8/19/2019 Movimento Do Projectil
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2ª Parte
O movimento a duas
dimensões
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O movimento a duas
dimensões Usar o sinal + e – não é, muitas vezes,
sufciente para descrever totalmente omovimento a mais do que uma dimensão Os vectores podem descrever totalmente o
movimento Continuamos interessados em conecer o
deslocamento, a velocidade e a acelera!ão "sta an#lise servir# para a descri!ão de
diversos tipos de movimento em matériasposteriores
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Posi!ão e deslocamento $ posi!ão de um
o%&ecto é descrita
pelo seu vectorposi!ão r O deslocamento do
o%&ecto é defnido
como a suamudança de posição
'r ( r) * ri
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deias erais so%re o
movimento -a an#lise cinem#tica a duas ou tr.s
dimensões, as )/rmulas são
semelantes 0 an#lise a umadimensão, com e1cep!ão de quenecessitamos de usar a nota!ão
vectorial O sinal positivo e neativo não ésufciente para determinar a direc!ão
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"qua!ões cinem#ticaspara o movimento a duasdimensões uando o movimento a duas
dimensões tem acelera!ão
constante, podem*se desenvolveruma série de equa!ões quedescrevem o movimento
"stas equa!ões são semelantes0s equa!ões cinem#ticas a umadimensão
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"qua!ões cinem#ticas, 3 4ector posi!ão
4elocidade
Partindo do princ5pio que a acelera!ãoé constante, podemos defnir avelocidade em )un!ão do 6 vf ( vi + at
ˆ ˆ x y= +r i j
ˆ ˆ x y
d v vdt
= = +rv i j
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"qua!ões cinem#ticas, 2 O vector posi!ão tam%ém pode ser
e1presso em )un!ão do tempo6rf ( ri + vit + 7 at 2
$ e1pressão indica que o vectorposi!ão é a soma de tr.s vectores 6
O vector posi!ão inicial O deslocamento resultante de vi t O deslocamento resultante de 7 at 2
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"qua!ões cinem#ticas, 8 $s equa!ões para a velocidade fnal e para
a posi!ão fnal são equa!ões de vectores,
por isso devem poder ser escritasdecompondo nos seus Ou se&a, o movimento a duas dimensões
com acelera!ão constante pode ser
equivalentes a dois movimentosindependentes Um movimento na direc!ão * 1 e outro na
direc!ão * 9
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"qua!ões cinem#ticas, : vf ( vi + at torna*se em
v xf ( v xi + a x t e v yf ( v yi + a y t
rf = ri + vi t + 7 at 2 torna*se 1f ( 1i + v xi t + 7 a1t 2 e 9f ( 9i + v yi t + 7 a y t 2
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;al5stica Um o%&ecto pode mover*se
simultaneamente nas direc!ões 1 e
9 O tipo de movimento a duas
dimensões com que vamos lidar,
camamos de movimento doprojéctil Podendo ou não utilizarmos um pro&éctil
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Princ5pios do movimento
de pro&ecteis $ acelera!ão g na queda livre é
considerada constante
" é direccionada para %ai1o O e)eito do atrito é dsprez#vel $ssim, um o%&ecto com o movimento
do pro&éctil, defne no seumovimento uma par#%ola
"s9te percurso é camado trajectória
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4erifca!ão da tra&ect/ria
para%/lica,3 "scola do sistema de re)er.ncia
y é vertical com a tra&ect/ria para
cima positiva Componentes da acelara!ão
a y ( * and a x ( <
Componentes da velocidade inicial v xi ( vi cos θ and v yi ( vi sin θ
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4erifca!ão da tra&ect/ria
para%/lica,2 =eslocamentos
x f ( v xi t ( >v i cos θ ) t y f ( v yi t + 7a y t 2 ( >v i sin θ )t * 7 gt 2
$ com%ina!ão das equa!ões d#6
Ou se&a, est# na )orma y ( ax – bx 2 que é a )/rmula da par#%ola
( ) 22 2
tan2 cos
i
i i
g y x x
v
θ θ
= − ÷
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=iarama do movimento
do pro&éctil
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?ovimento do pro&éctil –
mplica!ões $ componente 9 da velocidade é
zero quando a altura do pro&éctil é
m#1ima $ acelera!ão mantém*se constante
durante a tra&ect/ria
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$lcance e m#1ima altura
de um pro&éctil uando analisamos o
movimento de um
pro&éctil, temos duascaracter5sticas deinteresse especial
O alcance, R, é adist@ncia orizontal
entre o lan!amento ea queda do pro&éctil $ m#1ima altura que
o pro&éctil alcan!a é h
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$ltura de um pro&éctil,equa!ão
$ m#1ima altura que um pro&éctilpode alcan!ar em )un!ão da sua
velocidade inicial é6
"sta equa!ão s/ é v#lida nomovimento simétrico
2 2sin
2
i ivh g
θ =
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$lcance de um pro&éctil,equa!ão
O alcance de um pro&éctil pode sere1presso em termos da sua
velocidade inicial por6
A/ é v#lido para uma tra&ect/riasimétrica
2sin2
i iv
R g
θ =
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$lcance de um pro&éctil,inclina!ão
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$lcance de um pro&éctil,fnal
O m#1imo alcance ocorre para θ i (:Bo
nulos complementares dãooriem ao mesmo alcance $ altura m#1ima ser# di)erente para
cada um dos @nulos complementares O tempo de voo ser# di)erente para
cada um dos @nulos
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?ovimento do pro&éctil –Desolu!ão de pro%lemas
Aeleccione um sistema de coordenadas "quacione a velocidade inicial em
termos das suas componentes 1 e 9 $nalise o movimento orizontal usando
técnicas com a velocidade constante $nalise o movimento vertical usando
técnicas com a acelera!ão constante Eem%re*se que as duas direc!ões tem o
mesmo tempo de percurso
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?ovimentos de pro&éctilnão simétricos Aia as reras erais
para o movimento dopro&éctil
=ivida a direc!ão 9em duas partes Para cima e para
baixo, ou $ parte simétrica em
rela!ão 0 alturainicial e an#liseposterior do resto dopercurso
Os movimentos podemser não simétricos demuitas outras )ormas
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