2014/12/2
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
表現2: cos と sin の和
sin
cos
時間 t
0
cos と sin を足すと、どういう波形になるか?
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
sin
cos
時間 t
0
cos+sin
cos と sin を足すと、同じ周波数の一つの正弦波
表現2: cos と sin の和
cos と sin を足すと、どういう波形になるか?
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
b a
b a
b a
cos と sin の配合比率
cos と sin の配合比率a、b を変えると正弦波の位相と振幅が変化
a・cos + b・sin
正弦波の3つの表現
表現1: A・sin( ωt + θ )
表現2: a cos( ωt ) + b sin( ωt )
A・sinθ A・cosθ
表現3: F・e jωt + F*・e - jωt
t
複素正弦波 e jωt の定義
e jωt = cos(ωt) + j sin(ωt)
虚数単位 (数学では i)
実数部 虚数部
オイラーの公式
複素平面上の e jωt
1-1
-j
ωtR(実数)
j
ejωt
0
I (虚数)
sinωt
cosωt
単位円原点からの距離が1
角度が ωt
実数部が cos(ωt)虚数部が sin(ωt)
2014/12/2
2
e jωt の複素共役 e -jωt
e jωt = cos(ωt) + j sin(ωt)
オイラーの公式
e -jωt = cos(ωt) - j sin(ωt)
cos・sin と 複素正弦波
tjtj eet 2
1)cos(
tjtj eej
t 2
1)sin(
j2 でも良い
cos・sin と 複素正弦波
cos・sin は,e jωt によって作られる
tjtj eet 2
1)cos(
tjtj eej
t 2
1)sin(
+
+
+
+
「周波数分析」
t時間
f周波数
周波数分析
(時間波形) (周波数スペクトル)
小 大
低 高
=
全ての信号は
正弦波の和により
合成されるその配合比率
WaveSpectra周波数分析ソフト(free)
周波数分析の例
すべての 周期信号 f (t) は、
基本 (角) 周波数 ω0 = 2πf0および、
その2倍、3倍・・・(2ω0 、3ω0 ・・・ )の周波数の
正弦波の和として表すことができる。
( 表したもの → フーリエ級数 )
前回の復習 (1): フーリエ級数
)3sin2sinsin(
)3cos2coscos()(
030201
0302010
tbtbtb
tatataatf
周期
10 f
2014/12/2
3
)32sin()22sin()2sin(
)32cos()22cos()2cos()(
030201
0302010
tfbtfbtfb
tfatfatfaatf
正弦波の「表現2」が使われている
表現2周波数 f0 の正弦波
周波数 2・f0 の正弦波
周波数 3・f0 の正弦波+ +
周期信号
すべての周期信号は、正弦波の和として合成できる
→ フーリエ級数
のこぎり波
方形波
+
+
+
+
方形波は正弦波の和として合成できる
x(t) = sin(ωt) +1/3・sin(3ωt)
+1/5・sin(5ωt) +1/7・sin(7ωt)+ ・・・・・
+
+
+
+
信号の加算
時間t
0
sin( 2πf t)
cos( 2πf t)
cos( 2πf t) +sin( 2πf t)
)32sin()22sin()2sin(
)32cos()22cos()2cos()(
030201
0302010
tfbtfbtfb
tfatfatfaatf
正弦波の「表現2」が使われている
表現2周波数 f0 の正弦波
周波数 2・f0 の正弦波
周波数 3・f0 の正弦波+ +
周期信号
すべての周期信号は、正弦波の和として合成できる
→ フーリエ級数
のこぎり波
方形波
+
+
+
+
2014/12/2
4
方形波は正弦波の和として合成できる
x(t) = sin(ωt) +1/3・sin(3ωt)
+1/5・sin(5ωt) +1/7・sin(7ωt)+ ・・・・・
+
+
+
+
信号の加算
時間t
0
sin( 2πf t)
cos( 2πf t)
cos( 2πf t) +sin( 2πf t)
-1
0
1
2つの正弦波の和
f = 100 Hz (基本波)
f = 300 Hz (3倍波)1/3
時間
振幅
-1
0
1
2つの正弦波の和
f = 100 Hz (基本波)
f = 300 Hz (3倍波)1/3
時間
振幅
-1
0
1f = 100 Hz
f = 300 Hz
時間
2つの正弦波の和
青+緑 → 赤
1/3
振幅
1,3,5倍周波数の正弦波の和
0
-1
0
1
時間
100 Hz+300Hz
500 Hz
1/5
振幅
2014/12/2
5
1,3,5倍周波数の正弦波の和
0
-1
0
1
時間
100 Hz+300Hz
500 Hz
青+緑 → 赤
1/5
振幅
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
sin t
t3sin3
1
tt 3sin3
1sin
t5sin5
1
tt 3sin3
1sin
ttt 5sin5
13sin
3
1sin
tsin
t7sin7
1
ttt 5sin5
13sin
3
1sin
tttt 7sin7
15sin
5
13sin
3
1sin
ω0 =1
方形波 の合成
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
tsin tsin
tt 2sin2
1sin
t2sin2
1
t3sin3
1tt 2sin
2
1sin
ttt 3sin3
12sin
2
1sin
t4sin4
1ttt 3sin
3
12sin
2
1sin
tttt 4sin4
13sin
3
12sin
2
1sin
ω0 =1
のこぎり波 の合成
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
sin t
t3sin3
1
tt 3sin3
1sin
t5sin5
1
tt 3sin3
1sin
ttt 5sin5
13sin
3
1sin
tsin
t7sin7
1
ttt 5sin5
13sin
3
1sin
tttt 7sin7
15sin
5
13sin
3
1sin 1
方形波
2014/12/2
6
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
tsin tsin
tt 2sin2
1sin
t2sin2
1
t3sin3
1tt 2sin
2
1sin
ttt 3sin3
12sin
2
1sin
t4sin4
1
tttt 4sin4
13sin
3
12sin
2
1sin 1
のこぎり波 信号の 「(パワー)スペクトル」 とは
横軸は、信号に含まれる正弦波の周波数縦軸は、その正弦波の大きさ(パワー)を表す図
周波数f
パワー
その信号に、どういう周波数の信号が、どの位の大きさで含まれているか? を表す図
先週の演習の問4
ア) f(t) = 2・sin(2π100 t)
この式が何を表しているか?を、言葉で説明してみてください。
この講義では、数式の意味を理解する習慣をつけてください。(今までの数学と違って、工学における数式は
無意味な記号の羅列ではありません)
意味が分かれば、その式を言葉で説明できます。
先週の演習の問4 (直感的な解法)
ア) f(t) = 2・sin(2π100 t)
信号 f(t) は、 周波数が100Hzで
振幅が2の正弦波でできているでは、スペクトルは?
周波数が100Hzで
100
振幅
2
振幅が2
f(t) に含まれている正弦波は、
ただし、これは、振幅スペクトル
周波数 f (Hz)
先週の演習の問4 (直感的な解法)
ア) f(t) = 2・sin(2π100 t)
信号 f(t) は、 周波数が100Hzで
振幅が2の正弦波でできているでは、パワースペクトルは?
周波数が100Hzで
100
パワー
2
パワーが2
(振幅)2パワー =
2
周波数 f (Hz)
(正弦波の)
先週の演習の問4 (直感的な解法)
イ) f(t) = sin(2π100 t)+2・cos(2π200 t)
信号 f(t) は、 周波数が100Hzで振幅が1の正弦波と、
100
パワー
2
(振幅)2パワー =
2
周波数 f (Hz)
周波数が200Hzで振幅が2の正弦波の和
200
0.5
パワー 0.5 パワー 2
スペクトルとは、信号が、どのような正弦波からできているかを表すもの
2014/12/2
7
)32sin()22sin()2sin(
)32cos()22cos()2cos()(
030201
0302010
tfbtfbtfb
tfatfatfaatf
問4 のより数学的な解法
f(t) = sin(2π100 t)+2・cos(2π200 t)
フーリエ級数と対比する100Hz 200Hz
)32sin()22sin()2sin(
)32cos()22cos()2cos()(
030201
0302010
tfbtfbtfb
tfatfatfaatf
問4 のより数学的な解法
f(t) = sin(2π100 t)+2・cos(2π200 t)
フーリエ級数と対比する100Hz 200Hz
1・sin(2π100 t)
2・cos(2π200 t)0 0 00 0
0,,2,1,100 210 ii baabf その他の
2/22nn ba
パワーは、
パワースペクトルは、
)32sin()22sin()2sin(
)32cos()22cos()2cos()(
030201
0302010
tfbtfbtfb
tfatfatfaatf
問4 のより数学的な解法
f(t) = sin(2π100 t)+2・cos(2π200 t)
フーリエ級数と対比する100Hz 200Hz
1・sin(2π100 t)
2・cos(2π200 t)0 0 00 0
0,,2,1,100 210 ii baabf その他の
2/22nn ba
パワーは、
パワースペクトルは、
100
パワー
2
周波数 f (Hz)200
0.5
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-3
-2
-1
0
1
2
3
信号 f(t)
時間
分析 ・ 周波数 100Hzの sin (振幅が) 1
・ 周波数 200Hzの cos (振幅が) 2
成分
分析の方法は?
f(t) = sin(2π100 t)+2・cos(2π200 t)
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-3
-2
-1
0
1
2
3
信号 f(t)
時間
分析
成分
分析の方法は?
実際に利用できるのは、この波形 f(t) だけ
信号 f(t): 録音した音、受信した電波ただし、ディジタル信号として記録されている (携帯の音楽と同じ)
「フーリエ係数」 a0, a1 , ・・・,b1 , b2 , ・・・ は、
同じ周波数の正弦波 sin nω0 t をかけて積分すれば得られる。
an、bn の求め方 (=分析方法)
T
n dttntfT
b0 0sin
2
)3sin2sinsin(
)3cos2coscos()(
030201
0302010
tbtbtb
tatataatf
1)1002sin(2
0
Tdtttf
T 2)2002cos(
20
T
dtttfT
100Hz の sin の大きさ(成分) 200Hz の cos の大きさ(成分)
2014/12/2
8
「フーリエ係数」 a0, a1 , ・・・,b1 , b2 , ・・・ は、
同じ周波数の正弦波 sin nω0 t をかけて積分すれば得られる。
an、bn の求め方 (=分析方法)
T
n dttntfT
b0 0sin
2
)3sin2sinsin(
)3cos2coscos()(
030201
0302010
tbtbtb
tatataatf
1)1002sin(2
0
Tdtttf
T 2)2002cos(
20
T
dtttfT
100Hz の sin の大きさ(成分) 200Hz の cos の大きさ(成分)
実は、実際の計算はコンピュータがやってくれる
複素正弦波を用いたフーリエ級数
任意の周期信号 f(t) は、複素正弦波 ejnω0t の和として、次式で表される。
表現がシンプル表現3
n
tjnn
tjtjtj
tjtjtj
eF
eFeFeF
eFeFeFFtf
0
000
000
33
221
33
2210)(
nF : 係数(複素数)
nn FF は の複素共役教科書 式(2.21)
フーリエ係数 Fn の求め方
の係数 Fn を求めるには、
この f(t) に、 複素共役 を乗じて積分
tjtjtj
tjtjtj
eFeFeF
eFeFeFFtf000
000
33
221
33
2210)(
dtetfT
FT tjn
n 0
0)(1
tjne 0
tjne 0
T は の周期tje 0
フーリエ係数 Fn の求め方の証明
2
0 3212
03
1
0
233
22101
0
2
0000
00000
0
1
1
)(1
F
dteFFeFeFeFT
dteeFeFeFFeFT
dtetfT
T tjtjtjtj
T tjtjtjtjtj
T tj
tjtjtj
tjtjtj
eFeFeF
eFeFeFFtf000
000
33
221
33
2210)(
mn
mneee
tmnjtjmtjn
1
0
00
フーリエ級数(変換)の意義
すべての周期波形は正弦波の和
◇ 各正弦波成分の大きさを分析
an、bn (スペクトル)が信号の特徴を表す。
・ 音声認識
◇ 合成できる
◇ 周波数操作
・ フィルタ
◇ 周波数で見る・考える
◇ 情報圧縮(mp3、jpeg、mpeg)
「フーリエ係数」 a0, a1 , ・・・,b1 , b2 , ・・・ は、
同じ周波数の正弦波 sin nω0 t をかけて積分すれば得られる。
T
n dttntfT
a0 0cos
2
)3sin2sinsin(
)3cos2coscos()(
030201
0302010
tbtbtb
tatataatf
前々回: cos, sin を用いたフーリエ級数
任意の周期信号 f(t) は、cos, sin の和として表される。
2014/12/2
9
前回: 複素正弦波を用いたフーリエ級数
任意の周期信号 f(t) は、複素正弦波 ejω0t の和として、次式で表される。
n
tjnn
tjtjtj
tjtjtj
eF
eFeFeF
eFeFeFFtf
0
000
000
33
221
33
2210)(
表現がシンプル
フーリエ係数 Fn の求め方
e jnω0t の係数 Fn を求めるには、
この f(t) に、 複素共役 e - jnω0t を乗じて積分
tjtjtj
tjtjtj
eFeFeF
eFeFeFFtf000
000
33
221
33
2210)(
dtetfT
FT tjn
n 0
0)(1
正弦波の3つの表現とフーリエ級数
tjtj eFeF
tbta
tA
*
)sin()cos(
sin表現1:
表現2:
表現3:
)3sin2sinsin(
)3cos2coscos()(
030201
0302010
tbtbtb
tatataatf
表現2
表現3
tjtjtj
tjtjtj
eFeFeF
eFeFeFFtf000
000
33
221
33
2210)(
表現1は?
tjtj eFeF
tbta
tA
*
)sin()cos(
sin表現1:
表現2:
表現3:
303
2021010
3sin
2sinsin)(
tA
tAtAAtf
表現1
【 問題点 】 a,b や、F と違って、パラメータ A,θを求める式が無い、ので、使われない
書くことは出来るが
正弦波の3つの表現とフーリエ級数
tjtj eFeF
tbta
tA
*
)sin()cos(
sin表現1:
表現2:
表現3:
)3sin2sinsin(
)3cos2coscos()(
030201
0302010
tbtbtb
tatataatf
表現2
表現3
tjtjtj
tjtjtj
eFeFeF
eFeFeFFtf000
000
33
221
33
2210)(
正弦波の3つの表現とフーリエ級数
tjtj eFeF
tbta
tA
*
)sin()cos(
sin表現1:
表現2:
表現3:
)3sin2sinsin(
)3cos2coscos()(
030201
0302010
tbtbtb
tatataatf
n
tjnn eFtf 0)(
表現2
表現3
2014/12/2
10
信号とスペクトル
信号とは,
)(tf時間
t
量の時間的変化の様子(電圧や音圧)
大きい
01秒0.5
小さい
大きい 大きい
小さい 小さい
初等関数では表せないので(文字式)
フーリエの理論
信号 正弦波 (成分)
500Hz の正弦波 1
1000Hzの正弦波 0.5
1500Hzの正弦波 0.3
2000Hzの正弦波 0.25
分析(分解) mm ba ,)(tf
すべての信号は、正弦波の和で出来ている
+
+
+
f(t)= 1・sin(2π500 t ) +0.5・sin(2π1000 t )+ 0.3・sin(2π1500 t ) + 0.25・sin(2π2000 t)
と表される.
T
n dttntfT
a0 0cos
2
「スペクトル」は、成分のグラフ化
f
500Hz の正弦波 1
1000Hzの正弦波 0.5
1500Hzの正弦波 0.3
2000Hzの正弦波 0.25
mm ba ,
0 500 1000 1500 2000
周波数 (Hz)
1
0.50.3
0.25
大きさ(振幅)
正弦波 (成分)
f(t)= 1・sin(2π500 t ) +0.5・sin(2π1000 t )+ 0.3・sin(2π1500 t ) + 0.25・sin(2π2000 t)
スペクトル
パワースペクトル
500Hz の正弦波 1
1000Hzの正弦波 0.5
1500Hzの正弦波 0.3
2000Hzの正弦波 0.25
mm ba , 2/22
nn ba
パワー
f0 500 1000 1500 2000
周波数 (Hz)
(1)2/2
パワー
(0.5)2/2
(0.3)2/2(0.25)2/2
f(t)= 1・sin(2π500 t ) +0.5・sin(2π1000 t )+ 0.3・sin(2π1500 t ) + 0.25・sin(2π2000 t)
正弦波 (成分)
時間信号(波形) → 周波数スペクトル
信号:f (t)
スペクトル:F(ω)
dtetf tj)(
フーリエ変換
時間 t
周波数 f
式では表せない!
計算はコンピュータがしてくれる
フーリエ変換の重要性 (用途例)
雑音
音声+雑音
baknLPN.wav
音声
LP250noise.wav
波形(音圧・電圧)では、わからない
Gold-wavebakuon0.wav
2014/12/2
11
周波数領域で見るとよくわかる
周波数
低周波雑音 音声+雑音低周波成分をカットすれば良い!
フィルタ
各周波数成分の大きさ・パワ|
スペクトル
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
周波数
振幅
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
周波数
振幅
フーリエ級数の係数b1
b2b3 b4
aj=0
bn+1bn+2
bn+3略
1周期
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
周波数
振幅
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
周波数
振幅
スペクトル
略
F(f) または (F(ω))
f, ω
f
すべての周波数で成分を持つ
bn+1bn+2
bn+3
フーリエ変換の結果
略
前々回の復習 (フーリエ変換対)
フーリエ変換対
(時間信号)
1 ωt0
ゲート関数(方形パルス)
標本化関数(sinc 関数)
0
(周波数スペクトル)
)(F)(tf
dteFtf
dtetfF
tj
tj
)()(
)()(フーリエ変換:
フーリエ逆変換:
前回の復習
2.1.2 フーリエ変換の性質
(b) 対称性
f(t) F(ω) なら
F(t) 2πf(-ω)
前回の復習
フーリエ変換対
1 t
(時間信号)
ゲート関数標本化関数
X(ω)x(t)
ω0 ωc-ωc
1 ωt0
ゲート関数(方形パルス)
標本化関数(sinc 関数)
0
(周波数スペクトル)
対称性
2014/12/2
12
前回の復習
2.1.2 フーリエ変換の性質
(c) 線形性
f(t) F(ω)
g(t) G(ω)
ならば、
c・f(t) c・F(ω)
f(t) + g(t) F(ω)+G(ω)
前回の復習 (デルタ関数)
10
edtet tj
0t
δ(t)
ω
1
ある関数にかけて積分すればその関数の t=0 の値が取り出せる
δ(t): 変数が 0 の時のみ、無限大の値を持つ
先週の復習 (デルタ関数)
0t
δ(t)
ω
1
対称性
t
1
0ω
2πδ(ω)f(t)=1 (直流)
周波数 0
F(ω)=1
先週の復習 (時間・周波数推移)
0)()( 0tjeFttf
)()( 00 Fetf tj
時間推移
周波数推移
)(21 00 tje
)(21
先週の復習 (ejω0t のフーリエ変換)
)(21 00 tje
0ω
2πδ(ω-ω0)
tje 0
ω0
0ω
-ω0
tje 0 2πδ(ω+ω0)
微分(差分)の効果: 音声
◇ 原音
◇ 1回微分
◇ 2回微分
◇ 3回微分
)( Fjtfdt
d
2014/12/2
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積分(平均化)の効果: 音声
0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
)(1
Fj
dft
)(F
tf
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