Torsion:
Illustration: pont courbe
Domaines d’application:– ponts courbes et ponts biais– ponts avec charges excentrées– mâts– sheds, tôles pliées, constructions plissées – wagons, fuselage et ailes d’avion
Décomposition des efforts:
31. Mécanique des Structures P. Lestuzzi EPFL-ENAC semestre de printemps 2019
Torsion: Modes de résistance
La résistance à la torsion correspond à deux phénomènes de nature différente:
Bibliographie:
– Kollbrunner C. F., Basler K.: Torsion. Application à l’étude des structures. Editions SPES Lausanne, 1970
– Kollbrunner C. F., Basler K.: Torsion. Springer-Verlag, 1966
– Vlassov W. S.: Dünnwandige elastische Stäbe. VEB Verlag für Bauwesen, Berlin, 1964
– Frey F.: Analyse des structures et milieux continus. Mécanique des structures. Traité de Génie Civil de l’EPFL, Volume 2
Torsion de Saint-Venant(ou torsion uniforme)
Torsion non uniforme
prépondérantpour: sections pleines ou fermées sections ouvertes
gauchissementdes sections: libre empêché
contraintes: flux de cisaillement fermé tangentielles + normales
rigiditérelative: élevée modérée
32.
Mécanique des Structures P. Lestuzzi EPFL-ENAC semestre de printemps 2019
Torsion uniforme: Rappel (c. f. TGC 2)
Déformation d’une console:
yx
z
ϕT
Rigidité: sections massives pleines sections fermées à parois minces
J ≈4
40 Ip
A J =2A4
dst(s)∫
Ip: inertie polaireA: aire
t: épaisseur
s: abscisse de la ligne moyenne
formule de St-Venant: formule de Bredt:
A
A noter les analogies suivantes:– analogie de la membrane– analogie hydrodynamique
dϕdx
TG J=ϕ′ =Loi de Hooke: ϕ: angle de torsion
T: moment de torsionG: module de glissementJ: inertie torsionnelle
33.
Mécanique des Structures P. Lestuzzi EPFL-ENAC semestre de printemps 2019
Torsion uniforme: Considérations statiquesExemple: poutre simple
MR: moment de torsion extérieurTV: moment de torsion interne
Le problème est une fois hyperstatique.
Les efforts internes se répartissent au prorata des rigidités.
La rotation de torsion est nulle aux extrémités mais les sections sont libres de gauchir.
⇒ MRbL=TVA MR
aL=TVB
Ki∑ Ki
=TVi MR
dϕdx
ϕ′ =efforts internes: TV = G J K
angle de torsion ϕmax entre les appuis et le point d’application de MR:
=TVK=ϕmax dx∫ dϕ
0
a⇒
a bL=∫
0
a=
1K dx∫
0
aMR
bL ϕmax
MRK
Analogie: torsion uniforme flexion
TV
ϕϕϕϕ
a b
V
M
a b
a bL
MRK
MRbL
MRaL
P bL
P aL
a bL
P
dMdx V=
dϕdx=
TVK
34. Mécanique des Structures P. Lestuzzi EPFL-ENAC semestre de printemps 2019
Torsion non uniforme: Cas particulier de la poutre en I
Déformation d’une console (vue de dessus):
Moments de flexion dans les ailes:
y
zηi(x)x
xx
y
ηs(x)
Efforts internes et sollicitations résultant de la flexion des ailes:
y
z
x
x
η′′=Ms – Mi= – E Iailed ηdx
2
2= – E Iaile
Efforts tranchants dans les ailes:
η′′′=Vs – Vi= – E Iailed ηdx
3
3= – E IailedMsdx =
Déplacement de l’aile dans son plan en fonction de la rotation ϕ:
η =h2
ϕ
35. Mécanique des Structures P. Lestuzzi EPFL-ENAC semestre de printemps 2019
Torsion non uniforme: Cas particulier de la poutre en I
Effort interne de torsion:
Pour le cas particulier de la section en I:
η′′′=Tω V·h= – E Iailed ϕdx
3
3= – E Iailehh2
2
Iaile ≈Iy2 Tω =
d ϕdx
3
3– E Iyh4
2⇒
En posant: Iω = Iyh4
2
(inertie sectorielle)
On obtient l’équation différentielle de la torsion non uniforme:
Tω =d ϕdx
3
3– E Iω
Nouvelle grandeur: Bi-moment (extension du couple aux moments)
η′′=Mω Maile·h= – E Iailed ϕdx
2
2= – E Iailehh2
2 d ϕdx
2
2= – E Iω Mω=
Analogie: torsion non uniforme flexion
Charge – répartie mR– concentréeMR
– répartie p– concentréeP
Déformation
Moment
ϕ y
Mω =d ϕdx
2
2– E Iω Mx = d ydx
2
2– E Ix
Dérivée du moment Tω =d ϕdx
3
3– E IωdMωdx =
Relation générale mR =d ϕdx
4
4– E IωdTωdx = p = d y
dx
4
4– E IxdVdx =
V = d ydx
3
3– E IxdMxdx =
36. Mécanique des Structures P. Lestuzzi EPFL-ENAC semestre de printemps 2019
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