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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
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Lista de Exercícios – Método de Newton
1) Suponha que a reta 5 4y x= − é tangente à curva ( )y f x= quando 3x = . Se for usado o método de Newton para localizar um a raiz da
equação ( ) 0f x = com a aproximação inicial 1 3x = , encontre a
segunda aproximação 2x .
A função 5 4y x= − é tangente a ( )f x em 3x = . Então o zero da linha tangente é a 2ª aproximação de ( )f x .
Assim sendo, 2 25 4 0 0,8x x− = ⇒ = .
2) Use o método de Newton com o valor inicial espec ificado 1x para
encontrar 3x , a terceira aproximação da raiz da equação dada. ( Dê sua resposta com quatro casas decimais).
a) 3 2
11 0, 1x x x− − = =
3 2( ) 1f x x x= − −
2( ) 3 2f x x x′ = −
1
( )( )
nn n
n
f xx x
f x+ = −′
3 2
1 2
13 2
n nn n
n n
x xx x
x x+− −= −
−
1ª aproximação (x2):
( ) ( )( ) ( )
( )3 23 2
1 12 1 22
1 1
1 1 111 1 1 2,0000
3 2 3 1 2 1
x xx x
x x
− −− −= − = − = − − =− ⋅ − ⋅
2 2,0000x = 2ª aproximação (x3):
( ) ( )( ) ( )
3 23 22 2
3 2 222 2
2 2 11 32 2 1,6250
3 2 83 2 2 2
x xx x
x x
− −− −= − = − = − =− ⋅ − ⋅
3 1,6250x =
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b) 512 0, 1x x+ = = −
5( ) 2f x x= +
4( ) 5f x x′ =
1
( )( )
nn n
n
f xx x
f x+ = −′
5
1 4
25n
n nn
xx x
x++= −
1ª aproximação (x2):
( )( )
551
2 1 441
1 22 1 61 1 1,2000
5 5 55 1
xx x
x
− ++= − = − = − = − = −⋅ −
2 1,2000x = − 2ª aproximação (x3):
( )( )
552
3 2 442
1,2 22 0,488321,2 1,2 1,1529
5 10,3685 1,2
xx x
x
− ++= − = − − = − + = −⋅ −
3) Use o método de Newton para aproximar 7 1000 correto até a oitava
casa decimal.
Encontrar o valor da expressão 7 1000 equivale a determinar a raiz da equação 7 1000 0x − = .
Dessa forma, tomamos 7( ) 1000f x x= −
7( ) 1000f x x= −
6( ) 7f x x′ =
1
( )( )
nn n
n
f xx x
f x+ = −′
7
1 6
10007
nn n
n
xx x
x+−= −
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Como 7 772 1000 3< < , podemos adotar como primeira aproximação 1 2x = ou 1 3x = . Adotaremos, para este exercício, as duas considerações para a 1ª aproximação, com a finalidade de verificar a rapidez da convergência. 1ª aproximação: 1 2x = e 1 3x =
x1 = 2 x1 = 3 xn xn+1 xn xn+1
2,00000000 3,94642857 3,00000000 2,76739173 3,94642857 3,42046914 2,76739173 2,69008741 3,42046914 3,02103542 2,69008741 2,68275645 3,02103542 2,77737636 2,68275645 2,68269580 2,77737636 2,69184698 2,68269580 2,68269580 2,69184698 2,68278860 - - 2,68278860 2,68269580 - - 2,68269580 2,68269580 - - OBS: Dados obtidos em planilha eletrônica.
Para 1 2x = , 8 9 2,68269580x x≅ = e para 1 3x = ,
5 6 2,68269580x x≅ = . Portanto: 7 1000 2,68269580= está correta até a oitava casa decimal.
Podemos também traçar um gráfico para verificarmos o intervalo em que a raiz se encontra. Pelo gráfico abaixo, nota-se que a raiz (única) encontra-se no intervalo (2,3) .
-1100
-900
-700
-500
-300
-100
100
300
500
700
900
1100
-3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
f(x) = x 7 - 1000
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Aplicando um zoom no intervalo (2,3) , verificamos que a raiz encontra-se no intervalo (2,60;2,70) conforme a figura a seguir.
-1100
-900
-700
-500
-300
-100
100
300
500
700
900
1100
2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00
f(x) = x 7 - 1000
Aplicando um zoom no intervalo (2,60;2,70), verificamos que a
raiz encontra-se no intervalo (2,68;2,69) conforme a figura a seguir.
-1100
-900
-700
-500
-300
-100
100
300
500
700
900
1100
2,60 2,61 2,62 2,63 2,64 2,65 2,66 2,67 2,68 2,69 2,70
f(x) = x 7 - 1000
Conclui-se que a aplicação de zooms facilita a identificação da
raiz. Porém, sua precisão fica limitada a poucas casas decimais e se torna trabalhosa. Dessa forma justifica-se o uso do método de Newton para melhores precisões.
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Também é possível verificar por que a convergência para 1 3x = é
mais rápida do que para 1 2x = . Isso se deve ao fato da reta tangente
que determina a 2ª aproximação para 1 3x = encontrar-se mais próxima
da raiz do que a 2ª aproximação para 1 2x = . Trace as retas tangentes e verifique esse fato.
4) Use o método de Newton para aproximar a raiz ind icada da
equação, correta até a sexta casa decimal.
a) A raiz de 4 4 0x x+ − = no intervalo [ ]1,2
4( ) 4f x x x= + −
3( ) 4 1f x x′ = +
1
( )( )
nn n
n
f xx x
f x+ = −′
4
1 3
44 1
n nn n
n
x xx x
x++ −= −
+
1ª aproximação: 1 1,5x =
x1 = 1,5
xn xn+1 1,500000 1,323276 1,323276 1,285346 1,285346 1,283784 1,283784 1,283782 1,283782 1,283782
OBS: Dados obtidos em planilha eletrônica.
Como 5 6 1,283782x x≅ = , o valor de 5 6 1,283782x x≅ = é a raiz
de 4 4 0x x+ − = correta até a sexta casa decimal.
b) A raiz positiva de 42cos x x=
Comecemos com os gráficos de 2cos x e 4x colocados em um mesmo sistema de eixos ortogonais.
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-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Pelo gráfico, verificamos que a solução positiva de 42cos x x=
está próxima de 1. Aplicando um zoom no intervalo de ( )0,5;1,5 ,
podemos observar com maior detalhe essa proximidade, sugerindo que serão necessárias poucas iterações para se chegar à raiz da equação.
-3
-2
-1
0
1
2
3
0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5
Se 42cos x x= , então 42cos 0x x− = Portanto:
4( ) 2cosf x x x= −
3( ) 2sen 4f x x x′ = − −
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1
( )( )
nn n
n
f xx x
f x+ = −′
4
1 3
2cos2sen 4
n nn n
n n
x xx x
x x+−= −
− −
4
1 3
2cos2sen 4
n nn n
n n
x xx x
x x+−= +
+
1ª aproximação: 1 1x =
x1 = 1
xn xn+1 1,000000 1,014184 1,014184 1,013958 1,013958 1,013958
OBS: Dados obtidos em planilha eletrônica. Como 3 4 1,013958x x≅ = , o valor de 3 4 1,013958x x≅ = é a raiz
de 42cos 0x x− = correta até a sexta casa decimal.
5) Use o método de Newton para encontrar todas as r aízes da equação corretas até a sexta casa decimal.
a) 3 2xe x= −
Comecemos com os gráficos de xe e 3 2x− colocados em um
mesmo sistema de eixos ortogonais.
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
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Pelo gráfico, verificamos que a solução positiva de 3 2xe x= − está no intervalo ( )0,1 . Aplicando um zoom nesse intervalo, observamos
que a solução encontra-se próxima de 0,6.
0
1
2
3
4
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Se 3 2xe x= − , então 2 3 0xe x+ − = Portanto: ( ) 2 3xf x e x= + −
( ) 2xf x e′ = +
1
( )( )
nn n
n
f xx x
f x+ = −′
1
2 32
n
n
xn
n n x
e xx x
e++ −= −
+
1ª aproximação: 1 0,6x =
x1 = 0,6
xn xn+1 0,600000 0,594213 0,594213 0,594205 0,594205 0,594205
OBS: Dados obtidos em planilha eletrônica.
Como 3 4 0,594205x x≅ = , o valor de 3 4 0,594205x x≅ = é a raiz
de 2 3 0xe x+ − = correta até a sexta casa decimal.
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b) 23x x+ =
Comecemos com os gráficos de 3x + e 2x colocados em um mesmo sistema de eixos ortogonais.
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-3 -2 -1 0 1 2 3
Pelo gráfico, notamos a existência de duas raízes: uma negativa, situada no intervalo ( 2, 1)− − e outra positiva, situada no intervalo (1,2) . Para definirmos a aproximação inicial, aplicamos um zoom nesses intervalos.
-1
0
1
2
3
-2,0 -1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1,0
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0
1
2
3
4
5
6
1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Pelos gráficos acima dispostos, verificamos a existência de raízes
próximas a 1,2x = − e 1,5x = , respectivamente.
Se 23x x+ = , então 23 0x x+ − = Portanto:
2( ) 3f x x x= + −
1( ) 2
2 3f x x
x′ = −
+
1
( )( )
nn n
n
f xx x
f x+ = −′
2
1
31
22 3
n nn n
n
n
x xx x
xx
+
+ −= −
−+
1ª aproximação: 1 1,2x = − e 1 1,5x =
x1 = -1,2 x1 = 1,5 xn xn+1 xn xn+1
-1,200000 -1,168729 1,500000 1,449110 -1,168729 -1,164606 1,449110 1,452976 -1,164606 -1,164104 1,452976 1,452593 -1,164104 -1,164043 1,452593 1,452630 -1,164043 -1,164036 1,452630 1,452627 -1,164036 -1,164035 1,452627 1,452627 -1,164035 -1,164035 - - OBS: Dados obtidos em planilha eletrônica.
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Como 7 8 1,164035x x≅ = − , o valor de 7 8 1,164035x x≅ = − é a
raiz negativa de 23 0x x+ − = correta até a sexta casa decimal. Como 6 7 1,452627x x≅ = , o valor de 6 7 1,452627x x≅ = é a raiz
positiva de 23 0x x+ − = correta até a sexta casa decimal.
6) (a) Aplique o método de Newton à equação 2 0x a− = para deduzir o seguinte algoritmo para a raiz quadrada (usado pelo s antigos babilônios para computar a ).
1
12n n
n
ax x
x+
= +
2( )f x x a= −
( ) 2f x x′ =
1
( )( )
nn n
n
f xx x
f x+ = −′ 2
1 2n
n nn
x ax x
x+−= −
2
1 2 2n
n nn n
x ax x
x x+ = − +
1
12 2n n n
n
ax x x
x+ = − +
1
12 2n n
n
ax x
x+ = +
1
12n n
n
ax x
x+
= +
(b) Use a parte (a) para computar 1000 correta até a sexta casa decimal.
Usaremos 1 30x = , pois 230 900= e está próximo de 1000.
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x1 = 30 xn xn+1
30,000000 31,666667 31,666667 31,622807 31,622807 31,622777 31,622777 31,622777
OBS: Dados obtidos em planilha eletrônica.
Como 4 5 31,622777x x≅ = , o valor de 4 5 31,622777x x≅ = é a
1000 correta até a sexta casa decimal.
7) (a) Use o método de Newton com 1 1x = para encontrar a raiz da
equação 3 1x x− = correta até a sexta casa decimal.
Se 3 1x x− = , então 3 1 0x x− − = Portanto:
3( ) 1f x x x= − −
2( ) 3 1f x x′ = −
1
( )( )
nn n
n
f xx x
f x+ = −′
3
1 2
13 1n n
n nn
x xx x
x+− −= −
−
1ª aproximação: 1 1x =
x1 = 1
xn xn+1 1,000000 1,500000 1,500000 1,347826 1,347826 1,325200 1,325200 1,324718 1,324718 1,324718
OBS: Dados obtidos em planilha eletrônica.
Como 5 6 1,324718x x≅ = , o valor de 5 6 1,324718x x≅ = é a raiz
de 3 1 0x x− − = correta até a sexta casa decimal.
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(b) Resolva a equação da parte (a) usando como apro ximação inicial 1 0,6x = .
1ª aproximação: 1 0,6x =
x1 = 0,6
xn xn+1 0,600000 17,900000
17,900000 11,946802 11,946802 7,985520 7,985520 5,356909 5,356909 3,624996 3,624996 2,505589 2,505589 1,820129 1,820129 1,461044 1,461044 1,339323 1,339323 1,324913 1,324913 1,324718 1,324718 1,324718
OBS: Dados obtidos em planilha eletrônica.
Como 12 13 1,324718x x≅ = , o valor de 12 13 1,324718x x≅ = é a
raiz de 3 1 0x x− − = correta até a sexta casa decimal. (c) Resolva a equação da parte (a) utilizando 1 0,57x = .
1ª aproximação: 1 0,57x =
x1 = 0,57 xn xn+1
0,570000 -54,165455 -54,165455 -36,114293 -36,114293 -24,082094 -24,082094 -16,063387 -16,063387 -10,721483 -10,721483 -7,165534 -7,165534 -4,801704 -4,801704 -3,233425 -3,233425 -2,193674 -2,193674 -1,496867 -1,496867 -0,997546 -0,997546 -0,496305 -0,496305 -2,894162 -2,894162 -1,967962 -1,967962 -1,341355
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-1,341355 -0,870187 -0,870187 -0,249949 -0,249949 -1,192219 -1,192219 -0,731952 -0,731952 0,355213 0,355213 -1,753322 -1,753322 -1,189420 -1,189420 -0,729123 -0,729123 0,377844 0,377844 -1,937872 -1,937872 -1,320350 -1,320350 -0,851919 -0,851919 -0,200959 -0,200959 -1,119386 -1,119386 -0,654291 -0,654291 1,547009 1,547009 1,360050 1,360050 1,325828 1,325828 1,324719 1,324719 1,324718 1,324718 1,324718
OBS: Dados obtidos em planilha eletrônica.
Como 36 37 1,324718x x≅ = , o valor de 36 37 1,324718x x≅ = é a
raiz de 3 1 0x x− − = correta até a sexta casa decimal. (d) Faça o gráfico de 3( ) 1f x x x= − − e suas retas tangentes em
1 1x = , 1 0,6x = e 1 0,57x = para explicar por que o método de Newton é tão sensível ao valor da aproximação inici al.
( )2
1 (1) 3 1 1 2x m f m′= ⇒ = = ⋅ − ⇒ =
( )31 (1) 1 1 1 (1) 1x f f= ⇒ = − − ⇒ = −
Portanto, a reta tangente passa pelo ponto de coordenadas (1, 1)−
com inclinação igual a 2 .
0 0( )y y m x x− = − 1 2 ( 1)y x+ = ⋅ − 2 2 1y x= − − 2 3y x= −
( )20,6 (0,6) 3 0,6 1 0,08x m f m′= ⇒ = = ⋅ − ⇒ =
( )30,6 (0,6) 0,6 0,6 1 (0,6) 1,384x f f= ⇒ = − − ⇒ = −
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Portanto, a reta tangente passa pelo ponto de coordenadas (0,6; 1,384)− com inclinação igual a 0,08 .
0 0( )y y m x x− = − 1,384 0,08 ( 0,6)y x+ = ⋅ − 0,08 0,048 1,384y x= − − 0,08 1,432y x= −
( )20,57 (0,57) 3 0,57 1 0,0253x m f m′= ⇒ = = ⋅ − ⇒ = −
( )30,57 (0,57) 0,57 0,57 1 (0,57) 1,384807x f f= ⇒ = − − ⇒ = −
Portanto, a reta tangente passa pelo ponto de coordenadas
(0,57; 1,384807)− com inclinação igual a 0,0253− .
0 0( )y y m x x− = − 1,384807 0,0253 ( 0,57)y x+ = − ⋅ −
0,0253 0,014421 1,384807y x= − + − 0,0253 1,370386y x= − −
-5,0
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
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y = 2x - 3
y = -0,0253x - 1,370386
y = 0,08x - 1,432
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
Curva
x1 = 1
x1 = 0,6
x1 = 0,57
Pela figura, vemos que a tangente em 1 1x = resulta em uma
sequência de aproximações que convergem rapidamente ( 5 6x x≅ ). A tangente correspondente a 1 0,6x = está perto da horizontal.
Contudo, está longe da raiz. Porém, a sequência ainda converge, mas um pouco mais lentamente ( 12 13x x≅ ).
Finalmente, a tangente correspondente a 1 0,57x = é muito
próxima da horizontal, sendo 2x mais distante da raiz, e a sequência
necessita de mais iterações para convergir ( 36 37x x≅ ).
8) (a) Use o método de Newton para encontrar os núm eros críticos da função 4 3 2( ) 3 28 6 24f x x x x x= − + + corretos até a terceira casa decimal.
Relembre que os números críticos ocorrem onde a derivada
primeira é igual a zero. Comecemos com o gráfico de 3 212 84 12 24x x x− + + disposto em
um sistema de eixos ortogonais.
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-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
No gráfico acima, verificamos a existência de raízes nos seguintes intervalos: ( 1,0)− , (0,1) e (6,7) .
4 3 2( ) 3 28 6 24f x x x x x= − + +
3 2( ) 12 84 12 24f x x x x′ = − + +
2( ) 36 168 12f x x x′′ = − +
Portanto: 3 2( ) 12 84 12 24g x x x x= − + + e 2( ) 36 168 12g x x x′ = − +
1
( )( )
nn n
n
g xx x
g x+ = −′
3 2
1 2
12 84 12 2436 168 12
n n nn n
n n
x x xx x
x x+− + += −
− +
1ª aproximação: 1 0,5x = − , 1 0,5x = e 1 6x =
X1 = -0,5 x1 = 0,5 x1 = 6 xn xn+1 xn xn+1 xn xn+1
-0,500 -0,457 0,500 0,667 6,000 7,120 -0,457 -0,455 0,667 0,646 7,120 6,835 -0,455 -0,455 0,646 0,645 6,835 6,810
- - 0,645 0,645 6,810 6,810 OBS: Dados obtidos em planilha eletrônica.
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Portanto, 0,455; 0,645 e 6,810x = − são todos os números críticos corretos até a terceira casa decimal.
(b) Encontre o valor mínimo absoluto correto até du as casas
decimais da função 4 3 2( ) 3 28 6 24f x x x x x= − + + no intervalo de 1 7x− ≤ ≤ .
Inicialmente, calculamos os extremos da função dada, ou seja,
( 1)f − e (7)f . Relembre a Aula 12: Extremos e o Teste da Derivada Primeira (slide 29). Em seguida, calculamos ( 0,455), (0,645) e (6,810)f f f− . ( 1) 13,00f − ≅
(7) 1.939,00f ≅ −
( 0,455) 6,91f − ≅ −
(0,645) 10,98f ≅
(6,810) 1.949,07f ≅ −
Portanto, (6,810) 1.949,07f ≅ − é o mínimo absoluto correto para
duas casas decimais.
9) Use o método de Newton para encontrar o valor mí nimo absoluto da função 2( ) senf x x x= + correto até a quarta casa decimal.
Relembre que os números críticos ocorrem onde a derivada
primeira é igual a zero. Comecemos com o gráfico de 2 cosx x+ disposto em um sistema
de eixos ortogonais.
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-15
-10
-5
0
5
10
15
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
No gráfico acima, verificamos a existência de uma raiz no intervalo ( 2,0)− . Aplicando um zoom no intervalo de ( 2,0)− , verificamos que a raiz encontra-se no intervalo ( 0,5;0)− .
-5
-3
-1
1
3
5
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
2( ) senf x x x= +
( ) 2 cosf x x x′ = +
( ) 2 senf x x′′ = −
Portanto: ( ) 2 cosg x x x= + e ( ) 2 seng x x′ = −
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1
( )( )
nn n
n
g xx x
g x+ = −′
1
2 cos2 sen
n nn n
n
x xx x
x++= −
−
1ª aproximação: 1 0,5x = −
x1 = -0,5
xn xn+1 -0,5000 -0,4506 -0,4506 -0,4502 -0,4502 -0,4502
OBS: Dados obtidos em planilha eletrônica.
Como ( ) 2 sen 0f x x′′ = − > (Relembre a Aula 13 – Concavidade e o Teste da Derivada Segunda – slide 21), para todo x (lembre que
1 sen 1x− ≤ ≤ ), ( 0,4502) 0,2325f − ≅ − é o mínimo absoluto.
10) Use o método de Newton para encontrar as coord enadas do ponto de inflexão da curva cos xy e= , 0 x π≤ ≤ , corretas até a sexta casa decimal.
cos xy e=
cos senxy e x′ = − ⋅
( ) ( )cos coscos sen senx xy e x x e x′′ = − ⋅ + ⋅ − ⋅ − cos 2cos senxy e x x ′′ = − ⋅ −
cos 2sen cosxy e x x ′′ = ⋅ −
Relembre que os pontos de inflexão (PI) ocorrem onde a derivada
segunda é igual a zero. Comecemos com os gráficos de cos xy e= e
cos 2sen cosxy e x x ′′ = ⋅ − dispostos em um sistema de eixos
ortogonais. No intervalo de 0 x π≤ ≤ há somente um valor onde ( ) 0f x′′ = ,
situado no intervalo (0,2) .
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Como cos 0xe ≠ , aplicaremos o Método de Newton com a função 2( ) sen cosg x x x= − .
2( ) sen cosg x x x= −
( ) 2sen cos seng x x x x′ = +
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
-6,0 -4,0 -2,0 0,0 2,0 4,0 6,0
y = ecos x
y" = e cos x (sen2x - cos x)
1
( )( )
nn n
n
g xx x
g x+ = −′
2
1
sen cos2sen cos sen
n nn n
n n n
x xx x
x x x+−= −
+
1ª aproximação: 1 1,0x =
x1 = 1
xn xn+1 1,000000 0,904173 0,904173 0,904557 0,904557 0,904557
OBS: Dados obtidos em planilha eletrônica.
Para 0,904557x = , temos ( )cos0,904557( ) 1,855277f x e= = . Portanto, as coordenadas do PI, corretas até a sexta casa decimal
são ( )0,904557;1,855277 .
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