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Complexity Results and Reconstruction Algorithms for Discrete Tomography

Tesi di: Frosini Andrea

Coordinatore della ricerca: Prof. Alberto Del Lungo

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Tomografia

il processo mediante il quale è possibile ottenere informazioni circa la distribuzione di densità di una struttura fisica a partire da un insieme di proiezioni ottenute tramite raggi X. Matematicamente si vuole ricostruire una funzione di densità (x), con x R2 o R3, a partire dalla conoscenza dei suoi integrali di linea L (x) dx.

Caratteristiche: la struttura da ricostruire ha, in generale, una grande quantità di valori di

densità il numero delle proiezioni varia tra 480 e 1000

TOMOGRAFIA COMPUTERIZZATA:

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Tomografia

area della Tomografia Computerizzata che si occupa di strutture fisiche aventi un piccolo numero di valori di densità diversi. Matematicamente: si vuole ricostruire una funzione di densità (x), con x Z2 o Z3, a partire dalla conoscenza del numero di atomi/molecole della struttura presenti su linee discrete.

Caratteristiche: la struttura esaminata è spesso costituita da uno o al massimo due tipi

diversi di atomi/molecole; il numero delle proiezioni varia tra 2 e 4; l’indagine utilizza strumenti basati principalmente sulla matematica

discreta, geometria e combinatoria.

TOMOGRAFIA DISCRETA:

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Applicazioni

• Tomografia computerizzata industriale: si effettuano test non distruttivi di reverse engineering su materiali omogenei. L’immagine ricostruita contiene solo due valori: 0 per l’aria ed un valore associato al materiale. ???• Applicazioni mediche: nelle angiografie ???• Analisi di macromolecole: • Analisi di strutture cristalline:

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Il modello generale

Componente elementare della struttura fisica

Struttura fisica

Direzione di proiezione

Proiezione di S lungo la linea l (v) di direzione v

PS (l (v))=| S l (v) |

Per lo studio di STRUTTURE CRISTALLINE privilegiamo:

Strutture bidimensionali

Le direzioni orizzontale e verticale: v1=(1,0) e v2=(0,1)

Punto x di Z3

Sottoinsieme S finito di Z3

Vettore v in Z3

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Rappresentazione del modello per reticoli cristallini

1 1 1 1 0 11 0 0 0 0 10 1 0 1 0 10 1 0 0 0 10 0 0 0 0 10 1 0 0 0 1

523412

603143

v1= (1,0) v2= (0,1)

xl (1,0)

l (0,1)

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Problemi principaliSia una classe di insiemi di Z2 e sia = (v1,v2). Definiamo

Consistenza ( , ) Dati: due vettori H e V Domanda: esiste un insieme S avente H e V come proiezioni lungo v1 e v2 ?

Ricostruzione ( , ) Dati: due vettori H e V Compito: costruire un insieme S avente H e V come proiezioni lungo v1 e v2 ?

Unicità ( , ) Dati: un elemento S della classe Domanda: esiste un insieme S’ equivalente ad S rispetto alle proiezioni lungo v1 e v2 ?

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Ryser, Gale (1957):Ricostruzione ( , ) può essere eseguito in tempo polinomiale. Consistenza ( , ) ammette soluzione in tempo polinomiale.

Sia la classe dei sottoinsiemi finiti di Z2.

M. Dyer, R. Kannan, J. Mount (1997):Il problema di determinare l’esatto numero di matrici che soddisfano una coppia di date proiezioni è #P-completo.

Unicità ( , ) ammette soluzione in tempo polinomiale.

Spesso tale numero risulta molto grande e le matrici estremamente diverse l’una dall’altra.

Alcuni risultati

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Eliminare le soluzioni equivalenti

AUMENTANDO IL NUMERO DI PROIEZIONI:

Gardner, Gritzmann, Prangerberg (1999):Se 3, alloraRicostruzione ( , ) è NP-hard.Consistenza ( , ) è NP-completo.Unicità ( , ) è NP-completo.

In tempo polinomiale possono essere ottenute solo soluzioni approssimate cioè soluzioni le cui proiezioni sono “vicine” a quelle del sistema di partenza.

Sfortunatamente, se i dati in input non sono tali da determinare l’unicità della soluzione, anche in questo caso il sistema ricostruito può essere molto diverso da quello di partenza!

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Eliminare le soluzioni equivalenti

UTILIZZANDO INFORMAZIONI A PRIORI:

Gli algoritmi di ricostruzione possono trarre vantaggio da proprietàgeometriche della struttura quali connessione o convessità.Queste informazioni vengono sfruttate per ridurre l’ampiezza della classe alla quale la soluzione deve appartenere: ad esempio

Barcucci, Del Lungo, Nivat, Pinzani (1996):Se = (p), (h), (v), (p,h), (p,v), (h,v) e = (v1,v2), alloraRicostruzione ( , ) è NP-hard.Consistenza ( , ) è NP-completo.

Se = (p,h,v), allora Ricostruzione ( , ) può essere eseguito in tempo polinomiale. Consistenza ( , ) ammette soluzione in tempo polinomiale.

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La tesi propone una serie di risultati volti alla caratterizzazione di strutture piane con forti proprietà geometriche tramite le loro proiezioni lungo due direzioni discrete.Lo studio è stato condotto in sintonia con quelli che sembrano essere attualmente i canoni metodologici e filosofici della Tomografia Discreta.

Introduzione

Definizioni enotazioni generali

Parte I Parte II Parte III

Studio di strutture a partire da proiezioni

con assorbimento

Studio distrutture

periodiche

Studio distrutture composte

da dimeri

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Parte I: studio di strutture periodiche

VINCOLO DI PERIODICITÀ

Una struttura si dice (p,q)-periodica se la matrice Am x n ad essa associata è tale che

ai,j=1 ( ai+q,j+p=1 ) e ( ai-q,j-p=1 )

In A si definisce linea li,j : l’insieme degli elementi ai’,j’ =1 tali che

i’= i+kq , j’ = (j+kp) modn con k Z; inizio e fine di una linea: i due elementi della linea che occupano la minima e massima riga rispettivamente; linea lunga: una sequenza di linee tali che due di esse consecutive hanno inizio e fine distanti p modn lungo le colonne; loop: una linea lunga nella quale l’inizio e la fine distano p modn

lungo le colonne.

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Parte I: studio di strutture periodiche

0 0 0 0 0 10 0 1 0 1 01 0 0 0 0 00 0 0 1 0 10 1 0 0 0 00 0 0 0 1 01 0 1 0 0 0

MATRICI CON PERIODICITÀ (1,2)

0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 01 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0

Due linee e tre puntinon appartenenti ad alcuna linea.

Un loop composto da due linee.Sono evidenziati i punti di inizio e fine di ciascuna linea.

T1

T2

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Parte I: studio di strutture periodiche

FORMALIZZAZIONE DELLA TEORIA DEGLI SWITCHES

Si definisce switch ogni operatore che modifica gli elementi di una matrice mantenendone inalterate le proiezioni lungo un insieme di direzioni prescelte.

Switches lungo la direzione orizzontale: a) spostamento di una intera riga;b) spostamento di punti isolati all’interno della stessa zona T1 o T2.

Siano A e B due matrici aventi le stesse proiezioni orizzontali. Esiste una sequenza di switches del tipo a) e b) che trasformano A in B.

Switches lungo le direzioni orizzontale e verticale:a) spostamento di elementi all’interno di una stessa linea lunga;b) scambio di linee lunghe formate della stessa lunghezza;c) scambio di elementi all’interno della stessa zona T1 o T2.

Studi volti alla caratterizzazione di tutti e soli gli switches lungo due direzioni sono attualmente in corso.

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Parte I: studio di strutture periodiche

RISULTATI PRINCIPALI

Ricostruzione ( , ), Consistenza ( , ) ed Unicità ( , ) ammettono soluzione in tempo polinomiale.

Sia la classe dei sottoinsiemi finiti di Z2 aventi periodicità (p,q) e = (v1).

Sia la classe dei sottoinsiemi finiti di Z2 aventi periodicità (1,q) e = (v1,v2).

Ricostruzione ( , ) può essere eseguito in tempo polinomiale. Consistenza ( , ) ammette soluzione in tempo polinomiale.Unicità ( , ) ammette soluzione in tempo polinomiale.

I tre problemi rimangono aperti nel caso generale.

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Parte I: studio di strutture periodiche

DETTAGLI SULLA RICOSTRUZIONE DI MATRICI (1,q)-PERIODICHE DA 2 PROIEZIONI

Ricostruzione ( , ): Input: due vettori H e V. Output: la matrice (1,q)-periodica A avente H e V come proiezioni orizzontali e verticali. Passo 1 - ricostruzione della parte fissa di A (preprocessing): vengono identificati gli elementi non appartenenti ad alcuna linea e vengono ricostruiti separatamente in una matrice F. I vettori H e V vengono aggiornati in H’ e V’.

Passo 2 - creazione di una istanza I’ del problema di ricostruzione di un poliomino convesso su una superficie cilindrica da due proiezioni equivalente a Ricostruzione ( , ) con input H’ e V’ .

Sia la classe dei sottoinsiemi finiti di Z2 aventi periodicità (1,q) e = (v1,v2).

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Passo 3 - caratterizzazione di I’ tramite una formula Booleana appartenente a 2-SAT e sua soluzione (es. algoritmo di Aspvall, Plass e Tarjan, 1979).

Passo 5 - passaggio alla soluzione del problema Ricostruzione ( , ) con input H’ e V’.

Passo 4 - fusione della soluzione trovata con la matrice F per ottenere la soluzione finale A. Tale procedura necessita dell’applicazione dell’algoritmo di Ryser per la ricostruzione di una matrice da due proiezioni.

Parte I: studio di strutture periodiche

DETTAGLI SULLA RICOSTRUZIONE DI MATRICI (1,q)-PERIODICHE DA 2 PROIEZIONI

N.B. qualora la periodicità ecceda le dimensioni della matrice, l’algoritmo precedente si riduce al solo algoritmo di Ryser.

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Parte I: studio di strutture periodiche

0 0 1 0 1 0 00 1 0 0 1 0 10 0 0 1 0 1 01 0 1 0 0 1 00 0 0 0 1 0 10 1 0 1 0 0 11 0 0 0 0 1 0

0 1 1 1 0 0 00 0 1 1 1 1 00 0 0 0 1 1 11 0 0 0 1 1 11 1 0 0 0 0 1

CORRISPONDENZA MATRICE PERIODICA - POLIOMINO CONVESSO

Ciascuna linea della matrice (1,2)-periodica M viene trasformata in una barra costituente il poliomino P.

M : P :

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A.Del Lungo, A.Frosini, M.Nivat, L.Vuillon, “Discrete Tomography: Reconstruction under periodicity constraints” Lecture Notes in Computer Science, No.2380, 38-56, Proceedings of Automata, Languages and Programming, 29th International Colloquium, ICALP 2002.

A.Del Lungo, A.Frosini, M.Nivat, L.Vuillon, “Reconstructing binary matrices under periodical constraints from orthogonal X-rays” in preparazione.

A.Frosini,“A characterization for the switches of periodical structures” in preparazione.

Parte I: studio di strutture periodiche

PRODUZIONE:

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Parte II: modelli reali con assorbimento

DEFINIZIONI

Estendiamo il modello discreto alla situazione reale di un corpo emettitore\assorbente che si trovi immerso in ambiente assorbente e sia il coefficiente di assorbimento di entrambi gli elementi del sistema.

A ciascun rilevatore posto al bordo del sistema, arriverà un segnale proporzionale al numero di emettitori sulla sua linea di influenza ed inversamente proporzionale alla

lunghezza del cammino d che questo ha percorso, secondo la legge I = I0 -d

rilevatoriproiezioni

-2 + -5

-5

-1 + -4

-5

emettitore

ambiente

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Parte II: modelli reali con assorbimento

DEFINIZIONI

Sia 0 il valore del coefficiente di assorbimento tale che 0-1 = 0

-2 + 0-3:

0 = (1+ 5-1/2)/2 .

Chiamiamo 0 rappresentazione del numero r R una parola w = w1 … wk tale che:

r = w10-1 +…+ wk 0

-k .

es. 010110100, 010110011 e 100000100 sono 0 rappresentazioni equivalenti.

Le 0 rappresentazioni equivalenti possono essere considerate 1D switches!

Data una parola w = w1 … wk definiamo

rleft = w10-1 +…+ wk 0

-k ed rright = w10-k +…+ wk 0

-1 .

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Parte II: modelli reali con assorbimento

2D SWITCHES

Uno switch lungo le direzioni orizzontale e verticale è definito come composizione degli switches base

1 0 0E(1)= 0 1 1 es. 0 1 1

0 1 1E(0)= 1 0 0 1 0 0

Kuba, Nivat (2001):

1. Una matrice binaria è determinata univocamente da H e V sse non ha switches.2. Date A e B matrici binarie che siano equivalenti rispetto ad H e V, esiste una

sequenza di switches che trasformano A in B.

1 0 0 0 1 1

E(1)*E(0)*E(0) = 0 1 x 1 x 1 1 1 0 x 0 0 1 0 x 0 0

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Parte II: modelli reali con assorbimento

I due valori rleft ed rright determinano univocamente una sequenza di lunghezza fissata.

Ogni matrice binaria è determinata dalle sue proiezioni orizzontali destre e sinistre.

Sia la classe dei sottoinsiemi finiti di Z2 e = (v1left,v1

right).

Ricostruzione ( , ) può essere eseguito in tempo polinomiale. Consistenza ( , ) ammette soluzione in tempo polinomiale.Unicità ( , ) ammette soluzione in tempo polinomiale.

L’algoritmo che ricostruisce una matrice binaria a partire dalle proiezioni orizzontali destre e sinistre ha complessità lineare nelle dimensioni della soluzione.

RISULTATI: RICOSTRUZIONE DI MATRICI DA PROIEZIONI ORIZZONTALI DESTRE E SINISTRE CON ASSORBIMENTO

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Parte II: modelli reali con assorbimentoRISULTATI: RICOSTRUZIONE DI MATRICI DA PROIEZIONI

ORIZZONTALI E VERTICALI CON ASSORBIMENTO

1. Le proiezioni orizzontali e verticali permettono di individuare tutti i possibili punti di inizio degli switches all’interno dell’eventuale matrice soluzione.

2. L’evoluzione di ciascuno switch all’interno della matrice soluzione può essere seguita utilizzando le proiezioni orizzontali e verticali, indipendentemente dagli altri switches che eventualmente sono presenti in essa.

3. Due switches che hanno una o più posizioni in comune coincidono.4. Ogni switch ha un numero di configurazioni diverse che lineare nelle sue

componenti elementari

Sia la classe dei sottoinsiemi finiti di Z2 e = (v1,v2).

Ricostruzione ( , ) può essere eseguito in tempo polinomiale. Consistenza ( , ) ammette soluzione in tempo polinomiale.Unicità ( , ) ammette soluzione in tempo polinomiale.

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Parte II: modelli reali con assorbimentoDETTAGLI SULLA RICOSTRUZIONE DI MATRICI

DA DUE PROIEZIONI CON ASSORBIMENTO

Strategia: la matrice soluzione viene ricostruita colonna per colonna, individuando TUTTI i possibili punti di inizio di 2D switchings e seguendone ogni possibile evoluzione grazie a computazioni parallele.

Ad ogni istante, il numero di linee di computazione attive è pari al massimo numero di possibili configurazioni per ciascun ipotetico switch ancora in fase di ricostruzione.

Se, ad un dato istante, non ci sono switches in fase di ricostruzione, la computazione procede su una singola linea.

Alla fine della ricostruzione di ciascuna colonna della matrice si procede alla riduzione del numero di linee di computazione, eliminando quelle non necessarie.

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Parte II: modelli reali con assorbimentoESEMPI DI COMPUTAZIONE

Fine switches

INCONSISTENZA!Scambio delleconfigurazioni

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Parte II: modelli reali con assorbimento

PRODUZIONE

E.Barcucci, A.Frosini, S.Rinaldi, “Reconstruction of discrete sets from two absorbed projections: an algorithm” accettato presso 9th International Workshop in Combinatorial Image Analysis - 2003.

E.Barcucci, A.Frosini, A.Kuba, “An algorithm for reconstructing discrete sets from their horizontal and vertical absorbed projections” in preparazione.

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Parte III: tilings con domini

DEFINIZIONI

L’estensione del modello discreto classico ai tilings di superfici rettangolari con domini viene proposta per lo studio di sistemi fisici composti da dimeri, cioè molecole la cui configurazione chimica si estende su due siti adiacenti.

566665

Conoscendo le dimensioni del tiling e le proiezioni orizzontali [verticali] è possibile ricavare il numero di domini verticali [orizzontali] che iniziano o terminano su ciascuna riga [colonna].

XX X X X

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Parte III: tilings con domini

DEFINIZIONI

Si definisce grado di un domino tiling il massimo tra le altezze m1 , … , mk delle strisce che lo compongono.

Dividiamo un tiling con domini di dimensione m x n in k sotto-tilings completi, detti strisce, aventi minime dimensioni m1 x n , … , mk x n :

( 0 ,-3)(+3, 0)

(+3, 0)(+2,-3)(+1,-2)( 0 ,-1)

Striscia di altezza 2

Striscia di altezza 4

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Parte III: tilings con domini

RICOSTRUZIONE DI TILINGS CON DOMINI DA UNA PROIEZIONE:UN SEMPLICE ALGORITMO

Ricostruzione ( , ): Input: un vettore H=(h1,…,hm). Output: un domino tiling T avente H come vettore delle proiezioni orizzontali.

Strategia: si ricostruisce il tiling riga per riga sistemando, nella riga i-esima, n - hi domini orizzontali nelle posizioni più a sinistra possibili e completando le rimanenti con domini verticali.

Sia la classe dei tilings con domini di dimensione n x m e = (v1).

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Parte III: tilings con domini

RICOSTRUZIONE DI TILINGS CON DOMINI DALLE PROIEZIONIORIZZONTALI E VERTICALI: TILINGS DI GRADO TRE.

Picouleau, (2001):Ogni tiling con domini di grado due è ricostruibile in tempo polinomiale utilizzando le proiezioni orizzontali e verticali.

Ogni striscia di altezza tre è percorsa da una linea di domini orizzontali.

Ogni tiling con domini di grado tre è ricostruibile in tempo polinomiale utilizzando le proiezioni orizzontali e verticali.

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Parte III: tilings con domini

RICOSTRUZIONE DI TILINGS CON DOMINI DALLE PROIEZIONIORIZZONTALI E VERTICALI: TILINGS DI GRADO QUATTRO.

Ogni striscia di altezza 4 può essere divisa in blocchi contenenti ciascuno zero o due domini verticali.

Ogni striscia di altezza 4 ha un numero pari di domini verticali che iniziano nella seconda riga e può essere ridotta ad una coppia di strisce di altezza 2 alzando o abbassando di una posizione le coppie di domini verticali.

CONSEGUENZA: Ogni tiling con domini di grado quattro è ricostruibile in tempo polinomiale utilizzando le proiezioni orizzontali e verticali.

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Parte III: tilings con domini

TILINGS CON DOMINI BICOLORATI: DEFINIZIONI

I tilings composti da due tipi diversi di domini: risultano utili nella modellizzazione di strutture poliatomiche composte da dimeri; hanno forti connessioni con il problema 3-colors.

3 , 24 , 24 , 23 , 35 , 15 , 0

XX X X X

Picouleau, (2000):If we know the horizontal and vertical projections, then”the problem of deciding if a bicolored domino tiling exists is harder than the three colors reconstruction problem”.

N.B. Le proiezioni NON danno informazioni sul numero di dominiorizzontali e verticali di ciascun tipo.

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Parte III: tilings con domini

UNA PROVA DI NP-COMPLETEZZA

Numerical Matching with Target Sums Istanza: tre vettori di numeri interi X=(x1,…,xk ); Y=(y1,…,yk ); S=(s1,…,sk ) Domanda: esistono due permutazioni e degli elementi di X e Y tali che X +Y = V ?

X = (2,3,2,1,4)

(9,0)(8,2)(7,2)(6,4)(4,4)(2,8)(1,8)

(0,10)(0,10)

Le proiezioni verticali sono sufficienti ad assicurare la “convessità”dei domini neri verticali!

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Parte III: tilings con domini

UNA PROVA DI NP-COMPLETEZZA

X = (2,3,2,1,4)

X = (1,2,3,2,4)

Y = (1,1,3,1,2)

Y = (3,1,1,2,1)

S = (4,3,4,4,5)

Istanza I di NMTS:

Istanza I’ di Consistenza( , (v1,v2)):

Soluzione di I:

H = ((9,0), (8,2), … ,(8,2),(9,0))V=((5,4), (5,4),…,(4,5),(4,5))

L’eventuale soluzione polinomiale di I’ darebbe luogo alla soluzione polinomiale di I.

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PRODUZIONE

Parte III: tilings con domini

A.Frosini, G.Simi, “The reconstruction of a bicolored domino tiling from two projections” Lecture Notes in Computer Science, No. 2301, 136-144, Prooceedings of the 10th International Conference, DGCI 2002, Bordeaux, France, April 3-5, 2002.

A.Frosini, G.Simi, “The NP-completeness of a tomographical problem on bicolored domino tilings”sottomesso.

A.Frosini, G.Simi, “Reconstruction of low degree domino tilings”accettato presso 9th International Workshop in Combinatorial Image Analysis - 2003.

37

38

39

• Scopi e strumenti della Tomografia Computerizzata

• Motivazioni per la nascita della Tomografia Discreta

• Prodromi alla Tomografia Discreta nell’ambito della combinatoria e della geometria discreta

• Definizione dei problemi classici di Consistenza Ricostruzione Unicità

su insiemi di punti in Z2 ed in Z3 a partire da proiezioni lungo direzioni discrete

Introduzione

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• Principali risultati in Tomografia Discreta:

Complessità del problema della Ricostruzione di insiemi di punti in Z2 o Z3 a partire da proiezioni lungo una o più direzioni Questioni sulla dimensione dello spazio delle soluzioni: la teoria degli switch. Condizioni necessarie per l’unicità della soluzione Il problema della ricostruzione è ill-posed Introduzione di vincoli geometrici di connessione e convessità su sottoinsiemi di Z2: nuovi risultati di ricostruzione ed unicità.

• Motivazioni ed organizzazione del lavoro all’interno della tesi.

Introduzione

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• Introduzione del concetto di proiezione con assorbimento per modelli fisici reali. -rappresentazione e -espansione di un numero reale. Dettagli sullo stato dell’arte.

• Definizioni e notazioni specifiche.

Parte II: insiemi discreti accessibili tramite proiezioni con assorbimento

rilevatoriproiezioni

-2 + -5

-5

-1 + -4

-5

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Parte II: insiemi discreti accessibili tramite proiezioni con assorbimento

• Analisi nel caso del coefficiente di assorbimento 0 , soluzione positiva dell’equazione x2 - x -1= 0. Stato dell’arte. In dettaglio:

i problemi di Consistenza, Ricostruzione ed Unicità per generici insiemi di Z2 a partire da una proiezione. La teoria degli switches mono-dimensionali i problemi di Consistenza, Ricostruzione ed Unicità per generici insiemi di Z2 a partire da due proiezioni lungo una stessa direzione o lungo le due direzioni orizzontale e verticale. La teoria degli switches bi-dimensionali.

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Parte II: insiemi discreti accessibili tramite proiezioni con assorbimento

• Generalizzazione dei risultati precedenti:

modelli con un generico coefficiente di assorbimento modelli con più di un coefficiente di assorbimento.

1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 1 1

1 0 00 1 10 1 1

0 1 11 0 01 0 0

1D switch 2D switch

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La ricerca in tale ambito ha prodotto i lavori:

E.Barcucci, A.Frosini, S.Rinaldi“Reconstruction of discrete sets from two absorbed projections: an algorithm” accettato presso IWCIA 2003.

E.Barcucci, A.Frosini, A.Kuba,“An algorithm for reconstructing discrete sets from their horizontal and vertical absorbed projections” in preparazione.

Parte II: insiemi discreti accessibili tramite proiezioni con assorbimento

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Parte III: tilings di superfici rettangolari con domini

• Riduzione del problema 3-color al problema della ricostruzione di un tiling con domini bicolorati a partire dalle due proiezioni H e V

• La complessità della ricostruzione di tilings con domini bicolorati a partire dalla proiezioni H e V.