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  • 7/24/2019 INTEGRACION INDEFINIDA_INMEDIATAS

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    1.- CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA

    Entre los propsitos de este material se encuentra el de

    presentar el proceso de integracin como una operacin inversa

    al proceso de derivacin.

    Algunos autores utilizan los trminos antidiferenciacin o

    antiderivacin como sinnimos de integracin; mientras que

    otros hacen referencia al trmino antiderivada, como el

    resultado de aplicar el proceso de integracin.

    La diferencia entre integraciny antiderivada,se pone de

    manifiesto mediante la siguiente afirmacin: la integracines

    el proceso que permite otener antiderivadas.

    !sando el hecho de que los procesos mencionados son

    inversos, se puede otener la funcin que se ha integrado

    , a partir de una antiderivada . "ara ello, asta con derivar

    sta #ltima funcin. Es por esto que se acostumra a

    escriir .

    $e estalece como definicin de antiderivada, la siguiente:

    !na funcin para la cual , es una antiderivada

    de . %onde recorre todo el dominio de .

    1.1 Notacin Bsica!

    Al momento de resolver integrales se presenta una

    estructura como la siguiente:

    %onde:

    El s&molo es el signo integral.

    es el integrando o funcin primitiva.

    indica que el proceso de integracin se efect#a

    respecto a la variale .

    representa la antiderivada.

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    es la constante de integracin.

    Nota 1:La expresin , no representa una sola antiderivada, sino elconjunto de todas las posibles antiderivadas que puede tener el integrando.Esto es posible debido a que cada vez que se le asigne un valor a la constante

    de integracin C, se tendr una expresin que constituye una antiderivada.

    1." #$todos de Reso%&cin de integra%es.

    1.".1 Reso%&cin de Integra%es Por Integracin

    In'ediata!

    'omo su nomre lo indica, el mencionado mtodo consiste

    en la aplicacin inmediata de una o varias reglas de integracin

    ya estalecidas y que son de f(cil aplicacin, aunque ) en

    algunos casos* ser( necesaria el desarrollo de operacionesalgeraicas (sicas y que se supone el estudiante posee como

    redes conceptuales previas.

    A continuacin se presenta un con+unto de e+emplos, cuya

    funcin es ilustrar la teor&a epuesta hasta el momento, e

    introducir este primer mtodo de integracin.

    E(e')%o1

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin inmediata de funciones potenciales.

    Regla de integracin:

    Ecuacin 1.1

    Desarrollo:

    Determinar el valor de n. Para ello se debe comparar la integral dada,

    con la regla de integracin. l realizar dic!a comparacin, se obtiene

    que"

    n#$.

    %iguiendo la regla de integracin, se debe realizar la siguiente

    operacin:

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    n&'

    (omo n#$, se tendr el siguiente resultado"

    n&'#$&'#)

    La regla de integracin que se est aplicando, para resolver este

    ejercicio, indica que *ste resultado debe colocarse tanto en elexponente de la antiderivada como en el denominador de la misma. s+

    se obtiene"

    !ora, si a *sta expresin se le agrega la constante de integracin c, se

    tendr que"

    (oncluy*ndose que"

    =

    eri-cacin" %i se deriva el resultado, ,se obtiene , que

    constituye la uncin primitiva u original/ poni*ndose de mani-esto que

    la diferenciaciny la integracinson procesos inversos.

    * De lo realizado en la veri-cacin, se establece que" Para comprobar si elresultado obtenido al resolver una integral es o no correcto basta conaplicarle el proceso de derivacin a dic!o resultado. La respuesta se consideracorrecta si la derivada coincide con el integrando, resultando incorrecta encaso contrario.Es responsabilidad del lector, realizar la mencionada veri-cacin para cadaejercicio que analice o resuelva y por tanto, este punto no se incluir en losejemplos subsiguientes.

    E(e')%o "

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#mhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#mhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#mhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#m
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    Mtodo a emplear: Integracin de la sumatoria de funciones e Integracin

    inmediata de funciones potenciales.

    Reglas de integracin:

    Ecuacin 1.2

    yEcuacin1.1

    Antes de presentar el desarrollo de la integral dada, es necesario recordar que la

    integral es un operador lineal y por tanto cumple con las siguientes propiedades:

    1.Las constantes pueden ser extradas del smbolo integral.

    2.Si el exponente del integrando es uno y est conormado por t!rminos "uese estn sumando o restando entre s# la integral original puede separarse en

    tantas integrales como t!rminos posea el integrando.

    Desarrollo:

    (omo el integrando tiene exponente ' y est conormado por

    dos t*rminos que se estn restando, se puede aplicar la

    propiedad 0 de un operador lineal 12.L3, es decir, la integral original

    puede ser reemplazada por dos integrales parciales, como se muestra a

    continuacin:

    $

    s+, se !a simpli-cado el ejercicio original y bastar con resolver

    cada una de las integrales parciales para obtener la respuesta

    pedida.

    En las integrales parciales, se observa la presencia de

    constantes por lo cual, en atencin a la propiedad ' de

    un 12.L3, se procede a extraer dic!as constantes de cada unode los s+mbolos integrales. s+"

    El dierencial indica que se debe integrar con respecto a la

    variabley, razn por la cual, se !ace pertinente transormar

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#nhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#rhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#rhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#nhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#rhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#r
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    el radical en exponente raccionario y a su vez, colocar

    en el numerador, cambiando el signo de su exponente de

    acuerdo a de las reglas de potenciacin, seccin0.

    2bteni*ndose"

    !ora, basta con recordar y aplicar los pasos desarrollados en

    el ejercicio anterior para obtener"

    4esolviendo las operaciones bsicas indicadas en la expresin

    anterior, se tiene que:

    +

    %e tomar como norma de uniormidad la siguiente"

    5Los resultados nales de una integral, no debern

    contener exponentes fraccionarios ni exponentes

    negativos6

    1er" redes conceptuales previas, seccion -y seccion /

    plicando este criterio, se obtiene"

    (oncluy*ndose que"

    Si bien es cierto "ue cada integral aporta una constante# es correcto escribir una

    sola %c "ue representa la sumatoria de todas las constantes "ue puedan surgir

    en un e'ercicio.

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#e
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    E(e')%o *

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin de suma de trminos no

    semejantes, funciones eponenciales y potenciales.

    Reglas de integracin:

    Ecuacin 1.(

    y lasEcuacin 1.1y 1.2

    Desarrollo:

    plicando la Ecuacin 1.2y de acuerdo a lo

    explicado en el ejemplo anterior, se puede

    escribir"

    Obsrvese que se aplicaron las propiedades

    de los 2.L se convirti el radical en

    exponente fraccionario!

    Por potenciacin, se obtiene:

    plicando la Ecuacin 1.(y la Ecuacin 1.1,

    respectivamente, se tendr el siguiente

    resultado"

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#c
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    4esolviendo las operaciones bsicas

    indicadas en la expresin anterior yaplicando el criterio de uniormidad, se

    tiene que"

    (oncluy*ndose que"

    E(e')%o +

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integral de la suma de trminos no semejantes,

    Integracin inmediata de funciones potenciales.

    Reglas de integracin:

    Ecuacin 1.)

    Ecuacin 1.*

    y lasEcuacin 1.1y1.2

    Desarrollo:

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#d
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    plicar las propiedades de los 2.Ly

    la Ecuacin 1.2, para obtener""

    Obsrvese que no se convirti el radical en

    exponente fraccionario, debido a que, de

    acuerdo al diferencial, se debe integrar con

    respecto a y" por lo tanto, se co#porta

    co#o una constante, quedando fuera de la

    integral!

    !ora se tienen tres integrales por

    resolver. Para resolver la primera seaplica la Ecuacin 1.). La segunda ya ha

    sido resuelta en los ejemplos anteriores

    (Ecuacin 1.1). Para resoler la tercera

    integral, se de!e aplicar la Ecuacin 1.*. "s#,

    se o!tiene:

    E(e')%o ,

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integral de la sumatoria de funciones e Integracin inmediata

    de funciones potenciales.

    Regla de integracin:Ecuacin 1.1# 1.$y1.%

    Desarrollo:

    l aplicar la Ecuacin 1.2 y las propiedades de los 12.L3, se obtiene"

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#b
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    $

    !ora se tienen cuatro integrales por resolver. La primera se puede

    resolver aplicando laEcuacin 1.*.&anto la segunda como la cuarta integral ya han

    sido resueltas en los ejemplos anteriores (Ecuacin 1.1). Para resoler la tercera integral, se

    de!e sacar e2de la integral por tratarse de una constante, ya 'ue no depende de la

    aria!le u,y aplicar la Ecuacin 1.). "s#, se concluye 'ue:

    E(e')%o

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integral de la sumatoria de funciones e Integracin inmediata

    de funciones potenciales.

    Regla de integracin: Ecuacin 1.1#1.$#1.) y1.% Desarrollo:

    l dividir los elementos del numerador por el denominador, se

    obtiene"

    $

    l aplicar la Ecuacin 1.2 y las propiedades de los 12.L3, se

    obtiene"

    !ora se tienen tres integrales por resolver. La primera se

    puede resolver aplicando la Ecuacin 1.).La segunda se resuele

    mediante la Ecuacin 1.*. La tercera ya ha sido resuelta en los ejemplos

    anteriores (Ecuacin 1.1). "s#, se concluye 'ue:

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#c
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    E(e')%o

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integral de la sumatoria de funciones e Integracininmediata de funciones potenciales.

    Regla de integracin: Ecuacin 1.1 y1.$.

    Desarrollo:

    %i se aplica propiedad distributiva y se

    dividen los elementos del numerador por

    el denominador, se obtiene"

    l agrupar y ordenar los t*rminos

    semejantes, aplicar la $cuacin 1!%y las

    propiedades de los2.L, se obtiene"

    !ora se tienen tres integrales por

    resolver y esto puede !acerse aplicando

    la Ecuacin 1.1.y simpliicando. "s#, se concluye

    'ue:

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#c
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    E(e')%o /

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integral de la sumatoria de funciones e Integracin

    inmediata de funciones potenciales.

    Regla de integracin: Ecuacin 1.1 y1.$

    Desarrollo:

    %i se aplica propiedad distributiva y se

    resuelve la multiplicacin de igual base

    1ver"potenciacin),se obtiene"

    l aplicar la Ecuacin '.0, se obtiene"

    !ora se tienen dos integrales por

    resolver y este tipo de ecuaciones ya ue

    resuelto anteriormente 17rabajar con

    exponentes raccionarios y aplicar

    la Ecuacin 1.1.). "s#, se concluye 'ue:

    E(e')%o 0

    Resolver la siguiente integral:

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#c
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    Solucin

    Mtodo a emplear: Integral de la sumatoria de funciones e Integracin inmediata

    de funciones eponencialesy potenciales.

    Regla de integracin:Ecuacin 1.1y1.2y1.(

    Desarrollo:

    l aplicar la Ecuacin 1.2y2.L, se obtiene"

    *

    !ora se tienen tres integrales por resolver y este tipo de ecuaciones ya

    ue resuelto anteriormente 17rabajar con exponentes raccionarios y

    aplicar las Ecuaciones 1.1 y1.(). "s#, se o!tiene 'ue:

    * $

    (oncluy*ndose que"

    $

    E(e')%o 1

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integral de la sumatoria de funciones e Integracin inmediata

    de funciones potenciales.

    Regla de integracin: Ecuacin 1.1y1.2y 1.)

    Desarrollo:

    l aplicar la Ecuacin 1.2,2.Ly reglas de potenciacin, se

    obtiene"

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#e
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    !ora se tienen tres integrales por resolver y este tipo de

    ecuaciones ya ue resuelto anteriormente 17rabajar conexponentes raccionarios y aplicar la Ecuacin 1.1y la Ecuacin

    1.)# respectiamente). "s#, se concluye 'ue:

    $

    'on el o+eto que el lector verifique el aprendiza+e que sore el

    mtodo anterior ha adquirido, se presenta a continuacin e+erciciospropuestos y su respuesta, los cuales deen ser resueltos antes de

    empezar a estudiar el primo mtodo.

    Ejercicios Propuestos de Mtodo # 1

    1.

    2.

    3.

    4.

    5.

    6.

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#c
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    14/40

    7.

    8.

    9.

    10.

    1."." Reso%&cin de Integra%es )or Ca'2io de 3aria2%e

    'onsiste en igualar una parte del integrando a una nueva

    variale, por e+emplo &, llamada variale auiliar. Luego de

    esto, se dee calcular la derivada de la variale auiliar y

    realizar las operaciones necesarias, para que ni en el integrando

    ni en el diferencial, aparezca alguna epresin en trminos de la

    variale original. A esto se le denomina camio de variale0'%1/.

    Luego de hacer efectivo el '%1, por lo general, se otienen

    integrales m(s sencillas que la original, las cuales se resuelven

    aplicando lo aprendido en el mtodo anterior. "or esta razn, es

    necesario que el lector haya estudiado detalladamente dicho

    mtodo puesto que en la solucin de los e+emplos de esta parte

    de la ora, no se incluye una eplicacin espec&fica de este

    contenido que ya dee ser parte de sus redes conceptuales.

    Es importante se2alar que el resultado de la integracin,

    dee estar en funcin de las variales originales por lo que se

    acostumra a emplear el trmino 3devolviendo el camio de

  • 7/24/2019 INTEGRACION INDEFINIDA_INMEDIATAS

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    variale4 para rese2ar el proceso mediante el cual la variale

    auiliar desaparece de la respuesta definitiva.

    A continuacin se presenta un con+unto de e+emplos, cuya

    funcin es introducir este segundo mtodo de integracin.

    E(e')%o 1

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin por cam!io de "aria!le.

    Regla de integracin:Ecuacin 1.1

    Desarrollo:

    En atencin a la teor+a expuesta, construir la siguiente igualdad"

    u$ 2x+, -1

    Debido a -1, la integral original se transorma, momentneamente en"

    $ -2

    (omo la integral a resolver no debe quedar en uncin de la variable

    original, se debe expresar adx,en uncin de duy para ello se"

    Deriva ambos miembros de 1'3 para obtener"

    du#0dx

    Divide la expresin anterior entre 0, obteni*ndose"

    -(

    %i en -2# se reemplaza a dx por la expresin o!tenida en -(y adems se aplica

    la propiedad 1de los2.L, se o!tiene:

    $ $

    Eectuado el (D se obtiene una integral inmediata.Para su solucin !astacon aplicar laEcuacin 1.1. "s#:

    Devolviendo el (D, u$2x+, # se obtiene la respuesta -nal. Por tanto"

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#c
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    E(e')%o "

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin por -.

    Regla de integracin: Ecuacin 1.1

    Desarrollo:

    En atencin a la teor+a expuesta, construir la siguiente

    igualdad"

    u$ )x /1 -1 Debido a -1, la integral original se transorma,

    momentneamente en"

    $ -2

    (omo la integral a resolver no debe quedar en uncin de la

    variable original, se debe expresar adx,en uncin de duy

    para ello se"

    Deriva ambos miembros de 1'3 para obtener"

    du#8dx

    Divide la expresin anterior entre 8, obteni*ndose"

    -(

    %i en -2# se reemplaza a dx por la expresin o!tenida en -(y

    adems se aplica la propiedad 1de los 2.L, se o!tiene:

    $ $

    Eectuado el (D se obtiene una integral inmediata."plicando

    e/ponente raccionario y laEcuacin 1.1., se o!tiene:

    Devolviendo el (D, u$ )x /1# se obtiene la respuesta -nal. Por

    tanto"

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#b
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    E(e')%o *

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin por -.

    Regla de integracin:Ecuacin 1.(

    Desarrollo:

    En atencin a la teor+a expuesta, construir la siguiente igualdad"

    u$ 1/x -1

    Debido a -1, la integral original se transorma, momentneamente en"

    $ -2

    (omo la integral a resolver no debe quedar en uncin de la variable

    original, se debe reemplazar a dx,en uncin duy para ello se"

    Deriva ambos miembros de 1'3 para obtener"

    du#9'dx

    Divide la expresin anterior entre 9', obteni*ndose"

    9'du#dx -(

    %i en -2# se reemplaza a dx por la expresin o!tenida en -(y adems se aplica

    la propiedad 1de los2.L, se o!tiene:

    $ $

    Eectuado el (D se obtiene una integral inmediata .0ecuerde 'ue para su

    solucin !asta con aplicar la Ecuacin 1.(. "s#:

    Devolviendo el (D, u $ 1/x# se obtiene la respuesta -nal. Por tanto"

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#c
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    E(e')%o +

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin por -.

    Regla de integracin: Ecuacin 1.(

    Desarrollo:

    En atencin a la teor+a expuesta, construir la siguiente

    igualdad"

    u $ x2 -1

    Debido a -1, la integral original se transorma,

    momentneamente en"

    $ $ -2

    0bs!rvese la agrupacin de t!rminos# "ue se io en la 3ltima integral.

    (omo la integral a resolver no debe quedar en uncin de la

    variable original, se debe expresar axdx,en uncin duy para

    ello se"

    Deriva ambos miembros de 1'3 para obtener"

    du#0xdx

    Divide la expresin anterior entre 0, obteni*ndose"

    -(

    %i en -2# se reemplaza a xdx por la expresin o!tenida en -(y

    adems se aplica la propiedad 1de los 2.L, se o!tiene:

    $ $

    Eectuado el (D se obtiene una integral inmediata.0ecuerde

    'ue para su solucin !asta con aplicar la Ecuacin 1.(. "s#:

    Devolviendo el (D, u $ 1/x# se obtiene la respuesta -nal. Por

    tanto"

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#c
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    E(e')%o

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin por -.

    Regla de integracin: Ecuacin 1.1

    Desarrollo:

    En atencin a la teor+a expuesta,

    construir la siguiente igualdad"

    u$ t2 +1 -1

    Debido a -1, la integral original se

    transorma, momentneamente en"

    -2

    0bs!rvese la agrupacin de t!rminos# "ue se io en la 3ltima

    integral.

    (omo la integral a resolver no debequedar en uncin de la variable

    original, se debe expresar a tdt,en

    uncin duy para ello se"

    Deriva ambos miembros de 1'3 para

    obtener"

    du#0tdt

    Divide la expresin anterior entre 0,

    obteni*ndose"

    -(

    %i en -2# se reemplaza a tdt por la

    expresin o!tenida en -(y adems se aplica

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#c
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    la propiedad 1de los 2.L, se o!tiene:

    $ $

    Eectuado el (D se obtiene unaintegral inmediata.0ecuerde 'ue para su

    solucin !asta con aplicar la Ecuacin 1.1. "s#:

    Devolviendo el (D, u$ t2 +1 # se obtiene

    la respuesta -nal. Por tanto"

    E(e')%o

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin por cam!io de "aria!le.

    Regla de integracin: Ecuacin 1.1

    Desarrollo:

    En atencin a la teor+a expuesta,

    construir la siguiente igualdad"

    -1

    Debido a -1, la integral original se

    transorma, momentneamente en"

    -2

    0bs!rvese la agrupacin de t!rminos# "ue se io en la 3ltima

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#c
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    integral.

    (omo la integral a resolver no debe

    quedar en uncin de la variable

    original, se debe expresar a x0

    dx,enuncin de duy para ello se"

    Deriva ambos miembros de 1'3 para

    obtener"

    Divide la expresin anterior entre 0,

    obteni*ndose"

    -(

    %i en -2# se reemplaza a por la

    expresin o!tenida en -(y adems se aplica

    lapropiedad 1de los 2.L, se o!tiene:

    Eectuado el (D se obtiene una

    integral inmediata.Para su solucin !asta conaplicar e/ponente raccionario y la Ecuacin 1.1.

    "s#:

    Devolviendo el (D, u$ x(+1 # se obtiene

    la respuesta -nal. Por tanto"

    E(e')%o

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#c
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    Mtodo a emplear: Integracin por cam!io de "aria!le.

    Regla de integracin:Ecuacin 1.*

    Desarrollo:

    En atencin a la teor+a expuesta, construir la siguiente igualdad"

    u$ y*+1 -1

    Debido a -1, la integral original se transorma, momentneamente en"

    $ -2

    (omo la integral a resolver no debe quedar en uncin de la variable

    original, se debe expresar a y8d,en uncin de duy para ello se"

    Deriva ambos miembros de 1'3 para obtener" du#$ y8 dy

    Divide la expresin anterior entre $, obteni*ndose"

    -(

    %i en -2# se reemplaza a y)dypor la expresin o!tenida en -(y adems se

    aplica lapropiedad 1de los 2.L, se o!tiene:

    $ $

    Eectuado el (D se obtiene una integral inmediata.Para su solucin !asta

    con aplicar laEcuacin 1.*. 4s:

    $

    &evolviendo el '&(, u$ y*+1 # se obtiene la respuesta nal! )or

    tanto:

    E(e')%o /

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin por cam!io de "aria!le.

    Regla de integracin: Ecuacin 1.1

    Desarrollo:

    En atencin a la teor+a expuesta, construir la siguiente

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#c
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    igualdad"

    u$ x2+2x+* -1

    Debido a -1, la integral original se transorma,

    momentneamente en"

    $ $ -2

    0bs!rvese la agrupacin de t!rminos# "ue se io en la 3ltima integral.

    (omo la integral a resolver no debe quedar en uncin de la

    variable original, se debe expresar a 1x&'3dx,en uncin

    de duy para ello se"

    Deriva ambos miembros de -1para obtener"

    du$-2x+2 dx$2 -x+1 dx (El $ es actor comn)

    Divide la expresin anterior entre 0, obteni*ndose"

    -(

    %i en -2# se reemplaza a 1x&'3dx por la expresin o!tenida

    en -(y adems se aplica lapropiedad 1de los 2.L, se o!tiene:

    $

    Eectuado el (D se obtiene una integral inmediata .Para su

    solucin !asta con aplicar laEcuacin 1.1. "s#:

    Devolviendo el (D, u$ x2+2x+* # se obtiene la respuesta -nal.

    Por tanto"

    E(e')%o 0

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#c
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    24/40

    Mtodo a emplear: Integracin por cam!io de "aria!le.

    Regla de integracin:Ecuacin 1.*

    Desarrollo:

    En atencin a la teor+a expuesta, construir la

    siguiente igualdad"

    u$ x*+*x)+15x+12 -1

    Debido a -1, la integral original se transorma,

    momentneamente en"

    $

    $ -2

    0bs!rvese "ue en el numerador# se sac actor com3n -67 el (.

    (omo la integral a resolver no debe quedar enuncin de la variable x, se debe expresar

    a-x)+)x(+2dx,en uncin de duy para ello se"

    Deriva ambos miembros de -1para obtener"

    du $ -*x)+25x(+15dx# *-x)+)x(+2dx ("'u#, se sac el % como 2)

    Divide la expresin anterior entre $,

    obteni*ndose"

    -(

    %i en -2# se reemplaza a por la

    expresin o!tenida en -(y adems se aplica la propiedad 1de

    los 2.L, se o!tiene:

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#b
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    25/40

    Eectuado el (D se obtiene una integral

    inmediata.Para su solucin !asta con aplicar laEcuacin 1.*."s#:

    Devolviendo el (D, # se obtiene la

    respuesta -nal. Por tanto"

    E(e')%o 1

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin por cam!io de "aria!le.

    Regla de integracin: Ecuacin 1.*

    Desarrollo:

    En atencin a la teor+a expuesta, construir la siguiente

    igualdad"

    -1

    0bs!rvese "ue en este e'ercicio no es conveniente utiliar la letra %u& como

    variable auxiliar# debido a "ue la variable originalmente dada en la integral es

    precisamente u# ran por la cual# en este e'ercicio# se utilia %z& como variable

    auxiliar.

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#c
  • 7/24/2019 INTEGRACION INDEFINIDA_INMEDIATAS

    26/40

    Debido a -1, la integral original se transorma,

    momentneamente en"

    -2

    0bs!rvese "ue en el numerador# se sac actor com3n -67 el (.

    (omo la integral a resolver no debe quedar en uncin

    de la variable original, que en este caso es 5u6se debe

    expresar a ,en uncin de d*y para ello se"

    Deriva ambos miembros de -1para obtener"

    ("'u#, se sac el $ como 2)

    Divide la expresin anterior entre 0, obteni*ndose"

    -(

    %i en -2# se reemplaza a por la expresin o!tenida

    en -(y adems se aplica lapropiedad 1de los 2.L, se o!tiene:

    Eectuado el (D se obtiene una integral inmediata .Para

    su solucin !asta con aplicar laEcuacin 1.1."s#:

    Devolviendo el (D, # se obtiene la respuesta

    -nal. Por tanto"

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#c
  • 7/24/2019 INTEGRACION INDEFINIDA_INMEDIATAS

    27/40

    'on el o+eto que el lector verifique el aprendiza+e que * sore este

    segundo mtodo de integracin * ha adquirido, se presenta a

    continuacin e+ercicios propuestos y su respuesta, los cuales deen ser

    resueltos antes de empezar a estudiar el primo mtodo.

    Ejercicios Propuestos de Mtodo # 2

    1.

    $.

    3.

    4.

    %.

    5.

    *.

    6.

    7.

    18.

  • 7/24/2019 INTEGRACION INDEFINIDA_INMEDIATAS

    28/40

    1.".* Reso%&cin de integra%es )or )artes

    %e la frmula para la derivada del producto de dos

    funciones, se otiene el mtodo de integracin por partes. $i f y

    g son funciones diferenciales, entonces:

    Ahora, si se aplican integrales a cada miemro de esta

    ecuacin, se tiene que:

    5ntegrando, lo que es posile integrar, se otiene:

    La Ecuacin 456 se llama frmula para integracin por

    partes. 6recuentemente, se utiliza una epresin equivalente

    a 456, la cual se otiene al realizar los siguientes camios de

    variale:

    y

    Al hacer las derivadas de u y v, respectivamente, se

    otiene:

    y

    As& que la ecuacin 07/ se transforma en:

    0Ecuacin 1.6)

  • 7/24/2019 INTEGRACION INDEFINIDA_INMEDIATAS

    29/40

    La Ecuacin 1.6 epresa la integral en trminos de

    otra integral, , la cual por lo general, se resuelve m(s

    f(cilmente que la integral original.

    "ara aplicar la integracin por partes, es necesario elegir

    adecuadamente la parte del integrando que se va a tomar

    como &. Es importante resaltar que una vez hecha la eleccin

    de &, todo lo que queda dentro la integral es dv. "ara efectos de

    hacer la mencionada eleccin, es conveniente tener en cuenta

    los dos criterios siguientes:

    -. la parte que se iguala a dv dee ser f(cilmente

    integrale.

    . no dee ser m(s complicada que

    En la pr(ctica, el proceso de elegir una epresin para u y

    otra para dv no es siempre sencillo y no eiste una tcnica

    general para efectuar dicho proceso. $in emargo, en el

    desarrollo de la presente ora se har( uso de una

    8egla E#PIRICAde gran ayuda pero de car(cter NO

    GENERAL, denominadaI.L.A.T.E., para hacer la mencionadaeleccin.

    La #nica deficiencia de I.L.A.T.E., es que * en algunos

    casos * al hacer la eleccin de &, indicada por la mencionada

    regla, el proceso de desarrollo del e+ercicio puede entrar en un

    ciclo infinito, que no permite otener la solucin

    correspondiente. $i esto ocurre, se dee detener el proceso y

    hacer una eleccin contraria a la hecha originalmente.

    Las siglas de I.L.A.T.E., significan lo siguiente:

    I9 6unciones 5nversas.

    L 9 6unciones Logar&tmicas.

    A9 6unciones Algeraicas.

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    30/40

    T9 6unciones rigonomtricas.

    E9 6unciones Eponenciales.

    La regla I.L.A.T.E., se utiliza 7nica 8

    e9c%&siva'entepara realizar la mencionada eleccin, teniendoque recurrir a la ec&acin 1.y los mtodos ya epuestos,

    para resolver cualquier e+ercicio relativo al presente tpico. "or

    esta razn, es conveniente que el lector haya estudiado *

    detalladamente * los dos mtodos anteriores, puesto que en la

    solucin de los e+emplos de esta parte de la ora, no se incluye

    una eplicacin espec&fica de esos contenidos.

    "ara ilustrar como se usa I.L.A.T.E., se presenta la

    siguiente situacin:

    $upngase que piden resolver la siguiente integral:

    Obsrvese que el integrando est co!uesto !or dos

    "unciones# una Algebraica(x) $ otraExponencial(ex). %e

    buscan las iniciales A$ Een la !alabra !.".A..E.&oo en ella#

    le$endo de i'quierda a derec(a# a!arece !riero la letra A# se

    elige coo ula "unci)n Algebraica# es decir# u* x. +or lo tanto#

    lo que queda dentro de la integral es dv. ,s-

    A continuacin se presenta un con+unto de e+emplos, cuya

    funcin es introducir este tercer mtodo de integracin.

    E(e')%o 1

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin por #artes.

    Regla de integracin:Ecuacin 1.(y 1.,

    Desarrollo:

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#c
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    31/40

    Por la teor+a expuesta, conviene !acer las siguientes elecciones"

    u / -1 y -2

    Derivar ambos miembros de +1para obtener"

    du#dx

    plicar integrales a ambos miembros de +%,para obtener"

    -(

    :sando integracin directa en el t*rmino de la izquierda y el m*todo

    de (D, en el t*rmino de la derec!a de +-,para obtener"

    -)

    4eemplazar en la Ecuacin 1.,, cada uno de sus actores por las e/presiones

    o!tenidas en -1# -2 y-), para o!tener:

    9 -* Para resolver la ;ltima integral, se eect;a un (D y se obtiene una

    integral inmediata.Para su solucin, se aplica la Ecuacin 1.(. "s#:

    -,

    %ustituir -,en-*y ordenar el resultado usandoactorizacin. s+"

    9

    Por tanto, se concluye que:

    E(e')%o "

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin por #artes.

    Regla de integracin: Ecuacin 1.(y1.,

    Desarrollo:

    Por la teor+a expuesta, conviene !acer las siguienteselecciones"

    u / -1 y -2

    Derivar ambos miembros de +1para obtener"

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#c
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    32/40

    du#dx

    plicar integrales a ambos miembros de +%,para obtener"

    -(

    :sando integracin directa en el t*rmino de la izquierda y el

    m*todo de (D, en el t*rmino de la derec!a de +-,para

    obtener"

    -)

    4eemplazar en la Ecuacin 1.5, cada uno de sus actores por las

    e/presiones o!tenidas en -1# -2 y-), para o!tener:

    -*

    Para resolver la ;ltima integral, se eect;a un (D y seobtiene una integral inmediata.Para su solucin, se aplicala Ecuacin 1.(. "s#:

    -,

    %ustituir -,en-*y ordenar el resultado usandoactorizacin.s+"

    9 Por tanto, se concluye que:

    E(e')%o *

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin por #artes.

    Regla de integracin:Ecuacin 1.(y 1.,

    Desarrollo:

    Por la teor+a expuesta, conviene !acer las siguientes elecciones"

    -1 y -2

    Derivar ambos miembros de +1para obtener"

    du#9dx

    plicar integrales a ambos miembros de +%,para obtener"

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#c
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    -(

    :sando el m*todo de (D, integrar ambos miembros de +-,paraobtener"

    -)

    4eemplazar en la Ecuacin 1.5, cada uno de sus actores por las e/presiones o!tenidasen -1# -2 y-), para o!tener:

    9 -*

    Para resolver la ;ltima integral, se aplica laEcuacin 1.(. "s#:

    -,

    %ustituir -,en-*y ordenar el resultado usandoactorizacin. s+"

    : Por tanto, se concluye que:

    E(e')%o +

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin por #artes.

    Regla de integracin: Ecuacin 1.(y1.5

    Desarrollo:

    Por la teor+a expuesta, conviene !acer las siguientes

    elecciones"

    -1 y -2

    Derivar ambos miembros de +1para obtener"

    du#90dx

    plicar integrales a ambos miembros de +%,para obtener"

    -(

    :sando el m*todo de (D, integrar ambos miembros

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#c
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    de +-,para obtener"

    -)

    4eemplazar en la Ecuacin 1.5, cada uno de sus actores por las

    e/presiones o!tenidas en -1# -2 y-), para o!tener:

    : -*

    Para resolver la ;ltima integral, se eect;a un (D y se

    obtiene una integral inmediata.Para su solucin, se aplica

    la Ecuacin 1.(. "s#:

    -,

    %ustituir -,en-*y ordenar el resultado usandoactorizacin.

    s+"

    : Por tanto, se concluye que:

    E(e')%o ,

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin por #artes.

    Regla de integracin:Ecuacin 1.1y 1.,

    Desarrollo:

    Por la teor+a expuesta, conviene !acer las siguientes elecciones"

    -1 y -2

    Derivar ambos miembros de +1para obtener"

    plicar integrales a ambos miembros de +%,para obtener"

    -(

    :sar la Ecuacin 1.1para integrar ambos miembros de +-y obtener"

    -)

    4eemplazar en la Ecuacin 1.5, cada uno de sus actores por las e/presiones o!tenidas

    en -1# -2 y-), para o!tener:

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#c
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    9 -*

    Para resolver la ;ltima integral, se eect;a un (D y se obtiene una

    integral inmediata.Para su solucin, se aplica la Ecuacin 1.(. "s#:

    -,

    %ustituir -,en-*y ordenar el resultado usandoactorizacin. s+"

    9

    s+:

    E(e')%o Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin por #artes.

    Regla de integracin: Ecuacin 1.(y1.5

    Desarrollo:

    Por la teor+a expuesta, conviene !acer las siguientes

    elecciones"

    -1 y -2

    Derivar ambos miembros de +1para obtener"

    plicar integrales a ambos miembros de +%,para obtener"

    -(

    :sar la Ecuacin 1.1para integrar ambos miembros de +-y

    obtener"

    -)

    4eemplazar en la Ecuacin 1.5, cada uno de sus actores por las

    e/presiones o!tenidas en -1# -2 y-), para o!tener:

    9 -*

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#c
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    36/40

    Para resolver la ;ltima integral, se aplica la Ecuacin 1.1. "s#:

    -,

    %ustituir -,en-*y ordenar el resultado usandoactorizacin.

    s+"

    9

    Por tanto, se concluye que:

    E(e')%o

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin por #artes.

    Regla de integracin:Ecuacin 1.1y 1.5

    Desarrollo:

    Por la teor+a expuesta, conviene !acer las siguientes elecciones"

    u / -1 y -2

    Derivar ambos miembros de +1para obtener"

    du#dx

    plicar integrales a ambos miembros de +%,para obtener"

    -(

    :sando el m*todo de (D, integrar ambos miembros de +-,paraobtener"

    -)

    4eemplazar en la Ecuacin 1.5, cada uno de sus actores por las e/presiones o!tenidas

    en -1# -2 y-), para o!tener:

    = -*

    Para resolver la ;ltima integral, se eect;a un (D y se obtiene una

    integral inmediata.Para su solucin, se aplica la Ecuacin 1.1. "s#:

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#c
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    37/40

    -,

    %ustituir -,en-*y ordenar el resultado usandoactorizacin.

    (oncluy*ndose que"

    9

    E(e')%o /

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin por #artes.

    Regla de integracin: Ecuacin 1.1y1.5

    Desarrollo:

    Por la teor+a expuesta, conviene !acer las siguientes

    elecciones"

    -1 y -2

    Derivar ambos miembros de +1para obtener"

    du#dx

    plicar integrales a ambos miembros de +%,para obtener"

    -(

    :sando el m*todo de (D, integrar ambos miembros

    de +-,para obtener"

    -)

    4eemplazar en la Ecuacin 1.,, cada uno de sus actores por las

    e/presiones o!tenidas en -1# -2 y-), para o!tener:

    9 -*

    Para resolver la ;ltima integral, se eect;a un (D y se

    obtiene una integral inmediata.Para su solucin, se aplica

    la Ecuacin 1.1. "s#:

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#c
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    38/40

    -,

    %ustituir -,en-*y ordenar usandoactorizacin. s+, se

    concluye que"

    9

    E(e')%o 0

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin por #artes.

    Regla de integracin: Ecuacin 1.1y1.5

    Desarrollo:

    Por la teor+a expuesta, conviene !acer las siguientes

    elecciones"

    u / -1 y -2

    Derivar ambos miembros de +1para obtener"

    du#dx

    plicar integrales a ambos miembros de +%,para obtener"

    -(

    :sando el m*todo de (D, integrar ambos miembros

    de +-,para obtener"

    -)

    4eemplazar en la Ecuacin 1.5, cada uno de sus actores por las

    e/presiones o!tenidas en -1# -2 y-), para o!tener:

    9 -*

    Para resolver la ;ltima integral, se eect;a un (D y se

    obtiene una integral inmediata.Para su solucin, se aplica

    la Ecuacin 1.1. "s#:

    -,

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#c
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    39/40

    %ustituir -,en-*y ordenar usandoactorizacin. s+ se

    concluye que"

    9

    E(e')%o 1

    Resolver la siguiente integral:

    Solucin

    Mtodo a emplear: Integracin por #artes.

    Regla de integracin: Ecuacin 1.1y1.5

    Desarrollo:

    Por la teor+a expuesta, conviene !acer las siguientes

    elecciones"

    u / -1 y -2

    Derivar ambos miembros de +1para obtener"

    du#dx

    plicar integrales a ambos miembros de +%,para obtener"

    -(

    :sando el m*todo de (D, integrar ambos miembrosde +-,para obtener"

    -)

    4eemplazar en la Ecuacin 1.5, cada uno de sus actores por las

    e/presiones o!tenidas en -1# -2 y-), para o!tener:

    9 -*

    Para resolver la ;ltima integral, se eect;a un (D y se

    obtiene una integral inmediata.Para su solucin, se aplicala Ecuacin 1.1. "s#:

    -,

    %ustituir -,en-*y ordenar usandoactorizacin. s+ se

    concluye que"

    http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#b
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    40/40

    'on el o+eto que el lector verifique el aprendiza+e que * sore este

    tercer mtodo de integracin * ha adquirido, se presenta a continuacinuna serie de e+ercicios propuestos, los cuales deen ser resueltos antes

    de estudiar el primo mtodo.Ejercicios Propuestos de Mtodo # $

    1.

    $.

    3.

    4.

    %.

    5.

    *.

    6.

    7.

    -.