Post on 27-Jun-2020
Случайные величины
Теория вероятностей Математическая статистика
Функция распределения
Плотность распределения вероятности
)()( xFxXP
b
a
dxxbXaP )()(
1)()()()()(
dxxdxxxFxFx
x
n
i
iXn
XdxxxXM1
1)()( Математическое
ожидание
Эмпирическое (выборочное)
среднее Дисперсия
2
1
22 )(1
1)()()]([)( XX
nXsdxxxMxXD
n
i
i
)(XDx
222 )()()( xxxxDx
Сложение случайных погрешностей
1
1
1 1
NNx
N
xN
NN
2
2
2
2
;)(N
S
N
S
N
s
I
I
V
V
P
P
N
S
222
yxz
YXZ
YXZ
22 )()(YXZ
Y
XZYXZ
Y
XZYXZ
YXz
«Закон распространения ошибок»
Косвенные измерения
frqpfx ,...),,(
...
r
r
fq
q
fp
p
ff
...)()()( 2222222
rqpx
r
f
q
f
p
f
Масс-спектрометрия
U
rHemHe
r
mv
Uemv
2)/(v
2222
2
22
2
2222
222
22 )()
2()()
2
2()()
2
2())(( U
U
HrH
U
Hrr
U
rH
e
m
pq
r f
Какие встречаются распределения?
Равномерное
(Х)
F(Х)
Х
Х
ab
1
1
a
a
b
b
12
)()(
22ab
xD
abx
Экспоненциальное
1
1)(1
)( bxaab
x
)()( bxaab
axxF
)0()( xpex px
Х
Х
(Х)
F(Х)
)0(1)( xexF px
2
1)(
1
pxD
px
Шумы цифровой записи
n
iVV
20
102
2/||
n
iVVQ
dQQQQD Q )()( 22
3232232 1
0
n
i
n
iQ
VVV
f
V
fVN
n
iQ
i
)1(2
22
23)( 1
2/
2/
2
02/
2/
322
0
0
0
0 12|
3)()(
V
V
V
V
o
V
V
QdQQQdQQQD
df
dPN N )1(223
)(
)(/ n
i
i fVN
VPNS
Распределение Гаусса
2
2
2
)(exp
2
1)(
xx
2
1max
x
dxxxF )()(
Нормальное распределение -
ЦПТ Ляпунова А.М.
)2
(exp)exp()(
22
2
kT
x
kT
WWP
xW
•Стационарность
•Независимость
•N
•x 0
Максимальность энтропии
Заданное отклонение
dxx
dxx
baP
b
a
)(
)(
),(
b
a
dxxbaP )(),(
dxx
xP
]
2
)(exp[
2
1)(
2
2
xz
)(22
2
2
1)
2exp(
2
1
0
22
222
dzedzedzz
P
q zq
q
z
dzex
x z
0
2
2
2
1)(
xxx ||
Функция Лапласа
Заданный интервал
dx
xdxxxP ]
2
)(exp[
2
1)()(
2
2
xz
zx
zx
)()(2
1
2
1
2
1
2
1)(
2
1)(
0
2
0
2
0
0
222
22
222
dzedze
dzedzedzexP
zz
zzz
q Ф(q)
0,0 0,0000
0,5 0,1915
1,0 0,3413
1,5 0,4332
2,0 0,4772
2,5 0,4938
3,0 0,49865
4,0 0,499968
5,0 0,499997
9544,04772,02)2(2
)5010(1030
xP
Функция ошибок
Правило «3» !!!
q erf(q)
0,0 0,0000
0,5 0,3830
1,0 0,6826
1,5 0,8664
2,0 0,9544
2,5 0,9876
3,0 0,9973
4,0 0,99994
5,0 0,999994
dzeqdzeqerf
q zq
q
z
0
22
22
2
2)(2
2
1)(
Достоверность обнаружения сигнала
Правило «3»
Распределения
Пуассона биномиальное Гаусса
Биномиальное распределение
qpCPkNkk
NNk
)()!(!
!
kNk
NC
k
N Npq
Npk
2
N ∞ , p = const
]2
)(exp[
2
1
]2
)(exp[
2
1)(
2
2
2
kk
Npq
Npk
NpqkP
ek
epk
NkP
kNpk
k
!!)(
2
Npk
N ∞ , p 0, N p = const
Негауссовы распределения
Центральный момент порядка k ]))([( k
k xMxMm
44
4
33
3
22
2
1
)(]))([(
)(]))([(
)()(]))([(
0)()]([
xxxMxMm
xxxMxMm
xDxxxMxMm
xxxMxMm
Асимметрия 3
3
mAs Эксцесс 3)(
4
4
mEk
)(x
x
0sA
0sA
)(x
x
0kE
0kE
Негауссовы распределения
)(x
x
Медиана (50 процентиль)
75 процентиль 25
процентиль
Нормальное распределение
Распределение Стьюдента
(t-распределение)
22
2
11
)2
1()1(
)2
(
),(
/
n
k
k
n
t
nn
n
nt
k
ut
!)1(
)(0
1
nn
dtexx tx
t-распределение, степеней свободы k = n-1
n
Стьюдент Гаусс
),( nx
2)(
0)(
0)(
0
12
12
k
ktD
ttm
tM
t
n
n
m
Интервальные оценки
Доверительный интервал для оценки нормального распределения при неизвестном
nS
XT
t-распределение, степеней свободы k = n-1
)(
),(2)(0
nStXnStXP
dtnttnS
XP
t
),( nStXnStX
с надежностью
Статистическая проверка
статистических гипотез
1.Вид предполагаемого распределения
2.Предполагаемая величина параметра распределения и др.
Нулевая (основная) гипотеза H0
Конкурирующая (альтернативная) гипотеза H1 10:
10:
1
0
H
H
Ошибка 1 рода: отвергнута правильная гипотеза
Ошибка 2 рода: принята неправильная гипотеза
)1(OP
- уровень значимости
Статистический критерий – специально подобранная случайная
величина, распределение которой известно и которая служит для
проверки нулевой гипотезы. Распределения: норм, F, t, 2…….
Распределение F Фишера-Снедекора
2/)(
12
2/)2(
21
2/
2
2/
121
2
1
21
1
21
)()
2()
2(
)2
(
)(
),0()(
kk
kkk
xkk
x
kk
kkkk
x
x
kV
kUF
!)1(
)(0
1
nn
dtexx tx
10)3
104)2
2)1
21
21
21
kk
kk
kk
12
21
)2(
)2(
kk
kkxm
0sA
Распределение F Фишера-Снедекора
2
X
x
s
n
X
2
Y
y
s
n
Y
][][:
)(][),(][
)()(:
22
0
22
0
YX
YX
sMsMH
YDsMXDsM
YDXDH
)(1
)(1
22
11
2
2
Мnk
Бnk
s
sF
М
Б
)()(:
)()(:
1
0
YDXDH
YDXDH
)],;([ 21 kkFFP крит
Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
При Fнабл <F крит
принимаем Н0
критерий
Распределение хи-квадрат
n
i
iX1
22
)(1
)2
(2
1)(
),0()(
1)2/(2/
2/
XnXnk
xek
x
x
i
kx
k
!)1(
)(0
1
nn
dtexx tx
6)3
4)2
2)1
k
k
k
30)3
20)2
10)1
k
k
k
nxDnxM 2)()(
Гауссk
kk
2
2
2
2)(
22 2/
3
2
2
3
2
2
2
1
2
m
x
x
ex
x
XXX
Максвелл
Распределение хи-квадрат
Сравнение выборочной дисперсии с гипотетической генеральной
дисперсией нормальной совокупности
2
0
22
2
0
2
0
22
0
)1(
)(:
)1(;
sn
sMH
nksn
22
0
22
2
0
2
1
2
0
2
0
:
)];([
:
:
крит
крит
H
kP
H
H
критерий
Дисперсионный анализ
Номер
испытания
Уровни фактора Fj
F1 F2 … Fp
1 X11 X12 … X1p
2 X21 X22 … X2p
…. … … … …
q Xq1 Xq2 … Xqp
Групповая
средняя
X1 X2 … Xp
Дисперсия
внутригруп
S21 S2
2 … S2p
Н0: фактор F не влияет на признак Х
)...(1 22
2
2
1
22
pгруппвнутригруп sssp
ss 22
xx nn
22
xмежгруп qss 2
2
внутригруп
межгрупF
Дисперсионный анализ
Номер
испытания
Уровни фактора Fj
F1 F2 F3
1 -1 0 -10
2 0 2 -8
3 4 4 -2
4 5 6 0
Групповая
средняя
2.0 3.0 -5.0
Ср.квадр.
отклонение
S 2,94 2,58 4,76
7,12)76,458,294,2(3
1 2222 внутригрупs
03/)0.50.30.2()(3
1321 XXXX
36.42
)05()03()02(
1
)()()(
222
2
3
2
2
2
1
p
XXXXXXs
X
00.7636.44 222 xмежгруп qss
98,57,12
0,762
2
внутригруп
межгрупF
9)14(3)1(
2131
qpk
pk
внутригруп
межгруп
26.4)9;2;05.0(),;( 21 FkkFкрит отвергаемHFF критнабл 0
Не только Фурье ………….
Интегральные преобразования
Фурье Лапласа
deFtf
dtetfF
ti
ti
)(2
1)(
)()(
ia
ia
pt
pt
dpepFi
tf
dtetfpF
)(2
1)(
)()(0
)()()(
)()()()(
)(
Fitf
GFtgtf
nn
0
)1(1)(
)()(
)0(...)0()()(
)()()()(
p
pFdttf
ffppFptf
pGpFtgtf
nnnn
Полезные свойства
Не только Фурье ………….
0
10
20
30
40
50
60
70
0 5000 10000 15000M
t, мс
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
1 10 100 1000 10000
Am
plitu
de
t, мс
Спад T2 в сорбенте
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 500 1000 1500 2000 2500 3000t, мс
M
Water
Geksan
Heptan
Nonan
Decan
-2.00E+01
0.00E+00
2.00E+01
4.00E+01
6.00E+01
8.00E+01
1.00E+02
1.20E+02
1.40E+02
1.00 10.00 100.00 1000.00
d, мкм
dV
/dd
, о
тн е
д/м
км
Лаплас
Вейвлет-преобразование
dt
a
bttf
abaW )()(
1),( *
,0
2)(),()(
a
dadb
a
btbaWtf
dttdtt2
)(;0)(
HAAR - вейвлет
Требования к : локализация, ограниченность
Вейвлет-преобразование
FHAT - вейвлет ("Французская
шляпа" - French hat) Wave - вейвлет
MHAT - вейвлет ("Мексиканская шляпа" -
Mexican hat)
Вейвлет Морле (образует
комплексный базис)
Вейвлет-преобразование
И.А. Романец, В.А. Атопков, Г.Т. Гурия КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
И МОДЕЛИРОВАНИЕ 2012 Т. 4 № 4 С. 895–915
Топологические основы классификации
электрокардиограмм
Классификация электрокардиограмм
И.А. Романец, В.А.
Атопков, Г.Т. Гурия КОМПЬЮТЕРНЫЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
И МОДЕЛИРОВАНИЕ 2012 Т. 4 № 4
С. 895–915
Временные ряды
Автокорреляционная функция
L
L
dxxRxxRL
xG0
)()(1
)( lim
T
T
dttRtRT
G0
)()(1
)( lim
Интегральные преобразования – корреляция с базисной функцией
dtetfF ti )()(
0
)()( dtetfpF pt
dt
a
bttf
abaW )()(
1),( *
Топография поверхности
Автокорреляционная функция
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 50 100 150
n-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
n
)exp(~)(cx
xxG
xс~400-500 нм xс~ 80 нм
Литература
Максимычев А.В. Физические методы исследования. 1.Погрешности измерений. М., МФТИ , 2006.
Стариковская С.М. Физические методы исследования. Семинарские занятия. 1.1. Учет погрешностей при обработке результатов измерений: М: МФТИ, 2003
Клаассен К.Б. Основы измерений. Электронные методы и приборы в измерительной технике. М. Постмаркет, 2000.
Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. М. Мир, 1985.
Худсон Д. Статистика для физиков . М.Мир, 1970
Гланц С. Медико-биологическая статистика. М. Практика, 1999
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Высшая школа, 2002.