RačunarskaRačunarskagrafikagrafika
predavanjapredavanjav.as.mr. Samir Lemešv.as.mr. Samir Lemeš[email protected]@mf.unze.ba
33. Fraktali33. Fraktali Euklidska geometrijaEuklidska geometrija Šta je fraktal?Šta je fraktal? OsobineOsobine PodjelaPodjela GenerisanjeGenerisanje PrimjeriPrimjeri
EuEukklidlidska gska geometreometrijaija
• KrugoviKrugovi• KvadratiKvadrati
• PravougaoniciPravougaonici• TrapezoidTrapezoidii• PetougloviPetouglovi• ŠestougloviŠestouglovi• OsmougloviOsmouglovi• CilindriCilindri
• TrTrougloviouglovi
Euklidska geometrijaEuklidska geometrija
Može li se opisati priroda Može li se opisati priroda korištenjem Euklidske korištenjem Euklidske geometrijegeometrije?? Drvo pomoću cilindaraDrvo pomoću cilindara????Planine pomoću trouglovaPlanine pomoću trouglova????Oblaci krugovimaOblaci krugovima????LišćeLišće????StijeneStijene????
Euklidska geometrijaEuklidska geometrijaStandardStandardnini obje objekti (napravljeni ljudskom kti (napravljeni ljudskom
rukom)rukom) se mogu predstaviti Euklidskom se mogu predstaviti Euklidskom geometrijomgeometrijom
Opisani su jednačinama (funkcijama)Opisani su jednačinama (funkcijama)Tako se dobiju glatki, pravilni objekti: Tako se dobiju glatki, pravilni objekti:
lopte, poligoni, lopte, poligoni, B-spline B-spline površinepovršinePrirodni objekti (oblaci, lišće, stijene) se Prirodni objekti (oblaci, lišće, stijene) se
bolje modeliraju korištenjem fraktalne bolje modeliraju korištenjem fraktalne geometrijegeometrije
Šta je fraktal?Šta je fraktal?Benoit Mandelbrot, 1982,Benoit Mandelbrot, 1982,
““oblaci nisu lopte, planine nisu konusi, oblaci nisu lopte, planine nisu konusi, obale nisu krugovi, balvani nisu glatki, niti obale nisu krugovi, balvani nisu glatki, niti munje putuju pravolinijskimunje putuju pravolinijski.”.”
ObjeObjekti se predstavljaju kti se predstavljaju procedurama procedurama umjesto jednačinamaumjesto jednačinama
Ponavljanjem procedure Ponavljanjem procedure fraktala dobiju se fraktala dobiju se sve kompleksniji detaljisve kompleksniji detalji
Definicije fraktalaDefinicije fraktalaMandelbrotMandelbrot::Fraktal je metrički prostor za koji je Fraktal je metrički prostor za koji je
Hausdorff-Besicovitch dimenHausdorff-Besicovitch dimenzijazija D D veća veća od topološke dimenzije od topološke dimenzije DTDT
Karakteristika fraktala je neograničen Karakteristika fraktala je neograničen proces ponavljanih transformacija proces ponavljanih transformacija invarijantne geometrijske forme.invarijantne geometrijske forme.
Kako su otkriveni fraktali?Kako su otkriveni fraktali?Henri Poincaré, Henri Poincaré, francuski francuski
matematimatematičarčar, 1887, 1887 – teorija – teorija haosahaosa..
Lorenz Lorenz je 1972. objavio članak je 1972. objavio članak ""Predictability: Does the Flap of Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil set a Butterfly’s Wings in Brazil set off a Tornado in Texas?off a Tornado in Texas?" (Da li " (Da li pokret krila leptira u Brazilu pokret krila leptira u Brazilu izaziva tornado u Teksasu)izaziva tornado u Teksasu)
Senzitivna zavisnost od Senzitivna zavisnost od početnih uslovapočetnih uslova
Kako su otkriveni fraktali?Kako su otkriveni fraktali?Gaston JuliaGaston Julia, početak XX vijeka: , početak XX vijeka:
istraživanja iterativnih funkcijaistraživanja iterativnih funkcija. . Do Do 19601960ih se ništa nije razvijalo ih se ništa nije razvijalo
usljed nedostatka tehnologijeusljed nedostatka tehnologije. . 19701970ih je ih je Mandelbrot Mandelbrot
upotrijebio računare upotrijebio računare da kreira da kreira ""Mandelbrot SetMandelbrot Set"". .
Kako su otkriveni fraktali?Kako su otkriveni fraktali? ZaposlenikZaposlenik IBM IBMaa, Benoit Mandelbrot , Benoit Mandelbrot bio je bio je
matematičar koji je ispitivao fluktuacije cijena matematičar koji je ispitivao fluktuacije cijena pamuka. Bez obzira na način analiziranja, podaci pamuka. Bez obzira na način analiziranja, podaci nikad nisu slijedili normalnu distribuciju.nikad nisu slijedili normalnu distribuciju.
Kad je Kad je Mandelbrot Mandelbrot dobio sve podatke o cijenama oddobio sve podatke o cijenama od 19001900 i analizirao ih pomoću IBM računara, primijetio i analizirao ih pomoću IBM računara, primijetio je da brojevi koji su izazivali odstupanja od je da brojevi koji su izazivali odstupanja od normalne distribucije dovode do simetrije skaliranja.normalne distribucije dovode do simetrije skaliranja.
Sekvenca promjena je bila nezavisna od skale: Sekvenca promjena je bila nezavisna od skale: krivulje za dnevne i za mjesečne promjene cijena su krivulje za dnevne i za mjesečne promjene cijena su se savršeno poklapale. se savršeno poklapale. (James Gleick, Chaos - Making a New Science, pg. 86) (James Gleick, Chaos - Making a New Science, pg. 86)
Osobine fraktalaOsobine fraktalaU svakoj tački fraktala ima beskonačno U svakoj tački fraktala ima beskonačno
mnogo detaljamnogo detaljaPostoji sličnost između dijelova objekata i Postoji sličnost između dijelova objekata i
objekta kao cjelineobjekta kao cjelineDimenzije nisu cijeli brojevi (1D, 2D, 3D)Dimenzije nisu cijeli brojevi (1D, 2D, 3D)NNemaju određenu veličinu ili skaluemaju određenu veličinu ili skalu
Podjela fraktalaPodjela fraktala Samoslični fraktali (Samoslični fraktali (SSelf-similarelf-similar))
Dijelovi su umanjene verzije početnog objektaDijelovi su umanjene verzije početnog objekta DeterministiDeterminističkički ""self-similarself-similar""
Nisu stohastičkiNisu stohastički StatistiStatističkički ""self-similarself-similar""
Sadrže određen stepen slučajnostiSadrže određen stepen slučajnosti
Afini fraktali (Afini fraktali (Self-affineSelf-affine)) Različiti parametri skaliranja u različitim smjerovima Različiti parametri skaliranja u različitim smjerovima
koordinatakoordinata InvariInvarijjantantni setovi fraktalani setovi fraktala
FormFormiraniirani n neelinearlinearnimnim transforma transformacijamacijama
Samoslični fraktaliSamoslični fraktali Dijelovi su umanjene verzije cijelog objektaDijelovi su umanjene verzije cijelog objekta
Polazi se od početnog oblikaPolazi se od početnog oblikaKreiraju se poddijelovi dupliranjem i skaliranjem početnog Kreiraju se poddijelovi dupliranjem i skaliranjem početnog
oblikaoblika Za različite dijelove se mogu koristiti različiti faktori Za različite dijelove se mogu koristiti različiti faktori
skaliranjaskaliranja PrimjerPrimjer: von Koch : von Koch pahuljicapahuljica
Mogu se uvesti i slučajne varijacijeMogu se uvesti i slučajne varijacijeTTii fra frakktaltalii susu “statisti “statističkički samosličnisamoslični””
Koriste se za modeliranje drveća, lišća,...Koriste se za modeliranje drveća, lišća,...
Von Koch Von Koch pahuljicapahuljica
Počne se sa inicijatoromPočne se sa inicijatorom::
II generator generatoromom::
Kod svake iteracije, mijenja se svaki komad Kod svake iteracije, mijenja se svaki komad inicijatora generatorominicijatora generatorom
Dimenzija Von Koch Dimenzija Von Koch fraktala: fraktala: 11,,261859507261859507
Von Koch Von Koch pahuljicapahuljica IteraIteracijacija 3: 3:
Helge von Koch, švedski matematičar 1870 - 1924
StatistiStatističkički samoslični fraktalisamoslični fraktaliSSamosličniamoslični fra frakktaltalii kod kojih se vrše kod kojih se vrše
slučajne varijacije na poddijelovimaslučajne varijacije na poddijelovima
InvariInvarijjantantnini setovi fraktalasetovi fraktalaFormFormiraju se neiraju se nelinearlinearnimnim transforma transformacijamacijama
Mandelbrot SetMandelbrot Set
IteraIteracijacija kkompleompleksneksne funkcijefunkcijeBoja tačke u prostoru se bira na osnovu Boja tačke u prostoru se bira na osnovu
brzine divergencije funkcije u toj tačkibrzine divergencije funkcije u toj tačkiU setu su i tačke koje ne divergirajuU setu su i tačke koje ne divergirajuSSet et se obično počinje sa se obično počinje sa
crnom bojom, a zatim se crnom bojom, a zatim se brzina divergencije boji brzina divergencije boji bojama iz spektrabojama iz spektra
czzCCfc 2;:
Mandelbrot SetMandelbrot Set
Benoît Mandelbrot, matematičar
Rođen 1924. u Poljskoj, školovan u Francuskoj, živi i radi u SAD
IzračunavanjeIzračunavanje Mandelbrot Mandelbrot ssetetaaZa svaki piksel na ekranu: {
x = x0 // x koordinata piksela y = y0 // y koordinata piksela x2 = x*x y2 = y*y iteration = 0 maxiteration = 1000 while ( x2 + y2 < (2*2) AND iteration < maxiteration ) {
y = 2*x*y + y0 x = x2 - y2 + x0 x2 = x*x y2 = y*y iteration = iteration + 1
} if ( iteration == maxiteration )
color = black else color = iteration
}
Generisanje fraktalaGenerisanje fraktala FFrarakktal tal se se genergeneriše uzastopnim ponavljanjem iše uzastopnim ponavljanjem
određene određene transformatransformacijecije TTransformaransformacija se može primijeniti na set cija se može primijeniti na set
tačaka, tačaka, set primitivset primitivaa (lin (linijeije, , krivuljekrivulje, , bojeboje,, itd itd.), .), li na bilo šta drugoli na bilo šta drugo
TeoretTeoretskiski, procedur, proceduraa sese primjenjuje primjenjuje beskonačno mnogo putabeskonačno mnogo puta
PraPrakktitično se vrši iteracija konačan broj puta, čno se vrši iteracija konačan broj puta, do određene granicedo određene granice..
FraFrakktaltalnene planineplanine
Planina u daljini
Bliži pogled
Još bližeŠto se više približimo, vidi se više detalja
FraFrakktaltalne planinene planine
Počinje se od Počinje se od osnovnog oblika osnovnog oblika planineplanine
Dijele se rubovi oblikaDijele se rubovi oblika Nepravilno izmiješati Nepravilno izmiješati
nove vrhovenove vrhove RReekurzivno kurzivno
ponavljanjeponavljanje 2D 2D za obaleza obale 3D 3D za planineza planine
PraPrakktitična upotreba fraktalačna upotreba fraktala Računarski sistemiRačunarski sistemi (Fra(Frakktaltalnono arhiv arhiviranjeiranje, , kkompresompresija slikeija slike
bez pikselacijebez pikselacije)) Mehanika fluidaMehanika fluida
ModulaModulacijacija turbulent turbulentnog tokanog toka ModulaModulacija plamenih jezikacija plamenih jezika PoroPorozni materijali imaju fraktalnu strukturuzni materijali imaju fraktalnu strukturu
TeleTelekkomuniomunikkaacijecije (anten(antenee fra frakktaltalnog oblikanog oblika)) Fizika površinaFizika površina ((za opisivanje zakrivljenostiza opisivanje zakrivljenosti)) MedicinMedicinaa
Interakcija bInterakcija bioseniosenzorazora Otkucaji srcaOtkucaji srca
BiologBiologijaija ((opis modela populacijeopis modela populacije))
Top Related