ARITMATIKATHP-FTP-UB
AIH
Types of numbers- natural numbersThe first number we ever meet is whole numbers, also called natural numbers, and these are written down using numerals.
Numerals is 0, 1, 2, ..,9, where the position of a numeral dictates the value that it represent.
For example,
246 stands for 2 hundreds, 4 tens and 6 units. That is 200 + 40 + 6
the natural numbers can be represented by equally spaced points on a straight line where the first natural number is zero 0.
Bilangan yang terletak disebelah kiri merupakan bilangan yang lebih kecil dari bilangan yang ditunjuk. Contoh 3 < 8, 5 < 6
TYPES OF NUMBERS-INTEGER NUMBERSIf the straight line displaying the natural numbers is extended to the left we can plot equally spaced points to the left of zero.
Titik-titik pada garis bilangan di bawah ini menunjukkan bilangan negative, yaitu natural numbers yang diberi tanda minus. Bilangan negative, positif, dan nol dinamakan bilangan bulat-integer numbers.
Seperti pada natural numbers, bilangan yang disebelah kiri merupakan bilangan yang lebih kecildari bilangan yang ditunjuk, contoh -5 < 3, -3 < -2
Brackets-tanda kurungDigunakan untuk memisahkan bilangan negative dengan symbol operasi aritmatika.
Contoh 2 (-3), 7 x (-2)
Addition and subtraction1. 4 6
2. 6 2
3. 6 + 2
Multiplication and DivisionMengalikan atau membagi dua bilangan positif atau negativemenghasilkan bilangan positif, sedangkan mengalikan atau membagibilangan positif dengan bilangan negative menghasiilkan bilangannegative
1. 2 x 3
2. -4 x 5
3. -5 x -5
4. -8 : 2
5. -4 : 2
Brackets and precedence rulesPenggunaan tanda kurung danprecedence rules untukmenghilangkan keambiguandalam perhitungan. Contoh
14 6 x 2 = 14 12 atau 8 x 2
Basic Laws of ArithmeticEmpat operasi dasar aritmatika adalah:
Addition and subtraction operasi yang
Multiplication and division saling berlawanan
1. Komutatif
4 + 8 = 8 + 4 = 12 dan 5 x 8 = 8 x 5 = 40
Berarti penjumlahan dan perkalian bersifat komutatif
4 3 3 4
4 : 2 2 : 4
Berarti pengurangan dan pembagian tidak bersifat komutatif
Basic Laws of Arithmetic2. Asosiatif
2 + (3 +4) = (2 +3) +4 = 9
3 x (4 x 5) = (3 x 4) x 5 = 60
Berarti penjumlahan dan perkalian bersifat asosiatif
Apakah pengurangan dan pembagian merupakan operasi aritmatika yang bersifat asosiatif? Tunjukkan
3. Distributive
Perkalian bersifat distributive kiri maupun kanan terhadap penjumlahan maupun pengurangan
2 x (3 + 5) = 2 x 8 = 16 dan (2 x 3) + (2 x 5) = 16, jadi 2 x (3+5) = (2 x 3) + (2 x 5)
(2+3) x 5 = 5 x 5 = 25 dan (2 x 5) + (3 x 5) = 25, (2+3) x 5 = (2 x 5) + (3 x 5)
Sedangkan pembagian bersifat distributive kanan tetapi tidak bersifat distributive kiri terhadappenjumlahan dan pengurangan. Beri contoh!
Faktorisasi3 dan 6 adalah factor dari 18, namun bukan satu-satunya factor, karena
18 = 1 x 18 = 2 x 9 = 3 x 6
Sehingga factor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, 18
Tentukan factor dari
1. 12
2. 36
3. 19
Bilangan primaBilangan prima adalah bilangan yang mempunyai factor 1 dan bilangan itusendiri.
Beri contoh!
FAKTORISASI PRIMA
Setiap bilangan natural, dapat dituliskan sebagai perkalian dari bilangan-bilangan prima.
Sebagai contoh 24 mempunyai factor 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 atau dapat dituliskan
24 = 2 x 2 x 2 x 3
Tentukan faktorisasi prima dari 126!
Highest common factor and lowest common multiple- FPB dan KPK144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3
66 = 2 x 3 x 11
KPK = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 11 = 1584
FPB = 2 x 3 = 6
Berapa KPK dan FPB dari 84 dan 512?
TRY
Decimal NumbersBila suatu bilangan bulat dibagi dengan bilangan bulat yang bukanmerupakan faktornya, mka hasilnya tidak mungkin bilangan bulat, contoh 25 : 8 = 3.125
3.125 merepresentasikan 3 + 1
10+
2
100+
5
1000
Bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk seperti di atas disebutbilangan decimal.
Rational, irrational and real numbersBilangan rational adalah bilangan yang dapat dijadikan dalam bentuk
pecahan, contoh 8 = 16
2
Bilangan irrational adalah bilangan yang tidak dapat dijadikan bentukpecahan atau dalam bentuk decimal yang tidak terbatas dan tidakberulang, seperti 2
The complete collection of rational and irrational numbers is called the collection of real numbers.
Permutasi Dan Kombinasi
Faktorial
Hasil kali semua bilangan bulat dari 1 hingga n
Permutasi
Penyusunan obyek ke dalam urutan tertentu.
Kombinasi
Penyusunan obyek tanpa memperhatikan urutan
Koefisien Binomial
Contoh PermutasiTentukan jumlah Urutan yang mungkin jika Murid-Guru-Karyawan harus berbaris!
Solusi:
MGK,
MKG,
GKM,
GMK,
KMG,
KGM.
Terdapat 6 Urutan
Posisi 1: ada 3 pilihan (M, G atau K)
Posisi 2: ada 2 pilihan (satu
kategori sudah dipakai di posisi 1)
Posisi 3: ada 1 pilihan (dua
kategori sudah dipakai di posisi 1
dan 2)
Jml Urutan
= 3 x 2 x 1
= 3!
= 6
Permutasi n obyek tanpa Pengembalian
A. Seluruhnya
Contoh:
Terdapat 4 macam buku statistis, 3 macam buku pemrograman dan 2 buku hardware. Ada
berapa cara menyusun buku-buku tsb?
Solusi:
a. 4 Buku statistik 4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara
b. 3 buku pemrograman 3P3 = 3! = 6 cara
c. 2 buku hardware 2P2 = 2! = 2 cara
d. Ketiga kelompok buku 3P3 = 3! = 6 cara
e. Seluruh buku = 24 x 6 x 2 x 6 = 1.728 cara
Solusi: n = 6
r = 4
Jumlah permutasi yang mungkin sebanyak
Permutasi n obyek tanpa Pengembalian
B. Sebagian
)!(
!Pr
rn
nn
Contoh: Dari 6 orang pendiri suatu Partai, akan dipilih Ketua, Wakil
Ketua, Sekretaris dan Bendahara. Ada berapa macam kemungkinan
susunan struktur Pengurus Partai tersebut?
36012
123456
)!46(
!646
x
xxxxxP
Solusi: n = 6
P = (n 1)!
= 5! = 5 x 4 x3 x 2 x 1
= 120 cara
Permutasi n obyek tanpa Pengembalian
C. Melingkar
P = (n 1)!
Contoh:
Enam orang duduk mengelilingi meja bundar. Ada berapa
kemungkinan urutan keenam orang tersebut?
Permutasi n Obyek Dengan Pengembalian
Contoh:
Tentukan permutasi dari ABC sebanyak 2 unsur dengan
pengembalian unsur yang terpilih
r
rn nP
Solusi:
n = 3
r = 2
3P2 = nr
= 32
= 9
AA, AB, AC
BB, BA, BC
CC, CA, CB
Permutasi dari n obyek dengan perulangan
!!...!!
!,...,,,
321
321
k
knnnn
nnnnnnP
Contoh:
Tentukan permutasi dari huruf-huruf STATISTIK
Solusi
n = 9S n1 = 2 n1! = 2T n2 = 3 n2! = 6I n3 = 2 n3! = 2
151202x6x2
362880
!2!.3!.2
!92,3,29
P
Masalah Kombinasi
No Obyek Eksp. Cara Eksp. Kemungkinan yang dapat hadir
1 O = {A,B,C,D}
Diundang 2 orang wakilnya untuk rapat keluarga
AB = c1AC = c2AD = c3 BC = c4BD = c5CD = c6
2 O = {A,B,C,D}
Diundang 3 orang wakilnya untuk rapat keluarga
ABC = c1ABD = c2ACD = c3BCD = c4
Masalah Kombinasi
42P
42C
42C
42P
Perhatikan bahwa
= x 2!
12 = 6 x 2!
6 2!Total = = 12 = 6 2= 6
2!
2!
2!
2!
2!
2!
AB dan BA
AC dan CA
AD dan DA
BC dan CB
BD dan DB
CD dan DC
c1 = AB
c2 = AC
c3 = AD
c4 = BC
c5 = BD
c6 = CD
Banyaknya
Permutasi
Jika elemen-elemen kombinasi itu
dipermutasikan
Macam
Kombinasi
Masalah Kombinasi
Macam
Kombinasi
Jika elemen-elemen kombinasi itudipermutasikan
Banyaknya
Permutasi
c1 = ABC
c2 = ABD
c3 = ACD
c4 = BCD
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA
ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, dan DBA
ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, dan DCA
ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, dan DBA
3!
3!
3!
3!
= 4 = 4 6 = 24 4 3!
Perhatikan bahwa
24 = 4 3!
= 3!
Dari :
(1) = 2!
(2) = 3!
42P
42C
43P
43C
42P4
2C2!
=
43P4
3C3!
=
Maka Secara Umum :
nrC = =
nrP
r!
n!
(n r)! r!
Hal.: 26PELUANG
Masalah Kombinasi
Kombinasi k Unsur dari n Unsur dengan beberapa
unsur sama
Misal 4 bola akan yang diambil dari dalam kotak berisi 4 bola
merah, 3 bolaputih dan 2 bola hijau.Empat bola yang diambil harus
terdiri dari 2 bola merah, 1 bola putih dan 1 bola hijau.
Cara pengambilan ini merupakan masalah kombinasi k unsur dari n
unsur dengan beberapa unsur yang sama.
Sehingga total cara pemilihan 4 bola dari 9 bola adalah
4 C 2 . 3 C 1 . 2 C 1 cara.
Number Systems- Denary (or decimal) system This is our basic system in which quantities large or small can be represented by use of the
symbols 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 together with appropriate place values according to their position
In this case, the place values are powers of 10, which gives the name denary (or decimal) to the system. The denary system is said to have a base of 10. You are, of course, perfectly familiar with this system of numbers, but it,s included here as it leads on to ather systems which have the same type of structure but which use different place values.
Number Systems-binary system This is widely used in all forms of switching applications. The only symbols used are 0
and 1 and the place values are powers of 2, i.e the system has a base of 2.
Number Systems- Octal System (base 8)
This system uses the symbols
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
With the place values that are powers of 8
In the same way then 263.4528 expressed in denary form is
Number System-Duodecimal System (base 12)
With a base of 12, the units columnneeds to accommodate symbols up to 11 before any carryover to the second column occours. Unfortunately, symbols go up to only 9, so we
have to invent two extra symbols two represent the values 10 and 11. several suggestion
for these have been voiced in the past, but we will adopt the symbols X and for 10 and
11 respectively. The duodecimal system, therefore, uses the symbols
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X,
and has place values that are powers of 12.
Number Systems-Hexadecimal System (base 16)
This system has computer applications. The symbols here need to go up to an equivalent denay value of 15, so, sfter 9, letters of the alphabet are used as follows:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
the place values in this system are powers of 16
To express a denary number in binary form
To express a denary number in octal form
To Change a Denary Decimal to Octal Form
TRY
Top Related