Indice General
1 Preliminares 3
1.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Clasificacion de las Senales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Senales Periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Senal Exponecial Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Senales de Energa Finita y de Potencia Media Finita 13
3 Transformacion de Senales 25
4 Senales Elementales 45
4.1 La Funcion Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 La Funcion Rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Funcion de Muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4 La Funcion Impulso Unidad: (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5 Derivadas de la Funcion Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5 Sistemas en Tiempo Continuo: Sistemas L.I.T 75
5.1 Sistemas Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Sistemas L.I.T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3 Estabilidad de Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales 83
6.1 Componentes Basicos de los Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1
2 INDICE GENERAL
6.2 Diagramas de Simulacion para Sistemas Continuos . . . . . . . 89
6.3 Obtencion de la Respuesta al Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4 Representacion Mediante Variables de Estado . . . . . . . . 97
6.4.1 Definicion de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4.2 Ecuaciones de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.5 Solucion en el Dominio del Tiempo de las Ecuaciones de Estado . 102
7 Representacion de Fourier: Series de Fourier 107
8 Convergencia de las Series de Fourier 127
8.1 Convergencia en los Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.2 Series de Fourier en Senos y Cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.3 Integracion y Diferenciacion de Serie de Fourier . . . . . . . . . . 135
8.4 Series de Fourier Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Captulo 1
Preliminares
1.1 Introduccion
Las senales y los sistemas son utiles en el estudio de algunas areas de la ingeniera
electronica tal como :
a) Procesamiento de senales (analogicos y digitales).
b) Sistemas de comunicacion.
c) Sistemas de control.
d) Modulacion.
e) Filtrado.
f) Sistemas realimentados.
Una senal se define formalmente como la funcion de una o mas variables, que
transporta informacion acerca de la naturaleza de un fenomeno fsico.
Un sistema se define formalmente como una entidad que manipula una o mas
senales para llevar acabo una funcion, produciendo de esta manera nevas senales.
La grafica que sigue es sugerente:
3
4 CAPITULO 1. PRELIMINARES
Sistema
Seal desalida
Seal deentrada
Figura 1.1
Representacion en diagrama de bloques de un sistema elemental.
1.2 Clasificacion de las Senales
Las senales se clasifican en senales de tiempo continuoy senales de tiempo
discreto. Decimos que una senal es de tiempo contnuo, si esta definida para
todo t, donde t es la variable independiente y se indica en la forma x(t). Una
senal es de tiempo discreto si tiene unicamente valores discretos, los cuales suelen
estar espaciados de manera uniforme, y se indica en la forma x[n], donde n =
0,1,2, . . . y desempena el papel de variable independiente.Existen sin embargo senales en tiempo continuo de interes, pero no en el sentido
amplio de la definicion. As por ejempo el pulso rectangular rect( t) que se define
como:
rec
(t
)=
1 , |t| < 20 , |t| > 2
(1.1)
con grafica
Figura 1.2
rect t
022
1
_
Esta senal es continua por tramos, ya que es continua en todos los valores de t
excepto para t = 2, y el salto en esos puntos es de amplitud 1. Otro ejemplo,
es el tren de pulsos que se muestra en la figura que sigue:
1.3. SENALES PERIODICAS 5
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
x( t )
Figura 1.3
Esta senal es continua para todo t excepto en t = 0,1,2, . . .Generalmente se considera que el valor de las senales x(t) es indefinida en los
puntos de discontinuidad. No obstante con la finalidad de considerar de forma
similar las senales continuas y las discontinuas por tramos, se acostumbra asignar
el valor
x(t1) =1
2[x(t+1 ) x(t1 )]
a la senal x(t) en el punto de discontinuidad t = t1.
1.3 Senales Periodicas
Definicion 1.1 Una senal (o funcion) es Periodica si ella satisface
x(t) = x(t+ T ) (1.2)
para todo valor de t. La constante minima T toma el nombre de Perodo Fun-
damentalde la senal. Mediante la repeticion de (1.2) nos permite escribir en
general: x(t) = x(t+nT ) con n, enteros. La figura que sigue representa la grafica
de una funcion o senal Periodica de perodo T .
. . .
. . .
x( t )
A
T2T 0 T 2T
Figura 1.4
6 CAPITULO 1. PRELIMINARES
Nota 1.1 Veremos mas tarde como de manera artificiosa, se puede convertir una
funcion no-periodica en una periodica.
Un ejemplo clasico de funciones perodicas son la funciones sin t y cos t con perodo
fundamental 2pi, y en general 2kpi, esto es:
cos t = cos(t+ 2kpi); sin t = sin(t+ 2kpi) con k = 0,1,2, . . .
1.4 Senal Exponecial Compleja
Una clase importante de senales de tiempo continuo es la senal de la forma:
x(t) = Ceat (1.3)
donde C y a en general son cantidades complejas. Dependiendo de los valores de
estas cantidades, la exponencial (1.3) puede adoptar varias caractersticas. Si C y
a son reales en cuyo caso la senal x(t) toma el nombre de exponecial real, la cual
toma dos comportamientos, si a > 0 la senal es creciente como se observa en la
figura (a) que sigue. De igual manera si a a < 0 la senal es decreciente como se
observa en la figura (b).
C C
00
x( t ) x( t )
t t
( a ) ( b )
Figura 1.5
El otro caso importante se refiere a un caso particular de (1.3) esto es:
x(t) = ejw0t, j =1, (o i = 1) (1.4)
1.4. SENAL EXPONECIAL COMPLEJA 7
Una propiedad distinguible de (1.4) es que esta senal es periodica. Se puede
verificar que (1.4) es periodica si existe un T tal que:
ejw0t = ejw0(t+T ) = ejw0tejw0T
de donde:
ejw0T = 1 (1.5)
Si w0 = 0, entonces x(t) = 1, la cual es periodica para cualquier valor de t. Si
w0 6= 0, entonces, el perodo fundamental T0 de x(t) es el valor positivo maspequeno de T , para el cual (1.5) se cumple, esto es:
T0 =2pi
|w0| ,(o T =
2pi
)(1.6)
Entonces las senales ejw0t y ejw0t tienen el mismo perodo fundamental. Por
la identidad de Euler, (1.6) tambien es valido para las funciones o senales sinu-
soidales.
Definicion 1.2 (w0= Frecuencia angular)
w0 = 2pif0 (o w = 2pifm o w = 2pifs) (1.7)
donde f0 tiene las unidades de ciclos por segundo o Hz.
Tambien: f0 =1T, y se denomina frecuencia pura o fundamental.
Ejemplo 1.1 EL movimiento armonico simple (o movimiento libre no-amortiguado)
esta disenado por la ecuacion diferencial:
d2x
dt2+ w2x = 0
(w2 =
k
m
)(1.8)
con solucion general:
x(t) = c1 coswt+ c2 sinwt (1.9)
El perodo de las vibraciones libres se describe con (1.6), y la frecuencia es: f0 =1T.
Supongamos entonces que para condiciones iniciales apropiadas la solucion gene-
ral (1.9) tenga la forma: (solucion particular donde las componentes tienen igual
frecuencia),
x(t) = 2 cos 3t 4 sin 3t
8 CAPITULO 1. PRELIMINARES
entonces el perodo sera: T0 =2pi3, y la frecuencia f0 =
32pi. Los resultados anterio-
res para T0 y f0, significan: para T0, la grafica de x(t) se repite cada2pi3unidades
y para f0, que existen 3 ciclos de la grafica que se repite cada 2pi unidades.
Nota 1.2 Cuando nos referimos a un movimiento armonico debemos entender
tambien como un movimiento vibratorio.
Una senal muy relacinada con la exponencial compleja perodica es la senal Senoidal
(o Cosenoidal).
x(t) = A sin(wt+ ) (1.10)
donde: A =c21 + c
22 y es el angulo de fase definido por:
sin = c1A
cos = c2A
tan = c1c2 = tan1(c1c2
)(1.11)
La comprobacion de estos hechos se puede efectuar, considerando la grafica del
triangulo rectangulo dado a continuacion:
A = c + cc
c
112
2
2
2
Figura 1.6
y multiplicando y dividiendo la solucion general (1.9) por A =c21 + c
22
Debemos indicar finalmente que T0 es la distancia entre dos maximos para las
funciones seno y coseno, y es un corrimiento de la figura como se observa en el
diagrama que sigue:
1.4. SENAL EXPONECIAL COMPLEJA 9
0
A
tA cos
T = 2w0 0
0pi
x( t) = A cos(w t+ )
Figura 1.7
donde t esta medido en segundos, y w0 en radianes y en radianes por segundo
respectivamente.
Nota 1.3 : w debe ser considerado desde el punto de vista fsico como la velocidad angular
en el movimiento circular, esto es:
w =d
dt, con = (t) (1.12)
y en este sentido, la funcion exponencial compleja debe interpretarse como una
rotacion con velocidad angular dada por w. (esta interpretacion de la exponencial
compleja es interesante para el desarrollo de los diagramas fasoriales.
Las exponenciales periodicas complejas juegan un papel central en el tratamien-
to de senales y sistemas. En muchas ocasiones es util considerar la nocion de
exponenciales complejas relacionadas de forma armonica esto es, conjuntos de
exponenciales periodicas con frecuencias fundamentales que son todas multiplos
de una sola frecuencia fundamental w0:
k(t) = ejkw0t k = 0,1,2, . . .
y donde el perodo fundamental es 2pi|k|w0 o con frecuencia fundamental |k|w0. Comouna senal que es periodica con perodo T , es tambien (por definicion 1.1) periodica
con perodo kT , para cualquier entero positivo k, vemos que todas las senales k(t)
tienen un perodo comun 2piw0.
10 CAPITULO 1. PRELIMINARES
Propiedad 1.1 (De una senal perodica)
Las suma de dos senalea periodicas, puede o no puede ser una senal periodica. Si
una senal tiene perodo T1 y otra senal tiene perodo T2, entonces si las suma de
las dos senales tiene un perodo T , obtenemos (hipotesis de periodicidad para la
suma).
T = kT1 = lT2 T1T2
=l
k(una expresion racional) (1.3)
donde k y l son enteros (positivos o negativos).
En efecto supongamos la suma:
z(t) = ax(t) + by(t)
donde x(t) y y(t) son senales con perodo T1 y T2 respectivamente. Como x(t) y
y(t) son periodicas, entonces por definicion
x(t) = x(t+ kT1); y(t) = y(t+ lT2).
Por lo tanto:
z(t) = ax(t+ kT1) + by(t+ lT2)
y si consideramos que z(t) es periodica con perodo T , tenemos:
z(t) = z(t+ T ) = ax(t+ T ) + by(t+ T ) = ax(t+ kT1) + by(t+ lT2)
de donde, por identificacion
T = kT1 = lT2 kl=T2T1
es una cantidad racional. El resultado se puede generalizar a n-senales periodicas.
Propiedad 1.2 (Operacion de Desplazamiento)
La senal x(t t0) es una version desplazada de la senal x(t) hacia la derecha sit0 > 0 y hacia la izquierda si t0 < 0. Se observa entonces que la senal no cambia
de forma en este desplazamiento. Luego se concluye: la integral de una funcion
periodica es independiente de los desplazamientos temporales (ver ejemplo (1.3)
posterior).
1.4. SENAL EXPONECIAL COMPLEJA 11
Ejemplo 1.2 Determinar cual de las siguientes senales son periodicas y si lo son,
determinar su perodo fundamental.
a) x1(t) = sin2pi3t
b) x2(t) = sin(2pi5t) cos(pi
3t)
c) x3(t) = sin 3t
d) x4(t) = x1(t) 2x3(t)
En efecto , para a) escribimos, bajo la hipotesis de que x(t) sea periodica (o de
que existe un T )
x(t) = sin
(2pi
3t
)= sin
(2pi
3t+
2pi
3T
)Si T = 3 (T exste) entonces tenemos:
sin
(2pi
3t+ 2pi
)= sin
(2pi
3t
)Para (b) escribimos x2(t) como la suma de dos sinusoides
sin2pi
5t cos 4
pi
3t =
1
2
[sin
(2pi
5t 4pi
3t
) sin
(2pi
5t+ 4
pi
3t
)]
=1
2sin
(14pi
15t
) 12sin
(26pi
15t
)Segun (a) para el primer sumando T1 =
157, y para el segundo T2 =
1513. Segun la
propiedad 1.1 k 157= l 15
13= T , se obtiene T = 15.
Para (c) x3(t), se tiene que esta senal es perodica con T =2pi13. Como no se puede
determinar enteros k y l que cumplan con kT1 = lT2, x4(t) no es perodica (Que
relacion tienen estos ejemplos con el ejemplo 1.1.?).
Ejercicio 1.1 Determinar el perodo fundamental T de cada una de las siguientes
senales:
a) cos pit
b) sin 2pit
12 CAPITULO 1. PRELIMINARES
c) sin 4pit
d) cos pi2t
e) sin pi3t
f) x(t) = sin(pi3t) + 2 cos(8pi
3t)
Captulo 2
Senales de Energa Finita y de
Potencia Media Finita
La Energa de una senal durante un intervalo temporal de duracion 2L se define
como:
E2L =
LL|x(t)|2dt (2.1)
y la Energa total de la senal en el intervalo t (,) como:
E = limL
LL|x(t)|2dt (2.2)
La potencia Media se define de la siguiente manera:
P = limL
[1
2L
LL|x(t)|2dt
](2.3)
Cuando el lmite definido en la ecuacion (2.2) y (2.3) existe y es finito (0 < E
14CAPITULO 2. SENALES DE ENERGIA FINITA Y DE POTENCIAMEDIA FINITA
Propiedad 2.1 El valor de la potencia media de una senal periodica de perodo
T es dado por:
P =1
T
T0
|x(t)|2dt (2.4)
Demostracion
Si x(t) es una senal periodica de perodo T , la integral de la ecuacion (2.3) tiene
el mismo valor sobre cualquier intervalo de longitud T . Tomando los limites de
forma que 2L sea un multiplo entero de perodo (es decir, 2L = mT ) encontramos
que la energa total de x(t) es un intervalo de longitud 2L es m veces la energa
en un perodo. Por lo tanto, la potencia media es:
P = limm
1
mTm
L0
|x(t)|2dt
=1
T
T0
|x(t)|2dt
Ejemplo 2.1 Sean las senales que se muestran en las figuras que siguen:
( a ) ( b )0 0
A A
x ( t ) x ( t )
A exp [t]A exp [t]
tt
Figura 2.1
1 2
Deseamos determinar si se trata de senales de energa finita o de potencia media
finita. La senal de la figura (a) es aperiodica con energa total:
E =
0
A2 exp[2t]dt = A2
2
que es un valor finito. Por tanto esta senal es de energa finita y su energa total
es A2
2. Su potencia es:
P = limL
(1
2L
LL
A2 exp[2t]dt)= lim
LA2
4L= 0
15
La energa total de la senal de la figura (b) es dada por:
E = limL
[ 0L
A2dt+
L0
A2 exp[2t]dt]
= limL
A2[L+
1
2(1 exp[2L])
]que no esta acotada. Por lo tanto, no es una senal de energa finita. Su potencia
media es dada por:
P = limL
1
2L
[ 0L
A2dt+
L0
A2exp[2t]]dt =
A2
2
Ejemplo 2.2 Consideremos la senal sinusoidal
x(t) = A sin(w0t+ )
que es periodica de periodo T = 2piw0.
La potencia media de la senal es:
P =1
T
To
A2 sin2(w0t+ )dt
=A2w02pi
T= 2piw0
o
[1
2 12cos(2w0t+ 2)
]dt
=A2
2
el resultado se debe a que la senal cos(2w0t + 2) es periodica de perodoT2y el
area encerrada bajo un coseno, medida sobre cualquier intervalo de longitud lT
siendo l un entero positivo es siempre cero. Se hizo uso de sin2 t = 12(1 cos 2t).
Nota 2.1 Casi todas las senales limitadas en el tiempo de interes practico son
senales de energa finita, tales como las que se observan en las figuras que siguen
(pulsos).
16CAPITULO 2. SENALES DE ENERGIA FINITA Y DE POTENCIAMEDIA FINITA
( a ) ( b )
0 0
A
A
x ( t ) x ( t ) = A exp [a| t |]
tt
Figura 2.2
1 2
22
_
donde para (a) E1 = A2 y para (b) E2 =
A2
a.
Ejercicio 2.1 Determinar si las siguientes senales son de energa finita, de po-
tencia media finita o ninguna de las dos cosas. Justificar las respuestas:
a) x(t) = A sin t, < t 0
e) x(t) = t(t)
f) x(t) = (t)
g) x(t) = Aexp[bt], b > 0
Ejercicio 2.2 Repetir el ejercicio anterior para las senales:
a) x(t) = t sin(pi3)t
b) x(t) = exp[2|t| ] sin(pit)
c) x(t) = exp[ 4|t| ]
d) x(t) = exp[j 5pi6]t
17
e) x(t) = 2 sin(3pi8)t cos(2pi
3)t
f) x(t) =
1 , t < 0exp[3t] , 0 tEjercicio 2.3
Demostrar que si x(t) es periodica de periodo T , entonces: T0
|x(t)|dt PT
siendo P la potencia media de la senal.
Ejemplo 2.3 El elemento basico en el movimiento armonico esta descrito por la
funcion (o senal).
x(t) = A sin(wt+ ) ()
donde w es la frecuencia en radianes (como ya se manifesto) por unidad de tiempo.
Para w = 440 2pi rad/seg debemos entender que hay 440 ciclos completos porsegundo (si es un angulo de rotacion entonces, v = w = d
dtpara = (t)).
Quisieramos ahora determinar el periodo fundamental para ().En efecto, si suponemos que () es periodica, entonces:
x(t) = x(t+ T ) = A sin[wt+ wT + ]
= A sin[(wt+ ) + wT ]
y si escribimos w = z2pi donde z es un entero positivo tenemos:
A sin[wt+ + 2pizT ]
Por lo tanto
2pizT = 2pi T = 1z
z 6= 0
Entonces x(t) dado por () es una funcion periodica con perodo
T =1
z=
2pi
2piz=
2pi
w= T
18CAPITULO 2. SENALES DE ENERGIA FINITA Y DE POTENCIAMEDIA FINITA
Ejercicio 2.3 Desarrollar la descomposicion par-impar de una senal x(t) apli-
cando las definiciones de funcion par e impar.
Rta:
xp(t) =1
2[x(t) + x(t)]
xi(t) =1
2[x(t) x(t)]
Ejercicio 2.4 Considere el par de senales que se muestran en las figuras que
siguen cual de estas senales es par y cual impar?. Determinar sus expresiones
analticas.
0 0
A
x ( t ) x ( t )
tt
Figura 2.3
1 2
22
_
Las senales x1(t), x2(t) mostradas anteriormente son, la parte real e imaginaria
de la senal de valor complejo x(t) Que forma de simetria tiene x(t)?.
Nota 2.2 Una senal de valor complejo x(t), se dice que es conjugada simetricasi
satisface la condicion: x(t) = x(t). Para la senal anterior esta x(t) es conjugadasimetrica.
Ejercicio 2.5 La figura que sigue muestra una onda triangular Cual es la fre-
cuencia fundamental?. Expresar la frecuencia fundamental en unidades de Hz o
rad/seg.
19
1
0
1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
timpo : segundos
Amplitud
t
Figura 2.4
Rta: 5Hz, 10pi rad/seg (onda triangular alternante entre 1 y 1 con perodofundamental de 0.2seg).
Ejercicio 2.6 Cual es la frecuencia fundamental de la onda cuadrada en el tiem-
po discreto que se presenta en la figura que sigue.
1
1
n2N
0pi
=
Figura 2.5
donde N es el periodo entero de la senal
Rta: pi/4 rad, ya que T = 8, f = 1 y w = 2pi8= pi
4.
Ejercicio 2.7 Probar que la potencia promedio de la senal en tiempo discreto que
se muestra en la figura anterior es 1.
Nota 2.3 Para el caso discreto:
P = limN
1
2N
Nn=N
x2(n)
20CAPITULO 2. SENALES DE ENERGIA FINITA Y DE POTENCIAMEDIA FINITA
Ejercicios de Repaso
1. Determinar las componentes par e impar de cada una de las siguientes:
a) x(t) = cos t+ sin t+ sin t cos t
b) x(t) = 1 + t+ 3t2 + 5t3 + 9t4
c) x(t) = 1 + t cos t+ t2 sin t
d) x(t) = (1 + t3) cos3(10t)
2. Determinar si las senales que siguen son periodicas, si lo son determine T .
a) x(t) = (cos(2pit))2
b) x(t) =5
k=5w(t 2k), para w(t) descrita en la figura que sigue:
x( t )
1
1
1t
Figura 2.6
3. La senal senoidal
x(t) = 3 cos(200t+
pi
6
),
se hace pasar por un dispositivo de funcion cuadratica definido por la relacion
de entrada-salida
y(t) = x2(t)
empleando la identidad trigonometrica
cos2 =1
2(cos 2 + 1)
muestre que la salida y(t) consiste en una componente dc y una componente
senoidal.
21
a) Especifique la componente dc.
b) Especifique la amplitud y la frecuencia fundamental de la componente
senoidal de la salida y(t).
4. Clasifique cada una de las siguientes senales como de energa o como de
potencia y encontrar la energa.
Nota 2.4 Una senal es de energa si y solo s la potencia promedio de la
senal satisface la condicion (ya especificada):
0 < E
22CAPITULO 2. SENALES DE ENERGIA FINITA Y DE POTENCIAMEDIA FINITA
x( t )
1.0
Figura 2.7 pi pi_
x(t) =
1
2[coswt+ 1] , pi
w t pi
w
0 , en otros casos
Determinar la energa total de x(t).
8. El pulso trapezoidal de la figura adjunta se define por medio de:
x(t) =
5 t , 4 t 51 , 4 t 4
t+ 5 , 5 t 40 , en otros casos
x( t )
t5 5
4 43 32 21 0 1
Figura 2.8
Determinar la energa total x(t).
23
9. El pulso trapezoidal x(t) del ejemplo anterior se aplica a un diferenciador,
definido por:
y(t) =d
dtx(t)
a) Determine la salida resultante y(t) del diferenciador.
b) Determine la energa total de y(t).
10. Un pulso rectangular x(t) esta definido por:
x(t) =
A , 0 t T0 , en otros casosEl pulso x(t) se aplica a un integrador definido por
y(t) =
t0
x()d
Determinar la energa total de y(t).
24CAPITULO 2. SENALES DE ENERGIA FINITA Y DE POTENCIAMEDIA FINITA
Captulo 3
Transformacion de Senales
Es de interes en lo que sigue, establecer un tipo de operaciones con las senales que
tienen que ver con la transformacion de la variable independiente. Las operaciones
basicas son la operacion de reflexion, escala y desplazamiento (temporal).
La operacion general que involucre las tres operaciones particulares antes definidas
sera motivada con el siguiente.
Ejemplo 3.1 Supongamos la senal dada por la grafica que sigue:
t
x( t )
1
1 2 3
Figura 3.1
0
La expresion analtica de esta senal es dada en la forma :
x(t) =
1 , 1 t 20 , en otros casosEfectuemos la operacion de reflexion que consiste en cambiar la variable indepen-
25
26 CAPITULO 3. TRANSFORMACION DE SENALES
diente t por t
x(t) =
1 , 1 t 20 , en otros casosx(t) =
1 , 2 t 10 , en otros casosLa grafica de la senal sera entonces:
t
x( t )
1
11 22 33
Figura 3.2
0
Fsicamente esta operacion de reflexion invierte la senal x(t) con respecto al eje
t = 0, osea que la figura resultante es simetrica con respecto al eje vertical. Co-
mo ejemplo de aplicacion tenemos: si x(t) representa una senal de audio en una
grabadora de cinta, entonces x(t) representa la misma grabacion pero reproduci-da en sentido contrario (recordemos que el tiempo fsico t siempre va hacia futuro).
Veamos nuevamente la misma senal dada en el ejemplo, y hagamos el cambio de
la variable t por t 1, esto es, la operacion.
x(t 1) = 1 , 1 t 1 20 , en otros casos
tenemos entonces:
x(t 1) = 1 , 2 t 30 , en otros casos
y esta operacion es llamada Desplazamiento Temporal. La grafica de x(t1) seraentonces
27
t
x( t1 )
1
1 42 3
Figura 3.3
0
Vemos que x(t 1) es una version de la senal x(t) desplazada en el tiempo unaunidad (en general t = t0). Si t0 > 0 la senal esta retrasada t0 segundos. Fisica-
mente t no puede tomar valores negativos (tiempo real en futuro) pero, desde el
punto de vista analtico, tomamos t0 < 0, con lo que la figura queda desplazada t0
unidades de tiempo a la izquierda. El mismo resultado se obtiene, si se mantiene
fija la senal x(t) y quien se desplaza es el referencial (t, x(t)). Las senales que
se relacionan mediante la transformacion de desplazamiento en el tiempo apare-
cen en aplicaciones como radar, sonar, sistemas de comunicacion y tratamiento
de senales ssmicas en las cuales varios receptores situados en diferentes localiza-
ciones detectan una senal que esta siendo transmitida a travez de un cierto medio
(agua, aire, etc). En este caso, la diferencia en el tiempo de propagacion desde el
punto de origen de la senal transmitida a cualquiera de dos receptores resulta en
un corrimiento del tiempo entre las senales medidas por los dos receptores.
Nota 3.1 Las operaciones de desplazamiento temporal y reflexion no son conmutivas.
La reflexion esta relacionada con las propiedades de simetra que puedan poseer
las senales.
Se dice que una senal es par si:
x(t) = x(t) (3.1)
y decimos que una senal tiene simetra impar (o es antisimetrica) si:
x(t) = x(t) (3.2)
28 CAPITULO 3. TRANSFORMACION DE SENALES
Propiedad 3.1 Una senal arbitraria x(t) puede expresarse como la suma de una
senal par y de otra impar:
x(t) = xe(t) + x0(t) (3.3)
Siendo xe(t) la parte par, y x0(t) la parte impar. El resultado (3.3) se obtiene, si
escribimos:
xe(t) =12[x(t) + x(t)] (a)
x0(t) =12[x(t) x(t)] (b)
(3.4)
La defincion de paridad e imparidad tiene las siguientes consecuencias: (consid-
eradas nuestra integrales en el sentido de Riemann).
Para la integral de una funcion par: aax(t)dt = 2
a0
x(t)dt
y para la integral de una funcion impar: aax(t)dt = 0
Veamos entonces algunos ejemplos adicionales respecto a las dos operaciones es-
tablecidas
Ejemplo 3.2 Los sensores de vibracion se montan en los ejes delanteros y traseros
de los vehculos para recoger las vibraciones debidas a la rugosidad de la calzada.
La senal del sensor delantero es x(t) y se muestra en la figura que sigue.
t
x( t )
60
Figura 3.4
0(en metros)
seal ejedelantero
90
29
La senal del sensor del eje trasero se modela con x(t 120). Si los sensores estanseparados 1.5 metros, es posible determinar la velocidad del vehculo comparando
la senal procedente del sensor del eje trasero con la senal procedente del sensor
del eje delantero. La figura que sigue ilustra la version retrasada de x(t) donde el
retraso es de 120 metros o de 0.12seg. El valor del retraso entre las senales de
los sensores de los ejes delanteros y traseros se relaciona con la distancia entre los
ejes dado por d y la velocidad del vehculo mediante la expresion:
d = v; ; v =d
=
1.5
0.12= 12.5
m
seg
t
x( t )
180
Figura 3.5
0
seal ejetrasero
210
Ejemplo 3.3 Un radar situado para detectar aeronaves a una distancia R de 45
millas nauticas (una milla nautica vale aproximadamente 1.852 metros) transmite
el tren de pulsos que se muestra en la figura que sigue
t
Figura 3.6
1.000
(Seal de radar transmitida)
Si existe un blanco, la senal transmitida se reflejara devuelta al receptor del radar.
El radar funciona midiendo el retraso temporal entre cada pulso transmitido, y el
correspondiente retorno o eco. La velocidad de propagacion C de la senal radar
30 CAPITULO 3. TRANSFORMACION DE SENALES
es de 161.875 millas nauticas por segundo.
El retardo de transito de la senal, es dada por:
=2R
C=
2 45161.875
= 0.556mts
Por lo tanto, el tren de pulsos recibidos es identico al transmitido, pero desplazado
0.556 metros a la derecha como muestra en la figura que sigue:
Figura 3.7
. . .
556
(tren de pulsos recibidos)pulsos recibidos
Ejemplo 3.4 Consideremos la senal definida por:
x(t) = f(t) = 2 cos(3t+ 30)
Queremos obtener la parte par e impar de esta senal. En efecto, debido al de-
splazamiento de fase 30, esta senal no tiene simetra par ni impar. Por (3.4)(a)
su parte par es:
xe(t) =1
2[2 cos(3t+ 30) + 2 cos(3t+ 30)]
= cos(3t+ 30) + cos(3t 30)
y utilizando las identidades para la suma y diferencia de un coseno, se obtiene:(3
2cos 3t 1
2sin 3t
)+
(3
2cos 3t 1
2sin 3t
)
de donde xe(t) =3 cos 3t y de manera analoga para la parte impar:
x0(t) = sin 3t
De esta manera la parte par de una sinusoide es una funcion coseno, y la parte
impar es una funcion seno.
31
Ejemplo 3.5 Las funciones de perodo T poseen un valor medio o promedio:
xav(t) =1
T
t0+Tt0
x(t)dt (a)
y un valor Cuadrado Medio:
|xav(t)|2 = 1T
t0+Tt0
|x(t)|2dt (b)
donde las integrales varan sobre un perodo T , y t0 es arbitrario como ya se
manifesto el valor cuadrado medio, tambien se le denomino Potencia Media de la
senal x(t). La raz cuadrada del valor cuadrado medio es el valor r.m.s. de x(t).
x(t)r.m.s =|x(t)|2av =
1
T
t0+Tt0
|x(t)|2dt (c)
Por ejemplo, el valor promedio de la funcion x(t) que aparece en la figura que
sigue:
Figura 3.8
. . . . . .
123 0 1 2 3t
es dada por:
xav =
10
etdt = 1 e1
y los valores cuadrado medio (potencia media ) y r.m.s.
|xav|2 = 10
e2tdt =1
2(1 e2)
xr.m.s =|x(t)|2av =
e2 12e2
Los calculos pueden ser simplificados para senales pares e impares para
(xe)av =1
T
T2
T2
xe(t)dt =1
T
0T
2
xe(t)dt+1
T
T2
0
xe(t)dt
32 CAPITULO 3. TRANSFORMACION DE SENALES
y si cambiamos la variable de integracion de t ax en la primera integral, tenemos:
1
T
T2
T2
xe(t)dt = 1T
0T
2
xe(x)dt+ 1T
T2
0
xe(t)dt
=1
T
T2
0
xe(t)dt+1
T
T2
0
xe(t)dt =2
T
T2
0
xe(t)dt
De manera analoga para una funcion impar:
1
T
T2
T2
x0(t)dt = 0
de donde, el promedio es cero. Un ejemplo especifico, lo tenemos para la funcion
o senal x(t) = sin t.
Ejercicio 3.1 Determinar el promedio para la funcion
x(t) = cos t.
Ejemplo 3.6
1. Probar que la combinacion lineal general de funciones impares es impar, y
que el producto de funciones impares es par.
En efecto, sean x(t) y y(t) funciones impares. Entoces:
z(t) = ax(t) + by(t)
z(t) = ax(t) + by(t)
= ax(t) + by(t)
z(t) = ax(t) + by(t) = z(t)
supongase las mismas, impares x(t) y y(t). Entonces:
z(t) = x(t)y(t)
z(t) = x(t)y(t) = x(t)y(t) = z(t)
33
2. Obtenga y dibuje las parte par e impar de la funcion o senal x(t) que se da
en la grafica de la pagina (???).
Respuesta:
Figura 3.9
0
0
t
t1 1
f (t) = 1/2(e +e )
f (t) = 1/2(e +e )
0 < t < 1
f (t) = x (t)
f (t)
1+e2
e
ee
t
t
t1
t1
0
0
3. Es f(t) = x(t) = sin t+ coswt periodica para w = 23?. De ser as Cual es
el perodo de f(t)? Repetir el ejemplo para w =2.
Repuesta: Si, T = 6pi
No.
Ejemplo 3.7 Consideremos la senal definida en la forma:
x(t) =
1 , t > 00 , t < 0 fig(a)La parte par e impar de esta senal son, respectivamente xe(t) =
12, para todo t,
excepto t = 0, ya que:
x(t) = 1 , t < 00 , t > 0 fig(b)
34 CAPITULO 3. TRANSFORMACION DE SENALES
1 1
0 0
x( t ) x( t )
t t
( a ) ( b )
Figura 3.10
xe =1
2(x(t) + x(t)) = 1
2(1) =
1
2
y
x0(t) =
12 , t < 012
, t > 0
ya que
x0 =1
2[x(t) x(t)]
con grafica:
1
1
0
x( t )
x( t )
t
Figura 3.11
El unico problema que tenemos ahora, es el valor de esas funciones en t = 0. Si
definimos: x(0) = 12(definicion que es consistente con la definicion de una senal
en un punto de discontinuidad) entoces:
xe(0) =1
2y x0(0) = 0
Ejemplo 3.8 Consideremos la senal:
x(t) =
Aet , t > 00 , t < 0
35
La parte par de la senal es:
x0(t) =
12Aet , t > 012Aet , t < 0
=1
2Ae|t|
La parte impar de x(t) es
x0(t) =
12Aet , t > 012Aet , t < 0
Las partes xe(t) y x0(t) se muestran en las figuras (b)y (c).
0 00
A A
A
A
x( t )x ( t ) x ( t )
1
1
1
2
2
2
ttt
_
Figura 3.12
e 0
Nota 3.2 Para funciones complejas (o senales complejas) se debe considerar una
parte real y una imaginaria. Una funcion compleja es hermitiana cuando su parte
real es par, y su parte imaginaria impar. Una funcion es antihermitiana cuando
su parte real es impar y su parte imaginaria es una funcion par. Las figuras (a) y
(b) que siguen son, la primera, la grafica de una funcion hermitiana, y la segunda
de una funcion antihermitiana.
36 CAPITULO 3. TRANSFORMACION DE SENALES
Img f( x ) Img f( x )
xx
Re f( x ) Re f( x )
( a ) ( b )Figura 3.13
Consideremos ahora la operacion de escalado, considerando nuevamente nuestra
funcion (o senal):
x(t) =
1 , 1 t 20 , en otros casosentonces escalemos la variable t por el factor 2 (un factor mayor que 1), tenemos
entonces:
x(2t) =
1 , 1 2t 20 , en otros casosde donde:
x(2t) =
1 , 12 t 10 , en otros casosy la grafica de la funcion escalada (por 2) sera
1
1
2 31/2
x( 2t )
t
Figura 3.14
37
Vemos entoces que la nueva grafica es una version comprimida en un factor 2 de
la grafica de x(t), y donde se observa que la topologade la figura no cambia.
Para x(12t) el problema es inverso, ya que la senal (su grafica) se expande en un
factor 12(2t = x, entoces es t = x
2y de manera analoga si x = 1
2t, osea t = 2x).
En este ultimo caso el factor de escala es menor que 1.
Por ejemplo si x(t) fuera la salida de un grabador de video, x(2t) correesponde
a la senal obtenida cuando la grabacion se reproduce a una velocidad 2 veces
superior a la que fue grabada, x(12t) es la senal que se obtiene cuando la grabacion
se reproduce a la mitad de la velocidad.
Ejemplo 3.9 Supongamos que deseamos representar la senal x(3t6) donde x(t)es la senal que se muestra en la figura.
x( t )
t321 0 1
Figura 3.14
Despues de escribir la senal x(t). Se tiene t 3t 6
x(3t 6) =
3t 5 , 53 t < 2
1 , 2 < t 83
3t+ 9 , 83< t 3
0 , en el resto
La figura que sigue muestra la senal x(3t 6) en funcion de tx( 3t6 )
t3 420 1
1
Figura 3.15
5/3 8/3
38 CAPITULO 3. TRANSFORMACION DE SENALES
Puede verse la senal x(t) comprimida por un factor de 3 (o escalada en el tiempo
por un factor 13) y desplazada posteriormente dos unidades de tiempo a la derecha.
Debemos cerciorarnos que si desplazamos en primer lugar y despues escalamos,
obtenemos una senal diferente. Por lo tanto, las operaciones de desplazamiento y
escalado temporal no son conmutativas. El primer resultado se obtiene de
x(3t 6) = x[3(t 2)]
que indica que primero debemos hacer el escalado, y posteriormente el desplaza-
miento.
Ejemplo 3.10 Se encuentra a menudo senales del tipo
x(t) = 1 Aet cos(w0t+ )
La figura que sigue muestra la senal para valores tpicos de A, y w0.
1Ae
1+Ae
1+A
1A
1.051.000.95
0t
t
x( t )
s
t
t
figura 3.16
Como puede verse, la senal se aproxima a un valor estacionario de 1 (tomese
lim x(t) cuando t) a medida que t tiende al infinito. En la practica se suponeque la senal alcanzar un valor final cuando permanece dentro de un porcentaje
especfico de su valor teorico. Este porcentaje se escoge generalmente del 5%
y el tiempo ts tras el cual la senal permanece dentro de ese rango se denomina
39
tiempo de establecimiento ts. Como puede verse en la figura, ts puede determinarse
resolviendo la ecuacion
1 + Aets = 1.05
de forma que:
ts = 1ln
[0.05
A
]Sea en particular:
x(t) = 1 2.3e10.356t cos[5t]
Deseamos encontrar ts para las senales x(t), x(t2), x(2t). Para x(t) como A = 2.3
y = 10.356 obtenemos ts = 0.3697seg como
x
(t
2
)= 1 2.3e5.178t cos[2.5t]
y
x(2t) = 1 2.3e20.712t cos[10t]
y de esta manera obtenemos ts = 0.7394 s, y ts = 0.1849 s. Para las senales
x( t2) y x(2t) respectivamente. Estos resultados son los esperados, ya que x(t) se
comprime por un factor 2 y se expande en el segundo caso por un factor 1/2, esto
es, como ts = 0.3697 s se tiene120.3697 = 0.1849 y 2 0.3697 = 0.7394 s.
Conclusion:
Dada la transformacion general de la variable independiente t en la forma: t+
la variable independiente se puede realizar como sigue:
x(t+ ) = x
[
(t+
)]esto es:
a) Escalado por un factor . Si es negativo, primero se realizara una reflexion
sobre el eje vertical.
b) Desplazamiento a la derecha si tiene signo negativo, y desplazamiento
izquierdo si tiene signo positivo.
40 CAPITULO 3. TRANSFORMACION DE SENALES
Ejercicio 3.2
a) Graficar la funcion o senal:
x(t) = 2 cos(2t 45)
y
x(t) = et cos 2t
b) Sea
x(t) =
t+ 1 , 1 t < 0t , 0 t < 22 , 2 t < 30 , en el resto
1) Dibujar x(t)
2) Dibujar x(t 2), x(t+ 3), x(3t 2) y x(23t+ 1
2).
Determinar las expresiones matematicas de estas senales o funciones.
c) Repetir el problema anterior para:
x(t) =
2t+ 2 , 1 t < 02t 2 , 0 t < 1Ejercicio 3.3 Considere el pulso triangular que se muestra en la figura que sigue:
T T
x( t )
t1 2
Figura 3.17
Determinar la version reflejada de x(t) en forma analtica y grafica.
41
Ejercicio 3.4 La senal en tiempo discreto se define como
x(n) =
1 , n = 1
1 , n = 10 , n = 0 y |n| > 1
Determinar una senal compleja y(n) definida en terminos de x(n) por:
y(n) = x(n) + x(n)
Rta: y(n) = 0 para todo valor entero de n.
Ejercicio 3.5 Repetir el problema anterior para:
x(n) =
1 ; n = 1 y n = 10 ; n = 0 y |n| > 1Rta:
y(n) =
2 ; n = 1 y n = 10 ; n = 0 y |n| > 1Ejercicio 3.6 La senal en tiempo discreto x(n) se define como:
x(n) =
1 ; n = 1, 2
1 ; n = 1,20 ; n = 0 y |n| > 2
Determinar la senal recorrrida en el tiempo y(n) = x(n+ 3).
Rta:
y(n) =
1 ; n = 1,2
1 ; n = 4,50 ; n = 3, n < 5 y n > 1
Ejercicio 3.7 Considere la senal en tiempo discreto x(n) definida por:
x(n) =
1 ; 2 n 20 ; |n| > 2
42 CAPITULO 3. TRANSFORMACION DE SENALES
determinar: y(n) = x(3n 2)Rta:
y(n) =
1 ; n = 0, 10 ; en otros casosEjercicios de Repaso
1. Un pulso trapezoidal x(t) se escala en el tiempo, produciendo: y(t) = x(at).
Dibujar y(t) para:
a) a = 5
b) a = 0.2
2. Un pulso triangular x(t), se describe en la figura adjunta:
x( t )
11t
Figura 3.18
Dibuje cada una de las siguientes senales obtenidas de x(t):
a) x(3t)
b) x(3t+ 2)
c) x(2t 1)
d) x(3t) + x(3t+ 2)
3. Sean x(t) y y(t) dos senales como las que se dan en las figuras que siguen.
43
11
11
2 00
1
1
1 22 3
Figura 3.19
tt
x( t )x( t )
Dibujar cuidadosamente las siguientes senales:
a) x(t)y(t 1)
b) x(t 1)y(t)
c) x(t+ 1)y(t 2)
d) x(t)y(2 t)
e) x(4 t)y(t)
4. Dibujar las formas de onda de las siguientes senales:
a) x(t) = (t) (t 2)
b) x(t) = (t+ 1) 2(t) + (t 1)
c) y(t) = r(t+ 1) r(t) + r(t 2)
d) y(t) = r(t+ 2) r(t+ 1) + r(t 1) + r(t 2)
44 CAPITULO 3. TRANSFORMACION DE SENALES
Captulo 4
Senales Elementales
Exsten varias senales importantes y que sirven de base para representar otras
senales, lo cual, permitira entender mejor las propiedades no solamente de las
senales si no tambien de los sistemas. Inclusive muchas de estas senales tienen
caractersticas tan especiales que resultan particularmente util en muchos proble-
mas de ingeniera.
La Funcion Escalon Unitario
La funcion escalon unitario de tiempo continuo se dfine como:
(t) =
1 , t > 00 , t < 01
1/2
0
Figura 4.1
. . .
. . . t
( t )
Debemos notar que esta funcion es discontinua en t = 0, y tiene muchas aplica-
ciones analticas y practicas. De acuerdo a nuestra convencion en t = 0, (0) = 12.
Un ejemplo de una funcion escalon unitario es la salida de una fuente de tension
de 1 V en serie, con un interruptor que se cierra cuando t = 0.
45
46 CAPITULO 4. SENALES ELEMENTALES
Ejemplo 4.1 La senal pulso rectangular que se muestra en la figura que sigue,
es el resultado de la operacion de cierre y apertura de una fuente de tension cons-
tante en un circuto electrico. En general, un pulso rectangular que se extiende
desde a hasta +a con amplitud A, se puede expresar como la diferencia entredos funciones escalon desplazadas apropiadamente. Es decir:
A rectg
(t
2a
)= A[(t+ a) (t a)] ()
y en nuestro ejemplo concreto:
2 rectg
(t
2
)= 2[(t+ 1) (t 1)]
1 0 1
2
t
2 rectg (t/2)
Figura 4.2
La funcion () es conocida tambien como la funcion filtro o funcion ventana, y seobtiene de la grafica que sigue (en general) cuando A = 1.
1
a bt
Figura 4.3
(t) =
1 , t > 00 , t < 0
47
(t a) = 1 , t > a0 , t < a
(t b) = 1 , t > b0 , t < b
y por diferencia, se obtiene la funcion filtro. Observar que la funcion escalon para
A = 1, corta una funcion a la izquierda de a. La funcion filtro corta una funcion
hacia la izquierda de a y hacia la derecha de b.
Ejemplo 4.2 Cual es la ecuacion de la funcion cuya grafica se da a conti-
nuacion?.
t
Figura 4.4
y
2
2
1
1 3 4
y = 2(t1)y = 4t
P R
Q
Para obtener el segmento de esta funcion entre 1 y 2, debemos multiplicar la
expresion 2(t 1) por una funcion filtro de tipo: (t 1) (t 2) esto es:
2(t 1)[(t 1) (t 21)] ()
lo cual da el segmento PQ. De manera analoga, el segmento QR sera:
(4 t)[(t 2) (t 4)) ()
y si sumamos las dos expresiones () y (), obtenemos en definitiva la funcionresultante de manera ordenada:
48 CAPITULO 4. SENALES ELEMENTALES
2(t 1)[(t 1) (t 2)] + (4 t)[(t 2) (t 4)]
= 2(t 1)(t 1) 3(t 2)(t 2) + (t 4)(t 4)
Debemos observar que el conjunto {(t k)} puede considerarse como una basepara representar una funcion definida a trozos.
Ejemplo 4.3 Consideremos la funcion signo original denotado con sig t como se
muestra en la figura que sigue. La funcion sig t se define originalmente (veremos
mas tarde otras definiciones equivalentes).
sig(t) =
1 , t > 0
0 , t = 0
1 , t < 0
1
1
0t
sig (t)
Figura 4.5
4.1 La Funcion Signo
Tambien se puede expresar en terminos de la funcion escalon:
sig(t) = 1 + 2(t) = 2(t) 1
lo cual se puede verificar haciendo uso de la definicion de la funcion escalon.
Nota 4.1 La funcion sig(t) es una de las senales que se utilizan mas frecuente-
mente en comunicaciones , y teoria de control.
4.2. LA FUNCION RAMPA 49
4.2 La Funcion Rampa
La funcion rampa se da en la grafica que sigue:
1
1t
r (t)
Figura 4.6
0
y tiene como definicion analtica:
r(t) =
t , t 00 , t < 0 r(t) = t , t 00 , t < 0
Esta funcion se obtiene integrando la funcion escalon: t
()d = r(t)
El dispositivo que realiza esta operacion se denomina integrador. Observamos por
definicion que la funcion rampa es continua en t = 0. El escalado temporal de
una rampa unidad por un factor genera una funcion rampa con pendiente
(la funcion rampa unidad tiene pendiente unidad). Un ejemplo de funcion rampa
unidad es la forma de onda correspondiente al barrido lineal en un tubo de rayos
catodicos.
Ejemplo 4.4 Sea
x(t) = (t+ 2) 2(t+ 1) + 2(t) (t 2) 2(t 3) + 2(t 4).
Sea y(t) la integral entonces:
y(t) = r(t+ 2) 2r(t+ 1) + 2r(t) r(t 2) 2r(t 3) + 2r(t 4)
y la senal y(t) se muestra en la figura que sigue:
50 CAPITULO 4. SENALES ELEMENTALES
1
1t
y( t )
Figura 4.7
02 1 2
2
3 4
Ejemplos y Ejercicios
1. Dibujar la siguiente senal:
x1(t) = (t) + 5(t 1) 2(t 2)
Solucion:
4
3
2
2
1
10
1
2
5
Figura 4.8
t
Por lo tanto
4.2. LA FUNCION RAMPA 51
4
3
3
2
2
1
10
5
Figura 4.9
6
t
2. Dibujar las siguientes senales:
a) x2(t) = r(t) r(t 1) (t 2)
b) x3(t) = et(t)
c) x4(t) = 2(t) + (t 1)
d) x5(t) = (t) (t a) a > 0
e) x6(t) = (t) (a t)
f) x7(t) = (cos t) emplear la definicion de (t)
g) x8(t) = x1(t) x2(t+12)
h) x9(t) = x1( t3 + 12) x3(t 2)
i) x10(t) = x2(t) x3(2 t)
3. a) Demostrar que:
xe(t) =1
2[x(t) + x(t)]
es una senal par.
b) demostrar que:
x0(t) =1
2[x(t) x(t)]
es una senal impar.
52 CAPITULO 4. SENALES ELEMENTALES
4. Consideraremos el sencillo transmisor de FM estereo que se muestra en la
figura que sigue
Amplificador
Amplificador
Sealde audioizquierda
Sealde audioderecha
Sumador
Sumador
Inversor
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
0
0
R( t )
L( t )
t
t
1
1
R
L L+R
LR
R
Figura 4.10
a) Dibujar las senales L+R y LR.
b) Si se suman las salidas de los dos sumadores, dibujar la forma de onda
resultante.
c) Si la senal L R se invierte y se suma a la senal L + R, dibujar laforma de onda resultante.
5. Para cada una de las senales que se muestran en la figura que sigue, es-
cribir sus expresiones utilizando las funciones basicas escalon unidad y ram-
pa unidad.
4.2. LA FUNCION RAMPA 53
1
at
t
t
t
t
t
x ( t )
x ( t )
x ( t )
x ( t )
x ( t )
x ( t )
0
0
0
a
a
a
a
b
a
a+baab a
a
ab a
a a
a 2a2ac
a
b
b
c
1 2
3 4
5 6
Figura 4.11
6. Si la duracion de x(t) se define como el tiempo que tarda la senal en
descender a 1ede su valor en el origen. Determinar entonces la duracion de
las senales siguientes:
a) x1(t) = AetT (t)
b) x2(t) = x1(3t)
c) x3(t) = x1(t2)
d) x4(t) = 2x1(t)
Solucion:
En las redes que contienen elementos de almacenamiento de energa, es util
caracterizar con un solo numero el ritmo en que la respuesta natural decae
a cero. La cantidad llamada constante de tiempo del circuito, realiza
esta funcion. El tiempo requerido para que la respuesta natural decaiga un
54 CAPITULO 4. SENALES ELEMENTALES
por factor de 1ese define como la constante de tiempo de una senal, y se
designara con . Definimos:ritmo o razon de cambio o cada por:
x(t+ )
x(t)=
1
e()
entonces para la senal: x(t) = AetT se tiene
x(t+ )
x(t)=Ae
(t+)T
AetT
=1
e
de donde
eT = e1
y
T= 1 = T
7. La senal x(t) = rect ( t2) se transmite por la atmosfera y se refleja en difer-
entes objetos colocados a diferentes distancias. La senal recibida es
y(t) = x(t) + 0.5x
(t T
2
)+ 0.25 T 2
La senal y(t) se procesa como se muestra la figura:
Retardo T/2
Retardo T
11/2 1/8
++ z( t )
x( t )
figura 4.12
a) Dibujar y(t) pata T = 10.
b) Dibujar z(t) para T = 10.
4.3. FUNCION DE MUESTREO 55
4.3 Funcion de Muestreo
Una funcion que se encuentra muy frecuentemente en analisis espectral, es la
funcion de muestreo Sa(x), definida por: (Funcion Sa).
Sa(x) =sinx
x=
1
xsinx
(=
1
tsin t
)(a)
como el denominador es una funcion creciente con x, y el numerador esta acotado
(| sinx| < 1), Sa(x) es simplemente una onda sinusoidal amortiguada. La figuraque sigue (a) muestra que Sa(x) es una funcion par de x que tiene su valor pico
igual a 1 en x = 0 (regla de LHopital) y con cruces en x = npi.
1
0
Sa( x )
x2 2pi pipipi
Figura 4.13
Una funcion estrechamente relacionada con la funcion Sa(x) es la funcion Sinc(x),
definida por:
Sinc(x) =sin pix
pix= Sa(pix) (b)
que se muestra en la figura que sigue:
1
0
Sinc( x )
x3 2
Figura 4.14
1 2 31
Debemos notar que Sinc(x) es una version comprimida de la funcion Sa(x) con
un factor de comprension dado por pi.
56 CAPITULO 4. SENALES ELEMENTALES
Ejercicio 4.1 Probar que
sin2
2d = pi con =
pit
4.4 La Funcion Impulso Unidad: (t)
La senal impulso unidad (t) se denomina frecuentemente Funcion delta de Dirac
y ocupa un lugar central en el analisis de senales. Exsten muchos fenomenos
fsicos que se pueden modelar como funcion delta, como fuentes puntuales, car-
gas puntuales, cargas concentradas en estructurar, fuentes puntuales de tension
y de corriente que actuan durante intervalos de tiempo muy cortos. Se es-
tablecen diferentes difeniciones de esta funcion, como veremos posteriormente.
Matematicamente, la funcion delta de Dirac se define as: t2t1
x(t)(t)dt = x(0), t1 < 0 < t2 (4.1)
suponiendo que x(t) sea continua en t = 0. La funcion (t) se representa
graficamente con una flecha en el origen como se muestra en la figura que sigue y
posee las propiedades:
0t
( t )
Figura 4.15
Caractersticas:
1. (0)
2. (t) = 0, t 6= 0 (4.2)
3.
(t)dt = 1
4. (t) es una funcion par esto es (t) = (t)
4.4. LA FUNCION IMPULSO UNIDAD: (T ) 57
Tal como se ha definido, la funcion no se ajusta a la definicion habitual de
funcion. Sin embargo, a veces es necesario considerarla como un lmite de alguna
funcion convencional cuando algun parametro 0. Las figuras que siguenmuestran varios ejemplos. Todas las figuras presentan el mismo comportamiento
cuando 0.
1. El valor en t = 0 es muy grande y tiende a infinito cuando 0.
2. La duracion es relativamente corta y tiende a cero cuando 0
3. El area encerrada bajo la funcion es constante e igual a 1.
4. Todas las funciones son pares.
0 0 0t tt
p ( t ) p ( t )
Figura 4.16
p ( t )
1/
1/ 1/ 1/
1/
2e e e 2e
1 2 3
p3(t) =
(1
pitsin pit
)2Ejemplo 4.5 Consideremos la funcion definida asi:
p(t) = lim0
(1
pitsin
pit
)2Esta funcion satisface todas las propiedades de la funcion (t), lo que puede de-
mostrarse escribiendola:
p(t) = lim0
1
(sin pit
pit
)2de modo que:
1. p(0) = lim0
(1) =
58 CAPITULO 4. SENALES ELEMENTALES
2. Para valores de t 6= 0
p(t) = lim0
(1
pitsin
pit
)2
= lim0
lim0
(1
pitsin
pit
)2= 0
el segundo limite esta acotado por 1. Pero el primer limite tiende a cero
0. Por lo tanto:p(t) = 0 t 6= 0
3. Para demostrar que el area encerrada bajo p(t) es la unidad basta ver que:
p(t)dt = lim0
1
(sin pit
pit
)2dt
=1
pi
sin2
2d
donde en el ultimo paso se ha efectuado la sustitucion
=pit
como se sabe:
sin2
2d = pi (4.3)
(aproximar (4.3) con un desarrollo de Taylor y tomar (, )) de donde sedesprende que:
p(t)dt = 1
4. Es obvio que p(t) = p(t). Por lo tanto p(t) es par.Existen propiedades importantes de la funcion (t); desplazamiento, muestreo
y escalado.
Propiedad de Desplazamiento
La propiedad de desplazamiento se expresa mediante la ecuacion:
t2t1
x(t)(t t0)dt = x(t0) , t1 < t0 < t20 , en el resto (4.4)
4.4. LA FUNCION IMPULSO UNIDAD: (T ) 59
Lo anterior se puede demostrar utilizando el cambio de variable = t t0 con loque se obtiene: t2
t1
x(t)(t t0)dt = t2t0t1t0
x( + t0)()d
= x(t0), t1 < t0 < t2 (4.5)
Segun la defincion de (t), dada en (4.1). Debemos considerar al lado derecho de
(4.5) como una funcion de t0. Esta funcion es discontinua en t0 = t1 y t0 = t2. De
acuerdo con nuestra notacion el valor de la funcion en t1 y t2 viene dado por: t2t1
x(t)(t t0)dt = 12x(t0) (4.6)
con t0 = t1 o t0 = t2.
En ocasiones se usa este resultado como definicion alternante para (t).
Es posible aproximar x(t) como una sucesion de pulsos rectangulares, cada uno
con ancho de M y altura x(), de manera que el area de un pulso tpico centradoen t = es x() . Si se escogen anchos de pulsos que sean pequenos en com-
paracion con el tiempo de respuesta del sistema en estudio, cada pulso se puede
modelar como un impulso de la forma A(t) donde la intensidad A del impulsoes igual al area del pulso. Por consiguiente la senal x(t) puede modelarse como
las suma continua de impulsos cada uno de la forma:
[x() ](t )
En el limite, cuando el ancho del pulso se aproxima a cero, puede representarse
con d , y x(t) se escribe como la integral:
x(t) =
x()(t )d (4.7)
Ejemplo 4.6 Evaluar la integral definida:
ecos t(t pi)dt
Solucion:
ecos t(t pi)dt = ecospi = e1 = 0.368
60 CAPITULO 4. SENALES ELEMENTALES
Ejercicio 4.2
Evaluar:
a)
1
ex2
(x)dx
b)
1001
log(t)(t 10)dt
Rta: a) 0 b) 1.
Propiedad de Muestreo
Si x(t) es continua en t = t0, entonces:
x(t)(t t0) = x(t0)(t t0) (4.8)
La anterior se puede comprobar, integrando ambos miembros, esto es:
x(t)(t t0)dt = x(t0)
x(t0)(t t0)dt = x(t0).1 = x(t0)
Matematicamente dos funciones f1((t)) y f2((t)) son equivalentes en el intervalo
(t1, t2) si para cualquier funcion continua y(t) t2t1
y(t)f1((t))dt =
t2t1
y(t) = f2((t))dt
Por lo tanto x(t)(t t0) y x(t0)(t t0) son equivalentes, ya que: t2t1
y(t)x(t)(t t0)dt = y(t0)x(t0) = t2t1
y(t)x(t0)(t t0)dt
que es una forma mas general de la demostracion dada.
Ejemplo 4.7 Si x(t) = 1, entonces: t2t1
x(t)(t t0) = t2t1
(t t0)dt = 1
y por consiguiente (t) tiene area 1. Analogamente A(t) tiene una area de A
unidades.
4.4. LA FUNCION IMPULSO UNIDAD: (T ) 61
Propiedad de Escala Simple
(at) =1
|a| (t) (4.9)
Si definimos (t) por la integral
x(t)(t t0)dt
entonces: (at) se escribira:
x(t)[a(t t0)]dt (6.9)
Por lo tanto:
x(t)[a(t t0)]dt =
x(t)[(at at0)]dt
y haciendo el cambio de variable y = at, tenemos:
x(ya
)(y at0)1
ady =
1
ax(t0)
y repetimos el proceso para a < 0 y el cambio y = at
x(t)[a(t t0)]dt =
x(ya
)(at0)1
ady = 1
ax(t0)
de donde el resultado.
Ejemplo 4.8 Evaluar la integral definida.
t2e sin t cos 2t (2t 2pi)dt
En efecto, usando primero la escala y despues la propiedad de separacion (o
muestreo):
t2e sin t cos 2t (2t 2pi)dt = 12
t2e sin t cos 2t (t pi)dt
=1
2pi2 =
pi2
2
62 CAPITULO 4. SENALES ELEMENTALES
Ejercicio 4.3 Evaluar la integral definida:
(1 pit) cos(1
t
)dt
En efecto, se define:
cos1
t[(pit 1)]dt
cos
1
t(pit 1)dt =
cos1
t
[pi
(t 1
pi
)]dt
y por la propiedad de escala
=1
picos pi = 1
pi
Propiedad de Escalado General
Esta propiedad esta dada por:
(at+ b) =1
|a|(t+
b
a
)()
Por razones pedagogicas no damos la demostracion de esta propiedad y solo
nos limitamos hacer el siguiente comentario: el resultado se puede interpretar
considerando (t) como el limite de impulso p(t) de area unidad cuando algun
parametro tiende a cero. El pulso p(at) es una version comprimida (o expandida)
de p(t) si a > 1 o a < 1 y su area es 1|a| (debemos notar que el area siempre es
positiva) tomando el limite cuando 0, el resultado es una funcion delta depeso 1|a| .
Ejemplo 4.9 Consideremos el pulso gaussiano:
p(t) =12pi2
exp
[ t
2
22
]El area bajo este pulso siempre es 1, es decir:
12pi2
exp
[ t
2
22
]dt = 1
Se puede demostrar que p(t) se aproxima a (t) cuando 0. Sea a cualquierconstante mayor que 1, p(at) es entonces una version comprimida de p(t). Se
puede demostrar tambien que el area bajo p(at) es 1a, a medida que se aproxima
a cero, p(at) se aproxima a (at).
4.4. LA FUNCION IMPULSO UNIDAD: (T ) 63
Ejemplo 4.10 Supongamos que deseamos evaluar las siguientes integrales:
a)
12(t+ t2)(t 3)dt
b)
42(t+ t2)(t 3)dt
c)
30
et2(2t 4)dt
d)
t
()d
Para b) se tiene el valor cero, ya que por definicion 3 no esta entre 2 < t < 1.Para b) empleamos la propiedad de escala simple, para obtener: 3
0
et2[2(t 4)]dt con a = 2
y como resultado el valor de la integral es 12.
Para c) consideremos los dos casos:
i) Como 0 no esta en < < t entonces la integral es cero.
ii) t > 0 entonces 0 si esta en el intervalo < < t y por definicion vale 1y asi tenemos la siguiente conclusion:
t
()d =
1 , t > 00 , t < 0Pero esto por definicion es la funcion escalon unitario. Por lo tanto, las funciones (t) y (t) estan relacionadas por las operaciones de derivacion e integracion.
Esto es:
d
dt(t) = (t)dt (4.11) t
()d (4.12)
A continuacion tenemos las representaciones de A(t t0) y A(t t0)
64 CAPITULO 4. SENALES ELEMENTALES
00 ttt t
( b )( a )
A A
00
Figura 4.17
Ejemplo 4.11 Hacer la grafica de la derivada del pulso rectangular dada en la
figura (a) que sigue:
00 t
tt t
( b )( a )
A
A
A
0
0
Figura 4.18
f ( t ) d fd t
x(t) = A(t) A(t t0)
x(t) = A(t) A(t t0)
(ver figura (b)).
Ejercicio 4.4 Si x(t) = (t)(t3k(t4)). Determinar el valor numericode k para que:
x(t)dt = 0.
En efecto:
x(t)dt =
30
[(t) (t 3)]dt k
(t 4)dt
0 =
30
dt k = 3 k
k = 3
4.4. LA FUNCION IMPULSO UNIDAD: (T ) 65
Ejemplo 4.12 Determinar la respuesta a un impulso del sistema dado en (a):
0 tt
( b )( a )
00
h ( t )
Integrador
Retraso t
x ( t )
y ( t )+
_ 1
Figura 4.19
(Circuito Holding y su funcion respuesta a un impulso).
Para determinar la respuesta a un impulso, hacemos x(t) = (t) y segun el circuito
dado tenemos:
y(t) = (t) (t t0)y posteriormente: t
y(t)dt =
t
()d t
( t0)d
= (t) (t t0)
Ejercicio 4.5 Determinar la respuesta a un impulso del sistema que se da a
continuacion para:
a) k = 1
b) k < 1
t
h ( t )
Integrador KRetraso T
x ( t )y ( t )
+
+
Figura 4.20
. . .
0 T 2T 3T
(1) (k) (k ) (k )2 3
66 CAPITULO 4. SENALES ELEMENTALES
(Un filtro de recirculacion y su respuesta a un impulso) y este tipo de sistema es
util en la deteccion de senales periodicas si se conoce el perodo.
Rpta:
a) h(t) =n=0
(t nT )
b) h(t) =n=0
(k)n(t nT )
Ejercicios
1. Comprobar si cada una de las senales siguientes se puede emplear como
modelo matematico de una funcion (t).
a) p1(t) = lim0
12pi cosh( t
)
b) p2(t) = lim0
1
2pi2e
t2
22
c) p3(t) = lim2
4pi2t2+2
d) p4(t) = lim1pi
t2+2
2. Evaluar las siguientes integrales.
a)
(2
3t 3
2
)(t 1)dt
b)
(t 1)(2
3t 3
2
)dt
c)
23
[et+1 + sin
(2pi
3t
)]
(t 3
2
)dt
d)
23[e5t+1]
(t 5)dt
4.5 Derivadas de la Funcion Impulso
La primera derivada de la funcion impulso o doblete unidad que denotamos con
(t) se define como: t2
t1
x(t)(t t0)dt = x(t0); t1 < t0 < t2 (4.13)
4.5. DERIVADAS DE LA FUNCION IMPULSO 67
Suponiendo que existe la derivada de x(t) en t = t0. Este resultado se puede
demostrar utilizando la integracion por partes: t2t1
x(t)(t t0)dt =
t2t1
x(t)d[(t t0)]
= x(t)(t t0)|t2t1 t2t1
x(t)d(t t0)dt
= 0 0 x(t0)
ya que (t) = 0 para t 6= 0.
Propiedad 4.1 (de (t))
1. x(t)(t t0) = x(t0)(t t0) x(t0)(t t0)
2.
t
(t t0)d = (t t0)
3. (at+ b) = 1|a|
(t+ b
a)
Podemos definir derivadas de orden superior de (t) extendiendo la definicion de
. Por ejemplo: t2
t1
x(t)n(t t0)dt = (1)nx()(t0) (4.14)
Ejemplo 4.13 Evaluar las siguientes integrales:
a)
44(t 2)2
(13t+
1
2
)dt
b)
14te2t
(t 1)dt
Para el caso (a): 44(t 2)2
(13t+
1
2
)dt =
443(t 2)2
(t 3
2
)dt
=
44
[3
4(t 3
2
)+ 9
(t 3
2
)]dt
=3
4
(t 3
2
)+ 9
y para (b): 14(te2t
(t 1)dt = (4t 4)e2t
t=1
= 0
68 CAPITULO 4. SENALES ELEMENTALES
Ejercicios
a) La probabilidad de que una variedad aleatoria x valga menos que se obtiene
integrando la funcion de densidad de probabilidad f(x) con lo que se obtiene:
P (x ) =
f(x)dx
Dada f(x) = 0.2(x+ 2) + 0.3(x) + 0.2(x 1) + 0.1[(x 3) (x 6)].Calcular:
a) P (x 3)
b) P (x 1.5)
c) P (x 4)
d) P (x 6)
b) La velocidad de un gramo de masa es:
v(t) = e(t+1)(t+ 1) + (t 1)
a) Dibujar v(t)
b) Evaluar la fuerza:
f(t) = md
dt(v(t))
c) Si hay un muelle conectado a la masa constante k = 1 N/m, encontrar
la fuerza.
Fk(t) = k t
v()d
c) Dibujar las derivadas segundas de las siguientes senales:
1. x(t) = (t) + 5(t 1) 2(t 2)
2. x(t) = r(t) r(t 1) + 2(t 2)
3. x(t) =
2t+ 2 , 1 t < 02t 2 , 0 t < 1
4.5. DERIVADAS DE LA FUNCION IMPULSO 69
Ejemplo 4.14 Probar las siguentes relaciones:
a)
(t)(t t0)dt =
(t+ t0)(t)dt = (t0)
b)
(at)(t)dt =
1
|a|
(t)
(t
a
)dt =
1
|a| (0).
Solucion:
Hagase = t t0 para a) y at = para la propuesta b).
Ejemplo 4.15 Haciendo uso de la definicion de (t) como:
x(t)(t t0)dt = x(t0)
Probar que
(t t0)dt = 1 , para a < t0 < b0 , para otro caso
Escribir la funcion (t) en la forma
(t) =
1 , para a < t0 < b0 , para b < t0 < a ()entonces por hipotesis:
(t)(t t0)dt = (t0)
y por representacion de (t) obtenemos el resultado.
Ejercicio 4.6 Demostrar que haciendo uso de la construccion de la fucion x(t)
dado en () quex(t)(t) = x(0)(t)
y de aqu:
a) t(t) = 0
b) (at) = 1|a| (t)
70 CAPITULO 4. SENALES ELEMENTALES
c) (t) = (t)
Ejemplo 4.16 Demostrar que :
F (t)(t) =
F (t)(t)dt ()
Solucion:
Integrando por partes.
Observacion 1 La derivacion F (t) de una funcion generalizada arbitraria esta
dada por ().
Ejercicio 4.7 Probar que:
[f(t)(t)]= f(t)
(t) + f (t)(t)
haciendo uso de ().
Ejercicio 4.8 Demostrar que:
a) x(t)(t t0) = x(t0)(t t0)
b) t(t) = (t)
c) (t) = (t)
d) n(t) = (1)nn(t)
4.5. DERIVADAS DE LA FUNCION IMPULSO 71
Ejemplo y ejercicios de Repaso
1.- En este ejercicio investigamos lo que sucede cuando se aplica un impulso uni-
tario a un diferenciador. Considere un pulso triangular x(t), de duracion T y
amplitud 2T como se describe en la figura que sigue:
x ( t )
2T
T/2 T/20
Figura 4.21
El area bajo el pulso es la unidad. De modo que cuando la duracion T se acerca
a cero, el pulso triangular se aproxima a un impulso unitario.
a) Suponga que se aplica un pulso triangular x(t) a un difenciador. Determine
la salida y(t) del diferenciador.
b) Que ocurre con la salida y(t) del diferenciador cuando T tiende a cero?.
Use la definicion de impulso unitario (t) para exprsar su respuesta.
c) Cual es el area total bajo la salida del diferenciador y(t) para todo T?
Justifique su respuesta.
Con base en sus resultados de (a) y (c) describa brevemente el resultado de
diferenciar un impulso unitario.
Ejercicio 4.9 Si se define (t) a partir de las relaciones (t) = 0 para t 6= 0;
(t)dt = 1 ()
Probar que la funcion impulso unitario (t) es una funcion par del tiempo, esto
es (t) = (t).
72 CAPITULO 4. SENALES ELEMENTALES
Ejercicio 4.10 La derivada de la funcion impulso (t) se conoce como eun doblete.
Se denota con (t). Muestre que
(t) satisface la propiedad de seleccion
(t t0)x(t)dt = x(t0) con x(t0) = d
dtx(t)
t=t0
.
Ejemplo 4.17 El impulso unitario es solamente el primero de una sucesion in-
finita de las llamadas Funciones singulares. Como una generalizacion directa del
impulso unitario tenemos el doblete unitario como se observa en la figura que
sigue:
x ( t )
x ( t )
2a
2a
Figura 4.22
a
a
1/a
1/a [ (t) + (t2a) ]
2/a (ta)
1/a 2
2
2
2
t
t
4.5. DERIVADAS DE LA FUNCION IMPULSO 73
(Grafica que sugiere la naturaleza y definicion (no rigurosa) como de un doblete
unitario).
lima0
(t) 2(t a) + (t 2a)a2
El triplete unitario, es definido de manera analoga
lima0
(t) 3(t a) + 3(t 2a) (t 3a)a3
y as sucesivamente. A pesar de sus limitaciones (t) es una idea util, que en el
peor de los casos, puede aplicarse formalmente siempre que las respuestas a las
que conduce se pueden comprobar despues a traves de medio experimentales o por
un analisis independiente.
74 CAPITULO 4. SENALES ELEMENTALES
Captulo 5
Sistemas en Tiempo Continuo:
Sistemas L.I.T
La caracterstica de un sistema fsico es su capacidad de aceptar entradas y pro-
ducir una salida como respuesta a esa entrada. Un sistema de tiempo continuo
es un sistema en el que senales de entrada continuas se transforman en senales de
salida continuas. Si la senal de entrada es discreta y la salida del sistema es una
senal discreta, entonces el sistema se denomina sistema discreto. En los diagramas
que siguen se especifican estos dos tipos de sistemas elementales.
x ( t )
S ( x [ n ] ) = y [ n ]S [ x ( t ) ] = y ( t )
y ( t ) x [ n ] y [ n ]
Figura 5.1
Ssistemacontinuo
Ssistemadiscreto
Por lo general el analisis de Sistemas lineales se pude reducir al estudio de la
respuesta del sistema a ciertas senales basicas de entrada.
5.1 Sistemas Lineales
Principio de superposicion: cuando un sistema es lineal se puede aplicar el prin-
cipio de superposicion el cual establece simplemente que la respuesta de un sistema
75
76 CAPITULO 5. SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO: SISTEMAS L.I.T
a una suma de senales de entrada, es la suma de las respuestas del sistema a cada
senal de entrada por separado. Matematicamente el principio de superposicion es
equivalente a la definicion de un operador lineal: se dice que un operador S es
lineal si:
S[x1(t) + x2(t)] = Sx1 + Sx2 = y1 + y2 , R (5.1)
Equivalentemente un sistema es lineal, si una entrada nula la salida es nula. En
efecto, para S[x(t)] con x(t) = 0 se tiene: S[0] = y(t) y por homogenidad:
S[0.0] = y(t) 0S[0] = 0 = y(t).
Ejemplo 5.1 Consideremos el divisor de tensionesque se muestra en la figura
que sigue.
x ( t ) y ( t )
Figura 5.2
+
+_
_
R
R 1
2
Con R1 = R2. La relacion entrada salida se puede escribir de manera explcita:
y(t) =R2
R1 +R2x(t) =
1
2x(t) ()
Aqui, el operador S es dado por R2R1+R2
= 12.
Para ver si el sistema () es lineal veamos si cumple con el requerimiento (5.1):Para x1(t), y1 =
12x1(t) y para x2(t), y2 =
12x2(t). Entonces, para la suma
x1(t) + x2(t) se tiene.
y(t) =1
2x(t) entonces y(t) =
1
2(x1(t) + x2(t))
=
(1
2x1(t)
)+
(1
2x2(t)
)= y1(t) + y2(t)
5.1. SISTEMAS LINEALES 77
Ejercicio 5.1 Seran lineales:
a) y(t) = kdx
dt
b) y(t) = ex(t)
Ejemplo 5.2 Consideremos el circuito RL:
x ( t ) = e ( t ) y ( t ) = i ( t )
Figura 5.3
+_
R
R
L
1
2
i
De acuerdo a las leyes Kirchoff se tiene la E.D.O:
dy
dt+
R1R2L(R1 +R2)
y(t) =R2
L(R1 +R2)x(t) ()
que es la ecuacion entrada-salida que describe el comportamiento del sistema. Si
damos condiciones iniciales: para t = t0, y(t0) = y0 se tiene como solucion
particular de ():
y(t) = y(t0) exp
[ R1R2L(R1 +R2)
(t t0)]
+R2
L(R1 +R2)
tt0
exp
[ R1R2L(R1 +R2)
(t )]x()d ()
Ejercicio 5.2 Probar que () es no lineal reemplazando x(t) porx(t) = x1(t) + x2(t).
Lo cual puede ser sorprendente ya que las bobinas y condensadores son elementos
lineales. Sin embargo el sistema de la figura viola una propiedad importante de
los sistemas lineales: entrada nula salida nula por lo tanto el sistema sera lineal
si y(0) = y0 = 0.
78 CAPITULO 5. SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO: SISTEMAS L.I.T
5.2 Sistemas L.I.T
Un sistema S se dice que es lineal e invariante en el tiempo, si este es lineal en el
sentido anterior, y es invariante en el tiempo segun lo siguiente:
1. Sea y1(t) la salida del sistema, a la entrada x1(t).
2. Consideremos una segunda entrada x2(t) obtenida desplazando x1(t) esto
es:
x2(t) = x1(t t0)
y determinamos la salida y2(t) correspondiente a la entrada x2(t).
3. Obtengamos la senal y1(t t0) a partir de la senal y1(t) del paso 1. ycomparemos con x2(t).
4. Si y2(t) = y1(t t0) el sistema es invariante en el tiempo. Caso contrario esvariante en el tiempo.
Ejemplo 5.3 Deseamos determinar si los sistemas descritos por las ecuaciones
que siguen son invariantes en el tiempo.
a) y(t) = cos x(t)
b)dy
dt= ty(t) + x(t); y(0) = 0 t 0
Para a):
1. y1(t) = cos x1(t) ()
2. x2(t) = x1(t t0)y2(t) = cos x2(t) = cos x1(t t0)
3. De () se tiene: y1(t t0) = cos x1(t t0)
4. Comparemos 3. con 2. y vemos que los resultados son iguales, y por lo tanto
el sistema es invariante en el tiempo.
5.2. SISTEMAS L.I.T 79
Para b):
Si resolvemos la ecuacion diferencial, por el procedimiento del factor integrante
obtenenmos:
y(t) =
t0
exp
[t
2
2+ 2
2
]x()d ()
Demostraremos que el sistema disenado por la ecuacion entrada- salida dada en
() no es invariante en el tiempo.En efecto si la entrada es x1(t), tenemos como salida y1(t) esto es para ():
y1(t) =
t0
exp
[t
2
2+ 2
2
]x1()d ()
Consideremos la nueva entrada x2(t) = x1(t t0). La salida correspondiente es:
y2(t) =
t0
exp
[t
2
2+ 2
2
]x2()d
=
t0
exp
[t
2
2+ 2
2
]x1( t0)d
haciendo el cambio de variable z = t0 dz = d
=
tt0t0
exp
[t
2
2+(z + t0)
2
2
]x1(z)dz
y cambiando z por , obtenemos:
=
tt2t0
exp
[t
2
2+( + t0)
2
2
]x1()d ( )
De la ecuacion () se tiene:
y1(t t0) = tt00
exp
[(t t0)
2
2+ 2
2
]x1()d 6= y2(t)
y por comparacion de este resultado con ( ) vemos que no son iguales, y porlo tanto el sistema dado no es invariante en el tiempo.
Ejercicios
Determinar si los sistemas que siguen son L.I.T.
a) y(t) = 2x(t) + 3
80 CAPITULO 5. SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO: SISTEMAS L.I.T
b) y(t) = 2x2(t) + 3x(t)
c) y(t) = Ax(t)
d) y(t) = Atx(t)
e) y(t) =
x(t) , t 0x(t) , t < 0f) y(t) =
t
x()d
g) y(t) =
t0
x()d
h) y(t) = x(t 5)
i) y(t) = exp[x(t)]
j) y(t) = x(t) x(t 2)
k)dy
dt+ 2y = 2x2(t)
5.3 Estabilidad de Sistema
Un de los conceptos mas importantes en el estudio de sistemas es la nocion de
estabilidad. Aunque se definen muchos criterios sobre estabilidad de sistemas, en
esta seccion solo consideramos el criterio de estabilidad llamado B.I.B.O (bounded-
input bounden-output) esto es entrada acotada salida acotada.
Definicion 5.1 Se dice que una senal es acotada si su modulo no crece sin limite,
esto es |x(t)| < B
5.3. ESTABILIDAD DE SISTEMA 81
a) y(t) = ex(t)
b) y(t) =
t
x()d
Para a):
Si |x(t)| < B, produce una salida:
|y(t)| = |ex(t)| = e|x| = eB
82 CAPITULO 5. SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO: SISTEMAS L.I.T
Captulo 6
Sistemas Descritos por
Ecuaciones Diferenciales
En esta parte consideramos los sistemas disenados por ecuaciones diferenciales
de entrada-salida con coeficientes constante. Entre estos, tenemos las redes electri-
cas con resistencia, condensadores y bobinas ideales y los sistemas mecanicos con
pequenos muelles y amortiguadores. En esta parte, se ha incluido la manera
de obtener la respuesta al impulso unitario h(t) de sistemas disenados por ecua-
ciones diferenciales (un metodo usual en este caso, es el metodo de las trans-
formadas). Finalmente veremos que estos sistemas se pueden realizar (simular)
mediante sumadores, multiplicadores e integradores.
Ejemplo 6.1 Analizar el circuito que se da en la figura que sigue
v ( t )
i ( t )
Figura 6.1
R
L
C
83
84CAPITULO 6. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES
obteniendo la respuesta de la corriente i(t), al voltaje (entrada) del circuito dado
por v(t), segun las leyes de Kirchoff, obtenemos:
Ri(t) + Ldi(t)
dt+1
c
t0
i(t)dt = v(t)
y si diferenciamos la ecuacion anterior:
Ld2i(t)
dt2+R
di(t)
dt+1
ci(t) =
dv(t)
dt()
Utilizando el operador D = ddt, la ecuacion anterior, toma la forma: (D1
)(
LD2 +RD +1
c
)i(t) = Dv(t)
Por lo tanto:
i(t) =D
LD2 +RD + 1c
v(t) = H(D)v(t)
donde:
H(D) =D
LD2 +RD + 1c
=1
(R + LD + 1cD)=
1
Z(D)= Y (D)
En el circuito de la figura dada, Y (D) se denomina Funcion de Admitancia
Operacional, y Z(D) = 1Y (D)
se denomina Funcion de Impedancia Operacional.
Veamos ahora una generalizacion de la ecuacion diferencial (), en efecto, sea unsistema de tiempo continuo descrito por la ecuacion diferencial:
dNy(t)
dtN+
N1i=0
aidiy(t)
dti=
Mi=0
bidix(t)
dti(6.1)
donde los coeficientes ai i = 1, 2, . . . , N 1, bj j = 1, 2, . . . ,M son contantesreales y N > M . Utilizando la notacion de operadores, la ecuacion anterior se
puede escribir en la forma:(DN +
N1i=0
aiDi
)y(t) =
(Mi=0
biDi
)x(t) (6.2)
Para resolver la ecuacion anterior son necesarias las N condiciones iniciales
y(t0), y(t0), . . . , y
N1(t0).
85
donde t0 es algun instante de tiempo en el que la entrada x(t) se aplica al sistema.
El entero N es el orden o dimension del sistema. Debemos indicar que si la
i-esima derivada de la entrada x(t) contiene un impulso o la derivada de un im-
pulso, entonces para resolver la ecuacion 2 para t > t0, es necesario conocer las
condiciones iniciales en t = t0. El motivo es que la salida y(t) y sus derivadas
hasta el orden N 1 pueden cambiar de forma instantanea en el instante t = t0.Por tanto, las condiciones iniciales deben darse en el instante inmediatamente
anterior al instante t0.
Ejemplo 6.2 Consideremos el sistema L.I.T de primer orden descrito por la
siguiente ecuacion diferencial, tambien de primer orden (para t < t0, la entra-
da es cero).dy(t)
dt+ ay(t) = bx(t)
con las condiciones inciciales y(t0) = y0, t t0 si tiene entonces como solucioncomplementaria.
yc(t) = ceat
y para la solucion particular, obtenemos (metodo de la variacion de parametros
del factor integrante).
yp(t) =
tt0
ea(t)bx()d, t t0
y por lo tanto, la solucion general toma la forma:
yc(t) = ceat +
tt0
ea(t)bx()d, t t0
y si aplicamos las condiciones inciales y(t0) = y0, tenemos:
y0(t) = ceat0
y por lo tanto para t t0
y(t) = y0ea(tt0) +
tt0
ea(t)bx()d
86CAPITULO 6. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES
Si para t < t0, x(t) = 0 la solucion consta solo de la parte complemetaria u
homogenea.
y(t) = y0ea(tt0), t < t0
combinando las dos soluciones para t t0 y t < t0 tenemos:
y(t) = y0ea(tt0) +
{ tt0
ea(t)bx()d}(t t0)
Como los sistemas lineales poseen la propiedad de que si la entrada es cero, la
salida es cero, este sistema es no-lineal si y0 6= 0. Si y0 = 0 el sistema nosolamente es lineal si no invariante en el tiempo (verificarlo!).
6.1 Componentes Basicos de los Sistemas
Todos los sistemas lineales invariantes en el tiempo, continuos y de dimension
finita descritos por ecuaciones de la forma (6.1) con M N , se puden realizaro simular utilizando sumadores, restadores, multiplicadores escalares. Estos com-
ponentes se pueden implementar a su vez utilizando resistencias, condensadores y
amplificadores operacionales.
El Integrador:
Es un elemento basico en la teora de sistemas y en sus aplicaciones. Matematicamente
la relacion entrada/salida que describe un integrador basico como el que se de-
scribe en la figura que sigue es:
x ( t ) y ( t ) = y ( t ) + x ( )d t > t
Figura 6.2
Integrador0
00
t
t
es decir la ecuacion diferencial del integrador (entrada/salida). La ecuacion difer-
encial del intgrador es dydt= x(t). En este sentido podemos usar bloques diferen-
ciadores:
6.1. COMPONENTES BASICOS DE LOS SISTEMAS 87
Si, y(t0) 6= 0, se obtiene como solucion particular:
y(t) = y(t0) +
tt0
x()d, t t0
Si y(t0) = 0 se dice que el integrador esta en reposo.
Sumadores, Restadores y Multiplicadores Escalares:
Las figuras que siguen muestran las operaciones respectivas:
x ( t )
x ( t )
x ( t )
x ( t ) + x ( t ) x ( t ) x ( t )x ( t )
x ( t )
K x ( t ) K no es necesariamente es un factor constante
Figura 6.3
1111 2
2
2+ +
Nota 6.1 Bloques de Retroalimentacion Simple
y ( t )x ( t )x ( t ) + x ( t )
Figura 6.4
+
+_
_
En el caso en que no se quisiera comparar (error) la entrada con la salida, ten-
driamos x(t) + y(t).
Ejemplo 6.3 (Problema Directo)
Determinar la ecuacion diferencial que describe el sistema de la figura que se
da a continuacion. Llamaremos v1(t) a la salida del primer sumador, v2(t) a la
88CAPITULO 6. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES
salida del segundo sumador e y1(t) a la salida del primer integrador, y(t) corres-
ponde al segundo integrador (estas notaciones adicionales se usan como un recurso
pedagogico, y al final deben eliminarse). Los diagramas pueden ser signados o no.
x ( t )
y ( t )
Figura 6.5
4
42
1
y
vv+ +
1
1
2
Entonces:
v2 = 4y + y1 + 4x (a)
diferenciando esta ecuacion y teniendo encuenta que por definicion:
y1 =dy1dt2
= v1
y tambien:dy
dt= v2 d
2y
dt2=dv2dt
entonces:dv2dt
= 4dy
dt+dy1dt
+ 4dx
dt
d2y
dt2= 4
dy
dt+dy1dt
+ 4dx
dt
d2y
dt2= 4
dy
dt+ v1 + 4
dx
dt
Pero:
v1(t) = y + 2x(t) (b)
6.2. DIAGRAMAS DE SIMULACION PARA SISTEMAS CONTINUOS 89
y por lo tanto tenemos en definitiva:
y(t) 4y(t) + y(t) = 2x(t) + 4x(t)
Ejemplo 6.4 Diagrama de flujo para una ecuacion diferencial de primer orden.
x ( t ) a ( t )y ( t )
Figura 6.6
+
1
D = ddt
que corresponde a la ecuacion diferencial.
y(t) = a(t)y(t) + x(t)
Ejemplo 6.5 Con bloques diferenciadores tenemos.
c ( t ) b ( t )y ( t )
Figura 6.7
++1
D Da ( t )
_
que es el diagrama de flujo de la ecuacion diferencial de segundo orden.
D2y(t) + a(t)Dy(t) + b(t)y(t) = c(t)
6.2 Diagramas de Simulacion para Sistemas
Continuos
Veamos ahora el problema inverso para lo cual consideraremos el sistema L.I.T
(6.2). Este sistema se puede realizar varias formas. En funcion de cada aplicacion
90CAPITULO 6. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES
puede ser preferible uno u otro. Obtendremos en esta parte dos realizaciones
canonicas diferentes aunque equivalentes. Para obtener la primera forma canonica
suponemos que M = N y escribimos la ecuacion (6.2) en forma
DN(ybNx)+DN1(aN1ybN1x)+ . . .+D(a1yb1x)+(a0yb0x) = 0 (6.3)
y multiplicando (D1 significa integracion) la relacion anterior por DN , y orde-
nando terminos obtenemos por reacomodo de los parentesis:
y = bNx+D1(bN1xaN1y)+ . . .+D(N1)(b1xa1y)+DN(b0xa0y) (6.4)
de donde se puede obtener el diagrama de flujo que se muestra en la figura que
sigue comenzando por la derecha con la salida y(t), y desplazandonos hacia la
izquierda. El operador Dk indica que debemos integrar k veces.
x ( t )
y ( t )
bbbb
aa a
+ + + +. . .
0
0
1
1
N1
N1
N
Figura 6.8
Diagrama de Simulacion mediante la primera forma canonica (que se puede veri-
ficar por regresion).
Ejemplo 6.6 Obtener el diagrama de simulacion para el sistema L.I.T descrito
por la siguiente ecuacion diferencial:
y(t) = +3y
(t) + 4y(t) = 2x
(t) 3x(t) + x(t)
6.2. DIAGRAMAS DE SIMULACION PARA SISTEMAS CONTINUOS 91
Para determinar los elementos ai y bi escribimos la ecuacion en la forma dada
por (6.3) y (6.4) esto es:
[y(t) 2x(t)] + [3y(t) + 3x(t)] + [4y(t) x(t)] = 0
o
D2[y(t) 2x(t)] +D[3y(t) + 3x(t)] + [4y(t) x(t)] = 0
y si integramos dos veces (ambos miembros) o lo que equivale a multiplicar por
D2, obtenemos:
y(t) = 2x(t)D1[3y(t) + 3x(t)]D2[4y(t) x(t)]
o
y(t) = 2x(t) +D1[3x(t) 3y(t)] +D2[x(t) 4y(t)]
de donde, el diagrama de simulacion:
x ( t )
y ( t )
Figura 6.9
2
4
3
3
1
+ + +
Para la segunda forma canonica tenemos que transformar la ecuacion diferencial
de orden N en dos ecuaciones equivalentes. Sea:(DN +
N1j=0
ajDj
)v(t) = x(t) (6.5)
92CAPITULO 6. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES
Entonces:
y(t) =
(N1i=0
biDi
)v(t) (6.6)
Verifiquemos entonces, que estas dos ecuaciones son equivalentes a la ecuacion
(6.2) sustituimos entonces la ecuacion (6.6) en el lado izquierdo de la ecuacion
(6.2) con lo que obtenemos:(DN +
N1j=0
ajDj
)y(t) =
(Ni=0
biD(i+N) +
N1j=0
aj
Ni=0
biD(i+j)
)v(t)
=
(Ni=0
bi
(D(i+N) +
N1j=0
ajD(i+j)
))v(t)
=
(Ni=0
biDi
)x(t)
Las variables vN1(t), . . . , v(t) que se utilizan para construir y(t) y x(t) en
las ecuaciones (6.5) y (6.6) respectivamente, se obtienen mediante integraciones
sucesivas dvN(t). El diagrama de simulacion para las ecuaciones es (6.5) y (6.6)
se da en la figura que sigue.
bbb bb
a aaa
0
0
1
1
N1 N2
N2N1
N
Figura 6.10
+
+ + +
+
+ + +. . .
. . .
. . .
y ( t )
x ( t )
D v ( t )v ( t )
N
Diagrama de simulacion mediante la segunda forma canonica.
Debemos notar en este diagrama que la entrada al integrador es exactamente la
6.2. DIAGRAMAS DE SIMULACION PARA SISTEMAS CONTINUOS 93
misma que la salida del integrador anterior. Por ejemplo, si las salidas de dos
integradores sucesivos (contando a partir del lado derecho) se indican respectiva-
mente por vm y vm+1, entonces
vm(t) = vm+1(t)
un hecho importante q
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