12.9 acqua neisuoli-hillslopehydrology
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L’acqua nei suoli e nel sottosuolo Le equazioni di Richards in un versante
Riccardo Rigon
Jay
Stra
tton
Noll
er, O
regon
In
teri
ors
, 20
09
R. Rigon
Obbiettivi:
!2
L’acqua nei suoli e nel sottosuolo
•Semplificare l’equazione di Richards in un versante piano
R. Rigon
!3
Iver
son
, 20
00
; Cord
ano e
Rig
on
, 20
08
!3
The Richards equation on a plane hillslope
Richardsoniana
R. Rigon
!4
Iver
son
, 20
00
; Cord
ano e
Rig
on
, 20
08
!4
The Richards equation made dimensionless
Richardsoniana
R. Rigon
!5
Ancora un po’ di discussione sulla condizione iniziale
sulla falda la
pressione è nulla
sotto la falda, la pressione, in condizioni
statiche, segue la legge idrostatica
L’equazione di Richards semplificata
R. Rigon
!6
Ancora un po’ di discussione sulla condizione iniziale
sopra la falda, in condizioni, insature, all’equilibrio, la pressione varia pure
idrostaticamente
Text
L’equazione di Richards semplificata
R. Rigon
!7
Iver
son
, 20
00
; Cord
ano e
Rig
on
, 20
08
!7
Richards eq. solution expressed in terms of
the asymptotic hydrostatic solution and a transient term:
See also. D’Odorico et al., 2003
Richardsoniana
R. Rigon
!8
and one equation forIver
son
, 20
00
; Cord
ano e
Rig
on
, 20
08
!8
So Richards equation is
divided into one equation for
Richardsoniana
R. Rigon
!9!9
In turn
“Short term
solution” Taylor’s
expansion
Water table
equation Taylor’s
expansion
Slope normal flow
time scale Lateral flow
time scaleSee also. D’Odorico et al., 2003
Richardsoniana
R. Rigon
!10
Neglecting some details that can be found in Cordano and Rigon, 2008
Zeroth perturbation order
First perturbation order
+ analogous for d*
Richardsoniana
!11
Integrating zeroth order solution in the column
Making a long story short
R. Rigon
Richardsoniana - Iversoniana
!12
Integrating zeroth order solution in the column
R. Rigon
Richardsoniana - Iversoniana
R. Rigon
!13!13
Integrating zeroth order solution in the column
Making a long story short
Topkapi model Liu and Todini, 2002
Richardsoniana
R. Rigon
!14
Ipotesi
Perchè, per esempio, siamo in prossimità della saturazione e supponiamo che il profilo di umidità pur variabile con la profondità non alteri significativa la conducibilità idraulica
L’equazione di Richards semplificata
R. Rigon
!15
Questa decomposizione
E’ possibile nell’assunzione che il tempo in cui avviene l’infiltrazione
normale al pendio attraverso il suolo sia minore del tempo impiegato
dall’acqua per infiltrarsi:
Tempo scala dell’infiltrazione
profondità del suolo
diffusività costante
tempo scala del deflusso
laterale
l u n g h e z z a d e l
versante
conducibilità idraulica
di riferimento
capacità idraulica di riferimento
Iver
son
, 20
00
; C
ord
ano a
nd
Rig
on
, 2008
L’equazione di Richards semplificata
R. Rigon
C(⇥)⇤⇥
⇤t=
⇤
⇤z
⇤Kz
�⇤⇥
⇤z� cos �
⇥⌅+ Sr
Infiltrazione verticale: agisce su
un tempo scala relativamente
veloce perchè propaga un segnale
su uno spessore di pochi metri
!16
L’equazione di Richards!
L’equazione di Richards semplificata
R. Rigon
Sr =⇤
⇤y
⇤Ky
⇤⇥
⇤y
⌅+
⇤
⇤x
⇤Kx
�⇤⇥
⇤x� sin �
⇥⌅
Opportunamente trattato si riduce al moto
laterale della falda, in particolare alla
equazione di Boussinesq ed agisce su un
tempo scala più lento
!17
L’equazione di Richards!
L’equazione di Richards semplificata
R. Rigon
In questo caso, la soluzione dell’equazione di Richards (3D) si può
approssimare come somma di due contributi:
Iver
son
, 20
00
; Cord
ano e
Rig
on
, 20
08
!18
L’equazione di Richards su un versante piano
Risposta lenta dovuta al deflusso laterale
L’equazione di Richards semplificata
R. Rigon
In questo caso, la soluzione dell’equazione di Richards (3D) si può
approssimare come somma di due contributi:
Iver
son
, 20
00
; Cord
ano e
Rig
on
, 20
08
!19
L’equazione di Richards su un versante piano
R i s p o s t a t r a n s i e n t e d o v u t a all’infiltrazione
L’equazione di Richards semplificata
R. Rigon
In questo caso, la soluzione dell’equazione di Richards (3D) si può
approssimare come:
Iver
son
, 20
00
; Cord
ano e
Rig
on
, 20
08
!20
L’equazione di Richards su un versante piano
Profondità
Profondità della falda
Pendenza del terreno
L’equazione di Richards semplificata
R. Rigon
Iver
son
, 20
00
; D’O
dori
co e
t al
., 2
00
3,
Cord
ano e
Rig
on
, 20
08
!21
L’equazione di Richards su un versante piano
s
L’equazione di Richards semplificata