แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 1

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ใชประกอบการจดกจกรรมการเรยน

การสอนรายวชาคณตศาสตร รหสวชา ค32202 ระดบชนมธยมศกษาปท 5 ในการใช

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมน ครผสอนควรปฏบตตามขนตอน ตอไปน

1. ศกษาแบบฝกทกษะและท าความเขาใจกบเนอหาสาระกอนน าไปใชจดกจกรรม

การเรยนสอน

2. ชแจงขนตอนการเรยนโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรนใหนกเรยนเขาใจและ

เนนย าความซอสตยไมดเฉลยกอน หรอไมลอกเพอน เพอใหนกเรยนเขาใจบทบาทตวเองใน

การเรยนโดยใชแบบฝกทกษะ

3. ทดสอบความรกอนเรยนของนกเรยนโดยการท าแบบทดสอบกอนเรยน เพอ

ประเมนความรพนฐาน ของนกเรยน

4. แจงผลการเรยนรและจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบ

5. ด าเนนการสอนตามกจกรรมการเรยนรโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมน

ควบคกบแผนการจดการเรยนร

6. สงเกต ดแล ชวยใหค าแนะน าแกนกเรยนเมอมปญหามขอสงสยซกถาม

7. เมอนกเรยนท าแบบฝกทกษะเสรจแลว ใหเปลยนกนตรวจค าตอบภายในกลม

จากเฉลยแบบฝกทกษะ

8. ประเมนผลการเรยนของนกเรยนอยางตอเนองและใหแรงเสรมในการปฏบต

กจกรรมของนกเรยน

9. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยน เมอศกษาเนอหาจากใบความรและท า

แบบฝกทกษะเสรจสน เพอประเมนความกาวหนาของนกเรยน

ค าชแจงการใชแบบฝกส าหรบคร

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 2

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเรองจ านวนเชงซอนใชประกอบการจดกจกรรมการเรยน

การสอนรายวชาคณตศาสตร รหสวชา ค32202 ระดบชนมธยมศกษาปท 5 ในการใช

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมนนกเรยนควรปฏบตตามขนตอนตอไปน

1. อานค าแนะน าการใชแบบฝกทกษะส าหรบนกเรยนใหเขาใจกอนศกษา

2. ท าแบบทดสอบกอนเรยนเพอประเมนความรพนฐานของนกเรยน

3. ศกษาเนอหาในใบความรและท ากจกรรมในแบบฝกทกษะดวยตนเองถาท า

แบบฝกทกษะไมไดใหกลบไปศกษาเนอหาใหมอกครงหรอปรกษาครผสอน

4. ท าแบบทดสอบหลงเรยนเมอศกษาเนอหาจากใบความรและท าแบบฝกทกษะ

เสรจสนเพอประเมนความกาวหนาของนกเรยน

5. การท ากจกรรมในแบบฝกทกษะแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยนให

นกเรยนตงใจท าและมความซอสตยโดยไมเปดดเฉลยกอน

ค าชแจงการใชแบบฝกส าหรบนกเรยน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 3

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

จดประสงคการเรยนร

เมอเรยนจบเรองนแลวนกเรยนสามารถ

1. บอกไดวาคอนดบ (a, b) เปนจ านวนเชงซอน

2.เขยนจ านวนเชงซอน (a, b) ในรป a + bi และเขยน

จ านวนเชงซอน a + bi ในรป (a, b)ได

3. ระบสวนจรงและสวนจนตภาพของจ านวนเชงซอน

ทก าหนดใหได

4. ค านวณจ านวนเชงซอนทอยในรปของ ki เมอ k

เปนจ านวนเตมบวกได

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 4

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

1. ขอใด ไม ถกตอง

ก. 2 4 = 4i ข. 3 16 = 12i

ค. 20 = 2 5 i ง. 4 12 = 24i

2. 813 เขยนใหอยในรปของหนวยจนตภาพไดอยางไร ก. 3 – 9i ข. 3 + 9i

ค. -27i ง. 27i

3. ขอใดไมใชจ านวนเชงซอน

ก. (2, 3 ) ข. (0, 1)

ค. (5, 9- ) ง. (2

3,π )

4. ขอใด ไม ถกตอง

ก. 5 ไมเปนจ านวนเชงซอน

ข. คาของ i ในจ านวนเชงซอน คอ 1

ค. จ านวนเชงซอน (1, 3) มสวนจรงเปน 1 และสวนจนตภาพเปน 3

ง. 2 + 6i เปนจ านวนเชงซอนทมสวนจรงเปน 2 และสวนจนตภาพเปน 6

แบบทดสอบกอนเรยน

ค าชแจง ใหนกเรยนอานค าถามตอไปนทละขอ แลวกาเครองหมาย ลงในชองใตตวอกษร

ก ข ค และ ง ทนกเรยนเหนวาถกตองทสดเพยงขอเดยว

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 5

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

5. คาของ i2520 + i2553 + i2012 เทากบจ านวนในขอใด

ก. 1 ข. i – 1

ค. 2 + i ง. 3

6. จ านวนเชงซอน (–8, –7) เขยนใหอยในรป a + bi ไดดงขอใด

ก. 8 + 7i ข. 8 – 7i

ค. –8 – 7i ง. –8 + 7i

7. คาของ i + i2 + i3 + i4 + … + i2501 + i2502 เทากบจ านวนในขอใด

ก. 1 ข. i – 1

ค. 2 + i ง. 3

8. 5 + 225 เขยนใหอยในรปของหนวยจนตภาพไดอยางไร ก. 5 – 15i ข. 5 + 15i

ค. -20i ง. 20i

9. 50 เขยนใหอยในรปของหนวยจนตภาพไดอยางไร ก. 50i ข. 5 + 10i

ค. 25i ง. 2i5

10. ขอใดมคาเปนจ านวนจรง

ก. 9i6 ข. 2i11

ค. 4i17 ง. 7 – 5i

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 6

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

ในระบบจ านวนจรงสมการพหนามบางสมการ เชน x2 + 1 = 0 ไมมค าตอบเนองจาก

ก าลงสองของจ านวนใดๆจะมากกวาหรอเทากบศนยเสมอจงไมมจ านวนจรงใดเปนค าตอบของ

สมการแตนกคณตศาสตรตองการสรางระบบจ านวนซงขยายออกไปเพอใหหาค าตอบของ

สมการพหนามไดเสมอและเรยกจ านวนในระบบทสรางขนใหมนวา “จ านวนเชงซอน”

(Complex number) ซงเซตของจ านวนในระบบใหมนตองเปนเซตทมเซตของจ านวนจรงเปน

สบเซต

บทนยาม ส าหรบจ านวนเชงซอน z = (a, b) เมอ a และ b เปนจ านวนจรง

เรยก a วาสวนจรง( real part ) ของ Z และแทนดวย Re(z)

เรยก b วาสวนจนตภาพ ( imaginary part ) ของ Z และแทนดวย Im(z)

จากบทนยามนอาจกลาวไดวาจ านวนจรงกคอจ านวนเชงซอนทมสวนจนตภาพเปน

ศนยจ านวนเชงซอนทมสวนจรงเปนศนยแตสวนจนตภาพไมใชศนยเรยกวาจ านวนจนตภาพแท

(purely imaginary number)

ใบความรท 1.1

เรอง ความหมายของจ านวนเชงซอน

บทนยาม จ านวนเชงซอนคอคอนดบ (a, b) เมอ a และ b เปนจ านวน

จรงและก าหนดการเทากนการบวกและการคณของจ านวนเชงซอนดงน

ส าหรบจ านวนเชงซอน (a, b) และ (c, d)

1. การเทากน (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d

2. การบวก (a, b) + (c, d) = (a + c , b + d)

3. การคณ (a, b) (c, d) = (ac - bd , ad + bc)

อาจแทน (a, b) (c, d) ดวย (a, b)(c, d) กได

เซตของจ านวนเชงซอนเขยนแทนดวยสญลกษณ C

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 7

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

จ านวนเชงซอนทอยในรป (0, b) สามารถเขยนในรปหนวยจนตภาพไดเปน bi

จ านวนเชงซอนทอยในรป (a, b) เขยนในรปหนวยจนตภาพไดเปน a + bi

สามารถสรปลกษณะตางๆของจ านวนเชงซอน z = (a, b) = a + bi ไดดงน

1. ถา a = 0 และ b ≠ 0 จะได z = bi ซงเปนจ านวนจนตภาพและเรยก

จ านวนเชงซอนนวาจานวนจนตภาพแท

2. ถา a ≠ 0 และ b = 0 จะได z = a ซงเปนจ านวนจรง a นนคอจ านวนจรงทก

จ านวนเปนจ านวนเชงซอนทมสวนจนตภาพเปน 0

3. ถา a ≠ 0 และ b ≠ 0 จะได z = a + bi ซงเปนจ านวนเชงซอนทมทงสวนจรง

และสวนจนตภาพ

1. จ านวนเชงซอน (4, 1) คอ 4 + i

2. จ านวนเชงซอน (0, –9) คอ –9i

3. จ านวนเชงซอน (–3, 8) คอ –3 + 8i

4. จ านวนเชงซอน (–4, –3) คอ –4 – 3i

5. จ านวนเชงซอน (5, –1) คอ 5 – i

1. จ านวนเชงซอน (5, 8) มสวนจรงRe(z) คอ 5 สวนจนตภาพIm(z) คอ 8

2. จ านวนเชงซอน (8, –2) มสวนจรงRe(z) คอ 8 สวนจนตภาพIm(z) คอ –2

3. จ านวนเชงซอน –7 – 4i มสวนจรงRe(z) คอ –7 สวนจนตภาพIm(z) คอ –4

4. จ านวนเชงซอน 1 – 9i มสวนจรงRe(z) คอ 1 สวนจนตภาพIm(z) คอ –9

5. จ านวนเชงซอน 5 + 3i มสวนจรงRe(z) คอ 5 สวนจนตภาพIm(z) คอ 3

การเขยนจ านวนเชงซอนในรปของหนวยจนตภาพ

ตวอยางท 1 จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยรปของ a + bi

ตวอยางท 2 จงบอกสวนจรง Re(z) และสวนจนตภาพIm(z) ของจ านวนเชงซอนตอไปน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 8

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

ขอ โจทย จ านวนเชงซอน

เหตผล เปน ไมเปน

1 (5, 8)

2 ( 3 , 1)

3 (-7, 25)

4 (0 , π )

5 (-2.5, 4.8)

6 (-1 , 2 )

7 (-5 , 5 )

8 ( 3 + 5, 2)

9 (1 , 4 )

10 ( 9 , 3

2

1)

สรป จ านวนเชงซอน(Complex number) คอ

แบบฝกทกษะท 1.1

ค าชแจง จงพจารณาคอนดบในตารางตอไปนแลวตอบค าถาม

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 9

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

ขอ จ านวนเชงซอนในรป

(a, b)

จ านวนเชงซอนในรป

a+ bi

สวนจรง

a

สวนจนตภาพ

b

1 (6, -3)

2 (4, 3 )

3 (0, 8)

4 (-5, 0)

5 (2, π )

ขอ จ านวนเชงซอนในรป

a+ bi

จ านวนเชงซอนในรป

(a, b)

สวนจรง

a

สวนจนตภาพ

b

1 12

2 i3

3 -9i

4 4 + 3i

5 -2 – 2i

สรป จ านวนเชงซอน (a, b) สามารถเขยนแทนดวย …………………..

เรยก ………… วาสวนจรง( real part ) ของ z และแทนดวย Re(z)

เรยก ………… วาสวนจนตภาพ ( imaginary part ) ของ z และแทนดวยIm(z)

แบบฝกทกษะท 1.2

ตอนท 1 จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของ a + bi

ตอนท 2 จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของ (a + b)

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 10

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

ขอ จ านวนเชงซอนในรป

a+ bi

จ านวนเชงซอนในรป

(a, b)

สวนจรง

a

สวนจนตภาพ

b

1 3 + 0i (3, 0)

2 (–2, 0)

3 9 + 0i

4 –5 – i

5 –4 + 6i (–4, 6)

6 (–2 , –3)

7 3 + i

8 8i

9 (0, -7)

10 (0, -1)

สรป จ านวนเชงซอนทอยในรปของ (a, b) สามารถเขยนแทนดวย a + bi

เรยก a วา................................... เรยก b วา........................................

1. ถา b = 0 จะได (a, 0) เขยนแทนดวย a เรยกจ านวนเชงซอนนวา

จ านวน........................... (ดงปรากฏในขอ ....................)

2. ถา b 0 และ a = 0 จะได (0, b) เขยนแทนดวย bi เรยกจ านวนเชงซอนนวา

จ านวน........................... (ดงปรากฏในขอ .............)

แบบฝกทกษะท 1.3

ค าชแจง ก าหนดจ านวนเชงซอนตอไปนใหนกเรยนเตมค าตอบทถกตองลงในชองวาง

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 11

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

1. (3, 8)

2. (i, 8)

3. (0, 2 )

4. (–5, π )

5. (- 2 , -3i)

6. 9 + 3 i

7. -6 + 5

8. -8i

9. 2

1+

3

2i

10. (4, 25)

ขอ จ านวนเชงซอนในรป

a+ bi

จ านวนเชงซอนในรป

(a, b)

สวนจรง

a

สวนจนตภาพ

b

1 (–3, –5)

2 (–7, 6)

3 2 + 3i

4 4i

5 15

แบบฝกทกษะท 1.4

ตอนท 2 ก าหนดจ านวนเชงซอนตอไปนใหนกเรยนเตมค าตอบทถกตองลงในชองวาง

ตอนท 1 จงพจารณาจานวนตอไปนแลวขดเครองหมาย หนาขอทเปนจ านวนเชงซอนหรอ

ขดเครองหมาย หนาขอทไมเปนจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 12

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

เมอ

i = 1

i2

= 21 = -1

i3 = i2i = -i

i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1

i9 = (i4)2i = (-1)2i = i

i14 = (i4)3i2 = i2 = -1

i23 = (i4)5i3 = i3 = -i

i24 = (i4)6 = 16 = 1

สรป ถา n เปนจานวนเตมบวกจะได

in = 1

i4n+1 = i

i4n+2 = -1

i4n+3 = -i

ใบความรท 1.2

เรอง หนวยจนตภาพ (Imaginary unit)

บทนยาม จ านวนเชงซอน (0,1) เขยนแทนดวยสญลกษณ 1 หรอ i

โดยท i2 = – 1 เรยก i วาหนวยจนตภาพ ( imaginary unit )

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 13

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

1. i12 มคาเทากบ 1

เนองจากจดในรป i4(3)+0 หรอ 4

12 จะได 3 เหลอเศษ 0

2. i17 มคาเทากบ 1

เนองจากจดในรป i4(4)+1 หรอ 4

17 จะได 4 เหลอเศษ 1

3. i22 มคาเทากบ 1

เนองจากจดในรป i4(5)+2 หรอ 4

12 จะได 5 เหลอเศษ 2

4. i23 มคาเทากบ 1

เนองจากจดในรป i4(5)+3 หรอ 4

23 จะได 5 เหลอเศษ 3

1. 81 = 181

= i99 (จาก 1 = i)

= 9i

2. 3 + 50 = 3 + 150

= 3 + i552 (จาก 1 = i)

= 3 + 5 2 i

การเขยนจ านวนเชงซอนในรปของหนวยจนตภาพ

ตวอยางท 1 จงหาคาของ ik เมอ k เปนจ านวนเตมบวกตอไปน

ตวอยางท 2 จงเขยนจ านวนเชงซอนใหอยในรปหนวยจนตภาพ

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 14

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

ขอ ik จดรป ik ใหอยในรป i4n+r

เมอ r คอเศษและ n I+ ผลลพธ

1 i8 i4(2) 1

2 i13 i4(3)+1 i

3 i26 i4(6)+2 -1

4 i31

5 i32

6 i43

7 i21

8 i38

9 i99

10 i100

สรป คาของ ik เมอ k เปนจ านวนเตมบวกจะมคาแตกตางกนเพยง 4 คาเทานน

คอ 1 , i , –1 , –i ทงนขนอยกบคาของ k เนองจากเมอ k หารดวย 4 จะได

k = 4n + r โดยทr = 0 , 1 , 2 , 3 เทานน( r คอเศษ)ดงนน

คาของ ik หาไดจาก

1. เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 0 ik = ………….

2. เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 1 ik = ………….

3. เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 2 ik = ………….

4. เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 3 ik = ………….

แบบฝกทกษะท 1.5

ตอนท 1 จงหาคา ik เมอ k เปนจ านวนเตมบวกตอไปน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 15

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

ขอ ik วธท า (4

k) เศษ ผลลพธ

1 i20

2 i78

3 i99

4 i248

5 i555

6 i561

7 i1992

8 i2802

9 i4303

10 i5513

ตอนท 2 จงหาคา ik เมอ k เปนจ านวนเตมบวกตอไปน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 16

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

1. 9

วธท า 9 =

=

=

แต 1 = i

ดงนน 9 =

2. 64

วธท า 64 =

=

=

แต 1 = i

ดงนน 64 =

3. 252

วธท า 252 =

=

=

แต 1 = i

ดงนน 252 =

แบบฝกทกษะท 1.6

ตอนท จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของหนวยจนตภาพ

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 17

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

ขอ จ านวนเชงซอน วธท า เขยนใหอยในรป

หนวยจนตภาพ

1 4

2 50

3 100

4 121

5 83

6 32

7 54-

8 2-7

9 495

10

3

29

ตอนท 2 จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของหนวยจนตภาพ

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 18

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

ขอ จ านวน

ชนดของจ านวน

จ านวน

เชงซอน

จ านวนจนต

ภาพแท

จ านวน

จรง

จ านวน

ตรรกยะ

จ านวน

อตรรกยะ

จ านวน

เตม

1 3

2 -9

3 5

4 -6i

5 3 + 2i

6 0

7 2

8 4

9 π

10 -2 - i

1. (-1, 9 ) ไมเปนจ านวนเชงซอน 9

2. 3 ไมเปนจ านวนเชงซอน

3. คาของ i ในจ านวนเชงซอนแทนคารากทสองของ 1

4. 5 – 7iเขยนเปนจ านวนเชงซอนในรปคอนดบคอจ านวนเชงซอน (5, 7)

5. จ านวนเชงซอน (a, b) และ b = 0 นนคอจ านวนจรง a

6. 2 + 4i เปนจ านวนเชงซอนทมสวนจรงเปน 2 และสวนจนตภาพเปน 4

แบบฝกทกษะท 1.7

ค าชแจง จงขดเครองหมาย ลงในชองวางตามชนดของจ านวนนนทก าหนดให

ตอนท 2 จงขดเครองหมาย หนาขอทถกตองและขดเครองหมาย หนาขอทผด

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 19

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

จ านวนเตม จ านวนตรรกยะ จ านวนเชงซอน

จ านวนจนตภาพ จ านวนอตรรกยะ จ านวนตรรกยะทไมใชจ านวนเตม

จ านวนจรง จ านวนเตมลบ จ านวนเตมบวก ศนย

โครงสรางของระบบจ านวนเชงซอน

ตอนท 3 จงเตมค าในชองวางเพอสรปแผนผงแสดงความสมพนธของโครงสรางจ านวน

เชงซอนใหถกตองโดยเลอกจากค าตอไปน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

1. ขอใดไมใชจ านวนเชงซอน

ก. (2, 3 ) ข. (0, 1)

ค. (5, 9- ) ง. (2

3,π )

2. จ านวนเชงซอน (–8, –7) เขยนใหอยในรป a + bi ไดดงขอใด

ก. 8 + 7i ข. 8 – 7i

ค. –8 – 7i ง. –8 + 7i

3. ขอใดมคาเปนจ านวนจรง

ก. 9i6 ข. 2i11

ค. 4i17 ง. 7 – 5i

4. ขอใด ไม ถกตอง

ก. 2 4 = 4i ข. 3 16 = 12i

ค. 20 = 2 5 i ง. 4 12 = 24i

5. ขอใด ไม ถกตอง

ก. 5 ไมเปนจ านวนเชงซอน

ข. คาของ i ในจ านวนเชงซอน คอ 1

ค. จ านวนเชงซอน (1, 3) มสวนจรงเปน 1 และสวนจนตภาพเปน 3

ง. 2 + 6i เปนจ านวนเชงซอนทมสวนจรงเปน 2 และสวนจนตภาพเปน 6

แบบทดสอบหลงเรยน

ค าชแจง ใหนกเรยนอานค าถามตอไปนทละขอ แลวกาเครองหมาย ลงในชองใตตวอกษร

ก ข ค และ ง ทนกเรยนเหนวาถกตองทสดเพยงขอเดยว

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 21

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

6. 5 + 225 เขยนใหอยในรปของหนวยจนตภาพไดอยางไร ก. 5 – 15i ข. 5 + 15i

ค. -20i ง. 20i

7. 813 เขยนใหอยในรปของหนวยจนตภาพไดอยางไร ก. 3 – 9i ข. 3 + 9i

ค. -27i ง. 27i

8. 50 เขยนใหอยในรปของหนวยจนตภาพไดอยางไร ก. 50i ข. 5 + 10i

ค. 25i ง. 2i5

9. คาของ i2520 + i2553 + i2012 เทากบจ านวนในขอใด

ก. 1 ข. i – 1

ค. 2 + i ง. 3

10. คาของ i + i2 + i3 + i4 + … + i2501 + i2502 เทากบจ านวนในขอใด

ก. 1 ข. i – 1

ค. 2 + i ง. 3

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 22

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

ขอท แบบทดสอบกอนเรยน

ขอท แบบทดสอบหลงเรยน

ก ข ค ง ก ข ค ง

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10 10

กระดาษค าตอบ

ชอ นามสกล ชน เลขท

เตม 10 คะแนน

ได ..................... คะแนน

เตม 10 คะแนน

ได ..................... คะแนน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 23

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

ขอ โจทย จ านวนเชงซอน

เหตผล เปน ไมเปน

1 (5, 8) 5 และ 8 R

2 ( 3 , 1) 3 R

3 (-7, 25) -7 และ 25 R

4 (0 , π ) 0 และ π R

5 (-2.5, 4.8) -2.5 และ 4.8 R

6 (-1 , 2 ) 2 R

7 (-5 , 5 ) -5 และ 5 R

8 ( 3 + 5, 2) 3 + 5 และ 2 R

9 (1 , 4 ) 4 R

10 ( 9 , 3

2

1) 9 R

สรป จ านวนเชงซอน(Complex number) คอ คอนดบ (a,b) เมอ a และ b เปนจ านวนจรงใดๆ

เฉลยแบบฝกทกษะท 1.1

ค าชแจง จงพจารณาคอนดบในตารางตอไปนแลวตอบค าถาม

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 24

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

ขอ จ านวนเชงซอนในรป

(a, b)

จ านวนเชงซอนในรป

a+ bi

สวนจรง

a

สวนจนตภาพ

b

1 (6, -3) 6 – 3i 6 -3

2 (4, 3 ) 4 + 3 i 4 3

3 (0, 8) 8i 0 8

4 (-5, 0) -5 + 0i -5 0

5 (2, π ) 2 + π i 2 sπ

ขอ จ านวนเชงซอนในรป

a+ bi

จ านวนเชงซอนในรป

(a, b)

สวนจรง

a

สวนจนตภาพ

b

1 12 (12, 0) 12 0

2 i3 (0, 5 ) 0 5

3 -9i (0, -9) 0 -9

4 4 + 3i (4, 3) 4 3

5 -2 – 2i (-2, -2) -2 -2

สรป จ านวนเชงซอน (a, b) สามารถเขยนแทนดวย a + bi

เรยก a วาสวนจรง( real part ) ของ z และแทนดวย Re(z)

เรยก b วาสวนจนตภาพ ( imaginary part ) ของ z และแทนดวยIm(z)

เฉลยแบบฝกทกษะท 1.2

ตอนท 1 จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของ a + bi

ตอนท 2 จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของ (a + b)

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 25

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

ขอ จ านวนเชงซอนในรป

a+ bi

จ านวนเชงซอนในรป

(a, b)

สวนจรง

a

สวนจนตภาพ

b

1 3 + 0i (3, 0) 3 0

2 -2 + 0i (–2, 0) -2 0

3 9 + 0i (9, 0) 9 0

4 –5 – i (-5, -1) -5 -1

5 –4 + 6i (–4, 6) -4 6

6 -2 – 3i (–2 , –3) 2 -3

7 3 + i ( 3 , i) 3 + 11

8 8i (0, 8) 0 8

9 -7i (0, -7) 0 -7

10 -i (0, -1) 0 -1

สรป จ านวนเชงซอนทอยในรปของ (a, b) สามารถเขยนแทนดวย a + bi

เรยก a วาสวนจรง เรยก b วาสวนจนตภาพ

1. ถา b = 0 จะได (a, 0) เขยนแทนดวย a เรยกจ านวนเชงซอนนวา

จ านวนจรง a (ดงปรากฏในขอ 1 - 3)

2. ถา b 0 และ a = 0 จะได (0, b) เขยนแทนดวย bi เรยกจ านวนเชงซอนนวา

จ านวนจนตภาพแท (ดงปรากฏในขอ 8 - 10)

เฉลยแบบฝกทกษะท 1.3

ค าชแจง ก าหนดจ านวนเชงซอนตอไปนใหนกเรยนเตมค าตอบทถกตองลงในชองวาง

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 26

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

1. (3, 8)

2. (i, 8)

3. (0, 2 )

4. (–5, π )

5. (- 2 , -3i)

6. 9 + 3 i

7. -6 + 5

8. -8i

9. 2

1+

3

2i

10. (4, 25)

ขอ จ านวนเชงซอนในรป

a+ bi

จ านวนเชงซอนในรป

(a, b)

สวนจรง

a

สวนจนตภาพ

b

1 -3 – 5i (–3, –5) -3 -5

2 -7 + 6i (–7, 6) -7 6

3 2 + 3i ( 2 , 3) 2 + 3

4 4i (0, 4) 0 4

5 15 (15, 0) 15 0

เฉลยแบบฝกทกษะท 1.4

ตอนท 2 ก าหนดจ านวนเชงซอนตอไปนใหนกเรยนเตมค าตอบทถกตองลงในชองวาง

ตอนท 1 จงพจารณาจานวนตอไปนแลวขดเครองหมาย หนาขอทเปนจ านวนเชงซอนหรอ

ขดเครองหมาย หนาขอทไมเปนจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 27

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

ขอ ik จดรป ik ใหอยในรป i4n+r

เมอ r คอเศษและ n I+ ผลลพธ

1 i8 i4(2) 1

2 i13 i4(3)+1 i

3 i26 i4(6)+2 -1

4 i31 i4(7)+3 -i

5 i32 i4(8) 1

6 i43 i4(10)+3 -i

7 i21 i4(5)+1 I

8 i38 i4(9)+2 -1

9 i99 i4(24)+3 -i

10 i100 i4(25) 1

สรป คาของ ik เมอ k เปนจ านวนเตมบวกจะมคาแตกตางกนเพยง 4 คาเทานน

คอ 1 , i , –1 , –i ทงนขนอยกบคาของ k เนองจากเมอ k หารดวย 4 จะได

k = 4n + r โดยทr = 0 , 1 , 2 , 3 เทานน( r คอเศษ)ดงนน

คาของ ik หาไดจาก

1. เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 0 ik = 1

2. เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 1 ik = i

3. เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 2 ik = 1

4. เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 3 ik = i

เฉลยแบบฝกทกษะท 1.5

ตอนท 1 จงหาคา ik เมอ k เปนจ านวนเตมบวกตอไปน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 28

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

ขอ ik วธท า (4

k) เศษ ผลลพธ

1 i20

4

20 0 1

2 i78 4

78 2 -1

3 i99 4

99 3 -i

4 i248 4

248 0 1

5 i555 4

555 3 -i

6 i561 4

561 1 i

7 i1992 4

1992 0 1

8 i2802 4

2802 2 -1

9 i4303 4

4303 3 -i

10 i5513 4

5513 1 i

ตอนท 2 จงหาคา ik เมอ k เปนจ านวนเตมบวกตอไปน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 29

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

1. 9

วธท า 9 = 1)(9

= 133

= 1-3

แต 1 = i

ดงนน 9 = 3i

2. 64

วธท า 64 = 1)(64

= 188

= 1-8

แต 1 = i

ดงนน 64 = 8i

3. 252

วธท า 252 = 1)(252

= 1552

= 1-52

แต 1 = i

ดงนน 252 = 10i

เฉลยแบบฝกทกษะท 1.6

ตอนท จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของหนวยจนตภาพ

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 30

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

ขอ จ านวนเชงซอน วธท า เขยนใหอยในรป

หนวยจนตภาพ

1 4 122 2i

2 50 1552 5 2 i

3 100 11010 10i

4 121 11111 11i

5 83 12223 6 2 i

6 32 132 2 + 3 i

7 54- 154- -4 + 5 i

8 2-7 127 7 - 2 i

9 495 1775 5 +7i

10

3

29 133

32

2i

ตอนท 2 จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของหนวยจนตภาพ

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 31

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

ขอ จ านวน

ชนดของจ านวน

จ านวน

เชงซอน

จ านวนจนต

ภาพแท

จ านวน

จรง

จ านวน

ตรรกยะ

จ านวน

อตรรกยะ

จ านวน

เตม

1 3

2 -9

3 5

4 -6i

5 3 + 2i

6 0

7 2

8 4

9 π

10 -2 - i

1. (-1, 9 ) ไมเปนจ านวนเชงซอน 9

2. 3 ไมเปนจ านวนเชงซอน

3. คาของ i ในจ านวนเชงซอนแทนคารากทสองของ 1

4. 5 – 7iเขยนเปนจ านวนเชงซอนในรปคอนดบคอจ านวนเชงซอน (5, 7)

5. จ านวนเชงซอน (a, b) และ b = 0 นนคอจ านวนจรง a

6. 2 + 4i เปนจ านวนเชงซอนทมสวนจรงเปน 2 และสวนจนตภาพเปน 4

เฉลยแบบฝกทกษะท 1.7

ค าชแจง จงขดเครองหมาย ลงในชองวางตามชนดของจ านวนนนทก าหนดให

ตอนท 2 จงขดเครองหมาย หนาขอทถกตองและขดเครองหมาย หนาขอทผด

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 32

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

จ านวนเตม จ านวนตรรกยะ จ านวนเชงซอน

จ านวนจนตภาพ จ านวนอตรรกยะ จ านวนตรรกยะทไมใชจ านวนเตม

จ านวนจรง จ านวนเตมลบ จ านวนเตมบวก ศนย

โครงสรางของระบบจ านวนเชงซอน

ตอนท 3 จงเตมค าในชองวางเพอสรปแผนผงแสดงความสมพนธของโครงสรางจ านวน

เชงซอนใหถกตองโดยเลอกจากค าตอไปน

จ านวนเชงซอน

จ านวนจรง จ านวนจนตภาพ

จ านวนตรรกยะ จ านวนอตรรกยะ

จ านวนเตม จ านวนตรรกยะทไมใชจ านวนเตม

จ านวนเตมลบ

ศนย

จ านวนเตมบวก

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 33

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

เฉลยแบบทดสอบ

แบบทดสอบ

กอนเรยน

ขอ 1 ขอ 2 ขอ 3 ขอ 4 ขอ 5

ง ง ค ก ค

ขอ 6 ขอ 7 ขอ 8 ขอ 9 ขอ 10

ค ข ข ง ก

แบบทดสอบ

หลงเรยน

ขอ 1 ขอ 2 ขอ 3 ขอ 4 ขอ 5

ค ค ก ง ก

ขอ 6 ขอ 7 ขอ 8 ขอ 9 ขอ 10

ข ง ง ค ข

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 34

เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน

กนกวล อษณกรกล และรณชย มาเจรญทรพย. (2550). แบบฝกหดและประเมนผลการ

เรยนรคณตศาสตรเพมเตม ม.5 เลม 2. กรงเทพฯ : เดอะบคส.

กระทรวงศกษาธการ. (2549). คมอครสาระการเรยนรพนฐาน คณตศาสตร

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร. กรงเทพฯ : สถาบนสงเสรมการสอน

วทยาศาสตรและเทคโนโลย.

. (2551). หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551.

กรงเทพฯ : ชมชนสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย.

ทรงวทย สวรรณธาดา. (มปป.). หนงสอเรยนเสรมมาตรฐานแมค คณตศาสตรเพมเตม

ชนมธยมศกษาปท 5 ภาคเรยนท 2. กรงเทพฯ : แมค จ ากด.

สถาบนกวดวชา เดอะเบรน (2548). เอกสารประกอบการเรยน คอรส ENTRANCE สาย

วทย วชาคณตศาสตร 1 เลม 4. พมพครงท 1. กรงเทพฯ : โรงเรยนเดอะเบรน.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2553). หนงสอเรยนรายวชา

เพมเตมคณตศาสตร ม. 4 – 6 เลม 4. พมพครงท 1. กรงเทพฯ : โรงพมพ

สกสค.

. (2551). คมอครรายวชาเพมเตมคณตศาสตร เลม 4 ชนมธยมศกษาปท

4 – 6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษา

ขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ : สกสค.

สมย เหลาวานชย และพวพรรณ เหลาวานชย. (มปป.). คณตศาสตร ม.5 เลม 4.

กรงเทพฯ : ไฮเอดพบลชชง จ ากด.

สมย เหลาวานชย. (มปป.) คมอคณตศาสตร ม. 4 – 5 – 6. กรงเทพฯ : ไฮเอดพบลชชง

จ ากด.

บรรณานกรม