + 6x3 = O-2xI + x2 + 3x3 = O

Xl - 2x2 + x3 - 4x. = 1(b) Xl + 3x2 + 7x3 + 2x. = 2

Xl - 12xz - 11x3 - 16x. = 5

lO. Resuelva cada uno de 101 astemu del ejercicio 9 mediante la eliminación de Gauu.

11. Resuelva 101 liauientes sistem~ en donde Il, b Y e son constantel.

(a) 2x + y = o3x + 6y = b

Xl + x2 + x3 = o(b) 2xt + 2x3 = b

3x2 + 3x3 = e

12. ¿Para qué valores de Il no tenclrá soluciones el si¡u.iente sistema? ¿Para qué valorestenclrá exactamente una solución? ¿Para qué valores tenclrá un número infinito desoluciones?

X + 2y - 3z = 43x -' y + 5z = 24x + y + (02 - 14)z = o + 2....

13. Resuelva el li,p.iente liltema de ecuaciones no lineales pua los ánaulOl c:r, IJ y "'{,donde 0~Q~211', 0~1J~211' y 0~"'{<1I'.

2 sen Q - COS P + 3 tan y = 34 sen Q + 2 cos fJ - 2 tan y = 26 sen Q - 3 cos P + tan y = 9

14. Dacno. 101 posibles cuos de la forma etcaIonada reducida de

[

a b CJd e fg h i

15. Demuestre que si lid - be ::1=O, entonces la foma escalonada reducida de

16. Utilice el resultado del ejercicio 15 pua clemostrar que si lid - be ::1=0, entonces elsistema

ax + by = kex + dy = I

tiene exactamente una solución ..

1.3 SISTEMAS HOMOGENEOS DE ECUACIONES LINEALES

Como ya se ha seftalado, todo sistema de ecuaciones lineales tiene exactamenteuna solución, o tiene un número infmito de soluciones, o no tiene soluciónalguna. A medida que avance el curso, habrá situaciones en que nuestro interésno radicaré en encontrar las soluciones de un sistema dado, sino que nosinteresará investigar el número de soluciones que tiene el sistema. En estasección consideraremos varios casos en los cuales es posible, a simple vista,decir algo acerca del número de soluciones.

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es holtlOPMO si todos losténninos constantes son cero, es decir, si el sistema tiene la fonna

0UXl + °lr2 +°21Xl + °2r2 +

+ 0l"X" = O+ 02ftx" = O

Todo sistema homogéneo de ecuaciones lineales es consistente, dado que Xl =O, X2 = O,... , XII = O siempre es una solución. Esta solución se conoce como.bldón trlPill/: si hay otras soluciones, se dice que son .IIIdonn no trlritIIft.

Puesto que todo sistema homogénec de ecuaciones lineales debe ler consis-tente, siempre tiene una soluci6n o un número infmito de soluciones. Y comouna de estas soluciones es la trivial, se puede hacer la siguiente afmnaci6n.

p_ara un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, solamente una de laafinnaciones siguientes es verdadera.

1. El silte11lllsolamente tiene III solución trivial.2. El· sutem« tiene un número infinito de soluciones no trlvillks, admIIÚ de III

solución trivial.

Hay un caso en que es posible asegurar que un sistema homogéneo tienesoluciones no triviales, a saber, cuando el sistema tiene más inc6gnitu queecuaciones. Para ver el porqué, -le puede analizar el siguiente ejemplo de cuatroecuaciones con cinco incógnitas.

Ejemplo 8

Resuelva el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales mediante laeliminaci6n de Gau.Jordan.

2xI + 2x2 - xa + x5 = O- Xl -' X2 + 2Xa - 3x. + X5 = O

Xl + x2 - 2x3 - x5 = Oxa + X. + x5 = O

La matriz aumentada del sistema es

-(1.2)

2 2 -1 O 1 O-1 -1 2 -3 1 O1 1 -2 O -1 OO O 1 1 1 O

llevando esta matriz a la fonna escalonada reducida, le obtiene,',

1 1 O O 1 OO O 1 O 1 OO O O 1 O OO O O O O O

El sistema de ecuaciones CO(fespondiente es

Xl + x2 + x5 = Oxa + xs=O (1.3)

x. =0

Resolviendo para las variables principales se obtiene

Xl = -x2 - Xsxa = -x5X. = O

Sbte1ftllS homo,éneoJ de eClIIldones linetJles 33

De donde, el conjunto solución viene dado por

Xl = -s - t, X. = O,

Después de reflexionar por un momento, es obvio que si una matriz A tieneuna columna compuesta por ceros; esta columna no se altera si se ejecutanoperaciones .en los renglones de A. Por consiguiente, y como muestra el ejemploanterior, si se comienza con un sistema homogéneo de ecuaciones, entoncesel sistema de ecuaciones correspondiente a la forma escalonada reducida dela matriz aumentada también será homogéneo. Además, y dependiendo de si laforma escalonada reducida de la matriz aumentada tiene algún renglón com-puesto exclusivamente por ceros, el número de ecuaciones en el sistema simpli-ficado es igual o menor que el número de ecuaciones en el sistema original(compare las ecuaciones 1.2 y 1.3 del ejemplo 8). Suponga que determinadosistema homogéneo de m ecuaciones en n incógnitas tiene más incógnitas queecuaciones, y que además, después de que la matriz aumentada se llevó a laforma escalonada reducida, las variables principales en el sistema de ecuacionescorrespondiente son Xk\, xk2J'" ,Xk" donde r s; n. Por consiguiente, el sis-tema simplificado tiene a forma

•• 'Xk1 + l:(. )=0•• 'Xk2 + l:( )=0 (1.4)

.xkr + ~( )=0donde el símbolo ~ ( ) denota sumas en las que aparecen algunas de las n - rvariables no principales. Resolviendo para las variables principales se obtiene

Xkl = -~ ( )Xk2 = -l:( )

Xk,= -~( )

Como en el ejemplo 8, es posible asignar valores arbitrarios a las variables enel extremo derecho del sistema, y por tanto, obtener un número ínfínito desoluciones para el sistema.

En resumen, se tiene el teorema importante siguiente.

Teorema l. Un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, que tiene más incóg-nitas que ecuaciones, siempre tiene un número infinito de soluciones.

EJERCICIOS 1.3

l. Sin usar papel ni lápiz, determine cuáles de los si¡uientes sistemas homogéneos tienensoluciones no triviales.

Xl + 3x2 + SX3 + X. = O(a) 4xI - 7x2 - 3x3\ - X. = O

3x1 + 2x2 + 7x3·+ 8x. = O

Xl + 2x2 + 3x3 = O(b) x2+4x3=O

SXs = O

34 Sút~1tIIIS de eCUllcionn linetJks y matrices

(e) a11x1 + a1zX2 + a~aX3 = Oa21x1 + aZzX2 + azaX3 = O

En cada uno de los ejercicios del 2 al S. resuelva los sistemas homogéneos de ecuacionealineales. .

2x1 + x2 + 3x3 = O1. Xl + 2x2 = O

x2 + X3 = O2x1 - 4x2 + x3 + x. = O'x1 - 5x2.+ 2x3 = O

4. - 2x2 - 2xi - x. = OXl + 3x2 + x. = OXl - 2x2 - x3 '+ x. = O

3. 3x1 + x2 + x3 + x. = OSX1 - x2 + x3 - x. = O

. X + 6y - 2z = O5. 2x' - 4y + z = O

6. ¿Para qué. valor (es) de X el si¡uiente sistema de ecuaciones tiene soluciones notriviales?

(~ - 3)x + y = OX + (~- 3)y = O

7. Sea el liJtema de ecuaciones

ax + by = Oex + dy = Oex + fy = O

DiJcuta la posición relativa de las rectas (IX +by =O. ex +dy == O. y a +fy =Ocuando:(a) el sistema solamente tiene la solución trivial(b) el sistema tiene soluciones no triviales

8. Sea el sistema de ecuaciones

ax + by = O'cx + dy = O

(a) Demuestre que si X =Xo. y =Yo. es cualquier solución y k es una constante.entonces x =kxo. Y =kyo también es solución.

(b) Demuestre que si x =xo. y =Yo Y X =xl. Y =Yl son dos soluciones cualesquiera.entonces X =xo +Xl. y =Yo +y, también es solución.

9. Sea el sistema de ecuaciones

(/) ax + by = kex + dy = I

(11) ax + by = Ocx+dy=O

(a):Demuestre que si x =x r- y =y, y X=X2,.Y =Y2 son soluciones de (J). entoncesx =x. - x2, Y ==Yl- Y2 es una solución de ([1).

(b) Demuestre que si x =xl, Y =Y. es una solución de (J) Y x =xo. y =Yo es unasolución de (11). entonces x =x. +xo. y =Y. +Yo. es una solución de (J).

Matrices y operaciones con matrices 3S

10. (a) Explique por qué sería incorrecto denotar las variables principales del sistema(1.4) como x .. X2 •..• , x,. en lugar de xk1, xk:l' ..• ' xk .

(b) El sistema de ecuaciones (1.3) es un caso particular de (¡.4). ¿Qué valor tiene ren este caso? ¿Cuáles son los términos Xkl' Xk2' ...• Xk,. en este caso? Escribalas sumas denotadas por ~ ( ) en (1.4).

1.4 MATRICES 'y OPERACIONES CON MATRICES

Los arreglos rectangulares de números reales aparecen en muchos otros con-textos, además de servir para representar las matrices aumentadas de sistemasde ecuaciones lineales. En esta sección consideraremos que dichos arreglos sonentes matemáticos por sí solos y desarrollaremos algunas de sus propiedadesque podrán emplearse en estudios posteriores.

Definición. Una motriz es un arreglo rectangular de números. Los números enel arreglo se denominan los elementos de la matriz.

Ejemplo 9

Estos son ejemplos de matrices.

1 2 -Vi 7T e

3 O [2 1 O -3] 3 1 O [~] [4]-2

-1 4 O O O

Como se puede ver en estos ejemplos, las matrices varían en tamaño. FJ ta-maño de una matriz se- describe especificando el número de renglones (líneashorizontales) y columnas (líneas verticales) que aparecen en la matriz. La pri-mera matriz del ejemplo 9 tiene 3 renglones y 2 columnas, por tanto, sutamaño es de 3 por 2 (que' se escribe 3 x 2). El primer número siempre indicael núinero de renglones, y el segundo indica el número de columnas. Porconsiguiente, las matrices restantes del ejemplo 9 tienen tamaños 1 x 4, 3 X 3,2 x 1 y 1 x i, respectivamente.

Se usarán letras mayúsculas para denotar matrices y letras minúsculas paradenotar números; por tanto, se podrá escribir

A = [2 1 7]'342

,o e = [a b e]

d e fSiguiendo la costumbre, a los números se les llamará escalares. En este texto,todos los escalares serán números reales.

Si A es una matriz, se empleará aí¡ para denotar al elemento que está en elrenglón i y en la columna j de A. Por consiguiente, la matriz general de 3 x 4se escribe así:

Naturalmente que si se usa B para denotar la matriz, se usará bij para elelemento que está en el renglón i y en la columna j. De esta manera, la matrizgeneral de m x n se escribe así:

. Si una matriz A tiene n renglones y n columnas, se dice que es una IIUItrl'ZCUlldIfltlil dI! ordl!n n, y que los elementos a 11, a22, ... ,Qnn están en ladltlplftll prlnclpGI de A (ver la figura 1.2).

F.... 1.2

Hasta ahora, las matrices se han empleado para simplificar la resolución d~sistemas de ecuaciones lineales. Sin embargo, para otras aplicaciones es conve-niente desarrollar un "álgebra. de matrices" que permita sumar y multiplicarmatrices de manera útil. El resto de esta sección se dedicará a desarrollarla.

Se dice que dos matrices son igu¡.dn si tienen el mismo tamaflo y loselementos correspondientes en las dos matrices son iguales.

Ejemplo 10 .

Sean las matrices -A = [; !] e = [2 l O]

.3 4 O .

En este caso, A::I= e puesto que A y e no tienen el mismo tamaño. Por lamisma razón, B *' C. Además, A =1= B ya que no todos los elementos correspon-dientes son iguales.

Definici6n. Si A Y B son dos matrices que tienen el mismo tamaño, entoncesla su". A +B es la matriz' que Se obtiene al sumar los elementos correspon-dientes en las dos matrices. No se pueden sumar matrices con diferentes ta-mallos.

Ejemplo 11

Sean las matrices

A= H 1 O ~] l4 3 5 -1] e = [~ ~]O 2 B = ; 2 O:""2 7 2 -4

Entonces

[-2 4 5 ~]A + B = ~ 2 2O 3

mientras que A + e y B +e 110 están defIDidas.

Defmición. Si A es una matriz y e es un eacalu, el producto cA es 1. matrizque se obtiene al multiplicar cada elemento de A por c.

Ejemplo 12

Si A es la matriz

A=[ ~ i]-1 O

entonces

2A=[~!] y-2 O .

[-4 -~l(-l~ = L! -~J

Si B es una matriz, - B denotari al producto (-1)8. Si A Y B 1011 dosmatrices con el mismo tamafto, A - B se defme como la suma

A + (- B) =A + (-} lB

Ejemplo 13Sean las matrices

32 1] y 2

-3 ~]Por las de~iones anteriores,

-B = [ O -2 -7]-1 3-5

38 SlsteltUU de ecuodones Uneoles y matrice«

y

A - B = [~ 32

4] + [ O1 -1

-23

-7] = [2-5 O -3]-415

Nótese que A - B se puede obtener directamente si los elementos de B serestan de los elementos correspondientes en A.

Se ha definido la multiplicación de una matriz por un escalar. Entonces, lasiguiente pregunta sería ¿cómo se multiplican las matrices? Tal vez la deñní-ción más natural de multiplicación de matrices sería: "multiplicar los elementoscorrespondientes". Sin embargo, sorpresivamente, esta definición no es útil parala mayoría de los problemas. La experiencia llevó a los matemáticos a formularla siguiente defíníción para multiplicación de matrices, que aunque es menosintuitiva, es más útil.

Definición. Si A es una matriz de m x r y B es una matriz de r x n, elproducto AB es la matriz de m x n cuyos elementos se detenninan de lamanera siguiente. Para encontrar el elemento que está en el rengl6n i-6simo yla columna l-ésima de AlJ, se toma el rengl6n i-6simo de la matriz A y lacolumna l-6sima de la matriz B. Se multiplican los elementos correspondientesdel renglón y la columna y después se suman todos los productos.

Ejemplo 14

Sean las matrices

A=[l 2 4]260

1-17

435

Puesto que A es una matriz de 2 x 3 y B es una matriz de 3 x 4, el productoAB es una matriz de 2 x 4. Para determinar, por ejemplo, el elemento en elrenglón 2 y la columna 3 de AB, se toma el segundo renglón de A y la tercercolumna de B. Después, como se muestra a continuación, se multiplican loselementos correspondientes y se suman todos los resultados.

[~ 1-17

~] = [O O O 0J2 DO~O

(2 ·4) + (6 . 3) + (0·5) = 26

El elemento que está en el primer renglón y la cuarta columna de AB secalcula así:

[~ 1-17 [O O O~]

iC!" - 0.0 ~ O435

(1 • 3) + (2 • 1) + (4 • 2) = 13