Download - Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

Transcript
Page 1: Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 1/11

Æ Ó Ø Ó Ò ¹ Ò Ö × Ó Ã Ò Ó Ø ×    

Â Ù Ò Ç ³ À Ê  

Ñ Ö ½ ½ ¸ ¾ ¼ ¼  

× Ø Ö Ø  

Ï × Ø Ù Ý ½ ¹ Ó Ö Ñ Û Ò Ú Ò Ý Ú Ø Ó Ö Ò Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø Û Ý º  

Ï Ø Ò × Ø Ù Ý Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø Ù Ò Ø Ó Ò Ð × × × Ó Ø Ø Ó ¹ Ö Ñ Ó Ò Ø  

× Ô Ó Ò Ó Ø × Û Ö Ñ Ö Ó Ñ Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ º  

½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò  

Ì × Ø Ù Ý Û × Ñ Ó Ø Ú Ø Ø Ó Ñ Ö Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Û Ó  

Á Ò Ç ½ ℄ Û ¬ Ò Ø   Ò Ö Ý   Ó Ò Ó Ø º Á Ø Ò Ó Ò × Ö × Ø Ò Ó Ö Ñ Ð Þ Ø Ó Ò  

Ó Ñ Ó ¬ Ð Ø Ö Ó × Ø Ø Ò Ö Ý Ó Ö Ò Ó Ø º Á Ø Ñ × Ù Ö × Ó Ñ Ø Ö Ó Ñ Ô Ð Ü Ø Ý  

Ó Ò Ó Ø × º Ä Ø Ö Ó Ò ¸ Ø Û × Ô Ö Ó Ú Ø Ó Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø ´ À Ï ℄ µ º  

Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò ¸ Ä Ò Ò Ï Ò Ú Ù Ò Ø Ó Ò Ð × × × Ó Ø Ø Ó Ó Ó Ö Ö Ñ ×  

Ó Ò Ø × Ô Ó Ò Ó Ø × Ù × Ò ½ ¹ Ó Ö Ñ Û Ó Ñ × Ö Ó Ñ Ø Ù × × Ò Ø Ö Ð Ó Ö Ñ Ù Ð  

Ó Ö Ø Ð Ò Ò Ò Ù Ñ Ö ´ Ä Ï ℄ µ º  

Ì Ò Ö Ý Ó Ò Ó Ø Ò Ó Ò × Ö × Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò ¹  

Ø Û Ò Ô Ö Ó Ô Ó Ò Ø × Ó Ò Ò Ó Ø º Ä Ø Ù × Ô Ö Ó Ø Ó × Ø Ù Ý Ù Ò Ø Ó Ò Ð × × Ó Ø Ø Ñ Ó Ö  

Ø Ò Ø Û Ó Ô Ó Ò Ø × Ó Ò Ò Ó Ø Ö Ò Ú Ó Ð Ú Ò Ø Ò Ø Ö Ò × º Ó Ö Ø × Ô Ù Ö Ô Ó × ¸ Û × Ø Ù Ý  

Ù Ò Ø Ó Ò Ð × × × Ó Ø Ø Ó Ó Ö Ö Ñ Ó Ø × Ô Ó º  

Ï ¬ Ö × Ø × Ó Û Ø Ø Ú Ø Ó Ö Ò   Ê 

¿ 

Ò Ú ¸ Ò Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø Û Ý ¸  

Ú Ø Ó Ö ¬ Ð ¸ Ó Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ð Ý ¸ ½ ¹ Ó Ö Ñ Ó Ò Ø Ó Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ó Ø Ô Ó Ò Ø Ö Ó Ñ Û Ø  

Ú Ø Ó Ö × Ø Ö Ø × º Ì × Ò Ó Ò Ý   Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ø Ó Ò   Ó Ø Ú Ø Ó Ö ¸ Û ×  

Ò Ö Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ä Ç ℄ º Ï Ò Ô Ð Ý × Ñ Ð Ö Ñ Ø Ó Ø Ø  

Ò Ä Ï ℄ Ý × Ù × Ø Ø Ù Ø Ò Ø × Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ Ó Ö Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ Ó Ñ Ò Ö Ó Ñ  

Ø Ù × × Ó Ö Ñ Ù Ð Ó Ö Ø Ð Ò Ò Ò Ù Ñ Ö º Ù Ø Ù Ò Ó Ö Ø Ù Ò Ø Ð Ý ¸ Ø Ó × Ò Ó Ø Û Ó Ö Û Ð Ð  

Á Ø Ø Ù Ö Ò × Ó Ù Ø Ø Ø Ó Ù Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð × Ö Ø Ö Ò Ø Ð Ð Ý ¼ Ó Ö Ò Ø Ð Ý ·   ½  Ó Ö Ò Ý  

Ò Ó Ø º  

Ì × Ö Ø Ð × Ö Ú × × Ò Ö Ö Ø Ø Ó Ø Ù Ø Ó Ö ³ × Ø Ð Ø Ø Å Ë Ë Ô Ö Ò Ï × Ø Ö Ò  

Ë Ø Ó Ò Ð Å Ø Ò Ø Ë Ò Ö Ò × Ó Ò Å Ý ¾ ¼ ¼ ¿ º À Ô Ö × Ò Ø Ó Ù Ö Ò × Ó     ¹ 

Ò Ö × Ø Û Ó Ö Ó Ò Ó Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø Ò Ø Ó Ø Ö Ø Û Ó Ò Ó Ø º Ù Ø Ø ¬ Ö × Ø Ó Ò Ø Ù Ö Ò ×  

Ó Ù Ø Ø Ó ¼ ¸ Ø × Ó Ò Ó Ò Ú Ö × ¸ Ò Ø Ø Ö Ó Ò Û × Ð Ö Ý Ú Ò Ò Ä Ò Ò  

Ï Ò ³ × Ô Ô Ö ¸ Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ò Ò Ó Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ý Ö Ô Ð Ò Ø  

Ò Ø Ö Ò Ý Ø × × Ó Ð Ù Ø Ú Ð Ù º  

½ 

Page 2: Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 2/11

¾ Ì Ö × Ù Ð Ø × Ý Ä Ò Ò Ï Ò  

Ä Ø Ù × × Ø Ö Ø Û Ø Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ø × Ø Ù Ý Ý Ä Ò Ò Ï Ò Ä Ï ℄ º  

¾ º ½ Ì Ð Ò Ò Ò Ù Ñ Ö  

Ä Ø  Ä    à

½ 

  à

¾ 

¾ ¹ Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ð Ò Ò   Ê 

¿ 

Û Ø   à

½ 

     ́ Ë 

½ 

µ Ò   à

¾ 

     ́ Ë 

½ 

µ º È Ù Ø  

³    Ê 

¿ 

¢  Ê 

¿ 

Ò  ¡  ¿   ́ Ü Ý  µ   

Ü    Ý 

  Ü    Ý   

¾  Ë 

¾ 

  ´ ½ µ 

¬ Ò Ñ Ô   ³ 

Ä 

Ö Ó Ñ Ø Ó Ö Ù ×   à

½ 

¢  à

¾ 

Ø Ó  Ë 

¾ 

Ý  ³ 

Ä 

  ³   

à

½ 

¢  à

¾ 

º Ì Ð Ò Ò Ò Ù Ñ Ö  

Ä    ́ à

½ 

à

¾ 

µ Ó   à

½ 

Ò   à

¾ 

× Õ Ù Ð Ø Ó Ø Ö Ó   ³ 

Ä 

º 

Ä Ø   

Ë 

¾ 

Ø Ù Ò Ø Ú Ó Ð Ù Ñ Ó Ö Ñ Ó  Ë 

¾ 

 

 

Ë 

¾ 

 

½ 

   

Ü 

½ 

Ü 

¾ 

  Ü 

¿ 

·  Ü 

¾ 

Ü 

¿ 

  Ü 

½ 

·  Ü 

¿ 

Ü 

½ 

  Ü 

¾ 

  Ü   

¿ 

  ´ ¾ µ 

¬ Ò ¾ ¹ Ó Ö Ñ     Ó Ò  Ê 

¿ 

¢  Ê 

¿ 

Ò  ¡ Ý      ³ 

£ 

 

Ë 

¾ 

º Ì Ò Ø Ð Ò Ò Ò Ù Ñ Ö Ò  

Ü Ô Ö × × Ý Ø Ù × × Ò Ø Ö Ð  

Á   ́   µ  

  

à

½ 

¢  à

¾ 

³ 

Ä 

£ 

 

Ë 

¾ 

 

  

à

½ 

¢  à

¾ 

   ́ Ü Ý  µ 

 

½ 

   

  

Ë 

½ 

¢  Ë 

½ 

Ø ´   

¼ 

 ́ ×  µ   

¼ 

 ́ Ø  µ     ́ ×  µ       ́ Ø  µ µ 

     ́ ×  µ       ́ Ø  µ   

¿ 

× Ø   ´ ¿ µ 

Û Ö      ́ ×  µ     ́ Ø  µ Ö Ó Ò × Ö × Ó Ð Ù Ñ Ò Ú Ø Ó Ö × Ò   ¢  Ò Ó Ø × Ø Ú Ø Ó Ö Ô Ö Ó Ù Ø  

Ò  Ê 

¿ 

º 

¾ º ¾ Á Ò Ø Ö Ø Ó Ò × × Ó Ø Û Ø Ó Ö Ö Ñ ×  

Ì Ó Ö Ñ Ù Ð ´     µ Ò ´ ¿ µ Ò Ó Ò × Ö × Ø Ò Ø Ö Ð × Ó Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò ×  

Ø Û Ò Ô Ö Ó Ô Ó Ò Ø × Ó Ò Ò Ó Ø Ó Ö Ð Ò º Ï Ò Ò Ö Ð Þ Ø Ñ Ý Ø Ò Ò Ø Ó  

Ó Ù Ò Ø Ñ Ó Ö Ó Ñ Ô Ð Ü Ó Ñ Ò Ø Ó Ò × Ó Ô Ó Ò Ø × º  

Ó Ö Ø × Ô Ù Ö Ô Ó × ¸ Ø × Ò Ø Ù Ö Ð Ø Ó Ù × × Ó ¹ Ð Ð Ó Ö Ö Ñ × Û Ö Ù × Ò  

Ø × Ø Ù Ý Ó Ø Ã Ó Ò Ø × Ú Ò Ø Ö Ð Ó Ø Î × × Ð Ú Ò Ú Ö Ò Ø º Ì Ò ´     µ Ò  

Ó Ò × Ö Ø Ó × × Ó Ø Û Ø Ø    ¹ Ö Ô × Ð Ð Ù × Ø Ö Ø Ò Ù Ö ½ ¸ Ò ´ ¿ µ  

Û Ø Ø Ò Ù « × Ö Ô º  

¾ º ¿ Ù × × Ò Ø Ö Ð × Ó Ø Û Ø Ó Ö Ö Ñ ×  

Á Ø × Ó Ò Ú Ò Ò Ø Ø Ó Ú Ø Ó Ñ Ò Ó Ø Ò Ø Ö Ð × × Ó Ø Û Ø Ó Ö Ö Ñ ×  

× Ù × Ø Ó Ó Ò ¬ Ù Ö Ø Ó Ò × Ô º Ä Ø    Ô 

½ 

  ¡ ¡ ¡  Ô 

Ò 

Ô Ó Ò Ø × Ó Ò Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ó Ø º Ï  

Û Ö Ø    Ô 

½ 

¡ ¡ ¡    Ô 

Ò 

Ø Ý Ð Ó Ö Ö Ó    Ô 

½ 

  ¡ ¡ ¡  Ô 

Ò 

Ó Ò × Û Ø Ø Ó Ö Ò Ø Ø Ó Ò Ó  

Ø Ò Ó Ø º È Ù Ø  

Ó Ò  

¿    ½ 

 ́ Ã   Ê 

¿ 

µ      ́ Ý 

½ 

Ý 

¾ 

Ý 

¿ 

Ü  µ    Ý 

½ 

Ý 

¾ 

Ý 

¿ 

¾  Ã Ü  ¾  Ê 

¿ 

Ò  Ã Ý 

 

  Ý 

 

 ́       µ 

© 

 

Í 

 

 

 ̈

 ́ Ý 

½ 

Ý 

¾ 

Ý 

¿ 

Ü  µ  ¾  Ó Ò  

¿    ½ 

 ́ Ã   Ê 

¿ 

µ 

¬ 

¬ 

Ý 

½ 

  Ý 

¾ 

  Ý 

¿ 

© 

 

´ µ 

¾ 

Page 3: Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 3/11

Ù Ö ½ Ì    ¹ Ö Ô  

¬ Ò Ø Ó Ò ¾ º ½   ´ Ä Ï ℄ µ Ä Ø       ³ 

£ 

 

Ë 

¾ 

× Ó Ö º ¬ Ò Ø     ¹ Ù × × Ò Ø Ö Ð Ò  

  ¹ Ù × × Ò Ø Ö Ð Ó Ò Ó Ø   à Ý 

Á 

 

 ́ à µ  

  

Ý 

½ 

  Ý 

¾ 

  Ý 

¿ 

  Ý 

 

   ́ Ý 

½ 

Ý 

¿ 

µ       ́ Ý 

¾ 

Ý 

 

µ    ´ µ 

Á 

 

 ́ à µ  

  

Í 

 

   ́ Ü Ý 

½ 

µ       ́ Ü Ý 

¾ 

µ       ́ Ü Ý 

¿ 

µ    ´ µ 

Ù Ö ¾ Ì    ¹ Ö Ô  

Ù Ö ¿ Ì    ¹ Ö Ô  

Ì Ó Ö Ñ ¾ º ¾   ´ Ì ℄ ¸ Ä Ï ℄ µ   Ì Ö Ó Ð ×  

½ 

 

Á 

 

 ́ à µ   

½ 

¿ 

Á 

 

 ́ à µ · 

½ 

¾  

  Ú 

¾ 

 ́ à µ   

Û Ö   Ú 

¾ 

 ́ à µ  × Ø × Ó Ò Ó Æ Ò Ø Ó Ø Ó Ò Û Ý Ô Ó Ð Ý Ò Ó Ñ Ð º  

¾ º Ü Ô Ö × × Ó Ò Ò Ø Ö Ñ × Ó   ½  ¹ Ó Ö Ñ  

Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ò Ö Ð Þ   Á 

 

 ́ à µ Ò Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ó Ñ Ø Ö Û Ý Ò Ë Ù × Ø Ó Ò ¸ Û Ú  

Ò Ó Ø Ö Ü Ô Ö × × Ó Ò Ó   Á 

 

 ́ à µ º 

Ó Ö Ú Ø Ó Ö   Ú  ¾  Ì 

Ý 

Ê 

¿ 

Û ¬ Ò Ú Ø Ó Ö ¬ Ð    

 

 ́ Ý    Ú  µ Ó Ò  Ê 

¿ 

Ò   Ý    Ý 

 

 

 ́ Ý    Ú  µ  ́ Ü  µ  

½ 

   

¡ 

Ü    Ý 

  Ü    Ý   

¿ 

¢  Ú   

½ 

   

Ú  ¢ Ö 

 

½ 

  Ü    Ý   

 

 ́ Ü  ¾  Ê 

¿ 

Ò   Ý    µ   

¿ 

Page 4: Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 4/11

Ò ½ ¹ Ó Ö Ñ    

 

 ́ Ý    Ú  µ Ó Ò  Ê 

¿ 

Ò   Ý    Ý 

 

 

 ́ Ý    Ú  µ  ́ Ù  µ   Ù  ¡   

 

 ́ Ý    Ú  µ  ́ Ü  µ  

Ø ´  Ü    Ý Ú Ù   µ 

      Ü    Ý   

¿ 

 ́ Ù  ¾  Ì 

Ü 

Ê 

¿ 

µ   

Ä Ø  Ú 

Ý 

Ò Ó Ø Ù Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ø Ó   à Ø  Ý  º Ì Ò   Á 

 

 ́ à µ Ò Ü Ô Ö × × Ò  

Ø Ö Ñ × Ó Ø × ½ ¹ Ó Ö Ñ ¸ Ó Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ð Ý ¸ Ý Ø Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × Ó Ð Ð Ó Û × ´ Ä Ï ℄ µ  

Á 

 

 ́ à µ  

  

Í 

 

Ý 

½ 

Ý 

¾ 

Ý 

¿ 

 

 

 ́ Ý 

½ 

  Ú 

Ý 

½ 

µ     

 

 ́ Ý 

¾ 

  Ú 

Ý 

¾ 

µ     

 

 ́ Ý 

¿ 

  Ú 

Ý 

¿ 

µ 

   

  

Í 

 

Ø ´   

 

 ́ Ý 

½ 

  Ú 

Ý 

½ 

µ  ́ Ü  µ   

 

 ́ Ý 

¾ 

  Ú 

Ý 

¾ 

µ  ́ Ü  µ   

 

 ́ Ý 

¿ 

  Ú 

Ý 

¿ 

µ  ́ Ü  µ µ  Ý 

½ 

Ý 

¾ 

Ý 

¿ 

 

Ú Ó Ð 

Ü  

´ µ 

¬ Ò Ø Ó Ò ¾ º ¿   Ä Ø  à      ́ Ë 

½ 

µ Ò Ó Ø º ¬ Ò ½ ¹ Ó Ö Ñ    

à

Ó Ò Ø Ó Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø  

Ó Ø Ò Ó Ø   à Ý 

 

à

 ́ Ù  µ  

  

à

 

 

 ́ Ý    Ú 

Ý 

µ  ́ Ù  µ  Ý   

½ 

   

  

à

Ø ´  Ü    Ý Ú 

Ý 

Ù  µ 

  Ü    Ý   

¿ 

Ý 

Ó Ö  Ù  ¾  Ì 

Ü 

Ê 

¿ 

 ́ Ü  ¾  à µ ¸ Û Ö   Ú 

Ý 

Ò Ó Ø × Ø Ù Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ø Ó   à Ø  Ý  º 

Ð Ø Ó Ù    

 

 ́ Ý    Ú 

Ý 

µ × Ò Ó Ø Ð Ó × ¸  

Ä Ñ Ñ ¾ º   Ì   ½  ¹ Ó Ö Ñ    

à

× Ð Ó × º  

È Ö Ó Ó   Ë Ù Ô Ô Ó × Ø Ò Ó Ø   à × Ú Ò Ý   à      ́ Ë 

½ 

µ º Ì Ò  

   

à

 ́ Ù  µ   Ù  ¡ 

  

Ë 

½ 

Ü       ́ ×  µ 

  Ü       ́ ×  µ   

¿ 

¢   

¼ 

 ́ ×  µ  ×  

Ì Ö Ó Ö ¸ Ø ¾ ¹ Ó Ö Ñ    

à

Ú Ò × × Ò Ó Ò Ð Ý  

Ö ¢ 

 

  

Ë 

½ 

Ü       ́ ×  µ 

  Ü       ́ ×  µ   

¿ 

¢   

¼ 

 ́ ×  µ  × 

 

  ¼   

Û × Ø Ó Ò × Õ Ù Ò Ó  

Ö ¢ 

 

Ü       ́ ×  µ 

  Ü       ́ ×  µ   

¿ 

¢   

¼ 

 ́ ×  µ 

 

     ́  

¼ 

 ́ ×  µ  ¡ Ö  µ 

 

Ü       ́ ×  µ 

  Ü       ́ ×  µ   

¿ 

 

·  Ö 

¾ 

 

½ 

  Ü       ́ ×  µ   

 

 

¼ 

 ́ ×  µ 

 

 

¼ 

 ́ ×  µ 

  Ü       ́ ×  µ   

¿ 

  ¿ 

 

¼ 

 ́ ×  µ  ¡   ́ Ü       ́ ×  µ µ 

  Ü       ́ ×  µ   

 

 ́ Ü       ́ ×  µ µ 

   

 

× 

 

Ü       ́ ×  µ 

  Ü       ́ ×  µ   

¿ 

 

 

¾ 

Ï Ò   à

¼ 

× Ò Ó Ø Ò   Ê 

¿ 

Ò  à Ø Ò  

  

à

¼ 

 

à

 

½ 

   

  

à ¢  à

¼ 

Ø ´  Ü    Ý Ú 

Ý 

Ú 

Ü 

µ 

  Ü    Ý   

¿ 

Ü Ý  

× Ø Ð Ò Ò Ò Ù Ñ Ö Ó   à Ò   à

¼ 

º 

 

Page 5: Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 5/11

¿ È Ö Ð Ñ Ò Ö × Ö Ó Ñ Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ó Ñ Ø Ö Ý  

¬ Ò Ø Ó Ò ¿ º ½   ´ Ó Ý Ð Ò Ë Ö Ñ Ñ µ Ä Ø      ́ Ü Ý Ý  µ  ́ Ü    Ý  µ Ø Ö Ð Û ×  

Ø Ò Ò Ø Ø Ó   à Ø  Ý  Ø Ø Ô × × × Ø Ö Ó Ù   Ü  ¸ Ò Ð Ø   Ú 

Ü 

Ø Ù Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ø Ó   à

Ø  Ü  º ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ò Ð    

à

 ́ Ü Ý  µ ´ ¼     

à

 ́ Ü Ý  µ      µ Ý Ø Ò Ð Ø Û Ò  

   ́ Ü Ý Ý  µ Ò   Ú 

Ü 

Ø  Ü  º 

Ä Ñ Ñ ¿ º ¾   ´ Ä Ç ℄ µ   Ì Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ò Ð    

à

 ́ Ü Ý  µ  × Ó Ø Ó Ö Ö Ó     Ü    Ý   

¾ 

Ò Ö Ø  

Ó Ò Ð º Ì Ó Ô Ö × ¸  

 

à

 ́ Ü Ý  µ  

Ô  

 

¼ 

¾ 

·   

¾ 

 

¾ 

 

  Ü    Ý   

¾ 

·  Ç   ́   Ü    Ý   

¿ 

µ 

Ò Ö Ø Ó Ò Ð ¸ Û Ö   ×   Ò Ó Ø Ø Ö ¹ Ð Ò Ø ¸ Ù Ö Ú Ø Ù Ö ¸ Ò Ø Ó Ö × Ó Ò Ó   à

Ö × Ô Ø Ú Ð Ý ¸ Ò    

¼ 

Ñ Ò ×  

 

× 

º 

¬ Ò Ø Ó Ò ¿ º ¿   Ä Ø  Ì  Å  Ó Ù × Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ó   Ê 

¿ 

½  º ¬ Ò     Ì 

¼ 

 ́ Ö  µ    Ó Ö 

 Ô  ¾  Ê 

¿ 

Ý 

  Ì 

¼ 

 ́ Ö  µ        Ø  Ì   ́  Ô  µ   

½ 

 

 

Ä Ñ Ñ ¿ º   ´ ½ µ  Á   Á 

¼ 

 ́  Ô  µ  × Ò Ò Ú Ö × Ó Ò Ò × Ô Ö Ó Ö Ù ×   Ö  Û Ø Ò Ø Ö Ø  

Ó Ö Ò Ø Ò  

  Á 

¼ 

 ́  Ô  µ 

¼ 

 ́  Ô  µ     

Ö 

   Ô   

  ´ µ 

´ ¾ µ  Ï Ú  

  Ì   ́  Ô  µ    Ì   ́ Õ  µ        Ì 

¼ 

 ́  Ô  µ    Ì 

¼ 

 ́ Õ  µ     Ô    Õ    ´ µ 

  Ó Ö Ô Ö Ó Ô Ó Ò Ø ×    Ô Õ   Ò  Ê 

¿ 

Ò  

  Ì 

£ 

Ú        Ì 

¼ 

 ́  Ô  µ   

¾ 

  Ú    ´ ½ ¼ µ  

  Ó Ö Ú Ø Ó Ö   Ú  Ò  Ì 

Ô 

Ê 

¿ 

º 

Ó Ö Ó Ð Ð Ö Ý ¿ º   Ì   ¾  ¹ Ó Ö Ñ  

Ü Ý  

  Ü    Ý   

¾ 

Ó Ò  à ¢  à Ò  ¡  × Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø º Á Ò Ó Ø Ö  

Û Ó Ö × ¸   Ì  × Å  Ó Ù × Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ò    Ü  Ò    Ý  Ò Ó Ø   Ì   ́ Ü  µ  Ò   Ì   ́ Ý  µ  Ø Ò  

Ì 

£ 

 

   Ü    Ý 

   Ü     Ý   

¾ 

 

 

Ü Ý  

  Ü    Ý   

¾ 

  ´ ½ ½ µ  

Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø   ½  ¹ Ó Ö Ñ Ú Ú Ø Ó Ö ¬ Ð  

Ï × Ð Ð Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ú Ø Ó Ö ¬ Ð Ó Ò   Ê 

¿ 

Ò   Ý    Ó Ö Ú Ø Ó Ö Ò   Ì 

Ý 

Ê 

¿ 

Ò Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý  

Ò Ú Ö Ò Ø Ñ Ò Ò Ö º Á Ø Ú × Ó Ò Ó Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ Ó Ò   Ê 

¿ 

Ò   Ý    º Ï Ò ¬ Ò  

Ó Ò Ó Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø Ù Ò Ø Ó Ò Ð × × × Ó Ø Û Ø Ø     ¹ Ö Ô Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø × ½ ¹ Ó Ö Ñ º  

Ï Ñ Ù × Ó Ø Ò Ò Ø Ö Ð × Ø Ú Ò Ú Ø Ó Ö Ò   Ì  Ê 

¿ 

× Ò Å  Ó Ù × Ø Ö Ò × Ó Ö ¹  

Ñ Ø Ó Ò Ñ Ô × Ö Ð Ò Ø Ó Ö Ð Ò Ø Ò Ò Ø Ù Ö Ú × Ò Ø Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ö Ú × º  

 

Page 6: Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 6/11

Ù Ö   Ú  Ò  Ú 

¬ Ò Ø Ó Ò º ½   Ä Ø  Ü  Ò   Ý  Ô Ö Ó Ô Ó Ò Ø × ´  Ü    Ý  µ Ò   Ú  Ú Ø Ó Ö Ò   Ì 

Ý 

Ê 

¿ 

º 

Ä Ø     ́ Ý    Ú Ü  µ Ò Ó Ø Ø Ö Ð Ø Ö Ó Ù   Ü  Ò   Ý  Û × Ø Ò Ò Ø Ø Ó   Ú  Ø  Ý  Û Ó ×  

Ó Ö Ò Ø Ø Ó Ò × Ú Ò Ý   Ú  º 

´ ½ µ Ä Ø  Ú   ́ Ü  µ Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ø Ó      ́ Ý    Ú Ü  µ Ø  Ü  Û Ø Ø × Ñ Ò Ó Ö Ñ ×   Ú  º × 

 Ú   ́ Ü  µ × × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ø Ó   Ú  Ò Ø Ð Ò Ó Ò Ò   Ü  Ò   Ý  ¸ Ø × Ú Ò Ý  

 Ú   ́ Ü  µ  

 

¾ 

 

Ú  ¡ 

Ü    Ý 

  Ü    Ý   

 

Ü    Ý 

  Ü    Ý   

  Ú 

 

  ´ ½ ¾ µ  

Ï Ð Ð Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò   Ú     Ú   ́ Ü  µ Ø   Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ø Ó Ò   Ö Ó Ñ   Ý  Ø Ó  Ü 

´ Ä Ç ℄ µ º  

´ ¾ µ È Ù Ø  

 Ú   ́ Ü  µ  

 Ú   ́ Ü  µ 

  Ü    Ý   

¾ 

 

½ 

  Ü    Ý   

¾ 

 

¾ 

 

Ú  ¡ 

Ü    Ý 

  Ü    Ý   

 

Ü    Ý 

  Ü    Ý   

  Ú 

 

Ó Ö  Ü Ý  ¾  Ê 

¿ 

 ́ Ü    Ý  µ Ò   Ú  ¾  Ì 

Ý 

Ê 

¿ 

¸ Ò Ð Ð Ø Ø   Ú Ø Ó Ö   Ú  Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø  

Ø Ó  Ü  º Ï Ð Ð Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò  

Ì 

Ý 

Ê 

¿ 

¿  Ú     Ú   ́ Ü  µ  ¾  Ì 

Ü 

Ê 

¿ 

Ø   Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ø Ó Ò   Ö Ó Ñ   Ý  Ø Ó  Ü  º 

Ç Ò Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × Ú Ò ¸ ½ ¹ Ó Ö Ñ Ò ¬ Ò Ò Ø × Ñ Û Ý × Ó Ö º  

¬ Ò Ø Ó Ò º ¾   Ä Ø  Ú  Ú Ò Ø Ó Ö Ò   Ì 

Ý 

Ê 

¿ 

º ¬ Ò   ½  ¹ Ó Ö Ñ            ́ Ý    Ú  µ  Ó Ò  Ê 

¿ 

Ò   Ý   

Ý 

    ́ Ù  µ   Ù  ¡   Ú   ́ Ü  µ  ́ Ü  ¾  Ê 

¿ 

Ò   Ý    Ù  ¾  Ì 

Ü 

Ê 

¿ 

µ   

Ê Ñ Ö   Ì ½ ¹ Ó Ö Ñ        ́ Ý    Ú  µ Ó Ò  Ê 

¿ 

Ò   Ý    ¸ Û Ö   Ú  × Ù Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ò   Ì 

Ý 

Ê 

¿ 

 ̧

¬ Ò Ý  

    ́ Ù  µ   Ù  ¡   Ú   ́ Ü  µ  ́ Ü  ¾  Ê 

¿ 

Ò   Ý    Ù  ¾  Ì 

Ü 

Ê 

¿ 

µ 

Û × Ù × Ý À Ð Ò Ø Ó × Ó Û Ø × Ó Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Õ Ù Ð Ø Ý ´ À ℄ µ º Ì Ò Ø Ú Ø Ó Ö ¬ Ð  

Ò Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ Ò Ü Ô Ö × × Ò Ø Ö Ñ × Ó Ò Ò Ú Ö × Ó Ò Ò ¾ ¹ × Ô Ö º  

 

Page 7: Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 7/11

Ä Ñ Ñ º ¿   Ä Ø  Á 

Ô 

 ́  Ô  ¾  Ê 

¿ 

µ  Ò Ó Ø Ò Ò Ú Ö × Ó Ò Ò Ø   ¾  ¹ × Ô Ö Û Ø Ò Ø Ö    Ô  Ò  

Ö Ù ×   ½  º Ä Ø   Ú  Ú Ø Ó Ö Ò   Ì 

Ý 

Ê 

¿ 

Ò   Ü  Ô Ó Ò Ø Ò   Ê  Ò   Ý    º 

´ ½ µ  Ú   ́ Ü  µ     Á 

Ü 

£ 

 ́ Ú  µ  × Ú Ø Ó Ö º  

´ ¾ µ 

    ́ Ý    Ú  µ  ́ Ù  µ     Ú  ¡   ́ Á 

Ý 

£ 

Ù  µ    Ó Ö   Ù  ¾  Ì 

Ü 

Ê 

¿ 

º 

È Ö Ó Ó   ´ ½ µ Ë Ò   Ú  × Ø Ò Ò Ø Ø Ó Ø Ö Ð      ́ Ý    Ú Ü  µ ¸ Ø Ú Ø Ó Ö   Á 

Ü 

£ 

Ú  × Ø Ò Ò Ø Ø Ó  

Á 

Ü 

 ́    ́ Ý    Ú Ü  µ µ º Ë Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ø Ó      ́ Ý    Ú Ü  µ Ø  Ü  × Õ Ù Ð Ø Ó Ô Ó × Ø Ú Ñ Ù Ð Ø Ô Ð  

Ó  Ú   ́ Ü  µ  ̧ Á 

Ü 

 ́    ́ Ý    Ú Ü  µ µ × Ð Ò Û Ó × Ö Ø Ó Ò Ú Ø Ó Ö × Õ Ù Ð Ø Ó Ô Ó × Ø Ú Ñ Ù Ð Ø Ô Ð  

Ó      Ú   ́ Ü  µ º Ì Ö Ó Ö ¸   Á 

Ü 

£ 

Ú  × Ô Ó × Ø Ú Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó      Ú   ́ Ü  µ º Ì Ò Ø Ó Ò Ð Ù × Ó Ò Ó Ñ ×  

Ö Ó Ñ     Á 

Ü 

£ 

Ú     

  Ú   

  Ü    Ý   

¾ 

     Ú   ́ Ü  µ      Û × Ñ Ô Ð Ý Ä Ñ Ñ ¿ º º  

´ ¾ µ Ì Ñ   Á 

Ý 

 ́    ́ Ý    Ú Ü  µ µ × Ø Ð Ò Ø Ö Ó Ù   Á 

Ý 

 ́ Ü  µ Û Ó × Ö Ø Ó Ò Ú Ø Ó Ö ×  

Õ Ù Ð Ø Ó Ô Ó × Ø Ú Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó     Ú  º Ë Ò  Ú   ́ Ü  µ × Ø Ò Ò Ø Ø Ó      ́ Ý    Ú Ü  µ ¸ Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø  

Á 

Ý 

£ 

 Ú   ́ Ü  µ × Ô Ó × Ø Ú Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó     Ú  º Ë Ò     Á 

Ý 

£ 

× Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ñ Ô Ô Ò ¸ Û Ú Ø  

Ó Ð Ð Ó Û Ò Õ Ù Ð Ø Ý Ø Û Ò Ò Ð ×  

  Á 

Ý 

£ 

Ù  ¡   ́   Ú  µ     Á 

Ý 

£ 

Ù  ¡  Á 

Ý 

£ 

 Ú   ́ Ü  µ     Ù  ¡   Ú   ́ Ü  µ   

Ë Ò     Á 

Ý 

£ 

Ù     

  Ù   

  Ü    Ý   

¾ 

Ý Ä Ñ Ñ ¿ º ¸ Û Ú  

    ́ Ý    Ú  µ  ́ Ù  µ   Ù  ¡   Ú   ́ Ü  µ  ́ Á 

Ý 

£ 

Ù  µ  ¡   ́   Ú  µ   

¾ 

× Ó Ö Ó Ð Ð Ö Ý Û Ú  

È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò º   ¬ Ò Ñ Ô       Ê 

¿ 

Ò   Ý    Ê  Ý 

   ́ Ü  µ     Á 

Ý 

 ́ Ü  µ  ¡  Ú  

Ì Ò       ́ Ý    Ú  µ     ¸ º º Ø   ½  ¹ Ó Ö Ñ       ́ Ý    Ú  µ  × Ü Ø º  

È Ö Ó Ó   Ë Ù Ô Ô Ó ×   Ü  ¾  Ê  Ò   Ý    Ò   Ù  ¾  Ì 

Ü 

Ê 

¿ 

º Ì Ò Ä Ñ Ñ º ¿ ´ ¾ µ Ñ Ô Ð ×  

   ́ Ù  µ      ́ Á 

Ý 

£ 

Ù  µ  ¡  Ú        ́ Ý    Ú  µ  ́ Ù  µ   

¾ 

Ï Ö Ñ Ö Ø Ø Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ    

 

 ́ Ý    Ú 

Ý 

µ × Ò Ó Ø Ò × × Ö Ð Ý Ð Ó × º  

È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò º   Ì       ́ Ý    Ú  µ  × Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø ¸ º º  

    ́ Ì   ́ Ý  µ   Ì 

£ 

Ú  µ  ́ Ì 

£ 

Ù  µ       ́ Ý    Ú  µ  ́ Ù  µ 

  Ó Ö Ò Ý   Ù  ¾  Ì 

Ü 

Ê 

¿ 

 ́ Ü  ¾  Ê 

¿ 

Ò   Ý    µ  Ò Å  Ó Ù × Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò   Ì  Ó   Ê 

¿ 

½  º 

È Ö Ó Ó   Ä Ñ Ñ ¿ º Ñ Ô Ð ×  

  Ì 

£ 

Ù        Ì 

¼ 

 ́ Ü  µ   

¾ 

  Ù      ´ ½ ¿ µ  

  Ì 

£ 

Ú        Ì 

¼ 

 ́ Ý  µ   

¾ 

  Ú     

¬ 

¬ 

¬ 

  

Ì 

£ 

Ú   ́ Ì   ́ Ü  µ µ 

¬ 

¬ 

¬ 

 

  Ì 

£ 

Ú   

  Ì   ́ Ý  µ    Ì   ́ Ü  µ   

¾ 

 

  Ú   

  Ì 

¼ 

 ́ Ü  µ   

¾ 

  Ü    Ý   

¾ 

  ´ ½ µ  

 

Page 8: Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 8/11

Û Ö  

  

Ì 

£ 

Ú   ́ Ì   ́ Ü  µ µ Ò Ó Ø × Ø Ú Ø Ó Ö   Ì 

£ 

Ú  Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ø Ó   Ì   ́ Ü  µ ´ ¬ Ò Ø Ó Ò  

º ½ µ º  

Ï Ú  

  Ì 

£ 

Ù  ¡ 

  

Ì 

£ 

Ú   ́ Ì   ́ Ü  µ µ     Ù  ¡   Ú   ́ Ü  µ    ´ ½ µ  

Ì × × Ù × Ø Ö Ø Ò × × Õ Ù Ð Ø Ó Ø Ò Ð Ø Û Ò   Ù  Ò      ́ Ý    Ú Ü  µ Ø 

Ü  ×  Ú   ́ Ü  µ × Ø Ò Ò Ø Ø Ó Ø Ö Ð      ́ Ý    Ú Ü  µ Ø  Ü  ¸ Û Ö × Ø Ð Ø Ò × × Õ Ù Ð Ø Ó  

Ø Ò Ð Ø Û Ò   Ì 

£ 

Ù  Ò   Ì   ́    ́ Ý    Ú Ü  µ µ Ø   Ì   ́ Ü  µ × 

  

Ì 

£ 

Ú   ́ Ì   ́ Ü  µ µ × Ø Ò Ò Ø Ø Ó Ø Ö Ð  

Ì   ́    ́ Ý    Ú Ü  µ µ Ø   Ì   ́ Ü  µ º 

È Ù Ø Ø Ò ´ ½ ¿ µ ¸ ´ ½ µ ¸ Ò ´ ½ µ Ø Ó Ø Ö Û Ú  

    ́ Ì   ́ Ý  µ   Ì 

£ 

Ú  µ  ́ Ì 

£ 

Ù  µ  ́ Ì 

£ 

Ù  µ  ¡ 

  

Ì 

£ 

Ú   ́ Ì   ́ Ü  µ µ   Ù  ¡   Ú   ́ Ü  µ  

    ́ Ý    Ú  µ  ́ Ù  µ   

¾ 

Ä Ø Ù × Ô Ð Ý Ø × Ñ Ñ × Ò Ø Ë Ù × Ø Ó Ò ¾ Ý × Ù × Ø Ø Ù Ø Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý  

Ò Ú Ö Ò Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ      Ó Ö Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ    

 

Ó Ñ Ò Ö Ó Ñ Ø Ù × × Ó Ö Ñ Ù Ð Ó Ö Ø Ð Ò Ò  

Ò Ù Ñ Ö º Ù Ø Ù Ò Ó Ö Ø Ù Ò Ø Ð Ý ¸ Ø Ø Ù Ö Ò × Ó Ù Ø Ø Ø Ø × Ø Ø Ñ Ô Ø × Ò Ó Ø × Ù × × Ù Ð º  

× Ñ Ð Ö Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó    

à

Ö Ó Ñ    

 

 ́ Ý    Ú 

Ý 

µ Ú × Ø Ö Ú Ð ¾ ¹ Ó Ö Ñ Ó Ö       ́ Ý    Ú 

Ý 

µ º 

È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò º   Ä Ø    

à

  ½  ¹ Ó Ö Ñ Ó Ò   Ê 

¿ 

Ò  à ¬ Ò Ý  

  

à

 ́ Ù  µ  

  

à

    ́ Ý    Ú 

Ý 

µ  ́ Ù  µ  Ý   

  

à

Ù  ¡   Ú 

Ý 

 ́ Ü  µ  Ý    Ù  ¡ 

  

Ë 

½ 

℄ 

 

¼ 

 ́ ×  µ  ́ Ü  µ  × 

  Ó Ö   Ù  ¾  Ì 

Ü 

Ê 

¿ 

¸ Û Ö   Ú 

Ý 

× Ø Ù Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ø Ó   à Ø  Ý  º Ì Ò     

à

Ú Ò × × Ó Ö  

Ò Ý Ò Ó Ø   à º 

È Ö Ó Ó   Ä Ñ Ñ º ¿ Ò Ø × Ø Ø  

  

Ë 

½ 

℄ 

 

¼ 

 ́ ×  µ  ́ Ü  µ  ×     

  

Ë 

½ 

Á 

Ü 

£ 

 ́  

¼ 

 ́ ×  µ µ  ×     

  

Ë 

½ 

 

× 

 ́ Á 

Ü 

Æ     ́ ×  µ µ  ×  ¼    ´ ½ µ  

¾ 

Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø     ¹ Ò Ö Ý  

Í × Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ Ú Ò Ò Ø Ô Ö Ú Ó Ù × × Ø Ó Ò Û Ò Ó Ò × Ö  

Ø × Ñ Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó   Á 

 

Ö Ó Ñ    

à

´ µ º Ù Ø Ù Ò Ó Ö Ø Ù Ò Ø Ð Ý ¸ Ø Ú × Ø Ö Ú Ð  

Ù Ò Ø Ó Ò Ð º  

Ä Ø  Ú 

Ý 

 

 ́   ½    ¾    ¿ µ Ù Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ø   Ý 

 

Ò  Ú 

Ý 

 

 Ú 

Ý 

 

 ́ Ü  µ Ø Ñ Ó  

Ú 

Ý 

 

Ù Ò Ö Ø Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ø Ó Ò Ö Ó Ñ   Ý 

 

Ø Ó  Ü  ´ ¬ Ò Ø Ó Ò º ½ µ º Ä Ø  

    ́ Ý    Ú  µ 

Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ Ú Ò Ò ¬ Ò Ø Ó Ò º ¾ º Ä Ø   Í 

 

Ø Ó Ñ Ò Ò   à

¿ 

¢  Ê 

¿ 

Ú Ò Ý ´ µ º  

È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò º ½   È Ù Ø 

 

Æ 

 

 ́ à µ  

  

Í 

 

Ý 

½ 

Ý 

¾ 

Ý 

¿ 

    ́ Ý 

½ 

  Ú 

Ý 

½ 

µ   

    ́ Ý 

¾ 

  Ú 

Ý 

¾ 

µ   

    ́ Ý 

¿ 

  Ú 

Ý 

¿ 

µ 

 

  

Í 

 

Ø ´  Ú 

Ý 

½ 

 ́ Ü  µ     Ú 

Ý 

¾ 

 ́ Ü  µ     Ú 

Ý 

¿ 

 ́ Ü  µ µ 

  Ý 

½ 

  Ü   

¾ 

  Ý 

¾ 

  Ü   

¾ 

  Ý 

¿ 

  Ü   

¾ 

Ý 

½ 

Ý 

¾ 

Ý 

¿ 

 

Ú Ó Ð 

Ü   ´ ½ µ  

Ì Ò    

Æ 

 

 ́ à µ ¼    Ó Ö Ò Ý Ò Ó Ø   à º 

 

Page 9: Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 9/11

Á Ø × Ò Ó Ù Ø Ó × Ó Û Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò º  

Ä Ñ Ñ º ¾   Ë Ù Ô Ô Ó ×   Ý 

½ 

  Ý 

¾ 

  Ý 

¿ 

  Ý 

½ 

º Ì Ò  

  

Ê 

¿ 

Ò   Ý 

½ 

Ý 

¾ 

Ý 

¿ 

 

    ́ Ý 

½ 

  Ú 

Ý 

½ 

µ        ́ Ý 

¾ 

  Ú 

Ý 

¾ 

µ        ́ Ý 

¿ 

  Ú 

Ý 

¿ 

µ ¼   

È Ö Ó Ó   ¬ Ò Ñ Ô    

 

  Ê 

¿ 

Ò   Ý 

 

  Ê   ́   ½    ¾    ¿ µ Ý  

 

 

 ́ Ü  µ     Á 

Ý 

 

 ́ Ü  µ  ¡  Ú 

Ý 

 

 

Û Ö   Á 

Ý 

 

× Ò Ò Ú Ö × Ó Ò Ò × Ô Ö Û Ø Ö Ù × ½ Ò Ò Ø Ö   Ý 

 

º È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò º  

Ñ Ô Ð × Ø Ø  

   ́ Ý 

 

  Ú 

Ý 

 

µ    

 

 

Ä Ø  ¦ 

 

 ́   ½    ¾    ¿ µ × Ô Ö Û Ø Ö Ù ×      ́     ½ µ Ò Ò Ø Ö   Ý 

 

¸ Ò   ¦ 

¼ 

× Ô Ö  

Û Ø Ö Ù ×   Ê   ́ Ê    ½ µ Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ö Ò º Ä Ø ª  

Ê 

Ø Ó Ñ Ò Ò   Ê 

¿ 

Ó Ù Ò  

Ý  ¦ 

¼ 

 ̧ ¦ 

½ 

 ̧ ¦ 

¾ 

¸ Ò   ¦ 

¿ 

º Ì Ò  

  

Ê 

¿ 

Ò   Ý 

½ 

Ý 

¾ 

Ý 

¿ 

 

    ́ Ý 

½ 

  Ú 

Ý 

½ 

µ        ́ Ý 

¾ 

  Ú 

Ý 

¾ 

µ        ́ Ý 

¿ 

  Ú 

Ý 

¿ 

µ 

Ð Ñ  

    · ¼  Ê    ·  ½ 

  

ª 

Ê 

   ́  

½ 

 

¾ 

   

¿ 

µ 

Ð Ñ  

    · ¼  Ê    ·  ½ 

 

  

¦ 

¼ 

 

  

¦ 

½ 

 

  

¦ 

¾ 

 

  

¦ 

¿ 

 

 

½ 

 

¾ 

   

¿ 

 

´ µ Ç Ò   ¦ 

¼ 

Û Ú      

½ 

    Ç   ́

½ 

Ê 

µ Ò      

¾ 

   

¿ 

    Ç   ́

½ 

Ê 

 

µ Û Ö × Ö ´  ¦ 

¼ 

µ  

Ç   ́ Ê 

¾ 

µ º Ì Ö Ó Ö  

Ð Ñ 

Ê    ·  ½ 

  

¦ 

¼ 

 

½ 

 

¾ 

   

¿ 

¼   

´ µ Ç Ò   ¦ 

¾ 

Û Ú    

½ 

    ·  Ç   ́   µ Ó Ö × Ó Ñ Ó Ò × Ø Ò Ø     º Ì Ö Ó Ö  

Ð Ñ 

    · ¼ 

  

¦ 

¾ 

 

½ 

 

¾ 

   

¿ 

    Ð Ñ 

    · ¼ 

  

¦ 

¾ 

 

¾ 

   

¿ 

    Ð Ñ 

    · ¼ 

  

¦ 

¾ 

   ́  

¾ 

   

¿ 

µ 

¼   

Ì × Ñ Ö Ù Ñ Ò Ø Û Ó Ö × Ó Ö   ¦ 

¿ 

º 

´ µ Ç Ò   ¦ 

½ 

Û Ú      

½ 

    Ç   ́

½ 

 

µ Ò  

 

¾ 

   

¿ 

   

¼ 

·  Ç   ́   µ 

Ó Ö × Ó Ñ Ó Ò × Ø Ò Ø ¾ ¹ Ó Ö Ñ    

¼ 

¸ Û Ö × Ö ´  ¦ 

½ 

µ   Ç   ́  

¾ 

µ º Ì Ö Ó Ö  

Ð Ñ 

    · ¼ 

  

¦ 

½ 

 

½ 

 

¾ 

   

¿ 

¼   

¾ 

 

Page 10: Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 10/11

È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò º ¿   È Ù Ø 

 

Æ 

 

 ́ à µ  

  

Í 

 

  Ø ´  Ú 

Ý 

½ 

 ́ Ü  µ     Ú 

Ý 

¾ 

 ́ Ü  µ     Ú 

Ý 

¿ 

 ́ Ü  µ µ   

  Ý 

½ 

  Ü   

¾ 

  Ý 

¾ 

  Ü   

¾ 

  Ý 

¿ 

  Ü   

¾ 

Ý 

½ 

Ý 

¾ 

Ý 

¿ 

 

Ú Ó Ð 

Ü   ´ ½ µ  

Ì Ò    

Æ 

 

Ú Ö × Ó Ö Ò Ý Ò Ó Ø   à º 

È Ö Ó Ó   Ì Ò Ø Ö Ò Ð Ó Û × Ù Ô Ò Ö Ø Ó Ò Ð Ó   à

¿ 

¢  Ê 

¿ 

¸ Û × × Ø Ö Ø ¬  

Ò Ø Ó × Ø Ö Ø Ó « Ö Ò Ø ´ Ó µ Ñ Ò × Ó Ò × º Ì Ó Ò Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ó Ö Ó Ó Ó  

  

¾ 

     ́ Ý 

½ 

Ý 

¾ 

Ý 

¿ 

Ü  µ  ¾  à

¿ 

¢  Ê 

¿ 

  Ü    Ý 

½ 

  Ý 

¾ 

  Ý 

¿ 

 

Ñ × Ø Ò Ø Ö Ð Ú Ö º  

Ä Ø Ù × ¬ Ü   Ý 

½ 

Ò   Ý 

¿ 

 ́ Ý 

½ 

  Ý 

¿ 

µ º Ï Ñ Ý × × Ù Ñ Û Ø Ó Ù Ø Ð Ó × × Ó Ò Ö Ð Ø Ý Ø Ø Ø  

Ò Ó Ø   à × Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø Ö ¹ Ð Ò Ø ×   à   -  ´ ¼    ½ ℄ µ Ò Ø Ø   Ý 

½ 

  -  ´ ¼ µ   ¼  º 

Ä Ø ª ´    µ Ó Ñ Ò Ú Ò Ý  

ª  ́   µ  

Ò 

 ́ Ý 

¾ 

Ü  µ  ¾  à ¢  Ê 

¿ 

  Ý 

¾ 

  -   ́ ×  µ  Ü    Ý 

¾ 

 

 

¾ 

×     Ü     

Ó 

 

Ë Ò   Ú 

Ý 

¿ 

 ́ Ü  µ   Ú 

¼ 

·  Ç   ́   µ Ó Ò ª ´    µ Ó Ö × Ó Ñ Ó Ò × Ø Ò Ø Ú Ø Ó Ö   Ú 

¼ 

¸ Û Ú Ø × Ñ Ð Ö Ø Ý  

Ø Û Ò Ø Ò Ø Ö Ò × Ó Ò ª ´    µ Ò ª ´  

 

¾ 

µ  

¬ 

¬ 

Ø ´  Ú 

¼ 

 ́

Ü 

¾ 

µ     Ú 

-   ́

× 

¾ 

µ 

 ́

Ü 

¾ 

µ     Ú 

Ý 

¿ 

 ́

Ü 

¾ 

µ µ 

¬ 

¬ 

 

Ü 

¾ 

 

¾ 

  -   ́

× 

¾ 

µ   

Ü 

¾ 

 

¾ 

  Ý 

¿ 

 

Ü 

¾ 

 

¾ 

¾ 

 

¬ 

¬ 

Ø ´  Ú 

¼ 

 ́ Ü  µ     Ú 

-   ́ ×  µ 

 ́ Ü  µ     Ú 

Ý 

¿ 

 ́ Ü  µ µ 

¬ 

¬ 

  Ü   

¾ 

  -   ́ ×  µ    Ü   

¾ 

  Ý 

¿ 

  Ü   

¾ 

·  Ç   ́  

  ¿ 

µ   

Ë Ò Ø Ú Ó Ð Ù Ñ Ó ª ´    µ × Ó Ó Ö Ö    

 

Û Ú  

  

ª  ́

 

¾ 

µ 

  Ø ´  Ú 

¼ 

 ́ Ü  µ     Ú 

Ý 

¾ 

 ́ Ü  µ     Ú 

Ý 

¿ 

 ́ Ü  µ µ   

  Ü   

¾ 

  Ý 

¾ 

  Ü   

¾ 

  Ý 

¿ 

  Ü   

¾ 

Ý 

¾ 

 

Ú Ó Ð 

Ü 

 

  

ª  ́   µ 

  Ø ´  Ú 

¼ 

 ́ Ü  µ     Ú 

Ý 

¾ 

 ́ Ü  µ     Ú 

Ý 

¿ 

 ́ Ü  µ µ   

  Ü   

¾ 

  Ý 

¾ 

  Ü   

¾ 

  Ý 

¿ 

  Ü   

¾ 

Ý 

¾ 

 

Ú Ó Ð 

Ü  ·  Ç   ́   µ   

Á Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø Ø Ö × Ô Ó × Ø Ú Ó Ò × Ø Ò Ø    

¼ 

× Ù Ø Ø  

  

ª ´ ¾ 

  Ò 

µ 

  Ø ´  Ú 

¼ 

 ́ Ü  µ     Ú 

Ý 

¾ 

 ́ Ü  µ     Ú 

Ý 

¿ 

 ́ Ü  µ µ   

  Ü   

¾ 

  Ý 

¾ 

  Ü   

¾ 

  Ý 

¿ 

  Ü   

¾ 

Ý 

¾ 

 

Ú Ó Ð 

Ü     

¼ 

 

Ó Ö Ð Ð   Ò  ¾  Æ  º Ì Ö Ó Ö  

 

Æ 

 

 ́ à µ   

  

 

½ 

  

Ò  ½ 

  

ª ´ ¾ 

  Ò 

µ 

  Ø ´  Ú 

Ý 

½ 

 ́ Ü  µ     Ú 

Ý 

¾ 

 ́ Ü  µ     Ú 

Ý 

¿ 

 ́ Ü  µ µ   

  Ý 

½ 

  Ü   

¾ 

  Ý 

¾ 

  Ü   

¾ 

  Ý 

¿ 

  Ü   

¾ 

Ý 

¾ 

 

Ú Ó Ð 

Ü 

 

Ý 

½ 

Ý 

¿ 

  ½   

¾ 

Ê Ñ Ö   Ì Ö × Û Ð Ð ¹ ¬ Ò Ò Ó Ò ¹ Ø Ö Ú Ð Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø Ø Ö Ð Ó Ð Ù Ò ¹  

Ø Ó Ò Ð Ó Ò Ø × Ô Ó Ò Ó Ø × ´ Ä Ç ¾ ℄ µ º Ð Ø Ó Ù Ø × Ò Ó Ø × × Ó Ø Ø Ó ¹ Ö Ñ ¸  

Ø Ò Ø Ö Ò Ò Ú Ó Ð Ú × Ø Ö Ô Ð Ø ´  Ü Ú 

Ü 

µ     ́ Ý Ú 

Ý 

µ ¸ Ò ´  Þ Ú 

Þ 

µ º 

Ò Ó Û Ð Ñ Ò Ø   Ì Ù Ø Ó Ö Ø Ò × Ê Ñ Ä Ò Ú Ò Ô Ð Ý Ó Ö Ñ Ò Ý Ð Ô Ù Ð  

× Ù × Ø Ó Ò × º  

½ ¼ 

Page 11: Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots

http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 11/11

Ê Ö Ò ×  

Ì ℄ Ê º Ó Ø Ø Ò º Ì Ù × ¸  Ç Ò Ø × Ð ¹ Ð Ò Ò Ó Ò Ó Ø × ¸   Â º Ó Å Ø º È Ý × ×   ¿  

´ ½ µ ¸ ¾ ß ¾ º  

À Ï ℄ Å º À º Ö Ñ Ò ¸ ¹ º À Ò º Ï Ò ¸  Å  Ó Ù × Ò Ö Ý Ó Ò Ó Ø × Ò Ù Ò Ò Ó Ø × ¸  

Ò Ò º Ó Å Ø º  ½ ¿   ´ ½ µ ¸ ½ ß ¼ º  

À ℄ º À Ð Ò ¸   Á × Ó Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Õ Ù Ð Ø × Ò Ð Ö Ø Ó Ò × ¸   È Ö Ó Ö × × Ò È Ö Ø Ð  

« Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ø Å Ø Þ × Ù Ö Ú Ý × ¸ Å º Ô Ó Ø Ò Á º Ë Ö Ö º ¸  

È Ø Ñ Ò Ê × Ö Æ Ó Ø × Ò Å Ø Ñ Ø × ¸ Ë Ö × ¿ ¸ Ä Ó Ò Ñ Ò ´ ½ µ º  

Ä Ç ℄ Ê º Ä Ò Ú Ò Ò Â º Ç ³ À Ö ¸   Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø Ò Ö × Ó Ò Ó Ø × ¸   Â º Á Ò ¹  

× Ø Ø Ù Ø Å Ø º Â Ù × × Ù º     ´ ¾ ¼ ¼ µ ¸ ¾ ½ ß ¾ ¼ º  

Ä Ç ¾ ℄ Ê º Ä Ò Ú Ò Ò Â º Ç ³ À Ö º   Ü Ø Ö Ò × Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ó Ù Ö Ú × Ò  

Ë Ù Ö × º   Ò Ô Ö Ô Ö Ø Ó Ò º  

Ä Ï ℄ º ¹ Ë º Ä Ò º Ò º Ï Ò ¸  Á Ò Ø Ö Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ó Ô Ð Ò Ù Ö Ú × Ò Ò Ó Ø Ò Ú Ö ¹  

Ò Ø × ¸   Â º « º Ó Ñ º     ´ ½ µ ¸ ß º  

Ç ½ ℄ Â º Ç ³ À Ö ¸   Ò Ö Ý Ó Ò Ó Ø ¸   Ì Ó Ô Ó Ð Ó Ý   ¿ ¼  ´ ½ ½ µ ¸ ¾ ½ ß ¾ º  

Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Å Ø Ñ Ø × ¸ Ì Ó Ý Ó Å Ø Ö Ó Ô Ó Ð Ø Ò Í Ò Ú Ö × Ø Ý ¸ ½ ¹ ½ Å Ò Ñ ¹ Ç × Û ¸  

À Ó Ù ¹ Ë ¸ Ì Ó Ý Ó ½ ¾ ¹ ¼ ¿ ¸ Â È Æ º  

Ó Ö Ó Ñ Ô º Ñ Ø Ö Ó ¹ Ù º º Ô  

½ ½