HAL Id: tel-00284999https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00284999

Submitted on 4 Jun 2008

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Modèle physique discret et systèmes différentiels: versl’élaboration d’un simulateur cellulaire

Alexandre Carra

To cite this version:Alexandre Carra. Modèle physique discret et systèmes différentiels: vers l’élaboration d’un simulateurcellulaire. Modélisation et simulation. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2008. Français. tel-00284999

❯❱ P ❯

ttré ♣r ♦tèq

♣♦r ♦t♥r r

❯ ❯❱ P ❯

♣été ♦ès t ♥str♠♥ts ♥ é♥ t ♥ ♦♦

♣ré♣ré ♦rt♦r

♥s r ♦ ♦t♦r ♥é♥r ♣♦r ♥té ♦♥t♦♥ t

♥r♦♥♥♠♥t

♣rés♥té t s♦t♥ ♣q♠♥t ♣r

①♥r

r

♦è ♣②sq srt t s②stè♠s ér♥ts rs

é♦rt♦♥ ♥ s♠tr r

s♦s rt♦♥ ♥♦s t ♠♠♥ P❨

❯❨

Prr Prés♥t

③ ♣♣♦rtr

♥ ♣♣♦rtr

② ❲❯❨ ①♠♥tr

♥♦s rtr tès

♠♠♥ P❨ ♦rtr

t rr ♥ ♠♦♥t♥ ♦♠♠♥ ♣r s

♦♥s

♠r♠♥ts

❯♥ tès st ♥ tr ♦♥ ♥ ♣r♦s t ♥rt♥ ♠s ssré

♠♥t st♠♥t t ♥rss♥t q ♠♣q ♣rés rss ♣rs♦♥♥s

r♦♥♥ss♥ t♦t ♦r à ♥ t ♥♦s ♣♦r ♠♦r ♥ré ♣s

♠♦♥ ♦s ♦♣ à r s♦r r tr s♥tq t r s♣♦♥té

r♠r é♠♥t s ♠♠rs ♠♦♥ r② ♥ ♦♥t t ③ rt ♣♦r

♦r ♣té r♣♣♦rtr ♠♦♥ tr ② ❲♥♥♥s② ♣♦r ♦r ①♠♥é t

Prr ♦♥♥r ♣♦r ♠♦r t ♦♥♥îtr ♦♠♥ rr

♥ trr ♥s ♥ ♥r♦♥♥♠♥t ♦ù ré♥♥t ♦♥té t ♦♥♥

♠r râ à ♥é ♦ ♠s é♠♥t ① ér♥ts ♣rs♦♥♥s ♣ssés ♦

♣rés♥ts éq♣ r♥ ♥t♦♥ é♥ rst♦♣ ♦ ♦r♥♥

♥ r♥ç♦s ♦ ♦♥t♥ ♥r♦s r r ♥

r♥ ést♥ ❨♥♥ ❩ ♦s ♥ r♦♥♥ss♥ ♣rtèr à ♥♥ ♣♦r

♠♦r s♣♥sé s ♦♥ss ♥ r♥ r

t♥s ♥♦r à r♠rr ♠ ♠ t ♥♦t♠♠♥t ♠ ♠♠♥ ♣♦r rtr ♠♦♥

♠♥srt ♠s ss ♣♦r t♦t rst ❯♥ ♦♦ é♠♥t à ♣ ♣♦r s♦♥ s♦t♥

t P♦r ♠♦r ♣r♦é ♥♦r♠♥ts t sêtr é♣és sqà r♥♦ ♦r

♠ s♦t♥♥ s ♥s t Ptr

♥♥ tr ♥rt ♣s ♦t s♦s qq ♦r♠ q s♦t s♥s ♣rés♥

q♦t♥ rtt P♦r ①♣r♠r ♠ rtt ♣r♦♣r♠♥t ♠ rt r♠♣r

♥ ①è♠ ♦♠

s ♠tèrs

♥tr♦t♦♥ é♥ér

♦♥t①t ♦♦q

♥tr♦t♦♥

r♥st♦♥ é♥ér r②♦t

②t♦sqtt

s ♠♥ts t♥

s ♠r♦ts

s ♠♥ts ♥tr♠érs

♦tté r

①t♥s♦♥ ♠♠r♥

ér♥ sstrt

ét♠♥t rrèr

♦rs ♣r♦trss t ♦♥trts

♠♦t① t ♣t♦t①

♦♥s♦♥

♦ést♦♥

♥tr♦t♦♥

♦ès ♠é♥qs

♣♣r♦ ♣r ♠♦ès ♦♥t♥s

♣♣r♦ ♣r ♠♦ès srts

♦sss é♦rs

♦ès t♥sérté

s ♠tèrs

♦ès ♣r♦t♦♥

♦ès sstr♥st♦♥

♦ès ♠♦tté r

r t ♠♦♠♥t ♦t s

♣♣r♦ ♣r t♦♠ts rs

♦ès ♥trés

♦ès ♦♥t♥s

♦♠♥t ♥ s

♦♥s♦♥

❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è ♣②sq srt

♥tr♦t♦♥

tt rt s ♣♣r♦s srèts

♦ès ♠

és① ♠sssrss♦rts

és① ♣rts

♦♥s♦♥ sr s ♠♦ès ♠

♦ès s♥s ♠

②stè♠s ♣rts

ét♦s ♠sr

♦♥s♦♥ sr s ♠♦ès s♥s ♠

♦♥s♦♥

sr♣t♦♥ ♠♦è

Prés♥tt♦♥ é♥ér

r♥st♦♥ t é♦♠étr

♦rs t ♦♥tr♥ts

②♥♠q

ér♥ts ♦ts

t éstq

t ♠sr

t r

♦♥tr♥ts

s ♠tèrs

♦♥trô ♦♠

♦r♠♥t ♥tr ♦ts r t éstq

♠t♦♥s

①♣ér♠♥tt♦♥s

sr♣t♦♥

éstts

sss♦♥

♦♥s♦♥

①t♥s♦♥ ♠♦è

♥tr♦t♦♥

t ①st♥t

t r

stté t ♦♥trtté

♦♠♥t r

trtr ♣r♦trs t rs t♦♠②♦s♥

r ♦♥tt

♦è t ♠ét♦s♠ r

♦tèq s

♦♣ ♦tèq s ♠♦è

♥tr♦t♦♥

♥ t s②stè♠ ér♥t

♥trt♦♥s ♠♦è

①♠♣s

①♣ér♠♥tt♦♥s

♥tr♦t♦♥

②stè♠ ⇒ ♦è

♦è ⇒ ②stè♠

♦♥s♦♥

♦♥tts ♦♥ts

♥tr♦t♦♥

s ♠tèrs

tt rt

étt♦♥ ♦s♦♥s

étt♦♥ r♦ssèr

étr♠♥t♦♥ s ♦♥tts

é♣♦♥s ① ♦s♦♥s

♦♥s t és rt

②♥♠q ♣♦♣t♦♥ és rt

♦rt♠ é♥ér

♦rs ♥ ♣rés♥

①♣ér♠♥tt♦♥s

P s♣èrs

ts ♥♦♥ s♣érqs ♥ ♦♥tt

♦♥ r♦♥t

♦♥tts ♥tr s

♦♥s♦♥

♣♣t♦♥s ♥ ♦♦ r

♥tr♦t♦♥

ét♦♥s♦♥

♥tr♦t♦♥

♠♦t①

t sstrt

s♦♥

r♥t ♦♥♥trt♦♥

Pér♦ rértr

és♥sst♦♥

éstts

♣t♦t①

s t sstrt

s♦♥ ♠♦é

éstts

és♦♥ t ♠♦tté r

s ♠tèrs

ttt ②t♦sqtt t ♦♥

②♥♠q r

éstts

Pr♠èr ①♣ér♥ s♦r s♥ ①

①è♠ ①♣ér♥ s♦r s♥ ♥ ♠♦♠♥t

♥trt♦♥s ♦♥tt

rét♦♥ s

sr♣t♦♥

éstts

s♦♥ t tr r

sr♣t♦♥

éstts

♦♥s♦♥

♦♥s♦♥ é♥ér

♥♥①s

Pr♥♣ ♥

♦r♣

♥tr♦t♦♥ é♥ér

s ♦r♥s♠s s é♦♣♣♥t ♣r ♥trt♦♥s ♦♠♣①s ♥tr ♥ r♥

♥♦♠r ♦♠♣♦s♥ts ér♥ts s r♥rs s♦♥t ①♠ê♠s ♦♥sttés éé♠♥ts ♣s

♣tts ♦♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q st t♦♥♦♠ t s♣éq P♦rt♥t ♦rsq s

éé♠♥ts s♦♥t ♦♠♥és s♥ ♥tés strtrs ♣s r♥s ts ♥ ♦

♥ tss s ♣r♦♣rétés ♥tt♥s ♣♣rss♥t ♦♠♠ ♣té s é♣r t

♥r ♦r♠

s ♠♦♠♥ts t s é♦r♠t♦♥s s s ttr♥t ♦r tt♥t♦♥ ♥♦♠

r① s♥tqs t ♦♥t été r♠♥t étés s r♥èrs ♥♥és t ttrt ♣t s

♦♥♦r s ♦♥ ♦♥sèr rété ♣r♦sss ♦♦qs ♦♥r♥és ♠r②♦♥ès

s♣♣rss♦♥ ♥ts ♥t① ♥♦♥ès ♦ ♥ ♥♦r trst♦♥ s ♣s

♥♦♠rss ♠s s♦♥t é♠♥t ♠♣qés ts q ♥r t rtr♦s

s ♠é♥s♠s ♣②s♦♠qs s♦s♥ts s♦♥t r① ♥s s ♣r♦sss é

♦♣♣♠♥t ♣②s♦♦qs t ♣t♦♦qs s tr① ré♥ts sèr♥t ♣r ①♠♣

q ss♦t♦♥ t♥ à rt♥s ♣r♦té♥s st à ♦r♥ ♠s ♥r♦éé♥érts

♥s q s é♥s ♣t♦♣②s♦♦qs ❬❲❪ rt♥s réstts ♦♥t é♠♥t

é♠♦♥tré ♥ ♥ très ♦rt ♥tr rttr s ♥r♦♥s ♠♦r♣♦♦ ♥♠♥t

♦r♠s ♣♣rt♦♥ t ♠♦t♦♥ ♥♦s strtrs t s ♣r♦sss ♣♣r♥ts

s ❬❨❪ s ♥♠♥ts ♠♦r♣♦♦ s♦♥t s♦s é♣♥♥ t♥ ❬❨❪

♣♦♥t ♦♦q st é♥t q s rét♦♥s ♠qs s♦♥t ♦rt♠♥t ♠

♣qés ♥s s ♠♦♠♥ts t é♦r♠t♦♥ r st s ♥ ♣rtr

rét♦♥ t♥ q t ♥tr♥r s rét♦♥s ♠qs ♥ s ❬♦❪ s

s♥① ①trrs ♥♥♥t ♦rs tr s ré♣trs ♠♠r♥rs q r♥t

♥st ♥♦r♠t♦♥ à ♥ sér trs ♥trrs s ♦♥t♦♥s s②stè♠

♥r① é♣♥♥t rttr ♦♠♣① ♥ rés ♥r♦♥s tt ♦♠♣①té

♥tr♦t♦♥ é♥ér

♣r♦♥t ♥tr trs ér♥tt♦♥ s ♥r♦♥s ♦♥t ét♣ ♥t st ♥

rt♦♥ès é♠♠♥t s tr① ♦♥t ♠♦♥tré ♠♣♦rt♥ ♥s s ♣r♦sss

rét♦♥ ②t♦sqtt t♥ r♦ss♥ ♥♦s é♣♥s ♥rtqs

♥s q ♠s ♥ ♣ s②♥♣ss sr s é♣♥s ❬❪

s ♥és ré♥ts ♦♦ ♦♥t éé s q♥ttés ♣é♥♦♠é♥s ♦♥♥és

♥♦t♠♠♥t râ ① ♣r♦rès s♣trs s ♠ét♦s ♥stt♦♥ ♣r ①♠♣

♣♣r♦ ♣r♦té♦♠q ♦ é♥♦♠q ♣♣r♦ ♣r ♠rqrs ♦rs♥ ♠

♥♣t♦♥ rt s srs t é♥♠♦♥s s ♥♦r♠t♦♥s s♦♥t sttqs t ♥

♣♥t ♦♥ ♣rét♥r ①♣qr s ♥trt♦♥s ♥tr ♠♦és rs♣♦♥ss ②♥

♠q s ♣r♦sss rs ♣s st s ♦♥♥ss♥s ♦♦qs ♦t♥s s♦♥t

♥♦r très s♦♥t ♥♦♠♣èts ♣t s①♣qr ♣r ♦♠♣①té s ♣r♦sss

♠♣qés ♠qs ♠é♥qs t ♣r ♣tt t s ♦♠♣rt♠♥ts rs

q r♥ ①♣ér♠♥tt♦♥

♥s ♦♥t①t ♠♦ésr ②♥♠q t s ♥trt♦♥s s♦♥

♥r♦♥♥♠♥t s♠ ♥éssr ♣♦r ♣r ① ♠ts s♣rt ♠♥ ♥♣

sr t ♣rér ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ r♥ ♥♦♠r rs t ♠é♥s♠s

tr ♣rt s♠t♦♥ s ♣r♦sss ♥s ♥ ♥ ♣r♠tt♥t ♣résr s

ér♥ts ♦♥tr♥ts ♥ t s ♠é♥s♠s ♠♣qés r♣rés♥t ♥ ♦t ♣ré①

♣♦r ①♣♦rr s stt♦♥s q ♥st ♣s ♣♦ss étr ①♣ér♠♥t♠♥t

♦rs s r♥èrs ♥♥és ♥♦♠r① tr① ♦♥t été ♣r♦♣♦sés ♣♦r ♠♦ésr

♠♦♠♥t t é♦r♠t♦♥ r Pr♠ s ♣♣r♦s s s②stè♠s éqt♦♥s

ér♥ts ♦♥stt♥t rt♥♠♥t ♦r♠s♠ ♣s tsé ♥ ♣rtq ès q

①♣rss♦♥ ♠té♠tq s ♦♥t♦♥s sért s s♠♣ qst ♦♠♥s♦♥

♥ér s rs st ♣rsq ♠♣♦ss tr♦r s♦t♦♥ ♥②tq s②stè♠

t ♦tr s tés és ① rt♦♥s é♦♠étr ♥s t♠♣s

st ♦♥ ♥éssr r♦rr à s♠t♦♥ q ♦♥sst à r à ♠ét♦s

♥♠érqs ♦♠♠ ♣r ①♠♣ ♠ét♦ s éé♠♥ts ♥s s rs ssss

♥s t♠♣s s ér♥ts rs ♦♥sérés ♣♥♥t s ♦♥ ♦♥sèr ♥ ♣♦♣

t♦♥ ♦r♣s ♥ ♥trt♦♥ s♠t♦♥ s éqt♦♥s rést♥ts s ♦rt♠s

♥♠érqs ♥ésst s rsss♦rs ♠♣♦rt♥ts ♥ tr♠s ♠é♠♦r t s

♣s ♦♣ ♣r s ♠ét♦s ♥♠érqs ♥tr s rét♦♥s ♠qs t ②

♥tr♦t♦♥ é♥ér

♥♠q ♦r♣s rt♥t s rét♦♥s ♠r t♠♥t ♣rsq ♠♣♦ss s

éqt♦♥s ér♥ts s♦♥t ♦♥és sr ②♣♦tès ♥ ♠ ♦♠♦è♥ s♥

r ♠ r ♥st ♣s ♦♠♦è♥ st ♦rs ♥éssr ♥tr♦r

s rs s♣ts ♣♦r t♥r ♦♠♣t tt étér♦é♥été q ♦♥♥ à s

éqt♦♥s ér♥ts ① érés ♣rts ♣s s à rés♦r q s éqt♦♥s

ér♥ts ♦r♥rs

♣♣rît r♠♥t q♥ t s ♣r♦sss q s② ér♦♥t ♣♥t êtr érts

♣srs ♠♥èrs à s ♥① éts rs ♥ q ♣♣r♦ ♦♥t♥ s♦t

♣rt♥♥t à ♥ ♥ ♠♦ér ❬∗❪ st tr♦♣ ♦♠♣① ♣♦r r♥r ♦♠♣t

②♥♠q ♥ ♦ tsss ♦♦qs ♥ ♣t ♦rs s♠♣r s♦♥ ♣

♣r♦ ♥ ♦♣t♥t ♥ ♣♦♥t ♣é♥♦♠é♥♦♦q st ♣r ①♠♣ ♣♦ss

r♥r ♦♠♣t s ♥trt♦♥s q ♦♥t ♦rsq♥ r♦ sr ♥ sr ♥

ré♥tétrs♥t s ♥s ♥tr s ♣r♦té♥s t tt sr s♥s ♦r r♦rs à

♦rs s ❬❪ ♦t♦s ♥ sr♣t♦♥ ♣é♥♦♠é♥♦♦q ♣r♠t

♠♥t ♥ t♦♥ rt t ♥trt ♥ é♥t tst♦♥ s s♠t♦♥s ♣♦r ♥

♣♣t♦♥ ①♣ér♠♥t

tr tès s ♦♥♥ ♣♦r ♦t ♦♥♦r ♥ s♠tr r st♥é

① ♦♦sts ésr① tstr ♦ér♥ s ♦♥♥és t s ♦♥♥ss♥s t ♦t

s t ♥ ♣♦r s ♦♦sts ♦♠♠ ♣t êtr ♥ s♠tr rr ♣♦r s

♥♥s tr♠♥t t ♥♦s ésr♦♥s ♣♣♦rtr ♥ ♣♣r♦ ②♥♠q ♥ tr♦s ♠♥

s♦♥s ♣♦r ♠♦ést♦♥ s②stè♠s ♦♦qs ♥ ♦♠♥♥t s ♠é♥s♠s ♦r♥

♣②sq rs éstté r ②♥♠q ②t♦sqtt rét♦♥s ♠qs à

ér♥ts és t♠♣s s♦♥ à ♠♥t t s♣ ♣s ♥térr

♥érr à ♠r♦♥ sqà ♥ ♣♦♣t♦♥ s s♣érr à ♥

t♠ètr é st étr ♥ rt♦♥ ①♣t ♥tr s rét♦♥s ♠qs érés

♣r t ②♥♠q s♦♥ ♠♦♠♥t t♦t ♥ ♦♥sér♥t s s♥① ①tr

rs ♦s ♥♦s ♥térss♦♥s é♠♥t ① ♦s ♥trt♦♥ ♥tr ♦ts ♦♦qs

t ♥♦s tt♦♥s à érr ér♥ts t②♣s ♦♥tts sstrt

r é♦t♦♥ ②♥♠q ss♠♥t r♦♠♥t t s ♦♥séq♥s sr rttr

♦ tss ♦♠♠ s♦♥t rrt ♠♦♥ ♥s s ♥♥és s♦①♥t①

❬♠❪ ♦♥ ♥ ♦♥strt ♣s ♥ ♠♦è q♥ ♦♥ ♦♠♣rs s②stè♠ ♦♥ ♦♥strt ♥

♥tr♦t♦♥ é♥ér

♠♦è ♣♦r ♦♠♣r♥r s②stè♠ tt r♠t♦♥ trt ért ♠♦tt♦♥

tr tès q ♥ ♥ ♣♦rrt êtr tsé ♣♦r ♣rér s ♦♠♣♦rt♠♥ts

rs ♦ sérr ♥♦s ①♣ér♥s

♥s ♥ ♣r♠r ♣tr ♥♦s ♣rés♥t♦♥s rè♠♥t rttr r ♥s

q s tr♦s ♦♠♣♦s♥ts ②t♦sqtt rr r strtr r ②♥♠q

t rs ♦♥t♦♥s ♦s ♦r♦♥s ♥st st ♠rt♦♥ r ♣r♦s

ss ♦♦q ♦♥stt ♥ ② ♦♠♣♦sé qtr ét♣s ♥ ♥tr s ♦♥♥♥t

♣rét①t à ♥ st♦♥ ♥♠♥t ♥♦s ①♣q♦♥s s ♣r♥♣① ♠é♥s♠s q ♥tr

♥♥♥t ♥s ♠♦t①

①è♠ ♣tr t ♥ t♦r ♦r③♦♥ s ér♥ts ♣♣r♦s ♦♦qs ♠

♣qés ♥s ♠♦ést♦♥ ♦s trt♦♥s ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s s

♠♦ès q r♥♥t ♦♠♣t ré♣♦♥s ♠é♥q r ① r♥s ♣♣r♦s

s♦♥t st♥és ♣r ♠♦ès ♦♥t♥s t ♣r ♠♦ès srts s♥ tt

r♥èr té♦r ♥♦s ♣rés♥t♦♥s ♥♦t♠♠♥t s s②stè♠s sés sr ♥ ♣r♥♣ r

ttr t♥sérté ♥s ♥ ①è♠ t♠♣s ♥♦s trt♦♥s s ♠♦ès ♠♦tté

r trrs tr t ♠♦♠♥t ♦t s ♥ ♣rt t tr ♣rt

♠♦♠♥t ♥ s ♦s ♥ss♦♥s ♣tr ♥ é♥t s ♣r♥

♣① ♦ts tt tès à ♣rtr ♥②s s ér♥ts ♣♣r♦s ♣rés♥tés

tr♦sè♠ ♣tr ét ♣r ♥ étt rt s ♣♣r♦s srèts ①st♥ts

♣♦r s♠t♦♥ ♦ts é♦r♠s ① té♦rs s♦♥t ♦rs étés ♦♥és sr

♣rés♥ ♦ ♥♦♥ ♠ ♠♦è tsé ♦rs tt tès st ♥st ♣ré

s♥té s♦♥ ss s♣ts ss♥ts ♥ sttr ♥ ♣rtr sr st♦♥ éstté

♣r ♥ ♣r♥♣ à ♠é♠♦r ♦r♠ t sr ♠ét♦ ♠s ♥ ♦r ♣♦r r ♦ts

rs t éstqs ♥s ♥ r♥r ♣rr♣ ♥♦s ét♦♥s s ①♣ér♠♥tt♦♥s

résés ♣♦r ér qtt♠♥t ♠♦è

♥s qtrè♠ ♣tr ♥♦s s♦♥s t♦t ♦r ♥ ♥②s ①st♥t q

♥♦s ♦♥t à ér s ①s tr st ♥s q ♥♦s ♦♥s ♠♣é♠♥té ♥

♥tr♦t♦♥ é♥ér

♥♦ t②♣ ♦t ♦t r q ♣r♠t à ♦♥sttr ♥ ♥tté

♥ é♥ s♥ ♥♦tr ♣♣r♦ s ér♥ts ♣r♦♣rétés ♦♥t ♦t tr♦

sè♠ st♦♥ ♣tr ♣rt s♥t trt q♥t à tr résé ♣♦r

t♥r ♦♠♣t ♠ét♦s♠ r ② st qst♦♥ ♥ ♣rtr ♦tèq

s t s♦♥ ♦♣ ♠♦è ❯♥ sér tsts ♣r♠s r

♦♣ s s♦♥t érts à ♥ ♣tr

♥qè♠ ♣tr ét ♠ét♦ ♣r♦♣♦sé ♣♦r ♣♣♦rtr ♥ ré♣♦♥s à

♦s♦♥ ♥tr ♦ts é♦r♠s ♠ét♦ é♦♣♣é ♦♥♥ ♣♦ssté ♠♦é

sr ♣srs t②♣s ♦♥tts ss♥t ♦♥t t ♣r♠t s♠t♦♥ rs étts

ér♥ts ♣rès ♥ étt rt t ♥ sr♣t♦♥ ♦rt♠ étt♦♥ ♥♦s

ét♦♥s s♦t♦♥ ♣♣♦rté ♣♦r ré♣♦♥r ① ♦s♦♥s ♥ ♣rtr ♥♦s ♥sst♦♥s

sr s ♣♦♥ts ♦r♥① ♥♦tr ♣♣r♦ q s♦♥t s ♦♥s t s éss rts

♥s r♥r ♣tr ♥♦s ér♦♥s s s♠t♦♥s tés ♦rs

tr tès ❯♥ ♣r♠èr st♦♥ ♣rés♥t s ①♣ér♥s ②♥t trt à ♠♦t①

t à ♣t♦t① ① ♣r♦sss ss♥ts ♥ ♦♦ r ①è♠ st♦♥

♠♦♥tr s tr① ♣♦rt♥t sr ②♥♠q é♦r♠t♦♥ r ♦rs s♦♥

♠♦♠♥t ♦♥ s ♣ à ♥ é ♣s ♠r♦s♦♣q ♥ ♦r♥t strtr

♥tr♥ ②♥♠q ♥♠♥t s s♠t♦♥s rts ① ♥trt♦♥s

♦♥tt s♦♥t ♣r♦♣♦sés ♥ ♣rtr ♥♦s r♥♦♥s ♦♠♣t ♣r♦sss rét♦♥

s t tr r

♣tr

♦♥t①t ♦♦q

♦♠♠r

♥tr♦t♦♥

r♥st♦♥ é♥ér r②♦t

②t♦sqtt

♦tté r

①t♥s♦♥ ♠♠r♥

ér♥ sstrt

ét♠♥t rrèr

♦rs ♣r♦trss t ♦♥trts

♠♦t① t ♣t♦t①

♦♥s♦♥

♥tr♦t♦♥

♥s ♣tr ♥♦s ♥tr♦s♦♥s ♦♥t①t ♦♦q ♥s q s♥srt tt

tès ♣rès ♥ r♣♣ sr sr♣t♦♥ ♦ ❬♦ r❪ ♣

rr♣ ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s ②t♦sqtt t ss tr♦s s♦s rés① ♣r♦téqs ♥s

rs s♣ts ♠♦r♣♦♦qs t ♦♥t♦♥♥s ♣rr♣ ♥s st♦♥ s♥t

♥♦s étr♦♥s s qtr s♣ts ♠rs ♦♥r♥♥t ♠♦tté r à s♦r ①

t♥s♦♥ ♠♠r♥ ♣rr♣ ér♥ sstrt ♣rr♣

♣tr ♦♥t①t ♦♦q

ét♠♥t rrèr ♣rr♣ t rô ♦é ♣r s ♦rs ♣r♦tr

ss t ♦♥trts ♣rr♣ ♦s ♥♦s ttrr♦♥s ♥st sr ♠♦t①

♥ ♣r♦sss ss♥t ♥ ♦♦ ♣rr♣ ♥♠♥t ♥s r♥èr st♦♥

♣tr ♣rr♣ ♥♦s ♥sstr♦♥s sr s ér♥ts s♣ts ♦♦qs q

♥♦s ♥♦s ttr♦♥s à ♦♥sérr ♦rs tr tès

st è♥♠♥t ♠r♦s♦♣ q ♦♥ sst r♥ ♦♠♣t q ♦♥st

t ♥té ♦♥♠♥t sr q r♣♦s t♦t érr s êtrs ♥ts t ♦♥t

é♣♥ ♠ê♠ ♥s s♦♥ r r♦r♣ ♣é ♥ ♦rt ♦♦ ért

♣♦r ♣r♠èr ♦s ♥ ♦♦q à ♣rtr ♦srt♦♥ éét① t

tt♥r ♥st ♣♦r q ♥♥ t ♥ ♣rés♥t ♦♥♣t

①st ① r♥s t②♣s ♦r♥s♠s ♥ ôté s ♣r♦r②♦ts s♦♥t s êtrs ♥

rs é♣♦rs ♥♦② t ♦rés ♥ ♠♠r♥ ♣r♦r②♦t ♣s été

st ♣r♦♠♥t tér sr ♦ ♥ tr ôté s s r②♦ts

s♦♥t ♥t strtrés s ♦♠♣♦rt♥t tr♦s ♦♠♥s ♣r♥♣① ♥ ♥♦② ♥

②t♦♣s♠ t ♥ ♠♠r♥ ♣s♠q ♥♦② st ♥t♦ré ♥ ②t♦♣s♠ r♠♣

♦r♥ts ssr♥t rt♥s ♦♥t♦♥s à ♥térr ②t♦♣s♠ st ♥

r♠é ♥s ♠♠r♥ ♣s♠q q ♦r♠ ♠t ①térr

r♥st♦♥ é♥ér r②♦t

q s♦t s♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ s ♦r♠ st éé♠♥t ♠r♦s♦♣q

q ♦♥t♥t t♦s s ♦ts ♣r♠tt♥t srr ♥s ♥ ♥r♦♥♥♠♥t ♥ ♣r♣ét

♥♠♥t ♥s ♦r♥s♠ ♠♥ ♦♥ tr♦ qq t②♣s s ① ♦r♠s

① ts t ① ♦♥t♦♥s rss ♦♥ t②♣ q s ♣♣rt♥♥♥t ♠♥s♦♥

s s st ss très r ♣t r µm à ♣s m ♣♦r s ♥r♦♥s

♦r♠ ♥ t s♦♥ ♠♦ ♥♠♥t ss ♦s♥s rèt♥t s ♦♥t♦♥

♣r♥♣ ré♦♥ ♦♥t♦♥♥ ②t♦♣s♠ s ♦♠♣♦s ♥ sq①

②t♦s♦ ♥s q ♥♥t rs ♦r♥ts s♦♥t s éé♠♥ts ♥trrs

s♣ésés q ♣r♠tt♥t à s ♠♥t♥r ♥ r

s ♠t♦♦♥rs s s♦♥t ♠♣qés ♥s ♠ét♦s♠

rét♠ ♥♦♣s♠q st ♥ ①t♥s♦♥ ♠♠r♥ ♥♦②

st sé ♥ rét♠ ♥♦♣s♠q ss t r①

♣♣r ♦ st ♥ ①t♥s♦♥ rét♠ ♥♦♣s♠q q

♦♥t♦♥♥ ♥ étr♦t rt♦♥

s r♦s♦♠s s s♦♥t sè s②♥tès s ♣r♦té♥s

②t♦sqtt st ♦♥stté ♣r♥♣♠♥t tr♦s t②♣s ♠♥ts q

♦r♠♥t ♥ s♦rt r♣♥t ♣♦r s ♠♥ts t♥ s ♠r♦t

s t s ♠♥ts ♥tr♠érs ♣rr♣

s ♥tr♦s s s ♣rés♥t♥t ♥ ♣rs é♥ér♠♥t s♣♦sés à ♥ r♦t ♥

sàs tr à ♣r♦①♠té ♥♦② ♥s s s ♥♠s s s♦♥t ♣s

s♦♥t ♥t♦rés ♥ ♥tr♦s♦♠ ❬❪ s ♥tr♦s ♣rt♣♥t à ss♠

s ♠r♦ts

sé♠tq ♥ t ss ♦r♥ts

❬tt♣ ♥♣♦s♦♣❪

♣tr ♦♥t①t ♦♦q

♠♠r♥ ♣s♠q st ♥ ♠ très ♥ ♦♥stté ♠♦és ♣r♦téqs

♠ss t ♣qs é♠♥t s ♣s ♦r♠♥t ♥ ♦ ♦ é♣ss

à nm q st rt♠♥t ♠♣r♠é ♣ss ♣♣rt s ♠♦és

②r♦s♦s ♣r♦té♥s ♦r♠♦♥s ♦♥s ♥ q strtr s ♠♠r♥

♣s♠q s♦t étr♠♥é ♣r tt ♦ ♦ ♣q ♣♣rt s ♦♥t♦♥s

s♣éqs s♦♥t ♣♦rtés ♣r s ♣r♦té♥s ♥tr s ér♥ts t②♣s s s q♥

ttés t s t②♣s ♣r♦té♥s ♥s ♠♠r♥ ♣s♠q s♦♥t ①trê♠♠♥t rs

♥tér♥s ér♥s s t

②t♦sqtt

②t♦s♦ t♦ts s s r②♦ts st ♣r♦r ♥ rés rs q s

sr♥t ♦r♠ t tt♥t s ♦r♥ts sr s sts é♥s rés ♣♣é

②t♦sqtt st ♥ s②stè♠ ②♥♠q sss♠♥t t s ésss♠♥t ♦♥st♠♠♥t

st ♣s ♦rt♠♥t ♠♣qé ♥s ré♣♦♥s ♠é♥q r

②t♦sqtt s ♦♠♣♦s tr♦s t②♣s rs ér♥t ♥tr s ♣r rs

s♦s♥tés ♦♥sttts s ♠♥ts t♥ ♦ ♠r♦♠♥ts s ♠♥ts ♥tr

♠érs t s ♠r♦ts s ♠♥ts s♦♥t ①♠ê♠s s strtrs ♦♠♣♦sts

♦♥sttés s♦s♥tés ♣r♦té♥s ♥ ♥tr s ét♥t ♥ î♥ ♥ ♥

t♥ s ♠♥és ♦♥

s ♠♥ts t♥

t♥ st ♣r♦té♥ ♣ré♣♦♥ér♥t ♥s r②♦t t ♦ ♥♦♠r①

rôs s♥ ②t♦sqtt r s ♦♥♥trt♦♥s t♥ s♦♥t très rs

s♦♥ s s ❬P❪

trtr

s ♠♥ts t♥ t♥ rést♥t ss♠ ♠♦♥♦♠èrs t♥

t♥ t rss♠♥t à ① r♥s ♦r♠♥t ♥ é ♥ ♦♥r ♣r

sst♥ µm s ♣♣rss♥t ♠♦éré♠♥t ①s s ♣r♦té♥s s♦♥

Ps t♥ ♥♥ Pr♦t♥s ♣r♠tt♥t ♦r♠t♦♥ rés① ① ♣♣r♥s t

♣r♦♣rétés ♠é♥qs rés ❬∗❪ s ♠♥ts t♥ s♦♥t ♦r♥sés s♦♥ tr♦s

♠♥ts t♥ r♦sts ♠rqés ♣♦ï♥ ♦rs♥t

❬tt♣ ①♠♦t❪

t②♣s rr♥♠♥t r s s① ♣rès s rés① ♦r♠♥t s ♠s

t s s① ♦♥trts

②♥♠q

s ♠♥ts t♥ ♣♥t ♣♦②♠érsr ♦ é♣♦②♠érsr s♦♥ s ♦♥t♦♥s

ét♥t ♣s ♠q♠♥t éq♥ts s ①tré♠tés s ♠♥ts ♣♦②♠érs♥t à s

tsss ér♥ts ♥ ♣r ♥s ①tré♠té ré ♣♦r ①tré♠té ♦♥t r♦ss♥

st r♣ t ①tré♠té ♣♦♥t ♣♦r ♦♥t r♦ss♥ st ♣s ♥t

♦rsq ♦♥♥trt♦♥ ♥ ♠♦♥♦♠èr ①è ♥ ♦♥♥trt♦♥ rtq s ♠r♦

♠♥ts s♦♥♥t ♦rsq tt ♦♥♥trt♦♥ st ér♥t ① ① ①tré♠tés s

♠♥ts t♥ ♦♥t r♦îtr ♥ ôté t s♠t♥é♠♥t ♠♥r tr s ①

tsss ♦♥t êtr ♥tqs ♣♦r ♥ ♥q ♦♥♥trt♦♥ ♥ ♠♦♥♦♠èr rést♥t ♥ ♥

♠♥t ♦♥r ♦♥st♥t st ♣é♥♦♠è♥ q♦♥ ♣♣ tr♠♥ ❬∗❪

t q ♣r♠t é♥érr s ♦rs

♣tr ♦♥t①t ♦♦q

ér♥ts rr♥♠♥ts ♠♥ts t♥ s s① ♣rès

s rés① ♦r♠♥t s ♠s t s s① ♦♥trts ❬tt♣ ②ss

♦r①r♥①♣♣❪

♦♥t♦♥s

♥ s rôs ♣r♥♣① t♥ st é♥érr à ér♥ts ♥r♦ts ②t♦

♣s♠ ♥ t♥s♦♥ r t♥ st ♣r♥♣♠♥t ♠♣qé ♥s é♣♠♥t

s s ♦r st♦♥ s ♠♥ts t♥ rr♦♣és ♥ s rs t♥

s♦♥ s♦♥t ♦rs ♦♣és à s ♠♦és ♠②♦s♥ t rs♣♦♥ss ♥ t♥s♦♥ s♥

②t♦sqtt

t♥ st é♠♥t à ♦r♥ s trt♦♥s ①rés sr ♠tr ①trr

♥ t s rs t♥s♦♥ ♣rés♥ts ♥s s r♦sts tssrs ①r♥t ♥ s

♦♥trt♥t ♥ trt♦♥ sr ♠tr ①trr q s ♥t♦r ❬∗❪ Pr ♥

tr♠ér ♦♠♣①s ♠♦érs ér♥ rr♦♣és ① sts ♣♣és ♦♥tts

♦① s ♠♥ts t♥ s♦♥t rés à ♠tr ①trr r♦♥t♥ ♠♥♥

t ♦è♥ ♠♦é ♣r♥♣♠♥t ♠♣qé st ♥tér♥ ❬♥❪ q râ à

♥ ♦♠♣① ♠♦és s♦♥ t♥ ♥♥ t t♥♥α ❬❲❪ st ①é

②t♦sqtt t♥

s ♠♥ts t♥ s♦♥t é♠♥t ♣rés♥ts ♥s ♥tr ér♥ ♦ù s s♦♥t

rr♥és s♦s ♦r♠ s① ♦♥trts ♥ ss♦♥t s éé♠♥ts ②t♦sqtt

♥ à ① ♥ tr tt ♥tr ♣r♠t à é♣té♠ résstr ① rs

s♦♥s ♠é♥qs ♥ ♣s rô t résst♥ tssr s s① ♦♥trts

s ♥trs s♦♥t é♠♥t ♠♣qés ♥s ♦r♠t♦♥ t ♥r

s ♠r♦ts

s ♠r♦ts s♦♥t très ♣rés♥ts ♥s s s r②♦ts t ♣rtèr♠♥t

♦♥♥ts ♥s s s ♥rss ♥s sqs s r♣rés♥t♥t à s ♣r♦

té♥s t♦ts r ♦s s ♠r♦ts ♣r♥♥♥t ♥ss♥ ♥s ♥tr♦s♦♠

s étr♠♥♥t ♦r♠ é♥ér ♥s q s ♠♣♠♥ts s ♦r♥ts

rs

♠r♦ts r♦sts ♠rqés ♥ ♥t♦r♣s ♥tt♥

❬tt♣ ①♠♦t❪

trtr

s ♠r♦ts s♦♥t s ts r① ♦♥t♥♥t é♥ér♠♥t ♣r♦t♦♠♥ts ♣r♦

téqs s♣♦sés ♥ ♦r♦♥♥ s ♣♦ssè♥t ♥ ♦♥r ♣rsst♥ ♦rr

♠♠ètr t s♦♥t t s ♦♥stt♥ts s ♣s rs ②t♦sqtt

♣tr ♦♥t①t ♦♦q

②♥♠q

♦t ♦♠♠ s ♠♥ts t♥ s ♠r♦ts s♦♥t ♥ ♦♥st♥t étt ②♥♠q

♣♦②♠érst♦♥ t é♣♦②♠érst♦♥ s♦♥t s strtrs ♣♦rs ①tré♠té ♦♥t

r♦ss♥ st r♣ st ♣♣é ①tré♠té ♣s t♥s q ①tré♠té ♦♥t r♦ss♥

st ♥t st ♣♣é ①tré♠té ♠♦♥s rt♥s ♣r♦té♥s ♣♣és P r♦t

ss♦t Pr♦t♥s ré♥t ♦rt♠♥t étt ♣♦②♠érst♦♥ t s♦♥t à ♦r♥

rsté s strtrs ♦♣tés ♣r s ♠r♦ts ♣r ①♠♣ r ♦ ♣rè

♣r♦sss tr♠♥ ♥ ♣s ♣♦r s ♠r♦ts ♣sq ♦♥♥trt♦♥

rtq ① ① ①tré♠tés ♠♥t st ♠ê♠ ♥ r♥ s ♠r♦ts s♦♥t

s♦♠s à ♥ ♥stté ②♥♠q ❬❲P∗❪

♦♥t♦♥s

rss ttés s♦♥t ♦rstrés ♣r s ♠r♦ts ♦rs r♣r♦t♦♥

s s ♣r ①♠♣ st r♦rss♠♥t ♣r é♣♦②♠érst♦♥ s ♠r♦ts

①és à ♥ s r♦♠♦s♦♠s q ssr ♠rt♦♥ ① rs s ♣ôs

♥ ♦ s♦♥

s ♠♥ts ♣♦②♠érs♥t t é♣♦②♠érs♥t ♦♥t♥♠♥t ①tré♠té ♣s

ré rs ♣ér♣ér t s ♠r♦ts ♣♥t ①rr ♥

♣rss♦♥ sr ♠♠r♥ ♣s♠q t ♥s ♣♦ssr ré♦♥ ♥ét♦♥ rs ♥tr

♦ts s s r②♦ts ♦♥t é♣r rs ♠tér① s♥ r ②t♦♣s♠

♣♣rt ♥tr s ts s②stè♠ ♠♠r♥s ♥tr♥s ♦♠♠ ♣r♥♣ ♦

tr♥s♣♦rt ♣♣r ♦ ♠♣qtt s ♠tér① ♥s s éss q ♠r♥t

sq① ♦♥♥s ♣♥♥t tt ♦ ♥st q sr ♦rts s

t♥s ♦rsq s ♠tér① ♦♥t tr ♦♥s trts ♥s ♥ ①♦♥

♥rs ♣r ①♠♣ s ♣r♦té♥s ♠♦trs ♥tr♥t ♥ st ♥s ♣r ①♠♣ q

♥t♥ ♥ ♣r♦té♥ s ♠♠r♥s rét♠ ♥♦♣s♠q ① s éss

à ♥és♥ tt ♣r♦té♥ ♥trî♥ ♦rs és tr♥s♣♦rt ♦♥

s ♠r♦ts ♥ rt♦♥ ♣ér♣ér st ♥ tr ♥s♠

♣r♦té♥s ♦♠♣① ②♥t♥ q ssr tr♥s♣♦rt ♥s rt♦♥ ♦♣♣♦sé

♣r♦té♥ ♠♦tr ét♥t ♦rs ②♥é♥ r

sé♠ tr♥s♣♦rt éss s♥t ♥tr♥r s ♠r♦ts t

♦♠♣① ②♥t♥ ❬tt♣ r♥♦♦♦♠❪

été ♠♦♥tré ré♠♠♥t q s ♦♥t♦♥s ssrés ♣r s ♠r♦ts ♠tt♥t

♥ s ♥trt♦♥s t♥ ❬❪

s ♠♥ts ♥tr♠érs

s ♠♥ts ♥tr♠érs ❬t❪ s♦♥t ♣rés♥ts ♥s ②t♦♣s♠ ♣♣rt

s s r s s♦♥t ♣♣és ♥tr♠érs r r ♠ètr ♣♣r♥t st

♦♠♣rs ♥tr s ♠r♦♠♥ts t s ♠r♦ts ♥s ♣♣rt s s ♥

rés ①t♥s ♠♥ts ♥tr♠érs ♥t♦r ♥♦② t sét♥ sqà ♣ér♣ér

r

trtr

❯♥ ♠♥t ♥tr♠ér st ♥ ♥tr♠♥t t ♣r♦t♦♠♥ts ♦r♠ à ♣

♣rès ②♥rq ♥r♦♥ nm ♠ètr s ♠♥ts ♥tr♠érs ♣♦ssè♥t ♥

r♥ résst♥ à t♥s♦♥ ❯♥ ♦s ♦♥sttés s s♦♥t sts ♥ s ss♦♥t ♣s

❬∗❪ t ♦♥stt♥t ♥ r♦♣ étér♦è♥ rs ②t♦sqtt

♣tr ♦♥t①t ♦♦q

♠♥ts ♥tr♠érs r♦sts ♠rqés s ♥t♦r♣s ♥t

♠♥t♥ ❬tt♣ ①♠♦t❪

②♥♠q

s ♦♠♣♦s♥ts s ♠♥ts ♥tr♠érs s tr♦♥t rr♠♥t ♥s r étt r

♠♦♥♦♠èr s ♦♥t t♦♦rs t♥♥ à r♦♥r ♥ ♠♥t ♥ ♣♦②♠érst♦♥ ♣♥

♥t ss♠ ♦ ♦♥trr ss♦t♦♥ ♠♥t ♣t str ♠s st

t♦♦rs ♥ ♣r♦sss ♥t

♦♥t♦♥s

s ♦♥t♦♥s ♦♦qs s ♠♥ts ♥tr♠érs s♦♥t ♠♦♥s ♥ ♦♥♥s q

s s ① trs ♦♠♣♦s♥ts ②t♦sqtt ♣♣rît t♦t♦s q♥ rs

rôs ♠rs st ♦r♥r ♥ ♣r♦tt♦♥ ♦♥tr strss ♠é♥q ♣s râ

à r ♥r ① s♠♦s♦♠s t é♠s♠♦s♦♠s rés ♠♥ts ♥trr♦sés

♣r♦tè s ♦♠♠s sés ♣r rs♦♥ ♥ ssr♥t ♦és♦♥ s tsss

❯♥ trs ♠♥ts ♥tr♠érs ♣♦②♠èrs ♠♥ q ♦ ♥tr♥

♦tté r

♥♦♣♣ ♥ér ♦r♠ ♠♥ ♥ér ❬❲❪

s ♠♥ts ♥tr♠érs ②t♦♣s♠qs ♦♠♣ss♥t é♠♥t trs ♦♥t♦♥s

♦♠♠ s ♥r♦♠♥ts ♠♣qés ♥s r♦ss♥ s ①♦♥s

♦tté r

♠♦tté r st ♥ ♠é♥s♠ ♥ ♦♥sré ③ s r②♦ts ♠t

♥ ♦r ♥ ♥s♠ ♣r♦sss ♦♠♣①s ♦♥t ♦♦r♥t♦♥ st ssré à ♦s

♣r s ♠é♥s♠s ♠qs t ♣②sqs st ♠♣qé ♥s ♥♦♠r① ♣é♥♦

♠è♥s ♦♦qs ts q ♥♠♠t♦♥ ♦t♦♥ trst♦♥ ♦ ♥ ♥♦r

ssé♠♥t♦♥ ♠étstss t♠rs ♥érss st tt st ♠♣t♦♥ q

♦♥tr à r ♠♦tté r ♥ ♦♠♥ rr ♣rét♦♥ ♥

tr r♣♣r s ♣r♥♣s ♦♥♠♥t① rt s tr① s r♥èrs ♥♥és

❬ P P ❪

♠♦tté r ♦♥stt ♥ ② q ♣t s é♦♠♣♦sr ♥ qtr ét♣s étés

♥s st tt ♣rt

♣r♦trs♦♥ ♠♠r♥ sté à ♥t r

ér♥ sstrt r

ét♠♥t s ♣♦♥ts ♥r à rrèr r

étrt♦♥ ♦r♣s r r

①t♥s♦♥ ♠♠r♥

①st ♣r♥♣♠♥t ① t②♣s strtr ♣r♦trs s ♦♣♦s t s ♠

♣♦s ❬∗ ❱❪ ♦t♦♥s é♠♥t ①st♥ ♥ tr♦sè♠ t②♣ strtr

③ s s ♠♦ïs à s♦r s ♣s♦♣♦s

s ♦♣♦s s♦♥t ♥s ②♥rs ♦♥t ①t♥s♦♥ ♣t tt♥r µm ❯♥ ♦♣♦

♦♥t♥t ♥ s étr♦t ♦♥s ♠♥ts t♥ ♦r♥té ♥s rt♦♥ ♣r♦tr

s♦♥ ❬♠❪ s ♠♥ts s♦♥t ♠♥t♥s ♥s♠ ♥s s ♣r s ♣r♦té♥s

ts q ♠r♥ ❬t❪ r

s ♠♣♦s s♦♥t ♥s ♠s q ♣♣rss♥t à ♥t r♦sts ♥ tr

t ♥♦♠rss trs s t q ♣♥t sét♥r ♥ ♦♥r ♥t à

♣tr ♦♥t①t ♦♦q

µm rés rs t♥ ♦r♠♥t s ♠♣♦s st ♦r♥sé ♦♠♠ ♥ tss

♥trr♦sé ① ♥s♠s ♠♥ts ❬♠❪ ♦r♥té à ♥r♦♥ ♥s rt♦♥

♣r♦trs♦♥ ❬❪ r

LamellipodeFilopode

(b)(a)

♦r♥st♦♥ s ♠♥ts t♥ ♥s s strtrs ♣r♦trss s r♦♥s

r♣rés♥t♥t t♥ t ♥ ♦♥t♥ ♠♠r♥ ♣s♠q ♣té ❬❪

s strtrs ♣r♦trss ♥ r♦♥t ♥t s s ♠♦ts s♦♥t t

♠♥t ②♥♠qs t ♦♥t♥♥♥t ♥ ♥s rés ♠♥ts t♥ ①t♥s♦♥ ♥

♦♣♦ ♦ ♥ ♠♣♦ ♥ ré♣♦♥s à s st♠ st ♦♣é ♥ ♣♦②♠érst♦♥

♦ t♥ ❬❪ r ♣r♦sss ♥ésst t♦t ♦r ♥

♠♥tt♦♥ ♥♦♠r sts ♣♦r ♣♦②♠érst♦♥ t♥ s t♦♥

♠♦♥♦♠èrs t♥ ♥ s sts r♦ss♥ t♥ ♣rès ♠♠r♥

s s ♣r♦s♥t ♥♦s ①tré♠tés rés râ ① ♠é♥s♠s s♥ts

r♣tr s ♠♥ts ①st♥ts é♦ s ♠♥ts ①st♥ts ♦ ♥ét♦♥ ♥♦♦

❬❩❪

rét♦♥ ♥ t♥ r ♦ ♥ rô ♥s ①t♥s♦♥ ♠♠

r♥ ♥ t q♥tté t♥ r♦ît râ à ♠♥tt♦♥ ♦♥♥trt♦♥

♠♦♥♦♠èrs t♥ ♣rés♥t s♦s ♦r♠ r ♦ é t♥ r ♦ t♥ é à

♥ ♣r♦té♥

❯♥ r♦ss♥ r♣ ① ①tré♠tés rés ♣♦rrt rér ♣♦♦ t♥ ♥♦♥ ♣♦

②♠érsé q ♦♥rt à ♥ é♦♥t♦♥ ♣s ♥ ♣s ♥t étt stt♦♥♥r

① ♠é♥s♠s ♣r♠tt♥t étr ♣é♥♦♠è♥ ♣r♠r st ♦ ♥ r

♣rt s ①tré♠tés rés s♦♥ ♠é♥s♠ t ♥tr♥r ♦♥ q

♦tté r

éèr é♣♦②♠érst♦♥ t♥ t ♥♥r ♥s r♦♥sttt♦♥ ♣♦♦ t♥s

♦rs

♣r♦trs♦♥ r♦♥t ♥t ①trt ❬❪

ér♥ sstrt

P♦r q♥ s é♣ ♦t érr à ♥ sstrt t ② ①rr s trt♦♥s

❬❪ s ér♥s ♣♣rss♥t ♥s ♥ ♦②rs s♣éqs ♦ù ②t♦s

qtt t♥ st é à ♠tr ①trr s ré♣trs tr♥s♠♠r♥rs

♥tér♥s s sts ér♥ s♦♥t ♦♠♣♦sés ♦♠♣①s ♣s ♣r♦té♥s

ér♥ts ❬❩❪ s ♣♣rss♥t s♦s s ♠♣♦s ♦ s ♦♣♦s t s♦♥t ♣♣és

♦♠♣①s ♦① s s ♦r♠♥t t s♣rss♥t ♥ ré ♥r♦♥ à

♠♥ts ♦ ♥ ♣rr♥t t s ér♥♥t ♥ ér♥s ♦s s rst♥t ①és

sstrt sqà tt♥r rrèr ♦ ♦r r ér♥ts t②♣s

s ts♥t ér♥ts strtés és♦♥ ♣♦r s é♣r s t②♣s s

s ♣s r♣s ♠♦♥tr♥t ♣r ①♠♣ ♥ ♣r♦♣♦rt♦♥ ♣s éé ♦♠♣①s ♦①

♦r♠t♦♥ s ér♥s ♦s t s ♦♠♣①s ♦① st é♣♥♥t é♦♣

♣♠♥t t♥s♦♥ ♥s ②t♦sqtt t♥ à trrs s ♥trt♦♥s t♥♠②♦s♥

❬❪

s ♣r♦té♥s ♣♣rt♥♥t à s♦s♠ ♠ s s Pss

t ♦ s♦♥t ♠♣qés ♥s rét♦♥ ♦r♠t♦♥ s ♦♠♣①s ér♥

trrs ♥ sér ss s ♣r♦té♥s ♦♥t rô rétr ②t♦sq

tt t♥ ♥s s s r②♦ts ❬❪ s éts ♣♦rt♥t sr s r♦sts

♠♦♥tr♥t q tt♦♥ ♦ ♣r s s♥① ①trrs ♣r♦t ♦r♠t♦♥

rs t♥s♦♥ t s ér♥s ♦s ♣t êtr é♠♥t té ♣r s

s♥① ①trrs ts q ♥s♥ q ♣♦r t ♦r♠t♦♥ ♠♣♦s

t ♦♠♣①s ♦① ♥t à st ♠♣qé ♥s ♦r♠t♦♥ s ♦

♣tr ♦♥t①t ♦♦q

♣♦s t s ♦♠♣①s ♦① t ♦♥t ♥ ♥♥ sr ♣♦②♠érst♦♥

t♥ râ à tt♦♥ ♦♠♣① r♣ ♣r s ♠♠rs ♠ ❲P

❬P ❪ éqr ♥tr s ttés s ♦ Pss sés sr ♥

♥t♦♥s♠ ♠t ❬❪ ♦ ♥ rô ♣r♠♦r ♣♦r étr♠♥r t②♣ és♦♥

t ♦r♥st♦♥ ②t♦sqtt

❯♥ ♦rrét♦♥ rt ①st ♥tr ②♥♠q ♣♦②♠érst♦♥ s ♠r♦ts

t tté s ♦ Pss s ♠r♦ts ♥t ♠♥èr s♣éq s ♦②rs

ér♥ ♦rsqs ♣♦②♠érs♥t rs ♣ér♣ér ❬❪ q ♣r♠t

trt ♠♦r r ②♥♠q ❬❪

ér♥s sstrt ♥ r♦♥t ♥t ①trt

❬❪

ét♠♥t rrèr

❯♥ ♠rt♦♥ r♣ rqrt s ♠é♥s♠s s ♣♦r s♣♣r♠r s ér♥s

à rrèr r s éts ♣♦rt♥t sr s r♦sts ♠♦♥tr♥t

q ♣♣rt s ♥tér♥s rst♥t sr sstrt ♦rs ért♦♥ rrèr

❬❪ ♥t ① trs ♥tér♥s s s♦♥t s♣rsés ♣r s♦♥ sr

sr ♠♠r♥ ♦ ♥tr♥sés ♥ q ♦♥r♥ s réts éss s♦t s

s♦♥t érés t tsés ♣♦r ♥♦s ér♥s rs ♥t s♦t s s

é♣♥t ♦♥ ♥t êtr é♥t♠♥t étrts

♦♥trr♠♥t à ♥t rrèr st ♥ ré♦♥ ♦ù s ♥s ♥tr s ♥tér♥s

t ②t♦sqtt ♣♣rss♥t ♠♥t t ♦ù ♠♠r♥ st ♠♦♥s ♥ s♣♣♦rté

♣r ②t♦sqtt Psrs ♠é♥s♠s s♦♥t à ♠ê♠ ①♣qr r♣tr s é

r♥s à rrèr ♥ ♠é♥s♠ ♠é♥q ♠tt♥t ♥ ♦♥trt♦♥

②t♦sqtt t s ♠é♥s♠s ♣r♦♥♥t ss s♥① ♠♣q♥t ♦

♦tté r

♥r♥ t s t②r♦s♥s ♥ss ♥♦♠rss ♦srt♦♥s t♥♥t à ♠♦♥trr q

s t♥s♦♥s ②t♦sqtt ♦ s ♦♥trt♦♥ s♦♥t s ♠é♥s♠s râ ①qs s

♦♠♣①s ér♥ s♦r♥s♥t ♦ s♦♥t étrts

r♣tr s ér♥s à rrèr ①trt ❬❪

♦rs ♣r♦trss t ♦♥trts

♠♦♥s ① t②♣s ♦rs s♦♥t é♥érés ♣r ♥ ♥ ♠♦♠♥t ❬❪

♣r♠èr st ♦r ♣r♦trs ♥éssr ① ♣r♦sss ①t♥s♦♥ ♠♠r♥

q s♦t ♠♣♦ ♦ ♦♣♦ rést ♣♦②♠érst♦♥ t♥ t

♥ ♦r♥st♦♥ strtr ♥ ♦r♠ s ♦ rés ♠♥ts ♥trr♦sés

s♦♥ ♦r st ♥ ♦r ♦♥trt q ♥tr♥t ♥s ét♠♥t rrèr

t tr♥s♦t♦♥ ♦r♣s r r

♣r♠r ♣r♦sss ♥ ♦s ♠♠r♥ ♣r♦trs ♥ ér♥t sstrt ré

st ♥trt♦♥ ♠②♦s♥ s ♠♥ts t♥ ♠♣q ♥ résst♥

♣♣♦rté ♣r s ♥trt♦♥s éss ♥s ♥ éqr ♦t ♦r ♥tr ♦r

♦♥trt t ♦r trt♦♥ ♣r♦♥♥t s tt♠♥ts ②♥♠qs sstrt

❬❪ ♣s t éqr ♦t ♥♦r♣♦rr ♥ s②♠étr ♥ trt♦♥ ♥tr ♥t t

rrèr ♣♦r ♣r♠ttr ① s♦♥s stés à ♥t ♣rrr t♥s q

s stés à rrèr s♦♥t s♣♣r♠és ❬❪

ét♠♥t rrèr ♥ésst q♥t à r♣tr s tt♠♥ts

sstrt ♣r♦sss st r♥ ♣♦ss ♣r ♦♥trt♦♥ s ♠♥ts t♥

ss♦és à ♠②♦s♥ s①rç♥t sr s ♦♠♣①s ér♥ ♥s ♠②♦s♥ ♦

srt à ♣♦ssr ♦r♣s rs ♥t s ♦rs ♦♥trts ss♥t ♥tr

rrèr ♠♠r♥ ♣r♦trs t ♥♦② t♥s q ♠♣t♦♥ ♠②♦s♥

♥s ♦♥trt♦♥ à rrèr ♣r♠t éérr r♣tr s tt♠♥ts

sstrt

♣s ♥ ♣s éts ♠♦♥tr♥t é♠♥t ♥ ♣rt♣t♦♥ s ♠r♦ts ♥s

♣tr ♦♥t①t ♦♦q

♠rt♦♥ r ❬ ❪ ♠ê♠ s r ♦♥trt♦♥ r s♦♥ s t②♣s

rs ♦r♥st♦♥ s ♠r♦ts ♥s ♥ ♠♦t ♣rés♥t s s♠

rtés ②t♦sqtt t♥ tt ♦rrét♦♥ ss à ♣♥sr q s ①

♣♦②♠èrs s♦♥t és s♦t rt♠♥t s♦t ♥rt♠♥t à trrs s ♣r♦té♥s ♦ s ♠♦

és s♥st♦♥ sèr é♠♥t q s ♠r♦ts ♦♥t ♥ rô ♥s

rét♦♥ ②♥♠q t♥ ❬❪

s ♦rs ♦♥trts é♥érés ♣r♥♣♠♥t ♣r rés t♦♠②♦s♥

♣r♠tt♥t ♥ ♥t é♣♠♥t rs ♥t ①trt ❬❪

♠♦t① t ♣t♦t①

♠♦t① st ♥ ♣r♦sss ♥tr♥♥t ♥s ér♥ts ♣é♥♦♠è♥s ♦♦qs

♥♠♠t♦♥ ♥♦♥ès trst♦♥ s ♣s t ♠r②♦♥ès ♥s q ♠♦

♠♥t s s st ♦♥trôé ♣r ♥ r♥t ♠♦ttrtr

Pr ①♠♣ s ♠s t②♦st♠ s♦♠ t s ♦②ts ♦♥stt♥t

♣r♥♣ s♦r ét ♣♦r ér s ♠é♥s♠s s♦s♥ts ♠♦tts♠ s

♦♥t ♥s t ♦t ♥♦♠r① tr① ❬ ❩ ♦♥ ❪

s ♠s s♦♠ t s ♦②ts ♣rç♦♥t ♥ r♥ rété

♠♦ttrtrs Pr ①♠♣ é♥♦s♥ ♠♦♥♦♣♦s♣t ②q P ♦♥stt

♠♦ttrtr ♣r♥♣ ♦♥trô♥t s ♠♦♠♥ts s ♠s ♦rsqs srè♥t

♣♦r ♦r♠r ♥ ♦r♥s♠ ♠tr ♠♥èr s♠♣é s ttrt♥ts ♥tr

ss♥t s ré♣trs sr q ssr♥t tr♥s♠ss♦♥ s s♥①

♥♦♠rss éts ♠♦♥tr♥t q ♣r♣t♦♥ r♥t ♣r s s ♥ ♥és

st ♣s ♥ ♦st♦♥ s②♠étrq ♦ ♥ rstrt♦♥ s ré♣trs ♦♥trr

s r♥rs s♦♥t ♥♦r♠é♠♥t strés ♦♥ ♠♠r♥ ♣s♠q ❬❳❩❪

♦st♦♥ s♥ ♣r♦♥t ♥s ér♥s ♥s ♦♣t♦♥ s ré♣trs

♥tr ♥t t rrèr s ér♥s ♣♥t êtr ♠♥♠s ♣sq♥

♦♥s♦♥

♣t ♣r♦r s r♥ts ♦♥t rt♦♥ st ♥érr à ♦♥ s♦♥

♦r♣s ❬❪

♣tt♦♥ à ♦♥♥trt♦♥ ♠♥t ♠♦ttrtr ♦ ♥ rô ♠♣♦r

t♥t ♥s ♣r♦sss râ q s s ♣♥t ♣r♦r s r♥ts

s éts ♣♦rt♥t sr s♦♠ t s ♥tr♦♣s ♠♠♠èrs ♥q♥t q

s s ré♣♦♥♥t à s ♥♠♥ts ♥s ♦♣t♦♥ s ré♣trs t s♣t♥t

♦rsq tt ♦♣t♦♥ st ♦♥st♥t s ré♣♦♥ss s♦♥t é♥ér♠♥t ♣r♦♣♦rt♦♥♥s

à ♦♣t♦♥ s ré♣trs t ♥tr♥♥♥t ♥ qqs ♠♥ts

♥♦♠r① tr① sèr♥t q s s t♥t t ♠♣♥t ♥ ♦

s♥st♦♥ ♥ r♦♥t ♥t ♣♦r ♦♥séq♥ ♥ ♣rt ♥ss♥

♥ s♥ ♥tr♥ s②♠étrq à ♥t t tr ♣rt ♣♦rst♦♥

♣♦r ♦♥séq♥ ♥ ♠♦♠♥t ré s ré♣trs ♦♥t ♦♥♥r à

♥ s s♥st♦♥ s♥t ♥tr♥r ♥ sér ♠♦és ♣r ①♠♣ P

❬❪ P ❬❪ tt ♦ s♥st♦♥ ♦tt ♥♠♥t à

ré♦r♥st♦♥ ②t♦sqtt t à ♣♦rst♦♥ ♣♦rté ♥tr♥sèq

♠é♦r s s♥sté ① ♠♦ttrtrs t ♥s s ♣té à ré♣♦♥r à

s r♥ts à ♥rs ♣t êtr étr♠♥é ♣r s s♥① ♠♦ttrtrs

♠♦t① ♦♥stt rt♥♠♥t ♥ s ♣r♥♣① ♠é♥s♠s rs♣♦♥ss

♠rt♦♥ s s ♣♥♥t trs ♣é♥♦♠è♥s ♦♥t ♥ rô ♠♣♦rt♥t

t ♥♦t♠♠♥t ♣t♦t① ♠rt♦♥ s s st ♦rs ♥t ♥♦♥ ♣s ♣r ♥

r♥t tr ♠♦ttrt♥t ♠s ♣r ♥ r♥t ♣r♦té♥s és♦♥ ①és

♥s ♠tr ①trr ♦s r♥r♦♥s sr s ① ♣é♥♦♠è♥s ♥s ♣tr

♦♥s♦♥

♥s ♣tr ♥♦s ♦♥s ♥tr♦t ♦♥t①t ♦♦q tt tès ♥s ♥

♣r♠èr ♣rt ♥♦s ♦♥s ♦♥♥é ♥ sr♣t♦♥ r②♦t t t ♣♣

rîtr ♠♣♦rt♥ s♦♥ étér♦é♥été ♣♦ssè ♥ t ♥ strtr ♥tr♥

②t♦sqtt q ♦ ♥ rô ♦♥♠♥t ♥s s♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t s♦♥ ♣rt

trté ♠♦tté r ♥ ♣é♥♦♠è♥ ♦♠♣① ♦♥trôé ♣r s ♠é♥s♠s

♣tr ♦♥t①t ♦♦q

♠qs t ♣②sqs é♣♠♥t s s st ♦♥é sr s tt♠♥ts

sstrt é♥ér♠♥t ♣♣és ♦♠♣①s ♦① ♦ ér♥s ♦s s strtrs

♥t s ♣r♦té♥s ♠tr ①trr à s rs t♥s♦♥ s ♣r♦té♥s

♠ s ♥tér♥s ♠♦♠♥t rs ♥t s s ♥ésst t♦t ♦r

♣r♦trs♦♥ strtr ♥ r♦♥t ♥t ♥s ♥ ①è♠ t♠♣s ♠

♣r♦trs èr sstrt ♣r ♥tr♠ér ♦②rs ér♥ q ♣r♠tt♥t

♦♥rtr ♣r♦trs♦♥ ♥ ♠♦♠♥t s sts ♦♥tt à rrèr

s♦♥t ♥st s♣♣r♠és ♥♠♥t ♣rt ♣♦stérr s rétrt ♦♥♥♥t

♥ss♥ à ♥ é♣♠♥t rs ♥t ♥♠♥t ♥♦s ♥♦s s♦♠♠s ttrés sr

♠♦t① ♥ s ♣r♥♣① ♠é♥s♠s rs♣♦♥ss ♠rt♦♥ s s

♦♠♣ré♥s♦♥ ♠♦♠♥t t é♦r♠t♦♥ s s st ♣r♠♦r

t r ♠♣t♦♥ ♥s ♥♦♠r① ♣é♥♦♠è♥s ♦♦qs t ♠é① ♦♠♠

♠r②♦é♥ès ♦ r♦ss♥ t♠rs ♥érss tt ♦♠♣ré♥s♦♥ rqrt

♣rs ♥ ♦♠♣t ♥♦♥ s♠♥t s ♠é♥s♠s ♠qs t ♦♦qs q ♥tr♥♥♥t

♥ tssr ♦ r ♠s é♠♥t s ♣r♦sss q ♦♥t à ♥térr

♠ê♠

♠♦ést♦♥ ②♥♠q r ♥ésst

t♥r ♦♠♣t strtr ♥tr♥ ♥ ♣rtr ②t♦sqtt

s ♣r à ér♥ts és t♠♣s t s♣

♣r♥r ♥ ♦♥sért♦♥ ♥♥ q ♣t ♦r ♥r♦♥♥♠♥t

♦♥sérr s ♠é♥s♠s ♦r♥s rss ss ♥ ♠qs q ♣②sqs

♥s tt tès ♥♦s ♥♦s ttr♦♥s à ♦♠♥r ♥s♠ s s♣ts ♦tr

♦t ♥st ♣s ♠♦ésr ç♦♥ ♣rés s ♠é♥s♠s ♦ s ♣r♦♣rétés ♥♦qés

♦rs ♣tr ♠s ♣tôt ♥ t♥r ♦♠♣t ♥s r ♦té à ♥ ♥

ét ♠♦♥r t s♠r rs ♥trt♦♥s s♥ ♥ ♠ê♠ ♣♣r♦

♥s ♣r♦♥ ♣tr ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s s ér♥ts ♠♦ès éés ① ♠♦

♠♥ts t ① é♦r♠t♦♥s s s t rrr♦♥s ♦♠♠♥t s s ♣♦st♦♥♥♥t ♣r

r♣♣♦rt ① ér♥ts s♣ts ♠♥t♦♥♥és

♣tr

♦ést♦♥

♦♠♠r

♥tr♦t♦♥

♦ès ♠é♥qs

♣♣r♦ ♣r ♠♦ès ♦♥t♥s

♣♣r♦ ♣r ♠♦ès srts

♦ès ♠♦tté r

r t ♠♦♠♥t ♦t s

♦♠♥t ♥ s

♦♥s♦♥

♥tr♦t♦♥

st é♥ér♠♥t ♠s q s ♠♦t♦♥s ♦r♠ ♥♥rés ♣r

s ♦♥tr♥ts ♠é♥qs ♦♥t s ré♣rss♦♥s sr rt♥s ♣r♦sss rs ♦♥

♥tr ♦♥tr♥t t②♣ r t étt rss ré♣♦♥ss s♦♥t

♦srés ♥s ♥♦♠r① ♠♦ès ♦♥t été é♦♣♣és ♣♦r ss②r q♥tr t

♥②sr ré♣♦♥s ♠é♥q r s sr♦♥t ♣rés♥tés ♥s st♦♥ Prè

♠♥t à s ♠♦ès ♠é♥qs ♥♦♠rss éts trt♥t ♠♦tté r

à trrs ① s♣ts ♠♦♠♥t ♥ ♣rs s♦é♠♥t ♦ ♠♦♠♥t

♦t s ♦♠♣r♥r s ♠é♥s♠s ♠♣qés ♥s ♦♦♠♦t♦♥ ♥ésst

♦♠♥r s ♦♥♥ss♥s ♦♣②sqs t ♦♠qs t étr ç♦♥ ♦♥t s

♣tr ♦ést♦♥

ér♥ts ♠é♥s♠s ♦♥trô ♥trss♥t ♥ rs♦♥ ♥é s ♦♥♥ss♥s

s r♥èrs ♥♥és ♥s s ♦♠♥s ♥♦t♠♠♥t râ ① ♣r♦rès ♦♠r

♥♦♠r① ♠♦ès ♦♥t ♦r ♦s étr♦♥s s ♣r♥♣① ♥tr ① ♥s

st♦♥ ♥♠♥t à ♣rtr ♥②s s ♠♦ès ①♣♦sés ♥♦s ér♦♥s s

♣r♥♣① ♦ts tr tès st♦♥

♦ès ♠é♥qs

♣s qqs ♥♥és ♥♦♠r① tr① ♦♥t ♦r ♣♦r étr ré♣♦♥s ♠é

♥q r ♦t ♦r ♦♥és sr ♥ sr♣t♦♥ ♦♠♠ ♥ ♠

♦♥t♥ s ♠♦ès é♦♣♣és ♦♥t ♥st t ②t♦sqtt r ♦♥♠♥t

té♦rq ♦s r♥s♦♥s s ♣r♥♣s ♣♣r♦s é♦rés ❬ ñ ❪

♦s ♣rés♥tr♦♥s ♥s ♥s ♣rr♣ ♣♣r♦ ♣r ♠♦ès ♦♥t♥s ♥t

trtr s ♠♦ès srts à trrs s rés① ♠♦ss é♦r ♣rr♣

t t♥sérté ♣rr♣ ♥ ♣rè s ♠♦ès strtr①

trs ♣♣r♦s ♦♥t été tsés ♣♦r étr s ♠é♥s♠s rs ts q s

♠♦ès ♣r♦t♦♥ t s ♠♦ès sstr♥st♦♥ s r♦♥t ♦t rs♣t♠♥t

s ♣rr♣s t

♣♣r♦ ♣r ♠♦ès ♦♥t♥s

s ♣r♠rs ♠♦ès é♦♣♣és s♦♥t ♦♥és sr ♥ ♣♣r♦ ré♦♦q ♥s

❬∗❪ t ❬∗❪ s trs ét♥t s é♦r♠t♦♥s s ♦②ts ♥ ré♣♦♥s à

s ♣rss♦♥s ♣♣qés ♥ ♠r♦♣♣tt s ♦♥♥és ♦t♥s s♦♥t ♥st ♥②

sés râ ♠♦è té♦rq é♦♣♣é ♥s q ♦②t st ♦♠♠ ♥ s♦

♦♥stté ♥ éé♠♥t éstq ♥ ♣rè ♥ éé♠♥t ① ss♦t♦♥ ♥

sér ♥ rss♦rt t ♥ ♠♦rtssr

❯♥ tr ♠♦è été ♥st é♦♣♣é ♦ù ♦rt① st ♦♥séré ♦♠♠ ♥ ♠

éstq ♣ré♦♥tr♥t t ♣rt ♥tr ♦♠♠ ♥ ❨♥ t ❬❨❪ ét♥t

s é♦r♠t♦♥s rs ♥ ♠♦és♥t ♦♠♠ ♥ sq① ♥t♦ré ♣r

♥ ♠♠r♥ ♦♥trt ♥ t♥s♦♥ ♦♥t♥ ♠♦è ♣r♠s ♥②sr s

①♣ér♥s s♣rt♦♥ ♣r ♠r♦♣♣tt ❬❨❪ é♠♥t été r♣rs ♥s trs

♦ès ♠é♥qs

tr① ❬❩ ❪

t ♦ ❬❪ ♦♥t tsé ♥ ♠ét♦ ♣sq ♠té sé sr

s éé♠♥ts ♥s ♣♦r étr s ts rs ♣r♠ètrs é♦♠étrqs t rss

♣r♦♣rétés sr ♥r♦♥♥♠♥t ♠é♥q ♦♥r♦②t r ♥②s st sé ♥

♥ ♣r♦è♠ ♠r♦é t ♥ ♣r♦è♠ ♠r♦é s réstts ♥②s

♠r♦é ♣r éé♠♥ts ♥s ♣r♠tt♥t é♥r s ♦♥t♦♥s ♠ts ♠♦

è éé♠♥ts ♥s ♠r♦é q r♣rés♥t ♥ ♦♥r♦②t s♣érq ♥ré t

ér♥t à ♠tr ①trr ♥s rs tr① ❬❪ ♠♠ t ♦♥t é

♠♥t tsé ♥ ♣♣r♦ ♦♥t♥ ♣♦r étr s s é♣tés rs♣rt♦rs ♥

é♦♣♣♥t ♥ ♠♦è éé♠♥ts ♥s ♥

Pr st t ❬❪ ♦♥t ♣r♦♣♦sé ♥ ♣♣r♦ ♠♥s♦♥♥ ♣♦r

trr sr q♥tt♦♥ résst♥ ♠é♥q ♥♦② s ♥♦

tés s s r♦♥s ♣ts t s ♥♦②① s♦és s♦♥t s♦♠s à s ♦rs

♦♠♣rss♦♥ ♥tr ① ♠s rr r s ♦♥♥és ①♣ér♠♥ts s♦♥t

♥tr♣rétés à ♣rtr s♠t♦♥s ♦t♥s râ à s ♠♦ès r♣♦s♥t sr s éé

♠♥ts ♥s ① ♠tér① s♦♥t ♦rs ♦♥sérés ♥ ♣♦r ♥♦② t ♥ tr ♣♦r

②t♦♣s♠ s s♦♥t s♣♣♦sés êtr ♦♥t♥s ♦♠♦è♥s ♥♦♠♣rsss s♦tr♦♣qs

t ②♣réstqs ♣s tr♦s ♠s s♦♥t ♦♥strts ♣♦r r♣rés♥tr s s

r♦♥s s s ♣ts t s ♥♦②① s♦és s st♠t♦♥s ♦t♥s ♠♦s és

tqs s♦♥t ♥ ♦r s rs tr♦és ♥s ttértr

rr t ❬∗❪ ♦♥t ♠s ♥ ♣ ♥ ♠♦è sé sr ♠ét♦ s

éé♠♥ts ♥s ♣♦r étr é♦r♠t♦♥ t s t♥s♦♥s ♣r♦♦qés ♥s ♣r

♠♥ét♦②t♦♠étr ♥s s tr① st ♠♦ésé ♣r ♥ ♦♠♥ ②♥rq

sé ♥ ① ♣rts ②t♦sqtt stàr ♣rt ♣r♥♣ ②♥r t

♠♠r♥ t ♦rt① t♥ ♥ ♦ sss ②t♦sqtt s ①

♣rts s♦♥t ♦♥sérés ♦♠♠ s ♠tér① s s♥t ♠♦è ①

s♦éstq tr t ss ♣r♦♣rétés ♠é♥qs s♦♥t ♠♦és

♣♦r étr ♦♠♣♦rt♠♥t ér♥ts t②♣s s

r♦♣ ②♦♥ é♠♥t tsé ♣♣r♦ ♦♥t♥ ♣♦r q♥tr s

♣r♦♣rétés ♠é♥qs é♥t♦♥s ♦♦qs ♠♦ ❨♦♥ ♦♥t P♦s

s♦♥ ②♣réstté ❯♥ ♠♦ést♦♥ ① éé♠♥ts ♥s r ♣r♠t ♥s ♥②sr

♣tr ♦ést♦♥

s♠t♦♥s ♣r éé♠♥ts ♥s ♣♦r s ①♣ér♥s ♦♠♣rss♦♥ ❬❪

é♦♠étrs ♠♦è s r♦♥s s ♣ts t ♥♦② s♦é s

é♦r♠és ♦rrs♣♦♥♥ts és ♣♦r ♦♠♣rss♦♥ t ♦♠♣rss♦♥

♦♠♣♦rt♠♥t s s♦♠ss à ér♥ts t♥qs ♠r♦♠♥♣t♦♥ ♥

♣rtr ♠♥ét♦②t♦♠étr ❬∗ ❪ t s♣rt♦♥ ♣r ♠r♦♣♣tt

❬∗ ♦❪

ré♥ts tr① ①♣♦t♥t ♦♥♣t s②stè♠s ts ❬∗ P❪ st

àr s s②stè♠s ♦♥és sr ♥ ♦♥s♦♠♠t♦♥ ♣r♠♥♥t é♥r ②t♦sq

tt st ss♠é à ♥ t ♣♦r t ♥ té♦r ②r♦②♥♠q ♠r♦s♦♣q st

♣r♦♣♦sé ♣♦r érr ss ♣r♦♣rétés ♠é♥qs tt té♦r sé sr s s②♠étrs

étt ♥ rt♦♥ ♥tr s ♦rs t s ① ♥ ts♥t ♥ ♣r♠ètrs ♣é♥♦

♠é♥♦♦qs ♣♣r♦ ♣rés♥té ♣r♥ ♥ ♦♥sért♦♥ s♦éstté

♣♦②♠érst♦♥ t é♣♦②♠érst♦♥ t♥ ♥s q s ♦♥tr♥ts ts ♥ts

♥s rést♥t ♠②♦s♥ st ♥♦t♠♠♥t tsé ♣♦r r♥r ♦♠♣t

♠♦♠♥t ♥ ♠♣♦ t s ♥sttés és à t♥ ♦rt é♥♠♦♥s

s tr① ♥ s♦♥t s q ♣♦r s és t♠♣s ♦♥s t r♥s st♥s

♦ès ♠é♥qs

♣♣r♦ ♣r ♠♦ès ♦♥t♥s ♣♦r ♣r♥♣ sé q♥tt♦♥ s ♣r♦♣rétés

♠é♥qs s s s♦♠ss à s ♦♥t♦♥s ①♣ér♠♥ts s♣éqs ♣♦♥t

tt ♣♣r♦ ♦♥♥ é♥ér♠♥t ♦♥s réstts ♥ tr♠s éqt♦♥

s ♦♥♥és ①♣ér♠♥ts ♣♥♥t ♣srs ♠ts ♣♣rss♥t ♦t ♦r

②t♦♣s♠ st é♥ér♠♥t ♦♥séré ♦♠♠ ♥ ♠ ♦♠♦è♥ q r♥ ♠♣♦ss

♣rs ♥ ♦♠♣t s étér♦é♥étés rttrs t ♠é♥qs ②t♦sqtt

t ♥st ♣s ♣r♠s ♦♠♣r♥r ♦♠♠♥t s strtrs ♠♦érs st♥ts

♦♥tr♥t ① ♠é♥s♠s rs ♣s st ♥s tt ♣♣r♦ ②t♦♣s♠

♥st ♣s t ♠s ♦♥séré ♣♦♥t ss ♣r♦♣rétés ♣sss ♦r♠s ♥s s

tr① ür t ❬P❪

♣♣r♦ ♣r ♠♦ès srts

①st ♣r♥♣♠♥t ① t②♣s ♠♦ès srts s ♠♦sss é♦rs t

t♥sérté s ♣r♠rs r♣♦s♥t sr é s♦♥ q rés ♦r♠é ♣r ②

t♦sqtt rss♠ à strtr ♠r♦s♦♣q ♣srs ♠tér① s②♥tétqs

t ♥trs ts q ♦s ♣♣r ♦ ♥ ♥♦r ♦r ♦♥ tt ♣♣r♦

é♦r♠t♦♥ s ♠♥ts t♥ st rs♣♦♥s t♥s♦♥ ♠é♥q é♦♣♣é

♣r rés t♥ ♥ q ♦♥r♥ s ♠♦ès t♥sérté ②t♦sqtt st

♦r♥sé ♦♠♠ ♥ rés éé♠♥ts ♥tr♦♥♥tés s♣♣♦rt♥t t♥s♦♥ ♣r ①♠♣

s ♠♥ts t♥ t éé♠♥ts s♦és s♣♣♦rt♥t ♦♠♣rss♦♥ ♣r ①♠♣ s

♠r♦ts ♦♥t ♥trt♦♥ ♣r♠t ssrr ♦és♦♥ s♣t tt

♣♣r♦ èr s ♠♦ès ♦♥t♥s ♥ s♥s q ♣♣♦rt s ♣rét♦♥s ♦♥r

♥♥t rô ♠é♥q rs éé♠♥ts ♠♦érs t q é♥ é ♥ rô

♥tr ♦é ♣r ♣ré♦♥tr♥t

♦sss é♦rs

♥s tt ♣♣r♦ s ②t♦sqtt t♥ st ♣rs ♥ ♦♥sért♦♥ r♥r

st ♦♠♠ ♥ ♠ ♦rt ♦r♠é ♣♦trs ♦ rs ♥tr♦♥♥tés q s♦♥t

rs♣♦♥ss s é♦r♠t♦♥ ♦rsqs éss♥t s t♦r♥t ♦ sétr♥t r

tr t ② ❬❪ ts♥t s ♠♦ès ♠♦sss é♦rs ♣♦r étr ♦♥tr

t♦♥ ②t♦sqtt t♥ ♥s ♦♠♣♦rt♠♥t éstq s ♥♦tés

♣tr ♦ést♦♥

s ♦♥sèr♥t ♥ ♥té é♦r ♦♥stté ♣♦trs éstqs sr sqs ♥ ♦r

st ♣♣qé ❯♥ ♥sté é♦r ϕ st é♥ ♠♥èr s♥t

ϕ =p∗

ps

♦ù p∗ st ♥sté ♠♦②♥♥ rés t ps ♥sté s ♠♥ts ♥ ts♥t ♣♣r♦

s♦♥ t s② ❬❪ s ♦t♥♥♥t ♦rs s ♦r♠s s♥ts ♣♦r ♠♦

❨♦♥ E∗ t ♠♦ s♠♥t G∗

E∗ = ϕ2Es; G∗ = 38ϕ2Es

♦ù Es st ♠♦ éstté s ♣♦trs ♠♥ts s rs st♠és s ①

♠♦s s♦♥t ♦rr Pa q st ♥ ♦r s ♠srs ①♣ér♠♥ts

s ♣r♦♣rétés ②t♦♣s♠ t s ♥♦tés tr t ② ♠♦♥tr♥t

é♠♥t q s rs t♥s♦♥ ♣♥t ♠♥tr rté ②t♦sqtt t♥

t q r ♠♣t st ér♥t s♦♥ qs ss♥t ♥ sér ♦ ♥ ♣rè sr rés

♥té ♠r♦strtr r♣rés♥tt ♠♦ss é♦r tsé ♣r

tr t ② ❬❪ ♦♠♠ ♠♦è s ♣r♦♣rétés éstqs ②t♦sqtt t♥

r♣r♦t♦♥ ♣rès ❬❪

é♠♠♥t t♠♥♦ t ♦♥ ❬❪ ♦♥t tsé s ♠♦ès ♠♦sss é♦

rs ♣♦r ♠♦ésr ②t♦sqtt s étr♠♥♥t ♦rs ♠♦ ❨♦♥ ♦♠♠ ♥

♦ès ♠é♥qs

♦♥t♦♥ s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs t é♦♠étrqs s ♠♥ts ②t♦sqtt s

rs tr♦és s♦♥t ♦rr 103104 Pa P♦r t♠♥♦ t ♦♥ s ♠♦sss

r♣rés♥t♥t s ♠♦ès ♣♣r♦♣rés ré♣♦♥s ♠é♥q r ♥s s ♦ù

♦rts ♦♠♣rss♦♥s s♦♥t ♥ > 103 Pa

t q s ♠♦ès ♠♦sss é♦rs ♦♥sèr♥t ♥q♠♥t s ♠♥ts

t♥ st ♥ tr ♠t♥t ♣sqs ♥ ♣♥t t r♥r ♦♠♣t s rôs

♦és ♣r s trs ♣♦②♠èrs ②t♦sqtt tr ♣rt tt ♣♣r♦ st sttq

♦ès t♥sérté

st à ♠♥str r ♥♥trrtt q ♦♥ ♦t ♦♥♣t t♥sérté

♠♦t t♥srt② ♦rrs♣♦♥ à ♦♥trt♦♥ t♥s♦♥ t ♥trt② st ♥ ét♥t

q ♠♥èr s ♦rs s♦♥t strés à trrs s ô♠s é♦ésqs q r

é♦rt ♦♥♣t ♥s s strtrs s ♣♦trs rs ♥ s t♦♥t ♣s ♠s

①st♥t ts s îs s♦és ♦tt♥t ♥s ♥ ♦é♥ t♥s♦♥ ❬❪

♣r♠r ♠♦è t♥sérté été ♦♥strt ♣r s♣tr ♥♥t ♥s♦♥ ♥

ét♥t r ts s♣trs ♠♥t♥♥♥t r ♦r♠ râ à ♥tr♦♥♥t♦♥

♥tr ♥ sér ♦♥t♥ éé♠♥ts ♥ t♥s♦♥ ♦rs éstqs s ♠étqs ♥s t

♥ sér s♦♥t♥ ♣♦trs résst♥t à ♦♠♣rss♦♥ ât♦♥s ♥ ♦s ♣♦trs ♥

r r s s♦♥t ♣s ♥é♣♥♥ts rté

st à ♥r q ♦♥ ♦t ♣♦r ♣r♠èr ♦s é s♦♥ q s s t

s♥t ♥ strtr t♥sérté ♣♦r r ♦r♥st♦♥ ❬❪ P♦r ♥

é♣té ♣t êtr ♦♠♠ ♥ strtr t♥sérté stàr ♥ ♥té r

ttr ♦♠♣♦sé éé♠♥ts s♦♥t♥s résst♥t à ♦♠♣rss♦♥ ♠r♦ts ♠

r♦♠♥ts t ♥tr♦♥♥tés rt♠♥t ♦ ♥♦♥ ♥ sér s♦♥t♥ éé♠♥ts

s♦s t♥s♦♥ ♠r♦♠♥ts ♦♥trts ♠ s Pr st ♥r t ♠

s♦♥ ❬❪ ♦♥t ♣rés♥té s strtrs t♥sérté ♦♠♠ s ♠♦ès ♦♥♣ts

rttr r ♣r qs s ♦♠♣♦s♥t ♥ ♥♦♠r ♠té éé♠♥ts t♥s

q s s ♥ts ♣♥t ♥ ♦r s ♠rs s♥♦♥ ♣s é♠♠♥t ♥r

①♣qé ♣s ♥ éts q ♠♥èr ♦♥♣t t♥sérté ♣t s♣♣qr ①

s ♥ts ❬♥ ♥❪ P♦r ♥♦♠r① ♣ttr♥s ②t♦sqtt t♥

♣tr ♦ést♦♥

s♣tr ♥s♦♥ ①trt ❬♥❪ ❯♥ éqr st tt♥t ♣r

♦♠♣rss♦♥s ♦s t t♥s♦♥s ♦♥t♥s

♣r♦♥♥♥t r♠♥♠♥t ②♥♠q ♥ rés t♥sérté ♦♥t♥ ♣s

stté strtr ♥s s s t s tsss é♣♥ ♥ éqr s ♦rs ♥tr

s rés① ♠r♦ts t ♠r♦♠♥ts ♦♥trts r♣♦s é♠♥t sr

s ♠♥ts ♥tr♠érs ss♠és à s ♦♥tr♦rts éstqs ♦♦rs s♦♥ ♥r

♥♦② ♣t êtr ♦♠♠ ♥ strtr t♥sérté ♥s q s rs r♦

♠t♥ r♣rés♥t♥t s éé♠♥ts s♦és résst♥t à ♦♠♣rss♦♥ q s♥tr♦♥♥t♥t

♥ ♠tr ♥ér s♦s t♥s♦♥ ♦♥t♥

t♠♥♦ t ❬❲∗❪ ♦♥t s ♣r♠rs ét♥ s ♥♦t♦♥s qtts à ♥ ♥

②s ♠r♦strtr ♦r♠ Pr st ♥ ♣♣r♦ s♠r ♣r♠s q♥tr

♠♦ ❨♦♥ s sttqs ❬❪ s tr① s♠s ♦♥t été ♠♥és

♠ê♠ ♥♥é ♣r ❱♦♦ t ❬❱❱❪ sr s ① ♠♦ès t♥sérté

♥s ❬❲❪ s trs ♦♥t ét♥ s tr① t♠♥♦ t ❬❲∗❪

♣rtr ♠ê♠ strtr t♥sérté s ♥②s♥t s rt♦♥s ♦♥tr♥té♦r♠t♦♥

s♦s rs é♦r♠t♦♥s t ér♥ts rs ①t♥s♦♥ ♦♠♣rss♦♥ t s♠♥t

é♦r♠t♦♥ strtr st étr♠♥é ♣r s②stè♠ éqt♦♥s s♥t

F = [K]u

q r tr s ♦rs F tr u é♥ ♣r é♣♠♥t stà

r st♥ ♥tr étt é♦r♠é t étt réér♥ ♥ s ♥♦s [K]

♦ès ♠é♥qs

r♣rés♥t ♠tr rté ♦ s tr♦s ♥♦s ♥érrs

strtr s♦♥t ttés ♣r ♥♦ s s r♦♥s ♠♥t ér♥ts à

♠tr ①trr t♥s q tr♦s ♥♦s ♣♣rt♥♥t ♣♥ s♣érr s♦♥t

s♦♠s à s ♦rs ①tr♥s

Pr st ❲♥♥ t ❬❲P∗❪ s s♦♥t srs ♥ strtr t♥sérté

♣♦r étr♠♥r rô t♥s♦♥ ♥tr♥ t s ♥trt♦♥s s♦♥ ♠

r♦♥r♦♥♥♠♥t sr rté ②t♦sqtt Ps ♣résé♠♥t s trs ①♣♦r♥t

s ♦♥trt♦♥s é t♥s♦♥ ♥tr♥ t ♥♦♠r ♥♦s ①és sr

rté ♦ t ♦♠♣r♥t s réstts té♦rqs à ① ♦t♥s ①♣ér♠♥t♠♥t

ñs t ❬∗❪ ♦♥t tsé ♠ê♠ ♠♦è t♥sérté q ❬❲❪

♣♦r ♥②sr ré♣♦♥s s♦éstq ②t♦sqtt ♥ ♣♣q♥t ♣srs t②♣s

rs ①t♥s♦♥ ♦♠♣rss♦♥ s♠♥t t t♦rs♦♥ s âs s♦♥t ♦rs s♣♣♦sés

s ♦♠♣♦rtr ♦♠♠ s ♦r♣s ❱♦t s♦éstqs ♦♠♣♦rt♠♥t ♠♦è st

♦♥♥é ♣r s②stè♠ éqt♦♥s s♥t

F = [K]u+ [C]u

♦ù tr F é♣♥ é♠♥t tr é♣♠♥t s ♥♦s u ss♦é

à ♠tr ♠♦rtss♠♥t ♦ [C] s ♣r♦♣rétés s♦éstqs ♥♦r♠sés

strtr t♥sérté ♠♦ éstté ♣♣r♥t ♥♦r♠sé E∗ t ♠♦

s♦sté η∗ s♦♥t ♣rés♥tés ♦♠♠ ♥ ♦♥t♦♥ é♦r♠t♦♥ ♦ ♥t ǫ

♠s ss ♦♠♠ ♥ ♦♥t♦♥ s ♣r♦♣rétés ♥♦r♠sés s éé♠♥ts strtr

r ♦♥r L∗ t r t♥s♦♥ ♥tr♥ ♥t T ∗ s réstts ♦t♥s ♣r♠tt♥t

q♥tr ♦♥trt♦♥ rstrt♦♥ s♣t s éé♠♥ts ②t♦sqtt sr

s♦sté r

Pr st ❲♥♥ t ❬❲❪ ♦♥t t♥té é♥r s ♦s ♠é♥qs ♣♣

s à ♣srs strtrs t♥sérté s♣érqs q ♣♦rr♥t êtr tsés ♣♦r

étr♠♥r ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q strtrs ②t♦sqtt ♥♦r ♥♦♥♥s

♥s s tr① s trs ♥②s♥t ♥♥ ♣r♦♣rétés ♦s sr ♠♦

éstté ♦ ♥♦r♠sé qtr strtrs t♥sérté ① ♠♦ès s♦♥t t

sés ♣r♠r r♣♦s sr ♠ét♦ s éé♠♥ts ♥s t ♦♥sst à rés♦r s②stè♠

ss♥♦♠♠é F = [K]u s♦♥ ♠♦è q♥t à st sé sr ♠ét♦

♦♥ ♠♦♦t ♦♥tt ②♥♠s é♦r♠t♦♥ ♦ strtr t♥

♣tr ♦ést♦♥

sérté st ♦rs ét ♥ rés♦♥t s②stè♠ éqt♦♥s s♥t s♦s s ♦♥t♦♥s

②♥♠qs

[M]u = F+ r

♦ù [M] st ♠tr s ♠sss strtr t r tr ♦♦♥♥ s ♦rs

♥trt♦♥ ♥tr s ♥♦s ♠térs s réstts ♦t♥s s trs ♥ és♥t

♥ ♣r♠ètr s♥s ♠♥s♦♥ q ♣r♠t ♦♠♣rr s strtrs t♥sérté rss

ss ♥ ♥s r t q ♥s s ♣r♦♣rétés rs ♦♠♣♦s♥ts

ré♥ts rrs ♠♥és ♣r ñs t ❬❲❪ s♥t à ♦♠♣r♥r

♦♥trt♦♥ rérr♥♠♥t strtr sr ré♣♦♥s ♥ s♦♠s à s

♦♥tr♥ts ①tr♥s ②qs ♦♠♣rss♦♥①t♥s♦♥ P♦r r s trs ts♥t

♥ strtr t♥sérté s♦éstq ♥♦ à ❬∗❪ ♦♥t ♠♦è ♥♠érq

r♣♦s sr ♠ét♦ s ♦st♦♥s ♠♣t s♦♥t ♣♣qés sr ①

♥♦s s♣érrs strtr t♥s q s qtr ♥♦s ♦♣♣♦sés s♦♥t ①és t

ré♣♦♥s st ♥②sé ♥ tr♠s é♣♥♥ ♥ réq♥ s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs

♥♦r♠sés

♥s ré♥ts tr① ❬P❪ ♣♣r♦ ♦♥t♥ été ♦♠♥é à ♥ ♠♦è

t♥sérté rr② t ts♥t ♥s ♥ ♠♦è ① éé♠♥ts ♥s ♣♦r r♣rés♥tr

♦r♠ ♥ ér♥t à ♥ sstrt ♥s ér♥ts ♦♥t♦♥s ♣tss♠♥t

②t♦sqtt q♥t à st ♠♦ésé râ à ♥ strtr t♥sérté rrs

t âs

s ♠♦ès t♥sérté ♦♥stt♥t ♥ ♦t ♣ré① ♣♦r érr s ♣r♦♣rétés

♠é♥qs ②t♦sqtt t r♥r ♦♠♣t ♥♦♠rss rtérstqs s s

♥ts ❬♥❪ ♣s s réstts ♦t♥s s♦♥t ♦ér♥ts s ♦♥♥és ①♣ér

♠♥ts rts à ♣srs t②♣s rs é♥♠♦♥s tt ♣♣r♦ ♥ ♣r♥ ♣s

♥ ♦♥sért♦♥ r♠♦ ②t♦sqtt t ♣s é♥ér♠♥t ss ♣r♦♣rétés ②

♥♠qs ♥ ♣t é♠♥t rrttr q s ♠♦ès ♥ s♦♥t ♣♣r♦♣rés q ♣♦r

érr ♦♠♣♦rt♠♥t sttq s s ér♥ts ♦t♦s ré♥ts tr①

❬❲ ❲❪ s♦♥t ♣s ♥②sr ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q ②t♦sq

tt t ♣r♠tt♥t ♦♥ étr s s ts

♦ès ♠é♥qs

♦ès ♣r♦t♦♥

♦rs ♣r♦♣♦sé ♥ ♥ ♠♦è ②t♦sqtt sé sr ♣r♦sss ♣r

♦t♦♥ ❬♦r❪ ♠♦è st ♦♥é sr ♦♥♥tté s éé♠♥ts ②t♦sqtt

♦♠♠ rtérstq ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q s s ér♥ts ♦♥ té♦

r s♦s♥t ♣♦♥t tr♥st♦♥ ♦ s ♣r♦t♦♥ ♥ ♣s ♣♣rît

♦rs q ♥♦♠r① strs s♦♥t ♥tr♦♥♥tés t sét♥♥t ♥ ♦t à tr

s②stè♠ ♥ r♥ ♥ ss♦s s ♣tts strs ♥é♣♥♥ts ♣♣

rss♥t ♥s ♣♣r♦ é♦♣♣é ♣r ♦rs ♥♦t♦♥ ♦♥♥tté ♦ ♦♥ ♥

rô ss♥t t ss ♣r♦♣rétés é♣♥r ♣r♦♣t♦♥ s s♥① ♥trrs

Pr st rr t ❬❪ ♦♥t r♣rs tt ♣♣r♦ ♥s rs tr① ♥ ét

♥t s ♣r♦♣rétés tr♥srt é♥r ②t♦sqtt st r♣rés♥té ♣r

♥ ♥♦② ♥tré à ♥térr ♥ tr ②t♦sqtt q♥t à

♦♥sst ♥ s ts rs ♠♥ts t♥ rés ♣r s rss♦rts éstqs r♣ré

s♥t♥t s ♠♦és ts q ♠♥ r ♦♥♥trt♦♥ s ♠♥ts

été ♦s ♠♥èr à é♣ssr s ♣r♦t♦♥

♣r♦t♦♥ ♥ ♠♦è r♣rés♥t♦♥ sé♠tq

②t♦sqtt ❬❪ rré ♥térr r♣rés♥t ♥♦②

① t②♣s ér♥ts s♥① ♠é♥qs s♦♥t ♣♣qés à ♠♠r♥

♥ ♦♥ ♦ t ♥ st♠t♦♥ s♥s♦ï ♦♥t♥ é♥r ♥

♥♦② st ♦♠♣ré à é♥r ♥ ♠♠r♥ t rt♦ st été ♥ ♦♥

♣tr ♦ést♦♥

t♦♥ s ♣r♦♣rétés ♣②sqs s②stè♠ s♦sté éstté s rss♦rts t réq♥

s♥ s réstts ♦t♥s ♠♦♥tr♥t q ②t♦sqtt s ♦♠♣♦rt ♦♠♠ ♥ tr

♣ss♥ ré ♣♦r s ♠♦és s♦♥ ♦♥♥és tr♥s♠ss♦♥ é♥r

tt♥t ♥ r ♠①♠ ♣♦r ♥ rt♥ ♠♠ réq♥s st♠t♦♥

♣♣rt s réq♥s ♣r♦♣rs rés ♦r♥t ♦rs ♠ê♠ ♠♠ réq♥s

♥ ♦rs tt ♣ s s♥① s♦♥t ♣rsq ♥♣s tt♥r r st♥t♦♥

P♦r s trs ♥r s rt♦s rs s ♠♦és s♦♥ ér♥ts

♦♥st♥ts éstqs t♥♥α ♠♥ ♣t♥ ♣r♠ttrt ♦♥trôr tt

♣ réq♥ t ♣r ♠ê♠ té ♣r♦♣t♦♥ s♥ ♠é♥q

♥s ré♥ts tr① ♣r♦sss ♣r♦t♦♥ é♠♥t sr à étr é♦r

♠t♦♥ rés① ♣♦②♠èrs ❬❪

tt ♣♣r♦ ①♣q ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q ②t♦sqtt à ♣rtr

♥tr♦♥♥tté s éé♠♥ts ♥ s♣♣r♥t ① ♠♦ès t♥sérté

t ① ♠♦sss é♦rs ♣♥♥t s ♦rs é♥érés ♣r ②t♦sqtt s♦♥t

♥♦rés

♦ès sstr♥st♦♥

♥s ❬∗❪ r② t t♥t s ♠srs ♠♥ét♦②t♦♠étr sr s

s ♠s ss t ♠♦♥tr♥t q ♠♦ éstq ♠♥t ♣

réq♥ t st ♥ ♦ ♣ss♥ ♠♦ ♣rt r♣rés♥t♥t ♦♠♣♦

s♥t sqs st é♠♥t ♥ ♦ ♣ss♥ s♦s ♣tts réq♥s ♠s

à ③ é♠r ♣r♦rss♠♥t ♥ ♦rt é♣♥♥ P♦r ①♣qr ts

♦♠♣♦rt♠♥ts s trs ♣r♦♣♦s♥t ♥ ♠♦è sstr♥st♦♥ s é♥ss♥t ♦rs ♥

rt♦♥ ♠♦ éstq ♦♠♣① ♥ ♠tér ♥ ♦ ♣ss♥ ♦r♥é ♣r ♥

①♣♦s♥t x s ♠ts rt♦♥ t ①♣♦s♥t s♦♥t x = 1 ♦♠♣♦rt♠♥t s♦ t

x = 2 ♦♠♣♦rt♠♥t q P♦r r② t s réstts ♦t♥s ♠♦♥tr♥t q s

s étés s ♦♠♣♦rt♥t ♦♠♠ s ♠tér① tr① ♠♦s ♥s x st ♦♠♠

t♠♣értr t ♦ ♥ rt rs♣♦♥s tt♦♥ q ♣r♦♦q s

ré♦r♥st♦♥s s♣ts ts ♠tér① P♦r s trs s ♣r♦té♥s ②t♦sq

tt rér♥t s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs ♥ ♠♦♥t ♣r♥♣♠♥t tt

♦ès ♠♦tté r

t♠♣értr rt t tt r♥èr st ♦♥ ♦♠♠ ♥ ♠sr

♣té ②t♦sqtt à s é♦r♠r t à s r♠♦r

Pr st s tr① ♦♥t été r♣rs ♥s ❬❪ ♣♦r ①♣qr ♦♠♣♦rt♠♥t

s ♠s ss r♦♥q

tt ♣♣r♦ tr♥t ♣r♠t r♥r ♦♠♣t s ♣r♦♣rétés ré♦♦qs s

s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ♦ ♣ss♥ ♥s q r♠♦ ②t♦sqtt

é♥♠♦♥s s ①♣t♦♥s ♥és r♣♦s♥t sr s ②♣♦tèss q ♥ s♦♥t t

♠♥t ♣s és

♦ès ♠♦tté r

Pr s♦♥ ♠♣t♦♥ ♥s ♥♦♠r① ♣r♦sss ♦♦qs trst♦♥ ré♣♦♥s

♠♠♥tr ♠♦tté r t ♦t ♥♦♠r① tr① s r♥èrs

♥♥és ♥ ♣t st♥r ① té♦rs ♥ ♦♥t♦♥ r ♥tr ♥térêt ♥s

♣r♠èr s rrs s♦♥t ♦r♥tés sr tr s t ♠♦♠♥t ♥ tss

♦♦q ♥ r♥ ①è♠ ♣♣r♦ s ♦s sr ♠♦♠♥t ♥

s s ♥s tt st♦♥ s ① ♣♣r♦s s♦♥t ♣rés♥tés sss♠♥t

r t ♠♦♠♥t ♦t s

s ♠♦ès é♦♣♣és ♣♦r r♥r ♦♠♣t tr t ♠♦♠♥t ♦t

s s♦♥t ♥trés sr s ♠s t②♦st♠ s♦♠ t ♦r♥s♠ ♦♥stt

♥ t ♥ ♠♦è rt♠♥t ♣♣r♦♣ré ♣♦r ét ♣r♦sss é♦♣♣♠♥t①

Psrs ♣♣r♦s ♦♥t été ♣r♦♣♦sés ♥s ♥ ♣r♠r ♣rr♣ ♠♦è ♦♥é sr

s t♦♠ts rs st ♣rés♥té ♣rr♣ ♣rr♣ q♥t à

ét ♣♣r♦ ♥s q s s s♦♥t ♠♦ésés ♦♠♠ s ♣s♦ïs é♦r

♠s ♥♥ ♣♣r♦ ts♥t s ♠♦ès ♦♥t♥s st ①♣♦sé ♥s ♣rr♣

♣tr ♦ést♦♥

♣♣r♦ ♣r t♦♠ts rs

st à ③r t r♥r ❬❪ q ♦♥ ♦t s ♣r♠rs tr① ♦♥és sr tt

♣♣r♦ st r♣rés♥té ♣r ♣srs t♦♠ts rs ♦♥♥tés t s

♥trt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t s s sàs r ♥r♦♥♥♠♥t

♠q ♦ ♥ ♥♦r ♦♥srt♦♥ ♦♠ s♦♥t ♦♥♥és ♣r s ♦s ♣s

♠♦♠♥t st étr♠♥é ♣r ♠♥♠st♦♥ ♥ é♥r r ♥s rs tr①

③r t r♥r ts♥t ♥ ♠♦è P♦tts ♣♦r r♣rés♥tr é♥r ♥tr s s

t étr♠♥r ②♥♠q r ♠♦♠♥t

tt ♣♣r♦ ♣rés♥t ♥t ♣♦♦r êtr ♠♥t ét♥ t ♥s été

r♣rs ♥s ♥ rt♥ ♥♦♠r tr① ♣♦r étr ér♥ts ♣r♦sss ♦♦qs

❬ P ♦ ❪ s s♠t♦♥s ♦t♥s s♦♥t é♥ér♠♥t ♥

♦r s ♦srt♦♥s ①♣ér♠♥ts é♥♠♦♥s ♣srs ♠ts ♣♣rss♥t

st t♦t ♦r ♥ ♣♣r♦ ♥ ① ♠♥s♦♥s ♦rs q st ♥

♦♠♥ R3 ♥st ♣②sq s♥st♦♥ t s ♥trt♦♥s

♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥♥ ♥st ♣s t♦♦rs é♥t r ♣rè ♥tr

s ♣r♠ètrs tsés t s ♦♥♥és ①♣ér♠♥ts

♦ès ♥trés

♥s ❬P P❪ Pss♦♥ t s♥térss♥t à ç♦♥ ♦♥t ♠♦♠♥t s

♥s ♦♥t ♠♦♠♥t ♦t ♥ rét s à trrs ♥s

r ♣♣r♦ ♥ st ♠♦ésé ♣r ♥ ♣s♦ï é♦r♠ ♦♥t s tr♦s ①s

♦♥t♥♥♥t ♥ rss♦rt ♥♦♥ ♥ér ♥ ♣rè ♥ éé♠♥t ① ♠♦♠♥t

♥ ♣♦ssè ♥ ♦♠♣♦s♥t ét♦r t ♥ ♦♠♣♦s♥t étr♠♥é ♣r ♥

s♥ ♠♦ttq Psrs t②♣s ♦r s♦♥t ♦♥sérés ♥ ♦r ♣r♠tt♥t à

s é♣r t rést♥t s♦t s ♥trt♦♥s s♦t ♥trt♦♥

sstrt ♥ ♦r ré♣s ♣r♦♥♥t résst♥ à

é♦r♠t♦♥ t ♥ ♦r résst♥ sqs ♣s é♦r♠t♦♥ s s

s t à ♦♠ ♦♥st♥t s réstts ♦t♥s ♠♦♥tr♥t q ♠♦♠♥t ♦♦r♦♥♥é

t ♦t s ♥s ♣r♦♥t ♦♠♣♦rt♠♥t s ♥s

♠♦è ♣r♠t é♠♥t ♣rér ér♥ts ♣é♥♦♠è♥s ♦srés ♥s s rs ♥

♦ès ♠♦tté r

① ♠♥s♦♥s r

♠♦♠♥t ♥ r ♥ ré♣♦♥s à qqs s ♣♠r stés à

♥t ❬P❪ ♥tr s ① ♣r♠èrs ♠s ♥ t à ♥ ♥♦ ♣♠r

♣♣rît sr ôté r

é♠♠♥t ♦♥ t ❬❪ ♦♥t ét♥ ♠♦è ♣♦r étr ç♦♥ ♦♥t s

s ♥s ♥ r ♦♥tr♥t à s ♦r ♠♦tr ♦ s tr♦s ♣r♥♣s ér♥s

rés♥t ♥s ♠♥èr ♦♥t s ♦rs s♦♥t étr♠♥és ♥s ♦r♠

t ♥s s ♥trt♦♥s s s ♥ sstrt ①é

s réstts ♦t♥s râ à tt ♣♣r♦ ♣r ♣s♦ï é♦r♠ r♣r♦s♥t ♥

rt♥ ♥♦♠r ♦srt♦♥s ①♣ér♠♥ts ♦t♦s ① ♣r♥♣① éts ♣♥t

êtr é♥♦♥és ♦t ♦r s s ♦♥tts s♦♥t ♦♥sérés ♦r♠ s

s ♥st ♣s é♥ ①♣t♠♥t ♥st s é♦r♠t♦♥s t s ♠♦♠♥ts r♣♦s♥t

sr s ①s ♣s♦ï q ♥ ♠t s ♣♦sstés

♦ès ♦♥t♥s

st à t ♦♥♥r ❬❪ q ♦♥ ♦t ♥ s ♣r♠èrs t♥tts ♣♦r ♠♦

ésr ♠rt♦♥ r ♦♠♠ ♠♦♠♥t ♥ à ♣rtr s éqt♦♥s

rt♦s tt ♣♣r♦ ♣rés♥t ♥é♥♠♦♥s rt♥s ♠ts ❬❪

Pr st ♥ ♣♣r♦ ♣é♥♦♠é♥♦♦q été é♦♣♣é ♣r ❱s t ❬❱❲❪

r ♠♦è st ♦♥é sr ♣r♦♣t♦♥ ♥ s♥ ♠♦ttq ♥s ♥ ♠ ①

t ♠♦♠♥t r ♥ ré♣♦♥s à s♥ st ♠♦ésé ♦♠♠ ♠♦♠♥t

♥ ♥♦♠♣rss s éqt♦♥s t③♠♦ ♣r♠tt♥t rtr♥srr

♥étq P t♥s q ♠♦♠♥t s s st ért ♣r s éqt♦♥s

♣tr ♦ést♦♥

rt♦s r ♦r♠♥♥ t ❬❱❲❪ ♦♥t ♥st r♣rs ♠♦è ♥ ②

♥♦r♣♦r♥t ér♥ts t②♣s s s

♠s ssss ♣r♦sss rét♦♥ t②♦st♠ ❬❱❲❪

♥sté r st ♠♦♥tré ♦♠♠ ♥ s♦sr ♥ t♥s q s ♦♥♥trt♦♥s

P ♦♥t ♦♥♥trt♦♥ r♦ ♦♥♥trt♦♥ ♦rt

❯♠ t ❬❯❪ ♦♥t é♦♣♣é ♥ ♠♦è ♦♥t♥ ♣♦r étr tr s

t ♠♦♠♥t r r ♠♦è r♣♦s ♣r♥♣♠♥t sr tr♦s ②♣♦tèss

♦r ♠♦tr rét ♦rrs♣♦♥ à s♦♠♠ s ♦rs ♠♦trs é♥érés ♣r

t♦ts s s ♠♦♠♥t s s st ♦♥trôé ♣r s s♥① ♠♦t

tqs ♣r♦♣és à ♣rtr ♥ s♠♣ ♣♠r t s ♦rs ♠ts rét ♥♦♥t

♣s ♥♥ sr ♠♦♠♥t s s s s ♥♠érqs q ♥ é♦♥t

s♦♥t tés ♥s ♥ s♣ à ① ♠♥s♦♥s s réstts ♦t♥s r♣r♦s♥t s

♦♠♣♦rt♠♥ts ♦srés ①♣ér♠♥t♠♥t ♣r ①♠♣ ♦rrét♦♥ ♥tr tss

t ♦♥r r ❯♠ t ♥♦② ❬❯❪ ♦♥t ♥st ét♥ ♠♦è ♥ ♥♦r♣♦

r♥t ♥t t②♣s s ér♥ts résst♥s ♥tr♥sèqs ♠♦♠♥t t

♣srs ♦♥ts s♦♥

é♠♠♥t ❱s t ❲r ❬❱❲❪ ♦♥t tsé ♥ ♠♦è ♦♥t♥ ♣♦r érr

r ♦♠♠ ♥ ♥♦♠♣rss sq① t étér♦è♥ ♦♥t ♠♦♠♥t

st ♦♥trôé ♣r s ♦♥s P s ♣♦st♥t é♠♥t q ♦r ♠♦tr st ♦

♠étrq s s ♥♠érqs s♦♥t résés ♥s s ♦♠♥s à tr♦s ♠♥s♦♥s ♥

ts♥t ♠ét♦ s ér♥s ♥s

♦ès ♠♦tté r

s réstts ♦t♥s s ♠♦ès ♦♥t♥s s♦♥t é♥ér♠♥t ♦rr♦♦rés ♣r

s ♦srt♦♥s ①♣ér♠♥ts ♣♥♥t rt♦♥ ♥tr ♦♠♣♦rt♠♥t ♥

s t ♠♦è st ♣ é♥t s ♥ ♣rt ♥s s tr① ❯♠ t

♥♦② ❬❯ ❯❪ ♣s s♠t♦♥ s éqt♦♥s ♣r♦♣♦sés s ♠ét♦s

♥♠érqs ♥ésst s rss♦rs ♠♣♦rt♥ts

♦♠♥t ♥ s

♥♦♠r① ♠♦ès ♦♥t été ♣r♦♣♦sés ♥s ttértr ♣♦r r♥r ♦♠♣t

é♣♠♥t s ♥s sr ♥ sstrt Pr♠ ①à ♣srs ♣♣r♦s

à ♥ ♠♥s♦♥ ♦♥t ♣r♠s ①♠♥r rs s♣ts ♠♦tté r

t ❬❪ ♦♥t é♦♣♣é ♥ ♠♦è ♦♥é sr ♥ t r♦♥♦♦q ②

♠rt♦r r♥r st é♦♣é ♥ tr♦s ét♣s t♠♣s ♥éssr à ①t♥s♦♥

strtr ♣r♦trs t♠♣s ♣♦r ♦♥trt♦♥ ②t♦sqtt t

t♠♣s ♣♦r r①t♦♥ st sé ♥ s① ♦♠♣rt♠♥ts s qtr ♦♠

♣rt♠♥ts ♥tr① ♦♠♣r♥♥♥t ♥ rss♦rt éstq ♥ ♣rè ♥ ♠♦rtssr t

♥ éé♠♥t ♦♥trt t♥s q s éé♠♥ts ① ér♥t s ♥trt♦♥s

sstrt à q ①tré♠té s ♦♠♣rt♠♥ts s♦♥t sé♣rés ♣r s ♥♦s ♦♥t s

é♣♠♥ts étr♠♥♥t é♦r♠t♦♥ t tr♥s♦t♦♥ r s

réstts ♦rrs♣♦♥♥t à s ♦srt♦♥s tsss rs ♠♦è ♣r♠t ♦

t♥r s ♣rét♦♥s érs ①♣ér♠♥t♠♥t ♠s ♣srs ♠ts ♣♣rss♥t

s trs s ♦s♥t ♥q♠♥t sr ♠♦♠♥t ♥s ♥ s♣ ♥♠♥s♦♥♥

tt ♣♣r♦ ♥ ♣r♥ ♣s ♥ ♦♠♣t s ♣r♦♣rétés ♦♥trts ②t♦sqtt t

rô ♦r♥st♦♥ s ré♣trs ♥s rét♦♥ ♠rt♦♥

❯♥ ♣♣r♦ s♠r été é♦♣♣é ♣r ♦♥r t ❬❪ r ♠♦è

à ♥ ♠♥s♦♥ r♥ ♦♠♣t ♠♦♠♥t rér ért♦②ts ♣♦ss♦♥ ♥ ♦♠

♥♥t tr♦s s♣ts ♣r♦trs♦♥ és♦♥ t t♦♥♠♥t t ♦♥trt♦♥

rés t♦♠②♦s♥ tt ♣♣r♦ q♥ttt ♠♦tté ♣r♠t ♦t♥r s

réstts ♥ ♦r s ♦♥♥és ①♣ér♠♥ts ♦t♦s ♥ t♥t ♣s ♦♠♣t

rét♦♥ ♠♦♠♥t ♣r s s♥① ①trrs t s ♦s s♥st♦♥

♦rrs♣♦♥♥ts P♦r ♥♦r♣♦rr s ♦♥♥és ♠é♥qs ♥étqs t strtrs

srt ♥éssr ♦♣tr ♥ ♣♦♥t ♠s ♥②s ♥ t ♠♦è srt ♦rs

♣tr ♦ést♦♥

strt♦♥ ♠♦è s♦éstqs♦ ♣r♦♣♦sé ♥s ❬❪ ♣♦r érr

♠é♥q ♦rs s♦♥ é♣♠♥t

très ♦ûts

♦♥r t ❱r③ ❬❱❪ ♦♥t é♦♣♣é ♥ ♠♦è ♣②sq à ♥ ♠♥s♦♥ ♣♦r

r♥r ♦♠♣t s ♠♦♠♥ts r♣tt♦♥ s♣r♠ ♥é♠t♦ P♦r r s

ts♥t ♥ s②stè♠ éqt♦♥s ér♥ts ♦♣és ♣♦r ♠♦ésr s ♣r♦sss ♣②

sqs s♦s♥ts ♣é♥♦♠è♥ ♦♦♠♦t♦♥ ♣r♦trs♦♥ ♦♥trt♦♥ és♦♥ t

rét♦♥ ♦♠q s réstts ♦t♥s r♣r♦s♥t ♠♦♠♥t rér st

s♣r♠ ♥é♠t♦ é♥♠♦♥s rt♥s ♠ts ♣♣rss♥t ♥ ♣rt ♥ rs♦♥

s♦♥ rtèr ♥♠♥s♦♥♥ ♠♦è ♥ ♣t r♥r ♦♠♣t ♦♠♣♦rt♠♥t

♥ ss ôtés tér① tr ♣rt ♠♦è ♣♣♦rt ♥q♠♥t s

♦♥s♦♥s ♦♥♣ts ♣tôt q s ♣rét♦♥s tsts ①♣ér♠♥t♠♥t

Ps ré♠♠♥t r t ❬❪ ♦♥t é♦♣♣é ♥ ♠♦è ♦♥t♥ à ♥ ♠♥

s♦♥ ♥s q st ♦♥séré ♦♠♠ ♥ ♠tér s♦éstq ♥s tt

♣♣r♦ ♣r♦sss ♦♦♠♦t♦♥ r♣♦s sr s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs

ts q s♦♥ éstté s ♣té à s ♦♥trtr t s ♥trt♦♥s sstrt

s♦t♦♥ s éqt♦♥s ♠♦è éqr s ♦rs t rét♦♥s♦♥ ♣r♠t

r♥r ♦♠♣t é♦r♠t♦♥ t tss r ♥ ♦r s ♦♥♥és

①♣ér♠♥ts ♠♦è r♥ ♣♦ss ♥tr♣rétt♦♥ réstts ①♣ér♠♥t①

Pr st ♠♦è ♦♥t♥ s♦éstq été tsé ♣r rr♣ t ❬❪

rt♥s ♠♦t♦♥s s♦♥t ♦rs ♣♣♦rtés ♦♠♠ ♣rs ♥ ♦♠♣t ♣r♦sss

♣♦②♠érst♦♥é♣♦②♠érst♦♥ t♥ t ♥ é♥t♦♥ ♣s ♣rés ②♥♠q

♦ès ♠♦tté r

♠②♦s♥ s réstts ♥♠érqs ♦t♥s r♣r♦s♥t rt♥s ♦srt♦♥s ①

♣ér♠♥ts ♠s s ♣tés ♣réts ♠♦è s♠♥t ♠tés

♥ ♣rè s ♣♣r♦s ♥♠♥s♦♥♥s qqs tr① ♣♣rss♥t ♥s

sqs ① ♠♥s♦♥s s♣ s♦♥t ♦♥sérés ♦tt♥♦ t ❬∗❪ ♦♥t ♥♦

t♠♠♥t été ♠♦♠♥t r♣tt♦♥ s♣r♠ ♥é♠t♦ ♥ ♦♥strs♥t ♥

♠♦è sé sr s éé♠♥ts ♥s t s ♣♦②♦♥s ❱♦r♦♥♦ï ♥s r ♣♣r♦

♠♣♦ ♦♥sst ♥ ♥ rés ♥♦s rés ♥tr ① ♣r s rêts ♦♥t♥♥t ♥

éé♠♥t éstq ♥ ♣rè ♥ éé♠♥t ♦♥trt P♦r ♠♦ésr s ♥trt♦♥s

sstrt s ♥♦s s♦♥t rés sstrt ♣r ♥tr♠ér ♥ ♠♦rtssr

①♣tés s ♥♦s r♦♥t ♥t ♠♦è r♥ ♦♠♣t ♠♦tté r ♥

♦r♥ss♥t ♥ s ♠é♥q ♣♦r s ♣r♦sss ♣r♦trs♦♥ és♦♥ sstrt

t rétrt♦♥ ♦r♣s r s s♠t♦♥s q ts♥t ♠ét♦ s éé♠♥ts

♥s ♣r♦s♥t s réstts ♣r♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦srés ③ s s ♠♦ts

♣♥♥t s t♠♣s s ♥éssrs ♠r♥t ♠♣♦rt♥ts

♣♣r♦ ♣r s ts ♣r♠s r♥r ♦♠♣t ♠♦♠♥t r ❬P❪

♦r ♣rr♣ ♥ s s♥t sr ♥ s♦éstq ♥♦♠♣rss ♥s ♥ é♦

♠étr ür t s♠♥t é♣♠♥t ♥ ért♦②t ♥ t♥♥t ♦♠♣t ♣r♥

♣♠♥t ♣r♦trs♦♥ ♣♦②♠érst♦♥é♣♦②♠érst♦♥ t♥ és♦♥

sstrt t ♦♥trt♦♥ rés t♦♠②♦s♥ r

r♣rés♥tt♦♥ sé♠tq é♦♠étrt ♥ ♥ ♦

♦rr♣♦♥♥t ♠♣♦ ♥ ♥ ♠♦♠♥t ❬P❪ ♣♦rst♦♥

st ♦♥♥é ♣r tr p ♣♦②♠érst♦♥ à sr ♥s ♥ rt♦♥

♥♦r♠ à sr t à tss vp

s tr① ♥st♥ t ❬❪ s ♦♥♥t é♠♥t sr ♥ ♣♣r♦

♣tr ♦ést♦♥

♠♥s♦♥♥ s ♦♥t ♥ t é♦♣♣é ♥ ♠♦è ♠té s②stè♠

t♦♠②♦s♥ q é♥èr ♠♦♠♥t s ért♦②ts tt ♣♣r♦ ♦♠♥ s s♦s

♠♦ès ♣♦r ♣r♦trs♦♥és♦♥ rétrt♦♥ ré ♣r ♠②♦s♥ éstté

♠♣♦ ♦♥séré ♦♠♠ ♥ ♥ ♠ ♥ t tr♥s♣♦rt t tr♥♦r

t♥ ♠ét♦ s éé♠♥ts ♥s st tsé ♣♦r s♠r ♥♠érq♠♥t ♠♦è

rést♥t q ♠♣q ♦♠♠ ♣réé♠♠♥t ♦rs s

s réstts ♦t♥s ♠♦♥tr♥t q tt ♣♣r♦ ♣r♠t r♣r♦r s ♦r♠s t

s ♠♦♠♥ts ♦srés ♠♣♦ ♣♥♥t ♣té ♣rét♦♥ ♠♦

è rst ♠té ♣sq r♣♦s sr s ②♣♦tèss ♥♦♥ ♥♦r ♣r♦és ♣r ①♠♣

és♦♥ ♣tôt q résst♥ ♠♠r♥ ♦♠♠ tr ♠t♥t ♣r♦trs♦♥

é♠♠♥t ❩♠♥ t ❬❩❪ ♦♥t ♣r♦♣♦sé ♥ ♣♣r♦ ♦♥♠♥t♠♥t

ér♥t s ♠♦ès ér♥t ♠rt♦♥ s s sr ♥ sstrt ♦♠♠ ♥

♣r♦sss ♦♥t♥ r ♠♦è ♣r♠t r s ♣rét♦♥s qtts à ♣r♦♣♦s

♠rt♦♥ s s sr s ♠trs ♥s tt ♣♣r♦ ♠♦tté st ♣rés♥té

♦♠♠ ♥ ♦♥t♦♥ t♠♣s t étr♠♥é ♥ ♥t s ♦rs q ss♥t sr

♥tr♦ï à q ♣s t♠♣s ❯♥ tr ♦r st tsé ♣♦r r tss t

♣♦st♦♥ à q ♠♦♠♥t tr ♣r♥ ♥ ♦♠♣t s ♦rs trt♦♥

s ♦rs s à ♣r♦trs♦♥ t s ♦rs réssts ♣r♦♥♥t s♦sté

♠tr ①trr ♠♦è s ♦s à ♦s sr t ♠tr

♦rs é♣♠♥ts ♥ ♥ ♦♥sér♥t s ♣r♦trs♦♥s r♦♥t ♥t

rté s rs ♥s ♠tr t s résst♥ ♦♣②sq

s tr① ♦♥és sr ♥ r♣rés♥tt♦♥ ♥♠♥s♦♥♥ ♣r♠tt♥t

♣♣♦rtr ♥ sr♣t♦♥ q♥ttt s ♠é♥s♠s rs♣♦♥ss ♦♦♠♦t♦♥

s rtérstqs ♣r♥♣s ♠♦tté s♦♥t é♥ér♠♥t ♣rss ♥ ♦♠♣t

s②stè♠ t♦♠②♦s♥ ②t♦sqtt t♥ s ♥trt♦♥s sstrt s à

♣rt ♠♦è ♦♥r t ❱r③ ❬❱❪ ♥s q rt♥s ②♣♦tèss t rs

♣r♠ètrs ♥ ♣♥t êtr és rt♠♥t à s ♦♥♥és ①♣ér♠♥ts s

rs s ♣r♠ètrs s♦♥t sss ttértr t ♦srt♦♥s ①♣ér♠♥ts s

♠♦ès ①♣q♥t ♥s sès ♣srs s♣ts ♠♦tté ♣♥♥t ♣r

♦♥s♦♥

r ♦♥♣t♦♥ s ♣♣r♦s ♥ ♣r♠tt♥t ♣s r♥r ♦♠♣t ②♥♠q

♦r♠

P♦r ♣r à tt ♠t s ♠♦ès ♥ ♦♥t été é♦♣♣és s ♣♣r♦s q♥tt

ts ♣r♠tt♥t r♣r♦r s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♦srs ①♣ér♠♥t♠♥t ♠s

♣rés♥t♥t ♣r♥♣ és♥t êtr ♠♥s♦♥♥s ♦rs q st ♥ ♦

♠♥ R3

♥♥ s tr① ♠tt♥t ♥t sr s ♠♦♠♥ts rs ♥s ♥ ♥r♦♥♥♠♥t

♥ tr♦s ♠♥s♦♥s s réstts ♦t♥s r♣r♦s♥t s ♣r♥♣s rtérstqs

♠rt♦♥ r ♥s ♥ ♥r♦♥♥♠♥t t ♦rrs♣♦♥♥t qtt♠♥t à

ré♥ts ♦♥♥és ①♣ér♠♥ts é♥♠♦♥s tt ♣♣r♦ ♦♠♣r♥ rt♥s ♠ts

s ♥♠♥ts ♦r♠ ♦rs s♦♥ é♣♠♥t ♥ s♦♥t ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t

♣s ♥ rs♦♥ r ♣s t♠♣s s ♣r♦sss ts q ♦♥trt♦♥ t

①t♥s♦♥ ♣ér♦qs r♦♥t ♥t ♦ ♥ ♥♦r ♦r♠t♦♥ s

t♥ s♦♥t ♥♦rés

♦♠♣ré♥s♦♥ ♠rt♦♥ t ♠♦tté r ♥ésst ♦♥♥îtr ♥♦♥

s♠♥t s ♠é♥s♠s ♠qs t ♦♦qs q ♥tr♥♥♥t ♥ tss

r ♦ r ♠s é♠♥t s ♣r♦sss q ♦♥t à ♥térr ♠ê♠

é♥♠♦♥s ♥s ♣♣rt s ♠♦ès sstés s ♥ ♣rt ♥s ❬❪

t ❬∗❪ ♦♥♥①♦♥ ♥tr s ♥① ♠♦érs t rs ♣♦r érr

♦♠♣♦rt♠♥t ♠♦t rst és

♦♥s♦♥

♦rs ♣tr ♥♦s ♦♥s ♦ré ① ♣r♥♣① ♦♠♥s rr

♥ ♦♦ r q s♦♥t s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs s s t rs ♠♦♠♥ts

♥s tt ♦♥s♦♥ ♥♦s r♥r♦♥s t♦t ♦r sr s ♠♦ès ♠é♥qs ♣rés♥

tés ♣♦r ♥ ♦♥♥r ♥ s②♥tétq t ér r ♥②s ♥ rt♥ ♥♦♠r

♦ts à tt♥r ♦rs tr tès ♥st ♥♦s ♥♦s ttrr♦♥s sr

s ♠♦ès ♠♦tté r à trrs s ① té♦rs ♦♥sérés ♥ ♣rt

tr t ♠♦♠♥t ♦t t tr ♣rt ♠♦♠♥t ♥ P♦r ♥

♣tr ♦ést♦♥

♥tr s ♥♦s rés♠r♦♥s ♣rés♥tt♦♥ q ♥ été t ♥t ♦♠♣étr st

♥♦s ♦ts

♦ès ♠é♥qs

♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♥♦s ♦♥s ♣rés♥té s ♣r♥♣① ♠♦ès ②♥t trt à

ré♣♦♥s ♠é♥q r ① ♣♣r♦s ♦①st♥t ♥ ôté ♣♣r♦ ♣r ♠♦

ès ♦♥t♥s ♥s q st ♦♠♠ ♥ ♠tér ♦♠♦è♥ tr

ôté ♣♣r♦ ♣r ♠♦ès srts ♦ù étér♦é♥été ②t♦♣s♠ st ♦♥séré

Psrs ♠♦ès ♣♣rt♥♥♥t à tt té♦r ♦♥t ♣s ♣♦♣r st t♥sérté

♥s t ♥♦s rés♠♦♥s ♣♦r ♥ s ♣♣r♦s ♣rés♥tés s ér♥ts

s♣ts ♦♦qs trtés t r♣♣♦♥s rs ♣r♥♣① ♥♦♥é♥♥ts

♣rtr ♥②s s ♠♦ès ♥♦s é♦♥s s ♦ts à tt♥r ♦rs

tt tès ♥ tr♠s ré♣♦♥s ♠é♥q

♦♥sérr étér♦é♥été t ♥♦t♠♠♥t étér♦é♥été rttr

t ♠é♥q ②t♦sqtt

♥r ♦♠♣t s ♠é♥s♠s ♠qs ♠♣qés ♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é

♥q ♥ ♣rtr sr ♣r♥r ♥ ♦♥sért♦♥ ♠ét♦

s♠ r ♥s é♥ért♦♥ ♦rs ♠é♥qs rs♣♦♥ss ♠♦♠♥t

t é♦r♠t♦♥

♦ésr s ♣r♦♣rétés ②♥♠qs ♣♣r♦ tsé ♣r♠ttr

♥tr trs r♥r ♦♠♣t r♠♦ ②t♦sqtt

♦♥sérr s ♣r♦♣rétés ré♦♦qs ♥ ♣rtr ♦♥ sttr à

s♣♦sr ♥ ♠♦è ♣r♠tt♥t s♠r ♠♥t éstté r

♦ès ♠♦tté r

♥s ♥ ①è♠ t♠♣s ♥♦s ♦♥s ♦ré s ♠♦ès ♠♦tté r s♦♥

① té♦rs ♥s ♣r♠èr ② st qst♦♥ ♠♦♠♥t tss t tr

s ① t②♣s ♣♣r♦ ♦♥t ♦rs été ♣rés♥tés ♥ ♣rt s ♠♦ès ♥trés

sr ♥ s t♦♠ts rs t s ♣s♦ïs é♦r♠s ♦♥sèr♥t s ♣r♦

♦♥s♦♥

♣♣r♦s s♣ts ♦♦qs ♥♦♥é♥♥ts

♦ès ♦♥t

♥s ♣rr♣

②t♦♣s♠ ♦♠♦è♥

♠♠r♥ ♥♦②

♣r♦♣rétés ré♦♦qs éstté s

♦sté

②t♦♣s♠ ♦♠♦è♥ t ♣ss

♠é♥s♠s ♦① ♥♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t

t♠♣s ♠♣♦rt♥t

♣r♦ssss ♠qs ♥♦rés

♦sss

é♦rs ♣r

r♣

t♥

é♦r♠t♦♥ s ♠♥ts

♠♦è sttq

♣♣r♦ ♣ss

♣r♦ssss ♠qs ♥♦rés

♥sérté ♣

rr♣ ♠♥ts t♥ ♠♥ts ♥tr♠é

rs t ♠r♦ts

t♥s♦♥ ♥tr♥

♣♦♥ts ♦① ér♥

s♦sté

ré♦r♥st♦♥ s♣t s ♠♥ts

♣r♦♣rétés ②♥♠qs ♥♦♥ ♠♦

ésés ♣r ①♠♣ r♠♦

♠♦è sttq

♣♣r♦ ♣ss

♣r♦ssss ♠qs ♥♦rés

Pr♦t♦♥ ♣

rr♣ rés① rs ♥tr♦♥♥tés

♣r♦té♥s s♦♥ ♠♥

②t♦♣s♠ sq① ♥♦②

♠♥♦tr♥st♦♥

♦rs é♥érés ♣r ♥♦♥ ♣rss ♥

♦♠♣t

♣♣r♦ ♣ss

♣r♦ssss ♠qs ♥♦rés

ss

tr♥st♦♥

♣rr♣

és♦rr t ♠étstté

♦♠♣♦rt♠♥t ♦♣ss♥

r♠♦ ②♥♠q

♦♥sért♦♥s ②♣♦tétqs

♣♣r♦ ♣ss

♣r♦ssss ♠qs ♥♦rés

♠♦ès ♣♦r ré♣♦♥s ♠é♥q s s

♣rétés s ♥s ts q t ♦♠ ér♥ ♥tr s

♦ ♥ ♥♦r ♦r t rs ♥ s♥ ♠♦ttq tr ♣rt s ♠♦ès

♦♥t♥s ts♥t s éqt♦♥s s♠rs à s tsés ♥ ②♥♠q s s ♣♦r

s♠r ♠♦♠♥t ♥ rét r♥r st ♦♥séré ♦♠♠ ♥ sq①

♥♦♠♣rss ért ♣r s éqt♦♥s rt♦s t rés♠ ♣♦r

q ♣♣r♦ s ér♥ts s♣ts ♦♦qs ♦rés ♥s q rs ♣r♥♣① ♥

♦♥é♥♥ts

♣tr ♦ést♦♥

♣♣r♦s s♣ts ♦♦qs ♥♦♥é♥♥ts

t♦♠ts

rs

♣rr♣

⇒ ♣srs t♦♠ts ♦♥♥tés

♣r♦♣t♦♥ ♥ s♥ ♠♦ttq

s♥sté à ♥ r♥t s♥

♠♦♠♥t ét♦r

♦♥srt♦♥ ♦♠

♥trt♦♥s

t②♣ r

♣ér♦ rértrr

♣♣r♦

♣②sq s♥st♦♥ t s ♥tr

t♦♥s ♥♦♥ ♦♥séré

♥♦ ♣r♠ètrs♦♥♥és ①♣ér

♠♥ts ♣ é♥t

♦ès

♥trés

♣rr♣

⇒ ♣s♦ï é♦r♠ ♥♦♠♣rs

s t s♦éstq

♣r♦♣t♦♥ ♥ s♥ ♠♦ttq

s♥sté à ♥ r♥t s♥

♠♦♠♥t ét♦r

♦♥srt♦♥ ♦♠

rté t t

♥trt♦♥s sstrt

t②♣ r t ♣♦rté

♦r♠ s s ♥♦♥ é♥ ①♣t

♠♥t ♦rs s ♥trt♦♥s

é♦r♠t♦♥s rs rstr♥ts

♦ès

♦♥t♥s

♣rr♣

rét ⇒ ♥♦♠♣rss sq①

♣r♦♣t♦♥ ♥ s♥ ♠♦ttq

s♥sté à ♥ r♥t s♥

♥trt♦♥s sstrt ♦♥t♦♥s

♠ts

t②♣ r

♣r♦♣rétés s s ♥♦♥ ♦♥sérés

s ♥ ♣rt ♥s ❬❯ ❯❪

♥②s ♥♠érq ♦ûts

♠♦ès tr t ♠♦♠♥t ♦t s

①è♠ t♦r ♠♦ès ♠♦tté r trt q♥t à

é♣♠♥t s ♥s sr ♥ sstrt ♥s t s ér♥ts

♣♣r♦s ♣r♦♣♦sés s♦♥t rr♦♣és ♥ ♦♥t♦♥ ♠♥s♦♥ ♦♥séré ♥s q

s s ♣r♥♣① s♣ts ♦♦qs ♦rés t s éts éés s♦♥t ♣résés

♦rt tt ♥②s s ♦ts tt tès ♦♥r♥♥t é♣♠♥t ♥

♦ ♥ tss s♦♥t s s♥ts

érr ①♣t♠♥t s rtérstqs ♣r♦♣rs à ts q ♦♠

♦r♠ ♣♣r♦ ♠♦ést♦♥ tsé ssrr ♠♥èr st♦♥

♦♥s♦♥

♦ès s♣ts ♦♦qs ♥♦♥é♥♥ts

❬❪

❬❪

❬❱❪

❬❪

❬❪

♣r♦trs♦♥ és♦♥ ♦♥trt♦♥

t♥

♥trt♦♥s sstrt

s②stè♠ t♦♠②♦s♥

②♥♠q ♦r♠

♥♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t

rstrt♦♥ à ♥ ♠♥s♦♥ s

♣

❬∗❪

❬❪

❬P❪

♣r♦trs♦♥ és♦♥ ♦♥trt♦♥

t♥

♣♦②♠érst♦♥é♣♦②♠érst♦♥

♠♦ès ♠♥s♦♥♥s ♦rs q

st ♥ ♦♠♥ R3

❬❩❪ é♥ért♦♥ ♦rs

résst♥ ♦♣②sq ♠tr

rté s rs

♥♠♥ts ♦r♠ ♥♦♥ ♦♥trôés

r ♣s t♠♣s

♠♦ès ♠♦♠♥t ♥ s

s ♣r♦♣rétés

♦♥sérr s s♥① ①trrs ♥s étr♠♥t♦♥ ♠♦♠♥t s

s P♦r s♠r s stt♦♥s résts ♠♦♠♥t r sr é♣♥♥t

♥ ♦♠♣♦s♥t ét♦r t ♥ ♦♠♣♦s♥t rt ♥ ré♣♦♥s à ♥ r♥t

s♥ ♠♦ttq

Pr♥r ♥ ♦♠♣t s ♥trt♦♥s t sstrt ♥ ♠ttr ♥

♣ s ♦s ♥trt♦♥ ♣♦r érr s ér♥ts t②♣s ♦♥tt ♥tr ♦ts

♦♦qs

tr ♥ rt♦♥ ①♣t ♥tr s rét♦♥s ♠qs érés ♣r

t ②♥♠q s♦♥ ♠♦♠♥t

♣♣♦rtr ♥ tr♥t à s♠t♦♥ ♣r s ♦rt♠s ♥♠érqs ts q

♠ét♦ s éé♠♥ts ♥s ♦ s éqt♦♥s rt♦s ♥ t ts

♠ét♦s rst très s♠r s ♠♦ès ♦♠♣①s r♥♥t ♦♠♣t

strtrs rés éstq r ♠sr ♥ ♥trt♦♥

♥♥ ♦♥ sttr à tt♥r s ♦ts ♦① s♥ts

♣tr ♦ést♦♥

♦♠♥r ér♥ts ♣r♦sss tt♦♥ ♠♦ér ① é♦r♠t♦♥s ②

t♦sqtt s♦♥ ér♥ts és t♠♣s s♦♥ à ♠♥t t

♦♥r ♠r♦♠ètr à ③♥ ♠♠ètr

Pr♦♣♦sr ♥ ♣♣r♦ ②♥♠q ♥ tr♦s ♠♥s♦♥s

♣tr

❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è

♣②sq srt

♦♠♠r

♥tr♦t♦♥

tt rt s ♣♣r♦s srèts

♦ès ♠

♦ès s♥s ♠

♦♥s♦♥

sr♣t♦♥ ♠♦è

Prés♥tt♦♥ é♥ér

ér♥ts ♦ts

♦♥tr♥ts

♠t♦♥s

①♣ér♠♥tt♦♥s

sr♣t♦♥

éstts

sss♦♥

♦♥s♦♥

♣tr ❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è ♣②sq srt

♥tr♦t♦♥

♥s ♣r♠r ♣tr ♥♦s ♦♥s é♥ r ♦♦q ♥♦s tr①

été ♥♦t♠♠♥t ♠♦♥tré q♦♥ ♥ ♣♦t ♥♦rr étér♦é♥été ♣♦ssè

♥ t ♥ strtr ♥tr♥ ②t♦sqtt q ♦ ♥ rô ♦♥♠♥t ♥s s♦♥

♦♠♣♦rt♠♥t st é♠♥t ♦rt♠♥t é♣♥♥t s ♥trt♦♥s s♦♥

♥r♦♥♥♠♥t ♦s ♦♥s ♥st ♣rés♥té ♦rs ♣tr ♣réé♥t ♣srs

♣♣r♦s s♥sr♥t ♥s ♦♥t①t tt tès ♣s é♥♦♥é s ♦ts ♦♦qs

s♥t ♠♥èr é♥ér à t♥r ♦♠♣t ♠ét♦s♠ r t s ♥trt♦♥s

♦ sstrt

♦♥♥t ♠t♥♥t s ①r ♥ rt♥ ♥♦♠r ♦ts à tt♥r tt ♦s

♥ tr♠s s♠t♦♥ t ♠♦ést♦♥

r♣r♦r qtt♠♥t s ♦♠♣♦rt♠♥ts rs ♦♠♣①s t tr♠♥t

♦♥ ésr ♠♦ésr ç♦♥ rést ♠s ♣s ♥éssr♠♥t ♣rés ♠♦

♠♥t t é♦r♠t♦♥ s s

♥r ♦♠♣t ②♥♠q ♥ ♦ ♥ ♣♦♣t♦♥ ♠♣q

♦♥strr s ♠♦ès ♦♠♣①s ♦♠♣r♥♥t s strtrs rss éstq

s♦ ♥ ♥trt♦♥

♠r ②♥♠q r ♦ r♥s q♥ttés s ♥s s t♠♣s

rs♦♥♥s

érr ♠♥t éstté t ♣résrt♦♥ ♦♠ ① s♣ts ♠♣♦rt♥ts

♥s ♦♥t①t ♦♦q tt tès

♥s r s♠t♦♥ ♦ts é♦r♠s ♦♥ ♣t st♥r ♣r♥♣

♠♥t s ♣♣r♦s sss ♠é♥q s ♠① ♦♥t♥s t s ♣♣r♦s

srèts s ♠♦ès ♣♣rt♥♥t à ♣r♠èr té♦r ♣rt♥t ♥ sr♣t♦♥ ♦♥t

♥ s♣ t t♠♣s ♣s t♥t ♥ srétst♦♥ ♣♦r rés♦r s éqt♦♥s

ér♥ts ér♥t ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦ts ♥s ♦♥t①t ét♦ s

é♠♥ts ♥s st é♥ér♠♥t ♣s tsé ♣♦s♥t sr ♥ s té♦

rq s♦ s ♣♣r♦s t♦rs♥t s s♠t♦♥s ♣réss t ♣r♠tt♥t étr

té s ♣r♦♣rétés ♣②sqs ♠tér① s s♦♥t ♣r ①♠♣ ♣rtè

tt rt s ♣♣r♦s srèts

r♠♥t ♣tés ♣♦r ♠ttr ♥ é♥ ç♦♥ été s ♠é♥s♠s rs

❬r ∗❪ ♦ q♥tr s ♣r♦♣rétés ré♦♦qs ♦r ♣tr ♣♥♥t

s s♦♥t tr♦♣ ♦♠♣①s ♣♦r r♥r ♦♠♣t ②♥♠q ♥ ♣s

s ♦♥ ♦♥sèr ♥ ♣♦♣t♦♥ s s♠t♦♥ s éqt♦♥s rést♥ts

♥ésstrt s rss♦rs ♠♣♦rt♥ts ♥ tr♠s t♠♣s t ♠é

♠♦r ♥ ♣rtr ♥ rs♦♥ st♦♥ s ♦s♦♥s t s ♦♥tts rr

s r♠rqs ♣♣rît q s ♠♦ès sés sr ♥ ♦rrs♣♦♥♥t ♣s à ♥♦s

tt♥ts ♥♦s sr♦♥s ♦♥ ♥ ♣♣r♦ srèt

♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♥♦s ♣ssr♦♥s ♥ r s ♣♣r♦s ♣②sqs ♠♣qés ♥s

s♠t♦♥ ♦ts é♦r♠s ♣♦r sqs ♦t ♥s q s éqt♦♥s ér♥t

s♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t s♦♥t srétsés st♦♥ tt ♣rés♥tt♦♥ ♦♥trr à r é♠r

r ♠♦è q ♥♦s ♦♥s tsé ♦rs tt tès ♦s ♥♦s ttr♦♥s ♦rs

à ♥ r ♥ sr♣t♦♥ é♥ér ♣rr♣ ♦s ♣rés♥tr♦♥s ♥st s é

r♥ts t②♣s ♦ts q st ♣♦ss ♠♥♣r ♣rr♣ ♥s ♠♦è s

♦♥tr♥ts ♦♥t été ♠♣é♠♥tés ♠♥èr à ♠♥tr s ♣♦sstés ♠♦ést♦♥

♦s ♥♦s ttrr♦♥s sr ① ♥tr s ♥s ♣rr♣ ♦s ①♣qr♦♥s

é♠♥t qs s♦♥t s ♦♥♥és t s ♣r♠ètrs ♥éssrs à sr♣t♦♥ s ♠♦ès

tsés ♦rs s s♠t♦♥s ♣rr♣ ♥♠♥t ♥s ♥ r♥èr st♦♥ ♥♦s

♣rés♥tr♦♥s s ①♣ér♠♥tt♦♥s q ♥♦s ♦♥s ♠♥és ét tr tès

♣♦r ér qtt♠♥t ♠♦è st♦♥

tt rt s ♣♣r♦s srèts

tt st♦♥ st éé à ♣rés♥tt♦♥ s ♠♦ès srts ♥♦♠r① tr①

s s♦♥t ttés à s ré♣rt♦rr q s s♦♥t s étts rt ❬ ∗❪ ♦

s ♠♥srts tès ❬ ♥ r r r❪ ♣rés♥t

t♦♥ q st ♥ s t ♣s ①st ♠s ♣♦r ♦t ♦♥♥r ♥ ♣rç s

♣r♥♣s ♣♣r♦s ♠♣qés ♥s s♠t♦♥ ♦ts é♦r♠s P♦r q

♣♣r♦ ért ♣r♥♣ ♦♥t♦♥♥♠♥t sr ♣résé st ♠♣♦rt♥t ♥♦tr

q s ér♥ts ♠♦ès ♣rés♥tés ♥ s♥sr♥t ♣s ♥s ♦♥t①t ♠♦és

t♦♥ r ♥s ♦♠♠♥té r♣q s tr① résés ♥ ♦♥r♥♥t ♣s

♣tr ❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è ♣②sq srt

s♠t♦♥ s ss s ♣r♥♣① ♦♠♥s ♣♣t♦♥ sr♦♥t ♦♥♥és ♥é

♣♥♠♠♥t r ♦♦q tt tès s ér♥ts ♦ts ss♥♦♠♠és ♥♦s

♣r♠ttr♦♥t ♥♠♥t r é♠rr ♣♣r♦ ♣s ♣♣r♦♣ré

♥s st tt st♦♥ s ♠♦ès srts ♦♥t été ssés ♥ ① té♦rs

s♥ sqs ① ♣♣r♦s s♦♥t st♥és ♣r♠èr té♦r ♦♥r♥ s

♠♦ès r♣♦s♥t sr ♥♦t♦♥ ♠ ♦♠♠ r♣rés♥tt♦♥ é♦♠étrq s ♦ts

tr♠♥t t st ♠♦ès érts ♣r ♥ ♥s♠ ♣rts rés ♣r ♥

♦♥♥tté ① s♥ t ♥s♠ ♥ st♥t♦♥ été t ♥tr s rés①

♠sssrss♦rts t s rés① ♣rts ♥ q ♥♣♣rss ♣s r♠♥t

♥s ttértr ♥s ♣rr♣ ét s ♣♣r♦s ♥s sqs

♦és♦♥ ♥tr s ♣rts st ssré ♣r s rss♦rts ♣rr♣ q♥t à

st ♥tré sr s ♠♦ès ♣②sqs s♥t strt♦♥ tt ♥♦t♦♥ ♥s

①è♠ té♦r ♦♥ tr♦ s ♣♣r♦s q sr♥ss♥t t♦t ♦♥♥tté ①

♥tr s ♣rts s ♦ts ♥ ♣r ♦rs ♠♦ès s♥s ♠ ♥s ♥ ♣r♠r

t♠♣s s s②stè♠s ♣rts s♦♥t trtés ♣rr♣ ♥s s ♠♦ès s

♦s ♥trt♦♥ s♦♥t é♥s ♥tr s ♣♦♥ts ♥s ♥ ①è♠ t♠♣s s ♠ét♦s

ré♥ts s♦♥t ①♣♦sés ♣♣és ♠sr ♦ ♠sss ♣rr♣

♦ès ♠

és① ♠sssrss♦rts

s rés① ♠sssrss♦rts ♦♥t été r♠♥t tsés ♥s ♦♠♠♥té r♣q

s q♥③ r♥èrs ♥♥és t rst♥t à r t ♥♦r très ♣♦♣rs t♥t

t qs s♦♥t s♠♣s à ♠♣é♠♥tr ♣ ♦ût① ♥ t♠♣s t ♣r♠tt♥t

é♥érr s ♦♠♣♦rt♠♥ts ②♥♠qs t ♦tr qs t♦rs♥t

s♠t♦♥ rs é♦r♠t♦♥s t é♣♠♥ts t s♦♥t ♠♥t ♣réss

♦♠♠ r ♥♦♠ ss ♥t♥r s ♠♦ès ♦♥sst♥t ♥ ♥ ♥s♠ ♣♦♥ts ♦

♥♦s ♥ ♠ss ♦♥♥é ♦♥♥tés ♣r s ♥s éstqs stàr s rss♦rts

r s ♦rs é♥érés ♣r s rss♦rts s♦♥t s♦♥t ♥érs ♦ ♦♦

♠s s rss♦rts ♥♦♥ ♥érs ♦ s♦éstqs ♣♥t é♠♥t êtr tsés ♣♦r

♠♦ésr s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♣s ♦♠♣①s

q ♣s t♠♣s étt s②stè♠ é♣♥ s ♣♦st♦♥s xi t s tsss xi

tt rt s ♣♣r♦s srèts

rés ♠sssrss♦rts ①trt ❬❪

s n ♣♦♥ts i i = 1...n ♠♦♠♥t r♣♦s sr ♦ ♦♥♠♥t ②♥♠q

♥s ♣♦r q ♣♦♥t i rés ♦♥

mixi = −βxi +∑

j∈V (i)

gij + fi

♦ù mi st ♠ss ♣♦♥t i xi s♦♥ éért♦♥ β ♦♥t ♠♦rtss♠♥t t fi s

♦rs ①tr♥s s①rç♥t sr ♣♦♥t i gij ♦rrs♣♦♥ à ♦r é♥éré ♣r rss♦rt

r♥t ♣♦♥t i ♣♦♥t j ♣rs ♣r♠ ♥s♠ V (i) s ♦s♥s i

♣rtr éqt♦♥ ♠♦♠♥t ♥ q ♣♦♥t ♦♥ ♣t ♦t♥r ♠♦♠♥t

strtr ♥tèr s♦s ♥ ♦r♠ ♠tr

Mx + Dx + Kx = f

♦ù M C t K s♦♥t s ♠trs 3n × 3n n ét♥t ♥♦♠r ♣♦♥ts rr♦♣♥t

rs♣t♠♥t s ♠sss s ♦♥ts ♠♦rtss♠♥t t s ♦♥ts rr

x t f s♦♥t s trs ♦♦♥♥ 3n× 1 r♣rés♥t♥t rs♣t♠♥t ♣♦st♦♥ q

♣♦♥t t s ♦rs ①térrs ♣♣qés sr s ér♥ts ♥♦s s②stè♠ ♣t êtr

tr♥s♦r♠é ♥ ♥ s②stè♠ éqt♦♥s ér♥ts ♣r♠r ♦rr ♥ ♥♦t♥t x = v

♦♥ ♦t♥t

v = M−1(−Dv −Kx + f)

st ♥s ♥♠t♦♥ q ♦♥ tr♦ s ♣r♠rs ♠♦ès ♠sssrss♦rts

❬P❪ t ❬❲t❪ ♦♥t ♦rs r ♣♦♥♥rs ♥s ♦♠♥ ♥ ♣r♦♣♦s♥t ♥ ♣

♣r♦ sttq t ♥st tt♥r s tr① r③♦♣♦♦s t ❬❲❪ ♣♦r

♦r ♣♣rîtr ♥ ♣♣r♦ ②♥♠q ❯♥ ♠♦è à tr♦s ♦s tss ♦♥é

♣tr ❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è ♣②sq srt

sr ♥ rés ♠sssrss♦rts st ♦rs é♦♣♣é sr ♣s éé r♣rés♥t

é♣r♠ s ♠ss tr♦sè♠ ♦ s♦♥t ttés sss ① ♥♦s ♦♥st

t♥t s t ♥ ss♦s ① ♥♦s r♣rés♥t♥t ♦s s rss♦rts ♣rés♥ts ♥s q

♦ ♣♦ssè♥t s rrs ér♥ts ♣s s ♦rs ♣♣qés sr q ♥♦

♣r♠tt♥t r♥r ♦♠♣t ♥♦♠♣rssté tss ♠♦è st s♠é ♥ ♥

tér♥t ♥♠érq♠♥t ♥ s②stè♠ ♦♣é éqt♦♥s r♥♥♥s ♠♦♠♥t t

♣r♦t s ♥♠t♦♥s ♥trts

Ps tr t ❬❲❪ ♦♥t ét♥ tt ♣♣r♦ s ♦♥t ♥♦t♠♠♥t ♠s ♥ ♣

♥ ♦rt♠ q ♣r♠t ♦♥strr ♥ ♠♦è têt à ♣rtr ♦♥♥és

qss ♣r s♥♥r r ♣♣r♦ ♣♣♦rt ♥ rés♠ r ♣r♥ ♥ ♦♥sért♦♥

♥♦♠♣rssté ♣ ♥ ♣♣q♥t ♥ ♦r ♥ q ♥♦ sé sr ♥

♠♥t ♦♠ t é♣♠♥t s ♥♦s ♣é♥étrt♦♥ s ♥♦s s

♥s râ♥ st é♠♥t r♥ ♠♣♦ss ♣r s ♥ ♦♥tr♥t s♣éq

Pr st ♥ s②stè♠ ♣s é♦ré ♦♠♣♦sé ♣srs t②♣s rss♦rts strtr

s♠♥t t ①♦♥ été ♣r♦♣♦sé ♣r ♥ t ❬❩❪ ♣♦r s♠r

♦♥trt♦♥ ♥ ♠s

s rés① ♠sssrss♦rts ♦♥t é♠♥t été tsés ♣♦r r♥r ♦♠♣t é♦r

♠t♦♥ ♠ss ❬P❪ t ♠♥♥ ❬❪ ♣r♦♣♦s♥t ♥ ♠ét♦ sé sr

tst♦♥ ♣♦♥ts ♦♥♥tés ♣r s rss♦rts ♣♦r s♠r ♠♦♠♥t ♠ss

♥ ♣rtr s rss♦rts ♥rs s♦♥t tsés ♣♦r ♦♥trôr ♦♠ s ♠ss

♣♥♥t é♦r♠t♦♥ ♠ét♦ ♥tt à ♦rr st tsé ♣♦r ♥térr

s éqt♦♥s r♥♥♥s ♠♦♠♥t

♥s ss tr① r ❬❪ s srt ♥ ♠♦è ♠sssrss♦rts ♣♦r s♠r

♠♦♠♥t sr♣♥ts t rs t r③♦♣♦♦s ❬❪ ♦♥t é♦♣♣é q♥t

à ① ♥ ♠♦è ②♥♠q ♣♦ss♦♥ q ♦♥sst ♥ ♥♦s t rss♦rts ♦♥t

♠♦és♥t s ♠ss r s r♥rs s♦♥t tés ♥ ♣r♦r s

é♣♠♥ts P♦r ♥térr s éqt♦♥s ♠♦♠♥t ♥ ♠ét♦ r ♠♣t

st tsé s s②stè♠s ♠sssrss♦rts ♣r♠tt♥t é♠♥t ♠♦ésr s ♣♥ts

♣rés♥ts ♥s tt ♣♦ss♦♥

st s♥s ♦t ♥s ♠♦ést♦♥ êt♠♥ts q s rés① ♠sssrss♦rts

s♦♥t ♣s ①♣♦tés ❬❪ Pr♦♦t ❬Pr♦❪ ♣rés♥t ♥ ♠ét♦ ♣♦r étr s é♦r

tt rt s ♣♣r♦s srèts

♠♦è ♣♦ss♦♥ sé sr ♥ s②stè♠ ♠sssrss♦rts ①trt ❬❪

♠t♦♥s ♦s rrésts rést♥t ♦♥tr♥ts tr♦♣ ♠♣♦rt♥ts ♣é♥♦♠è♥s ②♣r

éstté ❯♥ tss st ♦rs ♠♦ésé ♣r ♥ sr é♦r♠ ♦♥stté ♥ rés

♠sss t rss♦rts q ♣s t♠♣s ♥ ♦rt♠ étr♠♥ s rss♦rts

♦♥t é♦r♠t♦♥ ①è t ♥ ♣♦st♦♥ s ♥♦s ♦rrs♣♦♥♥ts s

t♠♥t ♣♦st♦♥ ♥ ♥♦ t♥t ♦♥r t♦s s rss♦rts ①qs st

tté ♥ ♣r♦éé tért st tsé Pr♦♦t ♠♦♥tr q t ♦rt♠ st ♣s

q ♠ét♦ ♦♥sst♥t à ♠♥tr rr s rss♦rts é♦r♠és tt ♣♣r♦

été r♣rs ♣r st ♥s ❬❪ trr sr ♣♦st♦♥ s ♥♦s

rs♦♥ t ♥t à q ♣s t♠♣s s ♥♦s ♦♥rs s rss♦rts ♥

ts♥t s tsss sés sr ♦♥srt♦♥ s ♠♦♠♥ts s ♠♣s♦♥s s♦♥t ♥st

♣♣qés ① tsss ♣♦r ssrr q é♦r♠t♦♥ s rss♦rts ♥ é♣ss ♣s

r ♦♥r r♣♦s r

s♠t♦♥ rr ♦♥stt ♥ tr ♦♠♥ ♣♣t♦♥ ♠♣♦rt♥t s

rés① ♠sssrss♦rts ❬❪ r♦♥ t ❬∗❪ ♣r♦♣♦s♥t ♥ ♦rt♠ ♣♦r s

♠r str ss① s♥♥s sqs s♦♥t ♠♦ésés à ♠sss t

rss♦rts t♥q ♠s ♥ ♦r ♣r♠t ♥ rrêt s s ♦rsq s é♦r♠

t♦♥s ♥♥♥t ♥s♥♥ts ♣s ♦rt♠ ♦s♦♥ ①♣♦t t q

♥♦♠rss é♦r♠t♦♥s s♦♥t ♦s ♣♦r ♦♣t♠sr s ♠ss à ♦r r♣rés♥tt♦♥

érrq s ♦ts é♦r♠s ♥s s t♠♣s s s♦♥t ss♠♠♥t r♣s

♣♦r ♦t♥r s ♥♠t♦♥s r♣qs ♥ t♠♣s ré

♦① ss♦♥ t r ❬❪ ♣rés♥t♥t ♥ ♠ét♦ ♣♦r ♠♦ésr ér

♠♥t tsss ♦♦qs ♠♦è ♣②sq tsé r♣♦s sr ♥ rés ♠sssrss♦rts

♣tr ❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è ♣②sq srt

♣è tss r♦r♥t ♥ s♣èr ♦♥♥♥t à ♥ strtr ♦♠♣①

t ♣s ①trt ❬❪

qé sr ♥ ♠ é♦♠étrq ♦♠♣♦sé tts tr♥rs ér♥t sr

s ♦ts ♣♣r♦ é♦♣♣é ♣r♦è ♥ ① t♠♣s ♦t ♦r s rss♦rts

♦♥t é♦r♠t♦♥ st s♣érr à ♥ s ♦♥♥é s♦♥t ssés ♥st t♦♣♦♦

♦t ♠♦ésé st ♠♦é sr ♣r♥♣ sé♣rt♦♥ s tts tt ♣♣r♦

♣r♠t ♦t♥r s s♠t♦♥s ♥ t♠♣s ré ♠s s♦r ♥ é♣♥♥ sàs

♠ s ♦ts

Psrs ♠ét♦s ♦♥t été ♣r♦♣♦sés ♣♦r ♦♣t♠sr s rés① ♠sssrss♦rts s

r♥ t ❬❪ s s♦♥t ♥♦t♠♠♥t ttqés ① ♣r♦è♠s ♥stté ♥♠érq

♥ s s♥t sr s tr① r t ❲t♥ ❬❲❪ s ♣rés♥t♥t ♥ s♦t♦♥ ♣♦r

rés♦r s②stè♠ ♥ér rést♥t ♥ rés♦t♦♥ ♠♣t ♥s ❬∗❪ s

trs ♣r♦♣♦s♥t ♥ ♠ét♦ ♣♦r ♥tért♦♥ ♠♣t rés① ♠sssrss♦rts s

tr① ♦r♥♦♥ t ♥ ❬❪ q♥t à ① ♦r♥t s ♣r♦è♠s ♥s♦tr♦

♣ ❯♥ ♠ét♦ ♣♦r ♠é♦rr ♣rés♦♥ s rés① ♠sssrss♦rts é♠♥t été

♣rés♥té ♣r t♥s♦♥ t ❬P❪

tt rt s ♣♣r♦s srèts

és① ♣rts

♥ ♣rè s rés① ♠sssrss♦rts ♣♣rss♥t s ♠♦ès ♣s é♥ér① q

r♣♦s♥t é♠♥t sr tst♦♥ ♣rts ♠s ♥s sqs s rss♦rts s♣

rss♥t ♣r♦t ♥♦t♦♥ é♥r

♦♠♣♦rt♠♥t s ♦ts st ♥ é♥ér ért ♥ tr♠s é♥r é♦r♠t♦♥

E(x) ♦t ♥ ♦♥t♦♥ ♦r♠ C(x) q ♦t êtr ♥ ♥ é♥r Ec st

ss♦é é♥ ♣r

Ec(x) =k

2C(x)T C(x)

♦ù k st ♥ ♦♥st♥t rr tt é♥r st ♠♥♠ ♦rsq ♦t st à étt

r♣♦s ♦r fi ♣♣qé sr q ♣rt i é♣♥♥t C st ♦♥♥é ♣r

fi = −∂Ec

∂xi

= −k∂C(x)

∂xi

C(x)

t♦s s trs éé♠♥ts f ét♥t ♥s C ♦♥♥ à ♥ tr ♦r r①

♣s s tr① r♥ t ❬❲❪ s rés① ♣rt ♦♥t r réé

r♥ ♥s ♦♠♥ s♠t♦♥ êt♠♥ts rrt t ❬❲❪ s♥s♣r♥t

♥♦t♠♠♥t s tr① s ♦♥sèr♥t t♥s♦♥ s♠♥t t ①♦♥ ♦♠♠

s ♦rs ♥tr♥s t ♦r♠♥t s é♥rs ♦rrs♣♦♥♥ts résst♥ à r t s

♥trt♦♥s ♥r♦♥♥♠♥t s♦♥t é♠♥t ♣rss ♥ ♦♠♣t ♣rtr ♦♥♥és

♠srés ①♣ér♠♥t♠♥t s trs ♠♦és♥t rtèr ♥s♦tr♦♣q s tsss

♥s q s ♣é♥♦♠è♥s ②stéréss

r t ❲t♥ ❬❲❪ ♦♥t ♣r♦♣♦sé ♥ ♠ét♦ ♠♣t q r♥ ♣♦ss tst♦♥

♣s t♠♣s ♠♣♦rt♥ts t♦t ♥ ét♥t s ♥sttés ♥♠érqs ♣s s tr

① ts t♥qs ♦♠♥♥t ♥s ♦♥t①t ♥♠t♦♥ êt♠♥ts tt

♣♣r♦ ♣rés♥t t♦t♦s és♥t ♠♥tr ç♦♥ ♠♣♦rt♥t s ♦ûts

Pr♠ s tr① résés ♥s ♦♠♥ t♦♥s é♠♥t ① ♦ t ♦ ❬❪

♣♦r rés♦r s ♣r♦è♠s ♥stté és ① ♣é♥♦♠è♥s ♠ tt ♣♣r♦

été r♣rs ♥st ♣r ♦①r♠♥ t sr ❬❪ t♦t ♠ st é♦♠♣♦sé

♥ ♣srs ♦♠♣♦s♥ts ♥é♣♥♥ts q ♣♥t êtr rés♦s ♣s ♠♥t t ♥

♣rè q ♥ r♥ s s ♥♠t♦♥ ♣s r♣s

♣tr ❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è ♣②sq srt

❯♥ ♣♣r♦ ♣s é♥ér st ♣rés♥té ♥s ❬❪ s♥r t ♦♥sèr♥t

s s♦s é♦r♠s srétsés ♥ tétrèrs t ♣♦♥ts ♦r t♦t ①ré sr

♥ ♣♦♥t st ♦♥♥é ♣r s♦♠♠ s ♦rs érés s é♥rs ♣♦t♥ts ♥

♣♦♥t s ♦rs ♣r♠tt♥t ♦♥srr s st♥s ♥tr s ♣♦♥ts ♣résrr r

sr s ♦ts t ♦♥trôr ♦♠ s tétrèrs ♠ét♦ é♦♣♣é

♣r♠t r♥r ♦♠♣t é♦r♠t♦♥s ♣stqs t éstqs Psrs ♣r♦♣rétés

♠tér① s♦♥t é♠♥t ♦♥sérés râ ① ér♥ts ♦♥ts rr s

é♥rs ♣♦t♥ts tt ♣♣r♦ st ss ♥ tr♠s t♠♣s q

s rés① ♠sssrss♦rts t t♦rs s♠t♦♥ sè♥s ♦♠♣①s à s tsss

♥trts r

é♦r♠t♦♥s ♥ ♣t ①trt ❬❪

Pr♦♠②♦♥ t ❬PP❪ ♣r♦♣♦s♥t ♥ ♣♣r♦ éèr♠♥t ér♥t ♥s t

s♠r s ♠♦♠♥ts rs♣rt♦rs s ♦ts ♠♦ésés s♦♥t r♣rés♥tés ♣r s

♣♦♥ts s♣♦sés à r sr sr sqs s♣♣q♥t s ♦rs ❯♥ ♦r ♣rtèr

♣♣é à ♠é♠♦r ♦r♠ ♣r♠t r♥r ♦♠♣t ♦♠♣♦rt♠♥t éstq s

♦ts s ♦♥tr♥ts s♦♥t é♠♥t ♠♣é♠♥tés ♣r♠tt♥t ♥tr trs ssrr

♣résrt♦♥ ♦♠ ♦rt♠ é♦t♦♥ s ♦ts s ér♦ ♥ ① ♣ss

s éqt♦♥s ♠♦♠♥t s♦♥t t♦t ♦r ♥térés râ à ♥ sé♠ t②♣ r

♣s s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♣rss ♥ ♦♠♣t Pr st tr été r♣rs ♣♦r r♥r

♦♠♣t é♦r♠t♦♥ t ♠rt♦♥ s s ❬P❪ ♦r ♣tr s♥t

st♦♥ é♠♥t été ét♥ ♥s ❬r❪ ♣♦r ♠♦ést♦♥ tsss ♠♦s

♥s r ♥r♦♥♥♠♥t ♥t♦♠q

tt rt s ♣♣r♦s srèts

♦♥s♦♥ sr s ♠♦ès ♠

♦s ♦♥s ♣rés♥té ♥s tt st♦♥ s ♠♦ès srts ♠ stàr

s ♠♦ès ♦♥t ♦♥♥tté ♥tr s éé♠♥ts st ①é ♦rs s♠t♦♥

s ♣♣r♦s s♦♥t s à ♠♣é♠♥tr t ♣ ♦ûtss ♥ t♠♣s ♣s

s ♣r♠tt♥t ♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t rt♠♥t sé s ♥trt♦♥s ♥s s

s rés① ♣rts ♣r♠tt♥t ssrr ♥t q s ♠sssrss♦rts ♥

rt♥ stté s rés① ♣rts s♠♥t é♠♥t ♣s à ♠ê♠ ssrr

♥ st♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦♥trr s rés① ♠sssrss♦rts ♦ù ♦t

rss♦rts ré s ♣r♦è♠s ♥stté t ♠♥t s ♦ûts t ♦tr

q ♦♠♣♦rt♠♥t s ♠♦ès st ♣s s♦♥t trtr t♦♣♦♦

♠ q ♥trî♥ s ♣r♦è♠s ♥s♦tr♦♣ ♥ t s ♦rs ♦♥t s rt♦♥s

♣réés s♥ ♥ ♦t ♥ rs♦♥ t♦♣♦♦ ♦♠♣♦rt♠♥t r♥r

♥s é♣♥r é♦♠étr ♠ t s rt♦♥s s rêts st é♠♥t

r ♥ ♣rè ♥tr s ♣r♠ètrs tsés ♥ ♣rtr s ♦♥ts s

rss♦rts t s ♣r♦♣rétés ♣②sqs rés

♦ès s♥s ♠

②stè♠s ♣rts

♦♥trr♠♥t ① ♣♣r♦s ss♥♦♠♠és s s②stè♠s ♣rts é♥ss♥t s

♥trt♦♥s ♥tr s ♣♦♥ts ♥♦♥ ♣s à ♣rtr ♦♥♥t♦♥s ①♣ts ♠s à ♣rtr

st♥s ❯♥ s②stè♠ ♣rts ♦♥sst ♥ ♥ ♥s♠ ♣♦♥ts ♣♣és ♣rts

q s é♣♥t s♦s t♦♥ ♦rs ①tr♥s ♥t♠♥t s s②stè♠s ♦♥t ♣r♠s

♠♦ésr s ①♣♦s♦♥s ❬❪ ♦ ♥ s rrs t r ❬❪ s s♦♥t ♦rs

♥tsés ♠♥èr st♦stq t s♠és s♥s tsr ♦rs ♥tr♣rts Pr

st s ♣♣r♦s ♦♥t ♣r♠s ♠♦ést♦♥ s t ♦ts é♦r♠s ♥

♦♥sér♥t s ♥trt♦♥s ♥tr ♣rts ❬P P ♦♥❪ s ♥trt♦♥s s♦♥t

♦♥♥és ♣r s ♦rs ttrt♦♥ré♣s♦♥ st♥ sé♣r♥t ① ♣rts ♥

♥trt♦♥ st ♠♥t♥ ♣r ♣♣t♦♥ ♥ ♦r ré♣s♦♥ ♦rsq s ♣rts

s♦♥t tr♦♣ ♣r♦s t ♥ ♦r ttrt♦♥ ♦rsqs s♦♥t tr♦♣ é♦♥és ♥s ♣♣rt

s s ♦r Fij s①rç♥t ♥tr ① ♣rts pi t pj ♣r♦♥t éré

♣tr ❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è ♣②sq srt

♣♦t♥t ♥♥r♦♥s φij ss ♠é♥q t♦♠q

φij(r) =β

rn−

α

rm

Fij(r) = −d

dr

φij(r)

♦ù r st st♥ ♥tr s ① ♣rts α β n t m s♦♥t s ♦♥st♥ts ♦rsq

r < r0 Fij st ♥ ♦r ré♣s♦♥ t ♦rsq r = r0 s ♣rts s♦♥t ♥s ♥ étt

r♣♦s r0 < r < r1 ♦r ♣♣qé st ♥ ♦r ttrt ♥♥ ♣♦r r > r1

♥② ♣s ♥trt♦♥ ♥tr s ♣rts r0 st ♣♣é st♥ r♣♦s t r1

r②♦♥ ♥♥ r ❯♥ tr♠ ♠♦rtss♠♥t ♣t é♠♥t êtr ♦té ♥s

F

♦r ♥tr ① ♣rts ss ♣♦t♥t ♥♥r♦♥s ♣té

❬P❪

♦r♠t♦♥ ♦r ttrt♦♥ ❬P❪

sr♥ t ❬ s❪ ♣rés♥t♥t ♥ ♣♣r♦ P ♠♦♦t Prt ②r♦

②♥♠s tsé à ♦r♥ ♣r s str♦♣②s♥s ♣♦r s♠r s s ♦s♠qs

tt ♠ét♦ r♣♦s sr ♦r♠t♦♥ srèt ♠♣s ♦♥t♥s t sr ♥ éq

t♦♥ étt s♣é♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♠r♦s♦♣q ♠tér s♠é s ♦rs

♣rss♦♥ t s♦sté s♦♥t és à q ♣s t♠♣s ♥s q s rt♦♥s

♥sté Ps ♣♦r q ♣rt éqt♦♥ ♠♦♠♥t st ♥téré Pr st

s ♠ê♠s trs ♦♥t ♦té ♥ sé♠ ♣tt ♣r♠tt♥t ♥ ♣tt♦♥ ♥ t♠♣s

tt rt s ♣♣r♦s srèts

t ♥ s♣ s②stè♠ ♣rtr ❬❪

♥s ré♥ts tr① ♣♣r♦ P ♣r♠s s♠r s ③ ♦ s s

❬ ❪

♣r♥♣ ♥♦♥é♥♥t s s②stè♠s ♣rts ♣r♦♥t t q s ♣rts

♦♥t t♥♥ à s♦r♥sr ♥ ♦♠s s♦s ♣tôt q♥ srs P♦r r♠ér à

♣r♦è♠ ③s t ♦♥♥s♥ ❬❪ ♦♥t ♥tr♦t ♥♦t♦♥ ♣rts ♦r♥tés ♥s

tt ♣♣r♦ ♥ r♣èr ♦ st tté à q ♣rt ♣s s ♦♥t♦♥s

♣♦t♥t s♦♥t é♥s ♣♦r ♦rsr s rr♦♣♠♥ts srqs s ♣rts

♥s ❬❪ s trs ♣rés♥t♥t ♥ ♠♦è ②r ♦♥stté ① ♦s ♣♦r

♠♦ésr s ♠tér① très é♦r♠s ♦ ♠♣t s é♦r♠ ♦♠♥t ♦rs

♦s♦♥s t tr♥s♠t ① ♦♠♣♦s♥ts rs ré♣♦♥s à ♣♣qr ♥ tr♠s

♦rs t ♠♦♠♥ts ♣r♦s♥t ♣r st s é♦r♠t♦♥s

Pr st sr♥ t ♥ ❬❪ ♦♥t ♦♠♣été tt ♣♣r♦ ♣♦r ♣r♠ttr s

é♦r♠t♦♥s à ♦♠ ♦♥st♥t ♦♠ ♠♣t ♦t st ♣rtt♦♥♥é ♥ trr

t♦r q ♣rt ♥♦ ♥ rt♥ ♥♦♠r r♥s ♠♥èr à é♠tr s♦♥

trrt♦r ♥♠♥t ♦♠ q ♣rt st ♦♥♥é ♣r s♦♠♠ s ♦♠s

s ♣②r♠s é♥s ♣r s r♥s s ♠é♥s ♥ésrs srs ♠♣ts

s♦♥t é♠♥t ♦rés ♥s s tr① s trs ♣r♦♣♦s♥t ♥s ♥ s♦t♦♥ sé

sr ♦♥strt♦♥ ♥ r♣ ♠é♥ à q ♣s t♠♣s ♦ù q ♣rt

st ss♦é à ♥ st ♠é♥

t♠♣s ♥tért♦♥ st é♠♥t ♥ s♦r ♣r♦è♠ ♠♣♦rt♥t ♥s s s②s

tè♠s ♣rts ♥s ❬P❪ s trs r♣r♥♥♥t ♥♦t♦♥ ♣rts ♦r♥tés

♣r♦♣♦sés ♥s ❬❪ s ♣rés♥t♥t ♥ ♥♦ ①♣rss♦♥ ♣♦r s ♥trt♦♥s t

trt♦♥ré♣s♦♥ ♥ ♦♥trôr s ♦st♦♥s s ♦s ♥trt♦♥ s♦♥t é♠♥t

é♥s ♣♦r ♠♥t♥r ♦r♠ s ♦ts ♥ ss♥t sr ♦rr ♦ ♥ q

♣♦♥t é♠♠♥t t ❬❨❪ ♦♥t tsé s s②stè♠s ♣rts ♣♦r s♠

r s ♠tér① r♥rs r s trs ♠♦és♥t ♥ r♥ ♦♠♠ ♥

♦t♦♥ ♣rts r♦♥s q s♦♥t ♦♥tr♥ts à rstr ♥s♠ ♦♠♠ ♥ s♠♣

♦r♣s r s ♠ét♦s ♦r ②♥♠s s♦♥t tsés ♣♦r étr♠♥r

s ♦rs ♦♥tt ♥tr ♣rts s ♦rs s♦♥t é♠♥t ♠♣qés ♥s st♦♥

♣tr ❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è ♣②sq srt

s ♥trt♦♥s ♥tr ♣rts r♥rs t ♦ts rs

♥ r♦r♥t s ♦ts ①trt ❬❨❪

ét♦s ♠sr

♦♥trr s ♣♣r♦s ♣réé♥ts ♦ù s ♥trt♦♥s ♥tr s ♣rts s♦♥t

♣ré♣♦♥ér♥ts rss♦rt ♣♦t♥t ♥♥r♦♥s ♥ ♥♦ t②♣ ♣♣r♦s é

ré ♠é♥q ♦♥t♥ ♣♣é ♠sr ♦ ♠sss st ♣♣r ② ♥ ③♥

♥♥és ♣♦r rés♦r s éqt♦♥s ér♥ts ♣rts ♥ ♣♦rr s réérr à

❬❪ ♣♦r tr♦r ♥ r ①st t ♥ sst♦♥ s ér♥ts ♠ét♦s

①st♥ts

é♠♠♥t ♥♠t♦♥ à s ♣♦♥ts ♦r ❬♣❪ tt ♣♣r♦ ♦♣ s

♦rt♠s s♥s ♠ à s srs srétsés à ♣♦♥ts t été tsé

♥s ❬∗❪ ♣♦r s♠r ♥ r♥ rété ♦ts é♦r♠s éstqs t ♣s

tqs ♣rtr s trs é♣♠♥t ür t étr♠♥♥t s t♥srs

♦♥tr♥t t é♦r♠t♦♥ ♥ ts♥t ♥ rs♦♥ ♥ér ♠ét♦ s ♠♦♥rs

rrés ♠♦s ♦♥ st qrs s ♦rs éstqs ss♥t sr s ér♥ts

♣♦♥ts s♦♥t ♥st és ♦♠♠ r♥t ♥ét é♥r é♦r♠t♦♥ s♦♥

s é♣♠♥ts s ♦rs s♦♥t ♥♠♥t ♥térés ♥s t♠♣s râ à ♥ sé♠

①♣t t ♠♣t ür t ♣r♦♣♦s♥t é♠♥t ♥ ♣♣r♦ ♠trés♦t♦♥

♣♦r r♣rés♥tr sr s ♦ts s ♥♠♥ts t♦♣♦♦qs rtrrs r♣ré

tt rt s ♣♣r♦s srèts

s♥tt♦♥ ♠♣t s♦♥t t♦rsés t♦t ♥ ♣résr♥t s éts r♣rés♥tt♦♥ ①♣t

Pr st s tr① ♦♥t été r♣rs ♥s ❬∗❪ ♣♦r s♠r s s

♥s rs tr① ❬❪ ür t ♣rés♥t♥t ♥ ♠ét♦ ♥♥♦♥t t

t②♣q ♣♦r s é♦r♠t♦♥s é♦♠étrqs r ♥s r ♣♣r♦ s ♦ts

s♦♥t r♣rés♥tés ♣r ♥ ♥s♠ ♣rts ♣♦r sqs ♥ ♥trt♦♥ ♥st

é♥ q ♣s t♠♣s ♦r♠ ♥t ♦t st ♠s ♥ ♦rrs♣♦♥♥

s ♦r♠ ♦r♥t réstt ♠♦♠♥t r s ♣rts ♠ét♦ s♣

♠t♥ tsé ♣r♠t ♦rs tr♦r tr♥s♦r♠t♦♥ r ♦♣t♠ ♥tr

s ① ♥s ♣♦♥ts s♥s s ♠♦♥rs rrés ♣r♠t ♥s étr♠♥r

s ♣♦st♦♥s rs sqs ♦♥t êtr é♣és s ♣rts s trs ♠♦♥tr♥t

q sé♠ ♥tért♦♥ tsé st ♥♦♥t♦♥♥♠♥t st s tr① ♦♥t été

♥♦t♠♠♥t r♣rs ♥s ❬r❪ ♣♦r ♠♦ésr s ♦ts é♦♣s

é♦r♠t♦♥ ♥ ♥t♥ ♦ts râ à ♥ ♠ét♦ s♥s ♠ sé

sr s♣ ♠t♥ ①trt ❬❪

♦♥s♦♥ sr s ♠♦ès s♥s ♠

s ♠♦ès ♣rés♥tés ♥s ♣rr♣ ♦♥t ♣rtrté ♦r ♥ ♦♥♥t

té ♥tr s ♣rts q r♥t ♦rs s♠t♦♥ s ♣rts ♥trss♥t

r ♦s♥s ♠s ♥ s♦♥t ♣s ♦♥tr♥ts à rr ♥ ♦s♥ ♦♥♥é s ♠♦ès

sr♥ss♥t ♥s s ♣r♦è♠s és ♠ s ♦ts t ♥♦t♠♠♥t ① r♥♦♥

trés ♣r s rés① ♠sssrss♦rts s ♣r♠tt♥t érr s ♥♠♥ts t♦♣♦♦

♥s s rtrs ❬P∗❪ ♣r ①♠♣ t ♣♣♦rt♥t ♥ s♦t♦♥ à

♣tr ❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è ♣②sq srt

s♠t♦♥ s t ♠tér① ést♦♣stqs ♠ét♦s ♠sss ♦t♦♥s

q ♠♦ésr s ♦ts ♥ strtr ① rst ss③ s s②stè♠s

♣rts t♦t ♦♠♠ ♥♠t♦♥ ♦r♣s éstqs

♦♥s♦♥

♥s tt ♣rt ♥♦s ♦♥s ♣rés♥té s ér♥ts ♠♦ès srts ♠♣qés ♥s

s♠t♦♥ s ♦ts é♦r♠s ♦s ♦♥s ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s s ♠♦ès

♠sssrss♦rts s♦♥t s ♠♦ès s ♣s ♥tts t s ♣s s à ♠♣é♠♥tr

s s♦♥t ♣rtèr♠♥t ♥t① ♣♦r s♠t♦♥ ♦ts é♦r♠s ♥s s

t♠♣s rs♦♥s ♦t♦s s s♦r♥t rt♥s és♥ts ♥tr trs tt

♣♣r♦ ♥t♦rs ♣s ♥ st♦♥ s ♦♥tr♥ts ♣r ①♠♣ ♦♥srt♦♥

♦♠ ssq♠♥t s rss♦rts s♦♥t ♦tés ♣♦r ♦♠♣♥sr ♣r♦è♠ ♠s

s②stè♠ rést♥t st é♥ér♠♥t ♣s ♥st t s ♦ûts ♣s ♠♣♦rt♥ts

♠♥t tst♦♥ ♥ t ♣♣r♦ r♥ ♦♥trô stté ♦rsq

♥♦♠rss ♥trt♦♥s ♦♥t

♦s ♦♥s ♥st été s rés① ♣rts s r♥rs ♣♦ssè♥t s ♠ê♠s

qtés q s ♠♦ès ♣réé♥ts ♠s s♠♥t ♣s ♣♣r♦♣rés ♣♦r ♠♦ést♦♥

sè♥s ♦♠♣①s ♥♦t♠♠♥t ♦rsq ♥♦♠r ♥trt♦♥s t ♦ts r♣rés♥tés

st ♠♣♦rt♥t s ♣r♠tt♥t é♠♥t ♥ st♦♥ s ♦♥tr♥ts ts q

♦♥srt♦♥ ♦♠ ♠ê♠ ttr q s ♠♦ès ♠sssrss♦rts ♣rés♦♥ r

t ét ♠s ♥st ♣s ♣ré ♥s ♥♦tr ♦♥t①t

♥♠♥t s ♠♦ès s♥s ♠ ♦♥t été ♣rés♥tés s r♥rs s♦♥t ♣rtèr

♠♥t ♣♣r♦♣rés ♣♦r s♠r s ♠tér① très é♦r♠s ♣r ①♠♣ s s

♥s q ♣♦r s ① t s ♣♣t♦♥s ♥trts t s ré♣♦♥♥t ♠♦♥s à

♥♦s tt♥ts ♠ê♠ s r ♣♦t♥t s♠ très ♣r♦♠ttr

♥s st ♠♥srt ♥♦s ♥♦s ttr♦♥s à tt♥r s ♦ts ①és

♣tr ♣réé♥t t ① é♥♦♥és ét P♦r r ♥♦s ts

r♦♥s s rés① ♣rts q s♠♥t s ♠① ♦rrs♣♦♥r à ♥♦s tt♥ts ♥

♣rtr ♥♦s ♥♦s srr♦♥s ♣♣r♦ ♣r♦♣♦sé ♥s ❬PP Pr♦❪ t ét♥

♥s ❬r❪ s ♦ts ② s♦♥t srétsés ♥ ♥ ♠ ♦ù q ♣rt st

sr♣t♦♥ ♠♦è

sè ♦rs t ♦♥tr♥ts éstté t ♦t ♥ trt♠♥t ♣rtr ♣r

♥tr♠ér ♥ ♣r♥♣ à ♠é♠♦r ♦r♠ ♥t ① ♦♥tr♥ts s ♣r♠tt♥t

♦♥trôr s ♠♦♠♥ts t s é♦r♠t♦♥s ♦ s♠r s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♦♠

♣①s st ♣tr st ♦♥sré à sr♣t♦♥ s ♣r♥♣s s tt

♣♣r♦

sr♣t♦♥ ♠♦è

Prés♥tt♦♥ é♥ér

♠♦è tsé ♦rs tt tès été é♦♣♣é ♥t♠♥t ♣r Pr♦♠②♦♥

❬Pr♦❪ ♣s ét♥ ♣r r ♦rs ss tr① tès ❬r❪ r♣♦s

sr s t♥qs ♠♦ést♦♥ ♥ ♥♦r♠tq r♣q sés sr ♣②sq ♥s

st tt ♣rt ss s s♣ts é♥ér① s♦♥t ♣rés♥tés P♦r ♣s ♠♣s

♥♦r♠t♦♥s ♦♥ ♣♦rr s réérr à ❬r❪

r♥st♦♥ t é♦♠étr

♠♦è tsé ♣♣rt♥t à té♦r s ♠♦ès srts r♣♦s sr ♥ ♣

♣r♦ ♦r♥té ♦t q ♣r♠t ♦r♥sr ♣rés♦♥ s ér♥ts ♦♥♣ts t

rs rt♦♥s q ♦t ♠♦ésé s é♦♠♣♦s ♥ ♣srs ♦ts ♣r♦♣rétés s

t♥ts ♥ ①st tr♦s t②♣s éstq ♠sr t r rs rtérstqs s♦♥t

①♣♦sés ♥s ♣rr♣ ❯♥ qtrè♠ t②♣ ♦t sr é♥ ♥s ♣tr

♦t r

s ♦ts ♠ê♠ t②♣ s♦♥t rr♦♣és s♥ ♥ ss q ♦t ♦♥stt

♥s ♥ ♥st♥ ♣rtèr ♥ ss ♦♥♥é ♠s ♣♦ssè ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t q

st ♣r♦♣r ♣s ♣♣r♦ ♦r♥té ♦t ♣r♠t ♦r♥sr s sss ♥ ♥

r♣rés♥tt♦♥ érrq é♣♥♥t s ♣r♦♣rétés à ♠♦ésr s ♦s ♦♠♣♦r

t♠♥t érts ♥s ♥ ss ♣♥t é♣♥r s ♥trt♦♥s ♥r♦♥♥♠♥t

t ♣r♦♣rétés ♥tr♥sèqs st ♣r♥♣♠♥t ♣r♦♣rétés ♠é♥qs ♦♠♠

éstté ♦♥trtté t ♥♦♠♣rssté s ♣♥t é♠♥t rr

t♠♣s ♦ êtr s s♣ést♦♥s ♦s érts ♥s trs sss Pr ①♠♣ ♥

r ♠sr st ♦♥séré ♦♠♠ ♥ r éstq à q ♦♥ ♦té s ♣r♦

♣tr ❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è ♣②sq srt

♣rétés ♦♥trts ♣r♥♣ ért ❯♥ r♠♠ sss ❯ s♠♣é s

ér♥ts ♦ts ♠♦è st ♦♥♥é à r

q ♦t s ♦♠♣♦s ♥ ♥s♠ ♣rts s♠ê♠s sss sss és

t②♣ ♦t q s ♣♣rt♥♥♥t ①st ♥s ♥ érr s♠r à

s ♦ts ♣♦r s ♣rts s r♥èrs s♦♥t é♥s ♠♦♥s ♣r ♥ ♠ss ♥

♣♦st♦♥ t ♥ t②♣ éstq ♠sr ♦ r

Objet élastique(particules élastiques)

Objet rigide(particules rigides)

Objet musculaire(particules musculaires)

Objet générique

r♠♠ sss s♠♣é s ér♥ts ♦ts ♠♦è s ♦ts

rs t éstqs ért♥t s ♣r♦♣rétés ss strt ♦t é♥érq q

♦♥stt s é♦♠étrq t ②♥♠q ♠♦è t♥s q ♦t ♠sr ért

s ♣r♦♣rétés ♦t éstq

P♦r q ♣rt ♥ st ♣rts ♦s♥s st é♥ ♦s♥ st é

tr♠♥é ♥t♠♥t s♦♥ ♥ rtèr t♦♣♦♦q ♥r♥t ♦rs s♠t♦♥ P♦r

q ♣rt ♥♦♠r ♦s♥s ♣t êtr ér♥t ♥♥ q ♣rt ♣♦ssè

♥ rtèr ♥q q ♦♥èr s♦♥ ♥①t♦♥ s♥ ♥ ♦t

❯♥ ♦t st ért ç♦♥ srq tr♠♥t t ss ♣rts s♦♥t s♣♦sés sr s

sr t r♣rés♥t♥t s ♠t s♣t s ♣♥t êtr é♠♥t ré♣rts à ♥té

rr s ♦ts ❬r❪ ♦rs tt tès s r♣rés♥tt♦♥ srq s

♦ts été tsé ♠s t♦ts s ♠ét♦s ♣r♦♣♦sés ♣♥t é♠♥t s♣♣qr

à ♥ sr♣t♦♥ ♦♠q ♦♥t♥♥t s ♣rts à ♥térr ♦t sr

sr♣t♦♥ ♠♦è

①tr♥ s ♦ts st é♥ ♣r ♥ ♠ tr♥r ♦t♦♥s ♣♥♥t q s ♣r

ts ♣♥t êtr rés à trrs s rt♦♥s é♦♠étrqs q♦♥qs ttrèr

①èr

♦rs t ♦♥tr♥ts

♥s ♠♦è s ♦rs s♦♥t ♣♣qés sr q ♣rt ♣r♠tt♥t é♣

♠♥ts t é♦r♠t♦♥s r♦s t②♣s ♦rs s♦♥t ♦♥sérés

♠♣s ♦r s ♦rs s♦♥t ♣♣qés sr t♦ts s ♣rts ♥ ♦t

s rs s ♦rs s♦♥t ♦♥♥s ①♣t♠♥t à q ♥st♥t t ♣♦r q

♣rt tt r ♣t êtr é♣♥♥t s ♣r♦♣rétés ♣rt ♦♥séré

♣r ①♠♣ ♦r rtt♦♥♥ ♣♣qé sr ♥ ♣rt é♣♥ s

♠ss

♦r ♦ ❯♥ ♦r ♦♥t ♦♥ ♦♥♥ît ♠♦ t rt♦♥ st ①ré sr

♥ ♣rt st s ♣r ①♠♣ ♥ ♦r ♥t ♣r ♥ ♦t ♠♥♣é

♣r tstr

♦r ♥tr♥ ❯♥ ♦r ♥tr♥ st é♥ ♦rsq♥ ♣rt ♦t tt♥r ♥

♣♦st♦♥ é ♠♥♠s♥t ♥ rt♥ ♦♥t♦♥ ♦ stss♥t ♥ rtèr ♦♥♥é

rt♦♥ ♦r st ♠térsé ♣r r♦t étr♠♥é à ♣rtr ♣♦st♦♥

♣rt à étt ♦r♥t t ♣♦st♦♥ é ♦ ttrtr ♦r F∗

♣t ♥s s①♣r♠r ♦♠♠ ♥ ♦♥t♦♥ st♥ ♥tr ♣♦st♦♥ P

♣rt t s♦♥ ttrtr P∗

F∗ = k|P∗ −P|

♦ù k r♣rés♥t ♣♦s ♦r tt ♦r ♣t êtr ss♠é à rést♥t

♥ rss♦rt ♥ér ♥tr P t P∗ ♦♥t rr k ♦t♦♥s q ♣r♥♣

t♦♥rét♦♥ ♦t êtr rs♣té ♣♦r ♥s♠ s ♦rs ♥tr♥s st râ

à t②♣ ♦r q s♦♥t ♠♦ésés éstté t tté ♠sr tté

s rs

♠♦è ♣r♥ é♠♥t ♥ ♦♠♣t rt♥s ♦♥tr♥ts ♠♥èr à ♠♦ésr

s ♣r♦♣rétés ♣s ♦♠♣①s ts q ♥♦♠♣rssté ♦ r♦r♠♥t ♥tr rs

♦ts ♦rt♠ tsé ♦♥sèr s ♦♥tr♥ts ♦rs s♠t♦♥ ♦♠♠

♣tr ❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è ♣②sq srt

s é♣♠♥ts ♥♦♥♥s ❯♥ ♦s s ♦rs ♦♥♥s ♣♣qés s é♣♠♥ts s

① ♦♥tr♥ts s♦♥t és ♣r ♣r♦t♦♥ rt s♦♥ rt♦♥ r♥t

♦♥tr♥t ❬Pr♦❪

① t②♣s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♠♣é♠♥tés

♦♥tr♥ts ♦s s s♦♥t ♣♣qés sr s ♣rts s♦és Pr ①♠♣

♥ ♣rt ♦♥♥é st ♦♥tr♥t à rr ♠ê♠ ♣♦st♦♥

♦♥tr♥ts ♦s s s①r♥t sr ♥ ♥s♠ ♣rts Pr ①♠♣

♥ ♦t st ♦♥tr♥t à êtr ♥♦♠♣rss

♠ét♦ rés♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♠♣qé ♥s ♣résrt♦♥ ♦♠ t

r♦r♠♥t ♥tr ① ♦ts st été ♥s ♣rr♣

②♥♠q

②♥♠q s ♦ts st ssq♠♥t étr♠♥é ♣r ♥tért♦♥ s éqt♦♥s

♠♦♠♥t q ♣s t♠♣s s ♦♥t♦♥s ① ♠ts s♦♥t ♣♣qés sr s

♣rts ♣r ①♠♣ s é♣♠♥ts ♥s ♥st s ♦rs ①rés sr q

♣rt s♦♥t és ♣s s♦♠♠és s ♦rs ♥tr♥s s♦♥t rstrés ♠♥èr

à stsr ♣r♥♣ t♦♥rét♦♥ ♣♦st♦♥ q ♣rt st ♦rs é

tr♠♥é râ à ♥ sé♠ ♥tért♦♥ ①♣t st♥r ♥♠♥t s ♦♥tr♥ts

♦s t ♦s s♦♥t ♣rss ♥ ♦♠♣t ♥ st♥t s ♣♦st♦♥s ♦rt♠ st été

ss♦s ♣♦r ♥ tért♦♥ ♦rt♠

ér♥ts ♦ts

t éstq

♠♦ést♦♥ éstté r♣♦s sr ♥ ♠ét♦ ♠s ♥ ♦r r♥t tès

r ❬r❪ ♦s ♣rés♥t♦♥s ♣r♥♣ é♥ér ♦r♠t♦♥ és

tté s♣♣ sr ♣r♥♣ ♥ ♦r à ♠é♠♦r ♦r♠ t sr ♥♦t♦♥ ttrtr

♥ ♣rt

♦t P ♣♦st♦♥ ♥ ♣rt ♦♥♥é t Ni, i ∈ [1...n] s ♣♦st♦♥s s n ♦s♥s

tt ♣rt é st ①♣r♠r ♣♦st♦♥ P∗ ttrtr ♣rt ♥ ♦♥

t♦♥ ss n ♦s♥s s ♦♠♥s♦♥s tr♦s ♣rts ♣♦sss ♣r♠ s n ♣rts

♦s♥s ♣rt ♦♥séré s♦♥t ♣rss ♥ ♦♠♣t t♦t♦s s tr♣ts ♦r♠és

sr♣t♦♥ ♠♦è

♦rt♠ ♦rt♠ é♥ér ♠♦è

♣♦r q ♦t ♠♦è r

♣♦r q ♣rt ♦t r

♣♣qr♦♥t♦♥s♠ts

♥

♥

♣♦r q ♦t ♠♦è r

♣♦r q ♣rt ♦t r

r♦rs

rstrr♦rs♥tr♥s

♥

♥

♣♦r q ♦t ♠♦è r

♣♦r q ♣rt ♦t r

s♦♠♠r♦rs

rP♦st♦♥

♣♣qr♦♥tr♥ts

♥

♥

♣r tr♦s ♣rts ♥és s♦♥t rtés q tr♣t 〈Ni,Nj,Nk〉 i 6= j 6= k t

i, j, k ∈ [1...n] ♦r♠ ♥ tr♥ ∆ ♦♥t ♥♦r♠ st ♥♦té n∆

♣♦st♦♥ P∆ ♣rt rt♠♥t tr♣t 〈Ni,Nj,Nk〉 st ♦♥♥é ♣r

rt♦♥ s♥t

P∆ = Q∆ + β∆n∆

‖n∆‖

♦ù Q∆ st ♣r♦t♦♥ P sr 〈Ni,Nj,Nk〉 s♦♥ ♥♦r♠ n∆ t β∆ st♥ ♥tr

P t Q∆

♥s P∗ st é♥ ♦♠♠ s♦r②♥tr t♦ts s ♣♦st♦♥s P∆ rést♥t s m

tr♣ts s ♦r♠és ♣r ♥s♠ s ♦s♥s ♣rt ♦♥séré

P∗ =1

m

m∑

∆=1

(Q∆ + β∆n∆

‖n∆‖)

♣tr ❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è ♣②sq srt

♥ ♦ ♣srs ♦s♥s ♥ ♣rt ♦♥♥é s é♣♥t ♦rs ♣♦st♦♥ P∗

s♦♥ ttrtr êtr ♠♦é ❯♥ ♦r à ♠é♠♦r ♦r♠ F∗ st ♦rs é♥éré ♥tr

♣♦st♦♥ t ♣rt t ♣♦st♦♥ s♦♥ ttrtr st ♦♥♥é ♣r

①♣rss♦♥ s♥t

F∗ = ke(P∗ −P)

♦ù ke r♣rés♥t ♦♥t éstté ♥s ♥♦s tr① ke st ♥ s♠♣ sr

♦r ♦♥ ♥ ①♣rss♦♥ t②♣ rss♦rt ♠s ♦♥ ♣t très ♥ ♥sr ♥ ♦r♠

♣s ♦♠♣① ♣♦r ♠♦ésr ♣r ①♠♣ ♠♦rtss♠♥t

♥♠♥t ♦r à ♠é♠♦r ♦r♠ st rstré sr ♥ s ♣rts ♦s♥s

②♥t ♣rt♣é ttrtr

t ♠sr

s ♦ts ♠srs r♣rés♥t♥t ♥ s ♣rtr s ♦ts éstqs s

rtérstqs ♥ ♠s s♦♥t ss tt♠♥ts ♥t♦♠qs ss ♣r♦♣rétés ♠é♥qs

t étrqs t srt♦t s rs q ♦♥stt♥t ❯♥ ttrtr st réé ♥s s♥s

s rs ♠s ♠♦ésé ♣♦r ♥r ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥trt ♥s ♥ tss

éstq ♣r♥♣ ♦r ♥♥ré ♣r ♥ ttrtr st é♠♥t tsé s

rt♦♥s ♦♥trt♦♥ s♦♥t é♥s ♦♠♥t ♣♦r q ♣rt q ♣rt

♦s♥ s tr♦♥t ♥s rt♦♥ ♦♥trt♦♥ st é♥ ♦♠♠ ttrtr r

❯♥ ♦r ♥tr♥ F∗ st ♦rs é♥éré ♥tr ♣♦st♦♥ ♦r♥t P ♥ ♣rt t

♣♦st♦♥ P∗

i ♥ ss ttrtrs s①♣r♠ ♦♠♠ st

F∗ = km(P∗

i −P)

♦ù km r♣rés♥t ♦♥t ♠sr

♦♥t ♣r♠t ♠♦ésr s ♣ss tt♦♥ ♦♥trt♦♥ t r①t♦♥

♣t rr ♦rs t♠♣s t êtr ér♥t ♣♦r q ♣rt ❯♥ ♦♥t

♣♦st ♣r♠t ♠♦ésr ♥ ♦♥trt♦♥ t ♦rsq km st ♥ rt♦r à

♦♥rt♦♥ ♦r♥ st ssré ♣r ♣r♦♣rété éstté ♦t

♦r ♠sr ♦t érr rt♠♥t ♣r♥♣ t♦♥rét♦♥ ♥ t

sr♣t♦♥ ♠♦è

Attracteurs pour la

force musculaire

♠♦ést♦♥ ♦r ♠sr ♣r s ttrtrs ♥s rt♦♥

♦♥trt♦♥ s rs

♦r ♠sr é♥éré ♣r ♥ ♣rt ♦♥♥é sr ♥ ss ♦s♥s ttrtr st

t♦♠tq♠♥t ré♣rté sr r♥r ♥ ♥rs♥t s♥ tr ♦r

t r

Pr é♥t♦♥ ♥ ♦t r ♣résr s ♦r♠ ♦rs s♠t♦♥ q

s♥ q s st♥s ♥tr s ♣rts q ♦♠♣♦s♥t ♥ r♥t ♣s ♦♥sér♦♥s

♥ ♦t r Ω ♦♠♣♦sé n ♣rts t ♦t ♦rrs♣♦♥ ♥ r♣èr ♦

♥ ♠tr 3 × 3 R ér♥t s r♦tt♦♥ t ♥ tr T ér♥t s tr♥st♦♥

♥tr r♣èr st ♦♥♥é ♣r ♥tr s ♠sss G ♦t é♥ ♣r

G =1

∑n

i=1 mi

n∑

i=1

miPi

♦ù mi st ♠ss è♠ ♣rt Ω ❯♥ ♠tr ♥rt IL st ss♦é r♣èr

♦ st é à ♥st♥t ♥t t rst ♦♥st♥t t♦t ♦♥ s♠t♦♥

♥s r♣èr ♦ ♣♦st♦♥ Pi ♥ ♣rt ♣♣rt♥♥t à Ω ♣t s①♣r♠r

♥ ♦♥t♦♥ s ♣♦st♦♥ P0i ♥s r♣èr ♦ ♣r rt♦♥ s♥t

Pi = RP0i + T

Ω ♣♦ssè é♠♥t ♥ tss ♥ér V t ♥ tss ♥r W ♣r♠tt♥t

rtr♥srr ss r♦tt♦♥s

♣tr ❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è ♣②sq srt

P♦r étr♠♥r ♠♦♠♥t Ω ① ét♣s s♦♥t ♥éssrs r

♥♦ ♣♦st♦♥ ♥tr s ♠sss à ♣rtr s ♦rs q s♦♥t ♣♣qés t

ér ♣♦st♦♥ q ♣rt ♣r r♣♣♦rt à ♣♦st♦♥ ♥tr s ♠sss

♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s st ♥éssr étr♠♥r éért♦♥ ♥ér V Ω

♠♥èr s♥t

V =

∑n

i=1 Fi∑n

i=1 mi

♦ù Fi r♣rés♥t t♦t s ♦rs ①tr♥s s♣♣q♥t sr ♣rt i ♥s ♥

①è♠ t♠♣s st r éért♦♥ ♥r W ♦t P♦r r

♦♥ é♥t ♠♦♠♥t ♥ér τ ♣r

τ =n

∑

i=1

GPi × Fi

♥ étr♠♥ ♥st ♠tr ♥rt I ♥s r♣èr ♦ à rt♦♥

s♥t

I = RILR−1

éért♦♥ ♥r st ♥s ♦♥♥é ♣r

W = I−1(τ + (IW)×W)

♥♠♥t ♥♦ ♣♦st♦♥ ♥s q s ♥♦s tsss ♥ér t ♥r

♥tr s ♠sss s♦♥t étr♠♥és râ à ♥ sé♠ ♥tért♦♥ t②♣ r

Vt+dt = Vt + Vdt

Gt+dt = Gt + Vt+dtdt

Wt+dt = Wt + Wdt

♥♦ ♦r♥tt♦♥ Ω st é à s qtr♥♦♥s ♥ ♥s rt♦♥

q =1

2(0,W) ∗ q

♦ù q st qtr♥♦♥ r♣rés♥t♥t ♦r♥tt♦♥ ♦t (0,W) qtr♥♦♥ ♦t♥

♥ ♣♦♥♥t W ♥s s♣ s qtr♥♦♥s ♣rt ré ♥ t ∗ ♦♣értr

♠t♣t♦♥ s qtr♥♦♥s ♥♠♥t ♥♦ ♠tr r♦tt♦♥ st étr♠♥é

à ♣rtr qtr♥♦♥ s éts ♣♦rr♦♥t êtr tr♦és ♥s ❬r❪

sr♣t♦♥ ♠♦è

♣♦st♦♥ t tss s ér♥ts ♣rts ♦t r s♦♥t ♦rs ♦♥♥és

♣r s ①♣rss♦♥s s♥ts

Pt+dti = Gt+dt + RP0

i

Pt+dti = Gt+dt + W × (RP0

i )

♦♥tr♥ts

♠♥èr à ♠♦ésr ♥t ♦♠♣♦rt♠♥ts q ① ♣r♠s ♣r s ♦rs

s ♦♥tr♥ts ♦♥t été ♠♣é♠♥tés ♥s ♠♦è ♥s ♣rr♣ ♥♦s ♣rés♥

t♦♥s ① ♥trs s ♣r♥♣♠♥t tsés ♥s ♥♦s tr① ♣r♠èr ♦♥r♥

♥♦♠♣rssté ♦♥trô ♦♠ st ♥♦t♠♠♥t ♥éssr ♣♦r s♠r é

♦r♠t♦♥ s s ♦ ♥♦♠♣rssté rt♥s ♦r♥s ♥t à ①è♠

♦♥tr♥t ♦♥r♥ r♦r♠♥t ♥tr ♥ ♦t éstq t ♥ ♦t r

rés♦t♦♥ tt ♦♥tr♥t st ♣r♠♦r ♣sq ♥tr♥t ♥s ♠♦ést♦♥

s ♦♥tts ér♥ts

♦♥trô ♦♠

♦s ♦♥♥♦♥s s ♣r♥♣① ♣♦♥ts ♠ét♦ ♠♣qé ♥s ♣résrt♦♥

♦♠ P♦r ♣s éts tr ♣♦rr ♦♥str ❬r❪

♦♥sér♦♥s sr ♥ ♦t ♥ r♣rés♥té ♣r ♥ ♣♦②èr ♦♠♣♦rt♥t n

s♦♠♠ts ♦♥t P1, ...,Pn s ♣♦st♦♥s s s♦♠♠ts t F1, ..., Fm s m s ér♥t

sr ♥ ♥♦t X tr t 3n ♦♠♣♦sé s ♣♦st♦♥s t♦s s s♦♠♠ts

X = (P1, ...,Pn) X st tr étt ♣♦②èr ♥ ♥♦t é♠♥t V (X) ♥

♦♥t♦♥ ♦♥♥♥t ♦♠ é♥ ♣r ♣♦②ér♦♥ t V0 ♦♠ ♥t

♣r♥♣ ♠s ♥ ♦r st s♥t ♠♥♦♥s q ♣♦②èr st ♥ é♦r♠

t♦♥ ♦♥♥♥t tr étt X ♠ét♦ tsé ♣r♠t tr♦r ♥ ♣♦②èr

tr étt X′ s♠r à X ♠s ♦♥t ♦♠ st ♥tq ♦♠ ♥t

st ♦rs étr♠♥r s é♣♠♥ts à ♣♣qr à q s♦♠♠t ♥ rés♦♥t

s②stè♠ s♥t

X′ = X + λ∇V (X)

V (X′) = V0

♣tr ❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è ♣②sq srt

♦ù ∇V (X) st r♥t ♦♥t♦♥ ♦♠ V (X) t λ ♥ sr

♦♥ ♦♥sèr s s♦♠♠ts ♣♦②èr s②stè♠ ♣t sérr ♦♠♠ st

P′

i = Pi + λ∇i,∀i ∈ [1...n]

V (X′) = V0

♦ù ∇i st ♣rt ∇V (X) ♦♥r♥♥t Pi

∇i =∂∇V (Pi)

∂Pi

♦♠ ♣♦②èr st sé sr s♦r②♥tr ♥ s m s

st ♦♥♥é ♣r rt♦♥ s♥t

V (X) =1

3

m∑

j=1

Gj ·Aj

♦ù Gj t Aj r♣rés♥t♥t rs♣t♠♥t r②♥tr t tr r è♠

♦♥ ♦♥sèr ♥s♠ Si ♦♥t♥♥t t♦ts s s ♣♦②èr ①qs ♣♣rt♥t

s♦♠♠t Pi ♦♠ ♣t ♦rs s①♣r♠r ♦♠♠ st

V (X) =1

3

n∑

i=1

Pi · (∑

Fj∈Si

Aj

nj

)

♥s s ♦ù t♦ts s s ♣♦②èr ♦♥t ♠ê♠ ♥♦♠r s♦♠♠ts N ♦♥

V (X) =1

3N

n∑

i=1

Pi ·Ai

st ♦rs ♣♦ss étr♠♥r ♣♦r q s♦♠♠t Pi s ♣rt Vi ♥s ♦♠ t♦t

V (X)

Vi =1

3NPi ·Ai

♥♠♥t s②stè♠ ♣t sérr ç♦♥ s♥t

P′

i = Pi + λ∇i,∀i ∈ [1..n]∑

i V′

i = V0

♥s s②stè♠ r♥t ♦♠ st ♦♥♥é ♣r

∇i =1

3NAi

♦rsq♦♥ r à s tr♥s N = 3 rés♦r s②stè♠ r♥t à rés♦r

♥ éqt♦♥ tr♦sè♠ ré ♥♦♥♥ λ st ♥st tsr r λ

tr♦é ♣♦r ♣♣qr ♥ é♣♠♥t ① s♦♠♠ts ♣♦②èr éqt♦♥

sr♣t♦♥ ♠♦è

♦r♠♥t ♥tr ♦ts r t éstq

♠♥èr à s♠r s ♦ts éstqs ♦ ♦♥trts ①és à ♥ ♦t r t

q♥ ♠s ①é à ♥ ♦s ♥ ♦rt♠ s♣éq ts♥t ♥ ♣r♦t♦♥ ♦♥tr♥t

rt été é♦♣♣é ♥s ❬Pr♦❪ ♠ét♦ tsé ♦♥sst à ♦♥tr♥r s

♣rts stés à r♦♥tèr ♥tr s ① ♦ts à rr ♠ê♠ ♣♦st♦♥ ♦rs

s♠t♦♥ Ps ♣résé♠♥t s ♣rts stés à ♥tr s♦♥t ♦♥és t s

♠♦♠♥ts s ♣rts éstqs s♦♥t ♦♥tr♥ts ♣r ① s ♣rts rs P♦r

r♦rr ♦♠♥t t ç♦♥ ♣r♠♥♥t ♥ ♦t éstq Ωe t ♥ ♦t r Ωr

① ♣rts Pe ∈ Ωe t Pr ∈ Ωr ♦♥t êtr réés à ♠ê♠ ♣♦st♦♥ ♦♥s

♣rtr ♥ t ♦♥rt♦♥ ♠ét♦ ♣r♠t é♥r s ♦rs ♥tr Ωe t Ωr

t r ♥♦ ♦♥rt♦♥ s ① ♦ts t♦t ♥ ♣résr♥t ♦♥tr♥t

été s ♣♦st♦♥s ♥tr Pe t Pr r str tt ♠ét♦

s ér♥ts ét♣s ♦rt♠ s♦♥t s s♥ts

r s ♦rs Fe s♦♠♠ s ♦rs ①tr♥s t s ♦rs ♥tr♥s ①rés sr

Pe t s ♣♣qr à s♦♥ ♦♥ Pr ♦♥ ♣r tr♥s♠ss♦♥ s ♦rs r s

♦rs Fr ①rés sr Pr s♦♠♠ s ♦rs ①tr♥s t ♦tr s ♦rs tr♥s♠ss

♣r Pe r

♣rtr étr♠♥r ♥♦ ♣♦st♦♥ t ♥♦ ♦r♥tt♦♥ Ωr

r ttr à ♦r ♣♦st♦♥ Pr ♥ ts♥t

♦♥tr♥r Pe à rr ♠ê♠ ♣♦st♦♥ q s♦♥ ♦♥ r

♦rt♠ tt ♠ét♦ st été ♣rès ♣♦r s é♥ér ♦rt♠

♠t♦♥s

♠ét♦ ♠♦ést♦♥ été ♥tèr♠♥t é♦♣♣é ♥ ♥tr r

♣q ts s ♦tèqs ❱ ♣♦r sst♦♥ t t ♣♦r ♥tr ♦♠♠

♠♥ ❯♥ ♦tèq èr ♥ér é♦♣♣é ♦rt♦r st é♠♥t t

sé

♣tr ❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è ♣②sq srt

//

b

d

a

ΩeΩ

r

c

G

r♦r♠♥t ♥tr ♥ ♦t r Ωr t ♥ ♦t éstq Ωe ♦♥tr♥t

r♦r♠♥t s ♣rts stés à r♦♥tèr ♥tr s ① ♦ts s♦♥t ♦♥és

♥ rt s ♦rs s♦♥t és sé♣ré♠♥t s ♦rs ①rés sr s ♣rts

éstqs s♦♥t tr♥s♠ss à r ♦♥ ♦r t ♠♦♠♥t rést♥t ♣♣qés sr Ωr

♥♦ ♦♥rt♦♥ s ① ♦ts t♥♥t ♦♠♣t ♦♥tr♥t s①rç♥t sr

s ♣rts éstqs

sr♣t♦♥ ♠♦è

♦rt♠ r♦r♠♥t ♥tr s ♦ts éstqs t rs

♣♦r q ♣rt ♦t éstq r

r♦rs

s ♦♥é ♦rs

tr♥s♠ttr♦rs

♥

♥

♣♦r q ♣rt ♦t r r

r♦rs

♥

r♦♠♥tt

♣♦r q ♣rt ♦t éstq r

s ♦♥é ♦rs

♦♥tr♥rP♦st♦♥

s♥♦♥

r♦♠♥t

♥

♥

sr♣t♦♥ s ♦ts

s ér♥ts ♦ts tsés ♦rs tt tès ♦♥t été érts râ ♥

P P②s r♣ ♥ ❬P❪ ♥ sé sr ♥ ♦r♠t ♦♠♥t

❳ été ♣♥sé ♣♦r r♣rés♥tr à ♦s s ♠♦ès ♣②sqs ♦♥t♥s t srts

♥ ♣rè ♥ ♦tèq ♦r♥té ♦t été é♦♣♣é

♥s ♦♥t①t tt tès é♦♠étr s ♠♦ès st ért ♥ P râ à

① t②♣s strtrs s t♦♠s t s s s t♦♠s ♦rrs♣♦♥♥t ① ♣rt

s ♥ ♠♦è ♦♥♥é t s é♥ss♥t ♣r ♥ ♣♦st♦♥ t rt♥s ♣r♦♣rétés ♣r

①♠♣ ♥ ♠ss s s q♥t à s ♣r♠tt♥t érr s ér♥ts ♦ts

♠♦è rs ♣r♦♣rétés t ♥s♠ s ♣rts q r ♣♣rt♥♥♥t s

ér♥ts strtrs s♦♥t ♥st rr♦♣és ♥s s ♦♠♣♦s♥ts ♥s ♥ ♦♠♣♦

s♥t strtr ♦♠♣r♥ ♥ ♥s♠ strtrs s ♦ t♦♠s t♥s q♥

♦♠♣♦s♥t ♠t♣ rr♦♣ ♥ ♥s♠ ♦♠♣♦s♥ts ❯♥ ♦♠♥t P s ♦♠

♣tr ❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è ♣②sq srt

♣♦s ♣r♥♣♠♥t tr♦s ♦♠♣♦s♥ts

♥ st t♦♠s é♥ ♥s ♥ ♦♠♣♦s♥t strtr

❯♥ ♦♠♣♦s♥t ♠t♣ ♣♣é ♦♠♣♦s♥t ①s Psrs ♦♠♣♦s♥ts str

trs s♦♥t rr♦♣és ♦♥t ① s♦♥t ss♥ts ♣r♠èr ♦♥t♥t s

r♣t♦♥ s ér♥ts ♦ts ♦♥t s ♦♠♣♦s♥t ♠♦è ①è♠ ♣rés

♦s♥ q ♣rt ♥s q sr tr♥é ♣♦r ♦♥trô

♦♠

❯♥ ♦♠♣♦s♥t ♠t♣ ♣♣é ♦♠♣♦s♥t ♥♦r♠t tt ♦♠♣♦s♥t st

♦♣t♦♥ t ♣r♥♣♠♥t ♠♣qé ♥s r♥ r♣q t s ♠♦♥trs

♦♥trô

♦♥tr♥ts t r♠♥ts

❯♥ tr ♥ ❳ ♣♣é ♣②s ♠♦ ♦s r♣ ♥ st

éé à sr♣t♦♥ s ♦♥tr♥ts t s r♠♥ts à ♣♣qr ❬P❪ ♥

♥ r♠♥t st é♥ ♣r s éé♠♥ts s♥ts

♥ ♦♥t♥♥t ♥ strtr ♦ ♦♠♣♦s♥t sé

t②♣ ♦♥tr♥ts à ♠♣♦sr tr♥st♦♥ ♦r

rt♦♥ r♠♥t s♦s ♦r♠ tr

❯♥ st ♥♦♠rs s♣é♥t ♥t♥sté q s♣♣qr r♠♥t

t ♥s q ♥tr t♠♣♦r

♥té r♠♥t

♦rs ♥♦s s♠t♦♥s s rs ♦♥t été tsés ♣♦r ♠♥t♥r ①és

rt♥s ♣rts s ♦ts ♠♦ésés ♣r ♥tr♠ér tr♥st♦♥s ♥s

①♣ér♠♥tt♦♥s

tt st♦♥ rt s ①♣ér♠♥tt♦♥s ♠♥és ét tt tès s♥t à ♥

♠r ♦♠♣ré♥s♦♥ té♦rq ♠♦è ♥ tr♠s ♥♥ qtt rt♥s

♣r♠ètrs ♥ ♥ r ♣s à ♥♦r♣♦rr s ♦♥♥és ré♦♦qs ♥♦t♠♠♥t ♣r

q éq♥ ♥tr ♣r♠ètrs ré♦♦qs ♠♦ ❨♦♥ ♦♥t P♦ss♦♥

①♣ér♠♥tt♦♥s

t ♣r♠ètrs ♠♦è st ♥s s srt ❬❱ ∗ ❪ ♦tr

t ♥st ♣s ♥♦♥ ♣s rtérsr ♥ ♦t ♦♥ ♥ t♥t ♣s ♦♠♣t ♠♦ ❨♦♥

♣r ①♠♣ ♠s étr s♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ rr ♦♥t éstté

ke ♣♣qé sr q ♣rt ♦r éqt♦♥

P♦r r ♦♥ s ♦♥♥ s rtèrs ét♦♥ s♥ts

é♦r♠t♦♥ ♦ ♦t s♦♥ s tr♦s rt♦♥s s♣ st é

♦♠♠ st ǫii = ∆liil0ii

♦ù i st é à x y ♦ z rt♦♥ s ①s st ♦♥♥é

sr r

tr ♥♦r♠sé ♦t

r ♦♥tt ♣♥ ♦r ♣rr♣ ♣r♦♥ ♣tr ♣♦r ét

s s

♦♥trr♠♥t à ♥ ①♣ér♥ ré♦♦ ssq r♥r rtèr rt♥

♦♥r♥ é♥r ♣♦t♥t éstq ♦t tt é♥r q s♣♣ sr

♣r♥♣ ♠é♠♦r ♦r♠ ♦r ♣rr♣ st étr♠♥é ♠

♥èr s♥t

Epe =n

∑

i=1

1

2ke‖P

∗

i −Pi‖2

♦ù Pi st ♣♦st♦♥ ♣rt i t P∗

i s♦♥ ttrtr rtèr st

♣rtèr♠♥t ♥térss♥t ♣sq ♦rrs♣♦♥ à é♥r ♠♠s♥é ♦rs

é♦r♠t♦♥ ♦ ♦t ♣s s r st r♥ ♣s ♦t st é♦♥é

s ♦♥rt♦♥ ♥t

sr♣t♦♥

P♦r résr ♥♦tr ①♣ér♠♥tt♦♥ ♥♦s ts♦♥s ♥ ♦t éstq é♦r♠ ♦♠

♣♦sé ♣rts t tts tr♥rs r t ♦t st ♦♥séré

♦♠♠ ♥♦♠♣rss t s é♦r♠ ♦♥ à ♦♠ ♦♥st♥t ♣r♥♣ ①♣ér♠♥t

st s♥t ♦t st s♦♠s à ♥ ♠♣ ♦r ①tr♥ ♥ ♦r rtt♦♥

FG ♣♣qé sr q ♣rt ♦s t♦♥ ♠♣ ♦r ♦t ♥tr ♥

♦s♦♥ ♥ sr r ♥é♦r♠ ♦♥t♥ ♥s ♣♥ XZ ♠♦ésé ♣r

♥ ♦♥tr♥t tt ♦s♦♥ ♥trî♥ ♥ é♦r♠t♦♥ ♦t s♦s t ♦♥é

s ♦rs ①tr♥s t s ♦rs ♥tr♥s éstqs s♣♣q♥t sr q ♣rt

♣tr ❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è ♣②sq srt

♦♥sér♦♥s rt♦♥ é♥r ♥étq δEc ♦t

δEc= |Et+∆t

c − Etc|

♦ù é♥r ♥étq Ec st ♦♥♥é ♣r ①♣rss♦♥ s♥t

Ec =162∑

i=1

1

2miV

2i

Vi tss ♣rt i t mi s ♠ss

s♠t♦♥ st rrêté ès q δEcst ♥érr à 10−3 trs♥t t q ♦t

tt♥t ♥ étt éqr tss ♠♦②♥♥ s ♣rts st ♦rs ♦rr

10−5µm/s tt r été étr♠♥é ♠♣rq♠♥t ♣srs tsts ♦♥t été résés

s ss ♣s ♣tts t ♦♥t ♠♦♥tré q s réstts ♦t♥s ét♥t s♥t♠♥t

s ♠ê♠s tr♠♥t t 10−3 st ♥ r ss♥t ♣♦r q s②stè♠ s♦t ♦♥séré

♦♠♠ st ♣r ♦srt♦♥

x

y

z

FG

♦t éstq é♦r♠ sr♥t ① ①♣ér♠♥tt♦♥s ♦t st s♦♠s

à ♥ ♦r rtt♦♥ FG t ♥tr ♥ ♦♥tt ♥ ♣♥ r s♦s ♦♥tr♥t

♦♠ ♦♥st♥t

éstts

Psrs s♠t♦♥s ♦♥t été résés ♣♦r s rs ke ♣♣rt♥♥t à ♥tr

[250; 1700] q r♥ ♦♠♣t ♦ts s♦♣s ke à rs ke ♦t♦♥s q

♣♦r s rs ①térrs à t ♥tr s ♣é♥♦♠è♥s ♥stté ♦ r♥

♣♣rss♥t rést♥t ♣r♦è♠s ♣rés♦♥ ♥ ♣rtr ♣♦r s rs

ke ♦♠♣rss ♥tr t s réstts ♦t♥s ♥ s♦♥t ♣s rérs

①♣ér♠♥tt♦♥s

r ♠♦♥tr ♦♠♣♦rt♠♥t ♦t s♦♥ s rtèrs ♦① rt♥s ♥t

à r str s ♦♥rt♦♥s éqr ♦t ♦t♥s à ss

s♠t♦♥s résés ♣♦r tr♦s rs ér♥ts ♦♥t éstté

−0.35

−0.3

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Dé

form

atio

n

ke

EyyExxEzz

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Éne

rgie

pot

entie

lle é

last

ique

ke

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Ha

ute

ur

no

rma

lisé

e

ke

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Aire

de

co

nta

ct

ke

♦♠♣♦rt♠♥t ♦t ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥t éstté ke ♣rès ♦♥tt

♥ ♣♥ r ♥é♦r♠ é♦r♠t♦♥ s♦♥ s tr♦s rt♦♥s s♣

é♥r ♣♦t♥t éstq tr ♥♦r♠sé ♦t r ♦♥tt

♣♥

sss♦♥

rr s rs t ♦♥ ♣t r♠rqr s rt♦♥s ♥♦♥

♥érs ♣♦r s rs ♦♥t éstté ♥érrs à ♥ r♥ ♦t

♥ ♦♠♣♦rt♠♥t s♥s♠♥t ♥ér ♣♦r s rs ke s♣érrs à

♣t s①♣qr ♣r t q ♦rsq ♦t st tr♦♣ s♦♣ ♣r r♣♣♦rt à ♦r

rtt♦♥ ♣♣qé sét ♦rs sr ♣♥ ♥ ♠♥t♥t s sr ♦♥tt

♥s ♦♥t①t ♥ ♥♦♠♦é♥été é♦♠étrq ♣♣rît ♠rqé ♣r ♥ s♣è

♦rrt ♥ ♣rt ♥érr s ♦rs ♥ ♦♥t ♣s s♣♣qr ç♦♥

♦♠♦è♥ t s rrrs ♦♥t ♦rs s♠r ♦rs s♠t♦♥ ♥rs♠♥t

♣tr ❯♥ ♣♣r♦ tr♥t ♥ ♠♦è ♣②sq srt

ès q s ♦rs ♥tr♥s s♦♥t ss♥ts ♣♦r ♦♥tr♥r ♠♣ ♦r ①tr♥

ke > 900 r ♦♥tt st ♠♦♥s ♠♣♦rt♥t t é♦♠étr ♦t rt♠♥t

♥ér

♥s s ① s r ♦♥ ♦sr ♥ é♦r♠t♦♥ ♦r③♦♥t ♦♠♦è♥ é♦r

♠t♦♥ ♥ x ǫxx st ♠ê♠ q ♥ z ǫzz q st ♠♦♥s ♠♣♦rt♥t ♥ r

s♦ q é♦r♠t♦♥ rt r t ♦♥é s ♦♥tr♥ts é♦

♠étrqs rést♥t ♦s♦♥ ♣♥ t ♣résrt♦♥ ♦♠ ♣t str

♣é♥♦♠è♥

♥♥ r ♠♦♥tr ♥ ér♦ss♥ ♣r ♣r r ♦♥tt ♦rs s

s♠t♦♥s ♣♦rt♦r s ♦t séè ♣r♦rss♠♥t ♦rsq rté

♠♥t ré tt éét♦♥ ♥♦♠r tts ♠♣qés ♥s r

♦♥tt stàr s tts ♦♠♣rss ♥tr ♣♥ t ♥ s ♦♥♥é ♣t rstr

♠ê♠ q ①♣q s ♣t① ♦srés

♦♥rt♦♥s éqr ♦t ♣rès ♦s♦♥ ♥ ♣♥ ♣♦r é

r♥ts rs ♦♥t éstté ke = 250 ♦t s♦♣ à ke = 1000

♦t rté ♥tr♠ér ♠ t ke = 1700 ♦t r à r♦t

tt ♣s ①♣ér♠♥t ♥♦s ♣r♠s ér qtt♠♥t ♥♦tr ♠♦è ♥

♣rtr ♥♦s ♦♥s été ♥♥ ♦♥t éstté sr ré♣♦♥s ♠é

♥q ♥ ♦t s♦♠s à rtt♦♥ t ♥tr♥t ♥ ♦♥tt ♥ ♣♥ ♥é♦r♠

s réstts ♦t♥s ♠♦♥tr♥t q ♣r♠ètr ♦ ♣♣qé sr q ♣rt

♣r♠t ♦♥trôr ♦♠♣♦rt♠♥t éstq ♦ ♦t ♥ rt♥r é♠♥t

♠♣♦rt♥ str s ♣r♠ètrs ♠♦è s ♥s ♥ ♦♥t♦♥ s trs ♦

♥t éstté t ♣♦s rtt♦♥ srt t♦t♦s ♥éssr r ♣s

♥t ♥s tt ét ♥ ♦♥r♦♥t♥t s ②♣♦tèss ♥és à s s♠t♦♥s résés

♦♥s♦♥

s ♠s ♣s ♥s srt é♠♥t ♥térss♥t tstr ♥♥ trs

♣r♠ètrs ts q s♦sté

♦♥s♦♥

♥s ♣tr ♥♦s ♦♥s t♦t ♦r ♦♥♥é ♥ sr♣t♦♥ é♥ér ♥♦tr

♣♣r♦ ♠♦ést♦♥ ♠♦è tsé ♣♣rt♥t à té♦r s rés① ♣r

ts t r♣♦s sr ♥ ♠ét♦♦♦ ♦r♥té ♦t ♣r♠t ♠♥♣r ér♥ts

t②♣s ♦ts éstq ♠sr t r érts ♣r s ♣rts srqs

②♥♠q s②stè♠ ♠♦ésé st étr♠♥é à ♦rs t ♦♥tr♥ts ♣

♣qés sr q ♣rt ♦s ♦♥s ♥st ♣rés♥té s ♣r♦♣rétés s ér♥ts

♦ts t rés♦t♦♥ ① ♦♥tr♥ts ♠♣♦rt♥ts ♥ ♣rtr ♥♦s ♦♥s ♥ssté

sr r♦r♠♥t ♥tr ♦ts éstqs t rs ♣sq ♦ ♥ rô ♦♥♠♥t

♥s ♥♦tr ♣♣r♦ ♥ ♣r♠tt♥t érr s ♦s♦♥s ♦r ♣tr ♥♠♥t

♥♦s ♦♥s ①♣qé q ♠♥èr s♦♥t érts s ♦ts tsés ♦rs s s♠t♦♥s

♥s ♣r♦♥ ♣tr ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s s ér♥ts ♠é♦rt♦♥s ♣♣♦rtés à

♣♣r♦ ♣rés♥té ♥♦t♠♠♥t ♣♦r t♥r ♦♠♣t ♠ét♦s♠ r

♣tr

①t♥s♦♥ ♠♦è

♦♠♠r

♥tr♦t♦♥

t ①st♥t

t r

stté t ♦♥trtté

♦♠♥t r

trtr ♣r♦trs t rs t♦♠②♦s♥

r ♦♥tt

♦è t ♠ét♦s♠ r

♦tèq s

♦♣ ♦tèq s ♠♦è

♥trt♦♥s ♠♦è

①♠♣s

①♣ér♠♥tt♦♥s

♥tr♦t♦♥

②stè♠ ⇒ ♦è

♦è ⇒ ②stè♠

♦♥s♦♥

♣tr ①t♥s♦♥ ♠♦è

♥tr♦t♦♥

♦rs ♣tr ♣réé♥t ♥♦s ♦♥s ♣rés♥té ♠♦è srt sr q r♣♦s

s tr① tt tès r♥r été ♥t♠♥t tsé ♣♦r s♠r s ♠♦♠♥ts

rs♣rt♦rs ❬PP Pr♦❪ t ét♥ ♣r st à ♦♦ r ❬P❪ ♥s

st♦♥ ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s s r♥rs tr① t ♥ r♦♥s ♥ ét rtq tt

♥②s ♥♦s ér♦♥s ♥ rt♥ ♥♦♠r ♠ts à ♣rtr sqs ♥♦s ♦♥s ①é

♥♦tr tr rst ♣tr sr ♦rs ♦♥sré ① ♠é♦rt♦♥s ♣♣♦rtés ♥s

♥♦s ①♣♦sr♦♥s ♥s st♦♥ s ♣r♦♣rétés ♥♦ t②♣ ♦t ♠♣é♠♥té t

♣rés♥tr♦♥s rttr ♠♦è q ♥ rést ❯♥ s ♣r♥♣① tr① résé

♦rs tt tès été ♦♣ ♥tr s ♦ts ♣②sqs érts ♣r ♠♦è

t rés♦t♦♥ ♥ s②stè♠ éqt♦♥s ér♥ts ♦r♥rs st♦♥

st éé à tt rést♦♥ ♥ sttrr ♥♦t♠♠♥t sr ♦tèq s

♣r♠tt♥t rés♦t♦♥ s t s rtèrs q ♦♥t ♠♦té s♦♥ ♦① ♣rr♣

♦s ♦♥s é♠♥t réé ♥ ♥ s♣éq ♣♦r érr ♥ ♣rt ♥ s②stè♠

ér♥t t tr ♣rt ♣♦r ①♣r♠r s tr♥srts ♥♦r♠t♦♥s ♥tr ♠♦è

t ♦tèq s ♦s étr♦♥s s ér♥ts s♣ts ♠s ♥ ♦r ①

♣rr♣s t ♦s ♣rés♥tr♦♥s ♥♠♥t s ①♣ér♠♥tt♦♥s résés q

♠♦♥tr♥t sté ♦♣ st♦♥

t ①st♥t

♥s ❬P❪ Pr♦♠②♦♥ t ♣r♦♣♦s♥t s ♦tss ♦♠♠ ♠♦ès

s rés st ♦ts éstqs ♥♦♠♣rsss é♥s ♣r ♥ ♠ srq

tr♥r Psrs ①♣ér♥s s♦♥t résés ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s s trs s♥

térss♥t ① ♣r♦♣rétés ♠é♥qs s s s ts♥t ♥♦t♠♠♥t ♦♠♠ réér♥

♣r♦t♦♦ ①♣ér♠♥t ♣r♦♣♦sé ♣r é♥♦♥ t ❬❪ q ♦♥sst à é♦r♠r

s ♦s r♦s à s① ♦♣tqs t♦♥ s s① st s♠é

♣r ♣♣t♦♥ ♥ ♦r sr ① ♣rts ♦♣♣♦sés ♦♥t♦r ♥ ♦t

s ♣r♠ètrs s♠t♦♥ s♦♥t ♠♦ ♦r t ♦♥t éstté s

t ①st♥t

réstts ♦t♥s ♠♦♥tr♥t q r♥r ♣t êtr sté t ç♦♥ q ♦t t

♦ r♦ ♣r♦s♥t ♠ê♠ rét♦♥ ♠é♥q ♥s ♥ ré♠ ♥ér

♥s ♥ ①è♠ t♠♣s rét♦♥ ♥ ♣♦♣t♦♥ ♦tss st ♦♥séré

s♦♥ ♥ ♠♦é ♠♦ttrt♥t s♣♣♦sé ♥ér é♥èr ♥ r♥t

♦♥♥trt♦♥ q ♦♥♥ à ♥ ♠♣ ♦rs ①tr♥s ①ré sr s ♦ts s

r♥rs ♣♦ssè♥t é♠♥t ♥ ♠♦♠♥t r♦♥♥ t s♦♥t ré♣rts s♦♥ ① t②♣s

q èr♥t ♣r r ♣té à ré♣♦♥r ① ♥trt♦♥s s réstts ♦

t♥s r♣r♦s♥t ç♦♥ ♦♥♥♥t ré♦r♥st♦♥ ♦t s t r tr

♣♣r♦ ♣r♦♣♦sé ♥s ❬P❪ ♣r♠t ♥♦♥ s♠♥t ♦t♥r s réstts ♣r♦

♥ts ♥ ♣♦♥t qtt ♠s ♣♣♦rt é♠♥t s ♥♦r♠t♦♥s q♥ttts

é♥♠♦♥s ♥ rt♥ ♥♦♠r ♠ts s♠♥t é♥ts

♥ ♦t st ♠♦ésé ♦♠♠ ♥ ♦t éstq r ♥ ♣♦ssè s

♣r♦♣rétés q s♦♥t ♣r♦♣rs stàr s rtérstqs q ♥ ♣rt♥t ♣s

♦ré♠♥t ♥ ♦t éstq q♦♥q ♣r ①♠♣ ♠♦♠♥t r♦♥♥

♠ ♥trr st ♥♦ré rét♦♥s ♦♠qs ♦rs q ♦ ♥ rô

♦♥♠♥t ♥s s s ♠♦♠♥ts t s é♦r♠t♦♥s s s ♦r

♣tr

s ♣é♥♦♠è♥s s♦s♥ts à ♠♦tté ♥ s♦♥t ♣s ♦♥sérés ♣r♦trs♦♥ ré

trt♦♥

st♦♥ s ♦♥tts ♣r♥♣ ♦♥sst à str s ♣rs tts tr

♥rs q s♥trst♥t t à rér s ♥s ♥tr s ♥s ♣♦r ♥ ♣r

♦♥♥é s tr♥s s♦♥t ss♠és ♣rt à ♣rt ♣r ♥tr♠ér rs

s♦rts Psrs ♥♦♥é♥♥ts ♣♣rss♥t t ♦tr s rss♦rts ♣t

♥tr♦r s ♣é♥♦♠è♥s ♥stté t ♥s ♦tr é♥r s♣♣é♠♥tr

♥s s②stè♠ ss♠♥tr♦♠♥t s ♦ts st ♥trt ♦♥tr♥r

s tts à s s♣r♣♦sr ♣t ♥trî♥r s rtts ♦♠♣♦rt♠♥t

s ♥trt♦♥s sstrt ♥ s♦♥t ♣s ♣rss ♥ ♦♠♣t ♦rs qs ♦♣♥t

♥ ♣ étr♠♥♥t ♥s ♠rt♦♥ r ♦r ♣tr st♦♥

st sr s s ♠ts q ♥t s♥rr tr tès st

♣tr st ♥s éé ① ér♥ts ♠é♦rt♦♥s q ♥♦s ♦♥s ♣♣♦rtés ①♣t♦♥

♣tr ①t♥s♦♥ ♠♦è

t s ♦♥r♥♥t st♦♥ s ♦♥tts q r♦♥t ♦t ♣r♦♥ ♣tr

t r

❯♥ ♣rés♥t s rtérstqs q s♦♥t ♣r♦♣rs ts q rté

és♦♥ s ♦rs ♦♦♠♦t♦♥ ♦ ♥ ♥♦r ré♣♦♥s à s s♥① ♥r♦♥♥

♠♥t① ♦r ♣tr ♥s ♦t s♣♦sr ♥ r ♥ é♥ ♣♦r r♥r

♦♠♣t s ♣r♦♣rétés ♥♦s ♦♥s ♠♣é♠♥té ♥ ♥♦ t②♣ ♦t ♦t

r t ♦t ♥t értr s ♣r♦♣rétés s ♦ts ♠srs t éstqs

r♠♠ sss ❯ s♠♣é rést♥t st ♦♥♥é à r ♣r tt é

♠r ♥ st ♥ ♥tté ♥ é♥ s♥ ♥♦tr ♠♦è ♥s tt st♦♥

s ♣r♦♣rétés ♦t s♦♥t ①♣♦sés

Objet générique

Objet élastique

(particules élastiques)

Objet rigide

(particules rigides)

Objet musculaire

(particules musculaires)

Objet cellulaire

(particules cellulaires)

r♠♠ sss s♠♣é s ér♥ts ♦ts ♠♦è ♦t

r ért s ♣r♦♣rétés s ♦ts ♠srs t éstqs

stté t ♦♥trtté

♦t r r♣rés♥t ♥ ①t♥s♦♥ s ♦ts éstqs t ♠srs ♥

♣♦ssè ♦♥ rs rtérstqs râ ♣r♥♣ ♦r à ♠é♠♦r ♦r♠ ♥

t r

♦t ♣rés♥t s ♣r♦♣rétés éstté ♦r ♣tr ♣rr♣ st

r♦♥♥ q rté ♥ ♣t rr Pr ①♠♣ ♥ r♦st ♣rés♥t ♥

♠♦ éstté ♦rr 10kPa ❬❪ t♥s q♥ ♥♦té

♥ ♠♦ éstté ♥r♦♥ é à 102Pa ❬∗❪ ♥s ♠♦è st ♣♦ss

r♥r ♦♠♣t ♥ t ♣é♥♦♠è♥ ♥ s♥t rr r ♦♥t éstté ke

❯♥ ♦t ♦♥stt ♥ ♦t é♦r♠ ♦♥t ♦♠ rstr ♦♥st♥t

♦rsq s é♦r♠t♦♥s ♦♥t ♦r ♥s ré♣♦♥r éstq♠♥t à ♣♣

t♦♥ ♦rs s é♦r♠r ♣s r♦rr s ♦r♠ ♥t ♦rsq s ♦rs r♦♥t

ssé s①rr ♦t♦♥s ♣♥♥t q st ♣♦ss sr♥r tt ♦♥tr♥t

♦♠ ♦♥st♥t P♦r st s♠♣♠♥t ♠ttr à ♦r ♥ ♦♦é♥ ♥s

r ♣♠ ér♥t ♦t

♥♠♥t ♥ ♦t ♣♦ssè s ♣r♦♣rétés ♦♥trts ♦r ♣tr ♣

rr♣ q ♦♥t ♦r ♥ rô ♠♣♦rt♥t ♣r ♥tr♠ér s ♣♦♣t♦♥

rs ♣rr♣

♦♠♥t r

♦♥♦r♠é♠♥t à ♣♣r♦ ♣r♦♣♦sé ♥s ❬P❪ ♠♦♠♥t ♥ ♦t

é♣♥ ♥ ♦♠♣♦s♥t ét♦r t ♥ ♦♠♣♦s♥t rt ♥ ré♣♦♥s à ♥ r♥t

♠♦és

♦♠♥t ré

q ♦t st s♦♠s à ♥ ♠♣ ♦rs q r♣r♦t s♦♥ ♥

♠♦é ♠♦ttrt♥t tt s♦♥ é♥èr ♥ r♥t ♦♥♥trt♦♥ ♣r

①♠♣ r♥t P ③ t②♦st♠ s♦♠ q ♦♥♥ à ♥ ♦r

Fatt ss♥t sr t♦ts s ♣rts ♦t ♣♦st♦♥ ♠♦é ♠♦t

trt♥t S ♦♥stt ♥ q ♦t s♦rr tt♥r ♥ s♥t

rt♦♥ D ♦♥♥é ♣r

D = Xc − S

Xc ♥tr é♦♠étrq ♦t Fatt st ♥♠♥t é ♠♥èr s

♥t

Fatt = katt

D

‖D‖

♣tr ①t♥s♦♥ ♠♦è

♦ù katt r♣rés♥t ♦♥t ttrt♦♥ r

♥ ♣t r♠rqr q ♥ st ♣s à ♣r♦♣r♠♥t ♣rr ♥ r♥t ♦♥♥

trt♦♥ ♠s q ♥r st s♠é ♥ ts♥t s♠♣♠♥t ♥ ♥tr s♦♥ ♥

r♥ sr ré♠♥t qst♦♥ r♥t ♥s s tr① ♣rés♥tés ♣tr

♦♠♥t r♦♥♥

♦rt s ♦srt♦♥s ♠♦♥tr♥t q s s ♣♦ssè♥t ♥ ♠♦♠♥t r♦♥♥

❬ ❪ ♥ ♦♠♣♦s♥t ét♦r été ♥tr♦t ♥s ②♥♠q q

♦t ♠ét♦ ♦♥sst à étr♠♥r ♥ rt♦♥ ♦♥st♥t ♣♥♥t ♥ rt♥

t♠♣s t♥ talea é ♦♠♠ st

talea = −p× log(1− r)

♦ù p st ♥ ♦♥st♥t trs♥t ♣rsst♥ t r ♥ ♥♦♠r ét♦r ♦♠♣rs ♥tr

t ♦t♦♥s q ♣r♠ètr p ♣t êtr ér♥t ♥ ♦t à ♥ tr ♦rsq

t♠♣s t♥ st é♦é trt♦r st éé ♥ ♥ θ é♥éré ét♦r♠♥t

♦♠♣rs ♥tr t π tt rt♦♥ ét♦r ♣r♠t ♥ étr♠♥r ♥ ♦r

Falea q st ♣♦♥éré ♣r ♥ ♦♥t kalea st ♣♣qé sr q ♣rt

♦t r ♥s ♥♦s tr① tt ♦r st ♣♥r ♠s ♣♦rrt êtr sé♠♥t

ét♥ à tr♦s ♠♥s♦♥s

trtr ♣r♦trs t rs t♦♠②♦s♥

é♥ér♠♥t ♠♦♠♥t r ♣t s é♦♠♣♦sr ♥ qtr ét♣s ♣r♦tr

s♦♥ tt♠♥t sstrt tr♥s♦t♦♥ ♦r♣s r t ét♠♥t rrèr

♦r ♣tr st♦♥ ♥ ré♣♦♥s à ♥ r♥t ♦♥♥trt♦♥

s ♣r♦trs♦♥s r♦♥t ♥t ♦♥t ♦r sqs ♣r♥♥♥t ♦r♠

♠♣♦ ♦♣♦ ♦ ♣s♦♣♦ s strtrs ♣r♦trss s♦♥t très ②♥♠qs t

♦♥t♥♥♥t ♥ ♥s rés ♠♥ts t♥ ♥ r♥ ♥s rst

s ♠♥ts t♥ sss♠♥t ♥ s① ♦ rs strss q ♥trss♥t

s ♠♦és ♠②♦s♥ s ♣r♦trs♦♥s èr♥t sstrt ♥ ♦♥tts

♦① s r♥rs t♥t s ♥trt♦♥s sstrt t ♣r♠tt♥t ① s

t r

①rr s trt♦♥s sr sstrt ♥st s ♠♥ts t♦♠②♦s♥ ♥rés

① ♦♥tts ♦① s ♦♥trt♥t à ♥t t ♣♦ss♥t ♦r♣s

rs ♣r♦trs♦♥ st ♦rs ♣♦rsé ♥♠♥t s ♦♥tts éss à

rrèr s♦♥t s♣♣r♠és ♣r♠tt♥t ♠♦♠♥t

♦s ♦♥s t♥ ♦♠♣t s ♦srt♦♥s ♥s ♥♦tr ♠♦è q ♦t

st ♦té ♥ strtr ♣r♦trs é♥ ♣r ♥ ♥s♠ n ♣rts n ét♥t ♥

♣r♠ètr é♥ ♣r tstr ♣r♠ètr ♣r♠t s♠r ér♥ts t②♣s

strtr ♣r♦trs ♥ ♣tt r ♦♥♥r ♥ss♥ à ♥ s♦rt ②♥r r♣ré

s♥t♥t t ♥ ♦♣♦ ♥rs ♥ r ♠♣♦rt♥t ♥♥rr ♣tôt ♥

strtr ♥ ♦r♠ ♠ ♠♦és♥t ♥s ♥ ♠♣♦ s n ♣rts é♥èr♥t

s rs ts s♠♥t s ♠♥ts t♦♠②♦s♥ ❯♥ ♦r st ①ré sr s ♣r

ts q r ♠ê♠ ♥t♥sté ♠s ♥s s rt♦♥s ♦♣♣♦sés

s ♣rr♣s s♥ts ①♣q♥t s qtr s♣ts sr sqs r♣♦s♥t ♥♦tr ♠é

t♦ q st stré à r

rs ♣♦t♥ts

s rs ♣♦t♥ts s♦♥t ♦♥sérés ♥tr s ♣rts strtr ♣r♦trs

t s trs ♣rts r st r t st♦r tr ss♦é

à ♥ ♥tr s

ét♦♥rét♦♥

♣rtr s rs ♣♦t♥ts ♥ sét♦♥ st té à ♣rtr ♥ s γ q

♦♥trô ♥♠♥t ♥ r ♦♥♥é s♦♥ r♥t ♦♥♥trt♦♥ D r

é♣♥ ♦t ♠♦ést♦♥ rré ♥ ♦♣♦ ♦♥t♥t ♥ s étr♦t

♦♥s ♠♥ts t♥ ♦r♥té ♥s rt♦♥ ♣r♦trs♦♥ ❬♠❪ ♦rs q rés

rs t♥ ♦r♠♥t s ♠♣♦s st ♦r♥té à ♥r♦♥ ♥s rt♦♥

♣r♦trs♦♥ ❬❪ ♦♥t PiPj ♥ r ♦♥♥é t αij ♥ ♦r♠é ♥tr tr

ss♦é à tt r t D ♣r♦sss sét♦♥ s trt ♦♠♠ st s αij < γ

♦rs ♥ r ♠sr st réé ♥tr s ♣rts Pi t Pj rs t

♣tr ①t♥s♦♥ ♠♦è

tt♦♥

q r ♠sr réé ①r ♥ ♦r ♠ê♠ ♥t♥sté ♠s rt♦♥

♦♣♣♦sé sr ss ①tré♠tés ♦♥ tté é♣♥r s ♦♥t♦♥s tt♠♥t s

♣rts ♦r s s♠t♦♥s résés ♥s ♣tr st♦♥

s à ♦r

q ♣s t♠♣s strtr ♣r♦trs st ♠s à ♦r st ♦rs s♣

♣r♠r s ♣rts ♥ ♦♥♥♥t ♣s ♥ss♥ à ♥ r t s q s♦♥t tr♦♣ s♦és

é ét♥t ♠♦ésr ♥ s t♦♠②♦s♥ rt♠♥t ♦♠♣t ♣r♦sss

s♣♣rss♦♥ st s ♥ ♣s r♦ss♥ ♦rs q s ♣rts s ♣s

♣r♦s s♥ ♥♥♥t ♦♠♣étr strtr ♣r♦trs ♥ ♥ ♦t st

t♦♦rs ♣♦rsé t ♦r♥té rs ♠♦é ♠♦ttrt♥t r

♦rt♠ é♥ér ♠ét♦ st été ss♦s ♣♦r ♥ tért♦♥ ♦

rt♠

♦rt♠ ♠♦ést♦♥ strtr ♣r♦trs t s rs t♦♠②♦s♥

♣♦r q ♣rt strtr ♣r♦trs r

étr♠♥rrsP♦t♥ts

♣♦r q r ♣♦t♥t r

r♥

s angle < γ ♦rs

rérr

♥

♥

♥

trrs

♠ttr♦rtrtrPr♦trs

t r

P1

P4

α14

α34

≤ α24

< γ < α14

SXc

D

Fatt

α24

P4

P2 P

3

α34

P4

Structure protrusive (n=3)

Fibre potentielle

c

Fibre musculaire

Fatt

a b

d e

D D

D

S

r♣rés♥tt♦♥ sé♠tq ♥ ♥ ♦t ♦r ttrt♦♥ Fatt

①ré ♣r ♠♦é ♠♦ttrt♥t sr ♦t D r♣rés♥t tr rt♦♥

é à ♣rtr ♥tr é♦♠étrq Xc ♦t t ♣♦st♦♥ S ♠♦é

rs ♣♦t♥ts ♥tr s ♣rts strtr ♣r♦trs ♥ t s trs

♣rts ♦t ♥ rt ♣r♦sss sét♦♥ té sr rs ♣♦t♥ts

♠♣q♥t ♣rt P4 s trs ss♦és s♦♥t r♣rés♥tés ♥ rs s rs P2P4

t P3P4 s♦♥t ♦♥srés ♦rs q r P1P4 st é♠♥é ♥ α14 ♦r♠é ♣r

tr P1P4 t D st s♣érr à γ rs ♠srs réés ♣rès ♣r♦sss

sét♦♥ ♠s à ♦r strtr ♣r♦trs ♣rt P1 ♥ét♥t ♣♦♥t

é♣rt ♥ r st s♣♣r♠é strtr ♣r♦trs

♣tr ①t♥s♦♥ ♠♦è

r ♦♥tt

s ♦♥tts ♥tr t sstrt ♦♥t ♥ rô ♦♥♠♥t ♥s ♥♦♠

r① ♣r♦sss ♦♦qs t ♥♦t♠♠♥t ♥s rét♦♥ sr r♦ss♥

t ♠♦rt r s ♦srt♦♥s ①♣ér♠♥ts sèr♥t q s s é♣

tés ♥ tr s♦♥t ♣s s sr à ♦♥t♦♥ qs ♥t ss♠♠♥t

♦♥tts sstrt ❬ss❪ st ♠♥t♥♥t r♠♥t r♦♥♥ q ①st ♥

♥ étr♦t ♥tr sr ♥♦♠r① t②♣s s t s és♦♥s ♠tr

①trr ❬❪ ♥s rt♥s s ♣r ①♠♣ s s sss♥t ♥ s♦rt

♠♦rt ♣r♦r♠♠é ♣♣é ♥♦s ♦rsqs ♣r♥t rs ♦♥tts sstrt

❬❪ s tr① t♥♥t é♠♥t à ♠♦♥trr q ♥r sstrt ♥♥

ç♦♥ s♥t ♠♦r♣♦♦ ♥ ♣♦♣t♦♥ s ♥ tr♦ ❬❪

♥s ♥♦tr ♣♣r♦ r ♦♥tt ♥ ♦t sstrt ♦♥stt ♥

♦♥♥é s♣♦♥ à t♦t ♠♦♠♥t ♣r♥♣ r♣♦s sr ① ét♣s ♥s ♥ ♣r♠r

t♠♣s t♦ts s ♣rts ♦t q s♦♥t ♥ ♦♥tt sstrt s♦♥t ré♣rt♦rés

♥s ♥ ①è♠ t♠♣s r s tts ①qs ♣♣rt♥♥♥t s ♣rts stés

s♦♥t és ♣s s♦♠♠és

♦t♦♥s S sstrt t Ω ♥ ♦t ♦♥stté n ♣rts t m tts ♦s

♦♥sér♦♥s q S st r♣rés♥té ♣r ♥ ♣♥ ♥♥ ♦♠♣♦s♥t ♥ ♥ y ♥s

♥s♠ C s ♣rts Pi ♥ ♦♥tt sstrt st ♦♥♥é ♦♠♠ C = Pi/yi <

ǫ, i ∈ [1...n] ǫ st ♥ ♣r♠ètr q é♣♥ rés♦t♦♥ ♠

♦s ♦♥strs♦♥s ♥st ♥s♠ F ♦♠♣r♥♥t s tts Fj j ∈ [1...m] ♦♥t t♦s

s s♦♠♠ts ♣♣rt♥♥♥t à C

♥♠♥t r ♦♥tt st ♦♥♥é ♦♠♠ s♦♠♠ r q tt Fj

♣♣rt♥♥t à ♥s♠ F

aire de contact =∑

F

aire(Fj)

♦è t ♠ét♦s♠ r

♦è t ♠ét♦s♠ r

♦tèq s

P♦r q ♥tért♦♥ ♦tèq s ré♣♦♥ ♠① à ♥♦s ♦ts

♥♦s ♥♦s s♦♠♠s ♦♥♥é s rtèrs sét♦♥ s♥t r♦stss té ①s

tté t ♣♦rtté ♦tr é♠r ♦♥ssté ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s à ré♣rt♦rr ♥

rt♥ ♥♦♠r ♦tèqs ♣s ♥s ♥ ①è♠ t♠♣s à étr r ♦♠♣♦rt

♠♥t sàs s rtèrs rt♥s

♦stss rtèr r♦stss st ♥ rtèr ss♥t ♦♠♣t t♥ t q

s ♦♥♥és ♥ s♦rt ♦tèq s ♣♥t ♦♥sttr s rs

♠♦è r st ♣r♠♦r q♥ s♠t♦♥ ♣ss êtr r♣r♦t stàr

q ♠ê♠ ♣r♠ètrs ♦♥s ♥r♠♥t ♠ê♠ réstt

té st ♥ rtèr é♥ér q ♥♦ ① ♥♦t♦♥s st t♦t ♦r

♠♣♦rt♥t q♥ ♦♠♥tt♦♥ ♦r♥ s♦t s♣♦♥ ♠♥èr à q ♥

tért♦♥ ♦tèq t s♦♥ tst♦♥ s♦♥t tés ♥st ♦♥ ésr

s♣♦sr ♥ ♦tèq ♣♦r q s ♠ss à ♦r réèrs s♦♥t tés

①stté ♣r rtèr ♦♥ sssr q ♦tèq sét♦♥♥é ♣♣♦rt

♥♦♠rss r♦t♥s ♣♦r rés♦t♦♥ s②stè♠s ér♥ts ♦r♥rs ♣♥

♥t ♦♥ s♦t s♣♦sr ♥ ♦tèq ♦r♥t é♠♥t trs ♦♠♥s

♣♦r à tr♠ ét♥r s♦♥ ♠♣t♦♥ ♥s ♥♦tr ♣♣r♦ ♥♦t♠♠♥t s♣♣ér

♦tèq èr ♥ér tsé sq♦rs

P♦rtté ♠♦è été é♦♣♣é ♠♥èr à stsr rtèr ♣rît

♦♥ ♠♣♦rt♥t ♥térr ♥ ♦tèq ♥ s♥t tt é♠r ♥s

♦tèq sét♦♥♥é r ♦♠♣r ♥♦♥ s♠♥t s♦s ♥① ♠s é♠♥t

s♦s trs ♣t♦r♠s

♥ssté ♦tèq ♦t ♠♣ért♠♥t êtr ♣r♦r♠♠é ♥

t ♦♥sttr ♥ ♦ r q ♥♦s ssr r♦t tsr

♠♦r t rstrr ♦t♦♥s q ♥♦tr rtèr ♥① ♣s ♥s ❯

P ❯ ♥r P ♥s ♦ ❯ P ❯ ssr ♥r P

♥s ♣s ♦♥tr♥♥ts ♥♦t♠♠♥t ♥ tr♠s r♦ts rstrt♦♥

♣tr ①t♥s♦♥ ♠♦è

♠ê♠ s tst♦♥ ♥ ♦ tr sr ♥ ♣s ♣♣ré ♦rsq♦♥ ts

♥ ♦ r t s s tstrs st ♠♣♦rt♥t ♦♥ ♣t ♦rs s♣érr

r♥♦♥trr ♣ éts ♣r♦r♠♠t♦♥

♦s ♦♥s ♥s ré♣rt♦ré ér♥ts ♦tèqs s ♣♦r sqs r

térstq ♣r♥♣ st ♦r♥r s ♠ét♦s ♣♦r rés♦t♦♥ s②stè♠s

♦s s st♦♥s ♥ ss②♥t ér ♣♦r ♥ ♥tr s ss ♣r♦r♠♥s

rr s rtèrs é♥s ♦t♦♥s q ♥♦tr ét♦♥ s s s♦♥t sr s ♥♦r♠

t♦♥s s♣♦♥s ♣r♦r

t♣ tt♣ ♠t♣ tt ♦tèq st ért ♥ t

s♣♦♥ s♦s ♥ ❯ P à ①♣t♦♥ ♦♠♥tt♦♥ t s rts

♣rés♥ts sr st t♣ ♦r♥t ♥tr trs s r♦t♥s ♣♦r rés♦t♦♥

s②stè♠s ér♥ts ♦r rs ♦♠♥s ♠té♠tqs ♥♠érqs

♣②sq t ♠t à s♣♦st♦♥ rt♥s ♦ts ♣r ①♠♣ sst♦♥

♦♥♥és é♥♠♦♥s ♣ r♦t♥s s♦♥t s♣♦♥s ♣♦r rés♦t♦♥

tt ♦tèq t♦r♥ sr ♣srs ♣t♦r♠s t r♥èr rs♦♥ s♣♦♥

t ♠♦s ♦t♦r ♥♥ ♦♠♣t t♥ s r♥♦♠♠é t♣ st

s♣♣♦sé r♦st

P tt♣ s♦♠ P st ♥ ♦ ♠té♠tqs

♦r♠s réé ♣r ♥rsté Pr♦r♥ ♠♥ t é♦♣♣é ♥ ♦♦

rt♦♥ s♦été tt ♦tèq ♣♦ssè ♥♦♠r① ♠♣s

♣♣t♦♥ t ♣r♠t ♥♦t♠♠♥t rés♦t♦♥ s②stè♠s ♥

P ♣♦ssè ♥ s②♥t① t②♣ Ps t ♥ ♥ st ♥éssr ♣♦r s♦♥

tst♦♥ ♥ ♥ ♣r♦s♦r ♦rs st ♦ré ♣♦r ér P

st réèr♠♥t é♦♣♣é t ♦♥sér ♣r♦r ♦♠♠ ét♥t r♦st

❯ ♥t rr② tt♣ ♥♦rs♦trs st ♥

♦ r s♦s ❯ P ♣r♦r♠♠é ♥ ♥ ❯♥ r ♦♠♥tt♦♥

st s♣♦♥ t s ♠ss à ♦r s♦♥t réq♥ts r♥èr t s♣t♠r

P♦r rés♦r s s②stè♠s ♥♦♠rss ♠ét♦s s♦♥t s♣♦♥s

♣s ♦♥♦r♠é♠♥t à ♥♦s tt♥ts ♦r é♠♥t ♥♦♠r① trs sts

èr ♥ér trs t ♠trs ♥tr♣♦t♦♥ t tt ♦tèq ♣t

t♦r♥r sr ♣srs ♣t♦r♠s ♣rés♥t é♠♥t ♥t êtr à

♦è t ♠ét♦s♠ r

♦♠♣r t ♥ é♣♥r ♥ ♣ ②♥t été tsté ♦♥ ♣t r♠r q

tt ♦tèq ré♣♦♥ rtèr r♦stss

♦♠tr ♦♦s tt♣ ♦♠trt♦♦s♦♠ tt ♦tèq st ♦

rt ♣r ❯ P st ♣s ért ♥ t trt ♥♦♠r①

sts ♦♥t ♥②s ♥♠érq ♥ ♣t t♦t♦s rrttr q tt ♦tèq

s♦t à ♦♠♥♥t é♦♠étrq ♦♠♥tt♦♥ st ♦♥♥t t ♥èr rs♦♥

ré♥t ♦ût ré♣♦♥ é♠♥t rtèr r♦stss

t rés♠ s ♣r♦r♠♥s s ♦tèqs ss♥♦♠♠és s r

tèrs é♥s

t♣ P ♦♠tr ♦♦s

♦stss

té

①stté

P♦rtté

♥ssté

♣r♦r♠♥s s ♦tèqs s ré♣rt♦rés ♥ ♦♥t♦♥ s r

tèrs sét♦♥ é♥s ♥q ♥ éqt♦♥ ♠①♠♠ t ♥q ♥

éqt♦♥

♦rt ét résé ♥♦s ♣♦♦♥s r q t♣ s ♦♠♣♦rt ♦rrt♠♥t

rr ♥s♠ ♥♦s rtèrs ①♣t♦♥ t té tt ♦tèq

♥ t été é ♣ ♥s ♠sr ♦ù ss ♠ss à ♦r s♠♥t rrêtés ♥t

à ♣ ♣rés♥t ♣r♦♣rété rét♦r êtr ♣r♦r♠♠é ♥ Ps q à

♥♦♥tr ♥ ♥♦s ♣r♥♣① rtèrs ♥ q ♦♥r♥ ♦tèq ♦♠tr

♦♦s ss ♣r♦r♠♥s s♦♥t ss③ ♦♠♦è♥s st ♥s q ♥♦s ♦♥s ♦♣té ♥s

♥ ♣r♠r t♠♣s ♥t ♣rérr ♥ ♣rtr ♣rq tt r♥èr ♣r♦♣♦s

♥t r♦t♥s ♣♦r rés♦t♦♥ s②stè♠s t ♦r ♣s ♥♦♠r①

♠♣s ♣♣t♦♥ ♣s tt ♦tèq st ♠s à ♦r réèr♠♥t ♣r♦♣r

♠♥t ♣r♦r♠♠é t ♠♥t ♦♠♣ q ♥♦s ♣résr ♣r♦r tés

s♣♣é♠♥trs ♦rs ♥tért♦♥ ♣s st st ♥ ♦ r q ♦♣t

♣tr ①t♥s♦♥ ♠♦è

♥ ❯ P t q ♦r ♥ très ♦♥♥ tr♥t ① ♠r ♣s

♦♣ ♦tèq s ♠♦è

♥tr♦t♦♥

♦♦ r ♦♥stt ♥ ♦♠♥ ♦♠♣① ♥s q t♦t ♣é♥♦♠è♥ ♦

♦q ♥ ♣t êtr ♦♥séré ♦♠♠ réstt ♥ s ♠é♥s♠ ♠s ♣tôt ♦♠♠

♥trt♦♥ ♣srs ♥tr ① t ér ♠♦tté r ♦♥stt ♥ ♣r

t ①♠♣ ♥ t ♦♠♣r♥r s♦♥ ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥ésst ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥♦♥

s♠♥t ♠é♥s♠s ♠qs ♠s é♠♥t ♠é♥s♠s ♣②sqs r

♦♣ é♣♥r ♦♠♣♦rt♠♥t ♠♦t s s ♥s st♦♥ ♣r♠r

♣tr ♥♦s ♦♥s ♥♦t♠♠♥t ①♣qé q ♠rt♦♥ r étt ♥té ♣r

♣r♦trs♦♥ ♠♠r♥ sté à ♥t ♣r♦sss ①t♥s♦♥ st

♦♥séq♥ ♦rs é♥érérs ♣r ♣♦②♠érst♦♥ t♥ q ♠ê♠ ré

st ♥ s s♥st♦♥ ♥t ét♠♥t rrèr ♣r

①♠♣ ♥ésst r♣tr s tt♠♥ts sstrt ♣r♦sss q ♠♣q

♦♥trt♦♥ ♠♥ts t♥ ss♦és à ♠②♦s♥

♥ ♣♦♥t ♠é♥q st ♠s q ♥♦♠r① ♠é♥s♠s ♠qs ♥

♥♥t ♦♠♣♦rt♠♥t s s ❬❪ ♣r ①♠♣ r♠♦ ②t♦sq

tt ♣♦s♣♦r②t♦♥ ♦t♠♠♥t ♥s s s é♦r♠t♦♥s s s rés

rét♦♥ ♠ét♦q st à ♦r♥ ♦rs ♠é♥qs q ♦♥t s♣♣qr sr

♠♠r♥ s s ❬♦❪

♦rt s r♠rqs ♦♥ ésr ♦♠♥r s♥ ♥♦tr s♠tr r s

♠é♥s♠s ♣②sqs t ♠qs ♣♦r r♥r ♦♠♣t s é♦r♠t♦♥s t♦ s é

♣♠♥ts s s Ps ♣résé♠♥t ♦♥ t ♦♣r ♥ s②stè♠ ér♥t

♠♦è ♣r ♠♦è ♦♥ ♥t♥ ♥s♠ s ♦ts ér♥ts sss ♠♥èr

à étr ♥ rt♦♥ ①♣t ♥tr s ♠é♥s♠s ♠qs érés ♣r

t ②♥♠q ss é♣♠♥ts t♦ é♦r♠t♦♥s ♦t ♣r♥♣ st ♣r

♠ttr ♥ tr♥srt ♥♦r♠t♦♥s ♥s ① rt♦♥s ♥ ♣rt s ♣r♦♣rétés s

♣rts t♦ s ♦ts ♣♥t é♣♥r rs ②♥♠qs ♦♥trôés ♣r

s②stè♠ ér♥t tr ♣rt s ♣r♦♣rétés s ♣rts t♦ s ♦ts ♠♦è

♣♥t ♥♥r ②♥♠q s ♠é♥s♠s ♠♦érs ♥♦és ♥s s②stè♠

♦è t ♠ét♦s♠ r

st ♣rr♣ st ♦♥sré à ♣rés♥tt♦♥ ♦r♠s♠ q r♥

♣♦ss sr♣t♦♥ s ♥trt♦♥s

♥ t s②stè♠ ér♥t

①st s ♣♣t♦♥s ♣r♠tt♥t érr ♥ értr ♠té♠tq ♦♥t

♣s ♦♥♥ t tsé st rt♥♠♥t t ♥ ss ♣♦r ♣r♥

♣ ♦t trtr s ♠té♠tqs sr ♥ ssr♥t à ♦s ♥ r♥

♣rés♥tt♦♥ t ♦♥t♥ ♦tr ♣♣r♦ ♦♥sst à s ♣♦st♦♥♥r à ♥ ♥ ♦♠

♣①té ♠♦♥r t♦t ♥ r♣r♥♥t rt♥s ♦♥♠♥ts t ♥ s ♣r♦♣♦s ♥s

♠ttr ♥ ♣ ♥ ♥ éé à értr s②stè♠s ér♥ts ss ♣♦r

s ♣rs♦♥♥s ♥♦♥ ①♣rts ♦♥trr♠♥t à t q st ♥ ♥ ss③ r①

♦♥t tst♦♥ sèr ét ♥ t ♦♥ ♣♦♦r rér ♠♥t s éqt♦♥s à

♣rtr ♥ s②♥t① s♠♣ t ♣r♠ttr ♥ ♥tt♦♥ r♣ s ♦♥♥és ♥ ésr

é♠♥t r réér♥ à s rs ♦ à s éqt♦♥s t rér s ♥s ♥tr s②s

tè♠ ért t ♠♦è ♥♥ ♦♥ s♦t s♣♦sr ♦♠♥ts ss ♣r ♠♥

sr s ♥ ♥ ♦r♥t s ♣♦sstés ①t♥s♦♥ st tt ①t♥sté q

♦♥♥r ♣♦ssté à tstr é♥r s ♦♥t♦♥s ♥♦s ♥s q trs

s②♠♦s

♦tr ♦r♠s♠ st sé sr ♥ ♥ ❳ é♥ss♥t q ♥♦s ♦♥s ♣♣é

qt♦♥s r♣ ♥ ①t♥sté st ♥ ♣r♦♣rété ♣r♥♣ ♥

❳ ♦♠♠ s♦♥ ♥♦♠ ♥q ❳t♥s r♣ ♥ st ♥s ♣♦ss

érr t tsr ♥♦s ♦♥♥és ♥ ♠ê♠ t♠♣s s rès réss♥t s

r♠♠r t s s②♥t① ♦♥èr♥t ♥ strtr ♦♠♥t réèr q t

trt♠♥t t♦♠tq t ♣rs ♥ r ♥♦♠r① ♦♠♥ts r♣♦s

sr s rès s②♥t① t r♠♠r értés ♥ t♥t q♣♣t♦♥ ❳ t ts

♥ sé♠ ❳ q ssr té strtr s ♦♠♥ts ♥ s♣♦s ♥s

♦♠♥ts ss ♣r ♠♥ ♣♦♥t êtr ♠♥♣és sé♠♥t t q ♣r♠tt♥t

①t♥s♦♥ s ♥♦r♠t♦♥s trtés

♥ ♣rè ♥ ♦tèq qt♦♥s été é♦♣♣é ♥ sé sr ♥ ♣

♣tr ①t♥s♦♥ ♠♦è

♣r♦ ♦r♥té ♦t tt ♠♥èr ♥♦s st ♣r♠s tr♥s♦r♠r ♥ ♦♠♥t

sttq ♥ ♥ ♥s♠ ♦ts ♠♥♣s ♣r ♣r♦r♠♠t♦♥ tt

♦tèq t ♣♣ à ♣ ❳rs ♣♦r é♥érr ♠♥♣r t r ♥♦s ♦♠♥ts

❳ st ♥♦t♠♠♥t ♦♠♣t s ♦♠♣trs s♦s ❯♥① ♥s st

tt ♣rt ♥♦s ♣rés♥t♦♥s sss♠♥t ♦tèq qt♦♥s ♣s ♥

♦tèq qt♦♥s

♥s ♥♦tr ♣♣r♦ ♥ s②stè♠ ér♥t s ♦♠♣♦s ♥ ♦ ♣srs éqt♦♥s

❯♥ éqt♦♥ st ♥ ♦♣ért♦♥ rtérsé ♣r ♥ ♦♣értr q r ① ♦♣ér♥s

♥s ♦tèq qt♦♥s ♣rés♥t tr♦s sss ♣r♥♣s ②st♠ t

♣rt♦♥ r ♦♥♥ ♦r♥st♦♥ ♦r♥té♦t ♦rrs♣♦♥♥t

r♠♠ sss ❯ s♠♣é ♥ s②stè♠ ér♥t

ss②st♠ st ♦r♠é ♣r ♥s♠ s éqt♦♥s ♣♦ssè é♠♥t

♦♠♠ ttrts

♥♦♠ ♥ ♦rt♠ rés♦t♦♥ ♣r♠ ① ♣r♦♣♦sés ♣r ♠t♦♠

♣s ♠t♦t♣

♦è t ♠ét♦s♠ r

♣r♥♣ ♠ét♦ ♣rés♥t ♥s tt ss ssr rés♦t♦♥ s ér♥ts éq

t♦♥s P♦r r t ♣♣ à ♦tèq ♥ ♣rés♥t ♣s t♠♣s

♠♦è ♣s t ♥♦♠ ♦rt♠ rés♦t♦♥ s s♦t♦♥s s

ér♥ts éqt♦♥s s♦♥t ♦rs st♦és ♥s tt ss Psrs trs ♠ét♦s s♦♥t

♠♣é♠♥tés ♦♥t ♣r♠tt♥t r s s♦t♦♥s s éqt♦♥s

ss ♦♠♣r♥ s ér♥ts ♣r♦♣rétés ♥ éqt♦♥ ① ttrts s♦♥t

♥♦t♠♠♥t ♣rés♥ts

♦♣ért♦♥ q é♥t ♠②♣

♥ ♥ q ♣r♠t ♥tr ♠♥èr ♥q s♥ s②stè♠ ér♥t

♥①

ss ♣rt♦♥ ♣♦ssè ♣srs ttrts

① ♦♣ért♦♥s ♦♣r♥ t ♦♣r♥

♥ ♦♣értr ♦♣ q r ♦♣r♥ t ♦♣r♥ ér♥ts ♦♣értrs s♦♥t ♣rs

♥ ♦♠♣t ♦♥t st ♣t êtr ♠♥t ♦♠♣été ♥♠ ♣rt♦r

tt ss ♦ ♥ rô ♣sq ♣r♠t étr♠♥r r ♥ ♦♣ért♦♥

♥ ♣r♦é♥t ♠♥èr rérs st r s rs ♦♣r♥ t ♦♣r♥

♥t ♣♣qr ♦♣értr

♥

s éqt♦♥s s♦♥t é♦♠♣♦sés rérs♠♥t ♥ éé♠♥ts ♠rqés Ps é♥ér

♠♥t ♥ éqt♦♥ ♣t êtr ss♠é à ♥ rr ♦♥t r♥ st ♥ ♦♣értr t

ss ① ♥♥ts s ♦♣ér♥s s ♥♦s tr♠♥① ♥s rr r♣rés♥t♥t s ♦ts

♠té♠tqs s ts q s srs ♦ s rs ♥t ① ♥♦s ♥tr♥s

s ♣♣rt♥♥♥t à ♥ s♦s①♣rss♦♥ ①♣rss♦♥ ♥tèr Pr ①♠♣ ♥ ♥♦ ♥

tr♥ ♣t r♣rés♥tr ♣♣t♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ sr ♣srs r♠♥ts r♣rés♥tés

♣r s ♥♦s tr♠♥① rs t s ér♥ts éé♠♥ts ♥éssrs

♣♦r trr ♥ s②stè♠ s♦♥t ♣rés♥tés ss♦s

♦②st♠ éé♠♥t ♦②st♠ st r♥ ♦♠♥t ❳ ♦♠♣r♥ ♥

♣tr ①t♥s♦♥ ♠♦è

♦ ♣srs s♦séé♠♥ts ♦ ♥ ér♥t ♥ éqt♦♥ r♥r s♦séé♠♥t

♠t♦ r♥s♥ sr rés♦t♦♥ s②stè♠ ♣♦ssè ① ttrts ♥♦♠

♦rt♠ t ♣s t♠♣s

♦ éé♠♥t ♦ ♦♥t♥t ♣r♥♣♠♥t tr♦s s♦séé♠♥ts ♣r♠r st ♦♣é

rtr à ♣♣qr s ① trs s♦séé♠♥ts ♦♣r♥ t ♦♣r♥ ét♥t s

♦♣ért♦♥s éé♠♥t ♦ ♣♦ssè ① ttrts ♥ ♥ t r

♦♥t♦♥ ♥t

♦♣rt♦r ①st ① ç♦♥s tsr éé♠♥t ♦♣rt♦r ♥s ♥ s ♣r♠t

①♣r♠r ♥ ♦♥t♦♥ q s♣♣q à ① ♦♣ér♥s Pr ♦♥t♦♥ ♦♥ és♥ s

♦♣ért♦♥s t s ♦♥t♦♥s ♠té♠tqs s st ♥ ♦♣értr ♥r

s ♣r ①t♠♥t ① s♦séé♠♥ts ♣♦st♦♥ s ♥♥ts ♥s rr st ♦rs

s♥t r ♥q ♥s ♦rr s r♠♥ts ♦♥t♦♥ r ♥s

♥ tr s éé♠♥t ♦♣rt♦r st qé ♥r t ♥st ♦rs s q ♣r ♥ s♦s

éé♠♥t

♦♣r♥ ♥s s sq éé♠♥t ♦♣r♥ ♦ r♣rés♥t ♥ ♥♦ tr

♠♥ rr t és♥ é♥ér♠♥t ♥ r ♦ ♥ sr ① s♦séé♠♥ts

♥tr♥♥♥t ♣r♠r ♦♥♥ ♦♣értr ♦♥t r st ♣résé à éé♠♥t

q st r str s r

♥s ♥ s ♣s ♦♠♣① éé♠♥t ♦♣r♥ ♦ ♣t r♣rés♥tr ♥ ♦♣ért♦♥ à

♣rt ♥tèr q ♦♥♥ à ♥ ♠rt♦♥ éé♠♥ts ttr ♣r♠r s♦séé♠♥t

st ♦♣értr à ♣♣qr s trs s♦séé♠♥ts s♦♥t s r♠♥ts ❯♥ ①♠♣ st

♦♥♥é à r

♥trt♦♥s ♠♦è

♥s ♥♦tr ♣♣r♦ ♥ s②stè♠ st rés♦ ♥ ♣rè ②♥♠q

s ♦ts ♠♦ésés ❯♥ é♥ ♥♦r♠t♦♥s ♥s ① rt♦♥s st ♥s ♣r♠s à

q ♣s t♠♣s râ à ♦tèq qt♦♥s ♣r♥♣ st ♦rs s♥t

♦tèq qt♦♥s tr♥s♠t s ♦♥♥és s②stè♠ ér♥t à ♦tèq

♦è t ♠ét♦s♠ r

<operator> plus </operator>

<operand1>

<operator> scalar </operator>

<value> 1 </value>

</operand1>

<operand2>

<operator> scalar </operator>

<value> 3 </value>

</operand2>

+

1

3

1 + 3

♦ ①♣rss♦♥ 1 + 3 t r♣rés♥tt♦♥ r♦rs♥t ♦rrs♣♦♥♥t

♥s t ①♠♣ s éé♠♥ts ♦♣r♥ t ♦♣r♥ s♦♥t s ♥♦s tr♠♥①

rr rt♠étq

s t rç♦t ♥ rt♦r s s♦t♦♥s s ér♥ts éqt♦♥s s ♦♥♥és s♦♥t

♦rs ♣♣qés ♠♦♦ ♥ é♥t ♦♣ért♦♥ ① ♣r♦♣rétés ♠♦è ♦t♦s

sé♠ ♣t êtr ♦♠♣été ♥ ♠♦♥t ♥ tr♥srt ♥♦r♠t♦♥s ♠♦è rs

s②stè♠ ér♥t ♥ t st ♣♦ss tsr ♥♠♣♦rt q ♣r♦♣rété ♠♦è

♦♠♠ r s②stè♠ ér♥t st à ♦tèq qt♦♥s q ♥♦♠

♦rs ré♣érr s ♣r♦♣rétés ♦♥r♥és ♣♦r s tr♥s♠ttr à ♦tèq

s

♦tèq qt♦♥s

♦♣ s①♣r♠ à trrs ♥ ♥s♠ ♥s rtérsés ♣r ♥ ♦♣ért♦♥

t ♣r♦♣rété ♥ ♦ ♣srs s ♦t ♣rt ♥ ♦t ♦ ♦t ♠ê♠

♣t ♦♥sttr ♥ st ♣♦ss ♣r ①♠♣ tsr ♦♠ ♥ ♦t ♦

♦r éstq ①ré sr ♥ ♣rt ♥s ss ♣rt♦♥ st ♦♠♣été t

qtr sss s♣♣é♠♥trs s♦♥t ♠♣é♠♥tés ♦♦ ♦♦ ♥ t

rt r♠♠ ❯ ♦rrs♣♦♥♥t st ♦♥♥é à r

♣tr ①t♥s♦♥ ♠♦è

<operator> div </operator>

<operand1>

<operator> plus </operator>

<operand1>

<operator> scalar </operator>

<value> 1 </value>

</operand1>

<operand2>

<operator> scalar </operator>

<value> 3 </value>

</operand2>

</operand1>

<operand2>

<operator> scalar </operator>

<value> 5 </value>

</operand2>

/

+

5

1 3

(1+3) / 5

trt♦♥ ①♣rss♦♥ (1+3)/5 ♥ t r♣rés♥tt♦♥ r

♦rs♥t ♦rrs♣♦♥♥t éé♠♥t ♦♣r♥ ♥ r♦ trt ♥ s♦s①♣rss♦♥

①♣rss♦♥ ♥tèr ♦t♦♥s q r♣rés♥tt♦♥ ♥ ①♣rss♦♥ ♥ésst ♥②sr

♣r♦rté s ♦♣értrs

ss ♥ s ♦♠♣♦s tr♦s ttrts ♣r♠tt♥t trr ♦♣

♥ ♦♣ért♦♥ ♠②♣ ♣r♠tt♥t é♥t♠♥t ♦tr ♥ tr♥rt ♦♥♥és

♥tr s②stè♠ t ♠♦è

♥ ♠②rt stàr ♣r♦♣rété ♠♦è sé ♣r ♦♣ért♦♥

♥ ♦♣értr ♦♣♥ é♥ss♥t ♥ rt♦♥ ♥ ♣♦♥t ♠té♠tq

♥tr ♦♣ért♦♥ t ♥ éqt♦♥ ♦♥♥é ♥s s ♥ tr♥srt ♥♦r♠t♦♥s

♠♦è rs s②stè♠

♦t♦♥s é♠♥t ♣rés♥ ① trs ttrts q r♥s♥♥t sr t②♣

tr♥rt ♥♦r♠t♦♥s

ss ♣rt♦♥ ♣réé♠♠♥t é♥ st ♦♠♣été ♥ r♥r ♦♠♣t ♥

tr♥srt ♥♦r♠t♦♥s ♠♦è rs s②stè♠ ér♥t

♦è t ♠ét♦s♠ r

r♠♠ sss ❯ s♠♣é é♥ ♦♥♥és ♥tr ♥ s②tè♠

ér♥t t ♠♦è

ss rt ♦♣ ♥ ♣ ♠♣♦rt♥t r st rs♣♦♥s é♥

♦♥♥és ♠♦è t ér ① ttrts s♦♥t ♣rés♥ts

♥ tr ss ❱st♦r q ♣♣rt♥t ♠♦è t ♥st ♣s réstt

tr tès ♣r♠t str s ér♥ts ♥ttés ♠♦è ♦ts t

♣rts ♥♦t♠♠♥t t t♦rs ès à rs ♣r♦♣rétés Pr ①♠♣ str

P❴X❴Y [4] é♥♦t ♦♠♣♦s♥t y ♣♦st♦♥ ♣rt ♥ s

strs ♣♥t êtr sé♠♥t ♦♠♣étés s♥t s s♦♥s

♥ s s ♠♣qés st♥s

tt ss r ♥s♠ s tr♥srts ♣r ♥tr♠ér ① ♠ét♦s ♣r♠t

t♥t

ttrr r ♥ ♦♣ért♦♥ à ♥ ♦♥♥é ♥s s ♥ tr♥srt

s②stè♠ éqt♦♥s rs ♠♦è ♣t

♣résr r ♥ t ♥♦♠ ♦♣értr ♥s s ♥ tr♥srt

♠♦è rs s②stè♠ ér♥t ♣t

s sss ♦♦ t ♦♦ s ♦♠♣♦s♥t ♣r♥♣♠♥t ♥ ♥

♣tr ①t♥s♦♥ ♠♦è

s♠ ♥s q r♥♥t ♦♠♣t rs♣t♠♥t ♥ é♥ ♦♥♥és s②stè♠

ér♥t rs ♠♦è t ♠♦è rs s②stè♠

♥

P♦r ①♣r♠r ♦♣ ♥tr ♠♦è t ♦tèq s ér♥ts

éé♠♥ts ♥♥♥t ♦♠♣étr ♥ ♣réé♠♠♥t é♥ ♦s s ét♦♥s

ss♦s

♦♦♦ t ♠♦♦ s éé♠♥ts ♦♦♦ t ♠♦♦ s♦♥t ♦♠

♣♦sés ♥ ♦ ♣srs s♦séé♠♥ts ♥

trt éé♠♥t trt s ♦♠♣♦s ① ttrts ♥ ♥♦♠ ♣r

t ♦ ♦t ♦♥séré t ♣r♦♣rété sé ♥♦♠ ♥ str

♥ ♦♥♥t ♦♥sérr ① s r q♥t à tst♦♥ éé♠♥t ♥

♥s ♣r♠r s ♣♣rît ♦♠♠ s♦séé♠♥t ♦♦♦ t trt ♦♥

♦♦♥té é♥r s ♦♥♥és s②stè♠ ér♥t rs ♠♦è s ♣r♠rs s♦s

éé♠♥ts q ♦♠♣♦s♥t ①♣r♠♥t ♦rs ♦♣ért♦♥ à ♣♣qr r♥r s♦séé♠♥t

ét♥t ♥s ♦♣ért♦♥ ♦♥séré ♥ ♦♣értr ♥♦♠♠é ♦ ♣r♠t ♠♣qr

♥ éqt♦♥ ♦♥t ♥ st ♣résé ♣r éé♠♥t ♦♥①

♥s ①è♠ s r éé♠♥t ♥ st s♦séé♠♥t ♠♦♦ t

♥tr♥t ♦♥ ♥s ♥ ♦t tr♥srt ♥♦r♠t♦♥s ♠♦è rs s②stè♠

éqt♦♥s ♣♦ssè ♥ ttrt q ♣r♠t ♣résr rt♦♥ ♥tr ♥ éqt♦♥

♦♥♥é ♣résé ♣r éé♠♥t ♦♥① t ♦♣ért♦♥ ért tt ♦♣ért♦♥ q

♦♥stt ♥ s♦s①♣rss♦♥ éqt♦♥ ♥tèr t ♥tr♥r ♥ ♥tté ♠♦è

♣résé ♣r éé♠♥t trt

♥♠♥t r♠♠ sss s♠♣é s ér♥ts sss ♠♣é♠♥tés st

♣rés♥té à r

♦è t ♠ét♦s♠ r

r♠♠ sss ❯ s♠♣é ♦♣ ♠♦è♦tèq

s

①♠♣s

trrs ① ①♠♣s ♦♥ s ♣r♦♣♦s strr s ♣r♥♣s ♠s ♥ é♥

♦♥sér♦♥s t♦t ♦r ♥ tr♥srt ♥♦r♠t♦♥s s②stè♠ ér♥t rs ♠♦

è ♥s s r tr♦s éè♥♠♥ts ♦♥t sss♠♥t

♦tèq qt♦♥s tr♥s♠t à s②stè♠ ér♥t ♣s t♠♣s

∆t ♠♦è t s ♣r♠ètrs rés♦t♦♥ q s♦♥t ♥♦♠ ♦rt♠ t

♣s dt st ♠♣♦rt♥t ♥♦tr q ♣s s ♥tr♥ à

st ♥é♣♥♥t ♣s ♠♦è st é♥ér♠♥t ♣s ♣tt ♣♦r étr

s ♣r♦è♠s r♥ ♥s s②stè♠ st ♥é t♠♣s t t♠♣s t+dt

t sqà tt♥r t♠♣s t + ∆t

♦tèq t rt♦r♥ ♥♦ r r U(t+∆t)

tt r st ♥♠♥t ♠♣qé ♥s ♥ ♦♣ért♦♥ ♦♥t réstt st ♣♣qé

à ♦♦r♦♥♥é y ♣rt ♥ ♥ tr

♣tr ①t♥s♦♥ ♠♦è

<odeSystem>

<ode index=''0'' initial_condition=''1''>

<operator> times </operator>

<operand1>

<operator> scalar </operator>

<value> -0.1 </value>

</operand1>

<operand2>

<operator> variable </operator>

<value> 0 </value>

</operand2>

</ode>

<method name=''rk4'' dt=''0.01''/>

</odeSystem>

<odeToModel>

<link>

<operator> times</operator>

<operand1>

<operator> scalar </operator>

<value> 3 </value>

</operand1>

<operand2>

<operator> ode </operator>

<odeIndex> 0 </odeIndex>

</operand2>

<target id=''4'' name=''P_X_Y''/>

</link>

</odeToModel>

dU /dt=−0.1×U

GSL

Modèle

Bibliothèque Equations

U t t

3×U t t

Particule

id = 4

X = <x,3xU(t+t),z>

...

1

2

3

pas de temps t du modèle algorithme=Runge-Kutta d'ordre 4 dt=0.01

♦♥sér♦♥s ♠♥t♥♥t ♥ tr♥srt ♥♦r♠t♦♥s ♠♦è rs s②stè♠ éq

t♦♥s ér♦♠♥t st s♥t

♦tèq qt♦♥s ré♣érr r ♦♦r♦♥♥é y ♣rt

♥♠ér♦ ♠♦è q st ♠♣qé ♥s ♥ ♦♣ért♦♥ ♥♥t ♦♠♣étr

éqt♦♥ ♥ ♥ s♦♥ ♣r

s②stè♠ rést♥t st tr♥s♠s à ♥s q ♥♦♠ ♦rt♠ rés♦

t♦♥ ♣s t ♣s t♠♣s ♠♦è

s♦t♦♥ s②stè♠ st étr♠♥é t tr♥s♠s à ♦tèq qt♦♥s

①♣ér♠♥tt♦♥s

<odeSystem>

<ode index=''0'' initial_condition=''1''>

<operator> times </operator>

<operand1>

<operator> scalar </operator>

<value> -0.1 </value>

</operand1>

<operand2>

<operator> variable </operator>

<value> 0 </value>

</operand2>

</ode>

<method name=''rk4'' dt=''0.01''/>

</odeSystem>

<modelToOde>

<link operator=''plus''>

<operator> div</operator>

<operand1>

<target id=''4'' name=''P_X_Y''/>

</operand1>

<operand2>

<operator> scalar </operator>

<value> 10 </value>

</operand2>

<odeIndex> 0 </odeIndex>

</link>

</odeToModel>

dU /dt=−0.1Uy

4t

10

GSL

Modèle

Bibliothèque Equations

U t t

Particule

id = 4

X = <x,y,z>

...

1

23

y4 t

pas de temps t du modèle algorithme=Runge-Kutta d'ordre 4 dt=0.01

♦t♦♥s q ♦♥ ♣t sé♠♥t ♥sr ♦♠♥r ♥ é♥ ♦♥♥és ♥s s

① rt♦♥s ♠♦è rs s②stè♠ t ♥rs♠♥t ♦r ♣rès

①♣ér♠♥tt♦♥s

♥tr♦t♦♥

♥s tt st♦♥ ♥♦tr ♦t st r ♦♣ ♠s ♥ ♦r ♥s

♣tr ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♥♦s tst♦♥s tr♥srt ♥♦r♠t♦♥s ♥ s②stè♠

ér♥t ♦♥♥é rs ♠♦è râ à ① ①♣ér♥s ♣rés♥tés ♥s ♣rr♣

♥s ♥ ①è♠ t♠♣s ♥♦s ♠♦♥tr♦♥s q♥ s②stè♠ ♣t êtr ♥♥é

♣r ♠♦è à ①♣ér♥ été ♣rr♣

P♦r tt ♣s ①♣ér♠♥t ♥♦s s♣♦s♦♥s ♥ ♦t très s♠♣ ♦♠♣♦sé

♣rts t tts tr♥rs sr q ♥ ♦r ♥st ♣♣qé t ♦♥t

♦♠ ♥st ♣s ♦♥tr♥t r s ♣rts s♦♥t ♠♥t♥s ①és à ①♣t♦♥

♣tr ①t♥s♦♥ ♠♦è

♣♦♥t s♣érr P ♦rs s s♠t♦♥s ♥♦s ss♦♥s sr ♣♦♥t ♣r ♥tr♠ér

rs s♦t♦♥s ♥ s②stè♠ ér♥t ♣♦r s♦tr ♦t ♥ é♣♠♥t

s♦♥ ① y

x

y

z

P

♦t ♦tèr tsé ♥s ♣s ①♣ér♠♥t ♣♦♥t s♣érr P st

s♦♠s à ér♥ts é♣♠♥ts ♥s ♣♥ XY ♦t♥s ♦♠♠ s♦t♦♥s s②stè♠s

ér♥ts

②stè♠ ⇒ ♦è

Prés♥tt♦♥ ♣r♠èr ①♣ér♥

♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♦♥ s ♣r♦♣♦s tsr ♥ ♦str ♦éss♥t s②stè♠

ér♥t s♥t

dUdt

= −wV

dVdt

= wU

U(0) = 0, V (0) = 1

♦ù w st ♥ ♣r♠ètr ré ♦♥trô♥t ♣ér♦ ♠♣t st étr♠♥é ♣r r

s ♦♥t♦♥s ♥ts rt♦♥ r U s♦♥ st r♣rés♥té ♣r

s♥s♦ï ♦♥♥é à r ♣♦r w = 0.618

st ♣♣qr s♦♠♠t ♦t ♥ é♣♠♥t ♥s ① y té ♣r

①♣ér♠♥tt♦♥s

−1

−0.5

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50

U(t

)

Temps, secondes

♦st♦♥ ♦♥♥é ♣r r U s②stè♠ ér♥t rés♦ ♣r

♦tèq à ♠ét♦ ♥tt ♦rr

r U s②stè♠ tr♠♥t t à q ♣s t♠♣s ♣♦st♦♥

♣rt s♣érr ♦t é♣♥ s♦t♦♥ s②stè♠

♦r♠s♠

s②stè♠ ér♥t st rtr♥srt à ♥ ♦♠♥t q

éqt♦♥ st ♥s r♣rés♥té ♣r ♥ éé♠♥t ♦ q ♦♥t♥t s♦♥ ♥ t r

s ♦♥t♦♥ ♥t s②stè♠ st rés♦ ♣r ♠ét♦ ♥tt ♦rr

♥ ♣s t♠♣s é à 10−2

♦♠♥t ♣♦ssè é♠♥t ♥ éé♠♥t ♦♦♦ ♣♦r trr ♦♥tr♥t

♣♦st♦♥ ①ré sr ♣♦♥t P ❯♥ éé♠♥t ♥ ♣r♠t ♥s érr ♦♣ért♦♥ à

♣♣qr ♦♥t st ♣résé ♣r éé♠♥t trt tt ♦♣ért♦♥ ♦♥sst à ♦tr

à r ♦♦r♦♥♥é y ♥t P s♦t♦♥ ♣r♠èr éqt♦♥

éstts

♦♥♦r♠é♠♥t à ♥♦s tt♥ts ♣♦♥t s♣érr ♦tèr st ♥♠é ♥ ♠♦

♠♥t ♦st♦r t♦r s ♣♦st♦♥ r♣♦s ♠♣t t ♣ér♦ ♦♥st♥t

s♠r à r U s②stè♠ r

♣tr ①t♥s♦♥ ♠♦è

681

681.5

682

682.5

683

0 10 20 30 40 50

yP

Temps, secondes

♦♠♣♦rt♠♥t ♦st♦r ♣♦♥t s♣érr ♦t ♦rs ♣r

♠èr ①♣ér♥ ♥ ♦r s♦t♦♥ s②stè♠ ér♥t

Prés♥tt♦♥ ①è♠ ①♣ér♥

♥s ♥ ①è♠ t♠♣s ♥ ①♣ér♥ s♣♣é♠♥tr ♥t ♦♠♣étr ♥♦tr é

♠r t♦♥ s②stè♠ ér♥t s♥t st ♦rs tsé

dWdt

= −0.1W

W (0) = 1

s②stè♠ ♠t ♥ s♦t♦♥ ♥q ♦r♠ W (t) = k exp−0.1t ♦ù k st ♥ ré

étr♠♥é ♣r ♦♥t♦♥ ♥t ♥ ♦♥ W (t) = exp−0.1t q s trt ♣r

♦r ♣rés♥té à r

P♦r tt ①♣ér♥ ♦♥ ésr ♣♣qr ♣♦♥t s♣érr ♦tèr ♥ é♣

♠♥t s♦♥ ① y ♣r♦♣♦rt♦♥♥ à s♦t♦♥ s②stè♠ ér♥t

♦r♠s♠

♦♠♥t tsé ♣♦r tt ①♣ér♥ s é♦♠♣♦s ♦♠♠ ♣réé♠♠♥t

♥ ① ♣rts ♥s éé♠♥t ♦②st♠ ♥ éé♠♥t ♦ ért éqt♦♥ ♣rés♥t

♥ t ♦♥t♦♥ ♥t ♠ét♦ ♥tt ♦rr st ♥♦ tsé

♥ ♣s

♥s ♥ ①è♠ t♠♣s éé♠♥t ♦♦♦ ♥tr♥t ♣♦r s♥r ♥ tr♥srt

♥♦r♠t♦♥s s②stè♠ rs ♠♦è éé♠♥t ♥ ♣rés ♦rs ♦♣ért♦♥ à

♣♣qr sr ♦♦r♦♥♥é y ♣rt s♣érr ♦t ♦♥♥é ♣r

①♣ér♠♥tt♦♥s

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 10 20 30 40 50

W(t

)

Temps, secondes

ér♦ss♥ ①♣♦♥♥t té ♣r éqt♦♥ ♦tèq

♥tt ♦rr

éé♠♥t trt st ♠t♣r r ♦♦r♦♥♥é y ♥t P ♣r

s♦t♦♥ éqt♦♥

éstts

é♦t♦♥ ♣♦st♦♥ ♣♦♥t s♣érr ♦tèr ♦rs s♠t♦♥ st

♦♥♥é ♣r r ♥ ♦sr ♥s ♥ ér♦ss♥ ①♣♦♥♥t ♣♦st♦♥

♣♦♥t P ♥ ♦♥♦r♠té s♦t♦♥ W (t)

0

100

200

300

400

500

600

700

0 10 20 30 40 50

yP

Temps, secondes

ér♦ss♥ ①♣♦♥♥t ♣♦st♦♥ ♣♦♥t P ♦rs ①è♠

①♣ér♥ ♥ ♦r s♦t♦♥ W (t) s②stè♠

♣tr ①t♥s♦♥ ♠♦è

♦♥s♦♥

ss s ① tsts ♦♥ ♣t ♦♥ r ♦♣ ♥tr ♠♦è t

♦tèq s q ♣s t♠♣s ♥ tr♥srt ♥♦r♠t♦♥s s②stè♠

ér♥t rs ♠♦è st ♥s ♣♦ss

♦è ⇒ ②stè♠

Prés♥tt♦♥

r♥èr ♣s ♥♦tr é♠r t♦♥ ♦♥sst à tstr é♥ ♦♥

♥és ♠♦è rs ♥ s②stè♠ ér♥t P♦r r ♦♥ r à étr♠♥r ♥

éqt♦♥ ♦♥t s♦t♦♥ s trrt r♣q♠♥t ♣r ♥ ér♦ss♥ ①♣♦♥♥t

s ♥ ré♠ stt♦♥♥r ♥ s ♣r♦♣♦s ♥s ♠♦r éqt♦♥ ♣réé♥t

♠♥èr s♥t W + 0.1Wf(t) = 0 ♦ù f(t) st ♥ ♦♥t♦♥ ér♦ss♥t t q

limt→+∞ f(t) = 0

♥ ♣♣q♥t réstt tt éqt♦♥ à ♦♦r♦♥♥é y ♣♦♥t P ♦♥ stt♥

à ♥ ér♦ss♥ s ♣♦st♦♥ t ♦♥ à ♥ ♠♥t♦♥ ♦♠ V (t) ♦t q

st ♥ ♦♥♥é é ♣r ♠♦è ♥ ♣♦♥ér♥t ♦♠ ♦r♥t ♣r ♦♠

♥t V (0) ♦♥ ♦t♥t ♥s ♥ ♦♥t♦♥ ré♣♦♥♥t à ♥♦s rtèrs f(t) = V (t)/V (0)−α

α ♥ ré ♦♥trô♥t ♣♣rt♦♥ ré♠ stt♦♥♥r

♥♠♥t s②stè♠ st ♠♦é ♦♠♠ st

dWdt

= −0.1W ( V (t)V (0)− 0.75)

W (0) = 1

♥ ♣♦ssè ♥s ♥ éqt♦♥ ♦♥t ♥ s rs ♣r♦♥t ♠♦è ♥♠♥t

s♦t♦♥ st ♣♣qé à ♦♦r♦♥♥é y ♣♦♥t s♣érr ♦t ♥ stt♥ ♦rs

à ♦srr ♥ é♣♠♥t P sqà q ♦♠ ♦r♥t ♦t t♥ rs

♥ r é à α = 75% ♦♠ ♥t

♦r♠s♠

♠♥èr à rtr♥srr éqt♦♥ à ♥ ♦♥♥t

é♦♠♣♦sr ♥ ① s♦s①♣rss♦♥s ♣r♠èr −0.1W t ♥tr♥r éé♠♥t

①♣ér♠♥tt♦♥s

♦②st♠ ①è♠ s♦s①♣rss♦♥ ♦rrs♣♦♥ q♥t à à ♦♥t♦♥ f(t) t st

①♣r♠é ♥s ♥ éé♠♥t ♥ ♠♦♦ t éé♠♥t ♥ ♦♥t♥t ♥ ♦♣értr

q ①♣r♠ ♥ ♥ss♥t s ① s♦s①♣rss♦♥s ♦♣értr ♠t♣t♦♥

♦♥strt♦♥ ♦♠♥t tsé ♥s r tt s♠t♦♥ st ①♣qé ♥

♥♥①

♥ ♦♠♥t réé ♣♦r tt r♥èr ♣s t♦♥ ♦♥t♥t t♦s

s éé♠♥ts ♠♣qés ♥s ♦♣

♥ éé♠♥t ♦②st♠ ér♥t éqt♦♥ dW/dt = −0.1W

♥ éé♠♥t ♠♦♦ ♣rés♥t éqt♦♥ ♦♠♣èt dW/dt = −0.1W × f(t)

f(t) é à ♣rtr ♦♥♥é V (t) ♣r♦♥♥t ♠♦è

♥ éé♠♥t ♦♦♦ s♣é♥t q ♦♦r♦♥♥é y ♣♦♥t P st

éqt♦♥

r str sss♦♥ s éè♥♠♥ts ♠♣qés ♥s tt ①♣ér♥

dU /dt=−0.1U×V t

V 0 −0.75

GSL ModèleBibliothèque Equations

U t t

12

3

V t

pas de temps t du modèle paramètres de résolution

4682×U t t

yP

tr♥srt ♥♦r♠t♦♥s ré♣r♦q ♥tr ♦tèq s t ♠♦

è ♦tèq qt♦♥s ré♣èr r ♦♠ ♦t s②stè♠

st ♠s à ♦r t tr♥s♠s à ♥s q ♣s t♠♣s ♠♦è t s ♣r♠ètrs

rés♦t♦♥ s♦t♦♥ s②stè♠ st r♥♦②é à ♦tèq qt♦♥s

r U st tsé ♥s ♥ ♦♣ért♦♥ ♦♥t réstt st ♣♣qé à ♦♦r♦♥♥é y

♣♦♥t P

éstts

r♣q ♠♦♥tr ♦♦r♦♥♥é y ♣♦♥t s♣érr ♦tèr à

t é♦t♦♥ ♦♠ ♦t ♦rs t♠♣s à r♦t ♥ ♦t♥t ♥ ♥ é

♣tr ①t♥s♦♥ ♠♦è

r♦ss♥ ①♣♦♥♥t s♦♠♠t ♦t ♥t tt♥r ♥ ré♠ stt♦♥♥r ♥

♦♥♦r♠té ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♠ ♦t trs♥t ♥♦t♠♠♥t ♥ tr♥s

rt ♥♦r♠t♦♥s ♠♦è rs ♦tèq s

630

640

650

660

670

680

0 10 20 30 40 50

yP

Temps, secondes

2e+06

2.1e+06

2.2e+06

2.3e+06

2.4e+06

2.5e+06

2.6e+06

2.7e+06

0 10 20 30 40 50

V(t

)Temps, secondes

é♦t♦♥ ♣♦♥t P à t ♦♠ ♦t à r♦t trs♥t

♥ tr♥srt ♥♦r♠t♦♥s ré♣r♦q ♥tr ♠♦è t s②stè♠

♦♥s♦♥

s ①♣ér♥s é♠♦♥tr♥t q ♦♣ ♥tr ♠♦è t ♦tèq

s st ♦♣ért♦♥♥ t ♣r♦ t q st ♣♦ss é♥r ♥♦r♠t♦♥

♥tr s ① ♥ttés à q ♣s t♠♣s ♠♥èr rt♦♥♥ ♥s s ♣r♦

♣rétés ♦ts t♦ ♣rts ♠♦è ♣♥t é♣♥r rs ②♥♠qs

♦♥trôés ♣r ♥ s②stè♠ ér♥t ç♦♥ ♦♥♦♠t♥t s ♦♥♥és ♠♦è

♣♥t é♠♥t ♥♥r ②♥♠q s ♠é♥s♠s ♥♦és ♥s s②stè♠

♦♥s♦♥

♥ t♥r ♦♠♣t ♠ét♦s♠ r ♥♦s ♦♥s ét♥ ♣♣r♦ ♣ré

s♥té ♥s ❬P❪ s♦♥ ① ①s ♣r♥♣① ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♥ ♥♦

t②♣ ♦t st ♥ ♦♠♣étr ♠♦è ♥ ♦r♠sr ♥♦t♦♥ ♦t r

st♦♥ st ♦♥séré ♦♠♠ ♥ ♦t ♠sr t ♦♥ éstq ♣♦ssé♥t

rt♥s ♣r♦♣rétés ♣rtèrs ♠♦♠♥t r♦♥♥ s♥sté à ♥ r♥t ♠♦

ttq strtr ♣r♦trs t tt ♠♥èr ♥ ♦♥stt ♥ ♥tté ♥

é♥ ♥s ♥♦tr ♣♣r♦ ♥s ♥ ①è♠ t♠♣s ♥ ♦tèq s été

♦♥s♦♥

♥tr♦t ♣rr♣ t ♥ ♥ éé à értr s②stè♠s ér♥ts été

é♥ ♣rr♣ ♥♥ ♥ ♦♣ été résé ♥tr t ♠♦è ♣r

r♣ s♠t♦♥ éqt♦♥s ér♥ts ♦r♥rs st s②♥r♦♥sé

♠♦♠♥t s ♦ts ♠♦ésés q ♣r♠t à q ♣s t♠♣s ♥térr s

♥trt♦♥s ♥tr s ♣r♦sss ♣②s♦♠qs érés ♣r s ♦ts t ②♥♠q

r é♣♠♥t s s♣ts ♦♠qs ♣♥t ♥s êtr ♦♣és à é♦r♠t♦♥

s ♦ts ♣tr ♠♦♥tr q st ♣♦ss ♦t♥r ts ♦♣s

♥s ♣tr s♥t ♥♦s ♥♦s ttrr♦♥s sr ♥ s ♣r♦♣rétés ♣r♥♣s

♥♦tr s♠tr r st♦♥ s ♥trt♦♥s

♣tr

♦♥tts ♦♥ts

♦♠♠r

♥tr♦t♦♥

tt rt

étt♦♥ ♦s♦♥s

étt♦♥ r♦ssèr

étr♠♥t♦♥ s ♦♥tts

é♣♦♥s ① ♦s♦♥s

♦♥s t és rt

②♥♠q ♣♦♣t♦♥ és rt

♦rt♠ é♥ér

♦rs ♥ ♣rés♥

①♣ér♠♥tt♦♥s

P s♣èrs

ts ♥♦♥ s♣érqs ♥ ♦♥tt

♦♥ r♦♥t

♦♥tts ♥tr s

♦♥s♦♥

♣tr ♦♥tts ♦♥ts

♥tr♦t♦♥

♥s r s♠trs rs t rr① s ♦♥tts ♦♥t êtr é

rés ♠♥èr ♣♥♥t ♥ té♦r st rr♠♥t ♦♥séré s ♦♥tts

♦♥ts s①♣q ♣r ♦♠♣①té ♣é♥♦♠è♥ ♥ ♣rt t tr ♣rt

♣r qà r t ♥①st ♣s ♠♦è s♠♣ ♥ ♣②sq ♣♦r s érr

s ♦r♥s é♦r♠s s tsss ♦ s s s♦♥t é♥ér♠♥t ♥t♦rés ♣r ♥

♠♠r♥ ♦ ♥ ♣s ②♥t s ♣r♦♣rétés éss q ♠♦♥t ♦♥sér♠♥t

s ♥trt♦♥s ♦♥tt ♥s ts s ♥ ♦♥tt ♣♣rît é♥ér♠♥t ♣♦r ♥

t♠♣s ss③ ♦♥ t s ♦rs ♥tr s ♦r♣s ♥ ♦s♦♥ ♦♥t êtr é♥és ♣s

♣♦r ♠♦ésr s ♣r♦♣rétés éss ♥ s♦rt ♦és♦♥ ♥tr s ♦r♣s ♥ ♦♥tt

♦t êtr ♦♥séré q ♦t êtr ♠♥t♥ ss ♦♥t♠♣s q ♣r♠tt♥t

♠♦♠♥t t é♦r♠t♦♥ s ♦r♣s ♥s q s ♣r♦♣rétés éss ♥tr♥sèqs

r ♠♠r♥ st é♠♥t ♠♣♦rt♥t ♣♦♦r ♦♥trôr r rtèr és

♠♥èr à ♣♦♦r ♠♦ésr ér♥ts t②♣s rs

♦rs tt tès ♥♦s ♦♥s tré sr ♥ s♦t♦♥ tr♥t ♣♦r

♠♦ést♦♥ ♦ts é♦r♠s ♦♥ts é ♣♣♦rté r♣♦s sr ♥ ♣♣r♦ ♣é

♥♦♠é♥♦♦q ♦♥sst à rér ♥ ♦t rt és à ♥r♦t ♦ù s ♦r♣s s♦♥t

♥ ♦s♦♥ ♥s t s♠r ♥ ♦♥tt ♦♥t ♥s ♥♦tr ♣♣r♦ ♥ ③♦♥

ér♥t st ♥ ③♦♥ ♦ù s ♦r♣s é♦r♠s s♦♥t t♠♣♦rr♠♥t ♦és ♥s♠

stàr rst♥t ♥ ♦♥tt s♥s ♥tr♣é♥étrt♦♥ t♦t ♥ é♥♥t s ♦rs ♦tr

♦t ♥st ♣s r♥r ♦♠♣t s ♥trt♦♥s ♥ ♦♠q ♠s ♣tôt

♠♦ésr s srs ér♥ts t ss♥ts ♠♥èr à s♠r ç♦♥ rést s

♦♥tts ♦♥ts t ♣r♠ttr ♥ é♥ ♦rs ♥s s t♠♣s rs♦♥♥s

♣tr s♦r♥s ♠♥èr s♥t ♥s st♦♥ ♥♦s rssr♦♥s ♥

étt rt s ♣r♥♣s ♣♣r♦s ①st♥ts ♣♦r érr s ♦s♦♥s ♥tr ♦ts é

♦r♠s ♦s ♣rés♥tr♦♥s ♥st ♠ét♦ ♠s ♥ ♦r ♥s tt tès ♥s

st♦♥ ①♣qr q ♠♥èr étt♦♥ s ♦s♦♥s st résé t♥q

♠♣♦②é ♣♦r ♦t♥r ♥ étt ér♥t sr ♥st été st♦♥ ♦s ♣rés♥t

r♦♥s ♥♠♥t s s♠t♦♥s résés ♣♦r r ♥♦tr ♣♣r♦ st♦♥

tt rt

♥♦tr q ♣tr t ♦t ♥ ♣t♦♥ ♥s ♥ ♦♥ér♥ ♥tr♥t♦♥

❬P❪

tt rt

st♦♥ s ♦♥tts ♣♦r s ♦r♣s rs t é♦r♠s été r♠♥t été

♥s ♦♠♠♥té ♥♦r♠tq r♣q ♥s ♥♦s tr① ♥♦s ♥♦s s♦♠♠s

♥térssés ♥q♠♥t à ♣♣♦rtr ♥ ré♣♦♥s ① ♦s♦♥s ♥tr ♦ts é♦r♠s

P♦r ♥ sss♦♥ ♣s ♣♣r♦♦♥ ♦♥ ♣♦rr s réérr à étt rt résé ♣r

s♥r t ❬∗❪ rt à étt♦♥ ♦s♦♥s ♥tr ♦ts é♦r♠s

♥ é♥♦♠r ♣r♥♣♠♥t ① ♣♣r♦s ♥ q ♦♥r♥ ré♣♦♥s ① ♦

s♦♥s s ♠ét♦s ♣é♥té t s ♠ét♦s à s ♦♥tr♥ts ♠ét♦

♦♥é sr s ♣é♥tés st ♣r♦♠♥t ♣s tsé t s s♠♣té ♠♣é

♠♥tt♦♥ ♥s tt ♣♣r♦ ♥ ♦r st ①ré sr ♥ ♣♦♥t ♥ ♦s♦♥ ♦♥t

r st ♣r♦♣♦rt♦♥♥ à s ♣r♦♦♥r ♣é♥étrt♦♥ r③♦♣♦♦s t ❬P❪

♦♥t été ♣r♠ s ♣r♠rs à tsr tt ♣♣r♦ Pr st ♥ sst sr

srs ♠♣ts s♦♣♦t♥ts ♣♦r ♠♦ésr s s♦s é♦r♠s ❬♥❪ râ

à ♦r♠s♠ ♠♣t s srs ♦♥tt ①ts s♦♥t é♥érés ♥tr s ♦ts

♥s ❬❪ ♣♠♥♥ t s♥r s♥térss♥t é♠♥t ① srs ♦♥tt s

♥t ♥ r♣rés♥tt♦♥ ①♣t sr ♦♥tt ♥tr ♦ts ①s t

srs tr♥és tt sr ♦♥tt é♣♥ ♥q♠♥t s ♦rs ♥tr♥s

♥ ♣r♠ètr é♥ ♣r tstr ♥st ♥éssr ♣rès ré♣♦♥s ① ♦s♦♥s s

s♦♠♠ts ♥ ♦s♦♥ s♦♥t é♣és sr s srs ♥ ♦♥tt ♦♥♥♥t à ♥ ♦♥

rt♦♥ s♥s ♦s♦♥ ♣♠♥♥ t s♥r ♣♣♦rt♥t ♥s ♥ s♦t♦♥ ① ♣r♦è♠s

s♦♥t♥té s ① ♣s t♠♣s srts t ① ♠s ♣ ♣rés

tt ♣♣r♦ ♦♥é sr s srs ♦♥tt ♣♣rît é♠♥t ♥s s tr①

sr t ❬∗❪ ♠s ♦♠♥é à ♥ ♠ét♦ à s ♣é♥tés ❯♥ sr

♦♥tt rt st t♦t ♦r é ♣♦r s ♦ts é♦r♠s ♥ ♦s♦♥

♣♦st♦♥ s ♣♦♥ts ♥ ♦s♦♥ sr sr ♦♥tt st ♥st étr♠♥é ♣r

♣♣t♦♥ ♦rs ♣é♥té r

♥s ❬∗❪ rr t ♣rés♥t♥t ♥ ♠ét♦ ♣♦r étr♠♥r ♣r♦♦♥

♣tr ♦♥tts ♦♥ts

♦ts ♣stqs ♦r♠♥t ♥ ♣ ♥t sér♦r ❬∗❪

r ♣é♥étrt♦♥ ♦rs ré♣♦♥s à s ♦s♦♥s ♥s s tr① ♣r♦♦♥r t

rt♦♥ ♣é♥étrt♦♥ s♦♥t t♦t ♦r és ♣♦r s ♣♦♥ts ♥ ♦s♦♥ ♣r♦s

sr ♦♥tt ♥♦r♠t♦♥ st ♥st ♣r♦♣é ① ♣♦♥ts ♦♥t s ♣é♥étr

t♦♥s s♦♥t ♣s ♠♣♦rt♥ts tt ♣♣r♦ ♣♣♦rt ♥s ♥ s♦t♦♥ ① ♣r♦è♠s

s♦♥t♥té és à srétst♦♥ s srs s ♦ts ♥s q① rtts s ♣r♦

s♥t ♦rs rs ♣é♥étrt♦♥s ♥s s s rt♦♥s t ♣r♦♦♥rs ♣é♥étrt♦♥

és s♦♥t é♥ér♠♥t sss

é♠♠♥t r t ❬❪ ♦♥t ♣rés♥té ♥ ♠♦è ♣♦♥t r♥r ♦♠♣t

r♥ ♣tq ♦♥tts ré♣rts ♥tr ♥ ♦t r t ♥ ♦t é♦r♠ rét

sé sr ♠ét♦ s éé♠♥ts ♥s t♦s s ① ♥ é♦♠étr ♥♦♥ tr

P♦r r s ts♥t ♥ ♠♣ st♥ r t ♥ ♦t é♦r♠ ért ♣r

♥ ♦t♦♥ ♣♦♥ts ♣♦♥ts ♠♦és♥t s sr r ❯♥ ♣♣r♦ sé

sr s ♣é♥tés st tsé ♣♦r érr s ♦♥tts s ♦rs ♣é♥té s♦♥t étr♠♥és

♥ ♦♥r♦♥t♥t s ♣♦♥ts ♣♦♥ts ♠♣ st♥ s♥é tr ♦t

♣♣r♦ ♣♦r ét♦♥ ♥ t♠♣s ré s ♦rs ♦♥tt st sé sr ♣srs

♦♣t♠st♦♥s t q ♦ér♥ t♠♣♦r

❯♥ tr ♣♣r♦ ♣♦r érr s ♦s♦♥s ♦♥sst à tsr s ♦♥tr♥ts é

♣r♥♣ ♦♥sst à é♥r ♥ s②stè♠ ♦♥tr♥ts ♠♥èr à ♣ré♥r s ♦ts

t♦t ♥tr♣é♥étrt♦♥ ♣r♦è♠ à rés♦r st ♦rs ♥ Pr♦è♠ ♦♠♣é♠♥t

rté ♥ér P ♣♦r ♥r ♦♠♣♠♥tr② Pr♦♠ ♥s q s ♥♦♥♥s s♦♥t

és à ♦s ♣r ♥ rt♦♥ ♦♠♣é♠♥trté t ♥ éqt♦♥ ♥ér rés♦t♦♥

♣r♠t ♦t♥r s ♦rs ♦♥tts r③ t ❬ r ❪ ts♥t

♥ ♠♦è ♥♦r♥ ♣♦r érr s ♦♥tts ♥tr ① ♦ts é♦r♠s srétsés

tt rt

♠♦è ♣♦♥t♦♥tt ♣r♦♣♦sé ♥s ❬❪ à ♣♦♥ts é♦r♠

rét ♠ ♠♣ st♥ à r♦t ♦♥tt é♦r♠ t ♦rs

♦♥tt

♣r ♠ét♦ s éé♠♥ts ♥s tt ♦ ①♣r♠ ♠♣é♥étrté s ♦r♣s

s♥ ♦rts ♥♦r♠① trt♦♥ à ♥térr ③♦♥ ♣♦t♥t ♦♥tt t ♥

♦♥t♦♥ ♦♠♣é♠♥trté ♥s s tr① s ♦rs ♦♥tts s♦♥t t♦t ♦r

és râ à rés♦t♦♥ ♥ P ♣s ♥térés ♣♦r étr♠♥r s ♠♦♠♥ts

♦♥tr♥ts s ♦ts ♥s ❬❪ ♥♥ t s s♥t sr ♥ ♠ét♦ ①

éé♠♥ts ♥s ♠♣t ♣♦r ♣tr ♦♠♥t ♣s t♠♣s s♠t♦♥ s♦♥

é♦r♠t♦♥ ♦ ♦rsq♥ ♦s♦♥ st étté ♣♣r♦ ts s ♦♥tr♥ts

♥♦♥ ♣é♥étrt♦♥ ♣♦r é♣r s ♣♦♥ts sr ♥ ♦s♦♥ s ♥♦s ♠

és à ♥ ♣♦♥t sr ♥ ♦s♦♥ s♦♥t é♠♥t é♣és

♥s ❬PP❪ P② t ♦♠♥♥t s ♥ts s ♠♦ès rs ♣♦r s♠

t♦♥ ②♥♠q t s ♥ts s ♠♦ès é♦r♠s ♣♦r rés♦r s ♦♥tts t

♣r♦r s é♦r♠t♦♥s ss s ♠tt♥t ♥ ♣ ♥ P q é♥t sr

♦♥tt ♥tr ① ♦ts t étr♠♥♥t s ♦rs q ss♥t sr tt sr ♣rtr

s ♦rs s trs ♥t s é♣♠♥ts ♦rrs♣♦♥♥ts t ♠♦♠♥t

t♦rs♦♥ ♦ q s♣♣q sr s ♦r♣s qsrs ♣s ♣résrt♦♥ ♦♠

st ssré qq s♦t ♣rss♦♥ ss♥t sr sr

é♠♠♥t ♥s ❬❪ ♣♠♥♥ t ♦♠♥♥t ♣♣r♦ à s ♦♥tr♥ts

t ♠ét♦ ♣é♥té r s ♥t s ♣♦st♦♥s s ♣♦♥ts ♥ ♦s♦♥

♥s q sr ♦♥tt ♥ ♦♥sér♥t ♦♥tr♥t ♥ q ♣♦♥t

♦r ♦♥tt ♥st é ♣r♠t é♣r ♠♠ét♠♥t ♣♦♥t ♠♥èr à

♣tr ♦♥tts ♦♥ts

q ♥ s♦t ♣s ♥ ♦s♦♥ ♥s s tr① s②stè♠ éqt♦♥s st é♦♣é t

♣t êtr rés♦ ♥②tq♠♥t ♣s tt ♠ét♦ ♥ ♥ésst ♣s é♥t♦♥

♦♥st♥ts ré♣♦♥s ♦♠♠ st é♥ér♠♥t s ♥s s ♠ét♦s ♣é♥té

s♠t♦♥ ♥ r ♦♥t éqr st ♣rtré ♣r t ♥ ♦t

❬❪

♥s ❬❪ ssr t ♣r♦♣♦s♥t r♠♣r q ♠ss ♦ts ést♦

♣stqs ♣r ♥ ♥s♠ ♦♥tr♥ts ♦♠♣r♥♥t s ♣♦rt♦♥s ♠ss ♦♥t

♥♦♠r é♣♥ ♥♦♠r ♣r♠ts ♥ts tt ♠ét♦ st ♦♠♥é à ♥

♠♦è éé♠♥ts ♥s ♣♦r ♦rs ♦rsq s ♦s♦♥s s♦♥t éttés s

♦♥tr♥ts é♦♠étrqs s♦♥t ♦rs ♦tés à ♥ ♥s♠ ♦♥tr♥ts q ♣r♠t

s♠t♦♥ ♦♥tts ♦♥ts r

① ♦ts é♦r♠s ♦és ♥ à tr ❬❪

❯♥ s♦t♦♥ ssq ♣r♦è♠ s ♦♥tts ♦♥ts ♦♥sst à tsr ♦

♦♦♠ rt s srt ♥ t ♣♣r♦ ♣♦r ♠♦ésr s ♦♥tts ér♥ts t

ss♥ts ♥tr ♦r♣s rs ❬ r❪

♥s ❬P❪ t t ♣rés♥t♥t ♥ ♠ét♦ sé sr s ♠♣s♦♥s ♣♦r r♥r

s ♣rts ♦♥ts ♥s ♦r♠t♦♥ s ♠♣s♦♥s ♥ tr♠ ttrt♦♥ st

♦té ♣♦r t♥r ♦♠♣t s ♣rts ♣r♦s ♥ ♦t

❯♥ tr s♦t♦♥ ♦♥sst à ♦tr s ♥s éstqs ♣r ①♠♣ s rss♦rts ♥tr

étt♦♥ ♦s♦♥s

s ♥♦s ♥ ♦s♦♥ s rss♦rts s♦♥t ♣r st s♣♣r♠és ès q s srs s

♦ts ♥ ♦s♦♥ sé♦♥♥t ss♠♠♥t s ♥s s trs ♣r♥♣ st ♥♦t♠♠♥t

♠s ♥ ♦r ♥s ❬P❪ ♦r ♣tr st♦♥

♦s ♣r♦♣♦s♦♥s ♥ ♣♣r♦ ♦r♥ ♣♦r s♠t♦♥ ♦♥tts ♦♥ts ♥tr

♦ts é♦r♠s q ♣♣♦rt ♥ tr♥t ① s♦t♦♥s ♣rés♥tés st

♣tr st ♦♥sré à s sr♣t♦♥

étt♦♥ ♦s♦♥s

♦s s♣♣♦s♦♥s q s srs s ♦ts s♦♥t r♣rés♥tés ♣r s ♠s tr♥

rs ♦tr ♦rt♠ étt♦♥ ♣r♦è ♥ ① ét♣s t♦t ♦r ♥ étt♦♥

r♦ssèr ♣r♠t sét♦♥♥r nc ♣rs ♦ts ♣♦t♥t♠♥t ♥ ♦♥tt ♣rr♣

♥st s ♣rts s ♦ts ♥ ♦s♦♥ s♦♥t ♥tés ♣rr♣ s

♣rts s♦♥t ♣♣és ♣rts ♥ ♦♥tt

étt♦♥ r♦ssèr

♥s ♥♦tr tr ♥♦s ts♦♥s s ♦ts ♦♥t ♦r♠ st rt♠♥t s♠♣

é♥ér♠♥t s♣érq t ♥♦s ♦♥s ♦s ♣♣r♦①♠r r ♦r♠ râ à

s s♣èrs q ♣s ♥♦s ssr s ♦ûts s ♥s ♣♦r q

♦t sè♥ ♦♠♣♦sé n ♣rts Pi ♥ s♣èr ♥♦♥t st é ♦♥t

♥tr é♦♠étrq st Xc t r②♦♥ r = max(XcPi) ① ♦ts Ω1 t Ω2 s♦♥t

♣♦t♥t♠♥t ♥ ♦♥tt ès ♦rs q |Xc1−Xc2

| < r1 + r2

étr♠♥t♦♥ s ♦♥tts

s♦♥ ét♣ ♦rt♠ ♣r♠t ♥tr t♦ts s ♣rts ♥ ♦s♦♥ à

♣rtr s nc ♣rs ♦ts sét♦♥♥és ♦rs ét♣ ért ♥ ♦♥sér♦♥s ①

♦ts Ω1 t Ω2 ♣♦t♥t♠♥t ♥ ♦♥tt ♦♥sttés rs♣t♠♥t n1 ♣rts Pi

t n2 ♣rts Pj ① ét♣s s♦♥t ♦rs ♠ss ♥ ♦r étt♦♥ ♣r♦①♠té t

étt♦♥ s ♥tr♣é♥étrt♦♥s

♣tr ♦♥tts ♦♥ts

étt♦♥ ♣r♦①♠té

tt ♣r♠èr ét♣ ♣r♠t ér étt♦♥ s ♥trst♦♥s ♣s ♦ûts

♥ t♠♣s t étr♠♥r ♥ ♣r♠r ♥s♠ ♣rts ♥ ♦♥tt

étt♦♥ ♣réé♥t st ♥é râ à sét♦♥ s ♦♣s ♣rts PiPj

♦♥t st♥ st ♥érr à ♥ s ♦♥♥é κadh q st é à é♦♠étr s ♦ts

♠♦ésés r st ♦♥t♦♥ ♣s ♣tt st♥ ♥tr ① ♣rts ♥s

t♦ts s ♣rts Pi t Pj ér♥t |PiPj| < κadh s♦♥t ♦♥sérés ♦♠♠ ét♥t s

♣rts ♥ ♦♥tt r

étt♦♥ s ♥tr♣é♥étrt♦♥s

ét♣ ♣réé♥t ♥st ♣s ss♥t ♣♦r é♥r st s ♣rts ♥ ♦♥tt

♥éssr à rés♦t♦♥ s ♦s♦♥s ♣sq ②♥♠q s②stè♠ ♣t ♦♥♥r

à s ♥tr♣é♥étrt♦♥s r P♦r étr♠♥r s ♣rts ♥ ♦♥tt s♣♣é

♠♥trs ♥ ①è♠ ét♣ st ♦♥ ♦t♦r ♦rs q s ♥trst♦♥s

s♦♥t érés ♥s t t♦ts s ♣rts Ω1 ç♦♥ ♥♦ ♣♦r Ω2 q

s tr♦♥t à ♥térr Ω2 s♦♥t rrés s st♥s ♥tr s ♣rts Pi t

s tr♥s Tk ♠ Ω2 s♦♥t ♥s és ♦t xk ♣r♦té Pi sr Tk

st♥ st ♦♥♥é ♣r rt♦♥ s♥t d(Pi, Tk) = (Pi − xk) · nk ♦ù nk st ♥♦r

♠ tr♥ Tk ♣♦♥t♥t rs ①térr ❯♥ ♦s tr♦é tr♥ Tk ♣s ♣r♦

Pi ♠ét♦ ér q ♣r♦té Pi s tr♦ à ♥térr Tk ♥ ts♥t

♣r♦t♦♥ sr ♣♥ q ♠①♠s r tr♥

♥♠♥t s Pi st à ♥térr Ω2 t q Tk st ♣s ♣r♦ tr♥ ♦rs

Pi st ♣é ♥ xk ♥ ♦♥séq♥ Pi t s s♦♠♠ts Tk s♦♥t ♦♥sérés ♦♠♠ ét♥t

s ♣rts ♥ ♦♥tt r tss st ♦rs ♠s à ③ér♦ ♣♦r r♥r ♦♠♣t

ss♣t♦♥ é♥r ♦rs ♦♥tts ♥tr ♦ts ♠♦s t ♦♥ts

♥ tt s♦♥ ét♣ ♥s♠ s ♣rts ♥ ♦♥tt st ♥té

é♣♦♥s ① ♦s♦♥s

♦tr ♠ét♦ st sé sr rét♦♥ ♥ ♦t rt és à ♥r♦t ♦ù s

♦r♣s s♦♥t ♥ ♦♥tt ♦s ♦♥sér♦♥s ér♥ ♦♠♠ ♥ étt qs sttq ♥s

é♣♦♥s ① ♦s♦♥s

Ω2

P4

P2

P1

P3

Ω1

adh

étr♠♥t♦♥ s ♦♥tts ♥tr ① ♦ts Ω1 t Ω2 ♥ ♦s♦♥ ♥

st♥ sé♣r♥t s ♣rts P1 t P2 st ♣s ♣tt q κadh étt♦♥

♣r♦①♠té ♠s P4 ♥st ♣s étté ♥ r♥ P4 st r♣éré à ♥térr

Ω2 étt♦♥ s ♥tr♣é♥étrt♦♥s P3 P2 ét♥t rêt ♥trsté ♥s♠ s

♣rts ♥ ♦♥tt st ♦♥ ♦♥stté P1 P2 P3 t P4 ♥ r♦

q à ♥ ♥st♥t ♦♥♥é s♠t♦♥ s ♣rts ♥ ♦♥tt s♦♥t t♠♣♦rr

♠♥t ♦és ♥s♠ t ss♥t ♦♠♠ ♥ ♦r♣s r é ① ♦ts éstqs ♥

♦♥tt ♦r ♣tr ♣rr♣ t ♦t r st ♣♣é és rt

tt ♠♥èr ♥ ♥tr♣é♥étrt♦♥ ♥ ♣t ♦r ♥s ③♦♥ ♦♥séré

♣♥♥t ♦♥trr♠♥t à ❬Pr♦❪ ♦ ❬❪ ♦ù ♦♥♣t ③♦♥ ♠♣t ♥trî♥

s ♦♥tts ♥♦♥ ss♥ts ♥♦tr ♠ét♦ ♣r♠t s♠r s ♦♥tts ss♥ts ♦

♦♥ts ♣s râ ♥ ♥tr s ♦ts ♥ é♥ ♦rs ♥ t s

♦rs éstqs é♥érés ♣r s ♦ts é♦r♠s s♦♥t tr♥s♠ss à és rt

♥ rt♦r ♠♦♠♥t t s ♦rs rést♥ts s♦♥t ♣♣qés ① ♣rts ♥ ♦♥tt

tt st♦♥ st ♦r♥sé ç♦♥ s♥t ♣r♠r ♣rr♣ ♣rés♥t

♠ét♦ ♠s ♥ ♣ ♣♦r s♠r ♥ étt ér♥t ♣rr♣ ②♥♠q

♣♦♣t♦♥ és rt st ♥st ①♣qé ♣rr♣ ♣s ♦rt♠

♠ét♦ st été ♣rr♣ r♥r ♣rr♣ q♥t à sttr

♣tr ♦♥tts ♦♥ts

sr tst♦♥ s ♦rs ♥s ♥♦tr ♣♣r♦ ♣rr♣

♦♥s t és rt

P♦r q ♣r ♦ts ♥ ♦s♦♥ ♥ ♦ ♣srs ♣rts ♥ ♦♥tt s♦♥t

éttés P♦r ♥ ♥tr s ♥ ♣rt ♦♥ st réé ♦r ss♦s s

♣rts ♦♥s s♦♥t ♥st rr♦♣és ♥s♠ ♦r♣s rést♥t ♣♣é és

rt st ♦♥séré ♦♠♠ ♥ ♦t r ♦♥t ♠♦♠♥t ♣r♠t ♣♣♦rtr ♥

ré♣♦♥s à ♦s♦♥

s tr♦s ♣rr♣s s♥ts ①♣q♥t ♥s ét s tr♦s ♦♥♣ts sr sqs

r♣♦s♥t ♥♦tr ♣♣r♦ q st stré à r

♦♥

q ♣rt ♥ ♦♥tt st ♦♥é ♣rt ♦♥ ♠ê♠ ♣♦st♦♥ q

♣rt ♥ ♦♥tt ♣s s ① ♣rts s♦♥t és ♦♠♠ été é♥

♣rr♣ ♣tr ♥s ♥ ♣rt ♥ ♦♥tt st ♦♥tr♥t à rr

♠ê♠ ♣♦st♦♥ q s♦♥ ♦♥ qq s♦♥t s ♦rs q s①r♥t sr rs

t

és rt

s ♣rts ♦♥s s♦♥t rr♦♣és s♥ ♥ és rt q ♣r♠t s♠

t♦♥ ♥ étt ♦♥t ♥tr s ♦ts ♥ ♦s♦♥ r ♠♥èr à r s

st♥s ♥tr s ♣rts ♦♥s qq s♦t r ♦r♥ és rt st ♠♦ésé

♦♠♠ ♥ ♦t r t s ♦♥tts ♥tr s ♦ts s♦♥t ♠♥t♥s s♥s ♣é

♥étrt♦♥ ♥ t s st♥s ♥tr ♣rts ♥ ♠ê♠ ♦t r s♦♥t ♥r♥ts

♦r ♣tr ♣rr♣

♦♠♥t r

♠♦♠♥t és rt é♣♥ ♥q♠♥t s ♦rs ss♥t ♣rt t

tr ♦s♦♥ P♥♥t s♠t♦♥ s ♦rs ①rés sr s ♣rts ♥

♦♥tt s♦♥t tr♥s♠ss rt♠♥t à r ♦♥ s ♦rs s♦♥t tsés ♣♦r ♠ttr

à ♦r ♦r t♦t t ♠♦♠♥t ♣♣qés à és rt sqs à r t♦r

é♣♦♥s ① ♦s♦♥s

s♦♥t ♠♣qés ♥s ♠♦♠♥t ♦t r ♦r ♣rr♣ ♣tr

t rs t s ♦ts ♥ ♦s♦♥ s♦♥t t♠♣♦rr♠♥t és

♥ és rt t t♦t ♥tr♣é♥étrt♦♥ st ♦rs r♥ ♠♣♦ss r

②♥♠q ♣♦♣t♦♥ és rt

♦♠♠ ♠♥t♦♥♥é ♣réé♠♠♥t s ♥trt♦♥s ♥tr s ♦ts é♦r♠s ♣♥t

♦♥♥r à ♥ ♥♠♥t ♥s ♥s♠ s ♣rts ♥ ♦♥tt ♠♣qés Pr

①♠♣ ① ♦ts ♥trés ♥ ♦s♦♥ ♣♥t sé♦♥r ♥ tr ♠♥♥t ♥s

♥♦♠r ♣rts ♥ ♦♥tt ♥ r♥ s s ♦ts st♥♥t ♣s ♥ ♣s

♥♦♠r ♣rts ♥ ♦♥tt ♠♥tr ♣rr♣ st éé à sr♣t♦♥

♠ét♦ ♣r♠tt♥t s ♥♠♥ts

rét♦♥r♥ss♠♥t

♦♥ q ♣rt ♥ ♦♥tt ♦t êtr ttré à ♥ t ♥ s és r

t r♦s s r ♣♥t s ♣rés♥tr ♥s ♣r♠r s s ♥♦s ♣rts

♥ ♦♥tt ♥tés s♦♥t s♦és ❯♥ ♥♦ és rt st ♦rs é♥ à ♣rtr

r ♦♥ rs t ♥s s♦♥ s ♥♦ ♣rt ♥ ♦♥tt

étr♠♥é ♠♦♥s ♥ ♣rt ♦s♥ ♦♥é ♦♥ ♦♥ st ♦♥ ♦té à és

rt ♦rrs♣♦♥♥t r ♥s tr♦sè♠ s ♥♦ ♣rt ♥ ♦♥tt

♦♥séré ♠♦♥s ① ♣rts ♦s♥s ♦♥t s ♦♥s ♣♣rt♥♥♥t à ♠♦♥s

① éss rts ér♥ts s♥ q s éss rts ♦♥t r♦ss sqà

♥r ♥ts s s♦♥t ♦rs s♦♥♥és ♥♠♥t ♣rt ♦♥ ♦rrs♣♦♥♥t

st ♦té à ♥♦ és rt r♥ r

s à ♦r

q ♣s t♠♣s ♣♦st♦♥ ②♣♦tétq P q ♣rt ♥ ♦♥tt

st é st ♣♦st♦♥ q réstrt ♥tért♦♥ s ♦rs éstqs

♥tr♥s s ♣rt étt r tt ♣♦st♦♥ st ♥st ♦♠♣ré à ♣♦st♦♥ s

♣rts ♦♠♣♦s♥t és rt ♦♥t t ♣rt ♦♥ ♣rt ♥ ♦♥tt

♣tr ♦♥tts ♦♥ts

a

c

d

Adhésif virtuel

Particule en contact Particule clone

b

♣r♦sss rét♦♥r♥ss♠♥t s éss rts r♦s s r

♣♥t s ♣r♦r rét♦♥ ♥ ♥♦ és rt st à ♥tt♦♥ ♥ ♣r

♣rts ♥ ♦♥tt ♦ étt♦♥ ♥ ♥tr♣é♥étrt♦♥ r♥ss♠♥t

♥ és rt éà ①st♥t s♦♥ ♥tr ① éss rts t r♥ss♠♥t

♦t rést♥t

é♣♦♥s ① ♦s♦♥s

♦♥séré ①st ♦rs ♥ ♣rt ♦♥ Pi ér♥t |PPi| ≥ κadh ♣rt ♥

♦♥tt ♥t à ♥♦ r s é♣r s♦♥ ♦♥ ét♥t s♣♣r♠é ♦t♦♥s q st

♣r♥♣ ♠s à ♦r q ♣r♠t à s ♦ts ♥ ♦♥tt ♥ ♣s rstr és ♥s

♥ ♦♥rt♦♥ ♦♥♥é ♠s é♦r rs ♥ stt♦♥ ér♥t ♥ ♣r♠tt♥t ♥s

s ss♠♥ts

♦rsq♥ és rt st ♦♠♣♦sé ♠♦♥s ① ♣rts ♥ ♣s êtr

t st ♦♥ étrt ♥② ♦rs ♣s ♦s♦♥

♦♥trô ér♥

♣r♠ètr κadh st ♠♣qé à ♦s ♥s étt♦♥ s ♦s♦♥s ♣rr♣

♠s é♠♥t ♥s ②♥♠q és rt ♣r♠t ♦♥trôr

rtèr és s ♦ts é♦r♠s ♠♦ésés

s κadh st ♣tt ér♥ st s ♥ ♣tt ér♥ ♣♦st♦♥ st

♦rs ♥éssr ♣♦r érr ♥ ♣rt és rt

s κadh st éé r ♥ ♦r éstq ♠♣♦rt♥t ♣♦r é♦r s ♦ts ♥

♦♥tt

♥s q és rt ♣t rrtr ♦ ♣rr s ♣rts s♦♥ ♠♦♠♥t

rt s ér♥ts ♦ts ♥ ♦♥tt ♠é♥s♠ ét♥t ♦♥trôé ♣r κadh

♦rt♠ é♥ér

♠ét♦ tsé r♣♦s sr ♥q ét♣s ssss ♦rt♠ t r

ét♣ ♥t ♥ ♥s♠ ♣rts ♥ ♦♥tt à ♣rtr q ♣r

♦ts ♥ ♦s♦♥ sét♦♥♥és st♦♥ t r

ét♣ ♦♥ q ♣rt ♥ ♦♥tt ♣rr♣ ♣rtr s

♣rts ♦♥s s éss rts s♦♥t réés ♦ r♥s ♣rr♣ rs

t

ét♣ s ♦rs ♥tr♥s ♣♣qés sr q ♣rt s ♦ts

s ♦rs éstqs s♦♥t tr♥s♠ss s ♣rts ♥ ♦♥tt rs r ♦♥ r

♣♦st♦♥ t ♦r♥tt♦♥ és rt s♦♥t ♦rs étr♠♥és ♥

ts♥t s ♦rs tr♥s♠ss ♥s rés♦t♦♥ ♠♦♠♥t ♦t r

♣tr ♦♥tts ♦♥ts

a

particule en contact clone

adhésif virtuel

b

//

d

G

e

f

c

s♠t♦♥ ① ♦ts é♦r♠s ♥ ♦s♦♥ ♣rts ♥ ♦♥tt

és rt s ♣rts éss rts ♥ rt s♦♥t s ♦♥s s ♥q ♣r

ts ♥ ♦♥tt sé♣ré s ♦rs éstqs ♥tr♥s s ♦rs éstqs

tr♥s♠ss s ♣rts ♥ ♦♥tt rs r ♦♥ s♦♥t tsés ♣♦r étr♠♥r ♠♦

♠♥t r és rt ♦r t ♠♦♠♥t rést♥t ♣♣qés sr és

rt ♠♦♠♥ts s ① ♦rs s ♦ts é♦r♠s t és rt s

♣rts ♥ ♦♥tt s♦♥t ♦♥tr♥ts à rr ♠ê♠ ♣♦st♦♥ q r ♦♥

①♣ér♠♥tt♦♥s

♣tr ♣rr♣ t rs t

ét♣ ♠t à ♦r ♣♦♣t♦♥ s éss rts ♣rr♣

ét♣ ♠♦♠♥t s ♦ts é♦r♠s ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♥sért♦♥

é♣♠♥t ♦♥tr♥t s ♣rts ♥ ♦♥tt ♣tr ♣rr♣ t

r

♦rs ♥ ♣rés♥

♠ét♦ ♣rés♥té ♥s ♣tr ♣rtrté tsr s ♦rs ♥ ♣rés♥

♣♦r érr s ♦s♦♥s ♦♥trr♠♥t à trs ♣♣r♦s q ♥tr♦s♥t s ♦rs

♦ s rss♦rts s♣♣é♠♥trs ♥s s②stè♠ ❬r P P❪ és♠♦♥s s

ér♥ts ét♣s

s ♦rs éstqs ♥tr♥s ①rés sr s ♣rts ♥ ♦♥tt s♦♥t rt♠♥t

tr♥s♠ss à r ♦♥

s ♦rs s♦♥t ♥st tsés ♣r és rt ♣♦r r s ♥♦ ♣♦st♦♥

t s ♥♦ ♦r♥tt♦♥

ré♣♦♥s à ♦s♦♥ ♣♦r t♦ts s ♣rts ♥ ♦♥tt st ♥♠♥t ♦♥♥é

♣r ♥♦ ♣♦st♦♥ r ♦♥

Pr ♦♥séq♥t s ♦s♦♥s s♦♥t rés♦s s♥s ♥tr♦r ♦rs s♣♣é♠♥trs ♥s

s②stè♠ stàr s♠♣♠♥t ♥ ts♥t s ♦rs ♥tr♥s ♣rés♥ts ♣rt t

tr s ♦♥tts

①♣ér♠♥tt♦♥s

♥s tt st♦♥ ♥♦s ♣rés♥t♦♥s ér♥ts s♠t♦♥s q ♥♥♥t r

♠ét♦ été ♦rs ♣tr ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♥♦s ♦♥s ré

à érr q st♦♥ s ♦s♦♥s s t ♠♥èr t ♦rrt ♥s ①

①♣ér♥s ♦♥t été ♠♥és ♣rés♥tés ① ♣rr♣s t ♦s ①♣♦s♦♥s ♥st

①♣ér♥ résé ♣♦r étr ②♥♠q s éss rts ♣rr♣

♥♥ ♥♦s ♣rés♥t♦♥s s s♠t♦♥s tés ♣♦r tstr ♥♥ ♣r♠ètr κadh

sr ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ts é♦r♠s ♥ ♦♥tt ♣rr♣

♣tr ♦♥tts ♦♥ts

♦rt♠ ♠♦ést♦♥ ♦♥tts ♦♥ts ♥tr ♦ts é♦r♠sttr♦s♦♥

♦♥strt♦♥ s ♦♥s

②♥♠qéss❱rts

♣♦r q ♦t ♠♦è r

♣♦r q ♣rt ♦t r

r♦rs

s ♦♥é ♦rs

tr♥s♠ttr♦rs

♥

♥

♥

♣♦r q és rt r

r♦♠♥t

♣♦r q ♣rt és rt r

P ← ♣♦st♦♥②♣♦tétq

i← 0

t♥t q <♥Prts t |PPi| < κadh r

s |PPi| ≥ κadh ♦rs

s♣♣r♠r♦♥

érrPrt

♥

i + +

♥

♥

♥

♣♦r q ♦t ♠♦è r

♣♦r q ♣rt ♦t r

s ♦♥é ♦rs

♦♥tr♥rP♦st♦♥

s♥♦♥

r♦♠♥t

♥

♥

♥

①♣ér♠♥tt♦♥s

P s♣èrs

♥s tt ①♣ér♥ s① s♣èrs ♥tqs s♦♥t s♣♦sés s ♥s sss s

trs ♠♥èr ♣rt♠♥t ♥é ♦s ♥♥ rté s t♦♠♥t sr

♥ ♣♥ é♦r♠ t ♥ss♥t ♣r s♥tssr ♦s rr♦♥s q té

s♦♥t rés♦s s ♦♥tts ♦rs s♠t♦♥

s s♣èrs s♦♥t r♣rés♥tés ♣r s ♦ts éstqs ♦♠ ♦♥st♥t s♦♠s à ♥

♠♣ ♦r ①tr♥ ♠♦és♥t ♦r rtt♦♥♥ s ♠ê♠s ♣r♠ètrs s♦♥t

tsés ♣♦r q ♦t ♥♦t♠♠♥t ♠ê♠ ♣r♠ètr éstté ♥t ♣♥

st ♠♦ésé ♣r ♥ ♦t éstq ♠♥t♥ ①é à ss ①tré♠tés t sr q ♥

♦r ♥ s①r sè♥ ♦♥sst ♥ ♣rts t tts

♦rs s♠t♦♥ s ♣r♠rs ♦♥tts ♦♥t ♥tr s♣èr ♥érr t

♣♥ tt ♦s♦♥ rrêt ♠♦♠♥t ♦t t ♥trî♥ ♠♣t♦♥ s trs

s♣èrs ♥s ♥ sér ♦♥tts ss ①♣ér♥ s s♣èrs é♦r♠és ♦r♠♥t

♥ ♣ q s tr♦ ♥♦♥é ♥s ♣♥ ♥ ♣t ♦r q r♥r sst éèr♠♥t

rsé s♦s ♣♦s s ♦ts ♠♣és tt ①♣ér♥ é♠♦♥tr q ♥♦tr ♠ét♦

♣r♠t ♥ rés♦t♦♥ s ♦♥tts ♥② ♣s ♥tr♣é♥étrt♦♥s ♥tr s

♦ts r str ① ♦♥rt♦♥s ♦t♥s

ts ♥♦♥ s♣érqs ♥ ♦♥tt

♥s tt ①è♠ ①♣ér♥ qtr ♣♥s s♦♥t ttrés ♥tr sè♥

♠♥èr à rér ♥ stt♦♥ ♦s♦♥ tt s♠t♦♥ ♥t ♦♠♣étr ♣réé♥t

♥ ♦♥r♦♥tr ♥♦tr st♦♥ s ♦♥tts à s ♦ts ♣s ♦♠♣①s

q ♣♥ st ♠♦ésé ç♦♥ ♥tq ♣r ♥ ♦t éstq ♦♠♣♦sé

♣rts t tts ♦♥t ♦♠ st ♥♦♠♣rss s qtr ♦ts s♦♥t s♦♠s

à ♥ ♠♣ ♦r ①tr♥ q r ♠♣♦s ♥ é♣♠♥t rs ♥ ♣♦♥t ♦♠♠♥ sté

♥tr sè♥

♦rs s♠t♦♥ s qtr ♦ts s é♣♥t ♣r♦rss♠♥t t ♥ss♥t

♣tr ♦♥tts ♦♥ts

s s♣èrs é♦r♠s ♥♦♠♣rsss s♦♠ss à rté t♦♠♥t sr ♥

♣♥ éstq à t = 275s t t = 900s

♣r ♥trr ♥ ♦s♦♥ ♦♠♠ ♣réé♠♠♥t s réstts ♦t♥s ♠♦♥tr♥t q s

♦♥tts s♦♥t ♦rrt♠♥t rés♦s r ♦s ♣♦♦♥s ♦♥ ♥ ♦♥r q ♥♦tr

♠ét♦ ♣t é♠♥t s♣♣qr à s ♦ts ♥♦♥ s♣érqs é♥♠♦♥s ♦♥ ♥♦t

♦rs s♠t♦♥ s ♣r♦è♠s ♥tr♣é♥étrt♦♥ ♥tr s ♦rs t ♦r♣s ♥

♠ê♠ ♣♥ s♠ ♦♥ ♥éssr ♣♦r érr ♦rrt♠♥t ♥r ♦♥rt♦♥

♣r♥r ♥ ♦♠♣t s t♦♦s♦♥s

♦♥ r♦♥t

♥s tt ①♣ér♥ ♥ ♦♥ st s♣♦sé à ♥ ①tré♠té ♥ ♣♥ é♦r♠ t

s♦♠s à ♥ é♣♠♥t ♠♣♦sé rs ①tré♠té ♦♣♣♦sé ♦rs é♣♠♥t

s ♦s♦♥s ♦♥t ♦r ♣♥ ♦s ét♦♥s ②♥♠q ♣♦♣t♦♥

s éss rts

♦♥ st ♥ ♦t éstq s♣érq ♦♠♣♦sé ♣rts t tts

♦♥t ♦♠ st ♠♥t♥ ♦♥st♥t st s♦♠s à ♥ ♠♣ ♦r ♠♣♦s♥t

♣r♦rr ♣♥ ♥s s ♦♥r ♥t à r♥r st ♠♦ésé ♦♠♠ ♥ ♦t

①♣ér♠♥tt♦♥s

♦s♦♥ ♥tr qtr ♣♥s à t = 250s t = 350s t t = 500s

éstq ♦♥stté ♣rts t tts r t ♦t ♥ ♦r ♥st ♣♣

qé t s ♣rts stés à s♦♥ ♣♦rt♦r s♦♥t ♠♥t♥s ①és

s réstts ♦t♥s ♠♦♥tr♥t q ♦♥ r♣r♦t ♥ ♠♦♠♥t r♦♠♥t

♦rs s♦♥ é♣♠♥t ♣♥♥t ♠♦♠♥t rst ♠♣rt à s s ♦♥tts

♣♥ ♥ ♥♦t é♠♥t s é♦r♠t♦♥s ♣♥ ♥ rs♦♥ ér♥

♦♥ tt ①♣ér♥ ♠♦♥tr ♦♥ q s ♦ts ♥ ♦♥tt s♦♥t t♠♣♦rr♠♥t

♦és t♦t ♥ é♥♥t s ♦rs t ♥ rst♥t ♣s ♥s ♥ ♦♥rt♦♥ é

str é♠♥t ♣♦ssté s♠r s ♦♥tts r♦♥tsss♥ts ♥tr ♦ts

é♦r♠s ♥q ♠♦♠♥ts séq♥ ②♥♠q s♦♥t ♠♦♥trés à r

♦♥tts ♥tr s

♥s r♥r ♣rr♣ ♥♦s ér♦♥s s s♠t♦♥s résés sr ① s

♥tr♥t ♥ ♦s♦♥ t ♦♥t ér♥ r ♦s ét♦♥s ♥♥ ♣r♠ètr

κadh sr ♦♠♣♦rt♠♥t s s ♥ ♦♥tt

♦s s♣♦s♦♥s ① ♦ts rs ♥é♦r♠s r♣rés♥tés s♦s ♦r♠

♦sèr ♣rts t tts ♦t A st é♥ ♦♠♠ ét♥t t

♣tr ♦♥tts ♦♥ts

trtr ♦r ♣tr ♣rr♣ ♦t B t ♥rs♠♥t ♠♦

♠♥t ♠♣♦sé q ♥ rést ♦♥♥r à ♥ ♦s♦♥ à ♠♣r♦rs s rs

②♥♠qs é♦♠étr t s ♣r♠ètrs éstté s♦♥t ♥tqs ♥s s ① s

r str s réstts ♦t♥s ♥ t s ① ♦ts rs s♦♥t très

éss κadh st r♥ t♥s q s ♦ts r♣rés♥tés ♥ s s♦♥t ♣ ♦♥ts κadh

st ♣tt ♦rs ♦s♦♥ s ♦ts s é♦r♠♥t t ss♥t ♥ sr tr ♣♥♥t

♥ ♣s t♠♣s ér♥t ♥s s ① s ♥ ♣t ♥♦t♠♠♥t r♠rqr ♥s

r♥èr ♠ q s ① ♦ts très éss s♦♥t ♥♦r ♥ ♦♥tt ♥ t à r♦t

♦♥trr s ① trs ♥ s à r♦t r str ②♥♠q s

♣rts ♥ ♦♥tt tt ①♣ér♥ ♣r♠t ♣♣rér ♣♦ssté ♠♦ést♦♥

ér♥ts étts ér♥ts râ à tst♦♥ ♣r♠ètr κadh

♦♥s♦♥

♥s ♣tr ♥♦s ♦♥s été ♠ét♦ é♦♣♣é ♦rs tt tès

♣♦r érr s ♦s♦♥s ♥tr ♦ts é♦r♠s é ♣r♥♣ ♠s ♥ ♦r ♦♥sst

à rér ♥ és rt à ♥r♦t ♦ù s ♦r♣s s♦♥t ♥ ♦♥tt t ♦t st ♦♠♣♦sé

s ♦♥s s ♣rts ♦♠♥t ♥ ♦s♦♥ s ♣rts ♦♥s s♦♥t tsés ♣♦r

♠r s ♦rs ss♥t sr és rt q s ♦♠♣♦rt ♦♠♠ ♥ ♦t

r ♠♦♠♥t rést♥t étr♠♥ ré♣♦♥s à ♦s♦♥ s ♣rts ♦♥t

à r ♦♥

♦tr ♠ét♦ ♣r♠t s♠r ♣srs t②♣s ♦♥tt ss♥t t ♦♥t t é

r♥ts étts ér♥ts s♦♥ r κadh tsé q r♥ ♥térss♥t ss ♥

♣♦r s ♣♣t♦♥s ♦♦qs q ♣♦r s s♠trs rr① ♠ért

êtr s♠♣ t♦t r♣♦s sr ♣r♠ètr κadh t ♥ rqrt ♣s ♥tr♦t♦♥ ♦rs

s♣♣é♠♥trs ♥♥ s ♦♥tts s♦♥t rés♦s ♠♥t t ♦rrt♠♥t qq s♦t

♦r♠ s ♦ts ♦♥sérés ♥ q ét♣ étt♦♥ ♥ s♦t ♥ ♣té q ♣♦r

s ♥trt♦♥s ♥tr ♦r♠s s♣érqs

♥ té♦r s ♦rs ♠♣qés ♥s ré♣♦♥s ① ♦s♦♥s é♣♥♥t rés♦t♦♥

♠ s ♦ts ♥s ♥♦tr ♣♣r♦ ♥♦s ♦♥s ♦♥séré ♥ é♥t♦♥♥

♦♥s♦♥

ss♠♠♥t rér ♣♦r s ♣ré♠♥r ♥ ♠t♦♥ rrrs ♦rs t♠♣s

♥ r♥ s tt ②♣♦tès ♥étt ♣s rs♣té srt ♥éssr ♦♥sérr s

♣r♦è♠s ♥sté ♦♠♠ ♥s ❬P❪ ♦ ❬∗❪

♥ ♣t ♥♦tr q ♥♦tr ♣♣r♦ st ♣rt sr ér♥ts ♣♦♥ts ♦♥stt♥t

t♥t ♣rs♣ts tr s ♠é♦rt♦♥s ♥ss sr♦♥t ♦rés ♥s

♦♥s♦♥ é♥ér

♥s ♣tr q st ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s s ér♥ts s♠t♦♥s résés ♥s

♦♠♥ ♦♦ r ♥♥t strr ♣♦t♥t s tr① ♥tr♣rs

♦rs tt tès

♣tr ♦♥tts ♦♥ts

♥ ♦♥ éstq r♦♥t sr ♥ ♣♥ é♦r♠ t ♥ s t = 0s

t = 40s t = 120s t t = 160s é♦r♠t♦♥ ♦sré ♣♥ rést ♦♥tts

♦♥tsss♥ts ♦♥

♦♥s♦♥

T

κadh

κadh

♦s♦♥ ♥tr ① ♦ts très éss ♥ t κadh r♥ t ① ♦ts

♠♦♥s éss ♥ s κadh ♣tt P♦r q sér ♦t t st ttré ♣r

♦t s t ♥rs♠♥t q ♦♥t à ♥ ♦s♦♥ ♣♥♥t s♠t♦♥

r ♦♥♥ ♥ ♣rç s ér♥s ♦♥rt♦♥ rést♥t ① rs

κadh à qtr ♠♦♠♥ts s♠t♦♥ à r♦t t = 0s t = 40s t = 50s t

t = 80s

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Part

icule

s e

n c

onta

ct

Temps, secondes

adhérence élevéeadhérence faible

image

♥♦♠r ♣rts ♥ ♦♥tt ♥ ♦♥t♦♥ t♠♣s s rrs ♦rrs

♣♦♥♥t ① qtrs ét♣s strés ♥s r

♣tr

♣♣t♦♥s ♥ ♦♦ r

♦♠♠r

♥tr♦t♦♥

ét♦♥s♦♥

♥tr♦t♦♥

♠♦t①

♣t♦t①

és♦♥ t ♠♦tté r

ttt ②t♦sqtt t ♦♥

②♥♠q r

éstts

♥trt♦♥s ♦♥tt

rét♦♥ s

s♦♥ t tr r

♦♥s♦♥

♥tr♦t♦♥

r♥r ♣tr st éé ① ér♥ts ♣♣t♦♥s résés ♦rs tt

tès ♥s ♦♠♥ ♦♦ r ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♥♦s ♥♦s s♦♠♠s

♣tr ♣♣t♦♥s ♥ ♦♦ r

♥térssés ① ♣r♦sss rét♦♥s♦♥ ♣r qs s♦♥t ♣ré♣♦♥ér♥ts ♥ ♦♦

♥ ♣rtr ♥♦s ♦♥s ♦sé ♥♦tr tt♥t♦♥ sr ♠♦t① t ♣t♦t① ①

♠é♥s♠s ♥tr♥♥t ♦rs ♥♦♠r① ♣r♦sss ♠♣♦rt♥ts ♥ ♦♦ r

♦♠♠ é♦♣♣♠♥t ♦ ér♥tt♦♥ s réstts ♦t♥s sr♦♥t ♣rés♥tés ♥s

st♦♥ Pr st ♥♦s ♥♦s s♦♠♠s ♣♣qés à r♥r ♦♠♣t ②♥♠q

♥tr♥ rs♣♦♥s s♦♥ é♣♠♥t ♦tr ♣♣r♦ sé sr ré♥ts

réstts ①♣ér♠♥t① sr été ♥s st♦♥ ♥♠♥t qst♦♥ s♦r

♦♠♠♥t s s s é♣♥t sr ♥ sstrt ♠♦ ♦ ♥trss♥t trs

s sr ♣♣t♦♥ à ♠ét♦ ♣rés♥té ♣tr ♣réé♥t ♥ ♦♣t♥t

♥ ♣♦♥t rét♦♥st ♥♦tr ♣♣r♦ ♣♣♦rt s éé♠♥ts ré♣♦♥s q♥t ①

♠é♥s♠s rs ♦① q ♣r♠tt♥t ① s s é♦r♠r ssr ♦

♥ ♥♦r ♦r ♦rsqs ♥trss♥t trs ♥ttés é♦r♠s ♥s

♥s st♦♥ sr♦♥t ♣rés♥tés s s♠t♦♥s s♥t ♥tr♥r s ♥trt♦♥s

♦♥tt ♥tr s

ét♦♥s♦♥

♥tr♦t♦♥

s ♠♦t① t ♣t♦t① ♦♥stt♥t ① ♣r♦sss ♣ré♣♦♥ér♥ts ♥ ♦♦

r r s ♥tr♥♥♥t ♥s ♥♦♠r① ♣é♥♦♠è♥s Pr ①♠♣ rt♥s

s s②stè♠ ♠♠♥tr ♣♥t ♠rr ♠ss♠♥t à ♥ tss ♣s

mm/h rs ♥ ♥t♦♥ ♣♦r ♦♠ttr ♥t ♣t♦è♥ ♥s ♥ tr

rstr ♦rs é♦♣♣♠♥t ♠r②♦♥♥r rt♥s s ♣rérsrs ♠r♥t

♥s ♠r②♦♥ ♣♦r ♦r♠r ♥♦s strtrs Pr♦s s ♥ ♣rt

s é♣ st s s ♣r♦♦♥♠♥ts s ♥r♦♥s ♣s ♠rr à ♣srs

♥t♠ètrs r ♦r♣s r ♥ r s s②♥♣ss sr s s s ♠ss

♦ trs ♥r♦♥s érè♠♥t s ♣tés é♣♠♥t ♣♦r s ♣rt s

♦♥séq♥s r♠tqs ♥s ♥s s ♥r ♠♥tt♦♥ ♠♦té s

s ♠♥s r ♣r♠t sé♣♣r ♥tr t♠r ♥t ♣♦r ♦r♠r

s ♠étstss t ♥r ♦r♥s♠

♥♦tr ♦t st tsr ♥♦tr ♠ét♦ ♠♦ést♦♥ ♣♦r étr s ♣r♦sss

ét♦♥s♦♥

Ps ♣résé♠♥t ♦♥ ésr r♥r ♦♠♣t

s♦♥ ♠♦és ♠♦ttrt♥ts

é♣♠♥t s s♦♥ ♥ r♥t ♦♥♥trt♦♥

s ♥trt♦♥s ♥tr s s t ♠tr ①trr s ♣r♦té♥s

♦♠♠ r♦♥t♥

♣ér♦ rértr ♥s é♣♠♥t s s

és♥sst♦♥ s ré♣trs

♥ ♣♦♥t ♠té♠tq s ♣r♦sss rét♦♥s♦♥ ♣♥t s ♦r

♠r ♠♥èr s♥t ♥ és♥ ♣r C(M, t) ♦♥♥trt♦♥ ♥ ♠♦é ♦

♥sté s ♣♦♥t M t t♠♣s t C(M, t) ♥r ♦rs t♠♣s

s s ♠♦és s♥t ♦ s s s s é♣♥t ♥s ♣r♠r s st

♠♦♠♥t r♦♥♥ rést♥t ♠♦②♥♥ ♦s tr♠qs ♥tr ♠♦és ♥s

s♦♥ s ♦♥ r à ♥ é♣♠♥t ét♦r s♦tr♦♣ ♥♦♥ st♠é ♣r ♥ s♥

é♦t♦♥ C(M, t) st ♦rs ♦♥♥é ♣r éqt♦♥ ér♥t

∂C

∂t= D

∂2C

∂x2+

∂2C

∂y2+

∂2C

∂z2

♦ù x y t z és♥♥t s tr♦s ♦♦r♦♥♥és s♣ts D st ♦♥t s♦♥

♥ é♥ér ♦♥st♥t tt éqt♦♥ ért ♣résé♠♥t ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥ s♦t♦♥

♠♦és ♥s ♦ ♥ ré♣rtt♦♥ ♦♠♦è♥ s ♥s s♣ ♣②sq

q r st ttré

♠♦é U st ♣r♦t ♣r s s ♣♦♥t M t t♠♣s t ♥ t① τ(M, t)

t st éré ♣r♦♣♦rt♦♥♥♠♥t à s ♦♥♥trt♦♥ ♦rs éqt♦♥ ♥t

∂U

∂t= D

∂2U

∂x2+

∂2U

∂y2+

∂2U

∂z2+ τ(M, t)− λU

♦ù λ st t① ért♦♥ ♠♦é

♥s ♥♦tr tr ♠♦è é♥ér ♣r♠t r♥r ♦♠♣t s♣rs♦♥ s♥

♠♦ttq ♥s s s ♦♥ ♦♥♠♥t♠♥t s ♠ê♠s éqt♦♥s ♠s

♥tr♣rétt♦♥ s tr♠s st ér♥t U(M, t) és♥ ♦♥♥trt♦♥ s♥

♠♦ttq q st s♥s ♥ ♣♦♣t♦♥ s ♥sté C(M, t) ♦rs

é♦t♦♥ tt ♥sté sr ♦♥♥é ♣r

♣tr ♣♣t♦♥s ♥ ♦♦ r

∂C

∂t= D1

∂2C

∂x2+

∂2C

∂y2+

∂2C

∂z2 −D2

∂

∂x(C

∂U

∂x) +

∂

∂y(C

∂U

∂y) +

∂

∂z(C

∂U

∂z)

D1 és♥ ♦♥t ♠♦♠♥t ét♦r ♥♦♥ ré D2 r♣rés♥t ♦

♥t é♣♠♥t ♠♦ttq ♥ ♣t ♦r q r♥r tr♠ st ♣r♦♣♦rt♦♥♥

r♥t strt♦♥ ♠♦é U

s s♠t♦♥s ♣r♦♣♦sés ♥s tt st♦♥ r♣♦s♥t sr s ♦♥sért♦♥s s♥ts

♦♠♠ ♥♦s ♠♦és♦♥s s s ♥s ss s éqt♦♥s t②♣

s♦♥t tsés

♠♦t① t ♣t♦t① s♦♥t ♠♦ésés s ♠ê♠s tr♠s ♠té♠tqs

♣sqs s♦♥t ♥ts ♣r s ♠é♥s♠s s♠s

s ♣r♦sss rét♦♥s♦♥ s♦♥t srétsés

♠♦t①

P♦r étr♠♥r s éqt♦♥s t②♣ ♥♦s ♥♦s s♦♠♠s ♥s♣rés rét♦♥

s ♠s t②♦st♠ s♦♠ ♣r ♠♦t① ❬ ❪ ♥ ♣r♦sss ♥

rtérsé t♥t ♥ ♦♦q q ♥ s ♠é♥s♠s ♠♦érs ♦r

♣tr ♣rr♣ ♦tr ♦t st ♠ttr ♥ é♥ ♠♦♠♥t

ré s à ♣rtr r♥t ♥ s♥ ♠q q s ♥s ♠

t ♣rés♥t s ér♥ts s♣ts ♦♦qs ♦♥sérés t ç♦♥ ♦♥t s

s♦♥t trtés ♥s ♥♦tr ♣♣r♦

t sstrt

♦s ♦♥sér♦♥s ♥ s♣ ♣②sq ♥s q s s ♣♥t s é♣r ♥

♦♥t♦♥ r♥ts ♠♦és s♥① ♠♦r♣♦è♥s t♥s♦♥ ♠tr

①trr t♦ ♦rs ét♦rs

P♦r r♣rés♥tr sstrt ♥ ① ♠♥s♦♥s ♦♥ s♣♦s ♥ ♦t ♦♠♣♦sé

♣rts s♣♦sés ♥ ♦r♠ r réèr 10×10 ♥s ♣♥ XY sr q

♥ ♦r ♥st ♣♣qé ♥t ① s s s♦♥t ♠♦ésés ♦♠♠ s ♦ts

ét♦♥s♦♥

♠♦t① ♣♣r♦ ♣r♦♣♦sé

♣rr♣ t r ♥ ♦r♠ ♦sèr ♥♠é ♥

♠♦♠♥t r♦♥♥

strt ♣rr♣ t ♥ r♣rés♥té ♦♠♠ ♥ r réèr

10× 10

s♦♥ ♥ s♥ ♠q U

♣rr♣

❯♥ r U ♦♥♥é ♣r ♥ éqt♦♥

rét♦♥s♦♥ st ttré à q ♣♦♥t

r

é♣♠♥t s♦♥

r♥t U ♣rr♣

❯♥ ♦r st ①ré sr q ♣rt ♦

sèr ♥ ♦♥t♦♥ s rs ♦s U

Pér♦ rértr ♥s é♣

♠♥t ♣rr♣

❯♥ ♦r é♣♥♥t ♥ s②stè♠ ér♥t st

①ré sr q ♣rt ♦sèr

és♥sst♦♥ s ré♣trs

♣rr♣

❯♥ ♦r é♣♥♥t ♥ s②stè♠ ér♥t st

①ré sr q ♣rt ♦sèr

♠♦ést♦♥ ♠♦t① t ♠t ♥ é♥ ♣rè ♥tr

s s♣ts ♦♦qs ♦rés t ♣♣r♦ ♣r♦♣♦sé

rs ♥ ♦r♠ ♦sèr ♣rts ♥♠és ♥ ♠♦♠♥t r♦♥♥ r

♣r♠tt♥t ①♣♦rr r ♥r♦♥♥♠♥t

s♦♥

q ♣♦♥t r r♣éré ♣r ss ♦♦r♦♥♥és ♥tèrs (i, j) st sè ♥

♣r♦sss rét♦♥s♦♥ srétsé ért ♣r

dUi,j

dt= DU(Ui+1,j + Ui−1,j + Ui,j+1 + Ui,j−1 − 4Ui,j)− λUUi,j + δUi,j

δUi,j=

p1X2(t)− p2Ui,j si i = i0, j = j0

0 sinon

♦ù DU t λU s♦♥t rs♣t♠♥t ♦♥t s♦♥ t t① ért♦♥

srétsés ♠♦é U δ st ♥ tr♠ s♦r ♦sé ♣♦♥t (i0, j0) p1 t

p2 s♦♥t ① ♣r♠ètrs q ♦♥trô♥t ②♥♠q ♣♣rt♦♥ ♠♦é U ♥

♣tr ♣♣t♦♥s ♥ ♦♦ r

(i0, j0) ♥t à r X étr♠♥ s ♦st♦♥s ♣ ♦♥♥trt♦♥

dXdt

= 0.618Y

dYdt

= −0.618X

X(0) = 1, Y (0) = 0

❯♥ ♦♠♥t st réé ♣♦r érr s éqt♦♥s rét♦♥s♦♥ t s

rts s②stè♠ ♥ s♣♦s ♥s ♥ s②stè♠ ér♥t ♦♠♣♦sé éq

t♦♥s q st ré rés♦r à q ♣s t♠♣s ♦♠♥t st ♦♠♣été

♣r ♥ éé♠♥t ♦♦♦ ♣♦r ♦♥trôr tt s ♣♦♥ts r Ps ♣résé

♠♥t st ttrr à ♦♦r♦♥♥é z q ♥♦ r ♦♥♥trt♦♥

t ♦♥ ♣t ssr q♥tté U ♣r é♣♠♥t rt ♦t q

r♣rés♥t s♣ à ① ♠♥s♦♥s r

X=0

X=10

Y=10

Y=0

♣r♦ ♠♦ttrt♥t U ♣♦r i0 = j0 = 5

r♥t ♦♥♥trt♦♥

♥ ♦♥sèr q t♦t ♣rt ♦sèr st ♥t♦ré ♣r qtr ♣♦♥ts

r r ♦rt ♣r♥♣ r♥t U st ♣♣r♦①♠é ♣r ①♣rss♦♥

s♥t

ét♦♥s♦♥

GU =

Ui+1,j + Ui+1,j+1

2−

Ui,j + Ui,j+1

2

Ui+1,j+1 + Ui,j+1

2−

Ui,j + Ui+1,j

2

0

Ui,j

Ui+1,j U

i+1,j+1

Ui,j+1

x

y

r♥t U st ♦♥é sr s qtr ♣♦♥ts r ♥t♦r♥t

q ♣rt ♦sèr

r♥t st à ♦r♥ ♥ ♦r ①tr♥ t♦♥♥ ♣♣qé sr q ♣r

t ♦t q ♣r♠t à s rr rs ♥r♦t r ♦ù

♦♥♥trt♦♥ U st ♠①♠

Pér♦ rértr

♣ér♦ rértr st ♥ ♠♦♠♥t ♣♥♥t q q ré♣♦♥ à ♥ ①

tt♦♥ ♥ ♣t ré♣♦♥r à ♥ s♦♥ ①tt♦♥ ♣♣qé tr♦♣ tôt ♣rès ♣r♠èr

♥ s ♣r♦♣♦s t♥r ♦♠♣t ♣é♥♦♠è♥ ♥ ♠t♣♥t ♥t♥sté ♦r

①tr♥ t♦♥♥ ♣♣qé sr q ♣rt ♣r r V s♥t

dVdt

= 1−Vτ

V (0) = 1

♦ù τ st ♥ t♠♣s r①t♦♥ q ♦♥trô s♦rt ♣ér♦ rértr

éqt♦♥ st rtr♥srt râ à ♥ ♦♠♥t q ♣s t♠♣s

tt éqt♦♥ st rés♦ ♣r ♦tèq s ♣♥♥t r V ♣t

♣tr ♣♣t♦♥s ♥ ♦♦ r

êtr ♠s à s ♥s ♥tr [t; t+∆t] tss é♣♠♥t ♦t st s♣érr

à ♥ rt♥ s r

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60

V(t

)

Temps (secondes)

♣r♦ r V ♣rès ♥ ♠s à τ = 5

és♥sst♦♥

st♠t♦♥ ♣r♦♦♥é ♥ ♣r ♥ ♠♦é ♥trî♥ ♦rs t♠♣s

♥ ♠♥t♦♥ s♥sté à tt ♠♦é tté ss ré♣

trs P♦r r♥r ♦♠♣t ♣é♥♦♠è♥ ♣♣é és♥sst♦♥ ♥t♥sté

♦r ①tr♥ t♦♥♥ ♣♣qé sr q ♣rt st ♣♦♥éré ♣r r W

s♥t

dWi

dt= λ0(1−Wi)− λ1SWi

Wi(0) = 1

♦ù λ0 t λ1 ♦♥trô♥t ♥♥ s♥ S st r♥t ♠♦②♥ ♣rç ♣r

♣rt i ♥s ♣s r♥r st ♠♣♦rt♥t ♣s r W st tt

♠♥èr ♥♦s st ♣r♠s ♦♥trôr é♦r♠t♦♥ s ♦ts s♦♠s à ♦rts r

♥ts tt éqt♦♥ st é♠♥t ért s♥ ♥ ♦♠♥t t rés♦ ♣r

ét♦♥s♦♥

éstts

r str s trt♦rs ♣srs ♦sèrs ♦t♥s ♦rs s s♠

t♦♥s ① ♣ss ♣♥t êtr st♥és ♥t♠♥t ♦♥ s♦r U s tr

t♦rs s♦♥t ♦♥trôés ♣r ♠♦♠♥t r♦♥♥ ♥st s♦s ♥♥ U s

trt♦rs ♥♥♥t rt♥s r ♦♠♣♦s♥t ét♦r ♦r st ♥é

♥t ♦♠♣♦s♥t ♠♦ttq r ♠é♥s♠ ♣ér♦ rértr

r♥ ♦♠♣t s tr♥♥s éért♦♥ t r♥tss♠♥t s ♦ts ♦rs

♠rt♦♥ r t s r♣trs ♥s rt♦♥ s trt♦rs

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10

Dim

en

sio

n Y

, u

nité

s a

rbitra

ire

s

Dimension X, unités arbitraires

Signal maximum

cellule 0

cellule 1cellule 2

cellule 3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 20 40 60 80 100

Vite

sse

, u

nité

s a

rbitra

ire

s

Temps, secondes

qtr trs ♠rt♦♥ ♥ ♦t rs ♠①♠♠ ♦♥♥

trt♦♥ s♥ U s ♣r♠ètrs tsés s♦♥t DU = 0.1sec−1 λU = 0.01sec−1

p1 = 2sec−1 p2 = 0.01sec−1 t i0 = j0 = 5 ♣r♦ tss ♦rs

s♦♥ é♣♠♥t ♥ ♦sr s tr♥♥s éért♦♥ t r♥tss♠♥t s

♠é♥s♠ ♣ér♦ rértr ♥t q tt♥ ♥r♦t r ♦ù

♦♥♥trt♦♥ U st ♠①♠

♣t♦t①

Pr st ♥♦s ♥♦s s♦♠♠s ttés à r♥r ♦♠♣t s é♣♠♥ts rs

rést♥t s ♥trt♦♥s ♠tr ①trr s ♠é♥s♠s s♦s♥ts s♦♥t

♠♣qés ♥s ♥♦♠r① ♣r♦sss ♦♦qs ts q é♦♣♣♠♥t ♥r♦♥

♠r②♦♥ès ♦ ♠rt♦♥ r ♦♥trô r♦ss♥ ô♥ ①♦♥ sr

♠ ❬❪ ♠rt♦♥ s r♦sts sr r♦♥t♥ ❬ ②♥❪ ♦tr

t st r♥r ♦♠♣t ♣té q♦♥t s s s rr à ♣rtr

s♥① ♠qs é♣♦sés ♣r trs s ♣r♥♣ ♠s ♥ ♦r st s♥t

♣tr ♣♣t♦♥s ♥ ♦♦ r

♥ s é♣ ♣r ♠♦t① s♦♥ r♥t ♥ s♥ U t♦t ♥ é♣♦s♥t

♥ ♠♦é M ♦♥t s♦♥ ♥♥rr ♠♦♠♥t trs s

t t ♣rè ♥tr s ♦♥♥és ♦♦qs trtés ♥s ♥♦tr ♣♣r♦

t ç♦♥ ♦♥t s s♦♥t ♠♦ésés

♣t♦t① ♣♣r♦ ♣r♦♣♦sé

① t②♣s s ♣r

r♣

ts rs A t B r♣rés♥tés ♦♠♠ s

♦sèrs t ♣♦ssé♥t ♥ ♠♦♠♥t r♦♥♥

strt ♣rr♣ t ♥ s♦s ♦r♠ r réèr 10×10

s♦♥ ♥ s♥ ♠q U

♣rr♣

❯♥ r U ♦♥♥é ♣r ♥ éqt♦♥

rét♦♥s♦♥ st ttré à q ♣♦♥t

r

s♦♥ ♥ s♥ ♠q M

♣rr♣

❯♥ r M ♦♥♥é ♣r ♥ éqt♦♥

rét♦♥s♦♥ st ttré à q ♣rt

r

é♣ôt ♥ s♥ M ♣rr♣

s ♣♦♥ts r ♥t♦r♥t q ♣rt

♦sèr t②♣ A s♦♥t ♠rqés

é♣♠♥t s♦♥ r♥t

U rs♣ M ♣rr♣

❯♥ ♦r st ①ré sr q ♣rt ♦

sèr t②♣ A rs♣ B ♥ ♦♥t♦♥ s rs

♦s U rs♣ M

Pér♦ rértr ♥s é♣

♠♥t s s ♣rr♣

❯♥ ♦r é♣♥♥t ♥ s②stè♠ ér♥t st

①ré sr q ♣rt s ♦sèrs

és♥sst♦♥ s ré♣trs

♣rr♣

❯♥ ♦r é♣♥♥t ♥ s②stè♠ ér♥t st

①ré sr q ♣rt ♦sèr

♠♦ést♦♥ ♣t♦t① t ♠t ♥ é♥ ♣rè ♥tr

s s♣ts ♦♦qs ♦rés t ♣♣r♦ ♣r♦♣♦sé

tt ①♣ér♥ ♥♥t ♦♠♣étr ①♣ér♥ ②♥t trt à ♠♦t① ♦♥ rtr♦

s s♣ts ♦♦qs ♦rés ♣rr♣ ♣réé♥t ss ss sr♦♥t ♣rés♥tés

♥s st s s♣ts ♥♦① s ér♥ts t②♣s ♦tss s♦♥ t

ét♦♥s♦♥

é♣ôt ♠♦é M r♥t st é ♠♥èr ♥tq ♣♦r s ①

♠♦és

s t sstrt

① t②♣s ♦ts rs s♦♥t ♦♥sérés

t②♣ A ♦t s é♣ s♦♥ r♥t U t é♣♦s ♥ ♠♦é M

♦rs s♦♥ é♣♠♥t

t②♣ B s ♦ts s♦♥t s♥ss r♥t M

s ① t②♣s ♦ts s♦♥t r♣rés♥tés ♣r s ♦sèrs t ♣♦ssè♥t ♥ ♠♦♠♥t

r♦♥♥ é♣♠♥t ét♦r st ♣rtèr♠♥t ♠♣♦rt♥t ♣♦r s ♦ts t②♣

B ♥ t s♥ M s♥t ♣ ♦ ♥ ét♥t ♠♠♦ s ♦♥t ♦♥ ①♣♦rr

s♣ ♥t éttr ♥ r♥t M t s rr s♦♥ ♥t sstrt

st ♠♦ésé ♦♠♠ ♥s s ♠♦t① ♣r ♥ ♦t ♥ s♦s ♦r♠

r réèr 10× 10

s♦♥ ♠♦é

♥s ♥♦tr ♣♣r♦ ②♥♠q M st ♦♥♥é ♣r

dMi,j

dt= DM(Mi+1,j + Mi−1,j + Mi,j+1 + Mi,j−1 − 4Mi,j)− λMMi,j + δMi,j

− p4Mi,j

δMi,j=

p3 si il y a un objet de type A en (i, j)

0 sinon

♦ù DM t λM s♦♥t ♦♥t s♦♥ t t① ért♦♥ srétsés

♠♦é M rs♣t♠♥t p3 ♦♥trô é♣ôt ♠♦é M t♥s q tr♠

p4Mi,j ♣r♠t rér s♦♥ ♠t♦♥

❯♥ ♦♠♥t st réé ♣♦r r♥r ♦♠♣t s②stè♠ ♦♠♥t ♣♦ssè

♥t éqt♦♥s rés♦s ♣r ♦tèq s P♦r tt ①♣ér♥ ♦♥ ésr

ssr ♠♦é M ♣r é♣♠♥t rt ♦tsstrt r ♥

tr♦ ♥s ♥ éé♠♥t ♦♦♦ q ♣r♠t ttrr à ♦♦r♦♥♥é z q

♣tr ♣♣t♦♥s ♥ ♦♦ r

♣♦♥t r r M ♦t♦♥s q ♥ r♠♣ réé ♥s ①♣ér♥

♣réé♥t ♣♦r ssr ♠♦é U

Y=10

Y=0X=0

X=10

①♠♣ ♣r♦ ♠♦é M à t = 150s

éstts

❯♥ ♦t t②♣ A s é♣ rs ♠①♠♠ ♦♥♥trt♦♥ s♥ U

r ♦rs s♦♥ é♣♠♥t ♥ ♠♦é M st é♣♦sé t s

sr sstrt ttr♥t ♥s s tr♦s ♦ts t②♣ B t r

♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s s ♦ts ♦♥t ♥ ♠♦♠♥t ét♦r ♥st r trt♦r

♥t rt♥ ♥ rs♦♥ ♣r♦t♦♥ t s♦♥ ♠♦é M

♥ ♦sr s ♥♠♥ts r♣s rt♦♥ s à ♣ér♦ rértr ♠♦

♠♥t r ♥ t ♦rsq♥ ♦t t②♣ B st à rrêt ♦♥♥

trt♦♥ ♠♦é M ♦♥t♥ é♦r ♦rsq ♣s rértr s tr♠♥

strt♦♥ M ②♥t ♥é ♦sèr st ♥ ♥♠♥t rt rt♦♥

♦rs s s♠t♦♥s ♦♥ r♠rq é♠♥t ♥ é♦r♠t♦♥ s ♦ts rs

t ér♥ ♦r ♣♣qé ♥ ♥ s ♣rts ♥ t r♥t

ét♥t étr♠♥é ♠♥èr ♦ s ♦ts s é♦r♠♥t r s ♣rts stés

♥ r♦♥t ♥t ♣s ♣r♦s ♦t t②♣ A ♣rç♦♥t s ♦♥♥trt♦♥s

♣s éés q s ♣és à rrèr

és♦♥ t ♠♦tté r

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 2 4 6 8 10

Dim

en

sio

n Y

, u

nité

s a

rbitra

ire

s

Dimension X, unités arbitraires

cellule 0cellule 1

cellule 2

cellule 3

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0 50 100 150 200

Vite

sse

, u

nité

s a

rbitra

ire

s

Temps, secondes

0 s é♣ ♣r ♠♦t① s♦♥ strt♦♥ U ♦rs

s♦♥ é♣♠♥t rs ♠①♠♠ ♦♥♥trt♦♥ ♥ x = 7 t y = 6 é♣♦s ♥

♠♦é M q ♣r♠t ① s 1 2 t 3 s é♣r s ♣r♠ètrs tsés s♦♥t

DM = 0.005sec−1 λU = 0sec−1 p3 = 0.1M.sec−1 p4 = 0.01sec−1 i0 = 7 t j0 = 6

♣r♦ tss ♥ rs♦♥ ♠é♥s♠ ♣ér♦ rértr s ♣ss

éért♦♥ t r♥tss♠♥t s sè♥t ♥t q ♦t tt♥ ♥r♦t

r ♦rrs♣♦♥♥t ♠①♠♠ ♦♥♥trt♦♥ M

és♦♥ t ♠♦tté r

♣♣rt s ♠é♥s♠s râ ①qs sss♠♥t s rs strss t s é

s♦♥s ♦s s♦♥t ♥♦r ♥♦♥♥s ♦r ♣tr ♣rr♣ é♥♠♦♥s ré♥ts

♦srt♦♥s ♦♥t ♠s ♥ é♥ ① rtérstqs ♠rs ♥s és♦♥ t ♠♦

tté r ♥ ♣rt ré♦r♥st♦♥ ②t♦sqtt ♣♥♥t ♠♦♠♥t st

sé sr ♦r♠t♦♥ ♥♦① s① t♥ ♥tr ① ♣♦♥ts ♦① é

r♥ ❬∗❪ ♥ ré♣♦♥s à s s♥① ①tr♥s tr♥s♠s ♣r s ♣r♦té♥s és à

♠♠r♥ ♣r♦té♥s t ♦ ❬❪ ♦t ♦r tt♦♥ à trrs

♥trî♥ ♥ét♦♥ ♥♦① ♠♥ts t♥ tt♦♥ ♦♠♣① r♣

♣r s ♣r♦té♥s ❲P ❬❪ tt tt♦♥ ♥s s ♠♣♦s ♦ s ♦

♣♦s ♥st ♣r♦té♥ ♦ té à rrèr ♠♥t rté

②t♦sqtt t♥ râ à ♥ ♣r♦sss ♠q ér♥t ♥s ♠ê♠ ♠♦♠♥t

♥t t rrèr s♦♥t rtérsés ♣r s étts ér♥ts rté

②t♦sqtt

tr ♣rt ❬∗❪ ♦♥t ♠♦♥tré q ♠♣♦ ♦♥♥ît s ①t♥s♦♥s t s ♥

trr♣t♦♥s ♣ér♦qs ♥ ♣ér♦ ♥r♦♥ s ♥s s s ♠♠♠èrs

♣tr ♣♣t♦♥s ♥ ♦♦ r

s ♦st♦♥s t♦♥♦♠s s♦♥t sés sr ♥ rét♦♥ ♦♠♣① ♣♦②♠érst♦♥

t♥ s ♠ê♠s trs ♦♥t é♠♦♥tré q♥ ♦♥ ♥t ♥t

rs rrèr ♦♠♣♥ séq♥ ♣ss♣r♦trs♦♥s ♠♣♦ s ♦♥s

q s♦♥t ♦♥sttés ♠♥ts t♥ és à αt♥♥ ♣♦rr♥t ♦♣r ♥t

t rrèr

♥s tt st♦♥ ♥♦tr ♦t st ♦ ♥ ♣rt r♥r ♦♠♣t s ts ♥

t♦♥sts s ♣r♦té♥s t ♦ sr ②t♦sqtt t tr ♣rt ♣r♥r ♥

♦♥sért♦♥ rô ♦é ♣r ♦♥ ♦rs é♣♠♥t s s ♦s ♣r♦♣♦s♦♥s

♥s ♥ ♣♣r♦ ♥s q sttt ②t♦sqtt r♠♦ t ♦♣

♥tr ♥t t rrèr étr♠♥♥t ♠♦♠♥t r tr

t ♦t ♥ ♣t♦♥ ♥s ♥ ♦♥ér♥ ♥tr♥t♦♥ ❬P❪

t é♥♠èr s ér♥ts s♣ts ♦♦qs ♦♥sérés t ♠♥èr ♦♥t s

s♦♥t ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ tr♠s ♠♦ést♦♥

♥s ♥♦tr ♣♣r♦ ♥ st ♠♦ésé ♦♠♠ ♥ ♦t r ♦r♠

s♣érq ♦♠♣♦sé ♣rts t tts t ♦t st ♦té ♥ strtr

♣r♦trs t rt ♥ ♣♦♣t♦♥ rs t♦♠②♦s♥ ♦♥ s rs s

♦rs s♦♥t é♥érés ♦♥t r st ♦♥t♦♥ éstté ♦t r♥r

st s♦♠s à ♥ ♠♣ ♦rs trs♥t ♣rés♥ ♥ s♦r ①tr♥ s♥

♠q ♥♦s r♥♦♥s ♦♠♣t ♠♦t① s♠♣♠♥t ♥ ts♥t ♥ ♥tr

s♦♥ ♦r ♣tr ♣rr♣ ♥♥ ♦t ♣♦ssè ♥ ♠♦♠♥t

r♦♥♥ ♦r ét♦r st é ♠♥èr à r♣rés♥tr ♥r♦♥ ♦r

♦♥trt ①ré ♣r ♥s♠ s rs

ttt ②t♦sqtt t ♦♥

♥ s♣♦s ♥ ♥s♠ ① rs XF YF t XRYR q ♦ r♥

♦♠♣t étt ②t♦sqtt t st ♦♥♥é ♣r ♥ ♦str ❱♥ r P♦ ♥

s♥ ♦♥♥és ♣réss t ♣♦r s♠♣r ♠♦è ♠té♠tq

és♦♥ t ♠♦tté r

és♦♥ t ♠♦tté r ♣♣r♦ ♣r♦♣♦sé

♣rr♣ t r ♦r♠ s♣érq ♦♠♣♦sé

♣rts t tts tr♥rs

♦r ①tr♥ s♥ ♠q ♣

rr♣

♠♣ ♦r ①tr♥ ♣♣qé sr ♦t

♠♣♦ ♣rr♣ ♥s♠ ♣rts ♦♥♥és ♦♠♠ s

♣s ♣r♦s s♦r s♥ ♦r ♣

rr♣

♠♥ts t♦♠②♦s♥ ♣rr♣

rs ts r♥t q ♣rt ♦♥st

t♥t ♠♣♦ à s ♣rts ♥② ♣

♣rt♥♥t ♣s ♦r ♣rr♣

ttt ②t♦sqtt é♣♥♥t s

♣r♦té♥s t ♦ ♣rr♣

♦strs ❱♥ r P♦ ss♦és à

♥t t à rrèr ♦t

♥ ♦♣♥t ♥t à rrèr

♣rr♣

♦♣ ♥tr s ♦strs

①t♥s♦♥s t ♥trr♣t♦♥s ♣ér♦qs

♠♣♦ ♣rr♣

r ♦str ss♦é à ♥t

♦t ♦♥trô sttt s ♣rts t ♣r

♦♥séq♥t t♦♥ s rs

és♦♥ t ♠♦tté r t ♣rés♥t s s♣ts ♦♦qs

♦rés t ♣♣r♦ ♣r♦♣♦sé

dXF

dt= θF (YF + ǫ(XF −X3

F ) + γ(XR −XF )), dYF

dt= −θF XF

dXR

dt= θR(YR + ǫ(XR −X3

R) + γ(XF −XR)), dYR

dt= −θRXR

♦ù ♣r♠ètr ǫ ♦♥trô ♠♣♦rt♥ s tr♠s ♥♦♥ ♥érs θF,R rè ♣ér♦

♣s θF,R st ♣tt ♣s ♣ér♦ st r♥ t♥s q γ ♦♣ s ① ♦strs

r♥♥t ♥s ♦♠♣t tté s ♦♥s γ > 0 rs♣ γ < 0 s ① ♦strs

♦♥t s ♠ttr ♥ ♣s rs♣ ♥ ♦♣♣♦st♦♥ ♣s r

♥s♠ rs XF YF ♣r♠t ♦♥sérr ♥♥ ♣r♦sss

st ss♦é à ♥t ♣♦r ♦♥trôr ②♥♠q ♣r♦trs♦♥ ♥t

♣tr ♣♣t♦♥s ♥ ♦♦ r

♦♣ XRYR st ttré à rrèr t ♣r♠t ♠♦ésr tté

s ♣r♦té♥s ♦ ♣s s ① ♦strs s♦♥t ♦qés ♥ ♦♣♣♦st♦♥ ♣s

γ = −1.5 ♥ r♥r ♦♠♣t s ts ♥t♦♥sts s♥st♦♥ ♦

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0 50 100 150 200 250 300 350 400

X(t

)

Temps, secondes

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150 200 250 300 350 400

X(t

)

Temps, secondes

♦strs ❱♥ r P♦ ♦♣és θ = 0.05 t ǫ = 2.0 ♥ ♣s

γ = 0.05 t ♥ ♦♣♣♦st♦♥ ♣s γ = −1.5

s②stè♠ st rtr♥srt à ♥ ♦♠♥t t rés♦ ♣r ♦

tèq s à q tért♦♥ ♥ ♦♥sèr q ♦t st ♥ ♥trt♦♥

s②stè♠ t ♣♦r q r ♦♣ XF YF rs♣ XRYR st

ss♦é à q ♣rt PF rs♣ PR ♣♣rt♥♥t à strtr ♣r♦trs rs♣ ♥②

♣♣rt♥♥t ♣s

②♥♠q r

♥s ♥♦tr ♣♣r♦ ♦♥trô ②♥♠q ♣s♣r♦trs♦♥ r♣♦s sr ♥

♣r♠ètr τ r♥r ♣r♠t étr♠♥r sttt s ♣rts q r

♠♥èr s♥t à q ♣s t♠♣s s XF (t) > τ rs♣ XR(t) > τ ♣rt

PF rs♣ PR st ①é ♥ é♣♠♥t ♥st ♣♦ss à ♠tr ①trr ♥

r♥ s XF (t) < τ rs♣ XR(t) < τ ♦♥tr♥t st é ♥ PF rs♣

PR s ♦rs éstqs ♣♥t ♦rs s①rr ♥♦

éstts

♦tr ♣♣r♦ é♣♥ ss rtrrs ♥ s♥ ♦♥♥és ♣réss ♥

♥②s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦t été résé à ♣rtr ♣srs ①

és♦♥ t ♠♦tté r

♣r♠ètrs ♣♦r étr♠♥r s rs s ♣s ♣rt♥♥ts

Pr♠èr ①♣ér♥ s♦r s♥ ①

♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♥♦s ♦♥s tsté ♦♠♣♦rt♠♥t ♦t ♥ ré♣♦♥s

à ♥ s♦r ① ♥ s♥ ♠q ♥t t rrèr ♦t tr♥♥t s

♣ss ♣r♦trs♦♥ t ♥trr♣t♦♥ ǫ = 2.0 t θ = 0.05 ♦rsq s ♣rts

strtr ♣r♦trs s♦♥t ttés à ♠tr ①trr XF (t) > τ rrèr

♦t st r s é♣r XR(t) < τ t s ♦rs ♦♥trts é♥érés ♣r s

rs ♣♦ss♥t rs ♥t P♥♥t tt ♣s t♥s q ♦t ♣r♦rss

é♥r éstq st ♠♠s♥é ❯♥ ♠♣ér♦ ♣s tr s ♣rts ♥t

s♦♥t rs XF (t) < τ ♦rs q rrèr ♦t ♣rés♥t s ♣♦♥ts ①s XR(t) > τ

é♥r éstq ♣r♠t ♦rs ét♥r strtr ♣r♦trs rs s♦r s♥

♣r♥♣ st stré à r t s é♦r♠t♦♥s rést♥ts s♦♥t ♠♦♥trés à

r

Avant AvantArrière Arrière

Temps t

XR(t)< et X

F(t)> X

R(t)> et X

F(t)<

PR

PF

PF

PR

r♣rés♥tt♦♥ sé♠tq ②♥♠q ♥ ♦t ♥ ♥♦r

r♣rés♥t ♥ r r♥t ① ♣rts s②♠♦sés ♣r s r♦♥s ♥♦rs s rs

XF t XR s♦♥t ss♦és à ① ♦strs ❱♥ r P♦ ♦♣és t ♦qés ♥ ♦♣♣♦st♦♥

♣s γ = −1.5 ♦rsq ♣rt PF strtr ♣r♦trs st tté à

♠tr ①trr XF (t) > τ rrèr ♦t st r s é♣r XR(t) < τ

♥ r♥ ♦rsq ♣rt ♥t st r XF (t) < τ rrèr ♦t ♣rés♥t

♦rs ♥ ♣♦♥t ① XR(t) > τ

♣tr ♣♣t♦♥s ♥ ♦♦ r

tr♦s ♦♥rt♦♥s t②♣qs ♦t♥s ♦rs s s♠t♦♥s ♦t

à étt ♥t à ♦t ét♥ ♥tr ♥t t rrèr ♠ t rétrt♦♥

rrèr ♥ rt♦♥ strtr ♣r♦trs à r♦t rr ♥♦r st ♦♥♥é

♦♠♠ r♣èr ♣♦r ssr é♣♠♥t ♦t

♣ér♦ t♦t st ♥r♦♥ s ♥ r ♥ ♦r s ①♣ér♥s ♠♥és

sr s r♦sts ❬∗❪ Psq s ♦strs ♣♦ssè♥t s ♠ê♠s rtérs

tqs ♣ér♦ t ♠♣t ♦t s é♣ réèr♠♥t t ♥t ♣r tt♥r

s♦r s♥ r

−2

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25 30 35

Y(t

)

X(t)

Source du signal

é♣♠♥t ♦t rs ♥ s♦r ① s♥ ♠q

♠♦♠♥t st ♣rtré ♣r ♥ q♥tté rt

r ♠♦♥tr é♦t♦♥ ♥t t rrèr ♦t ♦rs

t♠♣s tss ♠♦②♥♥ rst ♦♥st♥t ♠s ♥t t rrèr ♣rés♥t♥t s ②s

ré♣étés tss ♥♥♦♥♥ ♥ r♠rq é♠♥t q ♦♥r ♦t r

és♦♥ t ♠♦tté r

♥ ♦r s♦♥ é♣♠♥t ♣st

−5

0

5

10

15

20

0 200 400 600 800 1000

X(t

)

Temps, secondes

avantarrière

♣♦st♦♥ ♥t t rrèr ♦t ♦rs t♠♣s

①è♠ ①♣ér♥ s♦r s♥ ♥ ♠♦♠♥t

♥s ♥ ①è♠ t♠♣s ♥♦s ♦♥s été ♦♠♣♦rt♠♥t ♦t ♥ ré

♣♦♥s à ♥ s♦r ♥ s♥ ♠q ♥ ♠♦♠♥t ♥ ♣s s ♦ts ss♥♦♠♠és

♦♥ ésr r♥r ♦♠♣t ré♦r♥st♦♥ ②♥♠q ♣♦♣t♦♥ rs

é♣♠♥t s♥ st ♣♥r ♦♠♣rs ♥s ♣♥ XY st ♦♥♥é ♣r s

s♦t♦♥s s②stè♠ ér♥t s♥t

dXdt

= Y

dYdt

= −w2X

X(0) = R, Y (0) = 0

♦ù ♣r♠ètr w ♦♥trô tss é♣♠♥t t R r♣rés♥t st♥ sé

♣r♥t ♦t s♥

s②stè♠ st ért ♥s ♥ ♦♠♥t ♥ ♣s éé♠♥t ♦②st♠ ♣♣rît

éé♠♥t ♦♦♦ q ♣r♠t ttrr ① ♦♦r♦♥♥és x t y s

rs s rs X t Y rs♣t♠♥t ♦♠♠ ♣réé♠♠♥t s ♦strs s♦♥t

♦qés ♥ ♦♣♣♦st♦♥ ♣s t ♣♦ssè♥t ♠ê♠ ♠♣t t ♠ê♠ ♣ér♦

s réstts ♦t♥s ♠♦♥tr♥t q ♦t s é♣ s♦♥ ♥ sss♦♥ é♣

s♦s ①t♦♥ét♠♥t ♥ s♥t ♣r♦rss♦♥ s♦r s♥ r

♣tr ♣♣t♦♥s ♥ ♦♦ r

♦rs s♦♥ é♣♠♥t ♦t s ré♦r♥t ♦♥st♠♠♥t râ à

ré♦r♥st♦♥ ②♥♠q ss rs t rst ♣♦rsé

−2

0

2

4

6

8

10

12

−5 0 5 10 15 20 25 30 35

Y(t

)

X(t)

1

1

2

2

3

3

4

4

cellulesignal chimique

é♣♠♥t ♦t ♥ ré♣♦♥s à ♥ s♦r s♥ ♠q

♥ ♠♦♠♥t w = 10−3 t R = 30 ♥s ♣♥ XY ♣♦st♦♥ rs♣t ♦t

t s♥ st stré à qtr ♠♦♠♥ts s♠t♦♥ t = 0s t = 800s

t = 1200s t t = 1600s

♥trt♦♥s ♦♥tt

tt st♦♥ st ♦♥sré à s♠t♦♥ ♦♥tts ♥tr s ♠ét♦

été ♣tr ♣rr♣ ♥♦s ♣r♠t érr s ①♣ér♥s résés

♦rs tt tès ♣♦r rtr♥srr ♣r♦sss rét♦♥ ♥ ♣♦♣t♦♥

s ♥t ♣rr♣ ♠t ♥ é♥ tr r st à ♦r♠t♦♥

♥ rét ♣r ♣t♦t①

rét♦♥ s

s strtrs rt♠♥t s♠♣s rét ♠s t②♦st♠ s♦♠

r♣rés♥t ♥ ♠♦è é ♣♦r étr ss ♥ ①♣ér♠♥t♠♥t q té♦r

q♠♥t ♥♦♠r① ♣r♦sss ♦♠♠ ♠♦r♣♦é♥ès s ♠t♣ à étt ♥

r ♥s s ♦♥t♦♥s ♥trt♦♥♥s ♦rs ♠s ♥s s ♦♥t♦♥s r♥

♠♥tr s s s♥♥t ♥s ♥ ② ér♥t♦♥ t ♠♦r♣♦♥ès

♥trt♦♥s ♦♥tt

♦♠♣♦rt ♦r ♥ ♣s rét♦♥ ré ♣r s r♥ts P

♦rs q ♣ss étt ♥r à étt ♣rr P q

♦ rô ♠♦ttrtr ♣r♦♥t ♦rs ♥ r♦♣ ♦ ♥ ♥tr ♦r

♣tr ♣rr♣

♥♦tr ♠ét♦ ♠♦ést♦♥ ♦♥ s♥térss à tt ♣s rét♦♥

t ♥♦t♠♠♥t ① ♥trt♦♥s ♥tr s ♦s s♣♦s♦♥s ♥s ♥ ♣♦♣t♦♥

s ♦♠♣rss ♥s ♥ ♣♥ ♥♥ r♣rés♥t♥t sstrt ♦s ♥♥ ♥

s♦r s♥ ♥tr s s ♦♥t s é♣r t ♦r♠r ♣tt à ♣tt ♥ rét

sr♣t♦♥

s s s♦♥t ♠♦ésés ♣r s ♦ts rs ♦♠♣♦sés ♣rts t

tts q ♦t ♣♦ssè ♥ ♠♦♠♥t r♦♥♥ t ér ♦♥tr♥t

♣résrt♦♥ ♦♠ ♣s ♥ ♠♣ ♦r ①tr♥ st ♣♣qé sr s ♦ts

♣♦r r♥r ♦♠♣t r♥t P s♦♥ ♥st ♣s ♠♦ésé à

éqt♦♥s ♠s s♠♣♠♥t ♥ ts♥t ♥ s♦r s♥ sté ♥tr sè♥

♦r ♣tr ♣rr♣

éstts

❯♥ strt♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦ts rs st ♦♥♥é à r à

trrs qtr ét♣s ♣r♦sss rét♦♥ ét s♠t♦♥ s ♦ts s

r♥t ét♦r♠♥t ♥s rt♦♥ s♦r s♥ Ps ♦rs r é

♣♠♥t s ♥tr♥t ♥ ♦♥tt t ♥ss♥t ♣r ♦r♠r ♥ rét ♥q ♥tr

sè♥ ♣♦r♥t ♣rts ♥ ♦♥tt ♣r r♣♣♦rt ♥♦♠r t♦t ♣rts

st ♣résé ♣♦r q ét♣ r r♥èr ♠ ♥ tr♥s♣r♥ ♣r♠t

♣♣rér rés♦t♦♥ s ♦♥tts ♥② ♣s ♥trst♦♥s t ♥ s♣

♥st ♣rés♥t s♥ rét

s♦♥ t tr r

♥s ♣rr♣ ♥♦s ♣rés♥t♦♥s s tr① résés s♥t à ♦♠♥r s♥

♥ ♠ê♠ ①♣ér♥ ♦r♠s♠ ér♥t t st♦♥ s ♦s♦♥s Ps ♣ré

♣tr ♣♣t♦♥s ♥ ♦♦ r

rét♦♥ s s♣èrs é♦r♠s ♥♦♠♣rsss s é♣♥t

rs s♦r ♥ s♥ ♠q ♣♦r♥t ♣rts ♥ ♦♥tt ♣r r♣♣♦rt

♥♦♠r t♦t ♣rts st ♣résé ♥s ♣rt ♥érr q ♠

t ♥ s t à r♦t t = 0s t = 100s t = 200s t t = 400s r♥èr

♠ ♥ tr♥s♣r♥ str té rés♦t♦♥ s ♦♥tts

sé♠♥t ♦♥ s ♣r♦♣♦s s♠r ♣r♦sss ♣t♦t① t♦t ♥ t♥♥t ♦♠♣t s

♥trt♦♥s ♥tr s ré♥ts tr① ♦♥t ♠♦♥tré ♠♣♦rt♥ s ♥trt♦♥s

♥s ♣r♦sss ♦r♠t♦♥ rét t tr r ❬❱❲❪ ♥

ésr é♠♥t ♠♦♥trr q ♥♦tr ♣♣r♦ ♣r♠t r♥r ♦♠♣t ♣é♥♦♠è♥

♥ ♦♥sér♥t ① t②♣s s q ♣♥t êtr ♦♥sérés ♦♠♠ s s

♣rst t ♣rs♣♦r ♣rés♥ts ♥s r t②♦st♠

♥trt♦♥s ♦♥tt

sr♣t♦♥

sstrt st r♣rés♥té ♣r ♥ ♦t r♣rés♥t♥t ♥ r réèr 10×10

♥ s♣♦s é♠♥t s① s ♠♦ésés ♦♠♠ s ♦ts rs ♦♠♣♦sés

♣rts t tts s ♦ts ♣♦ssè♥t ♥ ♠♦♠♥t r♦♥♥ t ér♥t

♦♥tr♥t ♣résrt♦♥ ♦♠ ♥ ① st qé ♣♠r tr♠♥t

t s é♣ s♦♥ r♥t U t♦t ♥ é♣♦s♥t ♥ ♠♦é M ♦♥t s♦♥

ttr s ♥q trs ♦ts ♥ ♥tr♦t ♥ st♥t♦♥ s ♦ts s♦♥t ré♣rts

éqt♠♥t s♦♥ ① t②♣s A t B q èr♥t ♥s r ♣té à ré♣♦♥r ①

♦♥tts P♦r ♦♥ ts ér♥ts rs κadh s♦♥ t②♣ ♥trt♦♥ ♥s

s ♦s♦♥s AA ♦♥♥♥t à s ♦♥tts très éss κadh éé t♥s q s

♦s♦♥s AB ♦♥t ♣ t κadh ♥t rst ①♣ér♥ r♣r♥ ♥

t♦t ♣♦♥t s tr① ♣rés♥tés ♣rr♣ ♥ ♣t ♥♦t♠♠♥t r♣♣r q

s♦♥ st rtr♥srt ♠♦②♥ ♥ s②stè♠ ér♥t t q ♣ér♦ rértr

♥s é♣♠♥t s s st ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥s q és♥sst♦♥ s

ré♣trs

P♦r tt ①♣ér♥ s ♦♠♥ts tsés s♦♥t s ♠ê♠s q ① é♥s

♣rr♣ à ér♥ ♣rès q ♥♦♠r éqt♦♥s st ♣s ♠♣♦rt♥t ♣sq

s s s♦♥t ♠♦ésés ♣r s ♦ts ♣s ♦♠♣①s

éstts

♥s r ♥q ét♣s s ♣r♦sss rét♦♥ s♦♥t ♣rés♥tés s♦♥

① s sss à t ♣r♦ à r♦t

t = 0s. ét s♠t♦♥ ♦t ♣♠r s st ♥s ♦♥ s♣érr

r♦t sstrt

t = 60s. ♦♠♠♥ à s rr rs ♠①♠♠ ♦♥♥trt♦♥ U ♣é

♥tr r t♦t ♥ é♣♦s♥t ♥ ♠♦é M s♦♥ M ssé

♣r é♣♠♥t rt ♦tsstrt st ♦rs ♦r ♣rç ♣r ♦t

♣s ♣r♦ q s é♣ t ♥t ♣r rér ♥ stt♦♥ ♦s♦♥ s ♦ts

ét♥t t②♣ ér♥t s s♦♥t ♦♥ ♣ éss t ss♥t ♥ sr tr

t = 250s. ♣rès ♦♥tt ss♥t ♦t ♣♠r ♦♥t♥ s♦♥ é♣♠♥t

rs ♥tr r s trs ♦ts s é♣♥t ♦rs s♦s t

♣tr ♣♣t♦♥s ♥ ♦♦ r

s♦♥ ♠♦é M ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦r♠ ♦♦♥ ♥ rs♦♥ ér♥

r♥t ♣rç ♥tr r♦♥t ♥t t rrèr

t = 1000s. ❯♥ rét s ♦r♠ ♥tr r s♥ q s ♦s♦♥s

♦♥t

t = 1500s. Ps ♥ rs♦♥ éèrs tt♦♥s ♥s ♠♦♠♥t s ♦ts

t s ér♥s ér♥ ♥ tr ♣r♥ ♦r♠ rét ♥♠♥t ♦♥stté

ss ♣♣rîtr ① ♠s ♥ ① ♦♠♣r♥♥t ♥ s ① t②♣s ♦ts

s♥s ♠é♥

s réstts ♠♦♥tr♥t q♥ ♦♠♥♥t ♦r♠s♠ ér♥t ♣♦r r♥r ♦♠♣t

♠♦t① t ♣t♦t① t st♦♥ s ♦♥tts ♣♦r ♣r♥r ♥ ♦♥s

ért♦♥ s ♥trt♦♥s ♥tr ♣srs t②♣s s t s ér♥ts ♦♥tts q ♥

rést♥t ss♥t ♦ ♦♥t st ♣r♠s s♠r ♣r♦sss rét♦♥ t

r ♣♣rîtr ♥ tr r

♦♥s♦♥

♣tr s t ♥ ♣rés♥tt♦♥ s ér♥ts s♠t♦♥s résés ♦rs

tt tès ♦s ♥♦s s♦♠♠s ♥térssés ① ♣r♦sss rét♦♥s♦♥ t ♣s

♣rtèr♠♥t à ♠♦t① t à ♣t♦t① ① ♣r♦sss ss♥ts ♥ ♦♦

r ♦s ♦♥s t♦t ♦r s♠é trt♦r ♥ s♦s t ♥

s♥ q s ♣s ♥ ♣♦♥t s♣ ♥st ♥♦s ♦♥s ♦♥séré ♥ s②stè♠

♣s ♦♠♣① ① t②♣s s ♣r♠r t②♣ s é♣ s♦♥ r♥t

U t♦t ♥ ♣r♦s♥t ♥ ♠♦é M q ♣♦rrt ♣r ①♠♣ ♦r rô

r♦♥t♥ ♦ ♠ ♦rs ♠rt♦♥ s r♦sts ♦ ô♥ ①♦♥

①è♠ t②♣ st q♥t à s♥s r♥t M tr ♣r♦♣♦sé

♥tèr ér♥ts ♥① ♦♠♣①té à ér♥ts és

♥ ♦♥sér♥t s s♥① ♠♣qés ♥s s é♣♠♥ts

♥ ♠♦és♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ s s é♣♠♥t rrêt t ♥

♠♥t rt♦♥

♥ t♥♥t ♦♠♣t strtrs ♥s ♥ ♥ s

♦♥s♦♥

♦s ♦♥s ♥st s♠é é♦r♠t♦♥ ♥ ♣♥♥t s♦♥ ♠♦♠♥t ♥

t♥♥t ♦♠♣t s ②♥♠q ♥tr♥ ♦tr ♣♣r♦ st sé sr s ♦srt♦♥s

♠♦♥tr♥t q rrèr t ♥t é♥♥t s s♥① ♠♥èr ♣ér♦q

s s♠t♦♥s ♠♦♥tr♥t q♥ ②♥♠q s♠♣ sé sr ♦♣ ♦strs

❱♥ r P♦ à ♦♠♣r♥r s ♥trt♦♥s ♥tr s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs s

strtrs rs ♠♠r♥ s① t♦♠②♦s♥ és♦♥ ♦ t t

t♦♥éstt♦♥ s ss ♣r♦té♥s é♣♥♥ts ♦ t ♦tr ♣♣r♦

st s♠♣♠♥t qtt ♠s ♣r♠t ♥r ér♥ts ♣r♦sss tt♦♥

♠♦ér ① é♦r♠t♦♥s ②t♦sqtt rs♣♦♥ss ♥s♠ ♥ é♣♠♥t

♦ér♥t s s ♥s s♣

♥♠♥t s stt♦♥s ♦♥tt ♥tr s tr♠♥♥t ♣tr ♦s ♦♥s

t♦t ♦r s♠é ♣r♦sss rét♦♥ s ♥ ré♣♦♥s à ♥ ♥tr

s♦♥ ♦s ♦♥s ♥st tsé s s②stè♠s ér♥ts ♣♦r s♠r ♠rt♦♥

r ♥t ♣r ♥ r♥t tr ♠♦ttrt♥t ♠♦t① ♠s é

♠♥t ♣r s ♥trt♦♥s sstrt ♣t♦t① ♣s ♥ tr♥t ♣r♦t

♣r♠ètr κadh ♥♦s ♦♥s st♥é ① t②♣s s q s ♦♠♣♦rt♥t ér

♠♥t ♦rs s ♦♥tts ♥ s réstts ♦t♥s ♠♦♥tr♥t ♦r♠t♦♥ ♥ rét

t ss♥t ♣♣rîtr ♥ tr r

♣tr ♣♣t♦♥s ♥ ♦♦ r

t = 0s

t = 60s

t = 250s

t = 1000s

t = 1500s

s♠t♦♥ rét♦♥ t tr s s ♦ts s s é♣♥t

♣r ♣t♦t① t ♥ss♥t ♣r ♦r♠r ♥ rét ① t②♣s ♦ts A ♥ r♦ t B

♥ s♦♥t ♦♥sérés s ♦s♦♥s AA ♦♥♥♥t à s ♦♥tts très éss

t♥s q s ♦s♦♥s AB ♦♥t ♣ t tt st♥t♦♥ t ♠♦♠♥t

r♦♥♥ s ♦ts é♠r♥t ♥♠♥t ① ♠s s♥ rét

♦♥s♦♥ é♥ér

tr ♣rés♥té ♦rs tt tès st sé sr ♥ é♠r ♦r♥ t

s st à ♥tr ♥tr ♣srs s♣♥s ♦♥t s ♣r♥♣s s♦♥t ♦♦ t

♥♦r♠tq s ♠♦♠♥ts t s é♦r♠t♦♥s rs s♦♥t ss♥ts ♣♦r

♥♦♠r① ♣r♦sss ♦♦qs t ♠é① ts q s♦♥ t ♠rt♦♥ r

é♦♣♣♠♥t ♠r②♦♥♥r ♦ ♥ ♥♦r r♦ss♥ t♠rs ♥érss

st ♥s q ♦rs s r♥èrs ♥♥és ♥♦♠r① tr① ♦♥t ♣♦rté sr st

Pr♠ s ♣♣r♦s trt♥t ré♣♦♥s ♠é♥q r ♦♥ st♥ s ♠♦ès

♦♥t♥s s ♠♦ès srts s ♣r♠rs ♦♥♥♥t ♦♥s réstts ♥♦t♠♠♥t ♥

tr♠s ♠srs s ♣r♦♣rétés ré♦♦qs s s ♣♥♥t ②t♦♣s♠

st trté ♦♠♠ ♥ ♠ ♦♠♦è♥ t ♦♥séré ♣♦♥t ss ♣r♦♣rétés

♣sss ♥t ① ♠♦ès srts ♣r r ♥tr s ♣r♥♥♥t ♥ ♦♥sért♦♥

étér♦é♥été r é♥♠♦♥s s ♥ ♦♥trô♥t é♥ér♠♥t ♣s ②♥♠q

♥tr♥ t s♦♥t ♣♦r ♣♣rt sttqs ♥ s ① t②♣s ♣♣r♦

♦♥t ♥ ♦♠♠♥ ♥♦rr rô s ♣r♦sss ♠qs sr ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q

s s

♠♦tté r t é♠♥t ♦t ♥♦♠r① tr① q s st♥♥t ♣r

r ♥tr ♥térêt tr t ♠♦♠♥t ♦t s ♥ ♣rt t tr

♣rt é♣♠♥t ♥ s réstts ♦t♥s ♣r s ♣♣r♦s ♣r♦♣♦sés s♦♥t

♦rr♦♦rés ♣r s ♦♥♥és ①♣ér♠♥ts ♣♥♥t ♥s ♣♣rt s ♠♦ès

rt♦♥ ♥tr s ♥① ♠♦érs t rs st ♣ é♥t t s ♣r♦é♠tqs

trtés s♦♥t é♣♥♥ts ♥ é ♦♥♥é

♦♥s♦♥ é♥ér

♦♥trt♦♥s

tr tès ♦♥stt ♥ ♣r♠èr ét♣ rs é♦rt♦♥ ♥ s♠tr

r st♥é ① ♦♦sts ésr♥t tstrr s ♦♥♥és ①♣ér♠♥ts ♦ ♣ré

r é♠r♥ ♦♠♣♦rt♠♥ts ♦s ♦♥s ♥s ♦♥séré s ♠é♥s♠s ♣②sqs

rs ♦♠♠ éstté ♦ s rét♦♥s ♠qs à ér♥ts és

t♠♣s t ♦♥r ♦tr ♣♣r♦ ♠♦ést♦♥ s t ②♥♠q t ♠♥♣ s

♦ts ♣②sqs srts ♥ tr♦s ♠♥s♦♥s ♠♦è tsé ♥t♠♥t é♦♣♣é

♣♦r s♠r s ♠♦♠♥ts rs♣rt♦rs ♣s ét♥ à ♦♦ r r♣♦s

sr ♥ ♣♣r♦ ♦r♥té ♦t t sr s ♦s ♠é♥q ♦s ♦♥s ♠♥té

ss ♦♥t♦♥♥tés ♠♥èr à ♣r♥r ♥ ♦♠♣t ♠ét♦s♠ r ❯♥ ♥♦

t②♣ ♦t ♥s été ♠♣é♠♥té ♦t r tt ♠♥èr ♥

♦♥stt ♥ ♥tté ♥ é♥ ♥s ♥♦tr ♣♣r♦ t s st♥ ♣r ss ér♥ts

♣r♦♣rétés ♦s ♦♥s é♠♥t ♦♠♥é ♠♦è ♥ ♦tèq s

rés♦♥t s s②stè♠s éqt♦♥s ér♥ts ♦r♥rs Ps ♣résé♠♥t

②♥♠q ♥ ♦t st ♦♣é à rés♦t♦♥ ♥ s②stè♠ ér♥t r♥♥t

♦♠♣t ♠é♥s♠s ♠qs étrqs ♦ ♠é♥qs ②♥t ♥s ♥ ré♦♥

s♣ ♣s s♠t♦♥ s éqt♦♥s st s②♥r♦♥sé à ♦t q

♣r♠t r♥r ♦♠♣t s ♥trt♦♥s ♥tr s ♣r♦sss ♣②s♦♠qs érés

♣r ♦t t ②♥♠q ss é♣♠♥ts ❯♥ ♥ été s♣é♠♥t é♥

♣♦r ♣r♠ttr ♦♣ ♦r♠s♠ ♣r♦♣♦sé r♣♦s sr ♥ ♥ ❳ t ♦♥♥

à s ♦♠♥ts s②♥t①q♠♥t s♠♣s t ♠♥t ①t♥ss ♦tèq

♦rrs♣♦♥♥t été ♣r♦r♠♠é ♥ t ♣r♠t à ♦tèq s t

♠♦è ♦♠♠♥qr

♦s ♦♥s ♣r rs é♦♣♣é ♥ ♠ét♦ ♦r♥ ♣♦r ♣♣♦rtr ♥ s♦t♦♥

à ♦s♦♥ ♥tr ♦ts é♦r♠s ♦tr tr r♣rés♥t ♥ tr♥t ① é

r♥ts ♣♣r♦s ♦r♠♠♥t tsés rss♦rts ♦♥tr♥ts ♦ ♠♣s♦♥s é ♠s

♥ ♦r ♦♥sst à ♥tr s ♣rts ♥ ♦♥tt ♣s à s ♦♥r s ♣rts

♦♥s s♦♥t ♦rs rr♦♣és s♥ ♥ ♦t r ♣♣é és rt ♦♥t ②

♥♠q st étr♠♥é à ♣rtr s ♦rs s①rç♥t ♣rt t tr ♦s♦♥

t ♦t ♣r♠t r t♠♣♦rr♠♥t s ♦r♣s ♥ ♦♥tt t r♥ t♦t ♥tr♣é♥étr

t♦♥ ♠♣♦ss ér♥ts t②♣s ♦♥tt ♣♥t êtr s♠és ss♥t ♦♥t ♥s

♦♥s♦♥ é♥ér

q ♣srs étts ér♥ts ♥ ♠ét♦ ♣rés♥té ♠ért êtr s♠♣

♣r♠ètr κadh ♣r♠t t♦t ♦♥trôr t ♥ ♥ésst ♣s tst♦♥ ♦rs

s♣♣é♠♥trs

♦s ♦♥s stré ♥♦tr ♣♣r♦ à trrs ér♥ts ♣♣t♦♥s ♥s ♥ ♣r♠r

t♠♣s ♥♦s ♥♦s s♦♠♠s ♥térssés ① ♣r♦sss ♠♦t① t ♣t♦t① ♥

♦♥sér♥t s s♥① q ♣r♠tt♥t é♣♠♥t ♥ ♠♦és♥t ♦♠♣♦rt♠♥t

♦ s s t ♥ t♥♥t ♦♠♣t strtrs ♥s ♥ ♥ s

♥s ♥ ①è♠ t♠♣s ♥♦s ♦♥s s♠é é♦r♠t♦♥ r ♦rs ♠♦♠♥t

♥ ♥♦s ♦s♥t sr ②♥♠q ♥tr♥ ♦s ♦♥s ♠♦♥tré q ♥♦tr

♣♣r♦ ♣r♠t r♥r ♦♠♣t s ♥trt♦♥s ♥tr s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs s

strtrs rs t s ss s♥st♦♥ é♣♥♥ts s ♣r♦té♥s ♦ t

♥♠♥t s ①♣ér♥s ♦♥t été résés sr s s ♥trt♦♥s ♦♥tt

♥tr s ♥ ♣rtr ♣r♦sss rét♦♥ t tr r ♦♥t été s♠és

Prs♣ts

♥♦♠rss ♣rs♣ts ♣♥t êtr ♥sés ♣♦r tr srt ♥♦t♠

♠♥t ♥éssr r ♣s ♥t ♥s ♠♦ést♦♥ s ♠é♥s♠s râ ①qs

s é♣ ♥ ♦ ♥ ♣rtr ♦♥ ♣♦rrt étr ♠rt♦♥ r ♥s

s ♥r♦♥♥♠♥ts srt ♦rs ♣r ①♠♣ t♥r ♦♠♣t s rs

♠tr ①trr ♥s q s s♦sté t s rté

♦♥r♥♥t ♠♦ést♦♥ ②♥♠q ♥tr♥ s s ① ①t♥s♦♥s

s♠♥t é♥ts ♦t ♦r ♣r♥r ♥ ♦♥sért♦♥ ♣r♦sss ♣♦②♠érs

t♦♥é♣♦②♠érst♦♥ t♥ ♥ tr♥t ♣r♦t ♥ sr♣t♦♥ ♦♠q ♥ ♦t

❬r❪ ♥st s♠r ♣s ♣résé♠♥t s rs t♦♠②♦s♥ ❯♥ t

é♠r ♦♥sstrt à t♥r ♦♠♣t ②♥♠q ♠②♦s♥ ♥stés é♦tés

♥s é♥ért♦♥ ♦rs ♦♥trts sr s ♦♠♥ts ♥ ♣♦rrt

é♠♥t ♥sr ♠♦ésr s trs ♦♠♣♦s♥ts ②t♦sqtt q s♦♥t s

♠r♦ts t s ♠♥ts ♥tr♠érs ♥ ♠♣é♠♥t♥t ér♥ts t②♣s rs

① ♣r♦♣rétés st♥ts

♦♥s♦♥ é♥ér

♠ét♦ ♣r♦♣♦sé ♣♦r érr s ♦♥tts st ♥ s ♣r♦♣rétés ♣r♥♣s

♥♦tr s♠tr r ♥ s♥s q ♣r♠t ♦♥sérr s ♥trt♦♥s q ♦♥t

s♥ ♥ tss ♦ ♥tr ♥ t ♠tr ①trr ♥ ♣t é

♠♥t ♣♥sr q ♣rés♥t ♥ ♥térêt ♣rtr ♣♦r s s♠trs ♠é① ♣♦r

sqs ♠♦ést♦♥ s ♦♥tts ♦♥ts ♥tr ♦r♥s ♣t rêtr ♥ rt♥ ♠

♣♦rt♥ é♥♠♦♥s ♣srs ♠é♦rt♦♥s ♣♥t êtr ♥sés ♥ ♣r♠r

srt ♥éssr ♠♦r ♦rt♠ étt♦♥ ♥ t ♥ét♥t ♣s ♦t

♥♦tr tr été éré s♠♣♠♥t s♥s ♦♦♥té ♣rtèr té ♥♦♠rss

♠é♦rt♦♥s ♣♥t ♥s êtr ♣♣♦rtés ♥♦t♠♠♥t ♥ tr♠s éért♦♥ ts

q tst♦♥ ♥ ♣♣r♦ érrq ♣r ①♠♣ ❬❪ t♦ ♥ é♦♣

s♣ ♣r ①♠♣ ❬∗❪ ❯♥ ♣r♦è♠ ♥ér♥t à ♥♦tr ♠ét♦ ♦♥r♥

♣r♦t♦♥ ♣rts sr ♥ tr♥ ♦rs étt♦♥ s ♥tr♣é♥étrt♦♥s ♥ t

♥ t ♣r♦éé ♥ ré♣♦♥ ♣s ♣r♥♣ t♦♥rét♦♥ ♣sq srt ♥éssr ♣

♣qr s ♦rs sr s s♦♠♠ts tr♥ t s é♣r ♥ ♦♥séq♥ ♦t♦♥s

t♦t♦s q♥ t stt♦♥ ♥♣♣rît q♦s♦♥♥♠♥t ♥ ♣rt ♥ rs♦♥

ét♣ étt♦♥ ♣r♦①♠té t tr ♣rt t tst♦♥ ♣s t♠♣s

♣tts ♦t♦s ♣r♦è♠ rt êtr rés♦ ♥ ts♥t ♠ét♦ ♣♠♥♥

t s♥r ❬❪ ♣♦r r sr ♦♥tt trs ♣rs♣ts tr

♣♥t êtr é♠♥t éés é♥érsr ♥♦tr ♠ét♦ ♣♦r ♣♣qr à ♥♠♣♦rt

q ♦r♠ ♦t t érr s t♦♦s♦♥s

♦♥ s ♣ à ♣s ♦♥ tr♠ ♦♥ ♣t ♠♥r ♥térr ♥ tr ♦tèq

s q ♠ttrt ♥ ♦r ♠ét♦ s éé♠♥ts ♥s ♥ ♣t é♠♥t ♥sr

s♣♦sr ♥ s ♦tèq q r♥rt ♦♠♣t à ♦s s s ér♥ts

♠ét♦s ♥♠érqs t s s♣ts èr ♥ér

tr ♣rt srt ♥éssr étr s rt♦♥s ①♣ts ♥tr s ér♥ts ♣

r♠ètrs ♠♦è ♥ r♣r♥♥t ♣r ①♠♣ s ①♣ér♠♥tt♦♥s ♣rés♥tés à ♥

♣tr Pr rs s ① r♥èrs ♥♥és ♥♦♠rss ♣♣r♦s ♦♥t été

é♦♣♣és ♣♦r q♥tr s ♣r♦♣rétés ré♦♦qs ér♥ts t②♣s rs s

♣♣r♦s ♦♥t s t♥qs ssqs s♣rt♦♥ s ♣r ♠r♦♣♣tt sqà

s t♥qs ①♣ér♠♥ts ♣s ré♥ts ♦♠♠ s ♣♥s ♦♣tqs s ♠r♦♣qs

♦♥s♦♥ é♥ér

♦ ♥ ♥♦r ♠r♦s♦♣ ♣r ♦r t♦♠q ♥s ♦♥t①t tsr s tr①

résés ♦rs tt tès ♣♦r ♥tr♣rétr s ♥♦♠rss ♦♥♥és sss s

♣♣r♦s ♦♥stt ♥ ♣rs♣t ♣rtèr♠♥t ♥térss♥t

♠s ♣♦♥t ♥♦tr s♠tr r ♦♠♥♥t r♣rés♥tt♦♥ ♣é♥♦

♠è♥s ♦♠♣①s à ♦r♠s♠ ér♥t t ♠♦ést♦♥ ♦ts s♣

♣r ♥ ♠♦è ♣②sq ♦r ♥♦♠rss ♣rs♣ts ♣♦r s♠r ♦♠♣①té s

♣r♦sss érés ♣r ♥ ♦ ♥ tss srt ♥térss♥t ①♣♦tr s ♣♦ss

tés ♥ trt♥t ♣r♦è♠s s ts q s ♠♦t♦♥s s ♥r♦♥s ♦rs

é♦♣♣♠♥t ♦ù st ♥éssr t♥r ♦♠♣t s rttrs t r é♦r

♠t♦♥ rés① ♠ét♦qs ♦♠♣rt♠♥ts srs t ❯♥ tr ①♠♣

♣♣t♦♥ ♦♥sstrt à étr s ♥s ♥tr ♦♥trô s♦♥ r ♣r

♥ rés ♠ét♦q t s ♦♥tr♥ts ♠é♥qs ♥ts ♣r s s♦♥s à é

♥ tss

♦♥s♦♥ é♥ér

tr ♦♥♥é ① ♣t♦♥s s♥ts ♥s s ♦♥ér♥s ♥tr♥t♦♥s

rr Pr♦♠②♦♥ rt P②s②s ♦ ♦r Pst

t② ♥ ♦tt② ♥ ♦r♥és rts ♦♦ ♥♦r♠tq té♠tqs

♣♦str

rr rt Pr♦♠②♦♥ ❱rt s ❲② t♦ ♥ t②

♦s♦♥s ♥ r ♥ ♦♦ ♠t♦rs ♥ t ❲♦rs♦♣ ♥ ❱rt

t② ♥trt♦♥s ♥ P❨s ♠t♦♥ ❱P❨ ♥♥ ♥♦

s Ps ♦♠r

♥♥①s

Pr♥♣ ♥

st ♥②sr s ér♥ts ét♣s q s♦st♥♥t à rést♦♥ ♥

♦♠♥t P♦r r ♦♥ ♣r♦♣♦s ①♣qr ♦♥♣t♦♥ ♦♠♥t tsé

à ♥ ♣tr P♦r t♦t ①♣rss♦♥ ♦♥séré t st♥r ♦♣értr s

① ♦♣ér♥s st sr s ♥ t strtr qst ♥st réé ♥ ♦♠♥t

♣r ♦♠♥s♦♥ ♦♣ért♦♥s

♥s t ♥♥① ♦♥ s♥térssr ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s à sr♣t♦♥ ♥ s②stè♠

ér♥t ♦♠♣♦sé ♥ s éqt♦♥ ♣♦r s♠♣r ①♣t♦♥ t à tst♦♥

♦♥♥és ♥ ♣r♦♥♥ ♠♦è ♥s ♥ ①è♠ t♠♣s ♦♥ ①♣qr q

ç♦♥ s②stè♠ ♣t ♦r ♥ ♥♥ sr ②♥♠q ♦t

②stè♠ ér♥t t tst♦♥ s ♦♥♥és ♠♦è

♥ ésr ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s s♣♦sr ♥ éqt♦♥ s♥t ♥tr♥r ♥ ♦♥♥é

♠♦è t ér s②stè♠ s♥t st tsé

dUdt

= −0.1U × ( V (t)V (0)− 0.75)

U(0) = 1

♦ù V (t) r♣rés♥t ♦♠ ♦r♥t ♦t ♦♥séré ♦rs ①♣ér♥ t V (0)

s♦♥ ♦♠ ♥t

♥②s

rr éqt♦♥ ♦♥séré st ♣♦ss st♥r ① ♣rts

−0.1 × U tt ①♣rss♦♥ st ♥é♣♥♥t ♠♦è ♦♠♣r♥ ① ♦♣é

r♥s ♥ sr t ♥ r rés ♣r ♦♣értr ♠t♣t♦♥

Pr♥♣ ♥

V (t)V (0)−0.75 tt ①♣rss♦♥ t ♥tr♥r ♦♠ ♦t t st ♦♥ trtr

♠♦è st é♦♠♣♦sé ♥ ♥ s♦strt♦♥ ♥tr ♥ sr t ♥ r♣♣♦rt

♦♠s

rt♦♥ ♥ ♥

Pr♠èr ①♣rss♦♥ −0.1×U ♣r♠èr ①♣rss♦♥ st r♣rés♥té ♣r ♥

éé♠♥t ♦ ♠♦és♥t ♥ éqt♦♥ ér♥t ♦r♥r r♥r ♣♦ssè s ①

ttrts s♥ts

♥① ♥ éqt♦♥

♥t❴♦♥t♦♥ ♦♥t♦♥ ♥t stàr r U à t = 0

éé♠♥t ♦ ♦♠♣r♥ tr♦s éé♠♥ts

éé♠♥t ♦♣rt♦r s♣é♥t q♦♥ r à ♥ ♠t♣t♦♥ t♠s

éé♠♥t ♦♣r♥ ér♥t sr

éé♠♥t ♦♣r♥ réér♥ç♥t r U à trrs ♥ éqt♦♥ q

♦♥♥ s éré

❯♥ ♦s ①♣rss♦♥ ért st ♣résr q ♠♥èr êtr rés♦

♥ s♣♦s ♣♦r s ① ttrts éé♠♥t ♠t♦ q s♦♥t ♥♠ ♣♦r

♥♦♠ ♦rt♠ rés♦t♦♥ t t ♣♦r ♣s ♦s s éé♠♥ts s♦♥t

♥♠♥t ♦♥t♥s ♥s ♥ éé♠♥t ♦②st♠ tt ♣r♠èr ①♣rss♦♥ s trt

♦♥ ♠♥èr s♥t

<odeSystem>

<ode index= ''0'' initial_condition=''1''><operator> times </operator><operand1>

<operator> scalar </operator><value> -0,1 </value>

</operand1><!-- variable U --><operand2>

<operator> variable </operator><value> 0 </value>

</operand2></ode>

<!-- méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 avec un pas de temps de 10-2 --><method name= ''rk4'' dt=''0.01''/>

</odeSystem>

Pr♥♣ ♥

①è♠ ①♣rss♦♥ V(t)V(0)− 0.75 ①è♠ ①♣rss♦♥ st ért à

♥ éé♠♥t ♥ q r♣r♥ sé♠ éé♠♥t ♦ rr strtr

éé éé♠♥t ♦♣r♥ ①♣r♠ r♣♣♦rt s ♦♠s t ♦♥stt t ♥

①♣rss♦♥ à ♣rt ♥tèr ♥ ♣rtr ♥s sr♣t♦♥ tt s♦s①♣rss♦♥

♥tr♥t éé♠♥t trt ♣♦r ♥♦r♣♦rr ♦♥♥é ♠♦è ♦♠ ♦r♥t

♦t r♥r ♣♦ssè ① ttrts ♥ t ♥♠ s♦♥

♥♦♠ ♦t♦♥s q és♥r ♥♦♠ ♥ ♠♣♦s tst♦♥ ♥ s②♥t① ♣r♦♣r

♠♦è ♦r ♣rès

❯♥ ♦s ①♣rss♦♥ ért st ♥éssr ♣résr à q ①♣rss♦♥ st

é t q ♠♥èr q ♦♣értr P♦r r ♦♥ s♣♦s rs♣t♠♥t

éé♠♥t ♦♥① t ttrt ♦♣rt♦r éé♠♥t ♥ ♥♠♥t éé♠♥t

♠♦♦ ♦♥t♥t s ♦♥♥és ♠♣qés tt ①è♠ ①♣rss♦♥ st ♦♥ ♦é

♠♥èr s♥t

<modelToOde>

<link operator=''times''>

<operator> minus </operator>

<operand1>

<operator> div </operator>

<!-- volume courant de l'objet -->

<operand1>

<target id=''0'' name=''O_VOLUME''/>

</operand1>

<!-- volume initial -->

<operand2>

<operator> scalar </operator>

<value> 2666666 </value>

</operand2>

</operand1>

<operand2>

<operator> scalar </operator>

<value> 0.75 </value>

</operand2>

<!-- expression: -0.1U -->

<odeIndex> 0 </odeIndex>

</link>

</modelToOde>

Pr♥♣ ♥

r♥srt ♦♥♥és s②stè♠ rs ♠♦è

♥ ésr ♠♥t♥♥t tsr éqt♦♥ ♣réé♠♠♥t ért ♣♦r ♥r sr ♥

♦♥♥é ♠♦è ♥ ♣rtr ♦♥ s ♣r♦♣♦s ♠♣♦sr à ♣rt ♥

♦t ♥ é♣♠♥t s♦♥ ① Y ♣r♦♣♦rt♦♥♥ à s♦t♦♥ tt éqt♦♥

♥②s

♥ ♦♥♥ît r ♣♦st♦♥ ♥t ♣rt ♦t st

♠t♣r tt ♦♥♥é ♣r s♦t♦♥ éqt♦♥ réstt tt ♦♣ért♦♥ st

♦rs ♣♣qé à ♦♦r♦♥♥é y ♣rt ♦♥r♥é

rt♦♥ ♥ ♥

♦♣ért♦♥ st ért é♠♥t à ♥ éé♠♥t ♥ r♥r ♦♥t♥t ♦♣é

rtr t♠s s éé♠♥t ♦♣r♥ ♦♥♥♥t r ♥t ♣♦st♦♥

♣♦♥t ♣s éé♠♥t ♦♣r♥ ♣rés♥t ♥ éqt♦♥ ♦♥séré ♣r ♥

tr♠ér éé♠♥t ♦♥①

❯♥ ♦s ♦♣ért♦♥ ért éé♠♥t trt ♣r♠t s♣ér à q ♣r♦♣rété

♠♦è st ♣♣qé ♦♠♠ ♣réé♠♠♥t ♦♥ s♣♦s ♦rs s ttrts t

♥♠ ♦s s éé♠♥ts s♦♥t ♦♥t♥s ♥s éé♠♥t ♦♦♦ ♥ tr♥srt

♥♦r♠t♦♥s éqt♦♥ rs ♠♦è sért ♦♠♠ st

<odeToModel>

<link><operator> times </operator><!-- position initiale du point supérieur --><operand1>

<operator> scalar </operator><value> 682 </value>

</operand1><!-- équation impliquée --><operand2>

<operator> ode </operator><odeIndex> 0 </odeIndex>

</operand2>

<!-- coordonnée y de la particule d'indice 4 --><target id=''4'' name=''P_X_Y''/>

</link>

</odeToModel>

Pr♥♣ ♥

és♥t♦♥ ♥

♥s ♥ ♦♠♥t ♦rsq♦♥ és♥ ♥ ♦♥ t ♣♣ à ss ❱st♦r

é♥ s♥ ♠♦è tt r♥èr ♣r♠t str s ér♥ts ♥ttés ♠♦

è t ♦♥♥ ès à rs ♣r♦♣rétés ♦s s strs s♦♥t é♥s ♦♠♠ s ♠♠rs

sttqs à str st ♥ ♣rt s ♥♦♠ str ♦♠♠♥ ♣r ♥ P

t ♥ ♦t s s♦♥ ♥♦♠ ét ♣r ♥ Pr ♦♥♥t♦♥ ♣♦r q ♦♥♥é ①♣r♠é

♣r ♥ tr U à str qtr strs ér♥ts s♦♥t s♣♦♥s

❯❴❳ ♦♥♥ ès sr Ux

❯❴❨ ♦♥♥ ès sr Uy

❯❴❩ ♦♥♥ ès sr Uz

❯❴ ♦♥♥ ès sr ‖U‖

Pr♠ s ♥♦♠r① strs s♣♦♥s ♦♥ ♣t tr s s♥ts

♣♦st♦♥ ♥ ♣rt P❴❳❴❳ P❴❳❴❨ P❴❳❴❩ t P❴❳❴

tss ♥ ♣rt P❴❱❴❳ P❴❱❴❨ P❴❱❴❩ t P❴❱❴

s♦♠♠ s ♦rs ♣♣qés sr ♥ ♣rt P❴❯❴❳ P❴❯❴❨

P❴❯❴❩ t P❴❯❴

♦r éstq ①ré sr ♥ ♣rt P❴P❴❳ P❴P❴❨

P❴P❴❩ t P❴P❴

♦♠ ♥ ♦t ❴❱❯

é♥r ♣♦t♥t éstq ♥ ♦t ❴❴P

é♥r ♥étq ♥ ♦t ❴

r été ♥s t ♥♥① st ♣rés♥té ss♦s ♥s s♦♥ ♥s♠

Pr♥♣ ♥

< ①♠ rs♦♥ ♥♦♥❯ >

<♦♦ ①♠♥stt♣ t♠♠r♦

①♠♥s ①stt♣ ♦r❳♠♥st♥>

<♦②st♠>

<♦ ♥① ♥t❴♦♥t♦♥>

<♦♣rt♦r>t♠s<♦♣rt♦r>

<♦♣r♥>

<♦♣rt♦r>sr<♦♣rt♦r>

<><>

<♦♣r♥>

<♦♣r♥>

<♦♣rt♦r>r<♦♣rt♦r>

<><>

<♦♣r♥>

<♦>

<♠t♦ ♥♠r t>

<♦②st♠>

<♠♦♦>

<♥ ♦♣rt♦rt♠s>

<♦♣rt♦r>♠♥s<♦♣rt♦r>

<♦♣r♥>

<♦♣rt♦r><♦♣rt♦r>

<♦♣r♥>

<trt ♥♠❴❱❯>

<♦♣r♥>

<♦♣r♥>

<♦♣rt♦r>sr<♦♣rt♦r>

<><>

<♦♣r♥>

<♦♣r♥>

<♦♣r♥>

<♦♣rt♦r>sr<♦♣rt♦r>

<><>

<♦♣r♥>

<♦♥①><♦♥①>

<♥>

<♠♦♦>

<♦♦♦>

<♥>

<♦♣rt♦r>t♠s<♦♣rt♦r>

<♦♣r♥>

<♦♣rt♦r>sr<♦♣rt♦r>

<><>

<♦♣r♥>

<♦♣r♥>

<♦♣rt♦r>♦<♦♣rt♦r>

<♦♥①><♦♥①>

<♦♣r♥>

<trt ♥♠P❴❳❴❨>

<♥>

<♦♦♦>

<♦♦>

♦r♣

❬❪ ♠♦s ♠♦s ❲ ♦s ♦ t ②t♦st♦♥ ♦r

Prss

❬❪ ♥♥trs♥♥ rr ♦rs ♥ ♠♦♠♥t

♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦♦ ♥s

❬❪ rts ♦♥s♦♥ s ♦r ♦♦② ♦ t r♥

Ps♥

❬❪ ♦s ♥♥r ♣r③♠ ♠tr① ♥

♥trt♦♥s ♠♦t ♣♦♣t♦ss ♦ r♦♥ ♣t s P ♥

r ♥ ♦r P②s♦♦②

❬ss❪ ss♦♥ ♥♦r♣♥♥t ② ♣r♦rss♦♥ ♦r♥ ♦

♦♦②

❬❪ ♦①r♠♥ sr ❯ ♦♠♣♦s♥ ♦t ♥ Pr♦

♥s ♦ t Pr♦r♣s s②♠♣♦s♠ ♦♥ ♦♠♣tr

♥♠t♦♥ r♦r♣s ss♦t♦♥ ♣♣

❬❪ ♥ t ♠r♦ré♦♦q rés t♥ s ♥

tr ♥ ♣rés♥ trs ♦♠qs ♠♦♥t s ②♥♠q ès

❯♥rsté Prs ❱ ♥s r♦t

❬∗❪ t ❱ t rt ❩r ♠ss

s♣r♥ s②st♠ ♥trt♥ stt② ♣r♠trs ♥ ♥ sr

♣♦rt ❯

❬❪ ♦r♥♦♥ ♥ P ♦♥tr♦♥ ♥s♦tr♦♣② ♥ ♠sss♣r♥

s②st♠s ♥ r♦r♣s ❲♦rs♦♣ ♦♥ ♦♠♣tr ♥♠t♦♥ ♥ ♠

♦r♣

t♦♥ st ♣r♥r ♦♠♣tr ♥ ♣r♥r❱r

♣♣ Pr♦♥s ♦ t t r♦r♣s ❲♦rs♦♣ ♥tr♥

t③r♥ st

❬❪ ♦① ss♦♥ ♠t♦♥ ②♥♠q ♦r♣s ♦♦qs t ♥

♠♥ts t♦♣♦♦s ♥trts ès ❯♥rsté ♦

❬❪ ♦① ss♦♥ r ♠t♥ tr♥ ♣♥♦♠♥ ♦r

♥trt ♠ srr② s♠t♦rs ♥ Pr♦♥s ♦ ♦♠♣tr ♥♠

t♦♥ ♣♣

❬r❪ rr♦ ♠♦♥♦♠èr à ♦ès ②♥♠q t♥

ès ❯♥rsté ♦s♣ ♦rr

❬❪ rs♦♥ ♥rs♦♥ ♦st trt♠♥t ♦ ♦s♦♥s

♦♥tt ♥ rt♦♥ ♦r ♦t ♥♠t♦♥ ♥ P Pr♦♥s ♦

t t ♥♥ ♦♥r♥ ♦♥ ♦♠♣tr r♣s ♥ ♥trt t♥qs

Prss ♣♣

❬❪ r♦t ♦♦♠♥ ♥ ♦ ♣r♣r ♣♦♥r ♥r♦♥s ♥

t rss♦♣r s rr② ♦ ♣t ♥ ♥r♦♥ sr ♥

❬❲❪ r♥ ♦s ❲♦③♥② ♣rts ♠♦ ♦r

s♠t♥ t r♣♥ ♦r ♦ ♦♥ ♦t ①t sr ♦r♥

❬❪ r↔ ♠s ♠rt strt ♦♥tt ♦r ♦ ♣

t r♥r♥ ♦ ♣t② s♠♣ r ♦r♠ ♠♦s ♥

Pr♦♥s ♦ t Pr♦r♣s s②♠♣♦s♠ ♦♥

♦♠♣tr ♥♠t♦♥ r♦r♣s ss♦t♦♥ ♣♣

❬∗❪ rr♦ ♦t ♥♦♥ ♦r rt

tt♠♥t ♦♥t♦♥s ♦♥tr♦ t♥ ♠♥t ♥ ♥ t ♣r♦t♦♥ ♦

♦rs ♦♣②s ♦r♥

❬∗❪ ♦tt♥♦ ♦♥r ♦rts trt str ♦

♦r♣

♥♠t♦ s♣r♠ r ♦r♥ ♦ ♥

❬♦❪ ♦ ♥s ♦ t ♠r ❯♥rst② Prss

❬∗❪ ♦♦ ②♦♥ r♥t③ ❨ ♥t Prt rq

P ♥ ①t♥ ♠♦♥ ♦ t ♠r♦♣♣tt s♣rt♦♥ ①♣r♠♥t ♦r

t rtr③t♦♥ ♦ t ❨♦♥s ♠♦s ♥ P♦ss♦♥s rt♦ ♦ r♥t

t♥ ♦♦ s♠♣s ♥♠r ♥ ①♣r♠♥t ♥②ss ♦r♥ ♦

♦♠♥s

❬♦❪ ♦♦ ❯♥ ♠ét♦ ♥♥♦♥t ♣♦r ♥tt♦♥ s ♣r♦♣rétés

♠é♥qs é♥t♦♥s s♦tr♦♣s ♦♠♣rsss sé sr s♣rt♦♥ ♣r

♠r♦♣♣tt ♣♣t♦♥ à ét s s ♣♦②r②♠ ♥s s ♦

♠♥s ♥ér t ♥♦♥♥ér é♦r♠t♦♥s ès ❯♥rsté ♦s♣

♦rr

❬∗❪ r♦♥ ♦r♥ r②♥s t♦♠ ♦♥t♦♠r②

t♣♥s t♠ s♠t♦♥ ♦ ♦r♠ ♦ts t♦♦s ♥ ♣

♣t♦♥ ♥ Pr♦♥s ♦ ♦♠♣tr ♥♠t♦♥ ♦♠r ♣♣

❬❲❪ r ❲t♥ r st♣s ♥ ♦t s♠t♦♥ ♥ Pr♦♥s

♦ P ② ♣♣

❬❲❪ ♠r ❲♥ P ♦♥ ♥ t♥ ②♥♠s ♥

ss r♥s ♥ ♦♦②

❬❨❪ ♦♥♦r ❨st ♣♥ ♠♦tt② ♣♥♦♠♥♦♦② ♠♥s♠s

♥ ♥t♦♥ r♦♥

❬❨❪ ❨ ❨ P Prts s♠t♦♥ ♦ r♥r ♠

trs ♥ Pr♦♥s ♦ t Pr♦r♣s

s②♠♣♦s♠ ♦♥ ♦♠♣tr ♥♠t♦♥ ♣♣

❬♥❪ ♥ P ♥ ♠♣t ♦r♠t♦♥ ♦r ♣rs ♦♥tt ♠♦♥ t♥

① s♦s ♥ ♦♠♣tr r♣s P

♣♣ Ps ♥r t ♥♠ rP s

♦r♣

❬ñ❪ ñs P ♦è t♥sérté s♦éstq ♣♦r ét ré♣♦♥s

②♥♠q s s ér♥ts ès ❯♥rsté Prs ❳ ❱

r♥

❬∗❪ ♦♦♠ P ♦sqt ❨♠ ❲rt③

♥s ♥ ♦ts ♦ ♥tr♠t ♠♥t ♦r♥③t♦♥ r♥s ♥ ♦♦②

❬P❪ t ♦♥ P P♦♥ P Prts s♦st

s♠t♦♥ ♥ Pr♦♥s ♦ t

Pr♦r♣s s②♠♣♦s♠ ♦♥ ♦♠♣tr ♥♠t♦♥

Prss ♣♣

❬❪ ♥ ❨ ♥♠♦t♦ rt ♥♥ ♣t②s ♦♥tr♦

♥ ♣♦rt② ♥ ♠♦t①s r♥s ♥ ♦♠ ♥s

❬P❪ ♠♥♥ Pr♥t ②r ♦♥strt♦♥

♦r ♦r♠ ♥♠t rtrs ♥ P Pr♦♥s ♦

t t ♥♥ ♦♥r♥ ♦♥ ♦♠♣tr r♣s ♥ ♥trt t♥qs

♣♣

❬❪ ♦ ♦ t t rs♣♦♥s ♦t ♥ P

Pr♦♥s ♦ t t ♥♥ ♦♥r♥ ♦♥ ♦♠♣tr r♣s ♥ ♥tr

t t♥qs ♣♣

❬∗❪ ñs P r♥t ❱ ♦ s② ❲♥♥

r t♥srt② ♠♦ t♦ ♥②s t strtr s♦stt② ♦ t

②t♦st♦♥ ♦r♥ ♦ ♦rt ♦♦②

❬P❪ rr rt Pr♦♠②♦♥ ❱rt s ② t♦

♥ st② ♦s♦♥s ♥ sr ♥ ♦♦ s♠t♦rs ♥ t ❲♦r

s♦♣ ♥ ❱rt t② ♥trt♦♥s ♥ P❨s ♠t♦♥ ❱P❨

♦♠r ♥♥ ♥♦ s ♣♣

❬P❪ ♥s Pr♦♠②♦♥ P②s ♠♦ ♥ ♦rs

♥ r♣rs♥tt♦♥ ♦r ♦♥t♥♦s ♥ srt ♠♦s ♥ Pr♦♥s ♦

♥tr♥t♦♥ ②♠♣♦s♠ ♦♥ ♠t♦♥ ♣♣

♦r♣

❬P❪ rr Pr♦♠②♦♥ rt ♣②s②s ♠♦

♦r ♣stt② ♥ ♠♦tt② ♥ ♦r♥és rts ♦♦ ♥♦r♠tq

té♠tqs

❬❪ ♦♠♥ r② ❨ str ♦♥trt♦♥

♦ t ♥s t♦ t ♠♥ ♣r♦♣rts ♦ ♥♦t s ♦r♥ ♦

♦♠♥s

❬❲❪ ñs P ❲♥♥♥s② s② rq♥② rs♣♦♥s

♦ s♦st t♥srt② ♠♦ strtr rrr♥♠♥t ♦♥trt♦♥ t♦

②♥♠s ♦r♥ ♦ ♦♠♥ ♥♥r♥

❬❩❪ ♥ ❨ ❩ ♠♥ r P②s②s ♥♠t♦♥

♦ ♦♠tr ♦ts ♥ Pr♦♥s ♦ t ♦♠♣tr ♥♠t♦♥

♦♠♣tr ♦t② ♣♣

❬❪ ♥ ♦ést♦♥ ♥trt♦♥ ♦ts é♦r♠s ♥

t♠♣sré ♣♦r s s♠trs ♠é① ès ♥sttt t♦♥ ♣♦②t

♥q r♥♦

❬❪ r③ ♥r♦t r ♥♦r♥s ♦♥tt ♠♦ ♦r

♦r♠ ♦ts ♥ ♣t s♠t♦♥s ♥ ♥tr♥t♦♥ ♦♥

r♥ ♦♥ ♥t♥t ♦♦ts ♥ ②st♠s ♦ ♣♣

❬❪ P r ♥rr t♠t

♠♦ ♦r t ts ♦ s♦♥ ♥ ♠♥s ♦♥ ♠rt♦♥ s♣

♦♣②s ♦r♥

❬❪ sr♥ ♥ P ♥♠t♥ s♦t sst♥s t ♠♣t sr

s ♥ ♦♠♣tr r♣s P st ♦♦

♦ ♦ ♥♥ ♦♥r♥ rs P s♦♥ ❲s

② ♣♣ ♦s ♥s ♦r♥ ♣s ♥r t ♥♠ r

P s

❬❪ sr♥ ♥ P ♠♦♦t ♣rts ♥ ♣r♠ ♦r

♥♠t♥ ② ♦r♠ ♦s ♥ r♦r♣s ❲♦rs♦♣ ♦♥ ♦♠♣tr

♦r♣

♥♠t♦♥ ♥ ♠t♦♥ st ♦ r♦♥

s ♣r♥r❱r ♣♣ Ps ♥r t ♥♠ rP

s

❬❪ sr♥ ♥ P ♣♠ ♣t ♠t♦♥ ♦ ②

♦r♠ st♥s ♣ ♠r

❬❪ ♥♥ sr♥ ♥ P rr ②♥♠ r

t♠ ♦r♠t♦♥s s♥ s♣ t♠ ♣tt s♠♣♥ ♥ ♦♠♣tr

r♣s P ♣♣

❬❪ r③ ♦s r ♥r♦t st ♣t

r♥r♥ ♦ ♥trt♥ ♦r♠ ♦ts ♥ rt ♥r♦♥♠♥ts

r♥st♦♥s ♦♥ ❱s③t♦♥ ♥ ♦♠♣tr r♣s

❬❪ ♦r ♥ ♦r♥tt r② P r♦

♦ r♦♥t♥ ♥ ♠r②♦♥ ♠rt♦♥ r♥s ♥ ♥ts

❬s❪ sr♥ ♦ést♦♥ t ♥♠t♦♥ ♦ts t♠♥t é♦r♠s

à srs ♠♣ts ès ♥sttt t♦♥ P♦②t♥q

r♥♦

❬❪ sr♥ s P ② ♦r♠ ♠tr ♦r ♥♠t♦♥

♥ ♦s♦♥ ♣r♦ss♥ ♥ t r♦r♣s ❲♦rs♦♣ ♦♥ ♥♠t♦♥ ♥

♠t♦♥ ♣t♠r ♣♣ s♦ ♦r②

❬❲❪ ♥ ❲s♦♥ sr ♥r

♥♦♣ ♠♥ ♥t♦r s stt② ♥ ♦♠♣rsst② ♠t sst

♦ ♠♦r s♦ s♦rr ♦r♥ ♦ ♥

❬❪ ♦♥ t♠r ♦ r ♠♦♠♥t tr♠♥s t

♦t ♦r ♥rt ② t t②♦st♠ s♦♠ s ♦r♥ ♦

♦rt ♦♦②

❬∗❪ ♦s ♠♦s r ♦ ❱ s

r rr② ♦s♦rt② t♥ ♥♥ ♣r♦t♥s

♦r♣

rt♦♥ ♦ ②t♦st ♠r♦♠♥ts P②s♦♦ s

❬❪ ♦♥ ♦②t ♦r♠t② ♥t ♠♥t ♠♦♥

♦ r s♦st ♦r♠t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦rt ♦♦②

❬❪ sr♥ rör P rr ♥trt ♥♠t♦♥ ♦ strtr

♦r♠ ♦ts ♥ Pr♦♥s ♦ r♣s ♥tr ♣♣

❬❪ ♦tt r♥ t ♥r♦♥ s♣r rt♦♥

♦ t t♥ ②t♦st♦♥ ♥ ♥rt♦♥ss tr s r♦s♥

♣t♠r

❬❪ ♠♦ ♦r♥② ①♠♥ ♠♠r rt♦♥

♠t ♥ts ♦ ♠♠r♥t♦sr s♦♥ ♥ t♠♥t ♦②

♦t② ♦ ♦♥♦♥ Pr♦♥s rs

❬r❪ r③ ♦♥tt r♦tt♥t ♥tr ♦ts é♦r♠s ♥s s s♠t♦♥s

t♠♣sré rt♦r ♣tq ès ❯♥rsté r②

❬❱❲❪ ♦r♠♥♥ ❱s ❲r Pr♦♣t♥ s ♦♥tr♦

t②♦st♠ s♦♠ ♠♦r♣♦♥ss ♦♣②s ♦r♥

❬❩❪ r♦ts P ❩♠♦♥ ♠♦t①s ♥ r②♦t s

♦s ♦♥ ♦②ts ♥ t②♦st♠ ♥♥ ♦ ♦♦②

❬❪ t♥♥♥♥ t♥ ♥ ♠r♦ts ♥ ♠♦tt②

♦♥ s ♥ ♦♥tr♦ r

❬❲❪ rrt ❲r trssr ❲ st ① ♣rt

s②st♠ ♠♦ ♦r ♦t r♣♥ ♦♠♣tr r♣s ♥ ♣♣t♦♥s

❬❨❪ ♥s ❨♥ ♣♣r♥t s♦st② ♥ ♦rt t♥s♦♥ ♦ ♦♦

r♥♦②ts tr♠♥ ② ♠r♦♣♣tt s♣rt♦♥ ♦♣②s ♦r♥

♦r♣

❬❪ r② rr ♠♦♥ ♦ t r② s♠♦♦t ♠s

r t ♦ ss s♣rt♦r② P②s♦♦② r♦♦♦②

❬❪ rs P tts sst♦♥ ♥ ♦r ♦ ♠sr

♠t♦s ♣ ❯ r♥s r♠♥② ②

❬∗❪ r② s②♠ tr P ♦r s

rr ♥ t ♠r♦r♦♦② ♦ ♥ s P②s

ttrs

❬♦r❪ ♦rs ♥ t ♣♦ss r♦ ♦ ②t♦st ♠♥t♦s ♥t♦rs ♥

♥trr s♥♥ ♥ ♣♣r♦ s ♦♥ ♣r♦t♦♥ ♦r♥ ♦

♥

❬∗❪ r s ♠ ♥ts st

r♦s♦♣ ♥②ss ♦ ♣♦②♠r③t♦♥ ②♥♠s t ♥ t♥

♠♥ts tr ♦♦②

❬❪ s♦♥ s② r s♦s strtr ♥ ♣r♦♣rts

♠r ❯♥rst② Prss

❬❪ r rss② ss♠② ♥ ♠♥♦s♥s♦r② ♥t♦♥ ♦

♦ ♦♥tts rr♥t ♣♥♦♥ ♥ ♦♦②

❬❪ ssr r s♥r ♦♥str♥t sts ♦r t♦♣♦♦②

♥♥ ♥t ♠♥ts ♠♦s ♥ t ❲♦rs♦♣ ♥ ❱rt t② ♥tr

t♦♥s ♥ P❨s ♠t♦♥ ❱P❨ ♦♠r ♥♥

♥♦ s ♣♣

❬❪ ♦♦ r♥ r♥s ♥t♦♥ ♦♦♣rt♦♥ t♥

t ♠r♦t ♥ t♥ ②t♦st♦♥s rr♥t ♣♥♦♥ ♥ ♦♦②

❬∗❪ ♥♥♦♥ ♥r ör♥r r

rs♥ t③ P Pr♦ ♠♣♦ ♦♥trt♦♥s ♦r

rt t rrr t♥ s rr②

❬❪ r♥r ③r ♠t♦♥ ♦ ♦♦ s♦rt♥ s♥

♦r♣

t♦♠♥s♦♥ ①t♥ P♦tts ♠♦ P②s ttrs

❬❪ ♦r rs♦ ♠tr① ♥ ♥tr

t♦♥s ♠♦t ♣♦♣t♦ss ♦ r♦♥ ♣t s ♦♣②s ♦r♥

❬❪ s♦♥ rt r② ♦ ♦r♠ ♦♥ ♥ ♦♠♣tr

r♣s ♣ tss tr sr ♦rt♦r②

♦♠r

❬❪ ♦ ❱ ♠♥ ♥r♦♥♠♥t ♦ t ♦♥r♦②t

♣s ♥t ♠♥t ♠♦ ♦ ♠tr① ♥trt♦♥s ♥ rtr rt

♦r♥ ♦ ♦♠♥s

❬❪ r t♠r ♦♥t♥♠ ♠♦ ♦ ♠♦tt② ♥

♠♦ s t♥ ♦ t♠t ♦♦②

❬❪ ♦tt P tt ❲ sss♣r♥ s♠t♦♥ s♥ ♣t

♥♦♥t ♣♦♥ts ♦♠♣tr r♣s ♦r♠

❬❪ ♠♥♥ ①♠ rt ♦srt♦♥s ♦

t ♠♥ ♦rs ♦ t ②t♦st♦♥ ♥ ♥ r♦sts ♦r♥ ♦

♦♦②

❬❪ ♥ ♥t♦s ♦r♠t♦♥ ♦ r♦ss

♥ s♠① ♣♦②♠r ♥t♦rs P②s ttrs

❬❪ é♥♦♥ ♥♦r♠♥ rt t ♥ tr♠♥

t♦♥ ♦ t sr ♠♦s ♦ t ♠♥ r②tr♦②t ♠♠r♥ s♥ ♦♣t

t③rs ♦♣②s ♦r♥

❬♦❪ ♦ P ♦♥ ♠♥s♠s ♦ ♠♦r♣♦♥ss ♦♥ t ♥tr♣②

t♥ r♥t s♦♥ ♥ r♥tt♦♥ ♦r♥ ♦ ♦rt

♦♦②

❬P❪ t♥s♦♥ Prst♦♥ tt ♣t r♥♠♥t ♦r

♠sss♣r♥ s♠t♦♥s ♥ Pr♦♥s ♦ t r♦r♣s ♦rs♦♣ ♦♥

♦♠♣tr ♥♠t♦♥ ♥ s♠t♦♥ ♣♣

♦r♣

❬❪ tt♥♦r ♥♦r ♦rt③ s♦♥ ♥

♠rt♦♥ rr♥t ♣♥♦♥ ♥ ♦♦②

❬∗❪ rr s♥r sr ür r♦ss

♦♥sst♥t ♣♥trt♦♥ ♣t st♠t♦♥ ♦r ♦r♠ ♦s♦♥ rs♣♦♥s ♥

Pr♦ ❱s♦♥ ♦♥ ❱s③t♦♥ ❱❱ ♣♣

❬②♥❪ ②♥s ♦r ♦♦② ♦ r♦♥t♥ ♥♥ ♦ ♥

♦♣♠♥t ♦♦②

❬❪ ♥r ♠s♦♥ s s t♥srt② strtrs r

ttr rt♦♥ ♦ st♦r♥tt♦♥ ② ♣②s ♦rs tr♥s ♦r

s♠♥t ♠♠r♥ ♥ ♥ ①♣rss♦♥ r♥ ♦r♠ ♥ ♥♥t

r♥tt♦♥ ♥rs♦♥ ♠r ♦♠ P s

♠ Prss r♥♦ ♣♣

❬❪ ♥r r ♠s♦♥ ♦ ♦ s ♠♥ ♥

t ♥♦♣st s♦r♥③t♦♥ ♦ tss rttr P ♦ t ❯

❬♥❪ ♥r r t♥srt② ♥♥ ♥ rs ♦ ♦♦ s♥

tt ♦r♥ t ②t♦st♦♥ ♦r♥ ♦ ♥

❬♥❪ ♥r ♥srt② t rttr ss ♦ r ♠♥♦tr♥s

t♦♥ ♥♥ ♦ P②s♦♦②

❬♥❪ ♥r ♥♦s♥st♦♥ tr♦ ♥tr♥s s t ♦② t

t♥ ♦② P ♦ t ❯

❬♥❪ ♥r ♥srt② strtr ♥ rr s②st♠s ♦♦②

♦r♥ ♦ ♥

❬P❪ ür rs Pr♦st ♦♥♥② t ♦r ♦

t ②t♦st♦♥ P②ss ♣♦rts

❬❪ ♥ ❨ ♥ ③r P♦ss ♦♦♣rt♦♥ ♦ r♥t

s♦♥ ♥ ♠♦t①s ♥ ♠♦♥ ♦r♠t♦♥ ♦ t②♦st♠ ♦♣②s

♦r♥

♦r♣

❬♦♥❪ ♦♥s r s♥♥ ♥ ♠r♦♣ ♠rt♦♥ ♥ ♠♦t①s

♦r♥ ♦ ♦②t ♦♦②

❬∗❪ sr ♠s ssr ③③ P tré P r♦ss

♥ r♥♥ ♣♣r♦ t♦ s♦ ♥♠t♦♥ ♥ r♦r♣s ②♠

♣♦s♠ ♦♥ P♦♥ts r♣s ♣♣

❬∗❪ ♥ ❨ ♦ ♦ Pr t♠ ♥♠t♦♥

t♥q ♦r ① ♥ t♥ ♦ts ♥ Pr♦♥s ♦ ❲

♣♣

❬∗❪ rs ♦♥♥② ür Pr♦st ♠♦t♦

♥r t♦r② ♦ t ♣♦r s ♣r♠ ♦r ②t♦st ②♥♠s

r♦♣♥ P②s ♦r♥

❬❪ r♦ ♠♥♦ t♦♥ ♦ t ②t♦st♦♥

♥ s♦♥ ② t r♦ ♠② Pss ♥ ♠♠♠♥ s ♥♥

r ♦ ♦♠str②

❬∗❪ t♦ ♥♦ ❨ s ♥s r s♦t♦♥

♥ ♦♥trt♦♥ ♦ t strss r ♦r ♦♦② ♦ t

❬❪ r♥ r②②s♥ ♠ ❱ r♦t trt♥ ♦

sstrt ♦♥tts ♣r♦♠♦ts tr r①t♦♥ ♥ ss♦t♦♥ ♦r♥ ♦

♦♦②

❬❪ r♥ r②②s♥ ♠ ❱ t♦♥ ♦ sstrt

s♦♥ ②♥♠s r♥ ♠♦tt② ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦

♠str② ♦♦②

❬∗❪ rr ♠♠r♥ ♥ ♠♠

③♠♣t♦r tr♠♥s♦♥ s♦st ♠♦

♦r ♦r♠t♦♥ t ①♣r♠♥t rt♦♥ ♦♣②s ♦r♥

❬❪ ♠♠ ❱tt t ♥ t r♦ ♦ ♦♥t♥♠ ♠♦

s ♥ ♠♥♦♦♦② ♥tr♥t♦♥ ♦♥rss♥s ♥ ♦♦②

♦r♣

❬∗❪ sr ür rr s♥r r♦ss

♦♥tt ♥♥ ♦r ♦r♠ ♣♦♥ts ♦ts ♥ Pr♦ ❱s♦♥ ♦

♥ ❱s③t♦♥ ❱❱ ♣♣

❬❪ r♥ ♦tt♥r ♠ ❱ rt♥ ♣tr ♥ st

③t♦♥ ♦ ♠r♦ts t r② ♦ s♦♥s ♦r♥ ♦ ♦♦②

❬❪ ♥rr ♦rt③ ♠rt♦♥ ♣②s②

♥trt ♠♦r ♣r♦ss

❬❪ ♠ ♥ ❨ r♦ts P ♠♣♦r ♥ s♣t rt♦♥

♦ ♠♦t①s ♦♣♠♥t

❬❪ rr♣ ♦♥r r♥s♣♦rt ♦ s♦st t♥♠②♦s♥

str♣ ♦ s ♠♦ ♦ r♥ P②s

❬P❪ ♦♠r♦ P r♥t ♣rts t♦♦ ♦r s♣ ♠♠♦r②

♦ts ♠♦♥ ♥r♣s ♥tr ② ♣♣

t

❬❪ ♦② ③é② rrs ♥tt♦♥ ♦ s♣r♥ ♣r♠

trs ♦r ♦r♠ ♦t s♠t♦♥ r♥st♦♥s ♦♥ ❱s③t♦♥

♥ ♦♠♣tr r♣s

❬❲❪ ❨ r③♦♣♦♦s ❲trs st ♠♦♥ ♦r

♥♠t♦♥ ♥ ♦♠♣tr r♣s Pr♦♥s ♥♥ ♦♥r♥ rs

st Pr♦ P ♦s ♥s P

♣♣

❬♦❪ ♦ ♦ Pss ♥ ♥r♦♥ ♠♦r♣♦♥ss tr s r♦s

♥

❬r❪ r ♥t♦♠ t ♣②s♦♦ ♠♥ ♦

❬r❪ r ♠t♦♥ ♥ t♠♣s ré ♦ts é♦r♠s t é♦♣s

ès ❯♥rsté s ♥s t ♥♦♦s

❬r❪ r ♦ést♦♥ s tsss ♠♦s ♥s r ♥r♦♥♥♠♥t ♣♦r

♦r♣

① sts ♠é♦rr① ès ❯♥rsté ♦s♣ ♦rr

❬t❪ tsr P t♥ r♦ss♥♥ ♣r♦t♥s t t ♥ ♠♥rs

♥ ♦♦②

❬❪ rt ♥♥② ♠♣ss ②♥♠ s♠t♦♥ ♥ ❲

Pr♦♥s ♦ t ♦rs♦♣ ♦♥ ♦rt♠ ♦♥t♦♥s ♦ r♦♦ts

Ptrs t ♣♣

❬❪ ts♦♥ r♠r t♥s ♠♦tt② ♥ ♦♦♠♦t♦♥

❬❪ sr P ♦ ♦r♠ ♦② s♠t♦♥ t ♣t

ss♦♥ ♥ tt♥s ♥ Pr♦♥s ♦ t ❲ ♦♥r♥

♣♣

❬❪ ür r②♣r r♦ss Prts s♠t♦♥

♦r ♥trt ♣♣t♦♥s ♥ Pr♦♥s ♦ t

Pr♦r♣s s②♠♣♦s♠ ♦♥ ♦♠♣tr ♥♠t♦♥

r♦r♣s ss♦t♦♥ ♣♣

❬❪ rt ♦tr ♠♦ s ♦♥ r♣t♦r s♥st③t♦♥

♦r ② ♥ s♥♥ ♥ t②♦st♠ s ♦♣②s ♦r♥

❬❪ ♦♠ ③r ♥ ♠♦t♦♥ ♥ rts ♦ ♠r②♦♥

s P②s ttrs

❬❪ ré ♦ P ♦♥ t②♦st♠ s♦♠

♠♦r♣♦♥ss t ♠♥t♦♥ t♥ ♦ t♠t ♦♦②

❬❪ ür rr s♥r r♦ss sss

♦r♠t♦♥s s ♦♥ s♣ ♠t♥ ♥ P P

P♣rs ♣♣

❬❪ r P ♠♦t♦♥ ②♥♠s ♦ s♥s ♥ ♦r♠s ♥

P Pr♦♥s ♦ t t ♥♥ ♦♥r♥ ♦♥ ♦♠♣tr r

♣s ♥ ♥trt t♥qs ♣♣

♦r♣

❬r❪ rt ②r s♠t♦♥ ♦♠♥♥ ♦♥str♥ts ♥ ♠♣ss

♥ ♣♦rt ♣rt♠♥t ♦ ♦♠♣tr ♥ ❯♥rst② ♦ ♦r♥

r②

❬❪ ts♦♥ rs♥r r♦t ss♠② ♥t ② s♦

t ♥tr♦s♦♠s tr

❬∗❪ ür sr ♥ P② r♦ss ①

P♦♥t s ♥♠t♦♥ ♦ st ♣st ♥ ♠t♥ ♦ts ♥

Pr♦♥s ♦ t Pr♦r♣s s②♠♣♦s♠ ♦♥

♦♠♣tr ♥♠t♦♥ r♦r♣s ss♦t♦♥ ♣♣

❬❪ ♦♥r r♥ ♦tt♥♦ ♠♥♠ ♠♦ ♦ ♦♦

♠♦t♦♥ ♣♣ t♦ t st② ♥ ♠♦♠♥t ♦ s rt♦②t s ♥

t♠t ♦s ♦r ♦♦ Pttr♥ ♦r♠t♦♥ t♠r

♥ P s ♣r♥r ❨♦r ♣♣

❬P❪ r Pr ♦r ②♥♠s ♦♥♥t ♣rt s②st♠

♦r ♥♠t♥ s♦s s ♦♠♣trs r♣s

❬P❪ rr② Pr♥rst P tr♠♥s♦♥ ♥t ♠♥t

♠♦ ♦ ♥ r♥t r②♦t r♦♣♥ s ♥ trs

❬P❪ ré P♥♦ ♦ P rt♦♥ ♥ tr♠♦t①s

♦ t②♦st♠ s♦♠ ss ♠♦ st② ♦r♥ ♦ ♦rt

♦♦②

❬❪ ür ♦♥tr sr r♦ss Prts

♥trt♦♥ ♥ Pr♦♥s ♦ t

Pr♦r♣s s②♠♣♦s♠ ♦♥ ♦♠♣tr ♥♠t♦♥

♣♣

❬❱❪ ♦♥r ❱r③ ❲ s♠♣ ♣②s ♠♦ ♦r t r♥

♥♠t♦ s♣r♠ ♦r♥ ♦ ttst P②ss

❬∗❪ ♥ ür sr ♦①r♠♥ rs♦♥ P②

♦r♣

s② s ♦r♠ ♠♦s ♥ ♦♠♣tr r♣s ♦♠♣tr r♣s

♦r♠

❬❪ P ♠♥♥ t♠ ♠s ♦r♠t♦♥s s♥ ♠ss

s♣r♥ s②st♠s ♥ Pr♦♥s ♦ t ♦♠♣tr r♣s ♥tr♥

t♦♥ ♦♠♣tr ♦t② ♣

❬❪ ♦♥♥r ♦ t t②♦st♠ s♦♠ r①

rs P♦s♦♣ r♥st♦♥s ♦ t ♦② ♦t② ♦ ♦♥♦♥

❬❪ ♥ ♥♥ t♠ ♦s♦♥ tt♦♥ ♥ rs♣♦♥s

s♥ s♣rtrs ♥ t ♣r♥ ♦♥r♥ ♦♥ ♦♠♣tr r♣s ♣r

② st ♣♣

❬❪ r ♦s♦♥ ♦rs ①rt ② ♦♦♠♦t♥ s

♠♥rs ♥ ♦♦②

❬❪ ②♦♥ rq P ♦♠♣tt♦♥ ♦ r♥t stt② ♦r rt

♦♠tr② ♥ ♠♥t tst♥ ①♣r♠♥ts ♥♥s ♦ ♦♠

♥♥r♥ rr②

❬∗❪ ②♦♥ rq P ♦ éré♦ r♥t ❱ P

♥s s② ♥②ss ♦ ♥♦♥♥r rs♣♦♥ss ♦ r♥t ♣t

s ♣r♦ ② ♠♥t tst♥ ♥t ♠♥t ♠♦ s ♦♥

♦♠♦♥③t♦♥ ♣♣r♦ ♦r♥ ♦ ♦♠♥ ♥♥r♥

♠r

❬P❪ Pss♦♥ tr♠♥s♦♥ ♠♦ ♦ ♠♦♠♥t ♥ ♠tr

s②st♠s tr ♥rt♦♥ ♦♠♣tr ②st♠s

❬P❪ Ptt r ♥♠t♥ ①♣rss♦♥s ♥ P

Pr♦♥s ♦ t t ♥♥ ♦♥r♥ ♦♥ ♦♠♣tr r♣s ♥

♥trt t♥qs ♣♣

❬P❪ P♦r ♦rs② r ♠♦tt② r♥ ② ss♠② ♥

sss♠② ♦ t♥ ♠♥ts

❬♣❪ P♦♥t s ♥♠t♦♥ s♦r ♦t♦♥ ♦♥ t ♦r

tt♣ ♣♦♥ts♥♠t♦♥♦r

♦r♣

❬P❪ P♦r ♥♦♥ ♥s ♦r ♠♥s♠s

♦♥tr♦♥ t♥ ♠♥t ②♥♠s ♥ ♥♦♥♠s s ♥♥ ♦

♦♣②ss ♥ ♦♠♦r trtr

❬PP❪ Pr♦♠②♦♥ ♦♥♥r P P P②s② s ♦r♠t♦♥s

♦♥str♥ ♥ s♣♠♥ts ♥ ♦♠ ♥ ♦♠♣tr r♣s ♦r♠

Pr♦♥s ♦ r♦r♣s ♣t♠r ♦ss♥ ♦♥

s ♦ ♣♣

❬P∗❪ P② sr ♠s tré P r♦ss s

sss ♥♠t♦♥ ♦ rtr♥ s♦s r♥st♦♥s ♦♥ r♣s

❬P❪ P♥t♦♥ ♥ rr ♥s♠ ♦ t♥

s ♠♦tt② ♥

❬P❪ Pr♦♠②♦♥ rt rq P P②s②s s♠

t♦♥s ♦ ♦r♠t♦♥s ♥ ♠rt♦♥s ♥ P♦②♠r ♥ ②♥♠s

ts ♦♥ ♥ ♠r ♠t♦♥s t ❲ ♣♥

r ♥③ s räsr ♣♣

❬P❪ Pss♦♥ t♠r ♠♦ ♦r ♥ ♥ ♦t

♠♦♠♥t ♥ t②♦st♠ s♦♠ P ♦ t ❯

❬PP❪ P② P s sr ♦ts ♥ ♦♥tt

♥ Pr♦ r♦r♣s r♣ ②♠♣♦s♠ ♦♥ ♦♠♣tr ♥♠t♦♥

♣♣

❬Pr♦❪ Pr♦♦t ❳ ♦r♠t♦♥ ♦♥str♥ts ♥ ♠sss♣r♥ ♠♦ t♦ sr

r ♦t ♦r ♥ Pr♦♥s ♦ r♣s ♥tr ♣♣

❬Pr♦❪ Pr♦♠②♦♥ ♦ést♦♥ t ♠t♦♥ s♣rt♦♥ ès ❯♥

rsté ♦s♣ ♦rr

❬Pr♦❪ Pr♦♦t ❳ ♦s♦♥ ♥ s♦s♦♥ ♥♥ ♥ ♦t ♠♦ t t♦

♦r♣

s♥ r♠♥ts ♥ Pr♦♥s ♦ r♣s ♥tr ♣♣

❬❪ s ❲ ♣♣r♦①♠t ♥ ♣r♦st ♦rt♠s ♦r

s♥ ♥ r♥r♥ strtr ♣rt s②st♠s ♥ P Pr♦

♥s ♦ t t ♥♥ ♦♥r♥ ♦♥ ♦♠♣tr r♣s ♥ ♥trt

t♥qs ♣♣

❬❪ s ❲ Prt s②st♠s t♥q ♦r ♠♦♥ ss ♦ ③③②

♦ts ♥ P Pr♦♥s ♦ t t ♥♥ ♦♥r♥ ♦♥

♦♠♣tr r♣s ♥ ♥trt t♥qs ♣♣

❬∗❪ s P ♦ rs ♦♥r ♠ ❱

❱sst♦♥ ♦ t t♥ ②t♦st♦♥ ② r②♦tr♦♥ ♠r♦s♦♣② ♦r♥

♦ ♥

❬❪ ♥ ♦rt③ ②♥♠s ♦ β ♥tr♥♠t s

♦♥tts ♥ ♠♦t r♦sts ♦r♥ ♦ ♦♦②

❬❪ ② ♦ ♣r♦t♥s ♥♥ s♥♥ t ♠♠r♥ tr♥

r

❬❪ ♥st♥ ♦s♦♥ ♦♥r ts t♦♠♥s♦♥

♠♦♥ ♦ ♠♦t s♠♣s♣ ts ♦♥ ♠t♦♥

❬❪ ♦ts ♦s♦♥ ♠r ♠♥s♦♥ ♥ ♠♥

②♥♠s ♦ t ♥ st s ♥ ♠♦t r♦sts ♥stt ② s♥

t♦♠ ♦r ♠r♦s♦♣② P ♦ t ❯

❬❪ s r♦t r♥ t♦r ♥ ♠♦ ♦

♠♦tt② s♣t ♥ t♠♣♦r rt♦♥ ♦ t♥ ②♥♠s ♥♥

♦ ♦♠str②

❬❪ ♣♠♥♥ r s♥r ♦♥trt ♦♠♣tt♦♥ ♦

♦♥tt ♦rs ♦r ♦r♠ ♦ts ♦r♥ ♦ ❲

❬❪ t♠♥♦ ♦♥ r♦ ♦ ♣rstrss ♥ rttr

♦r♣

♦ t ②t♦st♦♥ ♥ ♦r♠t② ♦ ②t♦st ♠♥ts ♥ ♠♥s

♦ r♥t s q♥ttt ♥②ss ♦r♥ ♦ ♦rt ♦♦②

❬❪ t♠♥♦ ♦♥ q♥ttt ♠♦ ♦ r s

tt② s ♦♥ t♥srt② ♦r♥ ♦ ♦♠♥ ♥♥r♥

❬❪ tr ② ♦rt st♠ts ♦ ♠♥ ♣r♦

♣rts ♦ t ♥♦t ②t♦st♦♥ ♦♣②s ♦r♥

❬❩❪ ♦♥ ❩ Pss ♦r♠t♦♥s ♥ t ♠♦t♦♥s

♦ ♦②ts ♦r♥ ♦ ♦♠♥ ♥♥r♥

❬❪ ♥♥ r♥ ♥♦♠ ♥ rt ♠♦♠♥t

♦♠♣rs♦♥ t♥ ♥rt ♣rts ♥ s♦r♥③ ♠♦r ♠♥s

P②s r ttst ♣②ss ♣s♠s s ♥ rt ♥trs

♣♥r② t♦♣s

❬❪ rr ❨ ♦rs ♥♦tr♥st♦♥ tr♦ t ②t♦st♦♥

♠r♥ ♦r♥ ♦ P②s♦♦② P②s♦♦②

❬❲∗❪ t♠♥♦ rr ❲♥ tr P ♥r

♠r♦strtr ♣♣r♦ t♦ ②t♦st ♠♥s s ♦♥

t♥srt② ♦r♥ ♦ ♦rt ♦♦②

❬❪ ♦ P ♦♥ ♠♦r♣♦♥ss r♦♠ s♥ s

t♦ r♥ ss ♦r♥ ♦ ♦rt ♦♦②

❬❪ ♠ ❱ r③♦ ♥rs♦♥ t♥ ♠♥t ♦r♥③t♦♥

♥ t s rt♦②t ♠♣♦♠ ♦r♥ ♦ ♦♦② ♥

❬❪ t③ P ♠rt♦♥ ② r tt♠♥t t♦ sstrts ♥

♦♥trt♦♥ ♠♥rs ♥ ♦♦②

❬❪ t♠♥♦ ♥r ♦s ♦ ②t♦st ♠♥s ♦

♦r♣

r♥t s ♦♠♥s ♥ ♦♥ ♥ ♥♦♦♦②

❬♠❪ ♠♦♥ ♥ s s②stè♠s s♥s rt ♣ étrs

❬❪ ♠ ❱ r♥ r♦ts ♠t sstrt s♦♥s t♦

rr♥ ♣♦rt② rr♥t ♣♥♦♥ ♥ ♦♦②

❬♠❪ ♠ ❱ t♥ ②t♦st♦♥ tr♦♥ r♦s♦♣② s

❬❪ ♥t♥ ♥ ♥♦♥ P ♣♦♣t♦ss s♦♥

♥ t ①trr ♠tr① ♥ t tr♠♥s♦♥ r♦t ♦ ♠tr

t♠♦r s♣r♦s rt s ♥ ♥♦♦②♠t♦♦② ♦♠r

❬❪ ♠ö♥♥ ❲ ♦s ♥ ♠

r♥ ♠♦ ♦ ♥♦t s ♥ ♦②ts ♦r♥ ♦ ♦♠♥

♥♥r♥

❬∗❪ ♥ P ♠ö♥♥ ❲ ssr

❯s♠ ♥ ♥♥ ♦ ♣②s♦♠ t♦rs ♦♥ r♦♦②

♦ ♠♥ ♥tr♦♣s ♦♣②s ♦r♥

❬∗❪ ♠ö♥♥ ❲ ♥ P ö③r♥

♥ Pss ♠♥ ♣r♦♣rts ♦ ♠♥ ♦②ts ♦♣②s

♦r♥

❬❪ ♠ ❱ tr ❱♥ ♦tt♥r ♠♣♦♠

r ♠♦tt② ♥s r♥s ♥ ♦♦②

❬❪ ③s ♦♥♥s♥ r ♠♦♥ t ♦r♥t ♣rt s②s

t♠s ♥ P Pr♦♥s ♦ t t ♥♥ ♦♥r♥ ♦♥

♦♠♣tr r♣s ♥ ♥trt t♥qs ♣♣

❬❪ ♣♠♥♥ s♥r ♦♥tt sr ♦♠♣tt♦♥ ♦r ♦rs②

s♠♣ ♦r♠ ♦ts ♥ Pr♦ ❱s♦♥ ♦♥ ❱s③t♦♥ ❱❱

♣♣

♦r♣

❬t❪ trt ♥tr♠t ♠♥t strtr ♥ ss♠② rr♥t ♣

♥♦♥ ♥ ♦♦②

❬♥❪ ♥r ♠ ②♥♠ ♠t♦♥ ♥ ♥trt♦♥ ♦ ♦

♦ ss ♣♣t♦♥ t♦ ♠t♦rs ès ♥sttt t♦♥

♣♦②t♥q r♥♦

❬∗❪ s♥r rr ür P♦♠r♥ts r♦ss

♣t♠③ s♣t s♥ ♦r ♦s♦♥ tt♦♥ ♦ ♦r♠ ♦ts

♥ ❱s♦♥ ♦♥ ❱s③t♦♥ ♣♣

❬❪ s♥r rr ür r♦ss rst

♥ r♦st ♠♦ ♦r ♦♠tr② ♦♠♣① ♦r♠ s♦s ♥

Pr♦♥s ♦ t ♦♠♣tr r♣s ♥tr♥t♦♥

♦♠♣tr ♦t② ♣♣

❬∗❪ s♥r ♠♠r rr ❩♠♥♥

♣t r♠♥♥ ♥ P r ♥♥t

♠♥♥ trssr ❲ ❱♦♥♦ P ♦s♦♥ tt♦♥ ♦r

♦r♠ ♦ts ♦♠♣tr r♣s ♦r♠

❬❪ ♥ ❲P ♥ ❲❱ ♠② ♣r♦t♥s ② ♠♦s

♦r r♣ rrr♥♠♥t ♦ ♦rt t♥ ♠♥ts ♥ ♠♦♠♥t ♦r♥

♦ ♥

❬❪ rq P ②♦♥ r♥s♠ss♦♥ ♦ ♠♥ strsss t♥

t ②t♦st♦♥ ♦ r♥t s t♦rt ♥②ss s ♦♥ ♠t

♦♠♣♦♥♥t ♠♦ t ♦t♦rt

❬♦♥❪ ♦♥♥s♥ ♦♥ qs ♥ s♦s s♥ tr♠ ♣rts ♥

Pr♦♥s ♦ r♣s ♥tr ♥ ♣♣

❬P❪ r③♦♣♦♦s Ptt rr sr st② ♦r

♠ ♠♦s ♦♠♣tr r♣s P

❬P❪ r③♦♣♦♦s Ptt sr t♥ ♥ ♠t♥ ♦r

♠ ♠♦s r♦♠ ♦♦♣ t♦ ♦♣ ♥ Pr♦♥s ♦ r♣s ♥tr

♥ ♣♣

♦r♣

❬❪ ❳ r③♦♣♦♦s rt ss ♣②ss ♦♦♠♦t♦♥ ♣r♣t♦♥

♦r ♥ P Pr♦♥s ♦ t st ♥♥ ♦♥r♥ ♦♥

♦♠♣tr r♣s ♥ ♥trt t♥qs ♣♣

❬❲❪ r③♦♣♦♦s ❲trs P②s②s ♠♦♥ ♥②ss

♥ ♥♠t♦♥ ♦r♥ ♦ ❱s③t♦♥ ♥ ♦♠♣tr ♥♠t♦♥

❬❲❪ s♥ ❨ ❲rt③ ♥s ♥ ♠t♣♣rt tr♥ ♠r♦

tr♦♥t② ♦ αt♥♥r♦ss♥ t♥ ♠♥t ♥t♦rs ♦♣②s

♦r♥

❬❯❪ ❯♠ ♥♦② ♦rt ♠♦ ♦r ♠♦r♣♦♥ss ♥

s♦rt♥ ♥ t②♦st♠ s♦♠ P②s

❬❯❪ ❯♠ ♥♦② s♦rt♥ ② r♥t ♠♦tt② ♠♦

♦r ♣ttr♥ ♦r♠t♦♥ ♥ t②♦st♠ ♦r♥ ♦ ♦rt ♦♦②

❬❪ ♥ s r♦ts P ♦r ss ♦ ♦③ rs♣♦♥ss r♥

♠♦t①s ♥ ♠♦ ♥ ♦②ts r ♥ ♦r ♥s

❬❱❪ ❱♥ r ♣♣r♦①♠t s♠t♦♥ ♦ st ♠♠r♥s ② tr♥

t s♣r♥ ♠ss ♦r♥ ♦ r♣s ♦♦s

❬❱❪ ❱♥ s P ♥ t ♥ tr♦♥s ♦♥ t ♠

♣♦♠ ♠♥ t ♠♦t♦r ♦ r♥ s ♦♥qs

❬❱❲❪ ❱s rt ❲r ②r♦②♥♠ ♠♦ ♦r

t②♦st♠ s♦♠ ♠♦♥ ♦r♠t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦rt ♦♦②

❬❱❱❪ ❱♦♦ ❨ ❱♥② s② ♥srt② rttr ①♣♥s

♥r st♥♥ ♥ ♣rts s♦t♥♥ ♦ ♥ s ♦r♥ ♦ ♦♠♥s

♦r♣

❬❱❲❪ ❱s ❲r ♦♥ ♠♦tt s♦rt♥ r♥

t②♦st♠ s♦♠ ♠♦♥ ♦r♠t♦♥ ♦♣②s ♦r♥

❬❱❲❪ ❱s ❲r ♦♥ ♦ t②♦st♠ s♦♠ s

♠rt♦♥ ♦r♥ ♦ ♦rt ♦♦②

❬❲t❪ ❲trs ♠s ♠♦ ♦r ♥♠t♦♥ tr♠♥s♦♥ ①

♣rss♦♥ ♥ P Pr♦♥s ♦ t t ♥♥ ♦♥r♥ ♦♥

♦♠♣tr r♣s ♥ ♥trt t♥qs ♣♣

❬❲❪ ❲♥♥ ñs P r♥ P ♦r ♥rs

t♥srt② ♠♦ sr♥ t ♠♥ ♦r ♦ t ②t♦st♦♥

strtr ♦♠♣tr t♦s ♥ ♦♠♥s ♦♠ ♥♥r♥

❬❲❪ ❲♥♥ ♦ s② t♥♥ rs♣♦♥s ♦ r

t♥srt② ♠♦ ♦r♥ ♦ ♦rt ♦♦②

❬❲P∗❪ ❲r r♥ Pr②r ♦♦r♦ ❱♦tr

❲ rs♦♥ P ♠♦♥ ②♥♠ ♥stt② ♦ ♥

♠r♦ts ♥②③ ② ♦ t ♠r♦s♦♣② rt ♦♥st♥ts ♥

tr♥st♦♥ rq♥s ♦r♥ ♦♦②

❬❲P∗❪ ❲♥♥ P♥s r♥t ❱ r r②

♦ s② ♦ ♦ r t♦♥ ♥ ♠r♦♥r♦♥♠♥t ♦♥t♦♥s

♦♥ ②t♦st♦♥ st♥ss ssss ② t♥srt② ♠♦ r♦♣♥ P②s

♦r♥ ♣♣ P②ss

❬❳❩❪ ❳♦ ❩ ❩♥ r♣② r♦ts P ②♥♠ s

trt♦♥ ♦ ♠♦ttrt♥t r♣t♦rs ♥ ♥ s r♥ ♠♦t①s ♥

♣rsst♥t st♠t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦♦②

❬❨❪ ❨st ♦♥♦r ♦r♣♦♦ ♥s ♥ ♥rt s♣♥s

ss♦t t ♦♥tr♠ s②♥♣t ♣stt② ♥♥ ♦ r♦s♥

❬❨❪ ❨♥ ♥s ♦rt sq ♦r ♠♦ ♦r ♣ss ♦ ♦

♦r♣

q s♣r s ♥t♦ ♠r♦♣♣ts ♦♣②s ♦r♥

❬❩❪ ❩♠r r ♦r ♦♠♣①t② ♥ ②♥♠s ♦ ♠tr①

s♦♥s ♦r♥ ♦ ♥

❬❩❪ ❩♠♦♥ ♥ tr♥st♦♥ ♥ t♥ ♠♥t ♦r♥③t♦♥ r

r♥t ♣♥♦♥ ♥ ♦♦②

❬❩❪ ❩♠♥ ♠♠ tsr P ♥rr

♦♠♣tt♦♥ ♠♦ ♦r ♠rt♦♥ ♥ tr♠♥s♦♥ ♠trs ♦

♣②s ♦r♥ st

és♠é

♦ésr ②♥♠q t s ♥trt♦♥s s♦♥ ♥r♦♥♥♠♥t s♠ ♥éssr ♣♦r ♣rér ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ r♥ ♥♦♠r rs t ♠é♥s♠s s♠t♦♥ s ♣r♦sss ♥s ♥ ♥ ♣r♠tt♥t ♣résr s ér♥ts ♦♥tr♥ts ♥ t s ♠é♥s♠s ♠♣qés r♣rés♥t ♥ ♦t ♣ré① ♣♦r ①♣♦rr s stt♦♥s q♥st ♣s ♣♦ss étr ①♣ér♠♥t♠♥t ♦rs s r♥èrs ♥♥és ♥♦♠r①tr① ♦♥t été ♣r♦♣♦sés ♣♦r ♠♦ésr s ♠♦♠♥ts t s é♦r♠t♦♥s s s ♣rqs ♥tr♥♥♥t ♥s ♥♦♠r① ♣r♦sss ts q s♦♥ t ♠rt♦♥ r é♦♣♣♠♥t ♠r②♦♥♥r ♦ ♥ ♥♦r r♦ss♥ t♠rs ♥érss Pr♠ s♣♣r♦s s s②stè♠s éqt♦♥s ér♥ts ♦♥stt♥t rt♥♠♥t ♦r♠s♠ ♣stsé ♣♥♥t s ♦♥ ♦♥sèr ♥ ♣♦♣t♦♥ s ♥ ♥trt♦♥ s♠t♦♥ séqt♦♥s ♣r s ♦rt♠s ♥♠érqs ♥ésst s rss♦rs ♥♦r♠tqs ♠♣♦rt♥ts ♥tr♠s ♠é♠♦r t s ♣s ♦♣r s rét♦♥s ♠qs à ②♥♠q s rt♥t s rét♦♥s ♠r♥t t♠♥t s

♥s ♦♥t①t tr tès r♣rés♥t ♥ ♣♣r♦ tr♥t t ♦♥stt ♥♣r♠èr ét♣ rs é♦rt♦♥ ♥ s♠tr r st♥é ① ♦♦sts ésr♥t tstrr s ♦♥♥és ①♣ér♠♥ts ♦ ♣rér é♠r♥ ♦♠♣♦rt♠♥ts ♦s ♣r♦♣♦s♦♥s ♥ ♣♣r♦ ②♥♠q srèt ♥ tr♦s ♠♥s♦♥s ♣♦r ♠♦ést♦♥ s②stè♠s♦♦qs ♥ ♦♠♥♥t s ♠é♥s♠s ♦r♥ rs éstté r ②♥♠q ②t♦sqtt rét♦♥s ♠qs à ér♥ts és t♠♣s s♦♥ à ♠♥tt s♣ ♣s ♥térr ♥érr à ♠r♦♥ sqà ♥ ♣♦♣t♦♥ s s♣érr à ♥t♠ètr ❯♥ rt♦♥ ①♣t st ♥s ét ♥tr s rét♦♥s♠qs érés ♣r t ②♥♠q s♦♥ ♠♦♠♥t t♦t ♥ ♦♥sér♥t ss♥① ①trrs ♦s ♥♦s ♥térss♦♥s é♠♥t ① ♦s ♥trt♦♥ ♥tr ♦ts ♦♦qs t ♥♦s tt♦♥s à érr ér♥ts t②♣s ♦♥tts sstrtr é♦t♦♥ ②♥♠q ss♠♥t r♦♠♥t t s ♦♥séq♥s sr rttr ♦ tss

♦tsés ♦è ♣②sq srt éqt♦♥s ér♥ts ♦r♥rs s♠tr r♠♦♠♥ts t é♦r♠t♦♥s rs ♦♥tt ♦♥t ♠♦ést♦♥

strt

♦♥ t ②♥♠s ♥ t ♥trt♦♥s t ts ♥r♦♥♠♥t s ♥ssr② t♦ ♣rtt ♦r ♦ ♠♥② rs ♥ ♠♥s♠s s♠t♦♥ ♦ t ♣r♦sss ♥ ② ♦♥ t♦ s♣② t r♦s strsss t st ♥ t ♠♣ ♠♥s♠s r♣rs♥ts t♦♦ t♦ ①♣♦r stt♦♥s r ♠♣♦ss t♦ st② ①♣r♠♥t② r♥ t st ②rs♥♠r♦s ♦rs r ♣r♦♣♦s t♦ ♠♦ ♠♦♠♥ts ♥ ♦r♠t♦♥s s t② r ss♥t ♦r ♠♥② ♠♣♦rt♥t ♦♦ ♥ ♠ ♣r♦sss ♥♥ s♦♥ ♥ ♠rt♦♥t ♦r♠t♦♥ ♦ ♠r②♦s ♦r t r♦t ♦ ♥r♦s t♠♦rs ♠♦♥ ts ♣♣r♦ss②st♠s ♦ r♥t qt♦♥s r rt♥② t ♠♦st s ♦r♠s♠ ♦r ♦♥sr ♣♦♣t♦♥ ♦ ♥♣♥♥t ♥ ♥trt♥ s t s♠t♦♥ ♦ t rst♥ qt♦♥s t♥♠r ♠t♦s rqrs rr ♦♠♣tt♦♥ rs♦rs ♦r♦r ♦♣♥ ♦ rst ♠ ♣r♦sss ♥ t ♠♥s ♦ ♦♥t♥♦s ♦s ♦st♥ t ♠ rt♦♥s s ♣rs♥t②r② t

♥ ts ♦♥t①t ts tss s ♥ tr♥t ♣♣r♦ ♥ rst st♣ t♦rs t ♦rt♦♥♦ r s♠t♦r ♦r t ♦♦sts s♥ t♦ tst♦♥r♠ ①♣r♠♥t t ♦r t♦ ♣rtt ♠r♥ ♦ ♦rs ❲ ♣r♦♣♦s ②♥♠ srt ♣♣r♦ ♦r t ♠♦♥ ♦♦♦ s②st♠s ② ♦♠♥♥ ♠♥s♠s ♦ rs ♦r♥ stt② ②t♦st♦♥ ②♥♠s ♠ rt♦♥s t r♥t t♠ r♦♠ t s♦♥ t♦ t ♠♥t ♥ ♥t ssr♦♠ ♠r♦♠trs t♦ t♥s ♦ ♠♠trs s ♥ ①♣t rt♦♥s♣ s sts t♥t ♠ rt♦♥s ♦st ② t ♥ t ②♥♠s ♦ ts ♠♦♠♥t t♥ ♥t♦♦♥t t ①trr s♥♥ ❲ r s♦ ♥trst ♥ t ♥trt♦♥ s t♥ ♦♦ ♦ts ♥ ♣② ♣rtr tt♥t♦♥ t♦ sr sr t②♣s ♦ ♦♥tts sstrt tr ②♥♠ ♦t♦♥ s♥ r♦♥ ♥ t ♦♥sq♥s ♦♥ r ♦rtssr rttr

②♦rs P②s② s srt ♠♦ ♦r♥r② r♥t qt♦♥s r s♠t♦rr ♠♦♠♥ts ♥ ♦r♠t♦♥s ♦♥ ♦♥tt ♠♦♥