8/19/2019 MDS Praktikum
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HTWK Leipzig
Fakultät Elektrotechnik
Modellbildung dynamischer Systeme
Protokolle der Praktika 1-4
Jonathan Köhler
Matrikelnummer 58376
EIK(12)AT
8/19/2019 MDS Praktikum
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Inhaltsverzeichnis
1 Modellierung eines Gleichstrommotors mit Simulink und Simscape 4
1.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Aufgaben und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Signalorientierte Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Objektorientierte bzw. physikalische Modellierung . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Identifikation nichtparametrischer Modelle 20
2.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Funktionen ’cra’, ’etfe’ und ’spa’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Praktikumsaufgaben und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Einlesen von Messdaten, Erstellen der Datensätze für die Identifikation 22
2.2.2 Schätzung der Gewichtsfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.3 Schätzung des Frequenzganges über Fourier-Transformation . . . . . . 23
2.2.4 Schätzung des Frequenzganges mittels Spektralanalyse . . . . . . . . . 24
2.2.5 weitere Auswertungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Identifikation parametrischer Modelle 27
3.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Praktikumsaufgaben und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 Identifikation von ARX-Modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.2 Identifikation von ARMAX- und Box-Jenkins-Modellen . . . . . . . . 31
3.2.3 Identifikation von Prozessmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.4 Weitere Auswertungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
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4 Identifikation eines Gleichstrommotors 40
4.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Aufgaben und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.1 Versuch 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.2 Versuch 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.3 Versuch 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3
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1 Modellierung eines
Gleichstrommotors mit Simulink
und Simscape
1.1 Vorbereitung
1. Die Maschengleichung des Motors lässt sich aufstellen zu
V m = RmI m + LdI m
dt + ktωm. (1.1)
Durch umstellen erhalten wir die erste Differentialgleichung mit
İm = −Rm
L Im +
Vm
L −
ktωm
L . (1.2)
Weiterhin gilt die Momentenbilanz
J ges ϕ̈ = J ges ω̇l = M m −M reib −M Last (1.3)
sowie die Teilgleichungen
ıges = i1 · i2 (1.4)
M m = ktI migesηmηg (1.5)
M Reib = B0sign(ωl) + Bgωl (1.6)
J ges = J mi2gesηg + J g + J l. (1.7)
Durch Einsetzen und Umstellen erhalten wir die zweite DGL:
˙ωl =
1
J ges (ktI migesηmηg + B
0sign
(ωl) + Bgωl−M Last)
(1.8)
ω̇l = 1
Jmi2gesηg + Jg + Jl(ktImigesηmηg + B0sign(ωl) + Bgωl −MLast) (1.9)
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Die beiden DGLs lassen sich verbinden über den Strom I m sowie über das Verhältnis der
Winkelgeschwindigkeiten, welches sich ergibt zu
ωl = ωm
iges . (1.10)
Abbildung 1.1: Modellierung in Simulink
2. Abbildung 1.1 zeigt das aus den DGLs aufgebaute Simulationsmodell f ̈ur Simulink.
3. Die Übertragungsfunktionen lassen sich herleiten zu:
G(s) = I m(s)
V m(s) =
1
s · Lm + Rm(1.11)
G(s) = I m(s)
V m(s) =
1
kmi1i2(1.12)
G(s) = I m(s)
τ L(s) =
1
(kmηm − km)ηgi1 + i2(1.13)
G(s) = I m(s)
τ L(s) =
1
s(J mi1i2 + J gηgi1+i2
+ Bg(1.14)
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1.2 Aufgaben und Auswertung
1.2.1 Signalorientierte Modellierung
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Abbildung 1.4: Sprungantwort für V m = 3V und M Last = 0Nm
Abbildung 1.5: Sprungantwort für V m = 4V und M Last = 0Nm
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Abbildung 1.6: Sprungantwort für V m = 5V und M Last = 0Nm
Abbildung 1.7: Sprungantwort für V m = 6V und M Last = 0Nm
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Abbildung 1.8: Sprungantwort für V m = 6V und M Last = 0.001Nm
Abbildung 1.9: Sprungantwort für V m = 6V und M Last = 0.005Nm
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Abbildung 1.10: Sprungantwort für V m = 6V und M Last = 0.01Nm
Abbildung 1.11: Sprungantwort für V m = 6V und M Last = 0.02Nm
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1.2.2 Objektorientierte bzw. physikalische Modellierung
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Abbildung 1.12: Sprungantwort für V m = 1V und M Last = 0Nm
13
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Abbildung 1.13: Sprungantwort f ̈ur V m = 2V und M Last = 0Nm
Abbildung 1.14: Sprungantwort f ̈ur V m = 3V und M Last = 0Nm
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Abbildung 1.15: Sprungantwort f ̈ur V m = 4V und M Last = 0Nm
Abbildung 1.16: Sprungantwort f ̈ur V m = 5V und M Last = 0Nm
15
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Abbildung 1.17: Sprungantwort f ̈ur V m = 6V und M Last = 0Nm
Abbildung 1.18: Sprungantwort f ̈ur V m = 6V und M Last = 0.001Nm
16
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Abbildung 1.19: Sprungantwort f ̈ur V m = 6V und M Last = 0.005Nm
Abbildung 1.20: Sprungantwort f ̈ur V m = 6V und M Last = 0.01Nm
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Abbildung 1.21: Sprungantwort für V m = 6V und M Last = 0.02Nm
1.2.3 Auswertung
• Das Simulationsmodell befindet sich bereits in der Vorbereitung auf Seite 5.
• Das Simulationsmodell f ̈ur Simscape zeigt Abbildung 1.22
• Zwischen den Ergebnissen mit Simulink und mit Simscape liegt ein Unterschied. Der
Anstieg der Winkelgeschwindigkeit ist beim Simscape-Modell größer. Begründet werden
kann dies damit, dass die Reibung nicht mit implementiert wurde.
• T 1 = 1, 055–1 = 0, 055
Kp = 1, 65
G(s) = 1.651+0.055s
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Abbildung 1.22: Grafik des Simscape-Modells
Abbildung 1.23: Grafik zur Bestimmung der Übertragungsfunktionen
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2 Identifikation nichtparametrischer
Modelle
2.1 Vorbereitung
2.1.1 Funktionen ’cra’, ’etfe’ und ’spa’
In diesem Abschnitt gibt es eine kurze Erklärung für die wichtigsten Funktionen, mit denen in
diesem Praktikum gearbeitet wird.
• cra: gibt die ’geschätzte Impulsantwort’ wieder, beaufschlagt mit weißem Rauschen (wei-
ßes R. ist sehr günstig für Berechnung der Gewichtsfolge, aber da u(t) fast nie ein solches
ist, wird u(t) (durch Filter L) mit weißem Rauschen überlagert)
• efte: Schätzung des Frequenzganges mittels Fouriertransformation und optionaler Steue-
rung der Glättung (über den Parameter M:= Fensterbreite des Hamming-Fensters im Zeit-
bereich)
• spa: Bewertung des Signals mittels Kreuz- und Autokovarianz und anschließend Fourier-
transformation (= Schätzung des Frequenzgangs mittels Spektralanalyse)
2.1.2 Kontrollfragen
1. Warum ist die Forderung, dass das Eingangssignal u(t) und das St ̈ orsignal v(t) unkor-
relliert sein sollen verletzt, wenn ein geregeltes System identifiziert werden soll?
Wenn ein geregeltes System identifiziert werden soll, sind Ausgangs- und Eingangssi-
gnal durch die Rückführung gekoppelt. Dadurch sind auch Eingangs- und Störsignal nicht
mehr unabhängig voneinander, sondern gekoppelt.
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Abbildung 2.1: Hammingfenster f ̈ur M=10
2. Welche Voraussetzungen muss ein stochastischer Prozess erf ̈ ullen, damit er durch die Au-
tokorrelationfunktion charakterisiert werden kann?
Ein stochastischer Prozess muss stationär und ergodisch sein, um durch die Autokorrela-
tion charakterisiert zu werden.
3. Worin unterscheiden sich Autokorrelationfunktion und Autokovarianzfunktion? Was muss
daher vor Anwendung der oben dargestellten Methoden ggf. mit den Messdaten gesche-
hen?
• Autokorrelation ist die Autokovarianz normiert auf 1
Autokorrelation = AutokovarianzProdukt der Standardabweichung
• Mittelwertfreiheit schaffen
4. Skizzieren Sie ein Hamming-Fenster f ̈ ur M = 10. Skizzieren Sie den Betrag seiner Fourier-
Transformierten. Nutzen Sie hierf ̈ ur Matlab.
Abbildung 2.1 auf Seite 21 zeigt ein Hammingfenster f ̈ur M=10
5. f n = 1
2
1
0.08s = 6.25Hz
Frequenzbereich b=0... 6.25Hz
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Abbildung 2.2: Darstellung der ersten 50 Werte der Gewichtsfolge der Datensätze dry2de100,
-250 und -500
2.2 Praktikumsaufgaben und Auswertung
2.2.1 Einlesen von Messdaten, Erstellen der Datensätze für die
Identifikation
• Durcharbeiten der Schritte a-f (s. Aufgabenstellung), abspeichern der ident-Session im
angelegten Verzeichnis
• Datensätze in den Workspace exportieren, weiterarbeiten im Command-Window
2.2.2 Schätzung der Gewichtsfolge
Abbildung 2.2 auf Seite 22 zeigt die ersten 50 Werte der Gewichtsfolge der Datensätze dry2de100,
-250, -500 und dry2dv. Dabei lassen sich die Totzeiten abschätzen aus der Zeit, die das Signal
braucht, um das erst Mal aus dem Konfidenzband auszutreten. Also gilt für alle Datensätze:
T t ≤ 4 · 0.08s = 0.24s
Das dynamische Verhalten ist gekennzeichnet durch positive und negative Werte, welche jedoch
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Abbildung 2.3: Bode-Diagramm mit Frequenzgangschätzungen der Datensätze dry2de100, -
250 und -500
bis auf die erste große Auslenkung im Konfidenzband bleiben und deshalb als Turbulenzen an-
gesehen werden dürfen. Das Gesamtsystem ist also nicht schwingungsf ̈ahig.
Das stationäre Verhalten beginnt ab dem letzten Eintreten ins Konfidenzband. Da dieses mit
zunehmenden Werteanzahlen kleiner wird verlängert sich auch die Zeit bis zum Beginn des sta-
tionären Verhaltens.
Das System kann als stabil betrachtet werden, da es auf einen festen Endwert zugeht und nicht
etwa im unendlichen endet.
2.2.3 Schätzung des Frequenzganges über
Fourier-Transformation
• Grafische Darstellung der Freqeunzgangschätzungen (Abbildung 2.3)
• Grafische Darstellung der Frequenzgangschätzungen nach Fensterbreite (Abbildung 2.4)
• Der Vergleich der Fensterbreiten macht deutlich, dass bei kleiner Fensterung (M=10) die
Amplituden stark gedämpft werden, bei sehr großen Fenstern jedoch das Rauschen stark
zunimmt (M=500). Die günstigste Fensterbreite ist bei M=50, da die Amplitude kaum
gedämpft und kaum Rauschen vorhanden ist.
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Abbildung 2.4: Bode-Diagramm mit Frequenzgangschätzungen des Datensatzes dry2de500 f ̈ur
Fensterbreiten (M=10,50,100,500
2.2.4 Schätzung des Frequenzganges mittels Spektralanalyse
• Darstellung der geschätzten Frequenzgänge mittels Spektralanalyse (Abbildung 2.5)
• Die Darstellung der geschätzten Frequenzgänge mittels Spektralanalyse f ̈ur verschiede-
ne Fensterbreiten zeigen ein ähnliches Ergebnis wie bereits unter Punkt 2.2.3 mit der
Fourier-Transformation erklärt. Die gleichen Faktoren (Amplitudendämpfung und Rau-
schen) lassen auch hier den Schluss zu, Fenster M=50 als sinnvoll anzunehmen.
• Der Vergleich in der Abbildung 2.2.4 zeigt, dass vor allem f ̈ur die Fourier-Transformation
eine Fensterung klare Vorteile zur Rauschunterdrückung bringt. Auch bei der Spektral-
analyse brachte das Fenster eine leichte Verbesserung. Letztendlich liegen die beidenGraphen nach der Fensterung mit M=50 nahezu perfekt übereinander - das Ergebnis bei-
der Analysen mit Fenster ist also gleich.
2.2.5 weitere Auswertungen
1. Welche Aussagen bringen uns nun die Frequenzgangschätzungen? So weist der Amplitu-
dengang in Abbildung 2.2.4 zwei erkennbare Knicke bei etwa 3 und 9 rads
auf, nachdem
er mit P-Verhalten beginnt. An den Knickpunkten ändert sich auch der Phasengang ent-
sprechend. Wenn man den Gesamtverlauf des Phasenganges dazu betrachtet, zeigt er ein
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Abbildung 2.5: Bode-Diagramm mit Frequenzgangschätzungen (Spektralanalyse) der Da-
tensätze dry2de100, -250 und -500
Abbildung 2.6: Bode-Diagramm mit Frequenzgangschätzungen (Spektralanalyse) des Daten-
satzes dry2de500 f ̈ur verschiedene Fensterbreiten
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Abbildung 2.7: Vergleich der Spektralanalyse mit Fouriertransformation (je mit und ohne Fens-
ter M=50)
starkes Totzeitverhalten, welches wohl durch das Einschalten des Föhns zustande kommt.
Da ein Föhn physikalisch als nicht schwingungsfähig betrachtet werden sollte, können
wir das auch hierfür gut annehmen. Schlussfolgernd könnte man ein P T 2T t-System ver-
muten.
2. Die Nyquist-Frequenz ist die maximale Frequenz für sinnvole Ergebnisse und errechnet
sich für eine Abtastzeit von 0.08s mit der Formel
f Nyquist = 1
2f s = 0.5
1
0.08s = 6.25Hz. (2.1)
Die obig erwähnten Abbildungen (Graphen) zeigen ebenfalls nur Werte f ̈ur Frequen-
zen bis max. 6.25Hz an, sodass die Funktionen ’spa’ und ’cra’ die Nyquistfrequenz als
Höchstgrenze für ihre Berechnungen nutzen.
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3 Identifikation parametrischer
Modelle
3.1 Vorbereitung
Abbildung 3.1: Einsatz des ’Curve Fitting Tools’ zur Regression der Daten aus der Vorbereitung
1. Regression eines linearen, statischen Systemes: im Matlab-Tool ’Curve fitting’ k ̈onnen
die Einngans- und Ausgangsvektoren eingegeben und verarbeitet werden. Als Ergebnis
zeigt sich dann Abbildung 3.1 mit 0.91 ≤ K ≤ 1.082 innerhalb des 95%-Intervalls,
woraus man sicher auf K = 1 schließen kann. (siehe auch ’Zusatzangaben 1’.)
2. Die prozentuale Anpassungsgüte ist ein Maß daf ̈ur, wie gut die Gerade die Werte trifft
und wird berechnet aus den Quadraten der Abweichungen.
3. Wenn in einem PN-Diagramm die Nullstellen zu nahe beieinander liegen, wurde die Ord-
nung zu hoch gewählt
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Abbildung 3.2: Modelldaten für das ARX-Modell mit na = nb = 4 und nk = 2
3.2 Praktikumsaufgaben und Auswertung
Da im Folgenden häufiger die Modelldaten inklusive der z-Übertragungsfunktion gefordert ist,
wird zur Lösung dieser Aufgaben jeweils eine Abbildung mit den entsprechend wichtigen Daten
eingef ̈ugt.
3.2.1 Identifikation von ARX-Modellen
1. Abbildung 3.2 (Seite 28) zeigt die Modelldaten f ̈ur ein Modell vierter Ordnung, wie in
Aufgabe 4.1 gefordert
2. Wenn in einem PN-Diagramm eine Pol- und eine Nullstelle innerhalb des Einheitskrei-
ses ’nahe beieinander’ liegen, k ̈onnen sie gegeneinander gek ̈urzt werden. Ab der f ̈unften
Ordnung oder höher lassen sich Pol- und Nullstellen in diesem System k ürzen, sodass die
vierte Ordnung sich als sinnvoll erweist.
3. Das System zweiter Ordnung (Daten in Abbildung 3.3) weist in seinem Verlauf sehr
starke Ähnlichkeiten zum Graphen der Funktion vierter Ordnung auf, auch die Anpas-
sungsgüte liegt mit 93% verglichen zu 95% sehr nah beieinander. Der FPE ist jedoch
ungef ̈ahr doppelt so groß.
4. In der Autokorrellation wird die statistische Unabhängigkeit eines Signals mit sich selbst
errechnet, deshalb sollte das Analysesignal zu jedem Zeitpunkt innerhalb des Konfidenz-
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Abbildung 3.3: Modelldaten für das ARX-Modell mit na = nb = nk = 2
Abbildung 3.4: Residuenanalyse für Systeme zweiter (Hellblau), dritter (schwarz) und vierter(dunkelblau) Ordnung
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Abbildung 3.5: ARX Strukturauswahl
Abbildung 3.6: Werte f ̈ur die ausgewählten Modellordnungen
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bandes liegen, faktisch also null betragen. Nur bei τ = 0 darf es auf 1 springen (da
Dirac-Impuls). Die in Abbildung 3.4 dargestellte Residuenanalyse lässt das Model zwei-
ter Ordnung als Möglichkeit ausscheiden, da es nicht den Forderungen der AKF und KKF
entspricht.
5. Abbildungen 3.5 und 3.6 zeigen die Ergebnisse der automatisierten Ordnungswahl und
die Daten der drei ausgewählten Modelle.
3.2.2 Identifikation von ARMAX- und Box-Jenkins-Modellen
1. Abbildung 3.7 zeigt die Modelldaten a) des ARMAX-Modells und b) des Box-Jenkins-
Modells. Verglichen mit dem ARX-Modell zweiter Ordnung in Abbildung 3.3 auf Sei-
te 29 ist zwar der FPE-Wert fast derselbe, doch ist die Güte immerhin um fast 1% auf
>94% verbessert
2. Der Residuenvergleich der drei Modelle zweiter Ordnung in Abbildung 3.8 auf Seite 33
macht deutlich, dass schon das ARMAX-Modell besser die Funktion darstellt als das
ARX-Modell. Noch besser zeigt sich, vor allem in der Autokorrellation, das Box-Jenkins-
Modell, welches das Konfidenzband abgesehen vom erwarteten Sprung bei τ = 0 nicht
verlässt.
3.2.3 Identifikation von Prozessmodellen
• Die Auswertung der Prozessmodelle (siehe Abb. 3.9 und Abb. 3.10)f ̈uhrt zu der Aussage,
dass f ̈ur eine gute Anpassungsgüte auf jeden Fall ein störbehaftetes Model ausgewählt
werden sollte. Der Unterschied zwischen den Systemen PT 2T t und PT 3T D1T t ist dann
sehr marginal. Ich würde das Modell P T 2T t mit Störbehaftung auswählen.
• Basierend auf den Abbildungen 3.11 bis 3.14 weisen die beiden Systeme ähnlich gute
Ergebnisse auf, wobei erwartungsgemäß die 1-Schritt-Prädiktion die genauere ist.
• Am Beispiel der Übergangsfunktion (Abb. 3.15) und des PN-Diagrammes (Abb. 3.16)
verglichen, würde ich mich erneut f ̈ur das Modell P T 2T t entscheiden
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Abbildung 3.7: Werte f ̈ur die ausgewählten Modellordnungen
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Abbildung 3.8: Residuenanalyse der Modelle ARX (blau), ARMAX (orange) und Box-Jenkins
(gelb)
Abbildung 3.9: Residuenvergleich von PT 2T t ohne Störung (lila), mit Störung (hellgrün) und
PT 3T D1T t mit Störung (dunkelgrün)
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Abbildung 3.10: Modelldaten der Modelle aus Abbildung 3.9
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Abbildung 3.11: Ausgangssignal mit 1-Schritt Weite
Abbildung 3.12: Errorsignal mit 1-Schritt Weite
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Abbildung 3.13: Errorsignal mit 20-Schritt Weite
Abbildung 3.14: Ausgangssignal mit 20-Schritt Weite
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Abbildung 3.15: Übergangsmodelle der drei angewendeten Funktionen
Abbildung 3.16: PN-Diagramm der drei angewendeten Funktionen (Farben siehe Abb. 3.15)
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3.2.4 Weitere Auswertungen
Die Praktikumsversuche P2 und P3 benutzen denselben Datensatz ’dryer2.mat’, f ̈uhren aller-
dings verschiedene Operationen damit aus. Im Versuch P2 wurden verschiedene Methoden zurFrequenzanalyse durchgef ̈uhrt, im Versuch P3 wurde dagegen aufbauend auf dem Datensatz
eine Modellbildung und -validierung mit diversen Methoden durchgef ̈uhrt.
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Zusatzangaben
1. Die händische Rechnung der ersten Vorbereitungsaufgabe kann relativ einfach mit den
folgenden Gleichungen f ̈ur die Koeffizienten a & b der Gerade y(x) = a + bx erledigt
werden:
a) Koeffizient a:
a =
ynN −
b
xnN
b) Koeffizient b:
b = xnyn−
xn
ynN
x2n−
xn
ynN
normalsize
c) Durch Einsetzen der Zahlenwerte erhalten wir die beiden Koeffizien-
ten zu: b = 1.1+3.6+9.3+16− (1+2+3+4)(1.1+1.8+3.1+4)
4
1+3.24+9.61+16− (1+2+3+4)(1.1+1.8+3.1+4)4
a = 1.1+1.8+3.1+44
−b(1+2+3+4)
4
Daraus folgt, dass b = 1.031 und a = −0.077.
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4 Identifikation eines
Gleichstrommotors
4.1 Vorbereitung
Abbildung 4.1: Stribeckkurve
1. Die Striebeckkurve mit den Bereichen (1) Haftreibung, (2) Übergang zw. den Reibungen
und (3) viskose Reibung zeigt den Verlauf der Reibungskreaft in Abhängigkeit von der
(Winkel-)Geschwindigkeit
2.
LmdI m
dt = V m − I mRm − kmωm (4.1)
(J g + ηgi21i
22J m) ω̇L = ηgηmkti1i2I m − ηgi1i2sign(ωL)M Reib −BgωL − τ l (4.2)
0 = V m − I mRm − kmi21i
22ωL (4.3)
0 = ηgηmkti1i2I m − ηgi1i2sign(ωL)τ Reib −BgωL (4.4)
I m = V m − kmi
21i
22ωL
Rm(4.5)
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τ R = ηgηmkti1i2V m − kmi
21i
22ωL
Rm= ηgi1i2sign(ωL)τ Reib + BgωL (4.6)
3. Modellordnung und statisches Verhalten
Das modellierte System wird dargestellt durch die ÜbertragungsfunktonG(s) = 1.7583radV −1s−1(1+0.0521s)s
und ergibt:
−→ T = 0.0521s sowie
−→ h(t) = 1.7583radV −1s−1.
Es handelt sich um ein PT1 System.
4. Abtastzeit f ̈ur Identifikation
Die obere Grenzfrequenz berechnet sich aus f go = 2π
T = 2π
0.0521 = 121Hz. Die Abtast-frequenz berechnet sich zu f abtast ≥ 2f go = 242Hz um das Nyquistkriterium nicht zu
verletzten
4.2 Aufgaben und Auswertung
4.2.1 Versuch 1
Tabelle 4.1 zeigt den aufgenommen Zusammenhang zwischen der Winkelgeschwindigkeit ω
und der eingestellten Spannung U dar. In Abbildung 4.2 ist der Zusammenhang der Winkelge-
schwindigkeit mit der Reibung dargestellt (vgl. Stribeckkurve).
Mit der Gleichung 4.6 lassen sich nun die Reibungskennwerte bestimmen. Durch Ermittlung
des Anstieges im geeigneten Kurvenbereich lässt sich der Reibungskoeffizient des Viskosität
und durch lineare Regression der Ausgleichsgeraden der Koeffizient Bg bestimmen.
Bg = p1 = 7, 0 · 10−3Nm (4.7)
Wert im Datenblatt: Bg = 4, 0 · 10−3Nm
Wie in der Vorbereitung festgestellt, lässt sich die Coulombsche Reibung aus der Reibung klei-
ner Drehzahlen berechnen mit der Formel:
τ Reib = τ R
ηgi1i2sign(ωL) =
0.012Nm
0.9 · 5 · 14 = 19.5 · 10−5Nm (4.8)
Wert im Datenblatt: Bg = 9, 0 · 10−5Nm
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U [V] Tacho ω[V ] Encoder ω[V ]
5.5 8.77 8.95
5 7.95 8.12
4.5 7.12 7.27
4.0 6.27 6.40
3.5 5.42 5.54
3.0 4.59 4.69
2.5 5.80 5.88
2.0 3.01 3.06
1.5 2.21 2.26
1.0 1.40 1.43
0.8 1.08 1.11
0.6 0.74 0.76
0.4 0.40 0.42
0.2 0.00 0.00
0.0 0.00 0.00
Tabelle 4.1: Datensatz zu Versuch 1
4.2.2 Versuch 2
Im Versuch 1 wurden die Parameter ausgerechnet mit: T 1 = 0.055s = 55ms
K p = 1.65
Die Parameter f ̈ur das reale Modell lassen sich berechnen zu
K p = ωstationaerU Sprung
= 3.075rads−1
2V = 1.538radV −1s−1
und
T = T 0.63 − T 0 = T (ω = ωmax(1 − e( − 1))) − T (ω = 0) = 1.0312s− 1s = 31.2ms
Die Werte von Modell und realem System unterscheiden sich leicht. Dies k ̈onnte durch Ab-
weichungen bei der Linearisierung und auch durch driftende Systemeigenschaften entstanden
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Abbildung 4.2: Graphische Darstellung der Werte aus Tab. 4.1
Abbildung 4.3: Sprungantworten f ̈ur positive und negative Spannungssprünge
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sein.
4.2.3 Versuch 3
PT1 - ohne St örgr ößenmodell G(s) = 1.632radV −1s−1
1·(0.0228s)s
PT1 - ohne St örgr ößenmodell G(s) = 1.632radV −1s−1
1·(0.022869s)s
Beide Modelle liefern eine ziemlich gute Nachbildung der Eigenschaften des Systems. Der Wert
für FPE von 0,00158 und ein Best Fit von 87,4 bestätigen dies. Darüber hinaus sind auch die
Parameter der Modelle denen aus dem Praktikumsversuch P1 ähnlich, wodurch deren Sinnhaf-
tigkeit bestätigt wird.