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Ejemplo No 4. un movimiento de una persona esta determinado por el siguiente gráfico unidimensional, en orden consecutivo de posición se realiza el movimiento así: ( x0, x1, x2, x3, x4, x5, etc.). X=m t=seg.
t0=0 t1=2 t6=17 t2=4 t5=14 t3=6 t4=11
X0=0 X1=4 X6=5 X2=11 X5=17 X3=21 X4=26
Grafica No 5. Posiciones diferentes del movimiento de la persona.
t(seg) 0 2 4 6 11 14 17
x(m) 0 4 11 21 26 17 5
T(seg)
X(m)
3 6 9 12 15 18
6
12
18
24OBSERVACIONES DE LA GRAFICA
1. Varios segmentos de rectas, entre tramo y tramo.
2. Cada tramo tiene diferente pendiente.
3. La pendiente es la velocidad, entonces el recorrido es a diferentes velocidades.
4. Algunos tramos el móvil se devuelve.
5. Hay velocidades positivas y negativas. (Pendientes)X0
X1
X2
X3
X4
X5
X6
Tabla No 5:
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Hallemos recorridos en cada tramo
01X 1X 0X 4 0 4m
12X 2X 1X 11 4 7m
23X 3X 2X 21 11 10m
34X 4X 3X 26 21 5m
45X 5X 4X 17 26 9m
56X 6X 5X 5 17 12m
01t 2s
12t 2s
23t 2s
34t 5s
45t 3s
56t 3s
Hallemos la rapidez en cada tramo
01V 01
01
t
X
s
m
2
4 segm2
12V 12
12
t
X
s
m
2
7 segm5.3
23V 23
23
t
X
s
m
2
10 segm5
34V 34
34
t
X
s
m
5
5 segm1
45V 45
45
t
X
s
m
3
9 segm3
56V 56
56
t
X
s
m
3
12 segm4
Incrementos de Tiempo
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01X
1X
0X
4 0 4m
12X
2X
1X
11 4 7m
23X
3X
2X
21 11 10m
34X
4X
3X
26 21 5m
45X
5X
4X
17 26 -9m
56X
6X
5X
5 17 -12m
Hallemos desplazamientos en cada tramo
Hallemos Velocidad media en cada tramo
01t 2s
12t 2s
23t 2s
34t 5s
45t 3s
56t 3s
Incrementos de Tiempos
01V
01
01
t
X
s
m
2
4 segm2
12V
12
12
t
X
s
m
2
7 segm5.3
23V
23
23
t
X
s
m
2
10 segm5
34V
34
34
t
X
s
m
5
5 segm1
45V
45
45
t
X
s
m
3
9 segm3
56V
56
56
t
X
s
m
3
12 segm4
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Grafica de velocidad – tiempo, se hace con La velocidad media.
Construyendo la tabla para cada tramo, tenemos:.
T(s) 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 11 11-14 14-17
v(m/s) 2 3.5 5 1 -3 -4
Grafica No 6. Velocidad media en los diferentes tramos de la persona.
T(s)
V(m/s)
2 4 6 8 10 12 14 16 18
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
Las áreas de los rectángulosA1
A2
A3
A4
A6
A5
=
=
=
=
=
=
b1xh1
b2xh2
b3xh3
b4xh4
b5xh5
b6xh6
=
=
=
=
=
=
2s.2m/s
2s.3.5m/s
5s.1m/s
2s.5m/s
3s.-4m/s
3s.-3m/s
=
=
=
=
=
=
4m
7m
10m
-9m
5m
-12m
-4
SUMA DE RECORRIDOS
SUMA DE DESPLAZAMIENTOS
4m + 7m + 10m + 5m + 9m + 12m
4m + 7m + 10m + 5m – 9m – 4m
47m 5m
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EJERCICIO No 4: La Tabla de datos siguiente da las diferentes posiciones de un móvil con relación al tiempo, en sus diferentes recorridos realizados.
T(s) 0 2 3 5 8 10 15 20
X(pul) 1 9 19 51 129 201 451 801
Tabla No 7. Datos del movimiento del móvil.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
180
360
540
720
t(Seg)
x(pul)
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Si analizamos la grafica x/t, observamos:
1. La grafica corresponde a una parábola
2. Su ecuación es de la forma y = ax2 + bx + c
3. Es una función cuadrática.
4. Hay que linealizar la gráfica.
5. Hallar la ecuación de la grafica linealizada
6. Construimos la nueva tabla de datos t2 – x
t2(seg2)
x(pul)
0
1
4
9
9
19
25
51
64
129
100
201
225
451
400
801
Tabla No 8. Nueva tabla linealizada de la 7.
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Grafica linealizada de la tabla anterior.
Grafica No 8. Datos del movimiento del móvil anterior.
40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
180
360
540
720
t2 (Seg)
x(pul)
x
2t
(225, 451)
(25, 51)
= 400
200
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Analizando la grafica obtenida de x – t2
1. Es una línea recta.
2. El corte con el eje x es 1.
La posición inicial es X0 = 1
Las coordenadas del corte son (0, 1)
3. La forma de la ecuación es x = mt2 + b.
4. Hallamos la pendiente de la recta
2t
x
12
22
12
tt
xx
m = = = 25225
51451
= 2200
400
Seg
pul
= 2
2seg
pul
5. La ecuación de la recta es x = 2t2 + 1
6. La ecuación del movimiento es x = 2t2 + 1
7. Probando la ecuación tenemos:
Si x = 2 pul X = 2(2)2 + 1 = 9 pul
Si x = 5 pul X = 2(5)2 + 1 = 51 pul
Si x = 7 pul X = 2(7)2 + 1 = 99 pul
Si x = 10pul X = 2(10)2 + 1 = 201 pul
Si x = 15 pul X = 2(15)2 + 1 = 451 pul
Si x = 25 pul X = 2(25)2 + 1 = 1251 pul
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EJERCICIO No 5. Un hombre camina hacia el oriente 10m en 5 seg., y luego camina 15 m hacia el norte en 3 seg.
X0 X1
Xf
x
10m
15m
El recorrido del móvil es:
X01 = X1 - X0 = 10m
X1f = Xf - X1 = 15mX0f = X01 + X1f = 25m
El tiempo total invertido en el recorrido:
t01 = t1 - t0 = 5s
t1f = tf - t1 = 3st0f = t01 + t1f = 8s
La velocidad o rapidez del mto
t
t
t
V
seg
m
8
25
seg
mVt = = = 3.125
Nos indica que recorre 3.125 m por cada seg.
El desplazamiento
x = 01x
+ fx1
Triangulo rectángulo
x =
21
201 fxx
= 22 )15()10(
= 18.02m
La velocidad media
mV
f
f
t
X
0
0
seg
m
8
02.18seg
m= = = 2.25
Significa que el móvil recorre
2.25 m cada seg.
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ACELERACION DE UNA PARTICULA
ACELERACION MEDIA.
a1. Variación o cambio de la velocidad media en el tiempo dado.
2. Nos indica como cambia la velocidad en todo su recorrido.
3. En una medida vectorial.
t
v
0
0
tt
VV
f
f
4. El vector aceleración tiene la misma dirección que la velocidad media.
a. Magnitud.
b. Dirección.
c. Sentido.
Tamaño.
Angulo
Signo
Si Vf > Vo. Si la velocidad va aumentando. 1. POSITIVA:
Si Vf < Vo. Si la velocidad va disminuyendo. 2. NEGATIVA:
Ej. Sobre una carretera en línea recta un móvil o un auto parte del reposo con una aceleración de 15 , durante 5 seg.
2segm
Grafica unidimensional.
0 1 2 3 4 5
0 15 30 45 60 75)(
2seg
mmV
t )(Seg
ACELERADO
DESACELERADO
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Construyendo la tabla de velocidad tiempo del movimiento.
t(seg) 0 1 2 3 4 5 6
V 0 15 30 45 60 75 90segm
Tabla No 10. Datos de Velocidad - Tiempo del auto
Construyendo la gráfica de velocidad tiempo del movimiento.
1 2 3 4 5
20
40
60
80
t (Seg)
(5, 75)
(1, 15)
)( segmV
90
v
t
1575
15
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ANÁLISIS DE LLA GRAFICA
1. Es una gráfica de velocidad - tiempo
2. Es una línea recta
3. Su pendiente es POSITIVA.
4. La pendiente es la aceleración.
1. La aceleración es POSITIVA
2. El movimiento es ACELERADO
5. El valor de la pendiente = ACCELERACION
m t
v
1575 15
segm60
seg4 215
segm
6. La ecuación de la recta será de la forma:
1. V = mt + b
2. m = a = 15
3. Corte con el eje v, es b = 0
4. La ecuación es v = 15 t + 0
tv 15
7. Si probamos la ecuación tenemos, para:
segt 1 v 15 )1( 15 segm
segt 2 v 15 )2( 30 segm
segt 3 v 15 )3( 45 segm
segt 4 v 15 )4( 60 segm
segt 5 v 15 )5( 75 segm
8. Para calcular el recorrido del auto en los 5 seg
Área bajo la curva en la grafica de v – t.
5 )(st
75
)( smv
A 2
.hb 2
)75)(5( seegmSeg m5.187
Grafica No 12. Distancia - Tiempo
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Ej. 2. Un móvil viene sobre una carretera con una velocidad de 60 m/seg y por acción de los frenos, empieza a mermar su velocidad a razón de 6 m/seg2, hasta detenerse completamente.
0t
sm60
s0
1t 2t 3t 4t 5t 6t 7t 8t 9t ft
s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10
sm54 s
m48 sm42
sm36 s
m30 sm24 s
m18 sm12 s
m6 sm0
0v 1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 9v fv
t(seg) 0 1 2 3 4 5 6
v 60 54 48 42 36 30 24segm
87 9
18 12 6 0
10
Organizar la tabla de la gráfica unidimensional
Observaciones a la tabla
Tabla No 13. Datos gráfica anterior
1. La velocidad va mermando cada seg en 6 unidades
2. La velocidad final es cero El móvil llega al reposo
3. La velocidad disminuye en el mismo valor de la aceleración Es un mto DESACELERADO
4. La aceleración debe ser NEGATIVA
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Construyendo la grafica de Velocidad - Tiempo
)(segt
)( segmv
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
Análisis de gráfica
1. Es una línea recta.
2. Punto de corte con el eje v es 60.
La velocidad inicial es 60
3. La forma de la ecuación es v = mt + b.
4. La pendiente es la aceleración.
m t
v
(2, 48)
(8, 12)
12
12
tt
vv
82
1248
6
36
26
segmv
t
5. La ecuación será.
V = - 6t + 60.
Grafica No 13. Velocidad - Tiempo
Si t=10. V = -(6)(10) + 60. 0 2seg
m
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