L’acqua nei suoli e nel sottosuolo Le equazioni di Richards in un versante

Riccardo Rigon

Jay

Stra

tton

Noll

er, O

regon

In

teri

ors

, 20

09

R. Rigon

Obbiettivi:

!2

L’acqua nei suoli e nel sottosuolo

•Semplificare l’equazione di Richards in un versante piano

R. Rigon

!3

Iver

son

, 20

00

; Cord

ano e

Rig

on

, 20

08

!3

The Richards equation on a plane hillslope

Richardsoniana

R. Rigon

!4

Iver

son

, 20

00

; Cord

ano e

Rig

on

, 20

08

!4

The Richards equation made dimensionless

Richardsoniana

R. Rigon

!5

Ancora un po’ di discussione sulla condizione iniziale

sulla falda la

pressione è nulla

sotto la falda, la pressione, in condizioni

statiche, segue la legge idrostatica

L’equazione di Richards semplificata

R. Rigon

!6

Ancora un po’ di discussione sulla condizione iniziale

sopra la falda, in condizioni, insature, all’equilibrio, la pressione varia pure

idrostaticamente

Text

L’equazione di Richards semplificata

R. Rigon

!7

Iver

son

, 20

00

; Cord

ano e

Rig

on

, 20

08

!7

Richards eq. solution expressed in terms of

the asymptotic hydrostatic solution and a transient term:

See also. D’Odorico et al., 2003

Richardsoniana

R. Rigon

!8

and one equation forIver

son

, 20

00

; Cord

ano e

Rig

on

, 20

08

!8

So Richards equation is

divided into one equation for

Richardsoniana

R. Rigon

!9!9

In turn

“Short term

solution” Taylor’s

expansion

Water table

equation Taylor’s

expansion

Slope normal flow

time scale Lateral flow

time scaleSee also. D’Odorico et al., 2003

Richardsoniana

R. Rigon

!10

Neglecting some details that can be found in Cordano and Rigon, 2008

Zeroth perturbation order

First perturbation order

+ analogous for d*

Richardsoniana

!11

Integrating zeroth order solution in the column

Making a long story short

R. Rigon

Richardsoniana - Iversoniana

!12

Integrating zeroth order solution in the column

R. Rigon

Richardsoniana - Iversoniana

R. Rigon

!13!13

Integrating zeroth order solution in the column

Making a long story short

Topkapi model Liu and Todini, 2002

Richardsoniana

R. Rigon

!14

Ipotesi

Perchè, per esempio, siamo in prossimità della saturazione e supponiamo che il profilo di umidità pur variabile con la profondità non alteri significativa la conducibilità idraulica

L’equazione di Richards semplificata

R. Rigon

!15

Questa decomposizione

E’ possibile nell’assunzione che il tempo in cui avviene l’infiltrazione

normale al pendio attraverso il suolo sia minore del tempo impiegato

dall’acqua per infiltrarsi:

Tempo scala dell’infiltrazione

profondità del suolo

diffusività costante

tempo scala del deflusso

laterale

l u n g h e z z a d e l

versante

conducibilità idraulica

di riferimento

capacità idraulica di riferimento

Iver

son

, 20

00

; C

ord

ano a

nd

Rig

on

, 2008

L’equazione di Richards semplificata

R. Rigon

C(⇥)⇤⇥

⇤t=

⇤

⇤z

⇤Kz

�⇤⇥

⇤z� cos �

⇥⌅+ Sr

Infiltrazione verticale: agisce su

un tempo scala relativamente

veloce perchè propaga un segnale

su uno spessore di pochi metri

!16

L’equazione di Richards!

L’equazione di Richards semplificata

R. Rigon

Sr =⇤

⇤y

⇤Ky

⇤⇥

⇤y

⌅+

⇤

⇤x

⇤Kx

�⇤⇥

⇤x� sin �

⇥⌅

Opportunamente trattato si riduce al moto

laterale della falda, in particolare alla

equazione di Boussinesq ed agisce su un

tempo scala più lento

!17

L’equazione di Richards!

L’equazione di Richards semplificata

R. Rigon

In questo caso, la soluzione dell’equazione di Richards (3D) si può

approssimare come somma di due contributi:

Iver

son

, 20

00

; Cord

ano e

Rig

on

, 20

08

!18

L’equazione di Richards su un versante piano

Risposta lenta dovuta al deflusso laterale

L’equazione di Richards semplificata

R. Rigon

In questo caso, la soluzione dell’equazione di Richards (3D) si può

approssimare come somma di due contributi:

Iver

son

, 20

00

; Cord

ano e

Rig

on

, 20

08

!19

L’equazione di Richards su un versante piano

R i s p o s t a t r a n s i e n t e d o v u t a all’infiltrazione

L’equazione di Richards semplificata

R. Rigon

In questo caso, la soluzione dell’equazione di Richards (3D) si può

approssimare come:

Iver

son

, 20

00

; Cord

ano e

Rig

on

, 20

08

!20

L’equazione di Richards su un versante piano

Profondità

Profondità della falda

Pendenza del terreno

L’equazione di Richards semplificata

R. Rigon

Iver

son

, 20

00

; D’O

dori

co e

t al

., 2

00

3,

Cord

ano e

Rig

on

, 20

08

!21

L’equazione di Richards su un versante piano

s

L’equazione di Richards semplificata