8/18/2019 Model Linear 2
1/35
BAB 10
UNBALANCED FIXED-EFFECTS MODELS(MODEL TAK SEIMBANG DENGANPENGARUH TETAP)
Ikin Sodikin (156090500111001)
8/18/2019 Model Linear 2
2/35
Notasi-R
Model Dua Arah Tanpa Interaksi
Model Dua Arah Dengan Interaksi
Model Higher-Order
Contoh Numerik dengan SAS
Method of Unweighted Means (MUM)
Outline
8/18/2019 Model Linear 2
3/35
8/18/2019 Model Linear 2
4/35
Suatu model dikatakan tetap jika percobaan yang
perlakuan atau level-level dari faktornya ditetapkan oleh
peneliti sebelum penelitian dilakukan. Level-level
faktornya mempunyai suatu ciri-ciri tertentu yang dapat
membedakan dengan level yang lain dan dapat
mewakili populasi yang dihipotesiskan atau dibayangkan
ada. Model acak hanya ingin menunjukkan variasi antar taraf
yang diteliti, bukan perbedaan antar level yang diteliti
seperti pada model tetap.
8/18/2019 Model Linear 2
5/35
Contoh : Penelitian pengaruh pejantan sapi Bali terhadap
berat lahir anak dari induk yang dikawini. Digunakakan 4
ekor sapi pejantan (SP) masing-masing dikawinkan dengan
5 ekor sapi betina yang seragam. Maka sapi pejantan bisa
model tetap atau acak.
Model tetap : Peneliti menetapkan SP berdasarkan umur,
misal : Umur SP1 2 thn, SP2 2.5 thn, SP3 3 thn, dan SP4 3.5 thn,
atau berdasarkan bobot (250, 300, 350, dan 400 kg)
Model acak : Peneliti tidak menetapkan SP berdasarkan ciri-
ciri ttt. Peneliti mengambil secara acak 4 ekor SP dari suatu
populasi sapi jantan.
8/18/2019 Model Linear 2
6/35
Model pengaruh tetap tak seimbang Model linear
yang hanya memiliki pengaruh tetap kecuali untuk
komponen error atau galat yang bersifat acak atau
random.
8/18/2019 Model Linear 2
7/35
Model Linear Umum dalam bentuk matriks :
dimana :
X : matriks berukuran n × p
: vektor dari parameter tetap tidak diketahui
: vektor galat diasumsikan memiliki rata-rata nol danmatriks varians-kovarians
Memiliki :
- Jumlah Kuadrat Regresi (JKR) : (
)
−
dilambangkan dengan ()
- Jumlah Kuadrat Error/Galat (JKG) : [ − ]
8/18/2019 Model Linear 2
8/35
Misalkan model linear :
Maka JKR : ( )−
Jika dipartisi sebagai : , di mana dan berukuran masing-masing n×p1 dan n×p2. Vektor
dipartisi
menjadi =( : ), maka model linearnya menjadi :
Memiliki JKR : , ( )− Sehingga diperoleh perbedaan antara JKR tersebut :
| , − ( )−
8/18/2019 Model Linear 2
9/35
| merupakan peningkatan JKR yang dihasilkan dari
penambahan untuk model yang hanya berisi . Dalamhal ini, dikatakan disesuaikan untuk , atau telahditambahkan setelah :
, |
Secara umum, jika setiap kali dipartisi menjadi k subvector, , ..., maka : | ⋯ … … … … . |, , … . . , −
8/18/2019 Model Linear 2
10/35
Contoh model dua arah tanpa interaksi :
() () () Maka JKR untuk model penuh : , , | |, Dimana :
: JKR untuk model yang hanya berisi | , , dengan , : JKR untuk modelyang berisi dan , dan
|, , , ,
8/18/2019 Model Linear 2
11/35
Jika model , dengan asumsi ~(0, ), danmisalkan () dan (). Maka :a)
| berdistribusi noncentral chi-squared denganderajat bebas r – r
1 , dengan parameter noncentral yaitu
[ − ] b) , | , dan , saling bebas, di mana adalah
jumlah kuadrat galat/residual (JKG)
c) | ( ), di mana adalah parameternoncentral pada poin (a)
Teorema 10.1
8/18/2019 Model Linear 2
12/35
Berdasarkan Teorema 10.1 diperoleh statistik F :
/ ( )/()
Sebagai penguji hipotesis nol :
:
−
0
Jika berpangkat kolom penuh, maka hipotesis direduksimenjadi :
: 0
8/18/2019 Model Linear 2
13/35
Definisi 10.1 : JK Tipe I (JK Sekuensial) untuk sebuah pengaruh,
, dalam model adalah | , dimana mewakili semuapengaruh sebelum dalam model.
Contoh : () () (), dimana I = 1, 2, ...a; j = 1, 2,..., b
JK Tipe I untuk pengaruh dan masing-masing adalah | dan |,
Contoh :
() () (), dimana i = 1, 2, ...a; j = 1, 2,
..., b
JK Tipe I untuk pengaruh dan masing-masing adalah | dan |,
Jumlah Kuadrat Tipe I
8/18/2019 Model Linear 2
14/35
Definisi 10.2 : JK Tipe II untuk sebuah pengaruh, u, dalam
model disesuaikan untuk semua pengaruh lainnya dalam
model.
Contoh : () () (), dimana I = 1, 2, ...a; j = 1, 2,..., b
JK Tipe II untuk pengaruh dan masing-masing adalah |, dan |,
Jumlah Kuadrat Tipe II
8/18/2019 Model Linear 2
15/35
Definisi 10.3 : JK Tipe III (JK Parsial) untuk pengaruh, u, pada
prinsipnya, diperoleh dengan menyesuaikan u untuk semua
pengauh lainnya dalam model.
Contoh : () () () () , dimana I = 1, 2,...a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., nij
JK Tipe III untuk pengaruh , , dan interaksi masing-masing adalah |, , , |, , , dan |, ,
Jumlah Kuadrat Tipe III
8/18/2019 Model Linear 2
16/35
Model Umum : () () (), dimana i = 1, 2,..., a; j = 1, 2,..., b; k = 0, 1, ..., nij,
, (), dan () adalah parameter yang tidak diketahui
() saling bebas dan berdistribusi
(0, )
asumsi : n..>a+b-1, di mana n.. adalah jumlah total
pengamatan
nij , bisa saja nol untuk beberapa (i, j) yang menunjukkan
kemungkinan bahwa beberapa sel kosong (atau hilang)
Analog dengan model matrik : , - X berukuran n..×(a+b+1) yaitu, X=[1n..:H1:H2], dimana ⊕= .,
[⊕= :⊕= : … . . ∶ ⊕= ], dan . = - vector terdiri dari , () , dan ()
8/18/2019 Model Linear 2
17/35
Lemma 10.1 : Misalkan pola data dua arah adalah
sedemikian rupa sehingga () dan () estimable untuk semua i ≠ i’ dan j ≠ j’. Jika (i0, j0) adalah sel kosong,maka
a) Semua rataan sel, , dalam model bersifat estimableb) , () , dan () , untuk semua i ≠ i’ dan j ≠
j’, membentuk sebuah basis ruang dari semua fungsi
linear yang estimable dari parameter-parameter dalammodel
10.2.1 Fungsi-fungsi Linear yang estimable
8/18/2019 Model Linear 2
18/35
Fungsi-fungsi linear yang estimable :
= ()
()= Least-Square Mean untuk
baris i (i = 1, 2, ..., a)
(LSM(α()))
=
()= () Least-Square Mean untuk
kolom j (j = 1, 2, ..., b) (LSM (β j ))
LSM ini juga disebut sebagai Rata-rata Marginal Populasi
10.2.1 Fungsi-fungsi Linear yang estimable
8/18/2019 Model Linear 2
19/35
Jika adalah fungsi linear diduga dari dan A matriks yangberukuran s × p dan pangkat s (≤ a + b - 1), dan m adalah
vektor konstan yang diketahui, maka hipotesis yang dapat
diuji :
: Dengan statistik uji :
− −( )
di mana MSE = SSE / (n.. - a - b + 1)
H0 ditolak pada taraf kesalahan α jika F ≥ F α, s, n.. -a-b+1
10.2.2 Hipotesis-hipotesis Yang Dapat Diuji
8/18/2019 Model Linear 2
20/35
, | , dan |, saling bebas satu sama lain danbebas terhadap / ( . . 1 ). Selanjutnya, | /σ dan |, /σ berdistribusi chi-squared denganmasing-masing derajat bebas, a-1 dan b-1, dan
~χn..−−b+
Lemma 10.2
8/18/2019 Model Linear 2
21/35
Parameter noncentrality dari |, /σ adalah samadengan nol jika dan hanya jika () () ⋯ . ()
Lemma 10.4
Parameter noncentrality dari | /σ adalah sama dengannol jika dan hanya jika nilai-nilai :
() 1. (), 1,2, … . . , ,
=
Adalah sama untuk semua i.
Lemma 10.3
8/18/2019 Model Linear 2
22/35
Model :
() () ()
() () ()
Statistik Uji (Rasio F) (|) 1
, , 1
1
, , 1 Hipotesis yang diuji Untuk
:
∶ () 1. (), 1,2, … . . , ,
=
Untuk :
∶ ()
1
. () , 1,2, … . . , ,
=
Hipotesis dengan
rata-rata sel ∶ 1. , 1,2, … . . , ,
=
∶1
. , 1,2, … . . , ,
=
10.2.2.1 Hipotesis-hipotesis Yang Dapat Diuji Tipe I
8/18/2019 Model Linear 2
23/35
Model :
() () ()
Statistik Uji
(Rasio F) , , 1 , ,
, 1
Hipotesis
yang diuji
Untuk , ::() () ⋯ . ()
Untuk , : :() () ⋯ . ()
Hipotesis
rata-rata sel ∶ 1
=
1,2, … . ,
ditolak pada level jika , ≥ ,−,..−−+ ∶ 1
= 1,2, … … ,
ditolak pada level jika , ≥ ,−,..−−+
10.2.2.2 Hipotesis-hipotesis Yang Dapat Diuji Tipe II
8/18/2019 Model Linear 2
24/35
Model Lengkap : () () ()() (),dimana i = 1, 2,..., a; j = 1, 2,..., b; k = 0, 1, ..., nij,
, () , () , dan ()() adalah parameter yang tidakdiketahui
() saling bebas dan berdistribusi (0, ) asumsi : n..>ab, di mana n.. adalah jumlah total
pengamatan
Analog dengan model matrik :
,
- X berukuran n..×(a+b+ab+1) yaitu, [ . . : : : ] , dimana ⊕= . , [⊕= :⊕= : … . . ∶ ⊕= ] , ⊕= ⊕= dan . =
- vector terdiri dari , () , (), dan (αβ)(ij)
8/18/2019 Model Linear 2
25/35
8/18/2019 Model Linear 2
26/35
Teorema 10.2 : Jika () ~ N (0, ), maka :a)
~−
b)
~− c) . === , bebas terhadap dan
d)
~..−
dan adalah parameter noncentral faktor A dan B
Pengujian Hipotesis
8/18/2019 Model Linear 2
27/35
8/18/2019 Model Linear 2
28/35
Statistik Uji (rasio F) : , , ,,− − , dimana , , , , , , , JK Tipe III u/pengaruh interaksi
, , ber distribusi F noncentral dengan derajat bebas(a - 1)(b - 1) dan n.. – ab. Dengan parameter noncentral
0, jhj .. − 0
10.3.1.1. Pengujian Pengaruh Interaksi
8/18/2019 Model Linear 2
29/35
Dari model umum : , jika L Vektor konstanta, maka′(’)− ’ estimable jumlah elemen-elemen L yang muncul pada ′(’)− ’ =
pangkat dari X = a+ b - 1
Sebagai contoh, pertimbangkan model (10.10) : ()
() () hubungkan dengan kumpulan data pada Contoh10.1. Dalam hal ini, ( , , , 3 , , , 3 ), (, , … … … … , 7) Atas dasar tabel 10.6, diperoleh fs. Linear :
′(’)− ’ 3 3 3 3 3 3 5 ( 3 )6
Opsi E dalam PROC GLM di SAS
8/18/2019 Model Linear 2
30/35
Model yang disarankan : () ()
()() ()
Dengan menggunakan SAS diperoleh hasil ANOVA
Tipe III faktor A, B dan AB :
MSError = 0.1904 dengan db = 7
Hipotesis yang diuji :
- H0: LSM(α ) sama untuk semua i = 1, 2, ..., a - H0: LSM( ) sama untuk semua j = 1, 2, ..., b- H0: tidak ada interaksi antara A dan B (10.62 )
Tabel 10.11 ketiganya signifikan, termasuk interaksi
Uji Pengaruh Polinomial
- Pengaruh B pada A tetap :pengaruh linear dankuadrat dari B signifikan untuk level A 0,3
- Pengaruh A pada B Tetap : semua pengaruh
linear dari A yang signifikan untuk setiap level B
8/18/2019 Model Linear 2
31/35
MUM mendefinisikan jumlah kuadrat yang analog terhadap yang
diperoleh dari situasi data seimbang dengan satu observasi per
kombinasi perlakuan, yaitu, rataan sampel dari sel yang
bersangkutan
Unweighted JK u/ faktor A dan B, serta AB :
ℎ . ..
=
ℎ . ..
=
ℎ . . .. ==
dimana ℎ adalah rata-rata harmonik = ℎ
=
=
8/18/2019 Model Linear 2
32/35
Lemma 10.7
Perkiraan terbaik dari dalam dengan matriks
diagonal dari bentuk diperoleh ketika
Lemma 10.8
a) () ℎ . .. = ( 1 ) b) () ℎ . .. = ( 1 )
c) () ℎ . . .. == (1)(1)
di mana . 1
=, .
1
=, ..
1
=
=
8/18/2019 Model Linear 2
33/35
Perkiraan Distribusi
,
, dan
a)
.~ − , dimana . .. =
b)
.~ − , dimana . ..
=
c)
.~ (−)(−) 3 , dimana3 . . ..
==
8/18/2019 Model Linear 2
34/35
Pengujian Hipotesis :
a) Statistik Uji (Rasio F) : (−), untuk menguji hipotesis : . . ⋯ . ..
mendekati distribusi F dengan db (a – 1) dan (n.. – ab)
(−), untuk menguji hipotesis : . . ⋯ . .. mendekati distribusi F dengan db (b – 1) dan (n.. – ab)
(−)(−),
8/18/2019 Model Linear 2
35/35
Top Related