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72 Ⅱ. 이차곡선
1학습목표
•쌍곡선의뜻을알고, 쌍곡선의방정식을구할수있다.
•쌍곡선의성질을이해한다.
•쌍곡선의평행이동을이해한다.
쌍곡선의방정식3
쌍곡선
다 가 서 기 / 휴대 전화 위치 추적의 원리
제 2차 세계 대전 중 미국 해군은 쌍곡선 항법 장치를 개발하여 선박
또는항공기의위치를파악하고항로를결정하는데이용하였다.
이 쌍곡선 항법은 두 점에서의 거리의 차가 일정한 점의 자취는 쌍곡선
이 된다는 원리를 이용한 것으로, 이 원리는 현재 휴대 전화를 이용한 위
치추적에도많이활용되고있다.
두송신국A, B에서동시에발사되는전파가휴대전화에도착하는시
간차를이용하여휴대전화가곡선 f상에있음을알고, 두송신국A, C
에서 동시에 발사되는 전파가 휴대 전화에 도착하는 시간 차를 이용하여
휴대전화가곡선 g상에있음을알때, 두곡선 f, g의교점으로휴대전화의위치를알아낼수있다.
송신탑항공모함
(071~089)기하와벡터-교과 2009.5.22 12:46 PM 페이지72 mac02 T
3. 쌍곡선 73
알 아 보 기 / 쌍곡선의 뜻을 알고, 쌍곡선의 방정식을 구하여 보자.
평면 위에서 두 정점 F와 F'으로부터의
거리의차가일정한점들의집합을쌍곡선이
라하고, 두정점F와F'을쌍곡선의초점이
라고한다.
이때, 두 초점을 이은 선분의 중점을 쌍
곡선의중심이라고한다.
탐 구 하 기 / 동심원을 이용하여 쌍곡선 그리기
쌍곡선의방정식01
다음그림과같이좌표평면위에반지름의길이가각각 1, 2, 3, y, 9이
고, 중심이 F(3, 0)인원과중심이 F'(-3, 0)인원이있다. 물음에답
하여보자.
F' FxO
y
2
2
4
6
8
-8
-6
-4
-24 6 8 10 12-12-10 -8 -6 -4 -2
1. 중심이 F(3, 0)이고반지름의길이가 4인원과중심이 F'(-3, 0)이
고반지름의길이가 6인원의교점을 P라고하자. 이때, 점 P를찾아표
시하고, »PF”-PF”'»의값을구하여라.
2. 두점F, F'까지의거리의차가 2가되는점들을찾아표시하여라.
3. 위의 2에서찾은점들을매끄럽게연결하여라.
초점, 초점,
중심,O x
y
F' F
쌍곡선을 어로
hyperbola라고 한다.
(071~089)기하와벡터-교과 2010.6.11 8:3 PM 페이지73
74 Ⅱ. 이차곡선
두점 F(c, 0)과 F'(-c, 0)을초점으로하고, 그두점으로부터의거
리의차가 2a (c>a>0)인쌍곡선의방정식을구하여보자.
쌍곡선 위의 임의의 점을 P(x, y)라
고하면 »P’F'”-P’F’»=2a이므로
"(√x+c√)¤ +≈y Ω¤ -"(√x-c√)¤ +≈y Ω¤ =—2a
"(√x+c√)¤ +≈yΩ¤ ="(√x-c√)¤ +≈yΩ¤ —2a
양변을제곱하여정리하면
cx-a¤ =—a"(√x-c √)¤ +≈yΩ¤
다시양변을제곱하여정리하면
(c¤ -a¤ )x¤ -a¤ y¤ =a¤ (c¤ -a¤ )
그런데 c>a>0이므로 b¤ =c¤ -a¤ (b>0)으로놓고, 양변을 a¤ b¤으로
나누면다음을얻는다.
- =1
이상을정리하면다음과같다.
y¤13b¤
x¤13a¤
P’F'”="(√x+c√)¤ + ≈yΩ¤
PF”="(√x-c√)¤ + ≈yΩ¤O x
y
F{c,`0}F'{-c,`0}
P{x,`y}
두정점 F(c, 0), F'(-c, 0)으로부터의거리의차가 2a인쌍곡선
의방정식은
- =1 (단, c>a>0, b¤ =c¤ -a¤ )y¤12b¤
x¤12a¤
쌍곡선의방정식 (1)
|보기| 두초점 F(3, 0), F'(-3, 0)으로부터의거리의차가 4인쌍
곡선의방정식은 2a=4에서 a=2이고, c=3에서
b¤ =c¤ -a¤ =3¤ -2¤ =5이므로 - =1y¤125x¤124
다음쌍곡선의방정식을구하여라.
(1) 두초점 F(4, 0), F'(-4, 0)으로부터의거리의차가 4인쌍곡선
(2) 두초점 F(2, 0), F'(-2, 0)으로부터의거리의차가 2인쌍곡선
스 스 로 하 기 /
1
익힘책 63쪽 익힘책 64쪽 익힘책 65쪽
(071~089)기하와벡터-교과 2009.5.22 12:46 PM 페이지74 mac02 T
3. 쌍곡선 75
이 쌍곡선의 그래프는 x축,
y축, 원점에대하여각각대
칭이다.
오른쪽그림과같이쌍곡선
- =1
이 x축과만나는점
A(a, 0), A'(-a, 0)
을 쌍곡선의 꼭짓점, 선분 AA'을 쌍곡선
의주축이라고한다.
이때, 주축의길이는 2a이고, 두초점 F와 F'의좌표는
F("a√¤ +b¤ , 0), F'(-"a√¤ +b¤ , 0)
이다.
|보기| 쌍곡선 - =1에서
a=3이므로꼭짓점의좌표는
(3, 0), (-3, 0)
주축의길이는 2a=6
또 c="√a¤ +b¤ ='∂9+7=4
이므로초점의좌표는
(4, 0), (-4, 0)
y¤127x¤129
y¤12b¤
x¤12a¤
알 아 보 기 / 쌍곡선의꼭짓점, 주축에대하여알아보자.
주축 A' AO x
y
F' F
P
x@a@
y@b@- =1
꼭짓점
O x
y
F' F43-3-4
x@9
y@7- =1
다음쌍곡선의초점과꼭짓점의좌표및주축의길이를구하여라.
(1) -y¤ =1 (2) - =1y¤123¤
x¤122¤
x¤123¤
스 스 로 하 기 /
2
다음쌍곡선의방정식을구하여라.
(1) 두초점이 F(5, 0), F'(-5, 0)이고, 주축의길이가 6인쌍곡선
(2) 한초점이 F(2, 0), 주축의길이가 3, 중심이원점인쌍곡선
3
익힘책 63쪽 익힘책 64쪽 익힘책 65쪽
(071~089)기하와벡터-교과 2009.5.22 12:46 PM 페이지75 mac02 T
76 Ⅱ. 이차곡선
y축위의두점 F(0, c), F'(0, -c)를
초점으로하고, 그두점으로부터의거리의
차가 2b (c>b>0)인쌍곡선의방정식은
- =-1 (단, a¤ =c¤ -b¤ )
이때, 두초점의좌표는
F(0, "√a¤ +b¤ ), F'(0, -"√a¤ +b¤ )
이고, 꼭짓점의좌표는 (0, b), (0, -b), 주축의길이는 2b이다.
y¤12b¤
x¤12a¤
알 아 보 기 / 두초점이 y축위에있는쌍곡선의방정식에대하여알아보자.
O x
y
F
-b-c
bc
F'
x@a@
y@b@- =-1
두정점 F(0, c), F'(0, -c)로부터의거리의차가 2b인쌍곡선의
방정식은
- =-1 (단, c>b>0, a¤ =c¤ -b¤ )y¤12b¤
x¤12a¤
쌍곡선의방정식 (2)
|보기| 두초점 F(0, 3), F'(0, -3)
으로부터의 거리의 차가 4인 쌍
곡선의 방정식은 2b=4에서
b=2이고, c=3에서
a¤ =c¤ -b¤ =9-4=5이므로
- =-1y¤124x¤125
O x
y
32
-3-2
x@5
y@4- =-1
다음쌍곡선의초점과꼭짓점의좌표및주축의길이를구하여라.
(1) x¤ -y¤ =-1 (2) - =-1y¤124x¤123
스 스 로 하 기 /
4
다음쌍곡선의방정식을구하여라.
(1) 두초점 (0, 5), (0, -5)로부터의거리의차가 6인쌍곡선
(2) 두초점이 (0, 2), (0, -2)이고, 주축의길이가 2인쌍곡선
5
익힘책 63쪽 익힘책 64쪽 익힘책 65쪽
(071~089)기하와벡터-교과 2009.5.26 10:50 AM 페이지76 mac01 T
3. 쌍곡선 77
쌍곡선의점근선02
알 아 보 기 / 쌍곡선의점근선을구하여보자.
쌍곡선의방정식
- =1 yy㉠·
을 y에대하여풀면
y=—;aB;xæ≠1-
이다. 여기서 |x|의값이한없이커지면 의
값은 0에한없이가까워지므로쌍곡선㉠은두직선 y=;aB;x와 y=-;aB;x
에한없이가까워진다. 이두직선을쌍곡선㉠의점근선이라고한다.
같은방법으로쌍곡선 - =-1의점근선도 y=—;aB;x임을알
수있다.
이상을정리하면다음과같다.
y¤12b¤
x¤12a¤
a¤12x¤
a¤12x¤
y¤12b¤
x¤12a¤
쌍곡선 - =1또는 - =-1의점근선의방정식은
y=;aB;x, y=-;aB;x
y¤12b¤
x¤12a¤
y¤12b¤
x¤12a¤
쌍곡선의점근선
쌍곡선의 그래프를 그릴
때, 점근선을 이용하면 편
리하다.
|보기| 쌍곡선 - =1의점근선의방정식은 a=4, b=3이므로
y=—;4#;x
y¤139x¤1216y
x4-4
y=- x43 y= x4
3
O
O x
y
-b
b
-a a
ay=- xbay= xb
다음 쌍곡선의 점근선의 방정식을 구하고, 쌍곡선과 점근선의 그래프
를그려라.
(1) -y¤ =1 (2) -y¤ =-1x¤124x¤124
스 스 로 하 기 /
1
익힘책 63쪽 익힘책 64쪽 익힘책 65쪽
(071~089)기하와벡터-교과 2009.5.22 12:46 PM 페이지77 mac02 T
78 Ⅱ. 이차곡선
쌍곡선의평행이동03
알 아 보 기 / 쌍곡선의평행이동에대하여알아보자.
중심이 원점에 있는 쌍
곡선
- =1
을 x축의 방향으로 p만
큼, y축의 방향으로 q만
큼 평행이동하면 중심이
(p, q)인다음과같은쌍곡선이된다.
- =1
예를 들어 쌍곡선 - =1을
x축의방향으로 2만큼, y축의방향으로
1만큼평행이동한쌍곡선의방정식은
- =1
이다. 이때,초점,중심,꼭짓점및점근
선의방정식도같이평행이동되므로이를구하면다음과같다.
(y-1)¤1212255(x-2)¤1212254
y¤125
x¤124
(y-q)¤121225b¤
(x-p)¤121225a¤
y¤12b¤
x¤12a¤ x
y
p
q
O
{x-p}@a@
{y-q}@b@- =1
x@a@
y@b@- =1
O x
y
4 - =1x@5y@
-21
42
- =15{y-1}@
4{x-2}@
초점
중심
꼭짓점
점근선
(3, 0), (-3, 0) (5, 1), (-1, 1)
(0, 0) (2, 1)
(2, 0), (-2, 0) (4, 1), (0, 1)
y=— x y=— (x-2)+1'51552
'51552
쌍곡선 - =1 - =1(y-1)¤15512255
5(x-2)¤15512255
4y¤1555
x¤1554
다음방정식이나타내는도형을그려라.
(1) - =1 (2) - =-1
(3) 4x¤ -9y¤ -16x-20=0 (4) 3x¤ -y¤ -6x+4y-4=0
(y-2)¤12122553¤
(x+1)¤12122552¤
(y-3)¤12122553¤
(x-1)¤12122554¤
스 스 로 하 기 /
1
익힘책 63쪽 익힘책 64쪽 익힘책 65쪽
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3. 쌍곡선 79
알 아 보 기 / 이차곡선에대하여알아보자.
지금까지배운포물선, 타원, 쌍곡선의방정식은모두 x, y에대한이
차방정식으로나타난다.즉
포물선: y¤ =4px, x¤ =4py
타원: + =1
쌍곡선: - =1, - =-1
이와같이 x, y에대한이차방정식
Ax¤ +By¤ +Cx+Dy+E=0 yy㉠
으로나타나는곡선을이차곡선이라고한다.
와x와 y에대한이차방정식
Ax¤ +By¤ +Cx+Dy+E=0
의 좌변이 일차식의 곱으로 인수분해 되거나 한 변수만의 이차식이 되는
경우가아니면다음과같이계수의관계에따라방정식㉠은원, 포물선,
타원, 쌍곡선을나타낸다. {단, k= + -E}
일반적으로 x, y에대한이차방정식으로나타나는곡선은특수한경우
를제외하면원, 포물선, 타원, 쌍곡선중의어느하나이다.
이차곡선은다음그림과같이원뿔을적당한평면으로자를때생기는단
면임이알려져있다. 이러한뜻에서이차곡선을원뿔곡선이라고도한다.
D¤124B
C¤124A
y¤13b¤
x¤13a¤
y¤13b¤
x¤13a¤
y¤13b¤
x¤13a¤
원 포물선 타원 쌍곡선
아폴로니오스 (Apollonios
; ?̀ B.C. ̀262~? B.C. ̀190)
그리스의수학자로“원뿔곡
선론”8권을저술하였다.
원 포물선 타원 쌍곡선이차곡선
A=B,
A¤ +B¤ +0, Ak>0
A=0, BC+0
또는B=0, AD+0
AB>0, A+B,
Ak>0AB<0, k+0
계수의
관계
(071~089)기하와벡터-교과 2009.5.22 12:46 PM 페이지79 mac02 T
우리나라의원자력발전소는바닷가에위치하고있으며냉각수로바
닷물을쓴다. 그러나유럽이나미국내륙지방에건설된원자력발
전소는강물을냉각수로쓴다. 이경우냉각수로사용된물을식히기위하
여자연통풍식습식냉각탑을건설하는데, 이때문에마치냉각탑이원자
력발전소의상징인것처럼생각되기도한다.
자연 통풍식 습식 냉각탑은 효율성을 높이기 위하여 옆에서 보았을 때
쌍곡선모양이되도록만든다.
다 가 서 기 / 원자력 발전소 냉각탑 속의 쌍곡선
2 학습목표
•쌍곡선과직선의위치관계를이해한다.
•쌍곡선의접선의방정식을구할수있다.
쌍곡선과직선3
쌍곡선
원자력발전소냉각탑
80 Ⅱ. 이차곡선
(071~089)기하와벡터-교과 2008.11.20 9:44 AM 페이지80 mac01 T
3. 쌍곡선 81
알 아 보 기 / 쌍곡선과직선의위치관계에대하여알아보자.
쌍곡선과직선의방정식을각각
- =1 yy㉠, y=mx+n yy㉡
이라고하면이들의교점의좌표는방정식㉠과㉡을연립하여풀었을때
의실근 x와 y의순서쌍 (x, y)이다. ㉡을㉠에대입하여정리하면
(b¤ -a¤ m¤ )x¤ -2a¤ mnx-a¤ (n¤ +b¤ )=0 yy㉢
⁄ b¤ -a¤ m¤ +0일때
⁄ ㉢의판별식을D라고하면쌍곡선㉠과직선㉡의위치관계는다음
과같다.
⁄ [1] D>0 HjK 서로 다른 두 점에서 만난다.
⁄ [2] D=0 HjK 한점에서만난다.(접한다.)⁄ [3] D<0 HjK 만나지않는다.¤ b¤ -a¤ m¤ =0일때
⁄ m=—;aB;이므로쌍곡선㉠과직선㉡은
⁄ [1] n=0이면만나지않는다.
⁄ [2] n+0이면한점에서만난다.
y¤12b¤
x¤12a¤
탐 구 하 기 / 쌍곡선과직선의교점의개수
쌍곡선과직선의위치관계01
쌍곡선 x¤ -y¤ =1과 직선 y=2x+k의교점의개수를 실수 k의 값에 따
라조사하려고한다. 다음물음에답하여보자.
1.쌍곡선과직선의방정식에서 y를소거하여 x에대한이차방정식을만들
어라.
2.물음 1에서이차방정식의판별식을D라고할때, 다음표를완성하여라.
k의 값 -3 -'3 0 '3
D의부호
교점의개수
0
1(개)
x
y
D>0 D<0D=0
O
x
y n˜0n=0
O
(071~089)기하와벡터-교과 2008.11.22 3:50 PM 페이지81 mac01 T
82 Ⅱ. 이차곡선
1
함 께 하 기 /
쌍곡선 - =1과직선 y=x+k의위치관계를조사하여라.y¤132
x¤133
|풀이|
y=x+k를 - =1에대입하여정리하면
x¤ +6kx+3k¤ +6=0
이이차방정식의판별식을D라고하면
=(3k)¤ -(3k¤ +6)=6(k¤ -1)
=6(k+1)(k-1)
따라서주어진쌍곡선과직선은
⁄ D>0일때,
즉 k<-1 또또는는 k>1일일때때,
서서로로다다른른두두점점에에서서만만난난다다.
¤ D=0일때,
즉 k=—1일일때때, 한한점점에에서서
만만난난다다.
‹ D<0일때, 즉-1<k<1일일때때, 만만나나지지않않는는다다.
D134
y¤132
x¤133
익힘책 67쪽 익힘책 68쪽 익힘책 69쪽
-Â3 Â3
1
-1 x
y y=x+k
x@3
y@2- =1
쌍곡선 9x¤ -y¤ =-1과직선 y=2x+k의위치관계를조사하여라.2
쌍곡선 - =1과직선 y=x+k의위치관계가다음과같을때,
실수 k의값또는그값의범위를구하여라.
(1) 서로다른두점에서만난다.
(2) 접한다.
(3) 만나지않는다.
y¤134
x¤139
스 스 로 하 기 /
1
익힘책 67쪽 익힘책 68쪽 익힘책 69쪽
(071~089)기하와벡터-교과 2009.5.22 12:46 PM 페이지82 mac02 T
3. 쌍곡선 83
알 아 보 기 / 기울기가주어진쌍곡선의접선의방정식을구하여보자.
쌍곡선의접선의방정식(1)02
쌍곡선에서 기울기가 주어
진접선의방정식은 2개이다.
쌍곡선 - =1에 접하고,기울기가 m (m+0)인 접선의 방정
식을구하여보자.
기울기가m인접선의방정식을 y=mx+n이라하고, 이것을주어진쌍
곡선의방정식에대입하여정리하면
(b¤ -a¤ m¤ )x¤ -2a¤ mnx-a¤ n¤ -a¤ b¤ =0
이이차방정식의판별식D가 0이어야하므로
=a› m¤ n¤ +(b¤ -a¤ m¤ )(a¤ n¤ +a¤ b¤ )=0
n¤ =a¤ m¤ -b¤
∴ n=—"a√¤ m¤ ç-≈b¤Ω
따라서구하는접선의방정식은
y=mx—"√a¤ m¤ -b¤
이상을정리하면다음과같다.
D154
y¤12b¤
x¤12a¤
|보기| 쌍곡선 - =1에접하고, 기울기가-1인접선의방정
식은 y=-1_x—"√25_(-1)¤ -16 ∴ y=-x—3
y¤1216
x¤1225
쌍곡선 - =1에접하고, 기울기가m인접선의방정식은
y=mx—"a√¤ m¤ ç-≈b¤Ω (단, a¤ m¤ >b¤ )
y¤12b¤
x¤12a¤
쌍곡선의접선의방정식 (1)
O x
yy=mx+Âa@m˛@˛˛-˛b@˛˛˛
y=mx-Âa@m˛@˛˛-˛b@˛˛˛
다음쌍곡선에접하고, 기울기가-2인접선의방정식을구하여라.
(1) - =1 (2) - =1y¤134
x¤132
y¤132
x¤133
스 스 로 하 기 /
1
익힘책 67쪽 익힘책 68쪽 익힘책 69쪽
(071~089)기하와벡터-교과 2008.11.20 9:44 AM 페이지83 mac01 T
84 Ⅱ. 이차곡선
알 아 보 기 / 접점이주어진쌍곡선의접선의방정식을구하여보자.
쌍곡선의접선의방정식(2)03
- =1에서
x¡¤ -a¤ = y¡¤
y¡¤ +b¤ = x¡¤b¤14a¤
a¤14b¤
y¡¤12b¤
x¡¤12a¤
쌍곡선 - =1 위의점 P(x¡, y¡)에서의접선의방정식을구하
여보자.
y¡+0일 때, 접선의 기울기를 m (m+0)
이라고하면접선의방정식은
y-y¡=m(x-x¡) yy㉠
한편기울기가m인접선의방정식은
y=mx—"a√¤ m¤ ç-≈b¤Ω yy㉡
㉠과㉡은같은직선의방정식이므로
-mx¡+y¡=—"a√¤ m¤ ç-≈b¤Ω
양변을제곱하여정리하면
(a¤ -x¡¤ )m¤ +2mx¡y¡-(b¤ +y¡¤ )=0
-{;bA;y¡m}2+2mx¡y¡-{;aB;x¡}2=0
{;bA;y¡m-;aB;x¡}2=0
∴m=
이것을㉠에대입하여정리하면
- = -
∴ - =1
또이식은 y¡=0, 즉점 P(x¡, y¡)이 x축위에있을때에도성립한다.
이상을정리하면다음과같다.
y¡y1225b¤
x¡x1225a¤
y¡¤125b¤
x¡¤125a¤
y¡y1225b¤
x¡x1225a¤
b¤ x¡1225a¤ y¡
y¤12b¤
x¤12a¤
쌍곡선 - =1위의점 (x¡, y¡)에서의접선의방정식은
- =1y¡y123b¤
x¡x123a¤
y¤12b¤
x¤12a¤
쌍곡선의접선의방정식 (2)
O x
y
P{x¡,̀y¡}a-a
(071~089)기하와벡터-교과 2008.11.22 3:50 PM 페이지84 mac01 T
3. 쌍곡선 85
다음접선의방정식을구하여라.
(1) 쌍곡선 - =1위의점 (4, -2)에서의접선
(2) 쌍곡선 - =1위의점 (-4, -3)에서의접선y¤133x¤134
y¤134x¤138
스 스 로 하 기 /
1
1
함 께 하 기 /
쌍곡선 - =1 위의점 (4, 3)에서의접선의방정식을구하여라.y¤133x¤134
익힘책 67쪽 익힘책 68쪽 익힘책 69쪽
주어진 점이 쌍곡선 위의
점인지 확인한 후, 쌍곡선
밖의 점일 때는 접점의 좌
표를 P(x¡, y¡)로놓고접선
의방정식을구한다.
2 점 (1, 0)에서쌍곡선 -y¤ =1에그은접선의방정식을구하여라.x¤134|풀이|
접점의좌표를 P (x¡, y¡)이라고하면접선의방정식은
-y¡y=1 yy㉠·
접선㉠이점 (1, 0)을지나므로 =1 ∴ x¡=4 yy㉡·
또점 P(x¡, y¡)은쌍곡선위에있으므로
-y¡¤ =1 yy㉢·
㉡을㉢에대입하여풀면
x¡=4, y¡='3 또는 x¡=4, y¡=-'3
이것을㉠에대입하면구하는접선의방정식은
x-'3y=1 또또는는 x+'3y=1
x¡¤1254
x¡134
x¡x1234
|풀이|
- =1에서 a¤ =4, b¤ =3이고, x¡=4, y¡=3이므로
- =1 ∴∴ y=x-13y133
4x124
y¤13b¤
x¤13a¤
점 (0, 3)에서쌍곡선 x¤ -y¤ =12에그은접선의방정식을구하여라.2
익힘책 67쪽 익힘책 68쪽 익힘책 69쪽
(071~089)기하와벡터-교과 2008.11.20 9:44 AM 페이지85 mac01 T
86 Ⅱ. 이차곡선
<준비물> 반투명 종이, 자, 연필
•쌍곡선을 만드는 원리
원 O의외부의한점 F와원위의동점 P에대하여선분 PF의수
직이등분선과 직선 OP의 교점을 Q라고 하면 점 Q의 자취는 쌍곡선
이된다.
즉, △QFM™△QPM이므로 QF”=QP”이고, 다음이성립한다.
OQ”-FQ”=OQ”-QP”=OP”
∴ OQ”-FQ”=(원의반지름의길이)
따라서점 Q의자취는두점 O와 F를초점으로하는쌍곡선이다.
위의내용을종이접기에적용하여쌍곡선의자취를구하여보자.
•종이접기
반투명종이위에원을그리고, 원밖에한점 A를잡는다.
|그림1|과같이원의둘레가점 A에닿도록종이를접는다.
|그림2|와같이접힌부분을다시펼친뒤에접힌선을긋는다.
|그림3|과같이종이를여러번접어 , 과정을반복한다.
|그림4|와같은쌍곡선의자취를구할수있다.
수 학
실 험 실전기와복소수_종이접기로만드는쌍곡선
Q
O
P
MF
AO
AO Q
P M
AO
AO
|그림1| |그림2|
|그림3| |그림4|
(071~089)기하와벡터-교과 2008.11.22 3:50 PM 페이지86 mac01 T
3. 쌍곡선 87
다음쌍곡선의방정식을구하여라.
(1) 두초점 F(5, 0), F'(-5, 0)에서의거리의차가 4인쌍곡선
(2) 두초점 F(0, 4), F'(0, -4)에서의거리의차가 6인쌍곡선
1쌍곡선의 방정식
다음쌍곡선의점근선의방정식과초점의좌표를구하여라.
(1) - =-1 (2) x¤ -4y¤ -2x-8y-7=0y¤1320x¤155
2쌍곡선의점근선과 초점
4쌍곡선의접선의 방정식
중 단 원
확 인 하 기
_3. 쌍곡선새로나온용어와기호
쌍곡선, 초점, 중심, 꼭짓점, 주축, 점근선, 이차곡선
이해
이해
동서로 100 km 떨어진 두 기지국 A, B
에서 신호를 받는 배는 B 기지국보다 A
기지국에서 60 km 더 먼 거리를 유지하
며 운항한다고 한다. 오른쪽 그림과 같이
두기지국A, B를 x축위에놓고, A, B
의 중점을 원점으로 하여 좌표평면 위에
나타낼때, 배의운항경로를나타내는방정식을구하여라.
5배의 운항 경로
이해
다음접선의방정식을구하여라.
(1) 쌍곡선 - =1에접하고, 기울기가 2인접선
(2) 쌍곡선 x¤ -3y¤ =6위의점 (-3, 1)에서의접선
(3) 점 (1, 0)에서쌍곡선 - =1에그은접선y¤134x¤139
y¤139x¤134
3쌍곡선과 직선의위치 관계
이해
- =1과직선 y=x+k의위치관계를조사하여라.y¤132x¤134
문제 해결
A BO
100`km
y
x
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88 Ⅱ. 이차곡선
공 학 도 구
기하작도용컴퓨터프로그램을이용하면이차곡선을그릴수있다. 이프로그램은
http://zirkel.sourceforge.net/에서내려받아사용할수있다.
다음단계에따라이차곡선을그려보자.
1단계 이프로그램을실행한후아이콘 을선택하고, 열린창에서‘기본매크로-좌표축’을선
택한후화면을클릭하면좌표축이그려진다.
2단계 점 아이콘 을 이용하여 x(x>0)축 위의 두 점 A, B와
y축위의한점 C를작도한다. 이때, 점A를점 B의오른쪽
에작도한다.
3단계 수선아이콘 을선택하고 x축과점A를선택하면, 점A
를 지나고 x축에 수직인 직선 l이 작도된다. 같은 방법으로
점B를지나고 x축에수직인직선m을작도한다.
4단계 직선 l위에점D를작도한다.
5단계 선분아이콘 을선택하고두점 C, D를선택하면선분 CD가작도된다.
6단계 점아이콘 을이용하여선분 CD와직선m의교점E를작도한다.
7단계 평행선 아이콘 을 선택한 후 x축과 점 E를 순서대로 선
택하면, 점E를지나고 x축에평행한직선 n¡이작도된다.
8단계 원 아이콘 을 선택한 후 원점 O와 직선 n¡과 y축의 교점
을순서대로선택하면원 C¡이작도된다.
9단계 점아이콘 을선택하고원 C¡과 x축의두교점중왼쪽의
점G를작도한다.
10단계 중점아이콘 을선택하고두점G, B를클릭하면중점M이작도된다.
이차곡선그리기
(071~089)기하와벡터-교과 2010.6.11 8:4 PM 페이지88
3. 쌍곡선 89
수학적개념을공학도구를이용하여이해하고탐구해보세요.*
11단계 원아이콘 을선택한후중점M과점G를순서대로선택
하면원 C™가작도된다.
12단계 점아이콘 을선택하고원 C™와 y축의두교점중위쪽의
점H를작도한다.
13단계 평행선아이콘 을선택한후, x축과점H를순서대로선
택하면점H를지나고 x축에평행한직선 n™가작도된다.
14단계 점아이콘 을선택하고두직선m, n™의교점 I를작도한다.
15단계 자동자취아이콘 을선택한후, 점 I와점 B를순서대로
클릭하면이차곡선이그려진다.
16단계 점 B를 마우스 끌기를 하면 점 I가 이차곡선 위를 움직이는
것을확인할수있다.
17단계 점 D를마우스끌기를하면이차곡선의모양이바뀌는것을
확인할수있다.
18단계 개체 편집 아이콘 을 선택하고, 점 E를 두 번 클릭하면
개체편집창이열린다.‘제한된교점’의체크(⋎) 표시를해
제하면오른쪽그림과같이완전한이차곡선을얻을수있다.
1. 점 D가 x축의아래쪽에서움직일때, 점 D의위치에따른이차곡선의종류를말하여라.
논술/수행평가과제
(071~089)기하와벡터-교과 2009.5.22 12:47 PM 페이지89 mac02 T