RESISTANCE DESMATERIAUX (1a)
Référence:Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.John T. DeWolf
Notes de cours:J. Walt OlerTexas Tech University
Introduction –Notion de contraintes
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Rappel de Statique
• Une structure est conçue poursupporter une charge de 30 kN
• Réaliser une analyse statique pour déterminer la force internedans chaque éléments de la structure ainsi que les forces de réaction aux supports.
• Cette structure est composée d’un bras et d’une barre joints par une articulation (moment de liaison nul) avec des supportsarticulés.
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Diagramme global des corps libres• La structure est séparée des supports et
les forces de chargement et de réactionsont représentées
• Ay et Cy ne peuvent pas être déterminés àpartir de ces équations
( ) ( )( )
kN30
0kN300
kN40
0
kN40
m8.0kN30m6.00
=+
=−+==
−=−=
+==
=
−==
∑
∑
∑
yy
yyy
xx
xxx
x
xC
CA
CAF
AC
CAF
A
AM
• Conditions l’équilibre statique:
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Diagrammes locaux des corps libres
• En complément à la structure complète, chaque composant doit satisfaire lesconditions de l’équilibre statique.
• Résultats :↑=←=→= kN30kN40kN40 yx CCA
Les forces de réaction sont dirigées le long du bras et de la barre
( )
0
m8.00
=
−==∑
y
yB
A
AM• Considérons le diagramme pour le bras :
kN30=yC
valeur remplacée dans l’équation d’équilibre de la structure
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• La contrainte normale à un point particulier n’est pas forcément égale à la contrainte moyenne mais la résultante de la distribution de contrainte doit satisfaire
moyA
P A dF dAσ σ= = =∫ ∫
Chargement axial : Contrainte Normale
• La résultante des forces internes pour un chargement axial est normal à la section droite de l’élément.
0lim moyA
F PA A
σ σ∆ →
∆= =
∆
• L’intensité de la force sur cette section estdéfinie comme étant la contrainte normale.
• La distribution détaillée de la contrainte est statiquement indéterminée, c-a-d, elle ne peut être obtenue à partir de la seule étude statique.
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• Si un élément est chargé de façon excentrée, alors la résultante de la distribution de contrainte dans une section mène à la création d’une force axiale et d’un moment.
Chargements Centrés & Excentrés
• La distribution de contraintes en chargement excentré ne peut pas être uniforme ou symétrique.
• Une distribution uniforme de la contrainte dans une section implique que la ligne d’action de la résultante des forces internes passe par le centre de la section.
• Une distribution uniforme de la contrainte est seulement possible si la concentration de chargement sur les extrémités d’un élément soumis à deux forces est appliquée sur le centre de la section. Il s’agit alors d’un chargement centré.
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Contrainte de cisaillement• Les forces P et P’ sont appliquées
transversalement sur l’élément AB.
moyPA
τ =
• La contrainte de cisaillement moyenne correspondante est,
• La résultante de la distribution des forces internes de cisaillement est définie comme étant le cisaillement de la section et est égale au chargement P.
• Les forces internes correspondantes agissent dans le plan de la section C et elles sont appelées les contraintes de cisaillement (ou tangentielles).
• La distribution de la contrainte de cisaillement varie de zéro à la surface de l’élément à une valeur maximum qui peut être supérieure à la valeur moyenne.
• La distribution de la contrainte de cisaillement ne peut pas être considérée comme uniforme.
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Exemples de contrainte de cisaillement
moyP FA A
τ = =
Cisaillement simple
moy 2P FA A
τ = =
Cisaillement double
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Contraintes dans un corps soumis à deux forces
• On montrera que des forces axiales ou cisaillantes peuvent produire des contraintes aussi bien normales que cisaillantes par rapport à un plan autre que celui perpendiculaire à la ligne moyenne.
• Les forces axiales dans un corps soumis à deux forces induisent des contraintes uniquement axiales dans un plan perpendiculaire à la ligne moyenne.
• Les forces transversales exercéessur les boulons et les écrous induisent uniquement des contraintes de cisaillement dans un plan perpendiculaire à l’axe du boulon et de l’écrou.
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• Soit une section à travers la poutre qui forme un angle θ par rapport au plan normal.
θθ
θ
θτ
θ
θ
θσ
θ
θ
cossin
cos
sin
cos
cos
cos
00
2
00
AP
AP
AV
AP
AP
AF
===
===
• Les contraintes moyennes normales et tangentielles sur le plan oblique sont
Contrainte dans un plan oblique
θθ sincos PVPF ==
• Décomposer P en composantes normales et tangentielles par rapport à la section oblique,
• A partir des conditions d’équilibre, la somme des forces présentes sur le plan doit être équivalente à la force P.
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• La contrainte normale maximum apparaît quand le plan de référence est perpendiculaire à l’axe de la poutre,
00
m =′= τσAP
• La contrainte cisaillante maximum apparaît pour un plan à + 45o par rapport à l’axe,
στ ′===00 2
45cos45sinAP
AP
m
Contraintes maximum
θθτθσ cossincos0
2
0 AP
AP
==
• Les contraintes normales et cisaillantes sur un plan oblique sont,
(a) Chargement axial
(b) Contrainte pour θ = 0
(c) Contrainte pour θ = 45°
(d) Contrainte pour θ = -45°
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Contrainte sous chargement général• Un corps soumis à une combinaison
générale de chargement est coupé en deux parties passant par Q
• Pour l’équilibre, une force interne et une distribution contrainte interne égales et opposées doivent s’exercer sur l’autre partie du corps.
AV
AV
AF
xz
Axz
xy
Axy
x
Ax
∆∆
=∆
∆=
∆∆
=
→∆→∆
→∆
limlim
lim
00
0
ττ
σ
• La distribution des composantes de la contrainte interne peut être définie telle que,
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• Les composantes de la contrainte sont définies pour les plans coupés parallèlement aux axes x, yet z. Pour l’équilibre, des contraintes égales et opposées sont exercées sur les plans cachés.
• Ainsi seulement 6 composantes de contrainte sont nécessaires pour définir complètement l’état complet de contrainte
• La combinaison de forces générées par les contraintes doit satisfaire les conditions d’équilibre :
0
0
===
===
∑∑∑
∑∑∑
zyx
zyx
MMM
FFF
( ) ( )yxxy
yxxyz aAaAM
ττ
ττ
=
∆−∆==∑ 0
zyyzzyyz t ττττ == esimilaire, çonfa de
• En considérant les moments par rapport à l’axe z :
État de contrainte
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