Случайные величины

Теория вероятностей Математическая статистика

Функция распределения

Плотность распределения вероятности

)()( xFxXP

b

a

dxxbXaP )()(

1)()()()()(

dxxdxxxFxFx

x

n

i

iXn

XdxxxXM1

1)()( Математическое

ожидание

Эмпирическое (выборочное)

среднее Дисперсия

2

1

22 )(1

1)()()]([)( XX

nXsdxxxMxXD

n

i

i

)(XDx

222 )()()( xxxxDx

Сложение случайных погрешностей

1

1

1 1

NNx

N

xN

NN

2

2

2

2

;)(N

S

N

S

N

s

I

I

V

V

P

P

N

S

222

yxz

YXZ

YXZ

22 )()(YXZ

Y

XZYXZ

Y

XZYXZ

YXz

«Закон распространения ошибок»

Косвенные измерения

frqpfx ,...),,(

...

r

r

fq

q

fp

p

ff

...)()()( 2222222

rqpx

r

f

q

f

p

f

Масс-спектрометрия

U

rHemHe

r

mv

Uemv

2)/(v

2222

2

22

2

2222

222

22 )()

2()()

2

2()()

2

2())(( U

U

HrH

U

Hrr

U

rH

e

m

pq

r f

Какие встречаются распределения?

Равномерное

(Х)

F(Х)

Х

Х

ab

1

1

a

a

b

b

12

)()(

22ab

xD

abx

Экспоненциальное

1

1)(1

)( bxaab

x

)()( bxaab

axxF

)0()( xpex px

Х

Х

(Х)

F(Х)

)0(1)( xexF px

2

1)(

1

pxD

px

Шумы цифровой записи

n

iVV

20

102

2/||

n

iVVQ

dQQQQD Q )()( 22

3232232 1

0

n

i

n

iQ

VVV

f

V

fVN

n

iQ

i

)1(2

22

23)( 1

2/

2/

2

02/

2/

322

0

0

0

0 12|

3)()(

V

V

V

V

o

V

V

QdQQQdQQQD

df

dPN N )1(223

)(

)(/ n

i

i fVN

VPNS

Распределение Гаусса

2

2

2

)(exp

2

1)(

xx

2

1max

x

dxxxF )()(

Нормальное распределение -

ЦПТ Ляпунова А.М.

)2

(exp)exp()(

22

2

kT

x

kT

WWP

xW

•Стационарность

•Независимость

•N

•x 0

Максимальность энтропии

Заданное отклонение

dxx

dxx

baP

b

a

)(

)(

),(

b

a

dxxbaP )(),(

dxx

xP

]

2

)(exp[

2

1)(

2

2

xz

)(22

2

2

1)

2exp(

2

1

0

22

222

dzedzedzz

P

q zq

q

z

dzex

x z

0

2

2

2

1)(

xxx ||

Функция Лапласа

Заданный интервал

dx

xdxxxP ]

2

)(exp[

2

1)()(

2

2

xz

zx

zx

)()(2

1

2

1

2

1

2

1)(

2

1)(

0

2

0

2

0

0

222

22

222

dzedze

dzedzedzexP

zz

zzz

q Ф(q)

0,0 0,0000

0,5 0,1915

1,0 0,3413

1,5 0,4332

2,0 0,4772

2,5 0,4938

3,0 0,49865

4,0 0,499968

5,0 0,499997

9544,04772,02)2(2

)5010(1030

xP

Функция ошибок

Правило «3» !!!

q erf(q)

0,0 0,0000

0,5 0,3830

1,0 0,6826

1,5 0,8664

2,0 0,9544

2,5 0,9876

3,0 0,9973

4,0 0,99994

5,0 0,999994

dzeqdzeqerf

q zq

q

z

0

22

22

2

2)(2

2

1)(

Достоверность обнаружения сигнала

Правило «3»

Распределения

Пуассона биномиальное Гаусса

Биномиальное распределение

qpCPkNkk

NNk

)()!(!

!

kNk

NC

k

N Npq

Npk

2

N ∞ , p = const

]2

)(exp[

2

1

]2

)(exp[

2

1)(

2

2

2

kk

Npq

Npk

NpqkP

ek

epk

NkP

kNpk

k

!!)(

2

Npk

N ∞ , p 0, N p = const

Негауссовы распределения

Центральный момент порядка k ]))([( k

k xMxMm

44

4

33

3

22

2

1

)(]))([(

)(]))([(

)()(]))([(

0)()]([

xxxMxMm

xxxMxMm

xDxxxMxMm

xxxMxMm

Асимметрия 3

3

mAs Эксцесс 3)(

4

4

mEk

)(x

x

0sA

0sA

)(x

x

0kE

0kE

Негауссовы распределения

)(x

x

Медиана (50 процентиль)

75 процентиль 25

процентиль

Нормальное распределение

Распределение Стьюдента

(t-распределение)

22

2

11

)2

1()1(

)2

(

),(

/

n

k

k

n

t

nn

n

nt

k

ut

!)1(

)(0

1

nn

dtexx tx

t-распределение, степеней свободы k = n-1

n

Стьюдент Гаусс

),( nx

2)(

0)(

0)(

0

12

12

k

ktD

ttm

tM

t

n

n

m

Интервальные оценки

Доверительный интервал для оценки нормального распределения при неизвестном

nS

XT

t-распределение, степеней свободы k = n-1

)(

),(2)(0

nStXnStXP

dtnttnS

XP

t

),( nStXnStX

с надежностью

Статистическая проверка

статистических гипотез

1.Вид предполагаемого распределения

2.Предполагаемая величина параметра распределения и др.

Нулевая (основная) гипотеза H0

Конкурирующая (альтернативная) гипотеза H1 10:

10:

1

0

H

H

Ошибка 1 рода: отвергнута правильная гипотеза

Ошибка 2 рода: принята неправильная гипотеза

)1(OP

- уровень значимости

Статистический критерий – специально подобранная случайная

величина, распределение которой известно и которая служит для

проверки нулевой гипотезы. Распределения: норм, F, t, 2…….

Распределение F Фишера-Снедекора

2/)(

12

2/)2(

21

2/

2

2/

121

2

1

21

1

21

)()

2()

2(

)2

(

)(

),0()(

kk

kkk

xkk

x

kk

kkkk

x

x

kV

kUF

!)1(

)(0

1

nn

dtexx tx

10)3

104)2

2)1

21

21

21

kk

kk

kk

12

21

)2(

)2(

kk

kkxm

0sA

Распределение F Фишера-Снедекора

2

X

x

s

n

X

2

Y

y

s

n

Y

][][:

)(][),(][

)()(:

22

0

22

0

YX

YX

sMsMH

YDsMXDsM

YDXDH

)(1

)(1

22

11

2

2

Мnk

Бnk

s

sF

М

Б

)()(:

)()(:

1

0

YDXDH

YDXDH

)],;([ 21 kkFFP крит

Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

При Fнабл <F крит

принимаем Н0

критерий

Распределение хи-квадрат

n

i

iX1

22

)(1

)2

(2

1)(

),0()(

1)2/(2/

2/

XnXnk

xek

x

x

i

kx

k

!)1(

)(0

1

nn

dtexx tx

6)3

4)2

2)1

k

k

k

30)3

20)2

10)1

k

k

k

nxDnxM 2)()(

Гауссk

kk

2

2

2

2)(

22 2/

3

2

2

3

2

2

2

1

2

m

x

x

ex

x

XXX

Максвелл

Распределение хи-квадрат

Сравнение выборочной дисперсии с гипотетической генеральной

дисперсией нормальной совокупности

2

0

22

2

0

2

0

22

0

)1(

)(:

)1(;

sn

sMH

nksn

22

0

22

2

0

2

1

2

0

2

0

:

)];([

:

:

крит

крит

H

kP

H

H

критерий

Дисперсионный анализ

Номер

испытания

Уровни фактора Fj

F1 F2 … Fp

1 X11 X12 … X1p

2 X21 X22 … X2p

…. … … … …

q Xq1 Xq2 … Xqp

Групповая

средняя

X1 X2 … Xp

Дисперсия

внутригруп

S21 S2

2 … S2p

Н0: фактор F не влияет на признак Х

)...(1 22

2

2

1

22

pгруппвнутригруп sssp

ss 22

xx nn

22

xмежгруп qss 2

2

внутригруп

межгрупF

Дисперсионный анализ

Номер

испытания

Уровни фактора Fj

F1 F2 F3

1 -1 0 -10

2 0 2 -8

3 4 4 -2

4 5 6 0

Групповая

средняя

2.0 3.0 -5.0

Ср.квадр.

отклонение

S 2,94 2,58 4,76

7,12)76,458,294,2(3

1 2222 внутригрупs

03/)0.50.30.2()(3

1321 XXXX

36.42

)05()03()02(

1

)()()(

222

2

3

2

2

2

1

p

XXXXXXs

X

00.7636.44 222 xмежгруп qss

98,57,12

0,762

2

внутригруп

межгрупF

9)14(3)1(

2131

qpk

pk

внутригруп

межгруп

26.4)9;2;05.0(),;( 21 FkkFкрит отвергаемHFF критнабл 0

Не только Фурье ………….

Интегральные преобразования

Фурье Лапласа

deFtf

dtetfF

ti

ti

)(2

1)(

)()(

ia

ia

pt

pt

dpepFi

tf

dtetfpF

)(2

1)(

)()(0

)()()(

)()()()(

)(

Fitf

GFtgtf

nn

0

)1(1)(

)()(

)0(...)0()()(

)()()()(

p

pFdttf

ffppFptf

pGpFtgtf

nnnn

Полезные свойства

Не только Фурье ………….

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5000 10000 15000M

t, мс

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

1 10 100 1000 10000

Am

plitu

de

t, мс

Спад T2 в сорбенте

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 500 1000 1500 2000 2500 3000t, мс

M

Water

Geksan

Heptan

Nonan

Decan

-2.00E+01

0.00E+00

2.00E+01

4.00E+01

6.00E+01

8.00E+01

1.00E+02

1.20E+02

1.40E+02

1.00 10.00 100.00 1000.00

d, мкм

dV

/dd

, о

тн е

д/м

км

Лаплас

Вейвлет-преобразование

dt

a

bttf

abaW )()(

1),( *

,0

2)(),()(

a

dadb

a

btbaWtf

dttdtt2

)(;0)(

HAAR - вейвлет

Требования к : локализация, ограниченность

Вейвлет-преобразование

FHAT - вейвлет ("Французская

шляпа" - French hat) Wave - вейвлет

MHAT - вейвлет ("Мексиканская шляпа" -

Mexican hat)

Вейвлет Морле (образует

комплексный базис)

Вейвлет-преобразование

И.А. Романец, В.А. Атопков, Г.Т. Гурия КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

И МОДЕЛИРОВАНИЕ 2012 Т. 4 № 4 С. 895–915

Топологические основы классификации

электрокардиограмм

Классификация электрокардиограмм

И.А. Романец, В.А.

Атопков, Г.Т. Гурия КОМПЬЮТЕРНЫЕ

ИССЛЕДОВАНИЯ

И МОДЕЛИРОВАНИЕ 2012 Т. 4 № 4

С. 895–915

Временные ряды

Автокорреляционная функция

L

L

dxxRxxRL

xG0

)()(1

)( lim

T

T

dttRtRT

G0

)()(1

)( lim

Интегральные преобразования – корреляция с базисной функцией

dtetfF ti )()(

0

)()( dtetfpF pt

dt

a

bttf

abaW )()(

1),( *

Топография поверхности

Автокорреляционная функция

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 50 100 150

n-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

n

)exp(~)(cx

xxG

xс~400-500 нм xс~ 80 нм

Литература

Максимычев А.В. Физические методы исследования. 1.Погрешности измерений. М., МФТИ , 2006.

Стариковская С.М. Физические методы исследования. Семинарские занятия. 1.1. Учет погрешностей при обработке результатов измерений: М: МФТИ, 2003

Клаассен К.Б. Основы измерений. Электронные методы и приборы в измерительной технике. М. Постмаркет, 2000.

Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. М. Мир, 1985.

Худсон Д. Статистика для физиков . М.Мир, 1970

Гланц С. Медико-биологическая статистика. М. Практика, 1999

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Высшая школа, 2002.