Gustavo  Narez  MAE  3306-­‐001  Dr.  Chudoba  Jan.  27,  2012        Problem  1  An  airfoil  has  section  lift,  drag,  and  quarter-­‐chord  moment  coefficients  

given  by  the  following  equations:    

𝐶! = 5.0𝛼 + 0.3                𝐶! = 0.2𝛼! + 0.004              𝐶!!/! = −0.04− 0.01𝛼    

where  𝛼  is  the  angle  of  attack  in  the  radians.  Find  the  center  of  pressure  and  the  aerodynamic  center  of  the  airfoil  for  angles  of  attack  of  -­‐5,  0,  5  and  10  degrees.      

Solution.    

  !!"!= 0.25−

 !!!!

!!= 0.25−

 !!!!

!! !"#!!!! !"#!  

 

= 0.25−−0.04− 0.01𝛼

5.0𝛼 + 0.3 cos𝛼 + (0.2𝛼! + 0.004) sin𝛼  

 𝛼(deg)   𝛼 𝑟𝑎𝑑   𝑥!"

𝑐  

-­‐5   -­‐0.0873   -­‐0.034261  0   0   0.3833333  5   0.0873   0.301885  10   0.1745   0.278507  

 

𝑥!"𝑐 = 0.25−

 𝐶!!!,!

𝐶!,!= 0.25−

 𝐶!!!,!

(𝐶! ,𝛼 + 𝐶!)cos𝛼 − (𝐶! − 𝐶!,!) sin𝛼  

 𝐶!!

!,!= −0.01                      𝐶!,! = 5.0                            𝐶!,! = 0.4𝛼  

 

= 0.25−−0.01

(5+ 0.2𝛼! + 0.004)cos𝛼 − (5.0𝛼 + 0.3− 0.4𝛼) sin𝛼  

 𝛼(deg)   𝛼 𝑟𝑎𝑑   𝑥!!

𝑐  

-­‐5   -­‐0.0873   0.2520  0   0   0.2520  5   0.0873   0.2520  10   0.1745   0.2521  

       

Gustavo  Narez  MAE  3306-­‐001  Dr.  Chudoba  Jan.  27,  2012          Problem  2  Compute  the  absolute  temperature,  pressure,  density,  and  speed  of  sound  for  the  standard  atmosphere  defined  in  table  1.2.1  at  a  geometric  altitude  of  35,000  meters.    Solution    

𝑍 =𝑅!𝐻𝑅! + 𝐻

=6,356,766𝑚   35,000𝑚6,356,766𝑚 + 35,000𝑚

= 34,808𝑚  

 𝑍! = 11,000𝑚  𝑇! = 288.15  𝐾              𝑇!! = −6.5   !

!"  

 𝑇! = 𝑇! + 𝑇!! 𝑍! − 𝑍! = 288.15  𝐾 − 6.5 11 − 0 = 216.65𝐾    

𝑝! = 𝑝!𝑇!𝑇!

!!!!!!!

= 101,325  𝑁 𝑚!216.650𝐾288.150𝐾

−9.806645  𝑚 𝑠2287.05  𝑚2 𝑠2•𝐾(−0.00065  𝐾 𝑚)

= 22,632  𝑁 𝑚!  

 𝑍! = 20,000  𝑚    𝑇! = 216.650  𝐾                  𝑇!! = 0.0  𝐾/𝑘𝑚    𝑇! = 𝑇! + 𝑇!! 𝑍! − 𝑍! = 216.650  𝐾    

𝑝! = 𝑝!  𝑒!!! !!!!!

!!! =22,632  𝑁 𝑚!  𝑒𝑥𝑝 −9.806645  𝑚 𝑠2   20,000−11,000 𝑚287.05  𝑚2 𝑠2•𝐾    216.650𝐾) = 5,474.9  𝑁/𝑚2  

 𝑍! = 32,000𝑚    𝑇! = 216.650  𝐾              𝑇!! = 1.0  𝐾/𝑚    

𝑇! = 𝑇! + 𝑇!! 𝑍! − 𝑍! = 216.650  𝐾 + 1.0𝐾𝑘𝑚

32.000 − 20.000 𝑘𝑚 =  228.65  𝐾    

𝑝! = 𝑝!𝑇!𝑇!

!!!!!!!

= 868.02  𝑁/𝑚!  

 𝑍! = 34,808𝑚    

𝑇! =  228.65            𝑇!! = 2.8𝐾𝑘𝑚

 

   

Gustavo  Narez  MAE  3306-­‐001  Dr.  Chudoba  Jan.  27,  2012      𝑇 = 𝑇! + 𝑇!! 𝑍 − 𝑍! = 228.65 + 2.8

𝐾𝑘𝑚

  34.808 − 32.000 𝑘𝑚 = 236.51  𝐾    

𝑝 = 𝑝!𝑇𝑇!

!!!!!!!

= 868.02𝑁𝑚!  

235.51  𝐾  228.65  𝐾

!!!!!!!

= 605.19  𝑁/𝑚!  

 

𝜌 =𝑃𝑅𝑇

=605.19  𝑁/𝑚!

287.05𝑚!/𝑠! • 𝐾(  236.51  𝐾)= 0.00891  𝑘𝑔/𝑚!  

 𝑎 = 𝛾𝑅𝑇 = 1.4 • 287.0528  𝑚!/𝑠! • 𝐾(236.51) = 308.297  𝑚/𝑠        

Gustavo  Narez  MAE  3306-­‐001  Dr.  Chudoba  Jan.  27,  2012      Problem  3  Compute  the  absolute  temperature,  pressure,  density,  and  speed  of  sound,  in  English  units,  for  the  standard  atmosphere  that  is  defined  in  table  1.2.1  at  a  geometric  altitude  of  95,000  ft.    Solution    𝐻 = 95,000  𝑓𝑡   . 3048

𝑚𝑓𝑡

= 28,956  𝑚  

𝑍! = 11,000  𝑚    

𝑍 =𝑅!𝐻𝑅! + 𝐻

=6,356,766𝑚   28,956  𝑚6,356,766𝑚 + 28,956  𝑚

= 34,808𝑚  

 𝑍! = 11,000𝑚  𝑇! = 288.15  𝐾              𝑇!! = −6.5   !

!"  

 𝑇! = 𝑇! + 𝑇!! 𝑍! − 𝑍! = 288.15  𝐾 − 6.5 11 − 0 = 216.65𝐾    

𝑝! = 𝑝!𝑇!𝑇!

!!!!!!!

= 101,325  𝑁 𝑚!216.650𝐾288.150𝐾

!!.!"##$%  ! !!!"#.!"  !! !!•!(!!.!!!"#  ! !)

= 22,632  𝑁 𝑚!  

 𝑍! = 20,000  𝑚    𝑇! = 216.650  𝐾                  𝑇!! = 0.0  𝐾/𝑘𝑚    𝑇! = 𝑇! + 𝑇!! 𝑍! − 𝑍! = 216.650  𝐾    

𝑝! = 𝑝!  𝑒!!! !!!!!

!!! =22,632  𝑁 𝑚!  𝑒𝑥𝑝 !!.!"##$%  ! !!   !",!!!!!!,!!! !!"#.!"  !! !!•!    !"#.!"#!)

= 5,474.9  𝑁/𝑚!    𝑍! = 28,956𝑚    𝑇! = 216.650  𝐾              𝑇!! = 1.0  𝐾/𝑚    

𝑇 = 𝑇! + 𝑇!! 𝑍! − 𝑍! = 216.650  𝐾 + 1.0𝐾𝑘𝑚

28.956 − 20.000 𝑘𝑚 =  224.65  𝐾  

 

𝑝 = 𝑝!𝑇!𝑇!

!!!!!!!

= 1,586.27  𝑁/𝑚!  

 

𝑇 = 224.65  𝐾 ∗95°𝑅𝐾

= 404.37  °𝑅  

𝑝 = 1,586.27  𝑁/𝑚! 0.02088543  𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡!

𝑁𝑚! = 33.13

𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡!

= 0.230  𝑝𝑠𝑖  

Gustavo  Narez  MAE  3306-­‐001  Dr.  Chudoba  Jan.  27,  2012    

𝜌 =𝑃𝑅𝑇

=1,586.27 𝑁

𝑚!

287.05  𝑚! 𝑠! • 𝐾     224.65  𝐾= 0.0246

𝑘𝑔𝑚!   0.001940320

𝑠𝑙𝑢𝑔𝑓𝑡!𝑘𝑔𝑚!

= 0.000047729𝑠𝑙𝑢𝑔𝑓𝑡!

 

 

𝑎 = 𝛾𝑅𝑇 = 1.4 • 287.0528  𝑚!/𝑠! • 𝐾(224.65  𝐾) = 300.468𝑚𝑠  

10.3048  

𝑓𝑡𝑚

= 985.79𝑓𝑡𝑠