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ERRORES DE ESPECIFICACION

Un error de especificación es el incumplimiento de cualquiera de los

supuestos bsicos del modelo lineal !eneral"

Esta e#presión $ace referencia al supuesto impl%cito de que la matri& X est

correctamente especificada' es decir' que las (ariables e#plicati(as en la

matri& X son las (erdaderamente rele(antes en la e#plicación de Y.

 Al dise)ar la matri& X podemos cometer los si!uientes errores de

especificación*

Omisión de una (ariable rele(ante

Inclusión de una (ariable irrele(ante

 Adopción de la forma funcional equi(ocada

+ariables con errores de medición

Especificación incorrecta del t,rmino de perturbación

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ERRORES DE ESPECIFICACION

1.1 Omisión de variables relevantes

Supon!a que el modelo correcto para e#plicar la (ariable dependiente - es*

U  B X  B X Y   s sr r    ++=

Pero por error especificamos el modelo incorrecto*   ε += r r  B X Y En donde $emos omitido las (ariables Xs, por tanto' estas (ariables estarn

entre los factores omitidos reco!idos por el nue(o t,rmino de perturbación"

U  B X   s s   +=ε 

Donde su esperan&a matemtica ser distinta de cero"

 s s s s s s   B X U  E  B X U  B X  E  E   =+=+=

  )()()(ε 

con

*n I U V  yU  E    2)(0)(   σ ==

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a. El estimador /CO br   de Br  en el modelo incorrecto es sesgado*

Y  X  X  X b r r r r 

'1' )(   −

=

)()(   '1' U  B X  B X  X  X  X b  s sr r r r r r    ++=   −

U  X  X  X  B X  X  X  X  B X  X  X  X b r r r  s sr r r r r r r r r 

'1''1''1' )()()(   −−−

++=

U  X  X  X  B X  X  X  X  Bb r r r  s sr r r r r 

'1''1' )()(   −−

++=

][)(])`[(][][  '1''1'

U  E  X  X  X  B X  X  X  X  E  B E b E  r r r  s sr r r r r 

−−

++=

 s sr r r r r    B X  X  X  X  Bb E    '1' )(][   −

+= Ses!o de

especificacio

nSólo en el caso que las matrices 01r  2 0s sean OR3O4ONA5ES es decir que**

0'

= sr  X  X  El estimador br es insesgado

Por tanto' br es un estimador ineficiente.

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b. El estimador /CO de la (arian&a en el modelo incorrecto es sesgado*

r n

Y  X bY Y 

r nV   r r 

n

i

−

−

=−==

∑=

∧

∧∧ '''

)(  1

2

2   ε 

σ  ε    ε 

Sin embar!o*   Y  X  X  X b r r r r 

'1' )(   −

= 3rasponiendo la

matri&*

1' )(''   −

=r r r r 

  X  X  X Y b

Reempla&ando en la ecuación de la (arian&a*

r n

Y  X  X  X  X Y Y Y r r r r 

−

−=

−∧ ')(''   1'2

ε σ 

Factori&ando*r n

Y  X  X  X  X  I Y  r r r r 

−

−=

−∧ ]')(['   1'2

ε σ  

6aciendo que*   ')(   1'

r r r r r    X  X  X  X  I  M   −

−=

5a (arian&a es* r n

Y  M Y r 

−

=

∧ '2

ε σ  

Donde*   )()'('   U  B X  B X  M U  B X  B X Y  M Y   s sr r r  s sr r r    ++++=

Dado que* 00'== r r r r    X  M  y M  X 

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3omando la esperan&a matemtica*

r n

Y  M Y  E 

 E   r 

−

=

∧ ]'[

][

2

ε σ  

Entonces*   )()'('   U  B X  M U  B X Y  M Y   s sr  s sr    ++=

/ultiplicando*   U  M U  B X  M U U  M  X  B B X  M  X  BY  M Y  r  s sr r  s s s sr  s sr    '''   ''''+++=

]'[]'[][][]'[   ''''U  M U  E  B X  M U  E U  E  M  X  B B X  M  X  B E Y  M Y  E  r  s sr r  s s s sr  s sr    +++=

]'[)(][]'[   ''UU  E  M tr  B X  M  X  B E Y  M Y  E  r  s sr  s sr    +=

2'' )(]'[ u s sr  s sr    r n B X  M  X  BY  M Y  E    σ  −+=

Como la (arian&a residual es*

r n

Y  M Y  r 

−

=

∧ '2

ε σ  

3omando la esperan&a*

Sustitu2endo el numerador queda*r n

 B X  M  X  B E    s sr  s s

u−

+=

''22

]ˆ[   σ  σ  ε 

Por tanto' la (arian&a residual es un estimador sesgado de la

(arian&a del t,rmino de perturbación

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Consecuencias

Los estimadores de los parámetros de las variables incluidasson sesgados.El sesgo no desaparece cuando aumenta el tamaño de lamuestra, por tanto los estimadores son inconsistentes.Los residuos de la regresión con variables omitidas seránsuperiores a los de la regresión verdadera, por tanto las

varianzas residuales y las varianzas de los estimadores también.Es probable que los procedimientos utilizados para las pruebasde hipótesis nos den resultados erróneos.Como la omisión de variables aectan a los residuos, el modelopuede aparentar estar autocorrelacionado.

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1.2 Inclusion de una variable irrelevante

Supon!a que el modelo correcto para e#plicar la (ariable dependiente - es*

ε ++=   s sr r    B X  B X Y Pero por error especificamos el modelo incorrecto*

U  B X Y r r   +=

En donde $emos a)adido las (ariables Xs,. Por tanto' los estimadores /CO sern*

Reempla&ando el (alor de Y por el modelo correcto*

con*   nn I U V  yU  E  ,

2)(0)(   σ  ==

Y  M  X  X  M  X b  sr r  sr r    '´)'(  1−

∧

=   Y  M  X  X  M  X b r  s sr  s s   '´)'(   1−∧

=

U  M  X  X  M  X  Bb sr r  sr r r 

  '´)'(   1−∧

+=)('´)'(  1

U  B X  M  X  X  M  X b r r  sr r  sr r    +=  −

∧

3omando esperan&a *r  sr r  sr r r 

  BU  E  M  X  X  M  X  Bb E    =+=  −

∧

)('´)'()(   1

)('´)'(   1 U  B X  M  X  X  M  X b r r r  s sr  s s   +=   −

∧

U  M  X  X  M  X b r  s sr  s s   '´)'(   1−∧

=

0)('´)'()(  1

==  −

∧

U  E  M  X  X  M  X b E  r  s sr  s s

El estimador de las (ariables rele(antes son inses!ados mientras que el estimador de las

(ariables irrele(antes son cero

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Dado que la (arian&a residual es*

22 ]ˆ[   u E    σ  σ  ε   =El estimador de la (arian&a es inses!ado

ε ++=   s sr r    B X  B X Y 

ε +=  XBY 

 B X Y    ˆˆ =

 B X Y Y Y    ˆˆˆ   −=−=ε 

Y  X  X  X  X Y    ')'(ˆ   1−−=ε 

 MY Y  X  X  X  X  I    =−=  − )')'((ˆ   1

ε 

 MY Y  MY  MY    ')()'(ˆ'ˆ   ==ε ε 

2)()'()()'()ˆ'ˆ( ur nUU  E  M tr  MU U  E  E    σ  ε ε    −===

 MU U U  B X  M U  B X  r r r r    ')()'(ˆ'ˆ   =++=ε ε 

El modelo propuesto por error *

Puede escribirse de la si!uiente forma*

5a (ariable - estimada como*

El error de estimación*

Reempla&ando el (alor de 7

estimada*

Simplificando*

Donde / es una matri& sim,trica e idempotente"

Calculando la suma de res%duos SRC**

Reempla&ando los (alores de -

3omando la esperan&a*

k n −=

  ε ε σ  

ε 

ˆ'ˆˆ  2

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1.3 Forma funcional incorrecta

Supon!amos que el modelo correcto es*   u X  X  X Y   k 

k   +++++=   β β β β    ....2

210

- se plantea un modelo lineal de la forma*   ε α α    ++=   X Y  10

El t,rmino   u X  X   k 

k   +++=   β β ε    ...2

2

Esta reco!iendo la influencia de las (ariables omitidas" Esto es similar al caso de

(ariables omitidas

1.4 rror de medición en una variable e!"licativa

Supon!amos que el modelo correcto es*   u X Y    ++= 21   β β 

Pero en lu!ar de obser(ar 0 se obser(a 08 donde*   ε +=   * X  X 

Reempla&ando en el modelo se tiene*   u X Y    +++=   )*(21   ε β β u X Y    +++=   ε β β β  221   *

w X Y    ++=   *21   β β Donde   uw   +=   ε β 2 Es una composición de error ecuacional 2 de medicion