Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329 ISSN-p: 2338-0950
Desember 2016 ISSN-e : 2541-1969
Coresponding Author : [email protected] (phone: +62-856-2528-707)
318
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
The Quiver of a Connected Path Algebra
Vika Yugi Kurniawan
Program Studi Matematika FMIPA UNS
ABSTRACT
A directed graph can be viewed as a 4-tuple ๐ = (๐0, ๐1, ๐ , t) where ๐0 and ๐1 are
finite sets of vertices and arrows respectively, and ๐ , ๐ก are two maps from ๐1 to ๐0. A
directed graph is often called a quiver. For a quiver ๐ and a field ๐พ, we can define a ๐พ-
algebra with basis the set of all paths in ๐. This ๐พ-algebra is called path algebra ๐พ๐. In this
paper, we study the properties of a path algebra over a field ๐พ. These properties are used to
show interplay betwen a connected path algebra and its quiver. In the end of discussion, we
show that the path algebra KQ is connected if and only if Q is a connected quiver.
Keywords: Idempotent, Indecomposable, Path Algebra, Primitive orthogonal.
ABSTRAK
Graf berarah dapat dipandang sebagai pasangan 4-tupel yang terdiri dari dua himpunan
serta dua pemetaan dan disebut sebagai quiver ๐ = (๐0, ๐1, ๐ , ๐ก). Untuk sebarang quiver ๐
dan lapangan ๐พ, dapat didefinisikan suatu ๐พ-aljabar yang disebut dengan aljabar lintasan ๐พ๐
yang memiliki basis berupa himpunan semua lintasan yang ada pada quiver ๐. Pada makalah
ini, dipelajari sifat-sifat dari suatu aljabar lintasan atas lapangan ๐พ. Selanjutnya sifat-sifat
tersebut digunakan untuk menunjukkan keterkaitan antara aljabar lintasan terhubung dengan
quivernya. Diakhir pembahasan ditunjukan bahwa suatu aljabar lintasan ๐พ๐ dari suatu quiver
๐ merupakan aljabar terhubung jika dan hanya jika ๐ merupakan quiver terhubung
Kata Kunci : Aljabar lintasan, Idempoten, Indekomposabel, Ortogonal primitif.
PENDAHULUAN
Teori graf adalah bagian dari
matematika diskrit yang banyak digunakan
sebagai alat bantu untuk menggambarkan
atau menyatakan suatu persoalan agar lebih
mudah dimengerti dan diselesaikan.
Banyak persoalan akan lebih jelas untuk
difahami apabila direpresentasikan dalam
bentuk graf. Konsep graf karya Euler dalam
menyelesaikan masalah Jembatan
Konigsberg pada tahun 1735 merupakan
awal dari lahirnya teori graf. Meskipun
brought to you by COREView metadata, citation and similar papers at core.ac.uk
provided by Natural Science: Journal of Science and Technology
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329 ISSN-p: 2338-0950
Desember 2016 ISSN-e : 2541-1969
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
319
umurnya relatif muda, teori graf telah
berkembang sangat pesat akhir-akhir ini,
baik dalam bidang pengembangan teori
maupun aplikasi di berbagai bidang.
Graf secara umum merupakan
obyek kombinatorial yang terdiri dari garis-
garis (edges) dan titik-titik (vertex).
Apabila setiap garis dari graf memiliki
orientasi arah, maka graf tersebut disebut
sebagai graf berarah. Dalam beberapa
literatur, graf berarah dapat dipandang
sebagai pasangan 4-tupel yang terdiri dari
dua himpunan serta dua pemetaan dan
disebut sebagai quiver ๐ = (๐0, ๐1, ๐ , ๐ก).
Himpunan yang dimaksud adalah
himpunan titik ๐0 dan himpunan panah ๐1.
Sedangkan pemetaan ๐ dan ๐ก adalah
pemetaan dari himpunan panah ke
himpunan titik, yaitu ๐ , ๐ก โถ ๐1 โ ๐0,
dengan ๐ (๐ผ) โ ๐0 disebut sebagai sumber
dari panah ๐ผ โ ๐1 dan ๐ก(๐ผ) โ ๐0 disebut
sebagai target dari panah ๐ผ โ ๐1. Barisan
panah-panah pada quiver ๐ disebut sebagai
lintasan. Dengan mendefinisikan suatu
operasi perkalian pada himpunan lintasan,
maka himpunan semua lintasan pada quiver
membentuk struktur semigrup. Selanjutnya
untuk sebarang quiver ๐ dan lapangan ๐พ
dapat didefinisikan suatu K-aljabar yang
disebut dengan aljabar lintasan ๐พ๐ yang
memiliki basis berupa himpunan semua
lintasan yang ada pada quiver tersebut.
Teori tentang aljabar lintasan sangat
bermanfaat untuk mempelajari hal-hal yang
berkaitan dengan lintasan dari suatu graf
berarah atau quiver. Salah satunya pada
makalah Redrigues dan Neubaeur (2011)
yang memberikan kesimpulan bahwa
secara umum aljabar lintasan dapat
digunakan untuk mengkonstrusi suatu
pembangun melintang dari graf multi-
relasional (a multi-relational graph
tranversal engine). Karena itu
perkembangan kajian tentang aljabar
lintasan ini cukup pesat sekali, antara lain
yang ditulis oleh Abrams dan Kanuni
(2013), Alahmadi dan Alasulami (2014),
Ara dan Cortinas (2013), Hazrat (2013),
Ruiz dan Tomforde (2013), dan Tomforde
(2011).
Pada makalah ini, dipelajari sifat-
sifat dari suatu alabar lintasan atas
lapangan. Selajutnya sifat-sifat tersebut
digunakan untuk menunjukkan keterkaitan
antara quiver terhadap keterhubungan dari
aljabar lintasannya. Penulisan makalah ini
bersifat studi kepustakaan, dimana penulis
menghimpun hasil-hasil penelitian dari
berbagai referensi kemudian
menyajikannya kembali secara runtut dan
disertai contoh-contoh supaya pembaca
lebih mudah dalam memahami konsep
aljabar lintasan atas lapangan.
ALJABAR ATAS LAPANGAN
Sebelum membahas tentang aljabar
lintasan, terlebih dahulu akan
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329 ISSN-p: 2338-0950
Desember 2016 ISSN-e : 2541-1969
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
320
diperkenalkan pengertian aljabar beserta
contoh dan sifat-sifatnya. Perlu diketahui
bahwa beberapa pengertian dalam makalah
ini diambil dari Assem (2005) dan Dummit
(2004).
Definisi 2.1 Aljabar A atas lapangan K
atau K-aljabar adalah sebuah ring A
dengan elemen identitas sedemikian
sehingga sebagai K-ruang vektor A
memenuhi kondisi:
โ (๐๐) = (๐ โ)๐ = ๐(โ ๐)
untuk setiap โโ ๐พ dan ๐, ๐ โ ๐ด.
Dalam hal ini perkalian vektor
dengan skalar dari kanan didefinisikan
sama dengan perkalian skalar dari kiri,
yaitu ๐ โ=โ ๐. Jika A dan B merupakan K-
aljabar, pemetaan ๐: ๐ด โ ๐ต disebut suatu
homomorfisma K-aljabar jika ๐ merupakan
pemetaan linier dan untuk setiap ๐, ๐ โ ๐ด
berlaku ๐(๐๐) = ๐(๐)๐(๐). Jika ๐ bijektif
maka A dan B dikatakan isomorfis yang
dinotasikan ๐ด โ ๐ต. Berikut akan diberikan
beberapa contoh aljabar.
Contoh 2.2
1. Setiap lapangan K merupakan K-
aljabar, dengan operasi penjumlahan
dan perkaliaannya seperti yang
terdefinisi dalam lapangannya.
Demikian pula dengan operasi
perkalian skalarnya.
2. Matriks berukuran ๐ ร ๐ atas lapangan
๐พ, yaitu
๐๐ร๐(๐พ) = {[
๐11 โฏ ๐1๐ โฎ โฑ โฎ๐๐1 โฏ ๐๐๐
] ; ๐๐๐
โ ๐พ, untuk 1 โค ๐, ๐ โค ๐}
dengan operasi penjumlahan dan
perkalian antar matriks biasa serta
perkalian skalar dengan matriks
merupakan aljabar atas lapangan ๐พ.
Setelah memahami definisi aljabar,
berikut akan diberikan definisi dari sub
aljabar.
Definisi 2.3 Diberikan K-aljabar A. Sub
ruang B di A disebut sub aljabar dari A
jika elemen identitas A merupakan elemen
identitas B dan untuk setiap ๐, ๐ โ ๐ต
berlaku ๐๐ โ ๐ต.
Perhatikan contoh 2.2 nomor 2.
Salah satu sub aljabar dari ๐๐ร๐(๐พ) adalah
himpunan matriks segitiga atas berukuran
๐ ร ๐. Matriks identitas I dengan ukuran
๐ ร ๐ merupakan elemen identitas pada
matriks segitiga atas. Hasil kali matriks
segitiga atas juga berupa matriks segitiga
atas. Dengan demikian operasi
perkaliaannya bersifat tertutup. Begitu juga
himpunan matriks segitiga bawah
berukuran ๐ ร ๐ merupakan sub aljabar
dari ๐๐ร๐(๐พ).
QUIVER DAN ALJABAR LINTASAN
Pada bagian ini akan diberikan
pengertian dasar beserta contoh dari quiver
dan aljabar lintasan.
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329 ISSN-p: 2338-0950
Desember 2016 ISSN-e : 2541-1969
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
321
Definisi 3.1 Quiver adalah pasangan 4-
tupel (๐0, ๐1, ๐ , ๐ก) yang terdiri atas dua
himpunan, yaitu ๐0 (yang elemen-
elemennya disebut titik) dan ๐1 (yang
elemen-elemennya disebut panah), serta
dua pemetaan ๐ , ๐ก: ๐1โถ ๐0 dengan
๐ (๐ผ) โ ๐0 disebut sumber dari panah ๐ผ โ
๐1 dan ๐ก(๐ผ) โ ๐0 disebut target dari
panah ๐ผ โ ๐1.
Pada definisi di atas, jika ๐ผ โ ๐1
bersumber di ๐ = ๐ (๐ผ) dan bertarget
di ๐ = ๐ก(๐ผ) maka biasa ditulis ๐ผ โถ ๐ โถ ๐.
Quiver ๐ = (๐0, ๐1, ๐ , ๐ก) biasa ditulis
secara lebih ringkas ๐ = (๐0, ๐1) atau ๐
saja. Quiver ๐ dikatakan berhingga jika ๐0
dan ๐1 merupakan himpunan berhingga.
Apabila graf ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ adalah quiver ๐ yang arah
dari setiap panahnya diabaikan, maka
quiver ๐ terhubung jika ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ graf terhubung.
Selanjutnya, berikut akan diberikan
pengertian subquiver.
Definisi 3.2 Subquiver dari quiver ๐ =
(๐0, ๐1, ๐ , ๐ก) merupakan pasangan 4-tupel
๐โฒ = (๐0โฒ, ๐1โฒ, ๐ โฒ, ๐กโฒ) sedemikian hingga
๐0โฒ โ ๐0, ๐1โฒ โ ๐1, ๐ โฒ = |๐ ๐1โฒ, ๐กโฒ =
|๐ก ๐1โฒ. Selain itu juga dipenuhi jika ๐ผ โถ
๐ โถ ๐ merupakan panah di ๐1 sedemikian
hingga ๐ผ โ ๐1โฒ dan ๐, ๐ โ ๐0โฒ maka
๐ โฒ(๐ผ) = ๐ dan ๐กโฒ(๐ผ) = ๐.
Setelah diberikan beberapa pengertian
dasar dari quiver, berikut akan diberikan
pengertian aljabar lintasan yang merupakan
aljabar yang dibangun oleh lintasan-
lintasan yang ada pada quiver. Tapi
sebelumnya perlu diketahui definisi dari
lintasan pada suatu quiver yang akan
diberikan sebagai berikut.
Definisi 3.3 Diberikan quiver ๐ =
(๐0, ๐1, ๐ , ๐ก) dan ๐, ๐ โ ๐0. Barisan
(๐|๐ผ1, ๐ผ2, โฆ , ๐ผ๐|๐) dengan ๐ผ๐ โ ๐1 untuk
setiap 1 โค ๐ โค ๐, dan berlaku ๐ (๐ผ1) = ๐,
๐ก(๐ผ๐) = ๐ (๐ผ๐+1) untuk setiap 1 โค ๐ โค ๐
dan ๐ก(๐ผ๐) = ๐ disebut lintasan dengan
panjang ๐ โฅ 1 yang bersumber di ๐ dan
bertarget di ๐.
Lintasan dapat ditulis juga sebagai
barisan panah ๐ผ1๐ผ2โฆ๐ผ๐ dan digambarkan
sebagai berikut
๐ = ๐0๐ผ1โ ๐1
๐ผ2โ ๐2 โ โฏ
๐ผ๐โ ๐๐ = ๐.
Himpunan semua lintasan pada ๐ dengan
panjang ๐ dinotasikan dengan ๐๐. Dalam hal
ini setiap ๐ โ ๐0 juga dipandang lintasan
yang dengan panjang ๐ = 0, disebut sebagai
lintasan trivial pada ๐ dan dinotasikan
dengan ๐๐ = (๐||๐).
Definisi 3.4 Lintasan dengan panjang ๐ โฅ
1 yang memiliki sumber dan target pada
titik yang sama disebut siklus. Siklus
dengan panjang 1 disebut loop. Quiver ๐
disebut asiklis jika tidak memiliki siklus.
Pada quiver ๐, jika terdapat lintasan
dari ๐ ke ๐ maka ๐ disebut sebagai
pendahulu dari ๐ dan ๐ disebut sebagai
pengikut dari ๐. Selanjutnya, jika terdapat
panah dari ๐ ke ๐ maka ๐ disebut sebagai
pendahulu langsung dari ๐ dan ๐ disebut
sebagai pengikut langsung dari ๐. Untuk
setiap ๐ โ ๐0, ๐โ didefinisikan sebagai
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329 ISSN-p: 2338-0950
Desember 2016 ISSN-e : 2541-1969
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
322
himpunan semua pendahulu langsung dari
๐, dan ๐+ adalah himpunan semua pengikut
langsung dari ๐. Untuk selanjutnya, ๐+ โช
๐โ disebut sebagai tetangga dari ๐.
Pada penelitian ini diasumsikan
semua quiver yang diberikan merupakan
quiver berhingga. Dengan mendefinisikan
suatu operasi perkalian pada himpunan
lintasan yang berupa barisan panah-panah,
maka himpunan semua lintasan pada quiver
membentuk struktur semigrup. Dengan
demikian himpunan lintasan dengan operasi
penjumlahan dan perkalian merupakan
sebuah ring. Selanjutnya untuk sebarang
lapangan K dan quiver ๐ dapat
didefinisikan suatu K-aljabar yang disebut
dengan aljabar lintasan atas lapangan K
pada ๐.
Definisi 3.5 Diberikan quiver ๐. Aljabar
atas K yang sebagai basisnya adalah
himpunan semua lintasan
(๐|๐ผ1, ๐ผ2, โฆ , ๐ผ๐|๐) dengan panjang ๐ โฅ 0
di ๐ disebut sebagai aljabar lintasan ๐พ๐.
Pada aljabar lintasan ๐พ๐, hasil kali
dua buah lintasan ๐ผ1โฆ๐ผ๐ dan ๐ฝ1โฆ๐ฝ๐
didefinsikan dengan
(๐ผ1โฆ๐ผ๐)(๐ฝ1โฆ๐ฝ๐) =
{(๐ผ1โฆ๐ผ๐๐ฝ1โฆ๐ฝ๐) ; jika ๐ก(๐ผ๐) = ๐ (๐ฝ1)
0 ; jika ๐ก(๐ผ๐) โ ๐ (๐ฝ1).
Untuk lebih memperjelas pengertian aljabar
lintasan yang telah diberikan di atas,
berikut akan diberikan beberapa contoh
sederhana dari aljabar lintasan.
Contoh 3.6 Diberikan quiver Q yang terdiri
dari dua buah titik dengan dua buah panah
yang menghubungkan keduanya seperti
pada gambar berikut
Himpunan {ฮต1, ฮต2, ฮฑ} merupakan basis
dari aljabar lintasan KQ dengan definisi
perkalian yang diberikan pada tabel
berikut
โ ฮต1 ฮต2 ฮ ฮฒ
ฮต1 ฮต1 0 0 0
ฮต2 0 ฮต2 ฮ ฮฒ
ฮฑ ฮฑ 0 0 0
ฮฒ ฮฒ 0 0 0
Dapat ditunjukkan bahwa KQ isomorfis
dengan aljabar matriks segitiga bawah,
yaitu
T2(K) = [K 0K2 K
]
= { [a 0
(b, c) d] | a, b, c, d โ K}.
Isomorfisma tersebut diberikan oleh
suatu pemetaan linier sedemikian
hingga
ฮต1โผ [1 0
(0,0) 0] , ฮต2โผ [
0 0(0,0) 1
],
ฮฑ โผ [0 0
(0,1) 0] , ฮฒ โผ [
0 0(1,0) 0
].
๐ผ
f
๐ฝ
f
1 2
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329 ISSN-p: 2338-0950
Desember 2016 ISSN-e : 2541-1969
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
323
SIFAT-SIFAT ALJABAR LINTASAN
Setelah mamahami definisi aljabar
lintasan beserta contoh-contohnya, berikut
akan diberikan sifat-sifat aljabar lintasan.
Beberapa sifat di makalah ini diambil dari
Assem (2005) yang akan disajikan dengan
lebih terurut dan bukti-bukti yang lebih
jelas. Sifat yang pertama menunjukkan
hubungan antara keberhinggaan quiver
dengan aljabar lintasannya. Ada tidaknya
siklus dan keberhinggaan jumlah titik pada
suatu quiver memiliki hubungan terhadap
keberhinggan dimensi aljabar lintasannya.
Lema 4.1 Diberikan quiver ๐ dan ๐พ๐
merupakan aljabar lintasan dari ๐, maka
berlaku:
(a) ๐พ๐ adalah aljabar asosiatif,
(b) ๐พ๐ memiliki sebuah elemen identitas
jika dan hanya jika ๐0 berhingga,
(c) ๐พ๐ berdimensi hingga jika dan hanya
jika ๐ berhingga dan asikslis.
Bukti:
(a) Dengan memperhatikan kembali definisi
pergandaan dua buah lintasan pada aljabar
lintasan, dapat diketahui bahwa hasil kali
vektor-vektor basis merupakan komposisi
lintasan yang jelas bersifat asosiatif.
(b) Jelas bahwa setiap lintasan stasioner ๐๐ =
(๐||๐) merupakan sebuah idempoten dari
๐พ๐. Diambil sebarang lintasan ๐ค =
(๐0| โฆ |๐๐) di ๐, diperoleh
(โ ๐๐๐๐๐โ๐0)๐ค = (๐๐1 + ๐๐2 +โฏ+ ๐๐๐)๐ค
= ๐๐1๐ค +โฏ+ ๐๐0๐ค +โฏ+ ๐๐๐๐ค
= 0 +โฏ+ 0 + ๐๐0๐ค + 0 +โฏ+ 0
= ๐๐0๐ค = ๐ค.
Jika ๐0 berhingga, maka โ ๐๐๐โ๐0 adalah
identitas untuk ๐พ๐.
Sebaliknya diandaikan bahwa ๐0 tak
berhingga. Misalkan 1 = โ โ๐ ๐ค๐๐๐=1 adalah
elemen identitas dari ๐พ๐, dengan โ๐ adalah
skalar tak nol dan ๐ค๐ lintasan di ๐.
Himpunan semua sumber dari lintasan-
lintasan ๐ค๐, katakan ๐0โฒ, paling banyak
memiliki ๐ elemen dan jelas berhingga.
Diambil sebarang ๐ โ ๐0\๐0โฒ, karena
๐ก(๐๐) โ ๐ (๐ค๐) maka ๐๐. 1 = 0, terjadi
kontradiksi. Jadi, diperoleh bahwa ๐0
berhingga.
(c) Andaikan ๐ tak berhinga, maka basis dari
๐พ๐ juga berdimensi tak hingga. Jika
๐ค = ๐ผ1๐ผ2โฆ๐ผ๐ merupakan siklus di ๐,
maka untuk setiap ๐ก โฅ 0 diperoleh vektor
basis ๐ค๐ก = (๐ผ1๐ผ2โฆ๐ผ๐)๐ก sehingga ๐พ๐ juga
berdimensi tak hingga. Sebaliknya, jika ๐
berhingga dan asikslis, maka ๐ hanya
memuat lintasan sebanyak berhingga
sehingga ๐พ๐ berdimensi hingga. โ
Sebelum membahas lebih lanjut
tentang keterhubungan suatu aljabar
lintasan, akan diberikan pengertian dari
elemen idempoten yang akan bermanfaat
untuk mendefinisikan aljabar terhubung
dan membahas sifat-sifatnya.
Definisi 4.2 Diberikan sebuah K-aljabar ๐ด.
Elemen ๐ dikatakan idempoten jika ๐2 = ๐.
Elemen idempoten ๐ dikatakan idempotent
pusat jika untuk setiap ๐ โ ๐ด berlaku ๐๐ =
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329 ISSN-p: 2338-0950
Desember 2016 ISSN-e : 2541-1969
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
324
๐๐. Elemen idempotent ๐1, ๐2 โ ๐ด
dikatakan saling ortogonal jika ๐1๐2 =
๐2๐1 = 0. Elemen idempoten ๐ dikatakan
primitif jika ๐ tidak dapat ditulis sebagai
jumlahan dari dua elemen idempoten
ortogonal tak nol di ๐ด.
Untuk lebih memahami definisi di
atas, berikut akan diberikan sebuah contoh.
Contoh 4.3 Diberikan sebuah K-aljabar
matriks ๐ด berukuran 2 ร 2 yaitu
๐ด = ๐2(๐พ) = [๐พ ๐พ๐พ ๐พ
].
Perhatikan bahwa ๐ด memiliki empat buah
idempoten yaitu 0๐ด = [0 00 0
], 1๐ด =
[1 00 1
], ๐1 = [1 00 0
], dan ๐2 = [0 00 1
].
Jelas bahwa 0๐ด merupakan idempoten pusat
karena untuk setiap ๐ฅ โ ๐ด berlaku ๐ฅ0๐ด =
0๐ด๐ฅ = 0๐ด. Diambil sebarang ๐ฅ = [๐ ๐๐ ๐
] โ
๐ด, diperoleh
๐ฅ1๐ด = [๐ ๐๐ ๐
] [1 00 1
] = [๐ ๐๐ ๐
]
= [1 00 1
] [๐ ๐๐ ๐
] = 1๐ด๐ฅ.
Dengan demikian 1๐ด juga merupakan
idempoten pusat. Selanjutnya perhatikan
bahwa ๐1๐2 = [1 00 0
] [0 00 1
] = [0 00 0
]
dan ๐2๐1 = [0 00 1
] [1 00 0
] = [0 00 0
],
sehingga ๐1 dan ๐2 merupakan idempoten
yang saling ortogonal. Selain itu ๐1 dan ๐2
juga merupakan idempoten primitif karena
tidak dapat ditulis sebagai jumlahan dari
dua buah idempoten ortogonal tak nol di ๐ด.
Sedangkan 1๐ด bukan merupakan elemen
idempoten primitif karena 1๐ด = ๐1 + ๐2.
Definisi idempoten pusat yang telah
diberikan di atas digunakan untuk
menyatakan definisi dari aljabar terhubung
berikut.
Definisi 4.4 Aljabar ๐ด disebut aljabar
terhubung (atau aljabar indekomposabel)
jika ๐ด bukan merupakan jumlahan
langsung dari dua aljabar, atau secara
ekuivalen, ๐ด dikatakan aljabar terhubung
jika ๐ด tidak memiliki idempotent pusat
selain 0 dan 1.
Sebagai contohnya perhatikan
Contoh 4.3. Aljabar matriks ๐ด = ๐2(๐พ)
merupakan aljabar terhubung karena ๐ด
tidak memiliki idempoten pusat selain 0๐ด
dan 1๐ด. Setiap aljabar ๐ด memiliki dua
idempotent trivial yaitu 0 dan 1. Jika ๐
merupakan idempoten yang tidak trivial
dari ๐ด maka 1 โ ๐ juga idempotent yang
tidak trivial, dengan sifat ๐ dan 1 โ ๐ saling
ortogonal. Akibat lainnya juga akan
terdapat dekomposisi ๐ด-modul kanan ๐ด๐ด =
๐๐ดโ (1 โ ๐)๐ด. Sebaliknya, jika ๐ด๐ด =
๐1โ๐2 adalah dekomposisi ๐ด-modul
yang tidak trivial dan 1 = ๐1 + ๐2 dengan
๐๐ โ ๐๐, maka ๐1, ๐2 adalah pasangan
idempoten ortogonal dari ๐ด, dan ๐๐ = ๐๐๐ด
indekomposabel jika dan hanya jika ๐๐
primitif.
Jika ๐ merupakan idempotent pusat,
maka 1 โ ๐ juga idempotent pusat,
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329 ISSN-p: 2338-0950
Desember 2016 ISSN-e : 2541-1969
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
325
sehingga ๐๐ด dan (1 โ ๐)๐ด adalah ideal dua
sisi dan keduanya menjadi ๐พ-aljabar
dengan elemen identitas ๐ โ ๐๐ด dan 1 โ
๐ โ (1 โ ๐)๐ด. Pada kasus ini dekomposisi
๐ด๐ด = ๐๐ดโ (1 โ ๐)๐ด adalah dekomposisi
jumlahan langsung dari aljabar ๐ด.
Setiap himpunan {๐1, โฆ , ๐๐} yang
merupakan idempoten-idempoten
orthogonal primitif dari ๐ด dengan sifat 1 =
๐1 +โฏ+ ๐๐ mengakibatkan terdapat
sebuah dekomposisi ๐ด๐ด = ๐1โจโฆโจ๐๐
dengan ๐1 = ๐1๐ด,โฆ, ๐๐ = ๐๐๐ด merupakan
ideal-ideal kanan indekomposabel.
Dekomposisi seperti diatas selanjutnya
disebut sebagai dekomposisi
indekomposabel dan himpunan {๐1, โฆ , ๐๐}
disebut himpunan lengkap idempoten
ortogonal primitif dari ๐ด.
Contoh 4.5 Diberikan K-aljabar ๐ด =
[๐พ 0 00 ๐พ 0๐พ ๐พ ๐พ
]. Idempoten-idempoten
ortogonal primitif dari ๐ด adalah ๐1 =
[1 0 00 0 00 0 0
], ๐2 = [0 0 00 1 00 0 0
], dan ๐3 =
[0 0 00 0 00 0 1
] dengan ๐1 + ๐2 + ๐3 = 1๐ด.
Diperoleh
๐1๐ด = [1 0 00 0 00 0 0
] [๐พ 0 00 ๐พ 0๐พ ๐พ ๐พ
]
= [๐พ 0 00 0 00 0 0
],
๐2๐ด = [0 0 00 1 00 0 0
] [๐พ 0 00 ๐พ 0๐พ ๐พ ๐พ
]
= [0 0 00 ๐พ 00 0 0
],
๐3๐ด = [0 0 00 0 00 0 1
] [๐พ 0 00 ๐พ 0๐พ ๐พ ๐พ
]
= [0 0 00 0 0๐พ ๐พ ๐พ
].
Dengan demikian ๐ด memiliki dekomposisi
๐ด = ๐1โ๐2โ๐3 dengan ๐1 = ๐1๐ด, ๐2 =
๐2๐ด, dan ๐3 = ๐3๐ด merupakan ideal-ideal
kanan indekomposabel. Jadi {๐1, ๐2, ๐3}
merupakan himpunan lengkap idempoten-
idempoten ortogonal primitif dari aljabar ๐ด.
Selanjutnya akan diberikan sebuah
lema yang menyatakan sifat dari suatu
elemen idempoten primitif. Sifat berikut
akan sangat bermanfaaat dalam pembuktian
sifat-sifat berikutnya.
Lema 4.6 Sebuah idempoten ๐ โ ๐ด primitif
jika dan hanya jika aljabar ๐๐ด๐ hanya
memiliki idempoten 0 dan ๐.
Bukti:
(โน) Diketahui ๐ โ ๐ด merupakan elemen
idempoten primitif, artinya ๐ tidak dapat
ditulis sebagai ๐ = ๐1 + ๐2 dengan ๐1, ๐2
elemen idempoten ortogonal tak nol di ๐ด.
Diambil sebarang idempoten ๐ฅ โ ๐๐ด๐,
katakan ๐ฅ = ๐๐๐ dengan ๐ โ ๐ด.
Karena ๐ฅ merupakan idempoten maka
๐ฅ2 = ๐ฅ sehingga diperoleh
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329 ISSN-p: 2338-0950
Desember 2016 ISSN-e : 2541-1969
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
326
๐ฅ2 = (๐๐๐)(๐๐๐) = ๐๐๐2๐๐
= ๐๐๐๐๐ = ๐(๐๐๐)๐ = ๐๐ฅ๐ = ๐ฅ
Dengan demikian diperoleh ๐ฅ = 0 atau ๐ฅ =
๐.
(โธ) Akan ditunjukkan dengan
kontraposisi. Diandaikan ๐ โ ๐ด bukan
merupakan elemen idempoten
primitif,katakan ๐ = ๐1 + ๐2 dengan
๐1, ๐2 โ 0 tetapi ๐1๐2 = 0 dan ๐1๐2 = 0
atau dengan kata lain ๐1, ๐2 merupakan
idempoten yang saling orthogonal.
Perhatikan bahwa
๐๐1๐ = (๐1 + ๐2)๐1(๐1 + ๐2)
= (๐1๐1 + ๐2๐1)(๐1 + ๐2)
= ๐1๐1๐1 + ๐1๐1๐2 + ๐2๐1๐1 +
๐2๐1๐2
= ๐1
Diperoleh idempoten ๐1 โ ๐๐ด๐.
Dengan demiian aljabar ๐๐ด๐ memiliki
idempoten selain 0 dan ๐. Terjadi
kontradiksi sehingga ๐ merupakan elemen
idempoten primitif. โ
Setelah diberikan pengertian dari
idempoten ortogonal primitif, berikut akan
diberikan lema yang mengatakan bahwa
himpunan semua lintasan stasioner dari ๐พ๐
merupakan himpunan lengkap idempoten-
idempoten ortogonal primitif.
Lema 4.7 Diberikan sebuah quiver
berhingga ๐. Elemen 1 = โ ๐๐๐โ๐0
merupakan identitas dari ๐พ๐ dan {๐๐|๐ โ
๐0} yang merupakan himpunan dari semua
lintasan stasioner ๐๐ = (๐||๐) adalah
himpunan lengkap idempoten-idempoten
ortogonal primitif untuk ๐พ๐.
Bukti:
Sesuai dengan definisi pergandaan, ๐๐
merupakan idempoten ortogonal untuk ๐พ๐.
Karena ๐0 berhingga, maka 1 = โ ๐๐๐โ๐0
adalah identitas dari ๐พ๐. Selanjutnya
tinggal ditunjukkan bahwa ๐๐ primitif, atau
ekuivalen dengan menunjukkan bahwa
aljabar ๐๐(๐พ๐)๐๐ tidak memiliki
idempoten selain 0 dan ๐๐.
Diambil sebarang idempoten ๐ โ
๐๐(๐พ๐)๐๐. Jelas bahwa ๐ dapat ditulis
dengan ๐ =โ ๐๐ + ๐ค, dengan โโ ๐พ dan ๐ค
adalah kombinasi linier dari siklus-siklus
yang memuat ๐ dengan panjang โฅ 1.
Karena ๐ idempoten maka ๐2 = ๐, sehingga
diperoleh persamaan
0 = ๐2 โ ๐ = (โ2โโ)๐๐ + (2 โ โ1)๐ค
+ ๐ค2.
Dari persamaan diatas diperoleh ๐ค = 0 dan
โ2โโ= 0, sehingga โ= 0 atau โ= 1. Jika
โ= 1, maka ๐ =โ ๐๐ + ๐ค = ๐๐. Di sisi
lain jika โ= 0, maka ๐ =โ ๐๐ + ๐ค = 0.
Dengan demikian ๐๐(๐พ๐)๐๐ tidak memiliki
idempoten selain 0 dan ๐๐, sehingga
terbukti ๐๐ primitif. โ
Himpunan {๐๐|๐ โ ๐0} yang
merupakan himpunan lengkap idempoten
ortogonal primitif untuk ๐พ๐ tidak selalu
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329 ISSN-p: 2338-0950
Desember 2016 ISSN-e : 2541-1969
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
327
tunggal. Seperti pada contoh 3.6(2), selain
himpunan {๐1, ๐2}, himpunan {๐1 + ๐ผ, ๐2 โ
๐ผ} juga merupakan himpunan lengkap
idempotent ortogonal primitif untuk ๐พ๐.
Berikutnya akan diberikan sebuah
lema yang menyatakan keterkaitan suatu
aljabar dengan partisi himpunan lengkap
idempoten ortogonal primitif untuk aljabar
tersebut.
Lema 4.8 Diberikan ๐ด aljabar asosiatif
dengan elemen identitas, dan dimisalkan
bahwa {๐1, โฆ , ๐๐} adalah himpunan
lengkap berhingga dari idempotent-
idempoten orthogonal primitif. Aljabar ๐ด
terhubung jika dan hanya jika tidak
terdapat suatu partisi yang tidak trivial
๐ผ โชฬ ๐ฝ dari himpunan {1,2, โฆ , ๐} sedemikian
hingga untuk ๐ โ ๐ผ dan ๐ โ ๐ฝ berakibat
๐๐๐ด๐๐ = 0 = ๐๐๐ด๐๐.
Bukti:
(โน) Diandaikan terdapat sebuah partisi
yang tidak trivial dan dimisalkan ๐ =
โ ๐๐๐โ๐ฝ . Karena partisi tersebut tidak trivial,
maka ๐ โ 0 dan ๐ โ 1. Dan karena ๐๐
merupakan idempoten-idempoten
otrogonal, maka ๐ merupakan idempoten.
Untuk setiap ๐ โ ๐ผ, ๐๐๐ = ๐๐๐ = 0, dan
untuk setiap ๐ โ ๐ฝ, ๐๐๐ = ๐๐๐ = ๐๐.
Selanjutnya diambil sebarang ๐ โ ๐ด. Dari
yang diketahui ๐๐๐๐๐ = 0 = ๐๐๐๐๐, ketika
๐ โ ๐ผ dan ๐ โ ๐ฝ. Akibatnya
๐๐ = (โ ๐๐๐โ๐ฝ )๐ = (โ ๐๐๐โ๐ฝ ๐)1
= (โ ๐๐๐โ๐ฝ ๐)(โ ๐๐๐โ๐ผ + โ ๐๐๐โ๐ฝ )
= โ ๐๐๐๐๐๐,๐โ๐ฝ
= (โ ๐๐๐โ๐ฝ + โ ๐๐๐โ๐ผ )๐(โ ๐๐๐โ๐ฝ ) = ๐๐.
Jadi ๐ adalah idempoten pusat, dan ๐ด =
๐๐ดโ (1 โ ๐)๐ด adalah dekomposisi yang
tidak trivial dari ๐ด. Terjadi kontradiksi
karena diketahui ๐ด aljabar terhubung.
(โธ) Diandaikan aljabar ๐ด tidak terhubung,
maka sesuai definisi ๐ด memuat idempoten
pusat ๐ dengan ๐ โ 0 dan ๐ โ 1. Diperoleh
๐ = 1. ๐. 1 = (โ ๐๐๐๐=1 )๐(โ ๐๐
๐๐=1 )
= โ ๐๐๐๐๐๐๐,๐=1 = โ ๐๐๐๐๐
๐๐=1 ,
karena ๐ pusat. Diambil ๐๐ = ๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐ด๐๐,
maka diperoleh
๐๐2 = (๐๐๐๐๐)(๐๐๐๐๐) = ๐๐๐
2๐๐ = ๐๐,
sehingga ๐๐ idempoten dari ๐๐๐ด๐๐. Karena
๐๐ primitif, ๐๐ = 0 atau ๐๐ = ๐๐. Misalkan
๐ผ = {๐|๐๐ = 0} dan ๐ฝ = {๐|๐๐ = ๐๐}. Karena
๐ โ 0,1, jelas ๐ผ โชฬ ๐ฝ sebuah partisi yang
tidak trivial dari {1,2, โฆ , ๐}. Jika ๐ โ ๐ผ,
diperoleh ๐๐๐ = ๐๐๐ = 0, dan jika ๐ โ ๐ฝ,
diperoleh ๐๐๐ = ๐๐๐ = ๐๐. Dengan
demikian, jika ๐ โ ๐ผ dan ๐ โ ๐ฝ, diperoleh
๐๐๐ด๐๐ = ๐๐๐ด๐๐๐ = ๐๐๐๐ด๐๐ = 0.
Secara analog diperoleh juga ๐๐๐ด๐๐ = 0. โ
Dari beberapa sifat di atas dapat
ditarik syarat perlu dan cukup dari suatu
aljabar lintasan terhubung. Telah
ditunjukkan pada Lema 4.7 bahwa {๐๐|๐ โ
๐0} yang merupakan himpunan dari semua
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329 ISSN-p: 2338-0950
Desember 2016 ISSN-e : 2541-1969
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
328
lintasan stasioner ๐๐ = (๐||๐) adalah
himpunan lengkap idempoten-idempoten
ortogonal primitif untuk aljabar lintasan
๐พ๐. Padahal menurut Lema 4.8 dikatakan
suatu aljabar terhubung jika dan hanya jika
himpunan lengkap idempoten-idempoten
ortogonal primitif tidak terpartisi. Dengan
demikian aljabar lintasan ๐พ๐ dari suatu
quiver ๐ merupakan aljabar terhubung jika
dan hanya jika {๐๐|๐ โ ๐0} yang
merupakan himpunan dari semua lintasan
stasioner ๐๐ = (๐||๐) tidak terpartisi. Hal
tersebut hanya akan terpenuhi jika ๐
merupakan quiver terhubung. Lebih
jelasnya akan ditunjukkan dalam teorema
sebagai berikut.
Teorema 4.9 Diberikan ๐ quiver
berhingga. Aljabar lintasan ๐พ๐ terhubung
jika dan hanya jika ๐ quiver terhubung.
Bukti:
(โน) Diketahui ๐พ๐ terhubung. Diandaikan
๐ tidak terhubung, dan misalkan ๐โฒ
komponen terhubung dari ๐. Misalkan ๐"
subquiver penuh dari ๐ yang memiliki
himpunan titik ๐0" = ๐0\๐0โฒ. Jelas bahwa
๐โฒ maupun ๐" tidak kosong. Diambil ๐ โ
๐0โฒ dan ๐ โ ๐0". Karena ๐ tidak
terhubung, maka sebarang lintasan ๐ค di ๐
berada di salah satu ๐โฒ atau ๐". Dipilih
kasus jika ๐ค๐๐ = 0 maka ๐๐๐ค๐๐ = 0.
Kasus yang lain, jika ๐๐๐ค = 0 maka
๐๐๐ค๐๐ = 0. Hal ini menunjukkan bahwa
๐๐(๐พ๐)๐๐ = 0 dan juga ๐๐(๐พ๐)๐๐ = 0.
Dengan Lema 4.8, diperoleh ๐พ๐ tidak
terhubung, sehingga terjadi kontradiksi.
Jadi ๐ adalah quiver terhubung.
(โธ) Diketahui ๐ adalah quiver terhubung.
Diandaikan ๐พ๐ tidak terhubung. Dengan
Lema 4.8, maka terdapat partisi gabungan
terpisah ๐0 = ๐0โฒ โชฬ ๐0" sedemikian hingga
jika ๐ฅ โ ๐0โฒ dan ๐ฆ โ ๐0" maka
๐๐ฅ(๐พ๐)๐๐ฆ = 0 = ๐๐ฆ(๐พ๐)๐๐ฅ. Karena ๐
terhubung maka terdapat ๐ โ ๐0โฒ dan ๐ โ
๐0" yang bertetangga. Tanpa mengurangi
keumuman, terdapat panah ๐ผ โถ ๐ โถ ๐
karena ๐ dan ๐ bertentangga. Akan tetapi
diperoleh ๐๐๐ผ๐๐ โ ๐๐(๐พ๐)๐๐ = 0, terjadi
kontradiksi. Jadi, ๐พ๐ adalah aljabar
terhubung. โ
Dari pembahasan di atas, dapat
disimpulkan bahwa keterhubungan suatu
aljabar lintasan terkait erat dengan
quivernya. Telah ditunjukkan bahwa suatu
aljabar lintasan ๐พ๐ dari suatu quiver ๐
merupakan aljabar terhubung jika dan
hanya jika ๐ merupakan quiver terhubung.
Hasil dari penelitian ini dapat menjadi
dasar untuk penelitian lebih lanjut dengan
mempelajari teori representasi dan kategori.
Sebagaimana disebutkan Savage (2006),
bahwa kategori modul-modul berdimensi
hingga atas aljabar lintasan ๐พ๐ ekuivalen
dengan kategori representasi-representasi
berdimensi hingga dari quiver ๐.
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329 ISSN-p: 2338-0950
Desember 2016 ISSN-e : 2541-1969
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
329
DAFTAR PUSTAKA
Abrams, G., Kanuni, M., 2013, Cohn path
algebras have Invariant Basis
Number. ArXiV: 1303.2122v2.
Alahmadi, A., Alsulami, H., 2014,
Simplicity of the Lie algebra of skew
symmetric elements of a Leavitt path
algebra. ArXiv:1304.2385.
Ara, P., Cortiหnas, G., 2013, Tensor
products of Leavitt path algebras,
Proc. Amer. Math. Soc. 141(8): 2629
โ 2639.
Assem, I., Simson, D. & Skowronski, A.,
2005 Elemens of the Representation
Theory of Associative Algebras,
London Math.Soc Student Text 65.
Cambridge University Press.
Dummit, D.S., and Foote, R.M., 2004,
Abstract Algebra, Third Edition, John
Wiley & Sons, United State of
America.
Hazrat, R., 2013, A note on the
isomorphism conjectures for Leavitt
path algebras, J. Algebra 375 : 33โ
40.
Rodriguez, M.A., Neubauer, P., 2011, A
path algebra for multi-relational
graphs, Proceedings of the 2011
IEEE 27th International Conference
on Data Engineering Workshops,
Vol. April 11-16 : 128-131.
Ruiz, E., Tomforde, M., 2013,
Classification of unital simple Leavitt
path algebras of infinite graphs, J.
Algebra 384 45โ83.
Savage A., 2006, Finite-dimensional
algebras and quivers, Encyclopedia
or Mathematical Physics, 2 : 313-320.
Tomforde, M., 2011, Leavitt path algebras
with coefficients in a commutative
ring, J. Pure Appl. Algebra 215(4) :
471-484.
Top Related