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Fundamentos analíticos para la máquina sincrónica anisotrópica
J.Müller 2001
1.1 Idealizaciones.........................................................................................................1-3
1.3 Enlaces de flujo e inductancias .........................................................................1-6
1.3.1 Inductancias propias de la armadura............................................................1-8 1.3.2 Inductancias mutuas de la armadura..........................................................1-10 1.3.3 Inductancia mutua entre el campo y la armadura.....................................1-11 1.3.4 Inductancia propia del campo......................................................................1-12 1.3.5 Enlace de flujo resultante .............................................................................1-13
1-2
Introducción
La máquina sincrónica está establecida firmemente como un eslabón irreemplazable en la cadena que convierte la energía desde la forma química o hidráulica a la forma eléctrica. La tendencia a concentrar este proceso, para así aprovechar la ventaja del mayor rendimiento asociado a la conversión a gran escala, la ha convertido en la máquina eléctrica de mayor potencia que se construye.
La evolución, desde el histórico generador de 210kW, 150rpm, 95V, 1400A, 40Hz, instalado en Lauffen con motivo de la feria internacional de Francfort de 1891, hasta las unidades de 824MVA, 90,9rpm, 18kV, 50Hz, instaladas en la represa de Itaipú, ha sido un proceso continuo a lo largo del cual la máquina sincrónica se ha transformado en el convertidor de energía virtualmente ideal.
En el rango de las potencias elevadas (MW) también se privilegia el uso de la máquina sincrónica como motor, debido a su alto rendimiento (superior a 97%) y a su capacidad de aportar potencia reactiva inductiva a la red.
Como componente de los sistemas de potencia, la máquina sincrónica ocupó un papel central en los problemas de estabilidad que hicieron su aparición con la interconexión de estos sistemas. En esa condición fue la primera máquina eléctrica modelada y estudiada en vista a su comportamiento dinámico. Ideas, como la teoría de los dos ejes (Blondel, Park), desarrolladas en ese contexto, siguen ocupando un lugar importante en el tratamiento del comportamiento dinámico de las máquinas eléctricas.
En los párrafos siguientes se formula las ecuaciones de equilibrio eléctricas y mecánica para la máquina sincrónica anisotrópica o de polos salientes a partir de principios básicos. Estas ecuaciones tienen la forma de ecuaciones diferenciales nolineales, lo que en el caso general obligará a usar métodos numéricos en su resolución.
Para las inductancias de la máquina se determina expresiones analíticas a partir de un modelo unidimensional para el campo en el entrehierro, aproximando las distribuciones espaciales de la fuerza magnetomotriz y de la permeancia mediante los primeros términos de sus desarrollos en series de Fourier.

1-3
consiguientes ventajas analíticas, si se utiliza variables sustituto elegidas convenientemente.
La simetría del devanado de armadura de las máquinas trifásicas, hace conveniente el uso de variables sustituto complejas, las así llamadas componentes simétricas de los valores instantáneos. Estas producen una notable simplificación matemática y con la ventaja adicional de permitir, a través de su interpretación como fasores espaciales, la representación de las magnitudes distribuidas sinusoidalmente en el espacio mediante fasores en el plano complejo.
1.1 Idealizaciones
Se supone que el campo en el entrehierro es unidimensional, es decir, que la componente radial de la inducción sólo es función de la coordenada tangencial.
El fierro, tanto del estator como del rotor, es ideal, es decir, su permeabilidad es infinita y las pérdidas son despreciables.
Los polos salientes tienen forma tal que el entrehierro a lo largo de la zapata polar es constante y sólo están provistos de las bobinas del devanado de campo. No se considera la existencia de una eventual jaula de amortiguación.
El devanado del estator carece de ramas en paralelo y está conectado en estrella sin neutro.
Solamente se considera a las componentes fundamentales de las distribuciones espaciales de densidad lineal de corriente, fuerza magnetomotriz e inducción. Para la permeancia del entrehierro se considera el valor medio y la segunda armónica de su desarrollo en serie de Fourier.
1.2 La modelación del campo unidimensional en el entrehierro
El campo magnético en el entrehierro de la máquina sincrónica de polos salientes se debe a las corrientes del devanado de armadura, alojado en ranuras, y a la corriente de campo que alimenta a las bobinas concentradas enrolladas sobre los polos salientes.

1-4
La aplicación de la ley de Ampere a lo largo del camino de integración indicado en la figura 1.2.1 permite determinar directamente la intensidad del campo magnético H r entre las cabezas de los dientes bajo el supuesto que su valor sea independiente de la coordenada tangencial x :
r
r
i N H = (1.2.1)
Por otra parte, para satisfacer las condiciones de contorno, la componente tangencial del campo en el entrehierro frente a la abertura de la ranura tiene que ser igual a H r , es decir,
t r H H = . (1.2.2)
Esta condición de contorno también es satisfecha por una capa de corriente axial de densidad lineal a y ancho tangencial br si a=H t , como se muestra en la figura 1.2.2.
yugo
diente
ranura
Fig ura 1.2.1 Relativo al modelo electromagnético de una ranura
br
=⋅∫ rr

1-5
r
b
i N a= (1.2.3)
produce el mismo campo en el entrehierro que la corriente en la ranura, se puede pensar la superficie ranurada del estator reemplazada por una superficie lisa provista de capas de corriente axial de densidad a y de ancho tangencial br . Este modelo no sólo permite simplificar notablemente la determinación del campo en el entrehierro, sino también resultará muy útil a la hora de determinar el momento electromagnético desarrollado por la máquina.
Considérese ahora la situación ilustrada en la figura 1.2.3, donde una de las superficies limítrofes del entrehierro está provista de una capa de corriente de densidad lineal a(x).
La aplicación de la ley de Ampere al camino de integración indicado permite anotar
∫ =⋅ Rdx ) x ( asd H rr
, (1.2.4)
y si se supone que la permeabilidad del fierro es infinita, la integral se reduce a
Rdx ) x ( a ) x ( ) x ( H )dx x ( )dx x ( H =δ−+δ+ . (1.2.5)
Desarrollando el primer miembro de (1.2.5) en serie de Taylor y despreciando los términos diferenciales de segundo orden queda
Rdx ) x ( adx x
) x ( H dx x
=δ⋅ ∂ ∂
. (1.2.7)
Pero ) x ( f ) x ( ) x ( H =δ⋅ , (1.2.8)
por lo que rige la siguiente relación general entre fuerza magnetomotriz en el entrehierro y densidad lineal de corriente:
∫ += )t ( C dx ) x ( aR ) x ( f . (1.2.9)
Rdx
a(x)
∞→µ fe

1-6
De aquí se desprende que toda distribución espacial de fmm puede ser asociada una distribución espacial de densidad lineal de corriente y esta puede ser considerada como origen de aquella.
Si ahora se define la permeancia por unidad de superficie como
) x ( ) x ( δ µ
=Λ 0 , (1.2.10)
se puede reescribir la relación (1.2.8) en términos de la inducción en el entrehierro como
) x ( f ) x ( ) x ( B ⋅Λ= , (1.2.11)
de donde se desprende que la inducción en el entrehierro, correspondiente a una coordenada tangencial cualquiera, se logra como el producto de la fmm y la permeancia correspondientes a esa coordenada.
La aplicación de estas relaciones permite la determinación sistemática del campo en el entrehierro, lo que será materia del párrafo siguiente.
1.3 Enlaces de flujo e inductancias
La figura 1.3.1a muestra esquemáticamente un corte transversal en desarrollo a través de la máquina, a lo largo de un doble paso polar. Las figuras 1.3.1b, 1.3.1c y 1.3.1d muestran las distribuciones idealizadas ( ∞→q ) para la densidad lineal de corriente y la fmm correspondientes a la fase a y para la permeancia en el entrehierro, donde para esta última se supuso, para obtener relaciones analíticas más simples, que la permeancia en el espacio interpolar es nula.
Para las distribuciones espaciales periódicas de la fmm y de la permeancia rigen, respectivamente, los siguientes desarrollos en serie de Fourier:
∑ ν
ν ν= x cosF ) x ( f con )g ( p 12 += ν y ...,,,,g 3210= (1.3.1)
y
) p
λ0 con pg 2=λ y ...,,,g 321= (1.3.2)
De acuerdo con lo expuesto en el párrafo anterior, la inducción en el entrehierro correspondiente a una coordenada x se calcula como:
) x ( f ) x ( ) x ( b ⋅Λ= . (1.3.3)

1-7
Si, de acuerdo con las suposiciones iniciales, se limita el análisis a la fundamental de la onda de fmm y a los primeros dos términos de la distribución de permeancia, el correspondiente reemplazo de (1.3.1) y (1.3.2) en (1.3.3) resulta en
( )[ ]γ −±Λ+Λ= 222 1
20 x p pcosF px cosF )t , x ( b p p p , (1.3.4)
donde el último término debe considerarse dos veces, una vez con signo (+) y otra vez con signo (-).
Al considerar el signo (+) resulta un término con triple número de polos. Este término se ignorará en adelante, ya que da lugar a una tercera armónica en la tensión de fase, que, debido a la conexión en estrella (con neutro aislado) del devanado de armadura, no aparece en la tensión de línea. Queda entonces
) px cos( F px cosF )t , x ( b p p p γ −Λ+Λ= 222 1
0 , (1.3.5)
xc xbx
de la máquina sincrónica
1-8
donde el segundo término, que desaparece si el entrehierro es constante, tiene su origen en la anisotropía magnética del rotor.
Para la amplitud de la componente fundamental de la onda de fmm se había obtenido en una oportunidad anterior la expresión
p
p 2
4 11
π = (1.3.6)
y los coeficientes de Fourier de la onda de permeancia definida en la figura 1.3.1d se calculan como
( ) α δ ′′ µ
p p
p p
2 (1.3.8)
donde δ ′′ es el entrehierro efectivo sobre la zapata polar y απ/p es el ancho de esta.
( )
N f )t , x ( b a
d . (1.3.9)
1.3.1 Inductancias propias de la armadura
Para calcular el flujo enlazado por la fase a debido a esta distribución de inducción se recurre convenientemente al devanado concentrado de paso completo equivalente.
( ) a d
Rl p
γ
0 11 (1.3.10)

1-9
aa . (1.3.11)
Para un rotor isotrópico desaparece el espacio interpolar, 1=α , la inductancia propia se
hace independiente de la posición angular del rotor (γ) y toma el valor constante
( ) 2
112
0
1
p
=α . (1.3.12)
Se aprecia que, como consecuencia de la anisotropía, la inductancia propia de una fase del devanado de armadura varía periódicamente entre un valor máximo
4 4 34 4 21
d c
π απ
+α= , (1.3.13)
que se produce cuando el eje de simetría del polo (eje d) está alineado con el eje magnético de la fase a, ( )π=γ ,0 , y un valor mínimo
4 4 34 4 21
qc
maq
π απ
−α= , (1.3.14)
que se produce cuando el eje de simetría del espacio interpolar (eje q) coincide con el eje magnético de la fase a ( )232 ππ=γ , .
Las expresiones específicas para los coeficientes c d y c q dependen de la forma en que se modele el entrehierro.
De las relaciones (1.3.13) y (1.3.14) se desprende que la inductancia propia varía alrededor de un valor medio
2 1
2 2
= , (1.3.16)
de manera que la relación (1.3.11) para la inductancia propia de la fase a puede ser reescrita como
γ += 221 cosLLLaa . (1.3.17)
1-10

1.3.2 Inductancias mutuas de la armadura
La determinación de las inductancias mutuas entre fases del devanado de armadura requiere la determinación del flujo enlazado por una fase (p.ej. a) debido a la corriente en otra fase (p.ej. b). Para la onda de inducción producida por la fase b vale una expresión similar a (1.3.9) si se reemplaza i a por i b, x por x b y γ por γb, donde x b y γb se miden desde el eje magnético de la fase b.
p x x b
2π −γ =γ .
El flujo enlazado por la fase a se determina integrando la expresión para la inducción entre los límites correspondientes a la bobina equivalente de paso completo de la fase a
expresados en términos de la coordenada x b
( ) bm
p
p

11 . (1.3.20)

ab . (1.3.21)
Para determinar la inductancia mutua entre las fases a y c se procede en forma análoga, considerando las relaciones
p x x c
2π +γ =γ .

1-11
LlRdx t , x bf N

11 (1.3.22)

ac . (1.3.23)
Para la inductancia mutua entre las fases b y c vale
γ +−= 2 2 2
Lbc . (1.3.24)
1.3.3 Inductancia mutua entre el campo y una fase de la armadura
( )∫
2
2
(1.3.25)
am
d
. (1.3.26)
Si se considera que ( )2απ= senf df corresponde al factor de cuerda del devanado de
campo y se define la relación de transformación
11 1
f N =ξ (1.3.27)
se tiene que la inductancia mutua entre campo y fase a vale
γ = cosLL f fa 1 (1.3.28)
donde ad f f LL 11 ξ= (1.3.29)

1-12
corresponde al valor máximo de la inductancia mutua entre una fase del estator y el devanado de campo.
Para las otras dos fases se obtiene respectivamente

y
1.3.4 Inductancia propia del campo
Para determinar la inductancia propia del devanado de campo resulta conveniente introducir una coordenada x 2 , fija respecto al rotor, cuyo origen coincide con el eje de simetría del polo.
Como p
x x γ −=2 , (1.3.32)
se tiene que en términos de la nueva coordenada la expresión para la permeancia (1.3.2) toma la forma
2202 2 x pcos ) x ( pΛ+Λ=Λ (1.3.33)
La distribución de fmm del devanado de campo viene dada por
( ) 222 2
p
df f f =
π = (1.3.34)
En consecuencia, la componente fundamental de la distribución de inducción toma la forma similar a (1.3.5)
2f pp22 1
2f p02f pxFpxFxb coscos )( Λ+Λ= , (1.3.35)
a partir de la cual se calcula el enlace de flujo del devanado de campo asociado a la componente fundamental del campo en el entrehierro como
( ) f df f
Rl p

1-13

Los enlaces de flujo y las correspondientes inductancias determinadas en los párrafos anteriores corresponden al campo fundamental en el entrehierro. Adicionalmente los devanados enlazan flujos de dispersión que deben ser considerados mediante sendas inductancias de dispersión. El enlace de flujo resultante para cada devanado se obtiene sumando los enlaces de flujo parciales.
En términos de las corrientes e inductancias queda:
f af c ac babaaaaa i Li Li Li Li L ++++=ψ σ1 (1.3.38)
f bf c bc ababbbbb i Li Li Li Li L ++++=ψ σ1 (1.3.39)
f cf acabcbc cc c c i Li Li Li Li L ++++=ψ σ1 (1.3.40)
c fc bfbafaf ff f f f i Li Li Li Li L ++++=ψ σ (1.3.41)
Una vez conocidos los enlaces de flujo de cada devanado se puede plantear las ecuaciones de equilibrio de estos aplicando la ley de Faraday.
1.4 Ecuaciones de equilibrio eléctricas
Considerando a un observador fijo respecto al devanado, la aplicación de la ley de Faraday a cada devanado permite anotar
dt
i i
ψ += 1 con f ,c ,b,ai = (1.4.1)
Debido a la dependencia de las inductancias de la posición angular del rotor (γ), se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales nolineales, lo que se aprecia más claramente al escribirlas en forma desarrollada. Así, por ejemplo,
( ) [ ]γ +
c b
1-14
En términos de las variables reales, medibles en los terminales, estas ecuaciones no tienen soluciones analíticas conocidas y para su integración sería necesario recurrir a métodos numéricos.
1.4.1 Componentes simétricas de los valores instantáneos1
( )
( )

cosLL
(1.4.3)

LL (1.4.4)
La relación entre las variables originales ( )c ba i ,i ,i y las variables sustituto ( )021 i ,i ,i , en
términos de la matriz de transformación inversa, es

⋅

=

ea . (1.4.5)
Como la conexión estrella sin neutro del devanado del estator impide la circulación de corriente por el neutro, la corriente de secuencia cero es nula.
1 Waldo V. Lyon Transient Analysis of Alternating-Current Machinery

1-15
1 0 =++= c ba i i i i . (1.4.6)
Por otra parte, los valores instantáneos de las corrientes de fase son números reales, por lo que la componente de secuencia negativa
( )c ba ai i ai i ++= 2 2
3
1 (1.4.7)
es igual al valor conjugado de la componente de secuencia positiva
( )c ba i aai i i 2 1
3
es decir, •= 12 i i , (1.4.9)
por lo que el campo producido por las corrientes trifásicas puede ser descrito por una sola corriente compleja 1i .
Esta circunstancia permite reemplazar la relación matricial entre las variables de fase y las componentes simétricas (1.4.5) por las siguientes relaciones directas entre el valor instantáneo de cada variable de fase y la componente simétrica de secuencia positiva:
11121 2 i i i i i i a ℜ=+=+= ∗ (1.4.10)
1 2
11 2
21 2 2 i ai ai ai ai ai b ℜ=+=+= ∗ (1.4.11)
11 2
12 2
1 2 i ai ai ai ai ai c ℜ=+=+= ∗ . (1.4.12)
Para obtener la ecuación de equilibrio eléctrico en términos de las componentes de secuencia positiva de la tensión, de la corriente y del enlace de flujo basta reemplazar las ecuaciones pertinentes de (1.4.1) en
( )c ba v aav v v 2 1
3
dt
ψ += . (1.4.14)

1-16
3
( ) γ γ ∗ σ +++=ψ j
f f
121111 2
1 (1.4.16)
donde, para simplificar, se ha introducido convenientemente las inductancias de campo giratorio
11 2
3 LLG = .
Reemplazando (1.4.16) en (1.4.14) se obtiene la ecuación de equilibrio para el estator en términos de las componentes simétricas de las variables de terminales:
( ) ( ) ( )γ γ ∗ σ ++++= j
2 12
1 11111
1 . (1.4.17)
Para la ecuación de equilibrio del rotor se requiere la expresión para el enlace de flujo correspondiente en términos de la componente simétrica de la corriente del estator, lo que se logra al reemplazar las relaciones (1.4.10) a (1.4.12) en (1.3.41) y considerar al mismo tiempo la dependencia de las inductancias de la posición angular del rotor.
De esa manera se obtiene
( ) γ ∗γ − σ +++=ψ j
f
j
f f ff f f ei Lei Li LL 1111 , (1.4.18)
donde f f LL 11 2
3 = (1.4.19)
es la inductancia mutua de campo giratorio entre el devanado del estator y el devanado de campo.
Al reemplazar (1.4.18) en la ecuación de equilibrio del devanado de campo
dt
f f f
( ) ( )γ ∗γ − σ ++++= j j
f
f
d L

1-17
El examen de la estructura de las ecuaciones (1.4.17) y (1.4.21) permite apreciar que esta puede ser simplificada mediante la sustitución
γ −= j
para tomar la forma
γ += ∗
σ f f r Gr Gr r i Li Li LL dt
d
dt
2
y
( ) ( )[ ]∗ σ ++++= r r f f ff f f f f i i Li LL
dt
d i R v 111 . (1.4.24)
Se puede apreciar que el cambio de variables (1.4.22) no sólo simplifica la apariencia de las ecuaciones, al absorber la dependencia angular de las inductancias en las nuevas variables, sino que también las hace lineales para el caso en que la velocidad angular del rotor es constante, lo que permite su eventual integración mediante procedimientos analíticos (p. ej. mediante la transformación de Laplace).
Desde un punto de vista geométrico, la sustitución de variables (1.4.22) constituye una transformación de punto, que relaciona dos entes en un mismo sistema de coordenadas (figura 1.4.1a), pero también puede ser interpretada como una transformación de coordenadas, donde el mismo ente es descrito mediante dos sistemas de coordenadas diferentes (figura 1.4.1b). Este segundo punto de vista es especialmente útil cuando se desea interpretar "físicamente" a las nuevas variables y es privilegiado en lo que sigue.
Figura 1.4.1 Interpretación de la sustitución
i 1r =i 1e -j γ
como: a)Transformación de punto b)Transformación de coordenadas
ℜ
x x
a b
1-18
1.4.2 Fasores espaciales2
Las componentes simétricas son esencialmente magnitudes complejas abstractas que simplifican la descripción matemática del problema. Con ese objetivo son usadas como variables sustituto en el análisis de redes estáticas, transformadores y máquinas rotatorias, cuyas matrices de impedancia sean simétricas o cíclicas.
En el caso de máquinas rotatorias, la simetría inherente de los devanados y la sinusoidalidad de los campos en el entrehierro permiten interpretar estas magnitudes complejas formalmente como entes espaciales.
x1
x2
x1
x2
ℜ
ℑ
representación simbólica en el plano complejo
Para concretar esta idea, considérese primeramente una distribución sinusoidal cualquiera y su representación simbólica en el plano complejo mediante un fasor (figura 1.4.2). Esta transformación, tan ampliamente utilizada en el análisis de redes de corriente alterna, no está de ninguna manera limitada a magnitudes que varían sinusoidalmente en el tiempo. También puede aplicarse a magnitudes que varían sinusoidalmente en el espacio, como las distribuciones de fuerza magnetomotriz asociadas a los devanados distribuidos. El módulo del fasor corresponde en ese caso a la amplitud de la distribución de fmm y su argumento indica el desplazamiento angular del máximo de la distribución respecto a cierta referencia.
Considérese ahora un corte transversal de la máquina de un par de polos (figura 1.4.3) e imagínese un plano de Gauss superpuesto de manera que el eje real coincida con el eje magnético de la fase a. La distribución de fmm de cada fase puede representarse en el plano complejo mediante un fasor espacial cuyo módulo es proporcional al valor instantáneo de la corriente en la fase y cuyo argumento corresponde a la ubicación del eje magnético de la fase.
2 Karl P. Kovacs Transient Performance of Electrical Machines.

1-19
En la figura 1.4.3 se muestra los fasores espaciales de las tres fases para el instante en el que las corrientes en las fases a y b son positivas y la corriente en la fase c es negativa. La suma de los tres fasores define el fasor espacial resultante
( )c bas i aai i k i 2++= r
con º a 1201∠= (1.4.25)
cuyo argumento indica la posición angular de la amplitud de la onda de fmm resultante y cuyo módulo es proporcional a la amplitud de esa onda de fmm. El factor k se suele fijar exigiendo que la proyección del fasor resultante sobre el eje de la fase a corresponda al valor instantáneo de la corriente en esa fase
{ } ( ) ac bas i i i i k i ≡−−=ℜ 2 1
2 1
3 2=k
Por lo tanto el fasor espacial de la corriente (fmm) queda definido como
( )c bas i aai i i 2
3
2 ++=
r
. (1.4.26)
ℜ
ℑ
ic<0
Fig ura 1.4.3 Plano complejo superpuesto a un corte transversal de
la máquina. Representación de distribuciones
sinusoidales en el espacio como fasores espaciales

1-20
La similitud de esta expresión con (1.4.8) permite asociar formalmente el fasor espacial con la componente de secuencia positiva de las componentes simétricas de los valores instantáneos a través de la relación:
12 i i s = r
(1.4.28)
y traspasar a esta última la interpretación física del primero.
Así, con la interpretación como fasor espacial en mente, la substitución de variables (1.4.22) equivale a cambiar la descripción desde un sistema de referencia fijo al estator, cuyo eje real coincide con el eje magnético de la fase a, a otro, fijo respecto al rotor, cuyo eje real coincide con el eje de simetría del polo (eje d). El cambio de coordenadas se realiza en el plano complejo mediante un giro del sistema original.
La interpretación formal de la variable compleja abstracta como fasor espacial ha dado importantes impulsos a la técnica del control de máquinas trifásicas mediante convertidores estáticos. Por otra parte, el uso de variables de estado complejas permite visualizar ventajosamente el comportamiento dinámico de máquinas trifásicas mediante diagramas de flujo de señales complejas y, a través de ellos, el efecto de los controles externos sobre los procesos internos.
1.4.3 Las ecuaciones de Park
La integración de las ecuaciones de equilibrio (1.4.23) y (1.4.24) hace necesario expresar las variables complejas en términos de sus partes real e imaginaria, es decir, proyectar el fasor sobre los correspondientes ejes, centrados respectivamente con el eje de simetría del polo (eje d) y el eje de simetría del espacio interpolar (eje q).
Para que estas componentes correspondan a la forma tradicional, se define convenientemente:
( )qd r jv v v 112 1
1 += y ( ) qd r ji i i 112
1 1 += . (1.4.29)
Al sustituir estas relaciones en (1.4.23) y (1.4.24) y luego separar partes real e imaginaria queda:
qq
f
f
d
d
dt
1 1111
γ −++= (1.4.30)
d
dt
1 1111 +
γ ++= (1.4.31)
f
f
1-21
2111 GGq LLLL −+= σ (1.4.34)
ff f f LLL += σ (1.4.35)
son respectivamente las inductancias propias de un devanado ficticio centrado en el eje d, de un devanado ficticio centrado en el eje q y del devanado de campo.
Las ecuaciones (1.4.30) a (1.4.32) se conocen en la literatura como ecuaciones de
Park . Ellas son la base de la teoría clásica de los dos ejes.
En el caso particular en que la velocidad del rotor es constante, dt d γ es constante y las ecuaciones de Park se hacen lineales y pueden ser integradas analíticamente. Sobre este punto se volverá cuando se trate el análisis del cortocircuito dinámico en el capítulo correspondiente.
1.5 E l momento electromagnético
Para la determinación del momento electromagnético desarrollado por la máquina se recurre convenientemente a las fuerzas de Lorentz, punto de vista cuya validez formal ya se demostró en otra oportunidad.
Supóngase el devanado de armadura reemplazado por una capa de corriente de densidad lineal a(x) A/m. La inducción resultante en el entrehierro sea b(x). Entonces, con las referencias de la figura 1.5.1, la fuerza tangencial sobre un elemento diferencial de longitud axial l de la superficie interior del estator vale
dx R l ) x ( a ) x ( bdf −= (1.5.1)
y el momento diferencial correspondiente está dado por
dx ) x ( a ) x ( bl R dT s 2−= . (1.5.2)
El momento electromagnético resultante sobre el estator se logra integrando (1.5.2) a lo largo de la periferia interior del estator
∫ π
−= 2
0
2 dx ) x ( a ) x ( bl R T s . (1.5.3)

1-22
∫ π
= 2
0
2 dx ) x ( a ) x ( bl R T . (1.5.4)
La distribución de inducción resultante se obtiene superponiendo las distribuciones de los devanados individuales
) x ( b ) x ( b ) x ( b ) x ( b ) x ( b f c ba +++= ,
expresadas en términos de las corrientes y la geometría, como se obtuvo en (1.3.9) y (1.3.35).
( )[ +γ −ξ+++−+α δ ′′ µ
π = ππ ) px cos( i ) px cos( i ) px cos( i px cosi
p
d 13
2 3
2011
2
4
(1.5.5) Si se expresa las corrientes en términos de la componente simétrica mediante las relaciones (1.4.10) a (1.4.12) y las funciones trigonométricas en términos de funciones exponenciales, se obtiene
( ) ( )( )[ +ξ+ξ++α δ ′′ µ
π = γ −−γ −−∗ px j
f f
px j
f f
f N ) x ( b 2
1 12
1 112
3 12
( ) ( ) ( ) ( )( )]γ −−γ −γ −−∗γ − ξ+ξ++ π απ px j
f f
px j
f f
2 1
12 1
1 2
12 32
( ) γ −ξ+−γ −++γ −+γ −
π απ ππ ) px cos( i ) px cos( i ) px cos( i ) px cos( i
sen f f c ba 13
2 3
2 222
x, f
electromagnéticas y mecánicas
1-23
La distribución de densidad lineal de corriente resultante se obtiene superponiendo las distribuciones de las tres fases del estator
) x ( a ) x ( a ) x ( a ) x ( a c ba ++= (1.5.7)
De la distribución rectangular de densidad lineal de corriente de la figura 1.3.1b sólo se considera la fundamental, ya que la distribución de inducción también fue limitada a esa componente. Para la fase a vale entonces
px sen A ) x ( a apa −= (1.5.8)
con
p A
coeficiente de Fourier para la fundamental.
Para las fases b y c valen relaciones similares, desplazadas en 32π y 32π− respectivamente.
El reemplazo de estas relaciones en (1.5.7) y la posterior introducción de la componente simétrica y de funciones exponenciales en lugar de las trigonométricas conduce a la siguiente expresión para la densidad lineal de corriente resultante:
( ) jpx jpx d ei ei R
f N j ) x ( a −∗ − π
= 11 11
32 (1.5.10)

f f
j
G
j
f f G ei i ei i pLei i pLT 11 2
112111 3
1 6
112 2
2 GGf f LLL +ξ= . (1.5.13)
Como la parte imaginaria de ∗ 11i i es cero, la ecuación (1.5.12) no es alterada al incluir
( ) ∗+ 1121 i i LL GG en el paréntesis llave de (1.5.12), expresión que de esa manera toma la
forma
1-24
j
GG ei i Lei i Li i LL pT 11 2
1121111 2
1 6 (1.5.14)
que, al considerar la expresión (1.4.16) para la componente simétrica del enlace de flujo de la armadura, puede reescribirse en forma compacta como
116 i pT ∗ψ ℑ= (1.5.15) ó
{ }∗ψ ℑ−= 116 i pT . (1.5.16)
Para la teoría de los dos ejes se prefiere una expresión para el momento en términos de las componentes real e imaginaria de las variables. Considerando que
( ) γ ψ +ψ =ψ j
qd e j 112 1
1 e ( ) γ += l
1 (1.5.17)
se obtiene
3 ψ −ψ = , (1.5.18)
donde f f d d d i Li L 1111 +=ψ y qqq i L 111 =ψ
son los enlaces de flujo de los devanados de armadura ficticios que giran con el rotor y cuyos ejes magnéticos coinciden respectivamente con los ejes de simetría d y q del rotor.
Con las referencias de la figura 1.5.1, el momento desarrollado como motor es positivo.
1.5.1 Ecuación de equilibrio mecánica
El movimiento del rotor de la máquina está condicionado por la ecuación de D'Alambert de equilibrio de los momentos, que establece que la suma de los momentos sobre el eje es igual a la inercia por la aceleración angular:
mT T dt
2
(1.5.19)
donde T es el momento electromagnético, Tm el momento mecánico aplicado al eje y J el momento de inercia.

2.3.1 Determinación de la corriente de campo y de la regulación......................2—10
2.4 Lugar geométrico de la corriente de armadura..............................................2—12
2.5 Potencia y momento ................................................................................................2—1
2 Funcionamiento estacionario simétrico
2.1 Ecuaciones de equilibrio eléctricas
En régimen sinusoidal estacionario la máquina está conectada a una red trifásica simétrica y su rotor gira con velocidad sincrónica p / 1ω . El devanado de campo está alimentada con corriente continua I f .
La conexión estrella sin neutro del devanado de armadura hace que la red sólo imponga las tensiones de línea. Sin embargo, la simetría del devanado de armadura y la ausencia de corriente de secuencia cero hacen que la tensión de secuencia cero sea nula, por lo que las tensiones de fase también forman un sistema simétrico.
Para la tensiones de fase del devanado de armadura se puede anotar entonces:
t cosV v a 112 ω= (2.1.1)
) / t cos( V v b 322 11 π−ω= (2.1.2)
) / t cos( V v c 322 11 π+ω= . (2.1.3)
La componente simétrica correspondiente se calcula como
( ) t j
23
ω=++= (2.1.4)
y se refiere convenientemente al sistema de coordenadas fijo al rotor - en el cual la máquina está descrita por ecuaciones diferenciales lineales - mediante la transformación:
0
r e V
ev v (2.1.5)
donde se consideró que 01 γ −ω=γ t . (2.1.6)
En estado estacionario sólo interesa la solución particular y esta tiene una forma similar a la función de excitación, salvo un ángulo de fase.
En consecuencia se puede postular directamente para la corriente:

( ) 00
r ee I
(2.1.7)
( )
+++
+
γ += ∗
σ f f r Gr Gr r i Li Li LL dt
d
dt
2
( )

j j I LeLeLL j eR e IIIV . (2.1.8)
Si se multiplica esta ecuación por 0γ − j e , se introduce formalmente un nuevo sistema de coordenadas fijo al rotor, cuyo eje real coincide con r v 1 , según se puede apreciar en
( )

LeLLL j R IIIV . (2.1.9)
Considérese ahora la introducción del ángulo de carga δ, definido como
0 2 γ −
π =δ , (2.1.10)
y la descomposición de la corriente compleja en dos componentes respectivamente paralelas a los ejes d y q, como se indica en la figura 2.1.1
δδγ − +−=+== j q j d qd
j
11 1111
0 . (2.1.11)
Esta descomposición de la componente simétrica (fasor espacial) en dos componentes ortogonales representa en el plano complejo a la descomposición de la correspondiente distribución espacial sinusoidal de fmm en dos ondas, centradas respectivamente en el eje de simetría del polo (eje d) y el eje de simetría del espacio interpolar (eje q). Esta descomposición es la idea en que se basa la teoría de los dos ejes de Blondel.
Considerando (2.1.7) la relación (2.1.11) se puede reescribir como
qd
j
q
j

Si ahora se reemplaza estas relaciones en (2.1.9) se logra
( ) ( ) p
j
q
j
j
q
j
d G eI e jI jX eI e jI jX jX R VIV ++−+−++= δδδδ σ 1121111111 (2.1.13)
( ) pqmqd md jX jX jX R VIIIV ++++= σ 111111 (2.1.14)
con δω= j f f p e
I L
2 11V (2.1.15)
21 GGmd X X X += reactancia en el eje directo (2.1.16)
2G! Gmq X X X −= reactancia en el eje en cuadratura. (2.1.17)
Esta relación expresa la ecuación de equilibrio de una fase del estator en términos de los valores efectivos de los fasores temporales.
Al interpretar la notación fasorial simbólica de la ecuación (2.1.14) se aprecia que la tensión en los terminales de una fase puede suponerse formada por las caídas de tensión en la resistencia y la reactancia de dispersión de la fase (primer término) y las tensiones inducidas en ella por la componente del campo giratorio del estator centrada en el eje d (segundo término), la componente del campo giratorio del estator centrada
ℜ
ℑ
d
q

Funcionamiento estacionario de la máquina sincrónica anisotrópica 2—5 ______________________________________________________________________
en el eje q (tercer término) y el campo producido por la corriente continua del devanado del rotor.
Para expresar (2.1.14) en términos de las componentes simétricas, referidas al sistema de coordenadas fijo respecto al estator, tiene que realizarse la transformación inversa de (2.1.5), es decir, cada término de (2.1.14) se multiplica por ) / e( t j 21ω . Así se
obtiene
( ) pqmqd md v i jX i jX i jX R v ++++= σ 111111 , (2.1.18)
que expresa la ecuación de equilibrio para las fases del estator. Esta expresión es isomórfica con (2.1.14), la ecuación de equilibrio en términos de los fasores temporales. Con velocidad constante, los campos distribuidos sinusoidalmente en el espacio inducen tensiones que varían sinusoidalmente en el tiempo.
2.2 Diagrama fasorial
La información contenida en la ecuación (2.1.18) se aprecia mejor si se invoca la identidad entre componentes simétricas y fasores espaciales y se la representa gráficamente en el plano complejo superpuesto a un corte transversal de la máquina en la forma indicada en la figura 2.2.1.
La elección arbitraria de un ángulo fase nulo para la tensión de la fase a en (2.1.1) implica fijar como t=0 al instante en que la tensión en la fase a es máxima, lo que de acuerdo con (2.1.4) significa que en el plano complejo ( )01v coincide con el eje real.
Como la tensión es máxima cuando el flujo enlazado es cero, el fasor ( )01φ tiene que estar desplazado en -π/2 respecto al eje real, o eje de la fase a, ya que la proyección de ese fasor sobre el eje de la fase a representa el valor instantáneo del flujo enlazado por esa fase. El fasor pv está desplazado respecto a 1v en el ángulo de carga δ (2.1.15). El
fasor pv está desplazado en π/2 respecto a pφ , que está centrado en el eje d, y por lo
tanto su dirección coincide con la del eje q. El ángulo entre los flujos es el mismo que el entre las tensiones correspondientes.
Con estos antecedentes y el conocimiento de los parámetros X σ1, X md y X mq se puede realizar la construcción del diagrama fasorial de la máquina sincrónica para una condición de carga dada, caracterizada por la tensión en los terminales de la máquina V 1, la corriente de armadura I 1 y el ángulo de fase 1.
Supóngase que la máquina funcione como un generador sobreexcitado, entregando potencia reactiva inductiva a la red. Entonces π/2<1<π, lo que permite ubicar 1i en

Para poder descomponer 1i en d i 1 e qi 1 se requiere conocer la ubicación de los ejes d y
q, determinada por el ángulo δ. Por consideraciones geométricas elementales - los lados correspondientes son perpendiculares - se puede apreciar que los triángulos rectángulos achurados de la figura 2.2.1 son semejantes, es decir, los lados correspondientes son proporcionales, con factor de escala X mq. En consecuencia, la hipotenusa (segmentada) es de longitud X mqi 1. Entonces, para ubicar la posición angular del eje q sólo es necesario prolongar 11i jX σ en 1i X mq , o, lo que es lo mismo,
restarle a 1v el fasor ( ) 1111 i jX i X X j qmq =+σ .
γ 0δ
jXmdi1d
jXmqi1q
Xmqi1
vp
v1
jXσ1i1
d
q
i1
i1q
i1d
1
Φ1
vi

2.3 E l efecto de la saturación del circuito magnético
Hasta aquí el modelo usado para la máquina sincrónica supone un circuito magnético lineal. Como normalmente las máquinas reales funcionan con niveles de inducción tales que para tensión nominal el fierro de su circuito magnético está saturado, es necesario considerar este fenómeno, que se manifiesta en la curvatura de la característica de vacío V p(I f ), representada esquemáticamente en la figura 2.3.1.
En vacío la tensión V p es proporcional al flujo en el entrehierro Φδ y es habitual tomar la característica de vacío como equivalente a la característica de magnetización Φδ(F)
resultante, lo que implica considerar a la máquina sincrónica como un circuito magnético serie, donde el flujo es el mismo en todos los tramos. Este punto de vista ignora el efecto del flujo de dispersión del rotor sobre la saturación del tramo del circuito magnético correspondiente al inductor, lo que en el caso de máquinas modernas, altamente aprovechadas, produce inexactitudes (p.ej., al determinar el triángulo de Potier).
En la figura 2.3.2 se ilustra la situación planteada y se muestra como obtener la característica de magnetización resultante sumando las fmms en cada tramo del circuito magnético correspondientes a un determinado valor del flujo en el entrehierro. Así, para determinar la fmm para el inductor F hay que considerar el flujo efectivo en el inductor, sumando al flujo en el entrehierro el flujo de dispersión del rotor. Con este valor se entra a la característica Φ(F) del inductor y se obtiene la fmm correspondiente. Se aprecia que la fmm necesaria para establecer un cierto flujo en el entrehierro es mayor mientras mayor sea el flujo de dispersión del inductor y como éste no es el mismo en vacío que con carga inductiva pura, situación en que se requiere una elevada corriente de campo - con el consiguiente aumento del flujo de dispersión - para contrarrestar el efecto desmagnetizante de la reacción de armadura, la característica de magnetización y la característica de vacío en rigor no son homologables.
A pesar de la conclusión anterior, en lo que sigue se mantiene el modelo del circuito magnético serie.
Para poder utilizar la característica de vacío como característica de magnetización es necesario expresar el efecto magnético de la corriente de armadura I 1d en términos de una corriente de campo equivalente, es decir, es necesario determinar el valor de la corriente de campo I 1df que produce la misma distribución fundamental de inducción en el entrehierro que una corriente de armadura I 1d .
V p, Φδ
I f , F

El devanado de campo produce una distribución de fmm rectangular. Con entrehierro constante la distribución de inducción también será rectangular (figura 2.3.3a) con amplitud
p
f 2
= (2.3.1)
El coeficiente de Fourier correspondiente a la fundamental se calcula como
f f
N dx px cosB
22 . (2.3.2)
El devanado trifásico del estator produce una distribución de fmm sinusoidal, cuya componente centrada en el eje directo tiene la amplitud
d d
0
Figura 2.3.2 Influencia del flujo de dispersión del rotor (inductor)
sobre la característica de magnetización Φδ(F).
Fres
Como el modelo considera que la permeancia en el espacio interpolar es nula, la onda de inducción correspondiente es una sinusoide recortada (figura 2.3.3b) y la amplitud de su fundamental es
( ) d

π = . (2.3.4)
Si ahora se iguala las expresiones para las amplitudes de las ondas fundamentales de inducción se obtiene la relación buscada entre la componente de la corriente de armadura y la corriente de campo equivalente a esta.
d d d d
f N I 11
3 == (2.3.5)
Se aprecia que el factor de proporcionalidad, conocido como factor de reacción de armadura en el eje directo,
x
x2
x2
Bdp
Bfp
τp
ατp
0
a
b
Figura 2.3.3 Relativo al reemplazo de la
reacción de armadura en el eje directo por una corriente de campo equivalente
bf
bad
d
tiene el carácter de una relación de transformación.
2.3.1 Determinación de la corriente de campo y de la regulación1
Con los resultados del párrafo anterior se puede determinar la corriente de campo I f necesaria para un estado de carga determinado, caracterizado por la tensión en los terminales V 1, la corriente de armadura I 1 y el ángulo de fase 1. Para ilustrar el procedimiento, considérese el caso de un motor sobreexcitado, de manera que entregue potencia reactiva inductiva a la red. Con este antecedente se puede comenzar la construcción del diagrama fasorial de la figura 2.3.4, adelantando I 1 en un ángulo 1<90º respecto a V 1. En seguida se determina la tensión inducida por el flujo resultante en el entrehierro V i , restando a V 1 la tensión inducida por el flujo de
1 Ver IEEE Std 115-1995 Test Procedures for Synchronous Machines, Part I Section 5
1 δ
V 1
I 1
I 1d
I 1q
X 1q I 1
Fig ura 2.3.4 Obtención de I 1d y V iq para la
determinación de la corriente de campo

dispersión jX σ1 I 1. El eje q se ubica en la forma explicada anteriormente restando jX 1q I 1 de V 1.
El grado de saturación está determinado por el flujo resultante en el eje directo, que es proporcional a V iq. Con esta tensión se entra a la característica de vacío (figura 2.3.5) y se obtiene la corriente magnetizante correspondiente, es decir, una corriente ficticia que, si circulara en el devanado de campo, produciría el mismo flujo en el eje directo que las corrientes de campo y de armadura en conjunto.
Dado que la máquina suministra potencia reactiva inductiva a la red, la reacción de armadura, cuyo valor expresado en términos de la corriente de campo es g d I 1d, es desmagnetizante. En consecuencia el valor de la corriente de campo correspondiente al estado de carga analizado vale
d d mf I g I I 1+= , (2.3.7)
donde I 1d también se obtiene del diagrama fasorial.
Al entrar con I f a la característica de vacío linealizada para ese grado de saturación se obtiene V p, la tensión ficticia inducida por la componente del flujo - también ficticia - debida al devanado de campo. Esta tensión no es medible, en cambio sí lo es V p' , la tensión inducida en vacío y , por lo tanto, correspondiente a otro grado de saturación.
V p' es la tensión que aparece en los terminales de la máquina cuando esta se desconecta de la red. La correspondiente variación de tensión se suele referir a la tensión nominal y se conoce como regulación
1
1
V
=ε (2.3.8)
y, de acuerdo con la norma, no debería ser superior a 0,5 para un factor de potencia 0,8 inductivo.
V p'
V iq
I m
V p
V p
Fig ura 2.3.5 Consideración de la saturación al determinar la corriente de
campo y la regulación
Para una máquina dada, el valor de ε depende de su razón de cortocircuito (SCR), definida anteriormente como la razón entre la corriente de campo para tensión nominal en vacío I f0 y la corriente de campo para corriente de armadura nominal en cortocircuito I fcc
nd
f
fcc
f
Considerando (2.3.7) se aprecia que valores elevados para la razón de cortocircuito determinan valores relativamente bajos para la regulación y viceversa.
2.4 Lugar geométrico de la corriente de armadura
Un lugar geométrico describe la trayectoria de un fasor en el plano complejo cuando cambia la condición de operación de la máquina, sujeta a cierta condición. Su ventaja reside en que permite visualizar en una sola imagen las diferentes posibilidades de operación de la máquina.
Para obtener una expresión analítica para la corriente I 1 se recurre convenientemente al diagrama fasorial de la figura 2.4.1, del cual se desprenden las siguientes relaciones:
d d p X I cosV V 111 =δ− (2.4.1)
qq X I senV 111 =δ (2.4.2)
δ= j
δ−= j

434214 4 4 4 34 4 4 4 214 4 4 34 4 4 21
111210
1
2
1
1
1
1
1
1
1
V j (2.4.6)
donde -jV 1 /X 1d es la corriente magnetizante absorbida de la red en vacío (δ=0 ) y sin excitación (V p=0 ).
El lugar geométrico de la corriente de armadura de la máquina anisotrópica con excitación constante corresponde a una Limaçon de Pascal, cuya generación a partir de los tres sumandos de (2.4.6) se ilustra en la figura 2.4.2.
La figura 2.4.3 muestra los lugares geométricos de la corriente de armadura para diferentes grados de excitación de la máquina de polos salientes. También está representado (con línea segmentada) el lugar geométrico de la máquina de rotor cilíndrico (V p=2, X 1q=X 1d ) , que corresponde a una circunferencia. Se aprecia que para
d
q
j I 1q X 1q j I 1d X 1d

máquinas sobreexcitadas y ángulos de carga pequeños el arco de Limaçon y el arco de circunferencia no difieren substancialmente, hecho que legitima la práctica de modelar la máquina anisotrópica como si fuera isotrópica.
Las ordenadas máximas de los lugares geométricos correspondientes a los diferentes grados de excitación representan los valores máximos de la componente activa de la corriente y por lo tanto son proporcionales a la potencia máxima. Ellas determinan otro lugar geométrico, el límite de estabilidad estacionaria. Al aumentar la potencia mecánica suministrada al eje I 1 se desplaza sobre la limaçon hasta el punto correspondiente al límite de estabilidad. Un incremento adicional del momento aplicado al eje no podría ser equilibrado por el momento electromagnético y se produciría la aceleración del rotor y la pérdida del sincronismo.
Por otra parte, un cambio de la excitación con la potencia suministrada al eje constante, es decir, con la componente de la corriente de armadura en fase con V 1 constante, determina un lugar geométrico para I 1 que es una recta paralela al eje de abscisas. Se aprecia que mediante la variación de la corriente de campo se puede ajustar la componente reactiva de la corriente de armadura.
V 1
I 1
I 10
I 12
I 11

2.5 Potencia y momento
En estado estacionario la potencia media suministrada al campo magnético es nula. En consecuencia, se tiene que en ausencia de pérdidas la potencia absorbida es igual a la potencia entregada:
mec P P =1 (2.5.1)
Para la potencia eléctrica se tiene en términos de los valores efectivos complejos:
{ }∗ℜ= 111 3 IVP (2.5.2)
y al reemplazar (2.4.5) queda
δ
I 1
V 1

p T T P mmec
1ω=ω= . (2.5.4)
Al reemplazar (2.5.3) y (2.5.4) en (2.5.1) se obtiene la siguiente expresión para el momento:
δ
1d1
1p
1
. (2.5.5)
El primer término de la suma se conoce como momento de excitación y es similar al desarrollado por la máquina isotrópica. El segundo término se conoce como momento
de reluctancia y tiene su origen en la diferencia entre las reluctancias en el eje directo y en el eje en cuadratura.
En máquinas sincrónicas normales la reactancia en el eje en cuadratura es típicamente del orden de un 70% de la reactancia en el eje directo y por lo tanto la amplitud del momento de reluctancia para V 1=V p es sólo un 20% de la amplitud del momento de excitación. Para máquinas sobreexcitadas la amplitud relativa del momento de reluctancia es aún menor. La figura 2.5.1 muestra la característica del momento como función del ángulo de carga de una máquina anisotrópica conjuntamente con el primer término de (2.5.5), pudiendo apreciarse que la diferencia no es sustantiva.
T
δδ

También existe el motor de reluctancia, que prescinde del devanado de campo y está provisto de un rotor tal que la reactancia en el eje en cuadratura es del orden de un 20% de la reactancia en el eje directo. La ausencia de un devanado de campo en el rotor permite a estos motores alcanzar altas velocidades como parte de un accionamiento con convertidores de frecuencia. Como por naturaleza poseen un factor de potencia bajo, su aplicación está restringida al rango de potencias inferior a 10kW.
El arranque del motor de reluctancia se logra mediante una jaula incompleta (devanado asimétrico) y su sincronización es un proceso dinámico cuyo éxito depende, entre otros aspectos, del momento de inercia de la carga2.
2 P.J.Lawrenson et al. Transient performance of reluctance machines, PROC. IEE, Vol 118, Nº6, June
1971
3.2 La reactancia de secuencia negativa .....................................................................3-5
3.3 Reactancia de secuencia cero .................................................................................3-9
3.4 Modelo para la máquina con carga asimétrica ....................................................3-9
3.4.1. Uso del modelo ...................................................................................................3-10
3 Funcionamiento con carga asimétrica
El funcionamiento simétrico es una idealización. En condiciones de funcionamiento normales las corrientes de fase no suelen ser iguales, aspecto que la norma (por ejemplo VDE 0530 / 3.59 §40c) considera al exigir que turbogeneradores de hasta 100MVA deben ser capaces de soportar en forma permanente una asimetría relativa de 12,5%, es decir, una corriente de secuencia negativa de 12,5%.
Esta asimetría influye sobre las características de funcionamiento de la máquina, especialmente en lo que al calentamiento y el nivel de vibraciones mecánicas se refiere.
Además de estas asimetrías “normales” suelen presentarse asimetrías anómalas, como consecuencia de fallas en el sistema de potencia al que está conectado el generador. Estas fallas, si bien de corta duración, deben poder ser predichas en sus consecuencias, lo que implica la necesidad de modelos adecuados para la máquina en esas condiciones de operación. En los párrafos siguientes se desarrollan las ideas que permiten formular esos modelos.
3.1 Excitación as imétrica y componentes s imétricas
La alimentación simétrica impone en el entrehierro de la máquina un campo giratorio de amplitud constante que se desplaza con velocidad angular constante ω1/p. Este campo puede ser representado en el plano complejo por un fasor espacial que gira con velocidad sincrónica y cuyo extremo libre recorre una circunferencia. De aquí que suele hablarse de un campo giratorio circular.
Considérese ahora la alimentación de la máquina con un sistema de tensiones asimétrico con las siguientes tensiones de fase:
( )aaa t cosV v +ω= 12 (3.1.1)
( )bbb t cosV v +ω= 12 (3.1.2)
( )c c c t cosV v +ω= 12 (3.1.3)
Si se reemplaza estas expresiones en la correspondiente a la secuencia positiva de las componentes simétricas de los valores instantáneos (fasor espacial):
( )c ba v aav v v 2 1
3
3
1
2
t j t j eev 11 211
2
1
2
donde ( )c ba aa VVVV 2 1
3
3
1 (3.1.8)
corresponden, respectivamente, a las componentes de secuencia positiva y de secuencia negativa de los valores efectivos complejos. Estas son distintas entre sí y no deben ser confundidas con las componentes simétricas de los valores instantáneos.
De (3.1.6) se desprende que un sistema asimétrico puede ser considerado como una superposición de dos sistemas simétricos de secuencia invertida, cuyos respectivos fasores espaciales, que en general tendrán amplitudes distintas, giran en direcciones opuestas. El fasor suma es de amplitud variable y su extremo describe una elipse en el plano complejo, según ilustra la figura 3.1.1. De aquí nace la costumbre de hablar de campos giratorios elípticos al referirse a campos creados por sistemas asimétricos.
Fig ura 3.1.1 Campo giratorio elíptico como su er osición de dos cam os circulares
1,1v
2,1v
1v
3-4
Para las componentes simétricas de la corriente y del enlace de flujo valen expresiones similares a (3.1.6) las que reemplazadas en la expresión general para el torque
* i pT 116 ⋅ψ ℑ−= (3.1.9)
la transforman en
* eeee pT t j * t j t j * t j 1111 21213 ω−ωω−ω +⋅+ℑ−= IIΨΨΨΨ (3.1.10)
( ) t j * * e p p pT 12 12212211 333 ω⋅Ψ−⋅Ψℑ−⋅Ψℑ+⋅Ψℑ−= IIII . (3.1.11)
Se aprecia que con alimentación asimétrica aparecen dos términos adicionales en la expresión para el momento: el así llamado momento de secuencia negativa y un momento oscilatorio, de doble frecuencia de la red, cuyo valor medio es cero. Esta última componente, debida a la interacción en el entrehierro de los campos de secuencia positiva y de secuencia negativa, es característica del funcionamiento asimétrico y se traduce en vibraciones mecánicas que son transmitidas a través del anclaje del estator a la fundación.
Vb2Vb1
Vc1
Va1=V1
Va2=V2 Vb2=a V2
Vc2=a2 V2

3-5
Si se considera solamente las componentes del momento cuyo valor medio no es cero, se puede concebir al momento resultante como el momento producido por dos máquinas idénticas, acopladas mecánicamente y alimentadas respectivamente con un sistema de tensiones simétrico de secuencia positiva y un sistema de tensiones simétrico de secuencia negativa, tal como se muestra en la figura 3.1.2. El devanado de campo de la máquina de secuencia positiva está alimentado con la corriente continua I f y el devanado de campo de la máquina de secuencia negativa está cortocircuitado.
En la máquina de secuencia positiva el rotor gira sincrónicamente con el campo giratorio, comportándose esta máquina como una máquina sincrónica. En cambio en la máquina de secuencia negativa el campo impuesto por la alimentación de esa secuencia gira en sentido opuesto al sentido de giro del rotor, por lo que esa máquina se comporta en forma semejante a una máquina asincrónica con deslizamiento s=2. La relación entre tensión y corriente en la máquina de secuencia negativa se conoce como impedancia de secuencia negativa.
3.2 La reactancia de secuencia negativa
Debido a la anisotropía del rotor, los parámetros de secuencia negativa no son únicos y dependen de circunstancias como el tipo de excitación. Así debe distinguirse entre la excitación con tensiones de secuencia negativa y la excitación con corrientes de secuencia negativa. Como las fallas (p.ej. un cortocircuito monofásico) imponen restricciones sobre las corrientes de secuencia, se abordará aquí esa situación.
Como el modelo para análisis del capítulo 1 no incluye la jaula de amortiguación y esta juega un papel importante en la máquina de secuencia negativa, es necesario ampliar el modelo para incluir su efecto.
Para ello se parte convenientemente de las ecuaciones de Park:
qq
f
f
d
d
dt
1 1111
γ −++= (1.4.30)
d
dt
1 1111 +
γ ++= (1.4.31)
f
f
1 1++= , (1.4.32)
recordando que la interpretación física de las variables del estator está asociada a devanados ficticios centrados respectivamente en los ejes de simetría d y q , que por lo tanto giran solidarios con estos.

3-6
caracterizadas por inductancias propias LD y LQ e inductancias mutuas L1D, LfD ,L1Q.
Consecuentemente, junto con dos ecuaciones adicionales correspondientes a estos devanados, en los enlaces de flujo de los devanados 1d,1q y f aparece un término adicional que representa el acoplamiento inductivo entre esos devanados y la jaula.
Las ecuaciones de Park así ampliadas toman la forma:
( )QQqq
D
D
f
f
d
d
dt
1 1111 +
γ −+++= (3.2.1)
d
dt
1 1111 ++
γ +++= (3.2.2)
fD
d
f
f
dt
1 10 ++= . (3.2.5)

⋅

d p = .

⋅

=

DICI += 10 (3.2.9)
y reemplazando la expresión para I despejada en (3.2.9) en (3.2.8) se logra
1 1

⋅

1 (3.2.11)
donde L” 1d y L” 1q son respectivamente las inductancias subtransitorias en el eje directo y en el eje en cuadratura, cuya interpretación física corresponde a las inductancias de cortocircuito de sendos transformadores de tres y dos devanados formados por los devanados en el eje directo y los devanados en el eje en cuadratura.
Supóngase ahora que la máquina sea alimentada con corrientes de secuencia negativa:
( )t cosI i a 122 ω= (3.2.12)
( )322 12 π+ω= t cosI i b (3.2.13)
( )322 12 π−ω= t cosI i c (3.2.14)
Esto implica que ( ) t j
c ba e I
23
En términos de las componentes se tiene que
( ) ( )0101211 2222 γ −ω−γ −ω=+ t sen j t cosI ji i qd (3.2.16)
Se aprecia que las componentes referidas al sistema de referencia del rotor
( )012d1 t2cosI2i γ −ω= (3.2.17)
( )012q1 t2senI2i γ −ω−= (3.2.18)
son de frecuencia igual al doble de la frecuencia de la red.

( ) ( )011121 222 γ −ω−−= t sen X X I v "
q
( ) ( )011121 222 γ −ω−= t cos X X I v "
q
d q . (3.2.20)
Para transformar estas componentes al sistema de referencia fijo respecto al estator se forma
( ) γ γ +== j
1 (3.2.21)
( ) ( ) ( )011121 11
+ −= t sen X X I t sen
X X I v "
a . (3.2.22)
Al limitar el análisis a la fundamental se aprecia que el valor efectivo de la tensión de secuencia negativa está dado por
2 11
2 2
d += . (3.2.23)
Para excitación con corrientes de secuencia negativa la reactancia de secuencia negativa está dada por el valor medio aritmético de las reactancias subtransitorias en el eje directo y en el eje en cuadratura:
2 11
+ = (3.2.24)
"
Esta relación debe tenerse en cuenta al determinar experimentalmente la reactancia de secuencia negativa 1.

3.3 Reactancia de secuencia cero
Normalmente las máquinas sincrónicas se conectan en estrella sin neutro (o este se conecta a tierra a través de una impedancia elevada) por lo que no podrán circular corrientes (significativas) de secuencia cero. En el caso que pudiesen circular, el campo fundamental en el entrehierro debido a esas corrientes se anularía, lo que se expresa a través de
( ) 0 3
1 0
2 0010 =++= i aai i i . (3.3.1)
En consecuencia, la tensión de secuencia cero es la inducida por los campos de dispersión (armónicas, ranuras, frontal). Estos campos dependen fuertemente de un eventual acortamiento del devanado, por lo que la reactancia de secuencia cero exhibirá esa misma dependencia.
3.4 Modelo para la máquina con carga asimétrica
De acuerdo con los resultados de los párrafos precedentes, el sistema de corrientes de carga asimétrico puede ser descompuesto en tres sistemas simétricos, cada uno de los cuales determina una condición de funcionamiento de la máquina que se refleja en una relación entre tensión y corriente (impedancia) diferente.
A cada máquina de secuencia, es decir, a la máquina simétrica excitada por el respectivo sistema de componentes simétricas, le corresponde un circuito equivalente por fase diferente.
Es habitual que, en primera aproximación, para la máquina de secuencia positiva se utilice el circuito equivalente de la máquina de rotor cilíndrico, consistente en una fuente de tensión en serie con la reactancia sincrónica. Los circuitos equivalentes de las máquinas de secuencia negativa y de secuencia cero se reducen a las respectivas
Vp
I1 I2 I0
V1 V2 V0
X1 X2 X0

3-10
reactancias de secuencia. Así, el modelo de la máquina con carga asimétrica se reduce a los circuitos de la figura 3.4.1.
Debe recordarse sí que este modelo, cuyo uso está en la determinación de las variables de terminales de la máquina, sólo considera las componentes de frecuencia fundamental de las tensiones y de las corrientes.
3.4.1. Uso del modelo
Considérese una máquina sincrónica a cuyos terminales está conectada a una carga pasiva formada por impedancias asimétricas conectadas en estrella sin neutro, según muestra la figura 3.4.2. Se supone conocidas las reactancias de secuencia de la máquina y la tensión de vacío de esta y se desea determinar las tensiones y corrientes en los terminales.
La conexión impone las siguientes restricciones sobre las variables de fase (Kirchhoff):
bbaabaab ZIZIVVV −=−= (3.4.1)
c ba III ++=0 (3.4.3)
que se reflejan en otras tantas restricciones sobre las componentes simétricas al reemplazar las variables de fase en términos de las componentes simétricas.
La conexión estrella (3.4.3) implica ausencia de corrientes de secuencia cero, por lo que las ecuaciones (3.4.1) a (3.4.3) toman la siguiente forma en términos de las componentes simétricas:
Vab
Vbc
Ia
Ib
Ic
carga trifásica asimétrica
2121 2
21 +−+=+−+ (3.4.4)
1212 2
121 +−+=+−+ (3.4.5)
00 I= . (3.4.6)
Las máquinas de secuencia imponen una relación entre la tensión y la corriente en sus terminales, como se desprende de la figura 3.4.1.
Para la máquina de secuencia positiva rige
111 IVV jX p −= (3.4.7)
y para la máquina de secuencia negativa rige:
222 IV jX −= . (3.4.8)
Al reemplazar estas relaciones en (3.4.4) y (3.4.5) se logra
( ) ( ) ( )[ ] baba p aa jX aa jX a ZZIZZIV −+−+−+−=− 111 22
22 11
2 (3.4.9)
( ) ( )[ ] c ac a p aa jX aa jX a ZZIZZIV
22 2211 111 −+−+−+−=− . (3.4.10)
A partir de estas dos ecuaciones se determina las corrientes de secuencia I1 e I2, las que reemplazadas en (3.4.7) y (3.4.8) permiten determinar las tensiones de secuencia V1 y V2.

⋅

=

0
2
1
2
2
1
1
111
I
I
I
I
I
I
aa
aa
c
b
a
. (3.4.11)
Del desarrollo precedente se desprende que la restricción externa “carga asimétrica” impone la magnitud de la corriente de secuencia negativa. En cambio, la magnitud de la tensión de secuencia negativa, y por lo tanto el desequilibrio de la tensión en los terminales, depende de la reactancia de secuencia negativa X 2 , que puede ser reducida con un adecuado diseño de la jaula de amortiguación.

3-12
Por esta razón, el dimensionamiento de la jaula de una máquina destinada a funcionar con carga asimétrica debe ser generoso (gran sección de los conductores), para así disminuir las pérdidas asociadas a las corrientes inducidas en ella por el campo de secuencia negativa.

4.1 Introducción ................................................................................................................... 4-2
4.2 Análisis del cortocircuito trifásico basado en el principio del enlace
de flujo constante.................................................................................. 4-2
4.3 Tratamiento analítico mediante ecuaciones diferenciales................................ 4-7
4.4 Inclusión de las constantes de tiempo.................................................................4-10
4.4.1 Constante de tiempo transitoria en el eje directo T d ’..................................... 4-11
4.4.2 Constante de tiempo de la armadura T a .........................................................4-13
4.5 Representación en el dominio de frecuencia: Inductancia operacional.....4-14
4.6 Evaluación de los oscilogramas.............................................................................4-17
4.1 Introducción
El cortocircuito dinámico es una de las fallas más temidas, pues, cuando ocurre a tensión nominal, da origen a corrientes transitorias elevadas que determinan grandes esfuerzos mecánicos sobre las cabezas de las bobinas, que pueden dañar la aislación de estas. Por esta razón, la norma limita el valor máximo admisible de la corriente de cortocircuito transitoria a 15x 2 =21 veces la corriente nominal de la máquina.
Cuando se provoca deliberadamente un cortocircuito trifásico para evaluar los parámetros de la máquina a partir de la evaluación del registro de las corrientes de armadura y de campo transitorias1, suele reducirse el valor de la tensión de vacío a una fracción de la tensión nominal (40%).
El procedimiento para determinar los parámetros se basa en el hecho que es posible obtener una solución analítica para las corrientes de cortocircuito, ya que, con velocidad constante, las ecuaciones de Park se hacen lineales. Esta última condición normalmente se puede considerar satisfecha, ya que la constante de tiempo mecánica suele ser mucho mayor que las constantes de tiempo eléctricas.
La obtención de la solución analítica completa no es trivial, por lo que se considerará en primer lugar una máquina sin devanado de amortiguación, que permite apreciar los principales efectos físicos sin mayores complejidades matemáticas.
La situación se hace físicamente más transparente si en una primera aproximación se ignora las resistencias de los devanados y se invoca el así llamado principio del enlace de flujo constante.
4.2 Anális is del cortocircuito trifásico basado en el princ ipio del enlace de flujo constante
4.2.1 El principio del enlace de flujo constante
El cortocircuito de un devanado fuerza que la tensión entre sus terminales sea cero. En un sistema de referencia fijo respecto al devanado rige entonces:

0 dt
d Riv =
ψ += . (4.2.1)
S i se desprecia la resistencia R, la relación se reduce a
0 dt
ψ , (4.2.2)
que implica que el enlace de flujo debe permanecer constante en el valor que tenía previo al cortocircuito.
4.2.2 Aplicación del principio del enlace de flujo constante
Cuando no se requiere la solución completa para las corrientes y sólo interesa conocer los valores correspondientes a un instante dado, es conveniente invocar el principio del enlace de flujo constante e igualar el enlace de flujo inicial con el enlace de flujo para el instante en cuestión.
Así, para determinar el valor máximo de la corriente transitoria de la fase a se considera como instante en el que se produce el cortocircuito a aquel en que el flujo enlazado por esa fase es máximo (figura 4.2.1a). El instante en que la corriente es máxima se produce cuando el rotor haya girado en 180º eléctricos, porque, para poder permanecer constante, el flujo enlazado por cada devanado debe cerrarse por vías de dispersión de baja permeancia (figura 4.2.1b).
De acuerdo con las referencias de la figura 4.2.1a el flujo enlazado por la fase a es máximo en el instante en que 0=γ .
Suponiendo que el cortocircuito se produce a partir del funcionamiento