TELAVIV UNIVERSITYRAYMOND AND BEVERLY SACKLER FACULTY OF EXACT SCIENCES
SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES
âáéáà-ìú úèéñøáéðåàøì÷àñ éìøááå ãðåîééø ù"ò íé÷éåãî íéòãîì äèìå÷ôää÷éèîúîä éòãîì øôñä úéá
äàåìâ úøåúá íéàùåð
øåòù éëøòî
ó"ùú
éãé ìò êøòð
ïøä ïã
27.1.2020 :ïåøçà ïåëãò
úöìîåî úåøôñ
• M. Fried, M. Jarden, Field Arithmetic (3rd edition), Ergebnisse der Mathematik und
ihrer Grenzgebiete 11, Springer 2008
• M. Jarden, Algebraic Patching, Springer Monographs in Mathematics, Springer 2011
•H. Volklein, Groups as Galois groups; an introduction, Cambridge Studies in Advanced
Mathematics 53, Cambridge University Press 1996
• L. Ribes, Introduction to Profinite Groups and Galois Cohomology, Queen’s Univer-
sity, Queen’s papers in pure and applied Mathematics 24, Kingston, 1970
• L. Ribes, P. Zalesskii, Profinite Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Gren-
zgebiete 40, 2nd edition, Springer 2010
1
ïøåì éøåèå úå÷æç éøåè .1
øéãâð .äãù K éäéå äãéçé íò éáéèèåîå÷ âåç R éäé
,R[[t]] = ∞∑i=0
aiti| ai ∈ R
.R((t)) =
∞∑i=N
aiti| N ∈ Z, ai ∈ R
úåàáä úåìåòôì ñçéá , äãéçé íò íééáéèèåîå÷ íéâåç íäéðù .R ìòî ïøåì éøåè âåçå R ìòî úå÷æç éøåè âåç(∑
i
aiti)+(∑
i
biti)=
∑i
(ai + bi)ti
(∑i
aiti)(∑
j
bjtj)=
∑k
cktk
.k ìëì ,ck =∑i+j=k aibj ∈ R øùàá
.äãù àåä K((t)) æà ,äãù K íà :1.1 äðòè
æà .aN = 0 úåéììëä úìáâä éìá .K((t))-á éëôåä ùé 0 = f =∑∞i=N ait
i ìëìù çéëåäì êéøö :äçëåä
f = æà .(aN tN )−1f -á f úà óéìçð úøçà ,a0 = 1-å N = 0 úåéììëä úìáâä éìá ïëì .êéôä aN t
N
a0b0 = 1 ,øîåìë ,fg = 1-ù êë g =∑∞i=0 bit
i ∈ K[[t]] àåöîì éã úòë .a0 = 1 ,∑∞i=0 ait
i ∈ K[[t]]
.bk = −akb0 − ak−1b1 − . . .− a1bk−1 äéö÷åãðéàáå ,b0 = 1 øéãâð .k > 0 ìëì∑i+j=k aibj = 0-å
.äãù K éäéå äãéçé íò éáéèèåîå÷ âåç R éäé :1.2 äøòä
.R ⊆ R[t] ⊆ R[[t]] ⊆ R((t)) (à)
.K[[t]] ìù úåðîä äãù àåä K((t)) (á)
.K(t) ⊆ K((t)) (â)
åäæ .∑∞i=0 ait
i 7→ a0 éãé ìà äðåúðä R[[t]] → R ä÷úòä àéä f 7→ f(0) ñôà úáöä :1.3 äøãâä
.íéâåç íæéôøåîåîåä
íà :R[[t]][X] → R[X] íéîåðéìåôä éâåç ìù F (X) 7→ F0(X) íæéôøåîåîåäì äúåà áéçøð
.F0(X) =∑nk=0 fk(0)X
k æà ,fk ∈ R[[t]] øùàá F (X) =∑nk=0 fkX
k
g, h ∈ K[X] øùàá ,F0 = gh çéðð .ï÷åúî F ∈ K[[t]][X] éäéå äãùK éäé :(Hensel ìù äîìä) 1.4 èôùî
,ïë ìò øúé .G0 = g,H0 = h-å íéð÷åúî G,H ∈ K[[t]][X] øùàá F = GH æà .íéøæå íéð÷åúî
.degH = deg h-å degG = deg g
.r = deg g, s = deg h åéäéå n = degF = degF0 éäé :äçëåä
2
òáåð F = GH êåúî ìáà .degG ≥ r,degH ≥ s æà ,G0 = g,H0 = h-ù êë íéð÷åúîG,H íà
.degG = r,degH = s çøëäá ïëì ,degG+ degH = n = r + s
ìëì ain = 0-å a0n = 1 ,ï÷åúî F -ù ïååéë .aik ∈ K øùàá ,F =∑nk=0(
∑∞i=0 aikt
i)Xk áåúëð
degFi < n-å degF0 = n æà .i ìëì Fi =∑nk=0 aikX
k øùàá ,F =∑∞i=0 Fit
i áåúëì øùôà .i > 0
íéé÷úîù êë ,Gi,Hi ∈ K[X] øùàá ,H =∑∞i=0Hit
i ,G =∑∞i=0Git
i àåöîì éã .i > 0 ìëì
,øîåìë ,F = GH-å (íéð÷åúî G,H ïëìå) i > 0 ìëì degGi < r, degHi < s ,G0 = g,H0 = h
.k ≥ 0 ìëì Fk =∑i+j=kGiHj
.k ìò äéö÷åãðéàá àéä Gk,Hk ìù äéðáä
.F0 = G0H0 íéîéé÷îå úåðåëðä úåìòîäî íä ,íéðåúð øáë G0,H0 :k = 0 øåáò
íéé÷úîù êë ,degGk < r, degHk < s úåìòîî Gk,Hk àåöîì êéøö .k − 1 øåáò úåðåëð çéðð
.gHK + hGk = Fk −k−1∑i=1
GiHk−i =: U
ïàëî .1 = gh + hg-ù êë g, h ∈ K[X] ùé ,íéøæ g, h-ù ïååéë .degU < r + s = n-ù áì íéùð
.Hk = hU ,Gk = gU øùàá ,U = gHk + hGk
,degGk < r ïëì .deg(hGk) = deg(U − gHk) < n ïëìå ,deg gHk < n æà ,degHk < s íà
.åðîééñå
ïúåð úéøàù íò ÷åìéç ,àì íà
Hk = hQ+ Hk, Q, Hk ∈ K[X], deg Hk < deg h < s
æà
,U = ghQ+ gHk + hGk = gHk + h(gQ+Gk) = gHk + hGk
.deg Gk < r ,ìéì øåîàä éôì ,ïëì .deg Hk < s ,øåîàë .Gk = gQ+Gk øùàá
êë α ∈ K ùøåù ùé ,F0 ∈ K[X] ,åìù ñôàá äáöäìù çéðð .ï÷åúî F ∈ K[[t]][X] éäéå äãù K éäé :1.5 ìéâøú
.g(0) = α íéé÷îù g(t) ∈ K[[t]] ùøåù ùé F íåðéìåôìù çëåä .F ′0(α) = 0-ù
êë ,degF = n ≥ 2 ,ï÷åúî F (X) ∈ K[[t]][X] éäé .charK = 0 ,úéøáâìà øåâñ äãù K éäé :1.6 äð÷ñî
,F = GH æà .0 íìåë àì a0, . . . , an−2 ∈ K -å ,n ≥ 2 øùàá ,F0 = Xn + an−2Xn−2 + . . .+ a0 -ù
.0 < degG, degH < n ,íéð÷åúî G,H ∈ K[[t]][X] øùàá
øùàá F0 = gh æà ,íéååù íìåë àì α1, . . . , αn íà .F0 =∏ni=1(X − αi) ïëì ,úéøáâìà øåâñ K :äçëåä
.ù÷åáî ÷åøéô ùé ìæðä úîì éôì .íéð÷åúîå íéøæ g, h ∈ K[X]
3
éôì .F0 = (X − α1)n = Xn − nα1X
n−1 + . . . + (−1)nαn1 ïëìå ,α1 = . . . = αn úøçà
.äøéúñ ,F0 = Xn ïëìå ,α1 = 0 ïëì .nα1 = 0 äçðää
æà .e ∈ N éäé
1
eZ = n
e| n ∈ Z
äöåá÷ä .Z-ì úéôøåîåæéà íâ ìáà ,Z úà äìéëî ,Q ìù úéøåáéç äøåáç úú àéä
Λe := K((t1e )) =
∞∑i=N
aitie | N ∈ Z, ai ∈ K
íéé÷úî .K((t
1e )) ∼= K((t)) íâ ìáà ,K((t)) ⊆ K((t
1e )) ,äãù àåä (úåøåøáä úåìåòôä íò)
.Λ := K((t)) =∑
i
aitie ∈ Λe| e ∤ i ìëì ai = 0
g -ì ùé n ∈ N ìëì æà .g(0) = 0-ù êë g ∈ K[[t]] éäé .charK = 0 ,úéøáâìà øåâñ äãù K éäé :1.7 ìéâøú
.K[[t]]-á é-n ùøåù
úøåáç .τ = t1e éãé ìò úøöåð ,e äìòîî äàåìâ úáçøä Λe/Λ æà .ζe éáéèéîéøô äãéçé ùøåù ìéëî K -ù çéðð :1.8 äîì
.ωe(τ) = τζe èøôá .∑i ait
ie 7→
∑i aiζ
iet
ie :êë øãâåîù ωe éãé ìò úøöåð ,úéìâòî äìù äàåìâ
.τ = t1e ïîñð :äçëåä
äãéçé äâöä ùé i ∈ Z ìëì .f =∑i aiτ
i ∈ Λe éäé ,ïëà .Λe/Λ ìù ñéñá 1, τ, . . . , τe−1 :äðòè
ïëì .e, j ∈ Z ,0 ≤ k < e øùàá ,i = ej + k
,f =
e−1∑k=0
∑j
aej+kτej+k =
e−1∑k=0
(∑j
aej+ktj)τk
.äãéçé åæ äâöäù úåàøì ì÷ .Λ ìòî 1, τ, . . . , τe−1 ìù éøàðéì óåøéö f ïëì .k ìëì∑j aej+kt
j ∈ Λ øùàá
øîå÷ úøåúî .irr(τ,Λ) = Xe − t ïëì .τe = t ∈ Λ øùàë ,Λe = Λ(τ)-å ,e äìòîî Λe/Λ ,ïë íà
æà ìáà .ωe(τ) = τζe øùàá ,Gal(Λe/Λ) = ⟨ωe⟩ ,úéìâòî äàåìâ Λe/Λ-ù òåãé
ωe
(∑i
aiτi)= ωe
( e−1∑k=0
(∑j
aej+ktj)τk
)=
e−1∑k=0
(∑j
aej+ktj)(τζe)
k =
=e−1∑k=0
(∑j
aej+kζeje τ
ej)(ζke τ
k) =∑i
aiζieτi
íà .e ∈ N ìëì ,éáéèéîéøô é-e äãéçé ùøåù ùé K-á æà .úéøáâìà øåâñ K-å charK = 0 çéðð
êë e ùé e1, e2 ìëì éë ,äãù åäæ ,ïë ìò øúé .øãâåî Λ :=∪e∈N Λe ïëì .éòáè ïôåàá Λd ⊆ Λe æà d|e
.Λe1 ,Λe2 ⊆ Λe-ù
4
.∆ = Λe æà .e äìòîî Λ ìù äáçøä ∆ ⊆ Λ éäú :1.9 äð÷ñî
ìáà .Λe ⊆ Λf ïëì ,e = [∆ : Λ]|[Λf : Λ] = f æà .∆ ⊆ Λf -ù êë f ∈ N ùé Λ ìù äøãâää éôì :äçëåä
.∆ = Λe ïàëî .Λ ìòî e äìòîî ãéçé íééðéá äãù äì ùé ïëìå f äìòîî úéìâòî äáçøä Λf/Λ
.Λ ìù éøáâìà øÛâñ àåä Λ æà .úéøáâìà øåâñ K -å charK = 0 çéðð :1.10 èôùî
çéëåäì éã ,èôùîä úà çéëåäì éãë :äçëåä
.Λ-á ùøåù ùé 1 ≤ äìòîî F ∈ Λ[X] ìëì :äðòè
éäé .Λ ìòî éøáâìà α æà .α ∈ Ω éäé ,êôéäì .Λ ⊆ Ω æà Λ ìù éøáâìà øÛâñ Ω éäé .úéøáâìà Λ/Λ ,ïëà
.Λ = Ω ïëì .α ∈ Λ íâ ïëì ,úéìîøåð Λ/Λ ìáà .Λ-á ùøåù åì ùé äðòèä éôì F = irr(α,Λ)
.äøåøá äðòèä n = 1 øåáò .n = degF ìò äéö÷åãðéàá :äðòè úçëåä
úìáâä éìá .λn = 0-å λi ∈ Λ øùàá ,F (X) = λnXn + λn−1X
n−1 + . . .+ λ0 æà .n > 1 çéðð
.÷éôñî ìåãâ N ∈ N øùàá tN -á F úà ìéôëð úøçà ,i ìëì λi ∈ K[[t]] úåéììëä
,ïëà .λn = 1 úåéììëä úìáâä éìá
,λn−1n F (X) = (λnX)n + λn−1(λnX)n−1 + . . .+ λn−2
n λ1(λnX) + λn−1n λ0 = G(λnX)
G(X)-ì íà .ï÷åúî G(X) = Xn + λn−1Xn−1 + . . .+ λn−2
n λ1X + λn−1n λ0 ∈ K[[t]][X] øùàá
. αλn∈ Λ ùøåù ùé F (X)-ì æà α ∈ Λ ùøåù ùé
,ï÷åúî G ∈ K[[t]][X] æà .G(X) = F (X − λn−1
n ) éäé ,ïëà .λn−1 = 0 úåéììëä úìáâä éìá
(n− 1 > äìòîî íéîåðåî úèîùäá) ìáà .Λ-á ùøåù ùé F -ì íà ÷øå íà Λ-á ùøåù åì ùéå ,n äìòîî
G(X) = (X − λn−1
n)n + λn−1(X −
λn−1
n)n−1 + . . . =
= (Xn − nλn−1
nXn−1 + . . .) + λn−1(X
n−1 + . . .) + . . . = Xn + 0Xn−1 + . . .
ùøåù åì ùé äéö÷åãðéàä úçðä éôì ,ïëìå ,Λ ìòî ÷øôúî F (X) ,1.6 äð÷ñî éôì æà , F0(X) = Xn íà
.F0(X) = Xn éë çéðð ïëì .Λ-á
aNj j = 0 øùàá ,λj =∑∞i=Nj
aijti ,j ∈ J ìëì æà .J = 0 ≤ j ≤ n − 2| λj = 0 éäú
êë ùøåôî ïôåàá áåúëì øùôà F úà .Nj > 0-å
.F (X) =∑j∈J
( ∞∑i=Nj
aijti)Xj +Xn
.Λ-á 0 ùøåù åì ùéå F (X) = Xn æà J = ∅ íà
æà .d, e ∈ N øùàá de = minj∈J
Nj
n−j > 0 éäé .J = ∅ çéðð
5
.j′ åúåà ïîñð ;ïåéååù ùé åøåáò j ∈ J ùéå j ∈ J ìëì d(n− j) ≤ eNj (à)
øéãâð .τ = t1e ∈ Λ éäé
.F ∗(X) = τ−dnF (τdX) =∑j∈J
( ∞∑i=Nj
aijτ−dn(τe)i
)τdjXj + τ−dnτdnXn =
=∑j∈J
( ∞∑i=Nj
aijτei−d(n−j))Xj +Xn
.aNj′ j′ = 0 àåä F ∗
0 -á Xj′ ìù íã÷îä éë ,F ∗0 (X) = Xn-å F ∗(X) ∈ K[[τ ]][X] ,(à) éôì
ùéù ììâá) äéö÷åãðéàä úçðä éôì .F ∗ = G∗ · H∗ ,øîàð ,K[[τ ]] ìòî ÷øôúî F ∗ ,1.6 äð÷ñî éôì
äáçøä éäùåæéàá øîåìë ,K((τ)) ìù éøáâìà øåâñá ùøåù H∗-ì ùé (K[[τ ]] ∼= K[[t]] íæéôøåîåæéà
ùøåù ùé F -ì íâù ïàëî .Λ-á ùøåù ùé F ∗-ì íâ ïëì .K((τ)) ìù K((τ1f )) = K((t
1ef )) ⊆ Λ
.Λ-á
.e ìëì ω|Λe= ωe -ù êë ω ∈ Gal(Λ/Λ) ùé ,øîåìë ,Gal(Λ/Λ) ∼= Z-å ,äàåìâ úáçøä Λ/Λ :1.11 èôùî
.Λ ìù äàåìâ úáçøä àéä íâ ,Λ ìù äàåìâ úåáçøä ìù óåøéö àéä Λ-ù ïååéë :äçëåä
íà ,ìùîì) .e1, e2 ∈ N ìëì ζe1e1e2 = ζe2 -ù óë ζee∈N íééáéèéîéøô äãéçé éùøåù úëøòî øçáð
(.e ìëì ζe = exp( 2π√−1e ) ç÷ð ,K = C
ïàëîå ,e = [Λe : Λ]|[Λf : Λ] = f ,ïëà .ωf |Λe= ωe æà Λe ⊆ Λf íà ,åæ äøéçáá
.ωf (t1e ) = ωf
((t
1f )
fe
)=
(ωf (t
1f )) f
e = (ζf t1f )
fe = (ζf )
fe t(
1f )
fe = ζet
1e = ω(t
1e )
x ∈ Λe′ íâå x ∈ Λe íà :äáåè äøãâä éäåæ .x ∈ Λe íà ,ω(x) = ωe(x) éãé ìò ω: Λ → Λ øéãâð
.ωe(x) = ωf (x) = ωe′(x) úîãå÷ä ä÷ñôä éôì .f = ee′ øùàá ,x ∈ Λf æà
.ìòå éëøò-ãç-ãç ,íæéôøåîåîåä ω-ù úåàøì ì÷
-á ùøåù ïéà F (X) = Xp − X − t−1 ∈ Λ[X] íåðéìåôì æà ,charK = p > 0 íà :1.12 ìéâøú
.Λ ìù éøáâìàä åà ãéøôä øåâñä åðéà Λ ,èøôá .Λ =∪eK((t
1e ))
úéìâòî (äãéøô èøôáå) äàåìâ úáçøä øöåéù åà Λ ìòî ìöôúîù åà äæë íåðéìåô ,øééøù-ïéèøà úøåú éôì :äçëåä
.Λ-á ùøåù ïéà F -ìù çéëåäì éã ïëì .p äìòîî
àåä F ìù ùøåù æà .äæë øúåéá ïè÷ e ç÷éð .τ = t1e øùàá ,Λe = K((τ))-á ùøåù åì ùé æà .ùéù çéðð
äøåöäî
.f(τ) =∞∑i=N
aiτi, aN = 0
6
ïëìå ,(f(τ))p =∑∞i=N a
pi τpi ,(charK = p-ù ïååéë) ïàëîå
.
∞∑i=N
api τpi −
∞∑i=N
aiτi = τ−e
íã÷îä ìàîù óâàá æà ,p ∤ i íà .p|e èøôá .pN = −e-å N < 0-ù íéàåø íéôâàä éðùá íéîã÷îä úàååùäî
ïàëî .p|N ,aN = 0-ù ïååéë ,èøôá .ai = 0 ïëì .0 àåä (p|e-ù ììâá) ïéîé óâàáå −ai àåä τ i ìù
,f(τ) =
∞∑i=N
aiτi =
∞∑j=N
p
apjτpj ∈ K((τp)) = K((t
1ep ))
.e ìù úåéøòæîì äøéúñá
7
óåòéñ .2
úáçøä F/E éäú .E = K(z) éäéå ,K ìòî éèðãðöñðøè z éäé .charK = 0 ,úéøáâìà øåâñ äãù K éäé
.n äìòîî úéôåñ äàåìâ
.E = K(tp) æà .tp =
z − p p ∈ K1z p =∞ øéãâð p ∈ P1
K ìëì .P1K = K ∪· ∞ ïîñð :2.1 äøãâä
éäé .åìù éøáâìàä øåâñä Λ =∪e Λe éäéå Λ = K((t)) ⊇ E éäé .t = tp éäéå p ∈ P1
K éäé
.e ìëì ω|Λe = ωe íéé÷îù íæéôøåîåèåàä ω ∈ Gal(Λ/Λ)
.äàåìâ úáçøä àéä θ(F )/E åøåáò .θ: F → Λ E -ïåëéù íéé÷ (à) :2.2 äîì
.θ(F ) = θ′(F ) èøôá .σ ∈ Gal(F/E) øùàá ,θ′ = θ σ íà ÷øå íà E -ïåëéù àéä θ′: F → Λ ä÷úòä (á)
f -ì ùé ,úéøáâìà øåâñ Λ-ù ïååéë .f = irr(α,E) ∈ E[X] éäé .F = E(α)-ù êë α ∈ F ùé (à) :äçëåä
.θ(F ) = E(β) æà .θ(α) = β-ù êë θ: E(α)→ E(β) E-íæéôøåîåæéà íéé÷ ,òåãéë .β ∈ Λ ùøåù
.êë éðùä íâ ,E ìòî ãéøôå éìîøåð àåä ïåùàøäå E ìòî íééôøåîåæéà E(α), E(β)-ù ïååéë
.θ(F ) = θ′(F ) ïëìå ,Λ-á f ìù ìåöéô úåãù íäéðù θ(F ), θ′(F ) æà ,E-ïåëéù θ′: F → Λ íà (á)
θ′ = θ σ æà ,σ ∈ Gal(F/E) íà ,êôéäì .θ′ = θ σ íéé÷úîå σ ∈ Gal(F/E) æà .σ = θ−1 θ′ éäé
.E-ïåëéù àåä
.Cp = θ−1 ω θ| θ: F −→E
Λ ⊆ Gal(F/E) äöåá÷ä àéä F/E-á p ìù ä÷ìçîä (à) :2.3 äøãâä
.θ ìù äøéçáá äéåìú äðéà àéä .θ: F −→E
Λ øùàá ,θ−1 ω θ ìù úåãéîöä ú÷ìçî éäåæ ,äîìä éôì
ñ÷ãðéà àø÷éé äæ øôñî ;e = ep(F/E) ∈ N äæéà øåáò ,Λθ(F ) = Λe æà θ: F −→E
Λ íà (á)
.F/E-á p ìù óåòéñä
.ep(F/E)|[F : E] èøôá .ord g = ep(F/E) æà .g ∈ Cp éäé (à) :2.4 äîì
p ìù Cp ä÷ìçîä ìù íåöîöä àéä F ′/E -á p ìù C ′p ä÷ìçîä æà .F ′ ⊆ F , äàåìâ úáçøä F ′/E éäú (á)
.ep(F′/E)|ep(F/E)-å F/E -á
Gal(Λe/Λ) → Gal(θ(F )/E) íåöîöä ú÷úòä ,Λθ(F ) = Λe-ù ïååéë .e = ep(F/E) éäé (à) :äçëåä
.ord g = ord (ω|Λe) = ordωe = e ïëì .úéëøò-ãç-ãç àéä
.#Gal(θ(F )/E) = #Gal(F/E) = [F : E] úà ÷ìçî äæ øôñî èøôá
ìù íåöîöä àåä (θ′)−1 ω θ′ æà .F ′-ì åîåöîö θ′: F ′−→E
Λ éäéå θ: F −→E
Λ øçáð (á)
.äîàúäá ,äìà íéøáà ìù úåãéîöä úå÷ìçî ïä Cp, C′p-å ,θ
−1 ω θ
.p ∈ P1K ìëì ep(F/E) úà àöîð .F = E( n
√f) éäéå ,f ∈ E = K(z) éäé :2.5 äîâåã
8
,ï÷åúî ,f ∈ K[z] úåéììëä úìáâä éìá ïëì .c ∈ E× ìëì E( n√f) = E( n
√cnf)-ù áì íéùð
.j ìëì 1 ≤ mj < n ,íéðåù p1, . . . , pr ∈ K øùàá ,f =∏rj=1(z − pj)mj
θ(F ) úà øöåé äæë íøåâ ìù ùøåù .Λ ìòî íé÷éøô éà íéîøåâì Xn − f ∈ Λ[X] úà ÷øôð .t = tp éäé
:Λ ìòî Λe úà ïëìå ,E ìòî
æà .1 ≤ i ≤ r äæéà øåáò p = pi çéðð (à)
f = f(z) = f(t+ pi) = tmi
∏j =i
(t+ pi − pj)mj = tmig(t)n
ïëì .1.7 ìéâøú éôì ,g ∈ K[[t]] äæéà øåáò
Λ(f1/n) = Λ(tmin ) = Λ(t
mi/gcd(mi,n)
n/gcd(mi,n) ) = Λ(t1
n/gcd(mi,n) )
a, b ∈ Z ùé ïëì ,íéøæ e, d æà .e = n/gcd(mi, n), d = mi/gcd(mi, n) ïîñð :ïåøçàä ïåéååùä úà øéáñð)
ïëì .tde = (t
1e )d ∈ Λ(t
1e ) ,éðù ãöî .t
1e = ta(t
de )b ∈ Λ(t
de ) ïëìå , 1e = a+ bde æà .1 = ae+ bd-ù êë
.epi(F/E) = ngcd(mi,n)
ïàëî (.Λ(tde ) = Λ(t
1e )
æà .p = p1, . . . , pr ,p ∈ K éäé (á)
f = f(z) = f(t+ p) =∏j
(t+ p− pj)mj ∈ K[[t]]n
.ep(F/E) = 1 ïàëî .Λ(f1/n) = Λ ïëì
æà .am = 1 øùàá ,f(z) = amzm + . . .+ a0 éë çéðð .p =∞ éäé (â)
f = f(z) = f(1
t) =
1
tm(am + . . .+ a0t
m) = t−mgn
ïëì .g ∈ K[[t]] äæéà øåáò
Λ(f1/n) = Λ(t−m/n) = Λ(tm/n) = Λ(t1
n/gcd(m,n) )
.e∞(F/E) = ngcd(m,n) ïàëîå
.p ìë èòîë øåáò ep(F/E) = 1 èøôá
h = (X−α1) · · · (X−αn) éäé .h = Xn+a1Xn−1+ . . .+an ∈ L[X] éäéå äãù L éäé :2.6 äøãâä
æà .L ìù L éøáâìà øåâñ ìòî å÷åøéô
Dnh :=∏i<j
(αi − αj)2 ∈ L
9
.h ìù äèððéîéø÷ñéãä àø÷ð
.(éøáâìà øåâñá) íéáåøî íéùøåù ïéà h-ì íà ÷øå íà Dnh = 0 :úîéé÷î àéä
éäé .Q ìòî íééåìú éúìá íéðúùî t1, . . . , tn åéäé .äèððéîéø÷ñéãä âùåîá èåøéô øúéá ïåãð
H = (X − t1) · · · (X − tn) = Xn +A1Xn−1 +A2X
n−2 + . . .+An ∈ Z[A1, . . . , An][X]
øùàá
−A1 = s1(t1, . . . , tn) =∑i
ti
A2 = s2(t1, . . . , tn) =∑i<j
titj
−A3 = s3(t1, . . . , tn) =∑i<j<k
titjtk
...
(−1)nAn = sn(t1, . . . , tn) = t1 · · · tn
íééåìú éúìá íä A1, . . . , An íâ ïëìå s1, . . . , sn ,òåãéë .t1, . . . , tn-á íééãåñéä íééøèîéñä íéîåðéìåôä íä
.Q ìòî úéøáâìà
g′(Y1, . . . , Yn) ∈ Z[Y1, . . . , Yn] ãéçé íåðéìåô íéé÷ ïëì .éøèîéñ íåðéìåô àåä∏i<j(ti− tj)2 ,úòë∏
i<j(ti − tj)2 =-ù êë ãéçé g ∈ Z[Y1, . . . , Yn] íéé÷ ïëì .∏i<j(ti − tj)2 = g′(s1, . . . , sn)-ù êë
.g(A1, . . . , An)
;DnH = g(A1, . . . , An) (à) :2.7 äðòè
.Dnh = g(a1, . . . , an) ∈ L (á)
.DnH =∏i<j(ti − tj)2 = g(A1, . . . , An) (à) :äçëåä
íæéôøåîåîåäì åúåà áéçøðå ,ti 7→ αi éãé ìò φ: Z[t1, . . . , tn] → L íæéôøåîåîåä øéãâð (á)
ïëì .i ìëì φ(Ai) = ai-å φ(H) = h æà .φ: Z[t1, . . . , tn][X]→ L[X]
Dnh =∏i<j
(αi − αj)2 =∏i<j
(φ(ti)− φ(tj)
)2= φ
(∏i<j
(ti − tj)2))=
= φ(g(A1, . . . , An)
)= g
(φ(A1), . . . , φ(An)
)= g(a1, . . . , an)
æà .n = 2 éäé :2.8 äîâåã
D2(X2 + a1X + a2) = (α1 − α2)
2 = (α1 + α2)2 − 4α1α2 = s1(α1, α2)
2 − s2(α1, α2) =
= A1(α1, α2)2 −A2(α1, α2) = a21 − 4a2
10
.ñôàî äðåù D := Dnf ∈ K[z] æà .n äìòîî f = irr(α,E) ∈ K[z][X]-ù êë F = E(α) éäé :2.9 äîì
.p ìë èòîë øåáò ep(F/E) = 1 èøôá .ep(F/E) = 1 æà D(p) = 0-å p ∈ K íà
.f = f(z,X) ∈ K[z][X] ,íéðúùî éðùá íåðéìåôë f úà úåàøì øùôà ,K ìòî éèðãðöñðøè z-ù ïååéë :äçëåä
,÷éøô éà f -ù ïååéë .f(p,X) ìù äèððéîéø÷ñéãä àéä D(p) ∈ K-å ,D = Dnf ∈ K[z] ,(á) 2.7 äðòè éôì
.íéáåøî íéùøåù ïéà f(p,X)-ì æà ,D(p) = 0 íà .D = 0 ïëì ,íéáåøî íéùøåù f -ì ïéà ,äãéøô F/E-å
øùàá ,f(X) = H(X) ∈ K[[t]][X] æà .t = tp = z − p éäé .D(p) = 0-ù êë p ∈ K éäé
ïååéë .íéáåøî íéùøåù àìì H0(X) = f(0 + p,X) ∈ K[X] ïëì .H(X) = f(t+ p,X) ∈ K[[t]][X]
ìù äìôëî àåä H ,ìæðä ìù äîìä éôì .K ìòî íéðåù íééøàðéì íéîøåâ ìù äìôëî àåä H0 ,úéøáâìà øåâñ K-ù
.1 äìòîî àéä θ(F )Λ/Λ äáçøää ïëì .K[[t]] ìòî íéðåù íééøàðéì íéîøåâ
ìù éôåñ øôñî ÷ø ùé F/E äáçøäì äîìä éôì .ep(F/E) > 1 íà F/E ìù úåôòúñä úãå÷ð àéä p
.úåôòúñä úåãå÷ð
.äîìá åîë f íåðéìåô íéé÷ù äàøä :2.10 ìéâøú
,ep(F2/E) = 1 éë çéðð .E = K(z) ìù äàåìâ úåáçøä éúù F1, F2 äðééäúå p ∈ P1K éäú :2.11 ìéâøú
.ep(F1F2/E) = 1 éë çëåä .ep(F1/E) = 1
11
úéøáâìà ä÷áãä .3
úëøòî íä ä÷áãä éðåúð :3.1 äøãâä
,E = (E,Fi, Qi, Q;Hi, G)i∈I (1)
-ù êë ,i ∈ I ìëì ,úåéôåñ úåøåáç ïä Hi ≤ G ,úåãù íä E ⊆ Fi, Qi ⊆ Q ,úéôåñ íéñ÷ãðéà úöåá÷ I äá
;i ∈ I ìëì ,Hi äøåáç íò äàåìâ úáçøä àéä Fi/E (à)
;i ∈ I ìëì ,Fi ⊆ Q′i :=
∩j =iQj (á)
;∩i∈I Qi = E (â)
;G = ⟨Hi| i ∈ I⟩ (ã)
B1 ∈ GLn(Qi), B2 ∈ GLn(Q′i) ùéB ∈ GLn(Q) ìëìå i ∈ I ìëì .n = |G| éäé (Cartan ÷åøéô) (ä)
.B = B1B2-ù êë
.(1) ä÷áãä éðåúð íéðåúðù çéðð äúòî
.E ⊆ Qi ∩ Fi ⊆ Qi ∩ Q′i = E éë ,Qi ∩ Fi = E íéé÷úî .Pi = QiFi ⊆ Q éäé i ∈ I ìëì
ääæð .Fi-ì íåöîöä éãé ìò ,Hi = Gal(Fi/E)-ì úéôøåîåæéà äøåáç íò äàåìâ úáçøä àéä Pi/Qi ïëì
.PHii = Qi èøôá .Hi íò Gal(Pi/Qi)
úîéé÷îä f : G→∩i∈I Pi äéö÷ðåô àéä a ìù çåúéô .a ∈
∩i∈I Pi éäé :3.2 äøãâä
;a = f(1); (à)
.g ∈ G, h ∈ Hi = Gal(Pi/Qi) ,i ∈ I ìëì f(hg) = h(f(g)) (á)
.çåúéô ùé íäì a ∈∩i∈I Pi ìë úöåá÷ àåä E ä÷áãä éðåúð ìù ãéëìúä
,g = hm · · ·h2h1 äâöä ùé g ∈ G ìëì ïëì ,G = ⟨Hi| i ∈ I⟩ ,ïëà .ãéçé àåä ,a ìù çåúéô íéé÷ íà
äéö÷åãðéàáå ,f(h2h1) = h2(h1(a)) ,f(h1) = h1(a) ,f(1) = a æà .h1, . . . , hm ∈∪Hi øùàá
.fa-á (íéé÷ àåä íà) a ìù çåúéôä úà ïîñð .f(g) = hm(· · · (h2(h1(a)))···)
æà .E ä÷áãää éðåúð ìù ãéëìúä F éäé :3.3 äîì
.E ⊆ F ïëì .g 7→ a äòåá÷ä äéö÷ðåôä – çåúéô ùé a ∈ E ìëì (à)
.fab = fafb ,fa+b = fa + fb ,÷åéã øúéá .a+ b, ab ∈ F æà a, b ∈ F åéäé (á)
,fa−1(g) = (fa(g))−1 ,÷åéã øúéá .a−1 ∈ F æà .0 = a ∈ F éäé (â)
.fc(g) = fa(gσ) ,÷åéã øúéá .c := fa(σ) ∈ F æà .σ ∈ G-å a ∈ F åéäé (ã)
.h ∈∪Hi ìëì h(a) = a ïëìå i ∈ I ìëì E ⊆ Qi éë ,øåøá (à) :äçëåä
.øåøá (á)
12
fc(hg) = fa(hgσ) = h(fa(gσ)) = h(fc(g))-å ,fc(1) = fa(σ) = c æà .ìéòì åîë fc øéãâð (ã)
.c ∈ F èøôáå c ìù çåúéôä fc ïëì .h ∈∪i∈I Hi ìëì
(à) éôìå (ã) éôì úøçà ,fa(g) = 0 íéé÷úî g ∈ G ìëì (â)
,a = fa(1) = fa(g−1g) = ffa(g)(g
−1) = f0(g−1) = 0
.a−1 ìù çåúéô àéäù øåøá .äáåè ìéòì fa−1 äéö÷ðåôä ìù äøãâää ïëì .äøéúñ
ìëìù êë F ìò úìòåô G äøåáçä .E ìù äàåìâ úáçøä ,äãù àåä F æà .E ä÷áãää éðåúð ìù ãéëìúä F éäé :3.4 äîì
.E = FG íéé÷úî .F ⊆ Pi ìò Hi = Gal(Pi/Qi) ìù äìåòôä íò ääãæî Hi ≤ G ìù äìåòôä i ∈ I
.E úà ìéëî ,äãù àåä F ,3.3 äîì éôì :äçëåä
éãé ìò åéìò G ìù äìåòô øéãâð
.g∗(a) = fa(g) (2)
(.úåìåòôä éúù ïéá ìéãáð òâøë ìáà ,g∗(a) íå÷îá g(a) áåúëð ,äîìä úà çéëåðù éøçà)
íéé÷úéù êë äìåòô øéãâäì äãéçéä úåøùôàä éäåæ
.h ∈∪i∈I
Hi ìëì ,h∗(a) = h(a) (3)
íéé÷úî æà ,åðéàøù éôë .h1, . . . , hm ∈∪Hi øùàá ,g = hm · · ·h2h1 äâöä ùé g ∈ G ìëì ,ïëà
.fa(g) = h∗m(· · · (h∗2(h∗1(a)))···) = g∗(a) æà íéé÷úî (3) íà ,ïëì .fa(g) = hm(· · · (h2(h1(a)))···)
(ã)3.3 äîì éôì .g∗(a1a2) = g∗(a1)g∗(a2) ,g∗(a1 + a2) = g∗(a1) + g∗(a2) ,(á)3.3 äîì éôì
(gσ)∗(a) = fa(gσ) = ffa(σ)(g) = fσ∗(a)(g) = g∗(σ∗(a)),
1∗(a) = fa(1) = a
.h∗(a) = fa(h) = h(fa(1)) = h(a) æà h ∈ Hi íà .äìåòô éäåæ ïëì
æà a ∈ FG íà ,êôéäì .E ⊆ FG ïëì ,g ∈ G ìëì g∗(a) = fa(g) = a æà a ∈ E íà
.E = FG ïëì .a ∈∩i∈I Qi = E ïàëîå ,i ∈ I ìëì a ∈ PHi
i = Qi
.Gal(F/E) = G-å äàåìâ F/E ïéèøà ìù äîìä éôì .Aut(F )-á G ìù äðåîúä G éäú
.íæéøôåîåæéà àåä G→ G øîåìë ,Gal(F/E) = G éë çéëåðå äîìä úà øôùð
øéãâð i ∈ I ìëì .|G| ãîéî ìòá Q ìòî éøåè÷å áçøî åäæ .Q êåúì G-î úåéö÷ðåôä ìë úöåá÷ N éäú
.Ni =f ∈ N | g ∈ G, h ∈ Hi ìëì f(hg) = h(f(g)), f(g) ∈ Pi
(4)
.Qi ìòî éøåè÷å áçøî åäæ
13
.Nk -á ìëåîù Q ìòî N ìù ñéñá ùé k ∈ I ìëì :3.5 ìéâøú
åìåãåî G ìù íéâöééî úëøòî Ω éäú .Hk éøáéà ìë h1, . . . , hm åéäéå ,m = |Hk| = [Pk : Qk] éäé :äçëåä
.Pk/Qk øåáò éáéèéîéøô øáéà z éäé .G = (hiω| ω ∈ Ω, i = 1, . . . ,m) æà .G =∪· ω∈ΩHω ,øîåìë ,H
.g ∈ Ω ,i = 1, . . . ,m ìëì fωj(hig) = δωghi(zj−1) éãé ìò fωj ∈ N øéãâð 1 ≤ j ≤ m, ω ∈ Ω ìëì
-å fωj(hig) ∈ Pk ïëà :fωj ∈ Nk-ù áì íéùð
.fωj(hhig) = δωg(hhi)(zj−1) = h
(δωghi(z
j−1))= h
(fωj(hig)
), h, hi ∈ Hi, g ∈ Ω
:ñéñá àéä ïëìå ,Q ìòî úéøàðéì äéåìú éúìá àéäù äàøð .íéøáéàm · |Ω| = |G| úá äöåá÷ fωjω,j æà
æà .g ∈ Ω-å 1 ≤ i ≤ m øùàá ,hig áéöð .∑mj=1
∑ω∈Ω aωjfωj = 0-ù êë aωj ∈ Q åéäé
úåàååùî úëøòî ìù ïåøúô àéä (ag1, . . . , agm) äé-m-ä ,g ∈ Ω ìëì ,ïëì .∑mj=1 agjhi(z
j−1) = 0
úöéøèî éäåæ .(A)ij = hi(zj−1) =
(hi(z)
)j−1éãé ìò äðåúð A ∈ Mm(Pk) øùàá ,AX = 0 úåéøàðéì
ìëìå 1 ≤ j ≤ m ìëìå agj = 0 ïëì .(detA =∏i<j
(hj(z)− hi(z)
)= 0) äëéôä äðéäù ,äãðåî-øã-ïå
.g ∈ Ω
.∩i∈I Ni -á ìëåî øùà Q ìòî N ìù ñéñá ùé :3.6 äîì
.|J | ìò äéö÷åãðéàá – äçëåää .∩j∈J Nj -á ìëåî øùà N ìù ñéñá ùéù ∅ = J ⊆ I ìë øåáò çéëåð :äçëåä
úçðä éôì .J ′ = J ∖i éäéå i ∈ J éäé ,|J | > 1 çéðð .3.5 ìéâøú ìù äðòèä éäåæ ,|J | = 1 íà
B ∈ GLn(Q) øáòîä úöéøèî .vi ⊆ Ni ñéñá ùé 3.5 ìéâøú éôì .u ⊆∩j∈J′ Nj ñéñá ùé äéö÷åãðéàä
.u = viB úîéé÷î u-ì vi-î
êë B1 ∈ GLn(Qi), B2 ∈ GLn(Q′i) ⊆
∩j∈J′ GLn(Qj) úåîéé÷ 3.1 äøãâäá (ä) éàðú éôì
æà .B = B1B2-ù
uB−12 = viB1
àåä ïëì .(ïéîé ãö ììâá) Ni-á íâå (ìàîù ãö ììâá) j ∈ J ′ ìë øåáò ,Nj -á ìëåî øùà Q ìòî N ìù ñéñá àåä
.j ∈ J ìëì Nj -á ìëåî
.Pi = QiF íéé÷úî i ∈ I ìëìå Gal(F/E) = G æà .E ä÷áãää éðåúð ìù ãéëìúä F éäé :3.7 èôùî
.i ìëì Pi = QiF -å [F : E] ≥ |G| éë çéëåäì øúåð .3.4 äîìá äìåë èòîë äçëåä äðåùàøä äðòèä :äçëåä
3.6 äîì éôì .∩iNi àéä F ′ äúðåîú .E ìòî úéøàðéì äðéä a 7→ fa éãé ìò äðåúðä F → N ä÷úòää
.[F : E] = dimE F′ ≥ |G| ïëì .E ìòî íâ ïëìå ,Q ìòî úéøàðéì äéåìú éúìá íéøáéà |G| úá äøãñ F ′-á ùé
àéä ïëìå ,Hi → G äìëää àéä Gal(Pi/Qi) → Gal(F/E) íåöîöä ú÷úòä ,3.4 äîì éôì
. Pi = QiF ïàëî .úéëøò-ãç-ãç
ìáà .F1, F2 ⊆ F ììë êøãá
14
res: Gal(F/E) → íåöîöä ú÷úòäå F1 = FH2 æà .G = H1 ⋉ H2 -å I = 1, 2 çéðð :3.8 äð÷ñî
.G→ H1 äìèää àéä Gal(F1/E)
:äøùé éöç äìôëî ìù äøãâää úà íãå÷ øéëæð :äçëåä
.G = H1H2, H1 ∩H2 = 1, H2 ◁ G, H1 ≤ G ⇔ G = H1 ⋉H2
àéä h1h2 7→ h1 ä÷úòää .h1 ∈ H1, h2 ∈ H2 øùàá ,g = h1h2 äãéçé äâöä ùé g ∈ G ìëì æà
.äìèää úàø÷ð àéä .H2 àåä åðéòøâù G→ H1 íæéôøåîéôà
.F1 ⊆ P1 ∩ P2 ïëì ,F1 ⊆ F1Q1 = P1 ,F1 ⊆ Q′1 = Q2 ⊆ P2 íéé÷úî
.h1 ∈ H1, h2 ∈ H2 ìëì ,f(h1h2) = h1(a) éãé ìò f : G→ F1 ⊆ P1 ∩ P2 øéãâð .a ∈ F1 éäé
,ïëà .a ∈ F ïëìå ,a ìù çåúéô f æà
.f(1) = a (à)
.f(h(h1h2)) = f((hh1)h2) = (hh1)(a) = h(h1(a)) = h(f(h1h2)) æà h ∈ H1 íà (á)
åìéàå .f(h(h1h2)) = f(h1(hh1h2)) = h1(a) ïëì ,hh1 ⊂ H2 æà h ∈ H2 íà (â)
H2 = ìù úáùä äãù ,Q2-á ìëåî h1(a) ∈ F1 éë ,h(f(h1h2)) = h(h1(a)) = h1(a)
.f(h(h1h2)) = h(f(h1h2)) ïëì .Gal(P2/Q2)
.a ìù çåúéôä f = fa ïëì
íà ,(h1h2)(a) = fa(h1h2) = h1(a) ,F ìò G ìù äìåòôä ìù äøãâää éôì .F1 ⊆ F -ù åðçëåä
.G→ H1 äìèää àéä res ïëì .res(h1h2) = h1 ïëì .a ∈ F1
15
íéñðëúî úå÷æç éøåè .4
:a, b ∈ R ìëì úîéé÷îù | |: R→ R äéö÷ðåô àéä R ìò äîøåð .äãéçé íò âåç R éäé :4.1 äøãâä
.a = 0 íà ÷øå íà |a| = 0-å ,|a| ≥ 0 (à)
.|a+ b| ≤ max(|a|, |b|) (á)
.|ab| ≤ |a| · |b| (â)
.|1| = | − 1| = 1 (ã)
(.úéèîåèåà íéé÷úî (ã) æà) .(éøèî äøèìåà) èìçåî êøò àø÷ð | | ,ïåéååù ùé (â) éàðúáå éáéèèåîå÷ R íà
a, b-å ab, r ∈ Z øùàá ,x = ab pr íà |x|p = p−r :éãà-p-ä èìçåîä êøòä íò Z åà Q (à) :4.2 úåàîâåã
.|0| = 0 ,óñåðá ;p-ì íéøæ
èìçåîä êøòä íò K0((t)) äãùä åà K0[[t]] âåçä .éùîî 0 < c < 1 éäé .åäùìë äãù K0 éäé (á)
.r = min(n| an = 0) øùàá , |∑∞n=N ant
n| = c−r
.||A|| = maxi,j(|(A)ij |) éãé ìò Mn(R) ìò äîøåð øéãâð .äîøåð íò âåç R éäé (â)
an ∈ Z/pnZ øùàë a = (a1, a2, . . .) ∈ Zp éäé .íééãà-p-ä íéøôñîä âåç ,Zp = lim←n
Z/pnZ (ã)
êë øúåéá ìåãâä r éäéå am = 0-ù êë m éäé úøçà .|a| = 0 æà n ìëì an = 0 íà .an+1 ≡ an mod pn-å
.èìçåî êøò | · | ïàë íâ .|a| = p−r øéãâð .n ≤ m ìëì pr|an-ù êë øúåéá ìåãâä r æà .pr|am-ù
.0 ≤ an < pn ãéçé íìù øôñî íò an ∈ Z/pnZ ìë úåäæì øùôà :àáä ïôåàá Zp éøáà úà íåùøì âåäð
íò ääåæî an íà .íéîìù 0 ≤ ci < p øùàá ,∑n−1i=0 cip
i (éãà-p çåúéô) äãéçé äâöä ùé äæ øôñîì
éôåñðéà øåèë a = (a1, a2, . . .) úà íåùøì øùôà ïëì .∑n−2i=0 cip
i íò ääåæî an−1 æà ,∑n−1i=0 cip
i
.n− 1 ãò åìù éôåñä øåè-úúä àåä an áéëø ìë øùàë ,íéîìù 0 ≤ ci < p øùàá ,∑∞i=0 cip
i
Z-á íéøôñîë íééôåñ íéøåè ïéá úåìåòôì úåîåã ïä äìàä íééôåñðéàä íéøåèä ïéá ìôëäå øåáéçä úåìåòô
.i ìëì ci = 0 íà ÷øå íà∑∞i=0 cip
i = 0-ù áì íéù .("íéëåøà" ìôëå øåáéç)
:íééãà-p-ä íéøôñîä âåç ìò úö÷ áéçøð
.(p ∤ a1 ,øîåìë) .Z/pZp -á a1 = 0 íà ÷øå íà Zp -á êéôä a = (a1, a2, . . .) ∈ Zp :4.3 äðòè
ïëì ,a1b1 ≡ 1 (mod p) æà .åìù éëôåää b = (b1, b2, . . .) ∈ Zp éäéå êéôä a-ù çéðð :äçëåä
.a1 ≡ 0 (mod p)
.1 = anbn+ pnkn-ù êë bn, kn ∈ Z ùé ïëì .pn-ì íâ ïëìå p-ì øæ an ìë æà .p-ì øæ a1-ù çéðð ,êôéäì
äéöðàåøâðå÷ íéé÷îù Z/pnZ-á ãéçé bn ,Z/pnZ-á an ìù éëôåää úåãéçé ììâá .anbn ≡ 1 (mod pn) æà
ì"ðä úåãéçéä ììâáå ,an+1bn+1 ≡ 1 (mod pn) íâ æà ,an+1bn+1 ≡ 1 (mod pn+1) íà ,úòë .åæ
.ab = 1 íéé÷úîå Zp ìù øáéà b = (b1, b2, . . .) ïëì .bn+1 ≡ bn (mod pn) íéé÷úî
16
.c0 = 0 íà ÷øå íà Zp -á êéôä∑∞i=0 cip
i :4.4 äð÷ñî
.|c| = p−r æà .b ∈ Z×p -å íìù r ≥ 0 øùàá ,prb äøåöäî àåä 0 = c ∈ Zp ìë :4.5 äð÷ñî
,c =∑∞i=r cip
i = prb -å |c| = p−r æà .cr = 0-ù êë øúåéá ïè÷ä r éäéå ,c =∑∞i=0 cip
i áåúëð :äçëåä
.b = cr + cr+1p+ cr+2p2 + . . . ∈ Z×
p øùàá
.a, b ∈ R åéäé .| | äîøåð íò âåç R éäé :4.6 äîì
.| − a| = |a| (à)
.|a+ b| = |b| æà |a| < |b| íà (á)
.åìù úåðîä äãù ìò èìçåî êøòì | | úà áéçøäì ïúéðå úåîìù íåçú R æà ,èìçåî êøò | | íà (â)
.|a| ≤ | − a| éøèîéñ ïôåàá .| − a| = |(−1)a| ≤ | − 1| · |a| = |a| (à) :äçëåä
æà .|a+ b| < b éë äìéìùá çéðð .|a+ b| ≤ b ,(á)4.1 äøãâä éôì (á)
.äøéúñ ,|b| = |(−a) + (a+ b)| ≤ max(| − a|, |a+ b|) = max(|a|, |a+ b|) < |b|
.|ab | =|a||b| éãé ìò äðåúð äáçøää .ab = 0 ïëì ,|ab| = |a| · |b| = 0 æà a, b = 0 íà (â)
.èìçåî êøò íò äãù àåä Qp íééãà-p-ä íéøôñîä äãù ,Zp ìù úåðîä äãù :4.7 äîâåã
íìù t øùàá ,ptc äøåöäî ïëìå ,a, b ∈ Z×p -å íéîìù r, s ≥ 0 øùàá ,p
rapsb äøåöäî àåä äæ äãùá øáéà
.ptc =∑∞i=0 cip
t+i æà c =∑∞i=0 cip
i íà .|ptc| = p−t æà .c ∈ Z×p -å
,øîåìë ,éøèî áçøîë íìù àåä íà íìù R-ù íéøîåà .d(a, b) = |b− a| :R ìò ä÷éøèî äøéãâî äîøåð
.úñðëúî R-á éùå÷ úøãñ ìë
.| | äîøåðì íò âåç R éäé :4.8 äîì
.limn→∞ an = 0 íà ÷øå íà éùå÷ øåè àåä R éøáà ìù∑∞n=0 an øåè (à)
.äôéöø äðéä R êåúì R-î x 7→ |x| ä÷úòää (á)
.1− a ∈ R× æà |a| < 1-å a ∈ R íà .íìù R éë çéðð (â)
.limn→∞ an = 0-å n ìëì |an| < ε-ù êë a1, a2, . . . ∈ R åéäé .éùîî 0 < ε < 1 éäé .íìù R éë çéðð (ã)
.êéôä øáéàì R-á úñðëúî pn∞n=1 äøãñä æà .n ∈ N ìëì ,pn = (1− a1)(1− a2) · · · (1− an) øéãâð
,øîåìë ,éùå÷ äøãñ sn íà ÷øå íà éùå÷ øåè∑∞n=0 an ,äøãâää éôì .sn =
∑nk=0 an ïîñð (à) :äçëåä
.|∑nk=m+1 an| = |sn − sm| < ε æà n ≥ m ≥ N íàù êë N ùé ε > 0 ìëì ('à)
íà ÷øå íà limn→∞ an = 0 åìéàå
.|an| < ε æà n ≥ N ′ íàù êë N ′ ùé ε > 0 ìëì (''à)
.N = N ′ øåáò ,(á)4.1 äøãâä éôì :('à)⇐ (''à) .m = n− 1 ç÷éðå N ′ = N + 1 éäé :(''à)⇐ ('à)
17
äøåöäî úåöåá÷ éãé ìò ïåúð a ∈ R ìù úåáéáñì ñéñá :äîøåðä ãé ìò äðåúð R ìò äéâåìåôåèä (á)
éìá .∣∣ |a| − |b| ∣∣ ≤ |a− b| æà a, b ∈ R íà :çéëåäì éã ïëì .éùîî r > 0 øùàá ,x ∈ R| |x− a| < r
.(á)4.1 äøãâäî úòáåð äðòèä æà .|a| ≥ |b| úåéììëä úìáâä
íéé÷úî .ñðëúî∑∞n=0 a
n ïëì .limn→∞ an = 0 (â)
(1− a)n∑k=0
ak = 1− an+1 =n∑k=0
ak(1− a)
.1− a ìù ìàîùî íâå ïéîéî éëôåä àåä∑∞n=0 a
n-ù ïàëîå
.|pn| ≤ |1− a1| · · · |1− an| = 1 æà .p0 = 1 éäé .n ∈ N ìëì |1− an| = 1 ,(á)4.6 äîì éôì (ã)
úøãñ àéä pn∞n=1 ïëì |pn − pn−1| ≤ |pn−1| · |an| ≤ |an| → 0 ïëì .pn = pn−1(1 − an) ïë åîë
íéé÷úî .p ∈ R äæéàì úñðëúî ïëìå R-á éùå÷
.|pk − 1| = |pk − p0| = |k∑
n=1
(pn − pn−1)| ≤ max(|an|) ≤ ε
.p ∈ R× ,(â) éôì .|p− 1| ≤ ε < 1 ,(á) éôì ,ïëì
K0[[t]],K0((t)) ïë åîë .íéîìù Zp,Qp êà ,íéîìù íðéà éãà-p-ä èìçåîä êøòä íò Q åà Z :4.9 úåàîâåã
.íìù Mn(R) íâ æà íìù R íà .íäìù èìçåîä êøòì ñçéá íéîìù
.| | èìçåî êøòì ñçéá íìù éáéèèåîå÷ âåç R éäé äúòî
øéãâð .äðúùî z éäé
,Rz = ∞∑n=0
anzn| an ∈ R, lim
n→∞an = 0
⊆ R[[z]],
Rz−1 = ∞∑n=0
anz−n| an ∈ R, lim
n→∞a−n = 0
.Rz, z−1 =
∞∑n=−∞
anzn| an ∈ R, lim
n→∞an = 0, lim
n→∞a−n = 0
.|f | = max(|an|) øéãâð äìàä úåöåá÷äî úçàá f =
∑n anz
n øåáòå
:äìà úåöåá÷ ìò ìôëå øåáéç øéãâð .Rz−1, Rz ⊆ Rz, z−1 æà
.(∑
i
aizi)(∑
j
bjzj)=
∑n
( ∑i+j=n
aibj)zn ,
∑n
anzn +
∑n
bnzn =
∑n
(an + bn)zn
n ∈ Z ìëì æà ,∑i aiz
i,∑j bjz
j ∈ Rz, z−1 íà :úåáåè úåøãâää
∑i+j=n
aibj =∞∑i=0
aibn−i +∞∑i=1
a−ibn+i
18
,ïëà) .n→∞ øùàë c±n → 0-å ,cn ∈ R äæéàì (limi→∞ aibn−i = limi→∞ a−ibn+i = 0 éë) ñðëúî
|ai|, |bj | < εM -ù êë éòáè N ùé éùîî ε > 0 ìëì .i, j ìëì |ai|, |bj | < M -ù êë éùîî M > 0 éäé
ïëìå ,j > N åà i > N æà i + j = n-å n > 2N íà .i, j ≤ −N ìëìå i, j ≥ N ìëì
íà ,äîåã ïôåàá .|∑i+j=n aibj | ≤ max |aibj | ≤ ε ïàëîå ,|aibj | ≤ |ai| · |bj | < M · εM = ε
( .n < −2N
.Rz−1-å Rz éáâì äîåã ïôåàá .∑i aiz
i ·∑j bjz
j =∑n cnz
n ∈ Rz, z−1 ïëì
.ì"ðä ìôëäå øåáéçì ñçéá íééáéèèåîå÷ íéâåç ïðéä äìà úåöåá÷ :4.10 ìéâøú
.R ìù èìçåîä êøòä úà áéçøîù Rz, z−1 ìò èìçåî êøò àåä | | (à) :4.11 äîì
.äæ èìçåî êøòì ñçéá íéîìù Rz ,Rz, z−1 (á)
éãé ìò ïåúðä Rz, z−1 → R äáöä íæéôøåîåîåä øéãâî |c| = 1 íéé÷î øùà c ∈ R× ìë (â)
.f =∑n anz
n 7→ f(c) =∑n anc
n
éãé ìò ïåúðä Rz → R äáöä íæéôøåîåîåä øéãâî |c| ≤ 1 íéé÷î øùà c ∈ R ìë (ã)
.f =∑n anz
n 7→ f(c) =∑n anc
n
.|f+|, |f−| ≤ |f |-å f = f+ + f− -ù êë f− ∈ Rz−1-å f+ ∈ Rz ùé f ∈ Rz, z−1 ìëì (ä)
éìá .|fg| = |f | · |g|-ù f =∑∞i=−∞ aiz
i, g =∑∞j=−∞ bjz
j ∈ Rz, z−1 øåáò ,÷åãáð (à) :äçëåä
æà ,fg =∑∞n=−∞ cnz
n íà .f = 0 ,g = 0 úåéììëä úìáâä
.|cn| =∣∣∣ ∑i+j=n
aibj
∣∣∣ ≤ supi+j=n
|ai| · |bj | ≤ | supi+j=n
|f | · |g| = |f | · |g|
.|fg| ≤ |f | · |g| ïëì
ïðåáúðå ,ℓ = n +m éäé ,|an| = |f | ,|bm| = |g|-ù êë øúåéá íéìåãâä íéñ÷ãðéàä n,m åéäé ,êôéäì
|ai| < |f | ïëì .j > m åà i > n æà ,(i, j) = (n,m) -å i + j = ℓ íà .fg-á zℓ ìù cℓ íã÷îá
,maxi+j=ℓ(|aibj |) = |an| · |bm| = |f | · |g| ïàëî .|ai| · |bj | < |f | · |g| ïëìå ,|bj | < |g| åà
ïàëîå |cℓ| = |∑i+j=ℓ aibj | = |f | · |g| ,(á)4.6 äîì éôì .(i, j) = (n,m) íà ÷øå íà ìá÷úî íåîéñ÷îäå
.|fg| ≥ |f | · |g|
.éìàéååéøè ïôåàá úåîéé÷úî èìçåî êøò ìù 4.1 äøãâäá (á) ,(à) úåîåéñ÷àä
,n ìëì ,|akn − aℓn| ≤ |fk − fℓ| æà .Rz, z−1-á éùå÷ úøãñ (fk =∑n aknz
n)∞k=1 éäú (á)
íåëñä f =∑n anz
n éäé .an = limk→∞ akn ∈ R ìåáâ äì ùé ïëì ,R-á éùå÷ úøãñ akn∞k=1 ïëì
:|f − fk| → 0-å f ∈ Rz, z−1-ù úåàøì ì÷ .éìîøåôä
ïååéë ,ïàëî .n ìëì |akn − aℓn| ≤ |fk − fℓ| ≤ ϵ æà k, ℓ ≥ K íàù êë éòáè K ùé .ϵ > 0 éäé
n ≥ N íàù êë éòáè N ùé ïëì ,fK ∈ Rz, z−1 ìáà .n ìëì |akn − an| ≤ ϵ ,óéöø àåä èìçåî êøòù
19
êåúî ïë åîë .äæë n ìëì |an| ≤ max(|an − aKn|, |aKn| ≤ ϵ ïàëî .|aKn| ≤ ϵ æà n ≤ −N åà
.|f − fk| → 0 -ù ÷éñð n ìëì ||akn − an| ≤ ϵ
.f ∈ Rz æà k ìëì fk ∈ Rz íà
.íéøåøá (ã) ,(â)
.f− =∑−1n=−∞ anz
n-å f+ =∑∞n=0 anz
n åéäé ,f =∑∞n=−∞ anz
n íà (ä)
úà ÷éúòî àåä .2 øãñî Rz, z−1 ìù äîøåð øîåù R-íæéôøåîåèåà äøéãâî z 7→ z−1 ä÷úòää :4.12 äøòä
úàå R[z−1] ìò R[z] úà ÷éúòî äæ íæéôøåîåèåà ,ïë ìò øúé .Rz ∼= Rz−1 ïëì .Rz−1 ìò Rz
.åîöò ìò R[z, z−1]
íìùä øôñîä úåéäì f ìù pdeg f äìòî-ïéòî øéãâð 0 = f =∑∞n=0 anz
n ∈ Rz øåáò :4.13 äøãâä
.ad ∈ R× íà éøìåâø f éë øîàð .d = max(n : |an| = |f |)
ùé æà .pdeg g = d ,éøìåâø g ∈ Rz éäéå f ∈ Rz éäé :(Weierstrass ìù ÷åìéçä èôùî) 4.14 èôùî
,ïë ìò øúé .deg r < d-å f = gq + r-ù êë íéãéçé r ∈ R[z]-å q ∈ Rz
|q| · |g| ≤ |f |, |r| ≤ |f |. (1)
:äçëåä
.øåøá (1)-å r = f æà q = 0 íà .deg r < d øùàá ,f = gq + r çéðð .(1) íéîñçä :à ÷ìç
;gq-á zd+ℓ ìù íã÷îä ìù èìçåîä êøòä àåä |gq| = |g| · |q| æà .ℓ = pdeg q éäéå q = 0 çéðð
ïàëî .|g| · |q| ≤ |f | ïëì .deg r < d + ℓ éë ,f = gq + r-á zd+ℓ ìù íã÷îä íâ àåä äæä íã÷îä
.|r| = |f − gq| ≤ max(|f |, |gq|) ≤ |f |
.0 = g(q− q′)+(r−r′) æà .deg r,deg r′ < d øùàá ,f = gq+r = gq′+r′ çéðð .úåãéçéä :á ÷ìç
.r = r′-å q = q′ ïëì .|q − q′| = |r − r′| = 0 ,à ÷ìç éôì
.fm =∑mn=0 bnz
n ∈ R[z] éäém ≥ 0 ìëì .f =∑∞n=0 bnz
n çéðð .däìòîîíåðéìåôg íà ,íåé÷ä :â ÷ìç
øåáò ñãéì÷åà ìù íúéøåâìàä .êéôä g ìù ïåéìòä íã÷îä ,pdeg g = d = deg g-å éøìåâø åðéä g-ù ïååéë
k,m ìëì ïëì .deg rm < deg g-å fm = gqm + rm-ù êë qm, rm ∈ R[z] ïúåð R ìòî íéîåðéìåô
.|g| · |qm − qk|, |rm − rk| ≤ |fm − fk| ,à ÷ìç éôì .fm − fk = g(qm − qk) + (rm − rk) íéé÷úî
øåøá .r ∈ R[z]-å q ∈ Rz-ì úåñðëúî ïä ïëìå Rz-á éùå÷ úåøãñ ïä rm∞m=0-å qm∞m=0 ïëì
.deg r < d-å f = gq + r-ù
,|g−g0| < |g| æà .g0 =∑dn=0 anz
n ∈ R[z] ç÷éð ,g =∑∞n=0 anz
n íà .åäùìë g øåáò ,íåé÷ä :ã ÷ìç
.deg r0 < d-å f = g0q0 + r0-ù êë r0 ∈ R[z]-å q0 ∈ Rz ùé f -å g0 íò â ÷ìç éôì .|g0| = |g| ïëìå
.|f1| ≤ |g−g0||g| · |f |-å ,f1 = (g0− g)q0 øùàá ,f = gq0+ r0+ f1 ïëì .|g| · |q0|, |r0| ≤ |f | ,à ÷ìç éôì
20
,deg rk < d-ù êë ,fk, qk ∈ Rz-å rk ∈ R[z] íéøáéà ,k ≥ 0 ìëì ,ìá÷ð äéö÷åãðéàá .f0 = f éäé
.fk = gqk + rk + fk+1 ,|qk| ≤|fk||g|
,|rk| ≤ |fk| ,|fk+1| ≤|g − g0||g|
|fk|
.r =∑∞k=0 rk ∈ R[z]-å q =
∑∞k=0 qk ∈ Rz ïëì .|qk|, |rk| → 0 íâ ïëì ,|fk| → 0-ù òáåð ïàëî
.f = gq + r íâå deg r < d-å f = gq + r íéé÷úîù øåøá
íåðéìåô àåä g ∈ R[z]-å q ∈ Rz× øùàá ,f = gq æà .pdeg f = d ,éøìåâø f ∈ Rz éäé :4.15 äð÷ñî
.|g| = 1 íéé÷î øùà d äìòîî ï÷åúî
zd = fq′ + r′-ù êë d > äìòîî r′ ∈ R[z]-å q′ ∈ Rz ùé ñàøèùøééå ìù ÷åìéçä èôùî éôì :äçëåä
éë úåàøäì øúåð .|g| = 1-ù øåøá .g = fq′-å d äìòîî ï÷åúî g æà .g = zd − r′ éäé .|r′| ≤ |zd| = 1-å
.q′ ∈ Rz×
r ∈ R[z]-å q ∈ Rz ùé ñàøèùøééå ìù ÷åìéçä èôùî éôì .pdeg g = d ,éøìåâø åðéä g-ù áì íéùð
ìù ÷åìéç èôùîá úåãéçéä éôì .f = f1 + 0 íâ ìáà .f = fq′q + r ïëì .deg r < d-å f = gq + r-ù êë
.f = gq-å q ∈ Rz× ïëì .r = 0-å qq′ = 1 ñàøèùøééå
21
íéîìù úåãù ìòî íéñðëúî úå÷æç éøåè .5
g ∈ K[z] íà .éøìåâø åðéä 0 = g ∈ Kz ìë æà .éìàéååéøè àì èìçåî êøòì ñçéá íìù äãù K éäé äæ ÷øôá
.pdeg g = d æà |g| = 1-å d äìòî ìòá ï÷åúî
.u ∈ A× -å p ∈ K[z] øùàá ,f = pu äâöä ùé f ∈ A ìëì .A = Kz éäé (à) :5.1 èôùî
.u ∈ A× -å p ∈ K[z] øùàá ,f = pu äâöä ùé f ∈ A ìëì .A = Kz, z−1 éäé (á)
.f = 0 úåéììëä úìáâä éìá :äçëåä
.(R = K øåáò) 4.15 äð÷ñîá äìåìë äðòèä ïëì .éøìåâø åðéä f (à)
ìéôëðù éøçà) −1 = min(n : |an| = |f |) úåéììëä úìáâä éìá .f =∑∞n=−∞ anz
n ∈ A éäé (á)
.(A-á êéôä åðéäù ,z ìù ä÷æçá f úà
.Rw = ∑∞j=0 αjw
j | αj ∈ R, |αj | → 0 âåçá ïðåáúð .ùãç äðúùî w éäéå R = Kz éäé
f =∑∞j=0 αjw
j ∈ Rw æà .j > 0 øåáò αj = a−j ∈ K ⊆ R-å α0 =∑∞n=0 anz
n ∈ R øéãâð
p = w + β-å u ∈ Rw× øùàá ,f = pu ìá÷ð (z íå÷îá w íò) 4.15 äð÷ñî éôì .pdeg f = 1 ,éøìåâø
.β ∈ R äæéà øåáò
éãé ìò äðåúðä θ: Aw → A äáöää ú÷úòä .|z−1| = 1 íéé÷úî .u ∈ Aw× ,èøôá
ïëì .u′ ∈ A× äæéà ìò u úà ä÷éúòî g 7→ g(z−1)
.f = θ(f) = θ(p)θ(u) = (z−1 + β)u′ = (1 + zβ)z−1u′
.1 + zβ = pu′′-ù êë u′′ ∈ Kz× ⊆ A×-å p ∈ K[z] ùé (à) ÷ìç éôì .1 + zβ ∈ R = Kz úòë
.f = p(z−1u′u′′) úù÷åáîä äâöää ïàëî
ìù øáéà éãé ìò øöåð íäá ìàãéà ìë .íééùàø úåîìù éîåçú íä Kz, z−1 , Kz , Kz−1 íéâåçä :5.2 èôùî
.K[z, z−1]
.I ′ = I ∩K[z] éãé ìò øöåð A ìù I ìàãéà ìë ,5.1 èôùî éôì .Kz, z−1 åà Kz âåçä A éäé :äçëåä
ïëì .(éùàø úåîìù íåçú àåä K[z] éë) p ∈ K[z] äæéà øåáò I ′ = pK[z] ïëì ,K[z] ìù ìàãéà àåä I ′ ïàë
.éùàø ìàãéà àåä I = pA
.4.12 äøòä éôì úòáåð äðòèä ,A = Kz−1 íà
.K[z, z−1] + gR = R æà .0 = g ∈ R éäé .R = Kz, z−1 ïîñð :5.3 äðòè
.f − r ∈ gR-ù êë r ∈ K[z, z−1] ùé f ∈ R ìëìù çéëåäì éã :äçëåä
éôì .éøìåâø g ∈ Kz èøôá .g ∈ K[z]-ù çéðäì øùôà 5.1 èôùî éôì .f ∈ Kz-ù íãå÷ çéðð
.f − r = gq ⊆ gR-ù êë q ∈ Kz-å r ∈ K[z] ùé ÷åìéçä èôùî
22
r1 ∈ K[z] ùé éèøôä äø÷îä éôì .f1 ∈ Kz, f2 ∈ Kz−1 øùàá ,f = f1 + f2 éììëä äø÷îá
.f − (r1 + r2) ∈ gR æà .f2 − r2 ∈ gR-ù êë r2 ∈ K[z−1] ùé 4.12 äøòä éôì .f1 − r1 ∈ gR-ù êë
úúë Q1, Q2 úà äàøð .äîàúäá ,Kz, Kz−1, Kz, z−1 ìù úåðîä úåãù Q1, Q2, Q åéäé
.Q ìù úåãù
.K(z) àåä Q êåúá Q1, Q2 ìù êåúéçä :5.4 äð÷ñî
.f ∈ Q1∩Q2 éäé ,êôéäì .K(z) ⊆ Q1∩Q2 ïëì ,K[z−1] ⊆ Kz−1-åK[z] ⊆ Kz íéé÷úî :äçëåä
øùàá ,f = f2/p2 ,4.12 äøòä éôì .0 = p1 ∈ K[z]-å f1 ∈ Kz øùàá ,f = f1/p1 ,(à)5.1 èôùî éôì
.g := p2f1 = p1f2 ∈ Kz, z−1 íéìá÷î f ìù úåâöää éúùî .0 = p2 ∈ K[z−1]-å f2 ∈ Kz−1
éë íéìá÷î ìéòì g ìù úåâöää éúùî æà ,g =∑∞n=−∞ anz
n íà .d2 = degz−1 p2 ,d1 = degz p1 åéäé
.f = f1/p1 = g/(p1p2) ∈ K(z) ïëì .g ∈ K[z, z−1] ïàëî .n > d1 øåáòå n < −d2 øåáò an = 0
.R1 = Kz, R2 = Kz−1, R = Kz, z−1 åéäé äúòî
,B1 ∈ GLn(R1) ùé æà .|B − In| < 1-ù êë B ∈ Mn(R) éäú :(Cartan ìù äîìä) 5.5 èôùî
.B = B1B2-ù êëB2 ∈ GLn(R2)
A = A+ + A−-ù êë A− ∈ Mn(R2) ,A+ ∈ Mn(R1) ùé A ∈ Mn(R) ìëì (ä)4.11 äîì éôì :äçëåä
éàðúä .0 ≤ c < 1 æà .c = |A1|-å A1 = B − In åéäé .|A+|, |A−| ≤ |A| íâå
In +Aj+1 = (In −A+j )(In +Aj)(In −A−
j )
:Mn(R) éøáà ìù (Aj)∞j=1 äøãñ áéñøå÷ø ïôåàá øéãâî
.Aj+1 = A+j A
−j −A
+j Aj −AjA
−j +A+
j AjA−j
.Aj → 0 ïëìå ,|Aj | ≤ cj ,äéö÷åãðéàá .|Aj+1| ≤ |Aj |2 òáåð åæ äøãâäî
,ïë åîë
.In +Aj+1 = (In −A+j ) · · · (In −A
+1 ) B (In −A−
1 ) · · · (In −A−j ) (1)
(In − A−1 ) · · · (In − A
−j ) úåìôëîä (ã)4.8 äîì éôì ïëì . |A−
j | → 0-å |A−j | ≤ |Aj | ≤ c < 1 íéé÷úî
äæéàì úåñðëúî (In − A+j ) · · · (In − A+
1 ) úåìôëîä ,äîåã ïôåàá .B′2 ∈ GLn(R2) äæéàì úåñðëúî
.B = (B′1)
−1(B′2)
−1 ïëì .In = B′1BB
′2 ïúåð (1) äàååùîá ìåáâì øáòî .B′
1 ∈ GLn(R1)
23
.B = B1B2 -ù êë B1 ∈ GLn(Q1), B2 ∈ GLn(Q2) ùé æà .B ∈ GLn(Q) éäú :5.6 äð÷ñî
æà C ∈ Mn(R)-å g ∈ R íàù áì íéùð .Q0 = Quot(R0) = K(z)-å R0 = K[z, z−1] ïîñð :äçëåä
.|gC| = |g| · |C|
f ∈ R øùàá , fh äøåöäî àåä Q ìù øáéà ìë (à)5.1 èôùî éôì .B ∈ Mn(R) úåéììëä úìáâä éìá :1 äðòè
êë B1 ∈ GLn(Q1), B2 ∈ GLn(Q2) àöîð íà .hB ∈ Mn(R)-ù êë h ∈ R0 ùé ïëì .0 = h ∈ R0-å
.hB1 ∈ GLn(Q1) øùàá ,B = (hB1)B2 æà ,hB = B1B2-ù
.BB′ = gIn-ù êë 0 = g ∈ R0-åB′ ∈ Mn(R) ùé :2 äðòè
øùàá ,detB = gu ,(à)5.1 èôùî éôì .B adj(B) = (detB)In úîéé÷î adj(B) ∈ Mn(R) ,ïëà
.BB′ = gIn æà ;B′ = u−1 adj(B) ∈ Mn(R) éäú .u ∈ R×-å g ∈ R0
.|In −BA| < 1-åBA ∈ Mn(R)-ù êëA ∈ Mn(Q0) ùé :3 äðòè
êëB0 ∈ Mn(R0) ,C ∈ Mn(R) ùé ïëì .Mn(R) = Mn(R0)+gMn(R)-ù òáåð 5.3 äðòèî ,ïëà
.(∑∞n=−∞ anz
n = limN→∞∑Nn=−N anz
n) R0 éøáà ìù ìåáâ àåä R ìù øáéà ìë .B′ = B0+ gC-ù
æà .A0 = B0 + gC0 ∈ Mn(R0) éäú .|C − C0| < 1|B| -ù êë C0 ∈ Mn(R0) ùé ïëì
BA0 = B(B0 + gC0) = B(B′ − gC + gC0) = gIn − gBC + gBC0 ∈ gMn(R)
-å ,BA ∈ Mn(R) úîéé÷î A := 1gA0 ∈ Mn(Q0) ïëì
|g| · |In −BA| = |gIn − gBA| = |BB′ −BA0| ≤ |B| · |B′ −A0| =
= |B| · |gC − gC0| = |g| · |B| · |C − C0| < |g|
.|In −BA| < 1 ïëì
,i = 1, 2 ,B′i ∈ GLn(Ri) ⊆ GLn(Qi) ùé ïàèø÷ ìù äîìä éôìå BA ∈ Mn(R) æà :äçëåää íåéñ
æà .A ∈ GLn(Q0) ,øîåìë ,detA = 0 èøôá .BA ∈ GLn(R) ,(â)4.8 äîì éôì ,BA = B′1B
′2-ù êë
.B′2A
−1 ∈ GLn(Q2) øùàá ,B = B′1B
′2A
−1
:íëñð
G éäú .F2 ⊆ Q1 -å F1 ⊆ Q2 -ù êë Hi äøåáç íò äàåìâ úáçøä Fi/K(z) éäú i = 1, 2 øåáò :5.7 èôùî
æà .G = ⟨H1,H2⟩ ,úéôåñ äøåáç
E = (K(z), F1, F2, Q1, Q2, Q;H1,H2, G)
.F ⊆ Q-ù êë G äøåáç íò F/K(z) äàåìâ úáçøä úîéé÷ èøôá .ä÷áãä éðåúð íä
àåä (ä) éàðú .5.4 äð÷ñî àåä (â) éàðú .äçðää éôì íéîéé÷úî 3.1 äøãâä ìù (ã) ,(á) ,(à) íéàðú :äçëåä
.3.7 èôùî àéä äðåøçàä äðòèä .5.6 äð÷ñî
24
íéùåîéùå úéøáâìà ä÷áãäì íéàðú úâùä .6
.éìàéååéøè àì èìçåî êøòì ñçéá íìù äãù K éäé äæ ÷øôá
ïîñð
Ω =∑
n
anzn ∈ K((z))
∣∣ n ≥ 1 ìëì |an| ≤ rn-ù êë r > 0 ùé
.K(z) ⊆ Quot(Kz) ⊆ Ω ⊆ K((z)) ;äãù àåä Ω :6.1 äîì
.f−1 ∈ Ω æà f ∈ Ω íàù äàøð ,ìôëäå øåáéçä úçú øåâñ Ω-ù úåàøì ì÷ :äçëåä
f úà óéìçð úøçà ,aN = 1-å N = 0 úåéììëä úìáâä éìá .aN = 0 øùàá ,f =∑n=N anz
n çéðð
b0 = 1 øùàá ,f−1 =∑n bnz
n ∈ K((z)) æà .(aNzn, (aNz
N )−1 ∈ Ω-ù áì íéùð) (aNzN )−1f -á
.r ≥ 1 úåéììëä úìáâä éìá .|an| ≤ rn-ù êë r > 0 ùé äçðää éôì .n ≥ 1 ìëì bn = −∑Ni=1 aibn−i-å
,ïëà .n ≥ 0 ìëì |bn| ≤ rn íâù ìá÷ð n ìò äéö÷åãðéàá
.|bn| = |n∑i=1
aibn−i| ≤ max1≤i≤n
|ai| · |bn−i| ≤ max1≤i≤n
rirn−i = rn
.úåù÷åáîä úåìëää úåòáåð ïàëî ,äãù Ω-ù ïååéë .K[z] ⊆ Kz ⊆ Ω ⊆ K((z))-ù øåøá
.F ⊆ Ω æà F ⊆ K((z)) íà .úéôåñ äàåìâ úáçøä F/K(z) éäú :6.2 èôùî
:àáä ïåîéñá ùîúùð :äçëåä
æà .v(0) =∞ íâ éäé ;v(y) = min(n| an = 0) éäé 0 = f =∑n anz
n ∈ K((z)) øåáò
;v(fg) = v(f) + v(g)
.v(f + g) = min(v(f), v(g)) æà v(f) < v(g) íà ,ïë ìò øúé ;v(f + g) ≥ min(v(f), v(g))
.y ∈ Ω-ù äàøð .y =∑n anz
n ∈ F éäé
íéãåîöä ìë y1 = y, . . . , yd åéäé .y /∈ K(z) éë çéðð ïëì .äîìäî úòáåð äðòèä æà y ∈ K(z) íà
.i ìëì yi /∈ K(z)-å d ≥ 2 æà .K(z) ìòî y ìù íéðåùä
íà .N = v(y1) ïîñð ,ïëà .v(y1) > 0 > v(y2) ≥ · · · ≥ v(yd) úåéììëä úìáâä éìá :à äðòè
yi =∑n
ainzn, i = 1, . . . , d
óéìçð .m = maxi≥2mi éäé .aimi= a1mi
-ù êë mi ∈ Z ùé ïëìå yi = y1 íéé÷úî i ≥ 2 ìëì æà
éãå y′ := y′1 ìù íéãåîöä ìë y′1, . . . , y′d ∈ F ïééãò æà) .i ìëì ,y′i = yi −
∑m+1n=N anz
n-á yi úà
,v(y) = N ≥ m + 2 ,úåéììëä úìáâä éìë ,ïëì (.i ìëì y′i − y′ = yi − y ,ïë åîë ;y′ ∈ Ω-ù çéëåäì
y1zN−1 , . . . ,
ydzN−1 ∈ F ,áåù) .zN−1 ∈ Ω-á y1 = y, y2, . . . , yd úà ÷ìçð .i ≥ 2 ìëì v(yi) ≤ mi ≤ m
25
éìá .2 ≤ i ≤ d ìëì v(yi) ≤ −1-å v(y1) = 1 æà (. y1zN−1 ∈ Ω-ù çéëåäì éãå y
zN−1 ìù íéãåîö ìë íä
.à äðòè äçëåä êëá .v(y2) ≥ · · · ≥ v(yd) úåéììëä úìáâä
íåðéìåô ùé
0 = h(Y ) = pdYd + . . .+ p1Y + p0 ∈ K(z)[Y ]
øáéàá íìåë úà ìéôëð úøçà) p0, . . . , pd ∈ K[z] úåéììëä úìáâä éìá .1 ≤ i ≤ d ìëì h(yi) = 0-ù êë
.mini(v(pi)) = 0 æà .(z ìù äîéàúî ä÷æçá íìåë úà ÷ìçð úøçà) z-á íé÷ìçúî íìåë àìå (K[z] ìù íéàúî
ìáà .pdyd2 = −(pd−1y
d−12 + . . . + p0) æà .h-á y2 áéöð ,ïëà .z|p0, p2, . . . , pd ,z ∤ p1 :á äðòè
,v(piyi2) = v(pi) + v(yi2) ≥ iv(y2) íéé÷úî 0 ≤ i ≤ d− 1 øåáò åìéàå v(pdy
d2) = v(pd) + dv(y2)
.v(pd−1yd−12 + . . . + p0) ≥ min(iv(y2)| 0 ≤ i ≤ d − 1) = (d − 1)v(y2) ,éìéìù v(y2)-ù ïååéëå
.z| pd ,øîåìë .v(pd) ≥ −v(y2) > 0-ù òáåð íééìàîùä íéôâàä ïéá ïåéååùäî
ïëì .h(Y ) = pdYd + . . .+ p1Y + p0 = pd(Y − y1) · · · (Y − yd) ,úòë
.pi = pd∑
k1<k2<···<kd−i
(−1)d−iyk1yk2 · · · ykd−i, 0 ≤ i ≤ d− 1
,0 ≤ i ≤ d− 1 ìëì ,ïàëî
v(pi) =v(pd) + v( ∑k1<k2<···<kd−i
yk1yk2 · · · ykd−i
)≥
≥v(pd) + mink1<k2<···<kd−i
(v(yk1) + v(yk2) + . . .+ v(ykd−i
))
≥v(pd) + v(yd) + . . .+ v(yi+1)
ìáà .j ìëì sj = y1 · · · yj · · · yd øùàá ,v(p1) = v(pd) + v(∑dj=1 sj) ,èøôá
v(sj) = v(y1) + . . .+ v(yj) + . . .+ v(yd)
ïëì .j = 1 ìëì v(s1) < v(sj)-ù øåøá ïàëî ,v(y1) > v(y2) ≥ · · · ≥ v(yd)-ù ïååéëå
.v(p1) = v(pd) + v(s1) = v(pd) + v(y2) + . . .+ v(yd)
.i = 1 ,0 ≤ i ≤ d− 1 ìëì v(p1) < v(pi) èøôá
.z ∤ p1 ìáà i = 1 øåáò z|pi éë ìá÷ð ,pi úà ÷ìçî zm-ù ìëm øúåéá ìåãâä øôñîä àåä v(pi) -ù ïååéë
.á äðòè äçëåä êëá
íéìá÷î á äðòèî
pk =M∑j=0
bkjzj , bkj ∈ K, k = 0, . . . , d
26
éë çéðäì øùôà b−110 -á h úìôëä éãé ìò ;b10 = 0 ïë åîë .k = 1 ìëì bk0 = 0 íéé÷úîå ,M äæéà øåáò
ïëì .b10 = 1
0 = h(y) =d∑k=0
( M∑j=0
bkjzj)( ∞∑
n=1
anzn)k
=
=d∑k=0
M∑j=0
∑n1,...,nk≥1
bkjan1· · · ank
zj+n1+...+nk =∞∑n=0
cnzn
øùàá
0 = cn =∑
0≤k≤d, 0≤j≤M,n1,...,nk≥1j+n1+...+nk=n
bkjan1· · · ank
(2)
.n ≥ 0 ìëì
åà bk0 = 0 éë ,j ≥ 0 ìëìå k ìëì |bkj | ≤ rj íâ æà .j ≥ 1 ìëìå k ìëì |bkj | ≤ rj -ù êë r > 0 ùé
.|an| ≤ rn éë n ìò äéö÷åãðéàá çéëåð .bk0 = 1
.|a0| = 0 < 1 = r0 ïëì ,v(y) > 0 éë ,a0 = 0 íéé÷úî :n = 0
íéé÷î ,an úà ìéëî åðéà øùà ,øáåçî ìë (2) äàååùîá .n-î ïè÷ íìù ìë øåáò úåðåëð çéðð
|bkjan1 · · · ank| ≤ |bkj | · |an1 | · · · |ank
| ≤ rjrn1 · · · rnk = rn
(2) éôì .b10an = an àåä øáåçîä ,øîåìë ,j = 0 ,n1 = n ,k = 1 åøåáòù äæë àåä an úà ìéëîù øáåçîå
.|an| ≤ rn ïëì .íéøáåçîä øúé ìë íåëñ ìù éãâðä àåä
ε > 0 ìëì æà .0 < |c| < 1-ù êë c ∈ K ùé ,øîåìë ,éìàéååéøè åðéà K ìò èìçåîä êøòäù çéðð äúòî
.(÷éôñî ìåãâ n øåáò ,c′ = cn ,ìùîì) 0 < |c′| < ε-ù êë c′ ∈ K ùé
F ′ ⊆ Quot(Kz) äãù ùé æà .F ⊆ K((z)) éë çéðð .úéôåñ äàåìâ úáçøä F/K(z) éäú :6.3 äð÷ñî
.åîöò ìò K(z) úà ÷éúòî øùà F → F ′ íæéôøåîåæéàå
.Gal(F ′/K(z)) ∼= Gal(F/K(z))-å äàåìâ F ′/K(z) èøôá
.F ⊆ Ω ,6.2 èôùî éôì :äçëåä
åäæ .∑n anz
n 7→∑n anc
nzn éãé ìò µc: K((z)) → K((z)) ä÷úòä øéãâî c ∈ K× ìë
.åîöò ìò K(z) úà ïëìå åîöò ìò K[z] úà ÷éúòî àåä .(µc−1 àåä åìù éëôåää) K((z)) ìù íæéôøåîåèåà
øçáð .n ≥ 1 ìëì |an| ≤ rn-ù êë r > 0 ùéå y =∑n anz
n æà .F = E(z)(y)-ù êë y ∈ F éäé
,|ancn| = |an| · |c|n ≤ rn 1(2r)n = 1
2n → 0 -å µc(y) =∑n anc
nzn æà .|c| < 12r -ù êë c ∈ K×
.F ′ := µc(F ) ⊆ Quot(Kz) ïàëîå .µc(y) ∈ Quot(Kz) èøôá .∑∞n=0 anz
n ∈ Kz ïëì
äàåìâ úøåáç íò ,äàåìâ àéä äðåøçàä íâ ,F ′/K(z) äáçøää ìò F/K(z) äáçøää úà ÷éúòî µc-ù ïååéë
.úéôøåîåæéà
27
.åîöò ìò K[z] úà ÷éúòîù Kz, z−1 → Kz K -ïåëéù íéé÷ :6.4 äîì
øéãâðå 0 < |a| < 1-ù êë a ∈ K øçáð .íìù R = Kw ,(á)4.11 äîì éôì .äðúùî w éäé :äçëåä
.c ∈ R× ,(â)4.8 äîì éôìå |c| = 1 æà .c := 1− aw ∈ R
íæéôøåîåæéàä íò åúåà áéëøð .Rz, z−1 → R íæéôøåîåîåä úðúåð z 7→ c äáöää (â)4.11 äîì éôì
.Rz, z−1 → Kz íæéôøåîåîåä ìá÷ð êëá .w 7→ z éãé ìò ïåúðä R = Kw → Kz∑∞n=−∞ anz
n 7→ éãé ìò ïåúðä àåä .Kz, z−1-ì åìù íåöîöä φ: Kz, z−1 → Kz éäé
.an ∈ K øùàá ,∑∞n=−∞ an(1− az)n
íæéôøåîåèåà åäæ .z 7→ 1− az éãé ìò äðåúðä K[z]→ K[z] K-ú÷úòä àåä K[z]-ì φ ìù íåöîöä
.z 7→ a−1(1− z) éãé ìò äðåúð äëåôää ä÷úòää :K[z] ìù
úìáâä éìá .Kerφ = pKz, z−1-ù êë p ∈ K[z, z−1] ùé ,5.2 èôùî éôì .éëøò-ãç-ãç φ-ù äàøð
.Kerφ = 0 ïëì .p = 0 ,úîãå÷ä ä÷ñôä éôì .φ(p) = 0 æà .z ìù ä÷æçá p ìéôëð úøçà ,p ∈ K[z] úåéììëä
úà ÷éúòîù Q→ Q1 K -ïåëéù íéé÷ .äîàúäá ,Kz,Kz, z−1 ìù úåðîä úåãù Q1, Q åéäé :6.5 äð÷ñî
.åîöò ìò K(z)
úéìâòî äàåìâ úáçøä úîéé÷ pk éðåùàø ìù ä÷æç ìëì æà .(èìçåî êøò éìá) åäùìë éôåñðéà äãù K éäé :6.6 èôùî
.F ⊆ K((z))-ù êë pk äìòîî F/K(z)
.àáä ÷øôá çéëåð :äçëåä
úøåáç íò F/K(z) äàåìâ úáçøä úîéé÷ æà .úéôåñ äøåáç G éäú .èìçåî êøòì ñçéá íìù äãù K éäé :6.7 èôùî
.F ⊆ K((z)) èøôáå F ⊆ Quot(Kz)-ù êë G-ì úéôøåîåæéà äàåìâ
.äøåøá äðòèä G = 1 íà .G ìù øãñä ìò äéö÷åãðéàá :äçëåä
àåäù øãñî åðéä gi ìë úåéììëä úìáâä éìá .g1, . . . , gn ,íéøöåé n ≥ 1 éãé ìò úøöåð G úøçà
éìá .(íééðåùàø ìù úå÷æç íäù íéøãñî úåéìâòî úåøåáç ìù äøùé äìôëî àéä ⟨gi⟩ éë) éðåùàø ìù ä÷æç
æà .H1 = ⟨g1⟩ éäú .íéøöåéä úøãñäî g1 úà èéîùð úøçà ,G = H2 := ⟨g2, . . . , gn⟩ úåéììëä úìáâä
äàåìâ úøåáç íò F2/K(z) äàåìâ úáçøä ùé äéö÷åãðéàä úçðä éôì ïëì .#H2 < #G-å G = ⟨H1,H2⟩
êë H1 äàåìâ úøåáç íò F ′1/K(z) äàåìâ úáçøä ùé 6.6 èôùî éôì .F2 ⊆ Q1 := Quot(Kz)-ù êë H2
éôì .F ′′1 ⊆ Q1-ù êë H1 äàåìâ úøåáç íò F ′′
1 /K(z) äàåìâ úáçøä ùé ,6.3 äð÷ñî ðôì .F ′1 ⊆ K((z))-ù
úáçøä ùé ïëì .åîöò ìò K(z) úà ÷éúòî øùà Q1 → Q2 = Quot(Kz−1) íæéôøåîåæéà ùé 4.12 äøòä
.F1 ⊆ Q2-ù êë .F1 ⊆ Q2-ù êë H1 äàåìâ úøåáç íò F1/K(z) äàåìâ
úáçøä ùé 6.5 äð÷ñî éôì .F ′ ⊆ Q-ù êë G äøåáç íò F ′/K(z) äàåìâ úáçøä ùé 5.7 èôùî éôì
.F ⊆ Q1-ù êë G äøåáç íò F/K(z) äàåìâ
28
úåéìâòî úåáçøä ìù ùåîéî .7
.E = K(z) éäéå åéìòî éèðãðöñðøè øáéà z ,äãù K éäé äæ ÷øôá
:àáä èôùîä úà çéëåäì àéä ÷øôä úøèî
êë pk äìòîî F/K(z) úéìâòî äàåìâ úáçøä úîéé÷ pk éðåùàø ìù ä÷æç ìëì æà .éôåñðéà äãù K éäé :7.1 èôùî
.F ⊆ K((z))-ù
.L((z))/K((z)) ìù ñéñá B æà .äìù ñéñá B éäéå úåãù ìù úéôåñ äáçøä L/K éäú :7.2 ìéâøú
íåöîöä ú÷úòäå äàåìâ L((z))/K((z)) íâ æà äàåìâ L/K íàå [L((z)) : K((z))] = [L : K] èøôá
.íæéôøåîåæéà àåä ρ: Gal(L((z))/K((z))
)→ Gal(L/K)
åéäéå ,n ìëì bn ∈ L øùàá ,f =∑n bnz
n ∈ L((z)) éäé .B = (α1, . . . , αd) çéðð :äçëåä
íà ÷øå íà f =∑di=1 fiαi æà .i, n ìëì ,ain ∈ K øùàá i = 1, . . . , d ,fi =
∑n ainz
n ∈ K((z))
.f =∑di=1 fiαi äâöää ìù úåãéçéäå íåé÷ä íéøåøá ïàëî .n ìëì bn =
∑di=1 ainαi
åúåàî äìù çååèäå íåçúäù ïååéë .úéëøò-ãç-ãç ρ ïëìå ,L((z)) = K((z)) · L-ù ïàëî òáåð èøôá
.íæéôøåîåæéà ρ ,øãñä
èøôá .K ìù L úéôåñ äáçøä ìëì E′ ∩ L = K æà .K ⊆ E′ ⊆ K((z)) ,äãù E′ éäé :7.3 äð÷ñî
.E ∩ L = K
åúåà íéìùðå ,1 úà ìéëîù ,K ìòî E′ ∩ L ìù B ñéñá øçáð .E′ = K((z)) úåéììëä úìáâä éìá :äçëåä
ïàëî .B = 1 ïëì ,B ⊆ K((z)) ìáà .E′ ìòî úéøàðéì äéåìú éúìá B ,7.1 ìéâøú éôì .L/K ìù ñéñáì
.E′ ∩ L = K
êë pk äìòîî F/E úéìâòî äàåìâ úáçøä úîéé÷ k ≥ 1 ìëì æà .char K = p > 0 ,äãù K éäé :7.4 äîì
.F ∩ K = K -ù
.K((z))-á ùøåù ïéà f -ì æà .f = Xp −X − z−1 ∈ E[X] éäé :äçëåä
æà ,aN = 0 íò 0 = α =∑∞n=N anz
n ∈ E ⊆ K((z)) éäé .f ìù ùøåù åððéà 0 ,ïëà
ïëì ,z−1 /∈ K[[z]] ìáà ,αp − α ∈ K[[z]] æà α ∈ K[[z]] ,øîåìë ,N ≥ 0 íà .αp =∑∞n=pN a
pnzpn
äàø) .f(α) = 0 ïëì ,αp − α = apNzpN + . . . øúåé úåäåáâ úå÷æç = z−1 æà ,N < 0 íà .f(α) = 0
(.1.12 ìéâøú íâ
.Gal(F1/E) ∼= Z/pZ-å ,äàåìâ F1/E øééøù-ïéèøà èôùî éôì .E ìòî f ìù ìåöéôä äãù F1 éäé
.K ìù L úéøáâìà äáçøä ìëì ,L(z) ìòî íâ ÷éøô éà f ïôåà åúåàá .E ìòî ÷éøô éà f èøôá
Gal(F/E) ∼= ,äàåìâ F/E-ù êë F/F1 äáçøä ùé ,(äèî 7.12 èôùî) òåãé èôùî éôì ,k ≥ 1 íà
.Z/pkZ
29
äáçøä EL æà .K ìù äúåàð äáçøä àåä L = F ∩ K éë äìéìùá çéðð .F ∩ K = K-ù úåàøäì øúåð
,7.2 ìéâøú éôì ;K ìòî úéøàðéì íééåìú éúìá 1, y-ù êë y ∈ L ùé éë ,äúåàð àéä) .F -á úìëåî ,E ìù äúåàð
F/E-ù ïååéë (.y /∈ K(z) = E èøôáå ,y /∈ K((z)) ïëìå ,K((z)) ìòî úéøàðéì íééåìú éúìá 1, y ∈ EL
äøéúñá äæ .F1 ⊆ EL = L(z) ïëì .F1 úà äìéëî F -á úìëåîä E ìù äúåàð äáçøä ìë ,pk äìòîî úéìâòî
.L(z) ìòî ÷éøô éà f -ù êëì
êë a ∈ K éäé .E ìòî ÷éøô éàå ,ãéøô ,ï÷åúî f(z,X) ∈ K[z][X] øùàá ,F = E[X]/(f) éäé :7.5 äîì
.åîöò ìò E úà ÷éúòîù F → L((z)) K -ïåëéù ùé æà .K ìòî åìù ìåöéôä äãù L éäéå ãéøô f(a,X) ∈ K[X]-ù
úåãù ìù íæéôøåîåæéàì äáçøäì ïúéð øùà ,K[z] ìù K-íæéôøåîåèåà àåä z 7→ z + a ä÷úòää :äçëåä
.a = 0 úåéììëä úìáâä éìá ïëì .F → F ′ := E[X]/(f(z + a,X)
)ìöôúî f(z,X) (1.4 èôùî) ìæðä ìù äîìä éôì ,L ìòî íéøæ íééøàðéì íéîøåâì ìöôúî f(0, X)-ù ïååéë
.F ⊆ L((z)) ïàëî .L[[z]] ìòî íéøæ íééøàðéì íéîøåâì
G = Gal(F/E) íà .F ∩ K = K -ù êë úéôåñ äàåìâ úáçøä F/E éäú .éôåñðéà äãù K éäé :7.6 èôùî
.F ′ ⊆ K((z))-å ,Gal(F ′/E) ∼= G ,äàåìâ F ′/E ùé æà ,úéìáà
:äçëåä
.F ⊆ L((z))-ù êë L/K úéôåñ äàåìâ úáçøä ùéù çéðäì øùôà :1 äðòè
éäé .f(z,X) = irr(α,E) ∈ K[z][X] úåéììëä úìáâä éìá .F = E(α)-ù êë α ∈ F ùé ,ïëà
a ∈ K ùé ,éôåñðéà K-ù ïååéë .D = 0 æà .f ìù äèððéîéø÷ñéãä ,n = degX f øùàá ,D = Dnf ∈ K[z]
éôì .ãéøô f(a,X) ïëì .f(a,X) ∈ K[X] ìù äèððéîéø÷ñéãä àåä D(a) ,2.7 äðòè éôì .D(a) = 0-ù êë
.1 äðòè úà úîéé÷îù äàåìâ úøåáç äúåà íò úøçà äáçøäá F úà óéìçäì øùôà 7.5 äîì
.íæéôøåîåæéà àéä π: Gal(FL/F )→ Gal(L/K) íåöîöä ú÷úòä ïëì .F ∩ L = K äçðää éôì
.íæéôøåîåæéà àéä π1: Gal(FL/F )→ Gal(LE/E) íåöîöä ,øîåìë ,F ∩ EL = E :2 äðòè
íéîåöîö ìù éôåìéç íéùøú ùé ,ïëà
Gal(FL/F )π //
π1
''OOOOO
OOOOOO
Gal(L/K)
Gal(EL/E)
π2
77ooooooooooo
π1 íâù ïàëî .íæéôøåîåæéà ïëì ,úéëøò-ãç-ãç π2 ìáà .ìò π2-å úéëøò-ãç-ãç π1 ïëì ,íæéôøåîåæéà π åá
.F ∩ EL = E ïëì .íæéôøåîåæéà
30
. F ′ ∩ EL = E, F ′(EL) = FL æà .F ′ = K((z)) ∩ (FL) éäé :3 äðòè
àåä Gal(L((z))/K((z))
)→ Gal(L/K) íåöîöä ,7.2 ìéâøú éôì .E ⊆ F ′ ⊆ FL íéé÷úî
àáä íéùøúä éôì .íæéôøåîåæéà
L EL FL L((z))
K
H
E
H
F ′
∆
K((z))
H
íéîåöîöä ìù äáëøä àéä åæ ä÷úòä
Gal(L((z))/K((z))
)→ Gal(FL/F ′)→ Gal(EL/E)→ Gal(L/K)
.äðòèä úòáåð ïàëî .íæéôøåîåæéà àéä úéòöîàä íâ ïëì .íéîæéôøåîåæéà ïä úåéðåöé÷ä úå÷úòää éúù
.Gal(F ′/E) ∼= G ,äàåìâ úáçøä F ′/E :4 äðòè
:úåøåáçì äàåìâ úøåú úøæòá åæ äðòè íâøúð
éôì .∆ = Gal(FL/F ′)-å ,D = Gal(FL/E) ,H = Gal(EL/E) ∼= Gal(L/K) äðééäú
-ì úåìå÷ù 3 äðòè ìù úåàååùîä .∆ ≤ D-å D = G×H íéé÷úî 2 äðòè
.∆ ∩G = 1, ∆ ·G = D (1)
D = G×H éøáà ìë íò óìçúî G ïëì .(úéìáà G éë) G éøáà íò íâåD êåúáH éøáà íò íéôìçúî G éøáà
äæ äàåìâ úøåú éôì .D/∆ ∼= G-å ∆ ◁ D ïàëî .D = ∆×G-ù øîåà äæ (1) íò ãçé .∆ éøáà ìë íò èøôáå
.Gal(F ′/E) ∼= G ,äàåìâ úáçøä F ′/E éë ÷åéãá øîåà
.F ′ ⊆ K((z))-ù êë n äìòîî F ′/E úéìâòî äàåìâ úáçøä úîéé÷ æà .char K ∤ n-ù êë n ∈ N éäé :7.7 èôùî
ä÷úòä úîéé÷ æà .H = Gal(L/K) éäúå L = K(ζn) éäé .éáéèéîéøô é-n äãéçé ùøåù ζn ∈ K éäé :äçëåä
-å σ ∈ H ìëì σ(ζn) = ζχ(σ)n -ù êë χ: H → i ∈ N| gcd(i, n) = 1
.χ(στ) ≡ χ(σ)χ(τ) mod n, σ, τ ∈ H (2)
,ìùîì) L/K øåáò c éáéèéîéøô øáéà øçáð .Gal(L((z)/K((z))
)íò H úà úåäæì øùôà 7.2 ìéâøú éôì
éäéå (c = ζn
g(z) =∏σ∈H
(1 + σ(c)z
)χ(σ−1) ∈ L[z]
31
ìù äìôëî àåä Xn − 1 =∏n−1i=0 (X − ζin) éë) .xn = 1 + cz-ù êë x ∈ L[[z]] ùé ìæðä ìù äîìä éôì
øéãâð .(L[z]-á íéøæ íééøàðéì íéîøåâ
y =∏σ∈H
σ(x)χ(σ−1) ∈ L[[z]]
æà
.yn =∏σ∈H
σ(xn)χ(σ−1) =
∏σ∈H
(1 + σ(c)z
)χ(σ−1)= g(z)
.yd ∈ L(z)-å d|n øùàá ,d äìòîî úéìâòî äàåìâ úáçøä àéä F/L(z) øîå÷ èôùî éôì .F = L(z, y) éäé
éôì ãåò .d = n ïëì ,n-ì øæ χ(σ−1) ìáà .σ ∈ H ìëì nd |χ(σ
−1) ïëì .g(z) = (yd)nd ∈
(L(z)
)nd ïëì
.ω(y) = ζny øùàá ,G := Gal(F/L(z)
)= ⟨ω⟩ ,øîå÷ èôùî
æà .χ(τρ) = χ(τ)χ(ρ) + k(τ, ρ)n-ù êë k(τ, ρ) ∈ Z ùé τ, ρ ∈ H ìëì (2) éôì
,τ(y) =∏σ∈H
τσ(x)χ(σ−1) =
∏ρ∈H
ρ(x)χ(ρ−1τ) =
∏ρ∈H
ρ(x)χ(ρ−1)χ(τ)+k(ρ−1,τ)n =
=( ∏σ∈H
σ(x)χ(σ−1)χ(τ)
·∏σ∈H
σ(xn)χ(k(σ−1,τ) = yχ(τ)
∏σ∈H
(1 + σ(c)z
)k(σ−1,τ)
,øîåìë
,τ(y) = yχ(τ)fτ (z) (3)
.fτ (z) ∈ L(z) øùàá
úúë ïäéúù úà äàøð .F ìò úìòåô G = ⟨ω⟩ íâ .F ìò úìòåô H = Gal(L((z))/K((z))) èøôá
íéé÷úî τ ∈ H ìëì .Aut(F/E) ìù úåøåáç
,τω(y) = τ(ζny) = ζχ(τ)n yχ(τ)fτ (z) = (ζny)χ(τ)fτ (z)
,ωτ(y) = ω(yχ(τ)fτ (z)) = ω(y)χ(τ)fτ (z) = (ζny)χ(τ)fτ (z)
.G éøáéà íò íéôìçúî H éøáéà ,øîåìë ,τω = ωτ ïëì
éë ,1 àåä ïëìå ,L(z) = FG ìò úéìàéååéøè ìòåô àåä æà σ ∈ G ∩H íà ,ïëà .G ∩H = 1 ,ïë åîë
.H = Gal(L(z)/K(z)
)àåä D ìù úáùä äãù .D = G×H ,ìéòì øåîàä éôì ,æà .D = ⟨G,H⟩ ≤ Aut(F/E) éäú
FD = (FG)H = L(z)H = K(z)
.Gal(F ′/E) = D/H = Gå äàåìâ F ′/E æà ,F êåúá H ìù úáù äãù F ′ íà ,ïëì
32
:íëñð
F/E (úéìáà èøôáå) úéìâòî úáçøä ùé 7.4 äîì éôì æà char K = p íà .n = pk éäé :7.1 èôùî úçëåä
.F ′ ⊆ K((z))-ù êë n äìòîî F ′/E úéìâòî äáçøä ùé 7.6 èôùî éôì .F ∩ K = K-ù êë n äìòîî
.7.7 èôùîî úòáåð äðòèä ,char K = p íà
:7.4 äîì úçëåä êåúî øñçä úà íéìùð óåñáì
úåéö÷ðåôä ìù éøåè÷åä áçøîá íéøáéàë) íä æà .L ìù íéðåù íéîæéôøåîåèåà σ1, . . . , σn åéäéå äãù L éäé :7.8 èôùî
-å a1, . . . , an ∈ L íà ,øîåìë ,L ìòî úéøàðéì íééåìú éúìá (L êåúì L-î
a1σ1 + · · ·+ anσn = 0 (= ñôàä úéö÷ðåô) (1)
.a1 = · · · = an = 0 æà
íéîæéôøåîåèåà n−1 øåáò äðåëð äðòèäù çéðð .i ìëì σi = 0 éë ,øåøá äæ n = 1 øåáò .n ìò äéö÷åãðéàá :äçëåä
:σn(α) ∈ L×-á (1) úà ìéôëð .σ1(α) = σn(α)-ù êë α ∈ L× ùé ,σ1 = σn-ù ïåéë .(1) íéé÷úîùå
.a1σn(α)σ1 + · · ·+ an−1σn−1(α)σn−1 + anσn(α)σn = 0 (2)
ïëì ,a1σ1(αβ) + · · ·+ anσn(αβ) = 0 íéé÷úî ,β ∈ L× ìëì ,éðù ãöî
ïàëî .a1σ1(α)σ1(β) + · · ·+ anσn(α)σn(β) = 0
a1σ1(α)σ1 + · · ·+ an−1σn−1(α)σn−1 + anσn(α)σn = 0 (3)
:(3)-î (2) úà øéñçð
a1(σ1(α)− σn(α)
)σ1 + · · ·+ an−1
(σn−1(α)− σn(α)
)σn−1 = 0
,äéö÷åãðéàä úçðä éôì .(1)-á úàæ áéöð .a1 = 0 ïëìå ,a1(σ1(α) − σn(α)
)= 0 ,äéö÷åãðéàä úçðä éôì
.a2 = · · · = an = 0
ìò äðåúðä TL/K : L→ K ä÷úòää àéä K êåúì L-î äá÷òä .úéôåñ äàåìâ äáçøä L/K éäú :15.1 äøãâä
TL/K(α) =∑σ∈Gal(L/K) σ(α) éãé
.TL/K(β) = 1-ù êë β ∈ Lùéå ñôàä ú÷úòä äðéà TL/K æà .úéôåñ äàåìâ úáçøä L/K éäú :7.9 äîì
c :=-ù êë α ∈ L øçáð .ñôàä ú÷úòä äðéà TL/K =∑σ∈Gal(L/K) 1σ ,7.8 èôùî éôì :äçëåä
.TL/K(α/c) = c/c = 1 æà .TL/K(α) = 0
33
σ éäéåG äàåìâ úøåáç úìòá úéôåñ úéìâòî äáçøä L/K éäú :(úéøåáéç äñøâ ,èøáìéä ìù 90 èôùî) 7.10 èôùî
.β = α− σ(α)-ù êë α ∈ L ùé íà ÷øå íà TL/K(β) = 0 æà .β ∈ L éäé .G ìù øöåé
æà .β = α− σ(α) çéðð :äçëåä
.TL/K(β) =∑τ∈G
τ(α− σ(α)
)=
∑τ∈G
τ(α)− τσ(α) =∑τ∈G
τ(α)−∑τ∈G
τσ(α) = 0
éäé .TL/K(z) = 1 -ù êë z ∈ L ùé 15.3 äîì éôì .n = |G| éäé .TL/K(β) = 0 çéðð ,êôéäì
.α = βσ(z) +(β + σ(β)
)σ2(z) + · · ·+
(β + σ(β) + · · ·+ σn−2(β)
)σn−1(z)
æà
σ(α) =
σ(β)σ2(z) +(σ(β) + σ2(β)
)σ3(z) + · · ·+
(σ(β) + σ2(β) + · · ·+ σn−2(β)
)σn−1(z)+
· · ·+(σ(β) + σ2(β) + · · ·+ σn−1(β)
)σn(z)
ïëì .(TL/K(β)− β
)z = −βz àåä (äðåøçàä äøåùä) ïåøçàä øáåçîäå
.α− σ(α) = βσ(z) + βσ2(z) + · · ·+ βσn−1(z) + βz = β TL/K(z) = β
.char(K) = p > 0 ,äãùK éäé :(Artin-Schreier) 7.11 èôùî
Xp −X − a ∈ K[X] ìù ùøåù α-å L = K(α)-ù êë α ∈ L ùé æà .p äìòîî úéìâòî äáçøä L/K éäú (à)
.a ∈ K äæéà øåáò
ïåùàøä äø÷îá .p åà 1 äìòîî úéìâòîK(α)/K æà .f = Xp −X − a ìù ùøåù α ∈ K éäéå a ∈ K éäé (á)
.÷éøô éà f éðùä äø÷îáå ,K-á f éùøåù ìë
úéìâòî äáçøä ùé æà .pn > 1 äìòîî úéìâòî äáçøä L/K éäú .char(K) = p > 0 ,äãù K éäé :7.12 èôùî
.K ⊆ L ⊆ L′ -ù êë pn+1 äìòîî L′/K
α øùàá ,L′ = L(α) øéãâð .G ìù øöåé σ éäéå G = Gal(L/K) éäú .äá÷òä T = TL/K éäú :äçëåä
.íéàúî a ∈ L øåáò ,f = Xp −X − a ìù ùøåù
.T (β) = 1-ù êë β ∈ L ùé 7.9 äîì éôì .a úàéöî :à áìù
ïëì .T (βp) =∑τ∈G τ(β
p) =∑τ∈G
(τ(β)
)p=
(∑τ∈G τ(β)
)p=
(T (β)
)p= 1 íéé÷úî
-ù êë a ∈ L ùé 7.10 èôùî éôì .T (βp − β) = T (βp)− T (β) = 1− 1 = 0
.σ(a)− a = βp − β (1)
34
.α ∈ L ,(á)7.10 èôùî éôì .f ìù ùøåù α ∈ L éäé .àìù çéðð .L ìòî ÷éøô éà f = Xp −X − a :á áìù
éë ,åìù ùøåù ,σ(α)− α ,(1) éôì .g(X) = Xp −X − (βp − β) ∈ L[X] éäé
.(σ(α)− α
)p − (σ(α)− α
)− (βp − β) =
(σ(αp)− αp
)−(σ(α)− α
)−
(σ(a)− a
)=
σ(αp − α− a)− (αp − α− a) = σ(0)− 0 = 0
,p äìòîî íåðéìåô ìù íéðåù íéùøåù p äìà .0 ≤ i < p ìëì ,β + i íâ ïëìå ,åìù ùøåù β íâ ìáà
ìáà .T(σ(α) − α
)= T (β + i) ïàëî .σ(α) − α = β + i-ù êë i ùé ïëì .åéùøåù ìë íä ïëì
,T (β+i) = T (β)+pni = 1+0 = 1 åìéàå T(σ(α)−α
)= T
(σ(α)
)−T (α) = T (α)−T (α) = 0
.÷éøô éà f ïëì .äøéúñ
.L′ = L(α) øéãâð (.úéìîøåð L′/K-ù íéòãåé åððéà ïééãò äæ áìùáù áì íéùì ùé) .úéìâòî L′/K :â áìù
(1) éôì .äãéøô L′/K ,äàåìâ L/K ,L′/L-ù ïåéë .[L′ : K] = pn+1 ïëì ,[L′ : L] = p æà
,(α+ β)p − (α+ β) = αp − α+ βp − β = a+ βp − β = σ(a)
L′ ìù σ′ íæéôøåîåèåàì σ úà áéçøäì ïúéð ïëì .σ(f) = Xp −X − σ(a) ∈ L[X] ìù ùøåù α + β ïëì
.σ′(α) = α+ β-ù êë
æà .L′′ åäùìë äãù øåáò ,σ: L′ → L′′ úåãù íæéôøåîåæéàì σ úà áéçøð íãå÷ :èåøéô øúéá)
.σ(f) ìù ùøåù α + β íâ .σ(f) ìù ùøåù σ(α) ,f ìù ùøåù α-ù ïåéë .L′′ = σ(L(α)
)= L
(σ(α)
)äéö÷åãðéàá (.σ′ = σ2 σ øéãâð .σ2
(σ(α)
)= α+ β-ù êë σ2: L
′′ → L′ íæéôøåîåæéà íéé÷ ïëì
.(σ′)j(α) = α+ β + σ(β) + · · ·+ σj−1(β)
ïëì ,(σ′)pn |L = σp
n
= 1 ìáà .(σ′)pn = 1 ïëìå ,(σ′)p
n
(α) = α + T (β) = α + 1 = α èøôá
ïëì ;ordσ′ ∤ pn êà ,ordσ′|pn+1 ,øîåìë .(σ′)pn+1
=((σ′)p
n)p= 1 ïàëî .(σ′)p
n ∈ Gal(L′/L)
.ordσ′ = pn+1
Gal(L′/E) = ⟨σ′⟩-å äàåìâ L/E ,ïéèøà ìù äîìä éôì .⟨σ′⟩ ìù úáùä äãù K ⊆ E ⊆ L′ éäé
.E = K ïëì ,[L′ : E] = |⟨σ′⟩| = pn+1 = [L′ : K] èøôá .pn+1 øãñî úéìâòî
35
ïîéø ìù íåé÷ä èôùî .8
øãñ øçáðå ,P = P1C = C ∪· ∞ ïîñð .ζn = exp
2π√
−1
n éäé n ∈ N ìëì ,íéáëåøîä íéøôñîä äãù C éäé
.åæ äöåá÷ ìò áåè
.E = C(z) éäéå ,C ìòî éèðãðöñðøè z éäé
úëøòî àéä (Cp)p∈P-å ,úéôåñ äøåáç G øùàá ,T = (G, (Cp)p∈P) âåæ àåä úåôòúñä ñåôéè (à) :8.1 äøãâä
.p ìë èòîë øåáò Cp = 1-ù êë ,G-á úåãéîö úå÷ìçî ìù
Cp-å G = Gal(F/E) øùàá ,(G, (Cp)p∈P) àåä F/E úéôåñ äàåìâ úáçøä ìù úåôòúñää ñåôéè (á)
.((à)2.3 äøãâä) F/E-á p ìù ä÷ìçîä
úåøåáç ìù íæéôøåîåæéà àåä (G, (Cp)p∈P) → (G′, (C ′p)p∈P) úåôòúñä éñåôéè ìù íæéôøåîåæéà (â)
.p ∈ P ìëì φ(Cp) = C ′p-ù êë φ: G→ G′
úéôåñ äàåìâ úáçøä ìù úåôòúñä ñåôéèì éôøåîåæéà àåä íà E = C(z) ìòî ùåîéîì ïúéð úåôòúñä ñåôéè (ã)
.E ìù
T -úëîåú (gp)p∈Pù øîàð .gp ∈ Cp éäé p ∈ P ìëì .úåôòúñä ñåôéè T = (G, (Cp)p∈P) éäé :8.2 äøãâä
íà
.p ∈ P ìëì gp ∈ Cp (à)
;G = ⟨gp| p ∈ P⟩ (á)
.∏p∈P gp = 1 (â)
úúá P úà óéìçäì øùôà äøãâäá (â) ,(á) íéàðúá ïëì .p ìë èòîë øåáò gp = 1 æà gp ∈ Cp íà :8.3 äøòä
.äìù úéôåñ äöåá÷
:äæ øãñá éåìú åðéà T -úëîåú úëøòî ìù íåé÷ä ìáà .P ìò øãñá äéåìú (â) éàðúá äìôëîä
êë g′1, . . . , g′n ∈ G ùé æà .äøåîú σ ∈ Sn éäú .g1, . . . , gn ∈ G åéäéå úéôåñ äøåáç G éäú :8.4 ìéâøú
íéé÷úîù
,i ìëì gσ(i) -ì ãåîö g′i (à)
,⟨g′1, . . . , g′n⟩ = ⟨g1, . . . , gn⟩ (á)
.g′1 · · · g′n = g1 · · · gn (â)
íéôåìéç ìù äáëøä àéä Sn-á äøåîú ìëù ïååéë ,1 ≤ i ≤ n − 1 øùàá ,σ = (i i+1) éë çéðäì éã :äçëåä
,íéé÷úî (à) æà .j = i, i+ 1 ìëì g′j = gj -å ,g′i = gi+1, g
′i+1 = g−1
i+1gigi+1 øéãâð .äìàë
,g′1 · · · g′n = g1 · · · gi−1gi+1(g−1i+1gigi+1)gi+2 · · · gn = g1 · · · gn
.íéé÷úî (â) ïëìå ,⟨g′i, g′i+1⟩ = ⟨gi+1, g−1i+1gigi+1⟩ = ⟨gi, gi+1⟩-ù úåàøì ì÷å
36
ìòî ùåîéîì ïúéð T = (G, (Cp)p∈P) úåôòúñä ñåôéè :(úéøáâìàä äñøâä - ïîéø ìù íåé÷ä èôùî) 8.5 èôùî
.úëîåú úëøòî åì ùé íà ÷øå íàE = C(z)
.E ìòî äàåìâ úøåáç àéä G úéôåñ äøåáç ìë :8.6 äð÷ñî
æà .gr = g−1r−1 · · · g
−11 ∈ G øéãâð .G = ⟨g1, . . . , gr−1⟩-ù êë g1, . . . , gr−1 ∈ G øçáð :äçëåä
úåôòúñä ñåôéè øéãâð .úåðåù p1, . . . , pr ∈ P øçáð .∏ri=1 gi = 1-å G = ⟨g1, . . . , gr⟩ íéé÷úî
íà Cp = 1-å .i = 1, . . . , r ìëì gi ìù úåãéîöä ú÷ìçî àéä Cpi :àáä ïôåàá T = (G, (Cp)p∈P)
.E ìòî ùåîéî T -ì ùé èôùîä éôì ïëì .T -úëîåú (gp)p∈P æà .p /∈ p1, . . . , pr
.úåçôì úåãå÷ð éúùá úôòåñî F/E æà .F = E ,úéôåñ äàåìâ úáçøä F/E éäú :8.7 äð÷ñî
ïååéë .(gp)p∈P úëîåú úëøòî åì ùé èôùîä éôì .F/E ìù úåôòúñää ñåôéè T = (G, (Cp)p∈P) éäé :äçëåä
.gq = 1-ù êë q = p ,q ∈ P ùé ,∏p gp = 1-ù ïååéë .gp = 1-ù êë p ∈ P ùé ,1 = G = ⟨gp| p ∈ P⟩-ù
.úåôòåñî p, q ïëìå ,Cp, Cq = 1 æà
37
(äøé÷ñ) ïîéø ìù íåé÷ä èôùî ìù äçëåä .9
ìù äçëåää úà øå÷ñð äæ ÷øôá .P = P1C = C ∪· ∞ éäé
ìòî ùåîéîì ïúéð T = (G, (Cp)p∈P) úåôòúñä ñåôéè :(úéøáâìàä äñøâä - ïîéø ìù íåé÷ä èôùî) 8.5 èôùî
.∏p∈P gp = 1-å ,G = ⟨gp| p ∈ P⟩-ù êë ,p ∈ P ìëì ,gp ∈ Cp ùé íà ÷øå íàE = C(z)
:íéàá íéîåçúä úùåìù ïéá íéøù÷ä ìò úññåáî äçëåää
;íééâåìåôåè íéáçøî ìù äàåìâ ééåñéë (à)
;ïîéø éçèùî ìùà äàåìâ ééåñéë (á)
.úåãù ìù äàåìâ úåáçøä (â)
:(êùîäá åúåà øéáñð êà) çéëåð àì åúåà ,àáä èôùîä ìò êîúñð ïë åîë
äðééäúå c1 . . . cn ∈ S åéäé .éè÷ôîå÷ ïîéø çèùî S éäé :(úéèéìðà äñøâ– ïîéø ìù íåé÷ä èôùî) 9.1 èôùî
.i = 1, . . . , n ìëì ,ψ(pi) = ci-ù êë S ìò ψ úéôøåîåøéî äéö÷ðåô úîéé÷ æà .úåðåù p1, . . . , pn ∈ S
.íééâåìåôåè íéáçøî ìù íééåñéë
Ui ìëù êë X =∪i∈I Ui çåúô éåñéë ìòá ,øéù÷ óøåãñåàä áçøî àåä X éâåìåôåè áçøî ìë äæ ÷ìçá
øù÷ èåùÀôå úéúìéñî øéù÷ àåä X-ù çéðäì éã äùòîì) .úéúìéñî øéù÷ X æà .øåùéîá çåúô ìåâéòì éôøåîåàéîåä
.úéôåñ äöåá÷ P øùàá ,X = P∖P :úéñåôéè äîâåã (.éîå÷î ïôåàá
äçåúô äáéáñ ùé p ∈ R ìëìå ìò äðéä f íà éåñéë àéä íééâåìåôåè íéáçøî ìù f : S → R ä÷úòä :9.2 äøãâä
íæéôøåîåàéîåä àåä Ui-ì f ìù íåöîöäå äçåúô Ui ìë øùàá ,f−1(U) =∪· i∈I Ui-ù êë U ⊆ R äøéù÷å
.i ∈ I ìëì ,Ui → U
éùîî r > 0 øùàá ,S0 = z ∈ C| 0 < |z| < r1e ,R0 = z ∈ C| 0 < |z| < r åéäé :9.3 äîâåã
.éåñéë f0 æà .f0(z) = ze ãé ìò äðåúð f0: S0 → R0 éäú .e ∈ N-å
:äàáä äðòèä ìò úåññåáî ,êùîäá äçëåä àìì úåîåùøù ,f : S → R éåñéë ìù úåáø úåðåëú :9.4 äøòä
S ìò äãéçé äìéñîì äîøäì úðúéð R-á p′-ì p-î äìéñî ìë æà .q ∈ f−1(p) ⊆ S éäéå p, p′ ∈ R åéäé
.(q′ ∈ f−1(p′) äæéàá úîééúñîå) q-á äìéçúîù
.íééâåìåôåè íéáçøî ìù éåñéë f : S → R éäé :9.4 äøãâä
äìòîä úàø÷ð àéä .äîöåò äúåà ìòá àåä áéñ ìë .p ∈ R øùàá ,f−1(p) äøåöäî äöåá÷ àåä f ìù áéñ (à)
.deg f ïîåñúå f ìù
.Aut(f) = Aut(S/R) = g: S → S| f g = f, íæéôøåîåàéîåä g äøåáçä àéä f ìù äøåáçä (á)
.g = 1 æà ,S-á äãå÷ð òáå÷ g ∈ Aut(f) íà .f ìù áéñ ìë ìò úìòåô àéä
38
æà .f ìù (åäùìë ïëìå ,ãçà) áéñ ìò éáéèéæðøè ïôåàá úìòåô Aut(f) íà äàåìâ éåñéë àåä f -ù øîàð (â)
.|Aut(f)| = deg f
,σ éãé ìò úøöåð Aut(f0) ∼= Z/eZ-å ,äàåìâ éåñéë àéä 9.3 äîâåãá f0: S0 → R0 ä÷úòää (à) :9.5 äøòä
.σ(z) = ζez øùàá
.S0-ì éôøåîåàéîåä àåä R0 ìù e äìòîî äàåìâ éåñéë ìëù úåàøäì øùôà (á)
éôåìéç íéùøú íéé÷ æà .N ◁ G éäú .G = Aut(f) éäúå äàåìâ éåñéë f : R→ R éäé :9.6 äðòè
Rf //
h
##GGG
GGGG
GGR
S = R/N
f
;;wwwwwwwww
.Aut(f) = G/N ,äàåìâ éåñéë àåä f -å íééâåìåôåè íéáçøî ìù äðîä ú÷úòä àéä h åá
,êôéäì .íéðåúð äàåìâ ééåñéëî íéùãç äàåìâ ééåñéë ìá÷ì øùôà äæä ïôåàá
äàåìâ éåñéë ìëù êë ,f : R → R (øù÷ èåùô) éìñøáéðåàä éåñéëä ,ãçà äàåìâ éåñéë íéé÷ R ìëì :9.7 èôùî
.éôåìéç ìéòì íéùúøäù êë h: R→ S éåñéë íéé÷ ,øîåìë ,åìù äðî àåä f : S → R
[ω] äéôåèåîåää úå÷ìçî ,÷åéã øúéá) ω íéìåìñîä ìë óñåà àåä R ,äöåá÷ë .p0 ∈ R øçáð :úé÷ìç äçëåä
æà .éâåìåôåè áçøî àåä R äîéàúî äéâåìåôåèá .ω ìù óåñä úãå÷ð àéä f([ω])-å ,R-á úåãå÷ðì p0-î (íäìù
ìò úìòåô àéäå (R ìù úéãåñéä äøåáçä) p0-ì p0-î íéøåâñä íéìåìñîä ìë úöåá÷ àéä Aut(f) = π1(R, p0)
.γ(ω) = ω γ éãé ìò R
êë p ∈ S øçáð :àáä ïôåàá h: R → S øéãâð .Aut(f) éäú ,äàåìâ éåñéë f : S → R éäé
úãå÷ð úåéäì h(ω) øéãâðå S êåúá p-î ωS ìåìñîì åúåà íéøð .R êåúá p0-î ìåìñî ω ∈ R éäé .f(p) = p0-ù
.f h = f æà .åìù íåéñä
:àáä ïôåàá :θ: π1(R, p0) = Aut(f)→ Aut(f) úåøåáç ìù íæéôøåîéôà äøùî h: R→ S éåñéëä
,h(γ) ∈ f−1(p0) æà .γS ìù íåéñä úãå÷ð h(γ) éäúå ,S êåúá p-î åìù äîøää γS éäú ,γ ∈ π1(R, p0) éäé
ùé íà ÷øå íà h(ω) = h(ω′)-ù úåàøì ì÷ .θ(γ) = τ øéãâð .h(γ) = τ(p)-ù êë ãéçé τ ∈ Aut(f) ùé ïëì
.S = R/Ker(θ) ïëì .θ(γ) = 1-å ω′ = ω γ-ù êë γ ∈ π1(R, p0)
ìëì ,ïåòùä ïååéë ãâð ïååéëá p áéáñ γp úåàìåì éãé ìò úøöåð π1(R, p0) æà R = P∖P íà (à) :9.8 äøòä
|P | − 1 ìò úéùôçä äøåáçä àéä π1(R, p0) ïëì .(íéàúî øãñá)∏p γp = 1 àåä ïäéðéá ãéçéä ñçéäå ,p ∈ P
.äãîöää éãë ãò àéä γp íéøöåéä ìù äøéçáä .íéøöåé
ìù äçëåäá íæéôøåîéôàä θ: π1(R, p0) → G éäé ,G äøåáç íò äàåìâ éåñéë f : S → R íà (á)
.(Cp = 1 éäé p /∈ P øåáò) .p ∈ P ìëì ,áèéä úøãâåî θ(γp) ìù Cp ä÷ìçîä æà .9.7 èôùî
39
ïè÷ r > 0 øåáò ,9.3 äîâåãá åîë R0 éäé .p = 0 çéðð úåèùô íùì :Cp ìù (äìå÷ù) úôñåð äøãâä
äøåáçä .íéàúî e øåáò S0-ì íééôøåîåàéîåä íìåë ,íéøéù÷ éà íéáéëøî ìù øæ ãåçéà àåä f−1(R0) æà .÷éôñî
øéù÷ áéëøî øçáð .z 7→ ze éãé ìò äðåúðä f0: S0 → R0 ä÷úòää àéä S0-ì f ìù íåöîöä .íúåà äøéîúî G
øöåéä σ éäé .Aut(f0) àéäå úéìâòî àéä .G ìù äøåáç úú àåä S0 ìù g ∈ G| g(S0) = S0 æà .S0 ãçà
.σ ìù ä÷ìçîä àéä Cp æà .(á)9.5 äøòäá øãâåäù éôë ,äìù ãçåéîä
ãçåéîä øöåéä .g ∈ G øùàá ,g(S0) äøåöäî àåä øçà øéù÷ áéëøî ìë :S0 úøéçáá äéåìú äðéà åæ äøãâä
.σ ìù ãåîö ,gσg−1 àåä åì êééåùîä
.S/R ìù (G, (Cp)p∈P) úåôòúñää ñåôéè åðøãâä äæë ïôåàá ,úéôåñ äìòîî f íà
íééâåìåôåè íéáçøî ìù äàåìâ éåñéë ìù úåôòúñää ñåôéèë ùåîéîì ïúéð (G, (Cp)p∈P) úåôòúñä ñåôéè :9.9 èôùî
.úëîåú úëøòî åì ùé íà ÷øå íà
øéãâð .γp 7→ gp éãé ìò θ: π1(R, p0)→ G íæéôøåîéôà äøéãâî àéä ,(gp)p∈P úëîåú úëøòî ùé íà :äçëåä
.S = R/Ker θ
úåøéãâî G = Aut(f)-á γp ìù úåðåîúäå R → R ìù äðî àåä ,äàåìâ éåñéë f : S → R íà ,êôéäì
.úëîåú úëøòî
,∞ = p ∈ P éäé .éôåñ äàåìâ éåñéë f : S → R éäé .R = P∖P éäéå úéôåñ P ⊆ P éäú
æà ;íéôñåð P éøáà ìéëî åðéà D(p, r)-ù êë r ñåéãøá p áéáñ çåúôä ìåâéòä D(p, r) ⊆ C éäéå
íéáéëøî ìù øæ ãåçéà àåä f−1(D(p, r)∖p
),9.5 äøòä éôì .V = D(0, r
1e ) éäé .D(p, r)∖p ⊆ R
íâ ïåëð äæ) .z 7→ p+ ze àåä V ∖0-ì f ìù íåöîöäå V ∖0-ì éôøåîåàéîåä åðéä íäî ãçà ìëå íéøéù÷
(.z 7→ 1ze ç÷éð z 7→ p+ ze íå÷îáå D(p, r) = z ∈ P| | 1z | < r íà ,p =∞ øåáò
ìá÷ð æà .íàúäá f úà áéçøðå ,V -á V ∖0 úà ,D(p, r)-á D(p, r)∖p úà óéìçð p ∈ P ìëì
.f : S → R ìù äîìùää ,f : S → P ä÷úòä
äáçøäì ïúéð h ∈ Aut(S/R) ìë .ìòå äôéöø àéä f : S → P ,øéù÷ óøåãñåàä éè÷ôîå÷ àåä S áçøîä :9.10 äðòè
.f h = f -ù êë h: S → S íæéôøåîåàéîåäì ãéçé ïôåàá
.ïîéø éçèùî ìù íééåñéë
,Φ = φi: Vi → Uii∈I äçôùî íò ,X øéù÷å óøåãñåàä éâåìåôåè áçøî àåä ïîéø çèùî :9.10 äøãâä
φi ,äçåúô Ui ⊆ C ,äçåúô Vi ⊆ X ,i, j ∈ I ìëìå X =∪i∈I Vi øùàá (φi úåôî ìù) (ñìèà)
40
:úéôøåîåìåä àéä φj φ−1i ä÷úòää i, j ∈ I ìëìù êë ,íæéôøåîåàéîåä
Vi ∩ Vj
φiwwoooooo
ooooo φj
''OOOOO
OOOOOO
Ui ⊇ φi(Vi ∩ Vj)φjφ−1
i
// φj(Vi ∩ Vj) ⊆ Uj
.úéáøî Φ ç÷ð ,ïéôåìçì .úåìé÷ù ú÷ìçîá Φ óéìçäì êéøöå íéìå÷ù (X,Φ), (X,Φ′) æà Φ ⊆ Φ′ íà ,÷åéã øúéá
,φ1 = id: C → C úåôîä íò ,P = C ∪ (C× ∪· ∞) :ïîéø øåãë ,P = P1C = C ∪· ∞ :9.11 äîâåã
.( 1∞ = 0) φ2 = 1
z : C× ∪· ∞ → C
,φi: Vi → Uii∈I ,φj : V ′j → U ′
jj∈J íééáøî íéñìèà íò ,ïîéø éçèùî X,X ′ åäé :9.12 äøãâä
ψ äðåúçúä ä÷úòää æà ,f(Vi) ⊆ V ′j íà :úîéé÷î àéä íà úéèéìðà úàø÷ð f : X → X ′ ä÷úòä .äîàúäá
úéôøåîåìåä àáä íéùøúá
Vi
φi
f // V ′j
φ′j
φi(Vi)
ψ // φ′j(V
′j )
.∞ êåúì X úà ä÷éúòî äððéàå úéèéìðà àéä íà úéôøåîåøéî úàø÷ð f : X → P ä÷úòä
,f(Vi) ⊆ V ′j ,p ∈ Vi-ù êë i, j ìëìå p ∈ X ìëì íà ÷øå íà úéôøåîåøéî àéä f : X → P (à) :9.13 äøòä
.x ∈ V ìëì ψ(φi(x)
)=
∑∞n=N an
(φi(x)− φi(p)
)níéé÷úî äá V ⊆ Vi äáéáñ ùé
.∞ êøò úìá÷î àéä ïäá úåãå÷ð ,øîåìë ,íéáè÷ ìù éôåñ øôñî ÷ø ùé úéôøåîåøéî äéö÷ðåôì (á)
C úà ìéëî àåä .M(X) ïîåñé .äãù àåä X ïîéø çèùî ìò úåéôøåîåøéîä úåéö÷ðåôä ìë óñåà (â)
.(úåòåá÷ä úåéö÷ðåôä=)
.g 7→ gf éãé ìòM(X ′)→M(X) úåãù ïåëéù äøùî ìò äðéäù f : X → X ′ úéèéìðà ä÷úòä (ã)
áì íéù .C(z) ⊆ M(P) ïàëîå ,z ∈ M(P) ïëì .úéôøåîåøéî àéä z: P → P úåäæä ú÷úòä :9.14 äîâåã
.C(z) =M(P) éë äàøð .úéøáâìà øåâñ C-å z /∈ C éë ,C ìòî úéèðãðöñðøè z-ù
p1, . . . , ps åéäé .(f−1-á f úà óéìçð úøçà) f ìù áèå÷ åðéà∞ úåéììëä úìáâä éìá .f ∈M(P) éäú
æà .íééìéìù íéëéøòî íò pi áéáñ f ìù ïTåì çåúéôá íéøáéàä ìù íåëñä fi éäé 1 ≤ i ≤ s ìëì .äéáè÷ ìë
.äòåá÷ g ,ìéáåéì èôùî éôì .íéáè÷ àììå úéôøåîåøéî äðéä g = f −∑i fi-å ,pi-á ÷ø áèå÷ äì ùé ,fi ∈ C(z)
.f = g +∑i fi ∈ C(z) ïëì
41
éäú .úéôåñ P ⊆ P øùàá ,f : S → R = P ∖ P éôåñ äàåìâ éåñéë ìù äîìùää f : S → P éäú :9.15 èôùî
æà .H = Aut(S/R)
.úéèéìðà ä÷úòä f -å ïîéø çèùî S (à)
äáçøää éãé ìò H ∼= Aut(S/P) æà Aut(S/P) = g: S → S| f g = f , úéèéìðà-éá f ïîñð (á)
.h 7→ h
.φ 7→ φ f éãé ìòM(R)→M(S) úåãù ïåëéù äøùî f (â)
M(S) ìù íæéôøåîåèåà àéä ψ 7→ ψ h−1 ãé ìò úøãâåîä ιh:M(S) →M(S) ä÷úòää h ∈ H ìëì (ã)
.M(R) ìòî
.íæéôøåîåæéà àéä ι: H → Gal(M(S)/M(R))-å äàåìâ úáçøä àéäM(S)/M(R) (ä)
Gal(M(S)/M(R))-á p ìù ä÷ìçîä ìò H -á p ìù ä÷ìçîä úà ä÷éúòî ι ä÷úòää p ∈ P ìëì (å)
.(å) ,(á) ,(à) úà çéëåð àì .íéøåøá (ã) ,(â) :äçëåä
àåä G ìù úáùä äãùù äàøð .åúðåîú G éäú .ι: H → AutM(S)) íæéôøåîåîåä àåä ι-ù øåøá (ä)
.M(R)
éäé .φ ∈ M(R) øùàá ,φ f äøåöäî àåäM(R) ìù øáéà ìù äðåîú åðéäùM(S) ìù øáéà ,ïëà
.ιh(φ f) = φ f h−1 = φ f ïëì ,f h−1 = f æà .h ∈ H
äøåöäî àåä f ìù áéñ ìëù ïååéë .h ∈ H ìëì ψ h = ψ-ù êë ψ ∈ M(S) éäé ,êôéäì
äéö÷ðåô äøéãâî ψ ïëì .p ∈ R øùàá ,h−1(p) áéñ ìë ìò äòåá÷ àéä ψ-ù àöåé ,h(q)| h ∈ H
q ∈ S ìù V äçåúô äáéáñå R-á U äçåúô äáéáñ åì ùé æà p ∈ R íà .ψ = φ f -ù êë φ: R→ P = R
φ ïëì .U ìò úéôøåîåøéî φ íâ ,V ìò úéôøåîåøéî ψ-ù ïååéë .éèéìðà íæéôøåîåàéîåä f : V → U -ù êë p ìòî
.φ ∈M(R) ,ïîéø ìù äáçøää èôùî éôì .R ìò äôéöø φ ïë åîë .R ìò úéôøåîåøéî
àåäù äàøð .íæéôøåîéôà ι ïëì .ι(G) äàåìâ úøåáç íò äàåìâ àéäM(S)/M(R) ïéèøà ìù äîìä éôì
êë ψ ∈ M(S) ùé 9.1 èôùî éôì .h−1(q) = q-ù êë q ∈ S ùé æà .1 = h ∈ H éäé .éëøò-ãç-ãç
.ιh = 1 ,øîåìë ,ψ h−1 = ψ ïëì .ψ(h−1(q)) = ψ(q)-ù
.E = C(z) ìòî ùåîéîì ïúéð T æà .T -úëîåú úëøòî ìòá úåôòúñä ñåôéè T = (G, (Cp)p∈P) éäé :9.16 äð÷ñî
íééâåìåôåè íéáçøî ìù äàåìâ éåñéë íéé÷ 9.9 èôùî éôì .P = p ∈ P| Cp = 1 éäú :äçëåä
.M(S)/C(z) ùåîéîì ïúéð àåä 9.15 èôùî éôì .f : S → R := P∖P
íééâåìåôåè íéáçøî ìù äàåìâ éåñéëå úéôåñ P ⊆ P ùé æà .úéôåñ äàåìâ úáçøä F/C(z) éäú :9.17 èôùî
.M(S) ∼=C(z) F íæéôøåîåæéà íéé÷ù êë f : S → R := P ∖ P
úìáâä éìá .q(α) = 0 ,÷éøô éà íåðéìåô q ∈ C(z)[X] éäéå C(z) ìòî éáéèéîéøô øáéà α ∈ F éäé :äçëåä
ìë úàå ∞ úà úììåëù úéôåñ P ⊆ P éäú .n = degX q éäé .ï÷åúî q = q(z,X) ∈ C[z][X] úåéììëä
42
íéùøåù n ÷åéãá åì ùé ,øîåìë ,ãéøô q(p,X) íåðéìåôä p ∈ P∖P ìëì æà .Dnq äèððéîéø÷ñéãä ìù íéùøåùä
éäú .C-á íéðåù
S′ = (u, v1, . . . vn) ∈ Cn+1|∏i=j
(vi − vj) = 0 ,i ìëì q(u, vi) = 0 ,u ∈ P∖P
äøåáçä .äôéöø àéä f : S′ → P∖P äðåùàøä äèðéãøåàå÷ä ìò äìèää .Cn+1-î úéøùåîä äéâåìåôåèä íò
úåéôøåîåìåä úåéö÷ðåô n ùé x0 ∈ P∖P ìëì .v1, . . . , vn ìù äøîúä éãé ìò ,S′ ìò úìòåô Sn úéøèîéñä
ìëì .q(x,X) ìù íéðåùä íéùøåùä ìë íä ψ1(x), . . . ψn(x)-ù êë x0 ìù U äáéáñá úåøãâåî ,ψ1, . . . , ψn
f ìù íåöîöäå f−1(U) =∪· σ Vσ æà .Vσ = (x, ψσ(1)(x), . . . , ψσ(n)(x))| x ∈ U éäú σ ∈ Sn
.Vσ → U íæéôøåîåàéîåä àåä Vσ-ì
ìù äàåìâ éåñéë àåä S-ì f ìù íåöîöä æà .S′ ìù øéù÷ áéëøî S éäé .øéù÷ áçøî åðéà S′-ù ïëúé
úåéö÷ðåô ïä úåðåøçàä úåèðéãøåàå÷ä n ìò g1, . . . , gn: S → C úåìèää .f : S → P∖P íééâåìåôåè íéáçøî
.q(z,X) ìù íéùøåù ïäå ,S ìù S äîìùää ìò úåéôøåîåøéî
,(ä)9.15 èôùî éôì ,ïëà .C(z) =M(P) ìòîM(S) úà úåøöåé äìà úåéö÷ðåô
.Gal(M(S)/C(z)) = ιh| h ∈ Aut(f)
íâ ìáà .x ∈ S ìëìå i ìëì gi(x) = gi(h−1(x)) æà .i ìëì ιh(gi) = gi-ù êë h ∈ Aut(f) éäé
ïëìå ,úåäæ S′ éøáàë x, h−1(x) ìù úåèðéãøåàå÷ä n + 1 ìë ,øîåìë .x ∈ S ìëì f(x) = f(h−1(x))
.ιh = 1 ïëì .h = 1 ïàëî .x ∈ S ìëì ,x = h−1(x)
.M(S) ∼=C(z) F ïàëî .C(z) ìòî q(z,X) ìù ìåöéôä äãù àåäM(S) ïëì
43
úåéôåñåøô úåøåáç .10
áçøî (G, T )-ù êë G äöåá÷ä ìò T äéâåìåôåè íò ãçé G äøåáç àåä (G, T ) .úéâåìåôåè äøåáç :10.1 äøãâä
äðåúðä) g → G éëôåää ú÷úòäå ((g1, g2) 7→ g1g2 éãé ìò äðåúðä)G×G→ G äìôëîä ú÷úòäå óøåãñåàä
.úåôéöø ïä (g 7→ g−1 éãé ìò
.(úåøåâñ) úåçåúô Ug, gU, U−1 æà g ∈ G-å (äøåâñ) äçåúô U ⊆ G íà .úéâåìåôåè äøåáç G éäú :10.2 ìéâøú
.H ≤ G ,úéâåìåôåè äøåáç G éäú :10.3 äîì
.äøåâñ íâ H æà ,äçåúô H íà (à)
.äçåúô íâ H æà (G : H) <∞-å äøåâñ H íà (á)
.(G : H) <∞ æà ,äçåúô H -å úéè÷ôîå÷ G íà (â)
æà .Hgi0 = H-ù êë ãéçé i0 ∈ I ùéå ,|I| = (G : H) øùàá ,G =∪· i∈I Hgi íéé÷úî :äçëåä
.äøåâñ H = G∖∪· i=i0 Hgi ïëì ,äçåúô
∪· i =i0 Hgi (à)
.äçåúô H = G∖∪· i=i0 Hgi ïëì ,äøåâñ
∪· i=i0 Hgi (á)
ìáà .G =∪· i∈J Hgi-ù êë úéôåñ J ⊆ I ùéù G =
∪· i∈I Hgi êåúî òáåð úåéè÷ôîå÷ä ììâá (â)
.I = J ïëì ,úå÷éø àì úåöåá÷ ìù øæ ãåçéà àåä ïåùàøä ãåçéà
äéâåìåôåèì ñéñá åì ùéù óøåãñåàä éè÷ôîå÷ áçøî àéä íà ,úéôåñåøô úàø÷ð äéâåìåôåè íò äøåáç :10.4 äøãâä
.ïáåîë ,úåçåúô äìà úåøåáç úú .(úåîééåñî) úåéìîøåð úåøåáç úú ìù íéèñå÷ä ìë ìù
!÷åãá .äøãâääî òáåð äæ éë ,úåôéöø äðééäú úåìåòôäù úùøåã äðéà äøãâää (à) :10.5 äøòä
íà ÷øå íà äøåáçä ìò äéâåìåôåèì ñéñá íéååäî úåéìîøåð úåøåáç úú ìù Nii∈I äçôùî ìù íéèñå÷ä (á)
.Nk ≤ Ni ∩Nj -ù êë k ∈ I ùé i, j ∈ I ìëì
.∩i∈I Ni = 1 íà ÷øå íà óøåãñåàä äðéä (á) ÷ìçá äéâåìåôåèä (â)
.H ≤ G éäúå úéôåñåøô äøåáç G éäú :10.6 äîì
.äçåúô (G ìò äéâåìåôåèä úà øéãâîù ñéñáäî) úéñéñá N äøåáç úú äìéëî àéä íà ÷ø íà äçåúô H (à)
.úåçåúô úåøåáç úú ìù êåúéç àéä íà ÷øå íà äøåâñ H (á)
.úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù êåúéç àéä íà ÷øå íà äøåâñ H :æà H ◁ G íà (â)
N øùàá ,1N = N èñå÷ àéä åæ äáéáñ .H-á úìëåî úéñéñá äáéáñ ùé 1 ∈ H-ì ,äçåúô H íà (à) :äçëåä
.äçåúô ïëìå ,úåçåúô úåöåá÷ ìù ãåçéà H =∪h∈H hN æà ,úéñéñá N äìéëî H íà ,êôéäì .úéñéñá
úåàøäì éã .äøåâñH-ù çéðð ,êôéäì .øåâñ ïëåúéç ïëì ,((à)10.3 äîì) úåøåâñ íâ ïä úåçåúô úåøåáç úú (á)
.g /∈ H ′-å H ≤ H ′-ù êë ,äçåúô H ′ ≤ G ùé g ∈ G∖H ìëìù
44
H úà äìéëî ,(à) éôì äçåúô HN æà .gN ⊆ G∖H-ù êë úéñéñá N ùé ïëì ,äçåúô G∖H ,ïëàå
.äøéúñ ,h = gn−1 ∈ H ∩ gN æàå ,h ∈ H,n ∈ N øùàá g = hn úøçà ,g /∈ HN ìáà
.HN ◁ G æà H ◁ G íà :(á) ÷ìçá åîë (â)
(.úéèø÷ñéã àéä úéôåñ äøåáç ìë êùîäá) .úéôåñåøô àéä úéèø÷ñéã úéôåñ äøåáç ìë (à) :10.7 úåàîâåã
äàåìâ úåáçøä úçôùî L éäú .G = Gal(N/K) éäúå (úéôåñ çøëäá àì) äàåìâ úáçøäN/K éäú (á)
.σGal(L)| σ ∈ G, L ∈ L :àáä ñéñáä éãé ìò äéâåìåôåè G ìò øéãâð .N -á úåìëåîä K ìù úåéôåñä
.Gal(L) ≤ Gal(L1)∩Gal(L2) æà .L = L1L2 ∈ L éäé ,L1, L2 ∈ L íà :íéé÷úî (á)10.5 éàðú
ä÷úòä úåøéãâî äìà úå÷úòä .äôéöø àéä G → Gal(L/K) íåöîöä ú÷úòä L ∈ L ìëì
àéä äìù äðåîúä .úéëøò-ãç-ãç ä÷úòää ,∪L∈L L = N -ù ïååéë ρ: G →
∏L∈L Gal(L/K) äôéöø
éë ,íæéôøåîåàéîåä àåä ρ: G → Z ,ïë ìò øúé .Z = (σL)L∈L| L ⊆ M ⇒ σM |L = σL
.óøåãñåàä úéè÷ôîå÷ Z-ù ÷åãáì øàùð ïëì .ρ(σGal(N/L)) =(σ|L×
∏L =M∈L Gal(M/K)
)∩Z
L ⊆ M ùé æà .(σL)L∈L ∈∏L∈L Gal(L/K)∖Z éäé :çåúô äìôëîá Z ìù íéìùîäù äàøð
ïëì ,τM = σM -å τL = σL úåéììëä úìáâä éìá æà ,(σL)L∈L-ì áåø÷ (τL)L∈L íà .σM |L = σL-ù êë
.(τL)L∈L /∈ Z íâ æà .τM |L = τL
úúå ,úéè÷ôîå÷ óøåãñåàä àéä íééè÷ôîå÷ óøåãñåàä éáçøî ìù äìôëîäù ïååéë .äìôëîá äøåâñ Z êë éôì
.úéè÷ôîå÷ óøåãñåàä Z æà ,úéè÷ôîå÷ óøåãñåàä àéä éè÷ôîå÷ óøåãñåàä áçøîá äøåâñ äöåá÷
.úéôåñåøô äøåáç àéä Gal(N/K) äæ ïôåàá
àéä Gal(N/K) ìù H äøåáç úú :10.8 äð÷ñî
.N -á úìëåî K ìù úéôåñ äãéøô äáçøä E øùàá ,H = Gal(N/E) íà ÷øå íà äçåúô (à)
.N -á úìëåî K ìù äãéøô äáçøä F øùàá ,H = Gal(N/F ) íà ÷øå íà äøåâñ (á)
π: Gal(N/K) → Gal(L/K) éäú .Gal(N/L) ≤ H-ù êë L ∈ L ùé æà ,äçåúô H íà (à) :äçëåä
H ≤ Gal(L/K) äøåáç úú ùé éùéìùä íæéôøåîåæéàä èôùî éôì .Gal(N/L) = Kerπ æà .íåöîöä ú÷úòä
ïëì .H = Gal(L/E)-ù êë K ⊆ E ⊆ L ùé äàåìâ úøåú éôì .H = π−1(H)-ù êë
.H = π−1(Gal(L/E)) = Gal(N/E)
æà .N -á äìù äàåìâ øåâñ L ∈ L éäé .N -á úìëåî K ìù úéôåñ äãéøô äáçøä E éäú ,êôéäì
.äçåúô Gal(N/E) ïëì ,(Gal(N/L) ≤ Gal(N/E)
äãùá ìëåî E íà ÷ø íà H ≤ Gal(N/E) æà .N -á úìëåî K ìù úéôåñ äãéøô äáçøä E éäú (á)
.H =∩E⊆F Gal(N/E) = Gal(N/F ) íà ÷øå íà äøåâñ H ïëì .H ìù F úáùä
F 7→ Gal(N/F ) æà .G = Gal(N/K) éäúå äàåìâ úáçøäN/K éäú :(úéôåñðéà äàåìâ úøåú) 10.9 èôùî
éãé ìò äðåúð äëåôää äîàúää .G ìù úåøåâñä úåøáç-úúä ïéáì N/K ìù íééðéáä úåãù ïéá úéëøò-ãç-ãç äîàúä àéä
.G ìùH äøåâñ äøåáçúú ìù úáùä äãùNH øùàá ,H 7→ NH
45
Ks øùàá ,Gal(Ks/K) úéôåñåøôä äøåáçä àéä K äãù ìù Gal(K) úèìçåîä äàåìâ úåøáç :10.10 äøãâä
.K ìù ãéøôä øåâñä
.úéôåñåøô äøåáç àéä (úåéôåñ úåøåáç ìù èøôáå) úåéôåñåøô úåøåáç ìù äøùé äìôëî :10.11 äð÷ñî
.úåéôåñåøô Gi øùàá ,G =∏i∈I Gi çéðð :äçëåä
øùàá ,∏j∈J Vj ×
∏i∈I∖J Gi äøåöäî úåöåá÷ ìù ñéñáä éãé ìò äðåúð G ìò äéâåìåôåèäù øåëæð
.j ∈ J ìëì ,Gj ìù Bj ñéñáá Vj -å úéôåñ äöåá÷ úú J ⊆ I
úéè÷ôîå÷ G íâ ,óøåãñåàä íééè÷ôîå÷ íéáçøî ìù äìôëîë .úåôéöø G-á äìôëîäå ìôëäù úåàøì ì÷
ìù ì"ðä ñéñáä æà .úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù íéèñå÷î áëøåî Gi ìù Bi ñéñá ùé i ∈ I ìëì .óøåãñåàä
.úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù íéèñå÷î áëøåî íâ G
.úéôåñåøô H æà .äøåâñ H ≤ G éäúå úéôåñåøô äøåáç G éäú :10.12 ìéâøú
óøåãñåàä éè÷ôîå÷ áçøîá äøåâñ äöåá÷ .H ⊆ G ìò úåôéöø úåìåòô úåøùîG ìò úåôéöøä úåìåòôä (à) :äçëåä
N ◁ G íà .H ìò äéâåìåôåèì ñéñá íéðúåð G ìù ñéñá éøáà ìù H íò íéëåúéçä .óøåãñåàä úéè÷ôîå÷ àéä
hN ∩H = h(N ∩H) æàå ,gN = hN ïëìå ,h ∈ gN ∩H ùé æà ,ä÷éø äðéà gN ∩H-å ,g ∈ G-å äçåúô
.H-á N ∩H äçåúô úéìîøåð äøåáç úú ìù èñå÷ àéä
.úéôåñåøô äøåáç àåä (úåéôåñ úåøåáç ìù èøôáå) úåéôåñåøô úåøåáç ìù äìôëî ìù äøåâñ äøåáç úú :10.13 äð÷ñî
.úåéôåñ úåøåáç ìù äìôëî ìù äøåâñ äøåáç úúì úéôøåîåæéà úéôåñåøô äøåáç ìë ,êôéäì
íéååäî ïäìù íéèñå÷äù êë G-á úåéìîøåð úåøåáç ìù äçôùî Nii∈I éäú .úéôåñåøô äøåáç G éäú :äçëåä
.äôéöø àéä G→ G/Ni äðîä ú÷úòäå úéôåñ àéä G→ G/Ni äðîä i ∈ I ìëì æà .G ìò äéâåìåôåèì ñéñá
.G→∏i∈I G/Ni äôéöø ä÷úòä úåøéãâî äìà úå÷úòä
æà äàåìâ úáçøä N/K íàù åðéàø (á)10.7 äîâåãá :10.14 äøòä
.Gal(N/K) ∼=(σL)L∈L ∈
∏L∈L
Gal(L/K)∣∣σM |L = σL
(= Z)
.(äðîä úééâåìåôåèá) úéôåñåøô G/K æà .äøåâñ K ◁ G éäúå úéôåñåøô äøåáç G éäú :10.15 ìéâøú
U ⊆ G :äðîä úééâåìåôåè àéä G ìò äéâåìåôåèä .äðîä ú÷úòä π: G → G éäúå G = G/K éäú :äçëåä
.úéè÷ôîå÷ G íâ ,ìò π-å úéè÷ôîå÷ G-ù ïååéë .äçåúô π−1(U) ⊆ G íà ÷øå íà äçåúô
,(â)10.6 äîì éôìå íééôåñ íéëåúéç úçú äøåâñ N æà .N = N ◁ G| K ≤ N, äçåúô N ïîñð
èôùî éôì ïëì .G-á äçåúô π−1(π(N)) = N éë ,G-á äçåúô π(N) æà ,N ∈ N íà .∩N∈N N = K
úçú äøåâñ ,G ìù úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù äçôùî N = π(N)| N ∈ N éùéìùä íæéôøåîåæéàä
46
éäùåæéàì ñéñá íéååäî N éøáà ìù íéèñå÷ä 10.5 äøòä éôì ïëì .∩N∈N π(N) = 1-å íééôåñ íéëåúéç
.äðîä úééâåìåôåè úàæù äàøð .óøåãñåàä äðéäù G ìò äéâåìåôåè
g ∈ U ùéå ,äçåúô äöåá÷ U = π−1(U) ⊆ G æà .g ∈ U éäéå äçåúô äöåá÷ U ⊆ G éäú ,ïëà
êë äçåúô N ◁ G ùé .UK = U ïëì ,π(UK) = π(U) = U -å U ⊆ UK-ù áì íéùð .π(g) = g-ù êë
.g ∈ gπ(NK) ⊆ U -å π(NK) ∈ N ïëì ,gNK ⊆ UK = U -å ,NK ∈ N úòë .gN ⊆ U -ù
äøåáç àéä Z =(a1, a2, a3, . . .) ∈
∏m∈N(Z/mZ)
∣∣ m|n ⇒ am ≡ an mod m
:10.16 äîâåã
.úåéôåñ úåøåáç ìù äìôëîá äøåâñ äøåáç úú àéä ,ïëà .úéôåñåøô
.Z-ì úéôøåîåæéà äðéä éôåñ äãù ìù úèìçåîä äàåìâ úøåáç :10.17 èôùî
Fs êåúá äãéçé äáçøä Fq-ì ùé n ∈ N ìëì ,òåãéë .íéøáéà q ïá äãù ,Fq ìù Fs éøáâìà øåâñ òá÷ð :äçëåä
θn: Gal(Fqn/Fq)→ Z/nZ íæéôøåîåæéà ùéå ,äàåìâ úáçøä Fqn/Fq ïë ìò øúé .Fqn äãùä àéä ,n äìòîî
éôåìéç àáä íéùøúä æà m|n íà .Frobq 7→ [1] éãé ìò ïåúðä
Gal(Fqn/Fq)θn //
Z/nZ
Gal(Fqm/Fq)
θm // Z/mZ
.θ:∏nGal(Fqn/Fq)→
∏n Z/nZ íæéôøåîåæéà úåøéãâî θn æà
.(an)n∈N| am ≡ an mod m ìò (σn)n∈N| σm = σn|Fqm úà ÷éúòî äæ íæéôøåîåæéà
.äøãâää éôì ,Z-ì éðùäå ,10.14 äøòä éôì ,Gal(F )-ì éôøåîåæéà ïåùàøä
÷øå íà óéöø φ: G → A íæéôøåîåîåä æà .(úéèø÷ñéã) úéôåñ äøåáç A-å úéôåñåøô äøåáç G éäú (à) :10.17 ìéâøú
.G-á äçåúô äøåáç úú Ker(φ) íà
íà óéöø åðéä φ: Gal(N/K)→ A íæéôøåîéôà æà .(úéèø÷ñéã) úéôåñ äøåáç A éäúå äàåìâ úáçøä N/K éäú (á)
éôåìéç íéùøúå L/K úéôåñ äàåìâ úáçøä úîéé÷ íà ÷øå
Gal(N/K)
res
xxpppppp
ppppp φ
$$HHH
HHHH
HHH
Gal(L/K)θ
// A
.íæéôøåîåæéà θ -å íåöîöä ú÷úòä res åá
Ker(φ)⇔ G-á íéçåúô Ker(φ) ìù íéèñå÷ä ìë⇔ a ∈ A ìëì ,äçåúô φ−1(a)⇔ óéöø φ (à) :äçëåä
.G-á äçåúô
47
óéöø φ ïëì ,Gal(N/K)-á äçåúô Ker(φ) = Ker(res) = Gal(N/L) æà éôåìéç íéùøúä íà (á)
.(à) éôì
,(à)10.8 äð÷ñî éôì ,ïëì ,Gal(N/K)-á äçåúô Ker(φ) ◁ Gal(N/K) æà , óéöø φ íà ,êôéäì
åðéòøâå íæéôøåîéôà res æà .K ìù úéôåñ äàåìâ úáçøä K ⊆ L ⊆ N øåáò ,Ker(φ) = Gal(N/L)
.éôåìéç íéùøúäù êë θ íæéôøåîåæéà íéé÷ ïåùàøä íæéôøåîåæéàä èôùî éôì .Gal(N/L) = Ker(φ)
.G ìù äøåáç úú àéä (G-á H ìù éâåìåôåèä øåâñä) H íâ æà .H ≤ G éäúå úéâåìåôåè äøåáç G éäú :10.18 ìéâøú
æà .äìù íééðéá úåãù éðù L1, L2 åéäé äàåìâ úáçøä N/K éäú :10.19 ìéâøú
,Gal(N/L1 ∩ L2) = ⟨Gal(N/L1),Gal(N/L2)⟩
.S1 ∪ S2 úà äìéëîù øúåéá äðè÷ä äøåâñä äøåáç úú úà ïîñî ⟨S1, S2⟩ øùàá
êë G ìù úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù äçôùî N = Ni| i ∈ I éúä .úéôåñåøô äøåáç G éäú :10.20 ìéâøú
-ì úéôøåîåæéà G æà .∩i∈I Ni = 1-å Nk ≤ Ni ∩Nj íéé÷îù k ∈ I ùé i, j ∈ I ìëìù
.Z =(σiNi)i∈I ∈
∏i∈I
G/Ni∣∣Nj ≤ Ni ìëì σiNi = σjNi
äìàä úå÷úòää .σ 7→ σNi éãé ìò πi: G → G/Ni äôéöøä äðîä ú÷úòä úîéé÷ i ∈ I ìëì :äçëåä
ìëù äàøð .Z êåúá åúðåîúù øåøá .σ 7→ (σNi)i∈I éãé ìò π: G→∏i∈I G/Ni óéöø íæéôøåîåîåä úåøéãâî
.π(G) äðåîúá (σiNi)i∈I ∈ Z
.åëåúá äøåâñ π(G) ,óøåãñåàä àåä äìôëîä áçøîù ïååéë .úéè÷ôîå÷ π(G) íâ ,úéè÷ôîå÷ G-ù ïååéë
.(σiNi)i∈I ìù äçåúô äáéáñ ìëá ìëåî øîåìë ,π(G) ìù øåâñá (σiNi)i∈I -ù úåàøäì éã ïëì
øùàá ,U = (τiNi)i∈I | j ∈ J ìëì τj = σj àéä äìôëîá (σiNi)i∈I ìù úéñéñá äçåúô äáéáñ
σNj = σjNj æà .σNk = σkNk-ù êë σ ∈ G ùéå j ∈ J ìëì Nk ≤ Nj -ù êë k ∈ I ùé .úéôåñ J ⊆ I
.π(σ) ∈ U ïëì .j ∈ J ìëì
48
ïåëéù úåéòá ïåøúô .12
.úøçà øîàð íà àìà ,óéöø àåä úåéôåñåøô úåøåáç ìù íæéôøåîåîåä ìë ïìäì
ìù íéîæéôøåîéôà ìù (φ: G→ A, α: B → A) âåæ àéä G úéôåñåøô äøåáç øåáò ïåëéù úééòá :12.1 äøãâä
éôåìéç àáä íéùøúäù êë γ: G→ B íæéôøåîéôà àåä åæ äéòá ìù ïåøúô .úåéôåñåøô úåøåáç
G
γ~~~~~~~~
φ
B
α// A
(1)
àéä äéòáä
.úåéôåñ A,B íà ,úéôåñ (à)
.α(B0) = A-ù êë B0 ≨ B ïéà íà ,éðéèøô (á)
.α µ = idA-ù êë µ: A→ B íæéôøåîåîåä ùé íà ,úìöôúî (â)
úåéììëä úìáâä éìá æà (äøéúô ïåëéùä úéòá íàä àéä äìàùäå) G = Gal(K)-å äãù K íà
úåéììëä úìáâä éìá æà γ ïåøúô ùé íà .íåöîöä ú÷úòä àéä φ-å ,äàåìâ úáçøä L/K øùàá ,A = Gal(L/K)
.íéîåöîö ïä úå÷úòää ìëå K ⊆ L ⊆M -ù êë äàåìâ úáçøä M/K øùàá ,B = Gal(M/K)
.úåéôåñ ïåëéù úåéòáá ÷ø ïåãð êùîäá
.äøéúô G øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá ìë æà .úéôåñðéà X äöåá÷ ìò úéùôç úéôåñåøô äøåáç G éäú :12.2 äîì
.G øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá (φ, α) éäúå úéùôç äøåáçë G ìù äðáîä ú÷úòä λG: X → G éäú :äçëåä
øçáð (äìàë X éøáéà ìù éôåñ øôñî ÷ø ùéå) φ(λG(x)) = 1-ù êë x ∈ X ìëì :êë λB : X → B øéãâð
øçáð (úéôåñðéà X éë ,äìàë óåñðéà ùéå) X éøáéà øàù êåúî .α(λB(x)) = φ(λG(x))-ù êë λB(x) ∈ B
.1 ∈ B ìò ÷éúòð X éøáà øàù úà .Ker(α) ìò äúåà ÷éúòðå úéôåñ äöåá÷
íéé÷úî .λB = γ λG-ù êë γ: G → B ãéçé íæéôøåîåîåä ùé ïëì ,úéôåñ X ∖α−1B (1) æà
.α γ = φ ,(á)11.2 äøãâäá úåãéçéä éôì .φ λG = α γ λG
.úåøéúô G øåáò úìöôúî úéôåñ ïåëéù úéòá ìëå éðéèøô úéôåñ ïåëéù úéòá ìëù çéðð .úéôåñåøô äøåáç G éäú :12.3 äîì
.äøéúô G øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá ìë æà
B0 ≤ B øçáð .C = Kerα éäé .G øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá (φ: G → A, α: B → A) éäú :äçëåä
éäú .cb = b−1cb :(ïéîéî) B-á äãîöää éãé ìò C ìò úìòåô B0-å B = B0C æà .α(B0) = A-ù êë úéøòæî
àáä ìôëä íò ìáà ,B = B0 × C úéæèø÷ä äìôëîä àéä B ,äöåá÷ë :äøùé éöçä äìôëîä B = B0 ⋉ C
.(b1, c1)(b2, c2) = (b1b2, cb21 c2), b1, b2 ∈ B0, c1, c2 ∈ C
49
íæéôøåîåîåä àéä b 7→ (b, 1) ä÷úòääå íæéôøåîéôà àåä π: B → B0 äðåùàøä äèðéãøåàå÷ä ìò äìèää èøôá
.(b, c) 7→ bc éãé ìò ïåúðä β: B → B íæéôøåîéôà íéé÷ ïë åîë .π λ = idB0íéé÷úîå B0 → B
:éôåìéç àáä íéùøúä
G
φ
B
β @@@
@@@@
@π // B0 α|B0
@@@
@@@@
@
Bα
// A
àéä (ψ, π) æà .α|B0 ψ = φ-ù êë ψ: G → B0 ùé ïëì ,éðéèøô úéôåñ ïåëéù úéòá àéä (φ, α|B0
) ,úòë
ïåøúô àåä β ρ: G → B íéùøúä éôì .π ρ = ψ-ù êë ρ: G → B0 ùé ïëì ,úìöôúî úéôåñ ïåëéù úéòá
.(φ, α) ïåëéùä úéòá ìù
úåçåúô úåøåáç úú ùéù çéðð .úåéôåñåøô úåøåáçG,H äðééäú :(Iwasawa) 12.4 èôùî
M ′0,M
′1,M
′2, . . . ≤ G, N ′
0, N′1, N
′2, . . . ≤ H
.G ∼= H æà .äøéúôG,H øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá ìëùå ,∩iN
′i = 1 ,
∩iM
′i = 1-ù êë
úåøãñ äéö÷åãðéàá äðáð .M ′0 = G,N ′
0 = H úåéììëä úìáâä éìá :äçëåä
. . . ≤M2 ≤M1 ≤M0 = G, . . . ≤ N2 ≤ N1 ≤ N0 = H
íéé÷úîù êë ,i ≥ 0 ìëì ,θi: G/Mi → H/Ni íéîæéôøåîåæéàå úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù
,i ìëì ,Ni ≤ N ′i ,Mi ≤M ′
i (à)
éôåìéç àåä ,úåéòáèä äðîä úå÷úòä ïä úåéëðàä úå÷úòää åá ,àáä íéùøúä (á)
G/Mi+1
θi+1 //
πi
H/Ni+1
ρi
G/Mi
θi // H/Ni
úà ÷éúòîù θ:∏∞i=0G/Mi →
∏∞i=0H/Ni íæéôøåîåæéà úåøéãâî θi∞i=0 æà
(σiMi)
∞i=0 ∈
∏i=0
G/Mi
∣∣ i ≤ j ìëì σiMi = σjMi
50
ìò(σiNi)
∞i=0 ∈
∞∏i=0
H/Ni∣∣ i ≤ j ìëì σiNi = σjNi
ùé ïëì .H = lim←
i
H/Ni ïôåà åúåàáå G = lim←i
G/Mi ,10.20 ìéâøú éôì ,ïëì ,∩iMi = 1 ,(à) éôì
.θ: G→ H íæéôøåîåæéà
.(úéìàéååéøèä äøåáçä ìù úåäæä àéä θ0-å) M0 = G,N0 = H ç÷ð i = 0 øåáò
-ù êë äçåúô K ◁ G øçáð .íæéôøåîåæéà θi: G/Mi → H/Ni -ù êë Mi, Ni, θi åðàöîù çéðð
íæéôøåîéôà ùé äçðää éôì .σK 7→ σMi íæéôøåîéôàä β: G/K → G/Mi äðééäú .K ≤ Mi ∩M ′i+1
.úéòáèä äðîä ú÷úòä φ: H → H/Ni øùàá ,(θi β) γ = φ-ù êë γ: H → G/K
(ìù éëôåää äùòîì) íæéôøåîåæéà äøùî γ ïåùàøä íæéôøåîåæéàä èôùî éôì .L = Ker γ éäé
éôåìéç àåä ,úåéòáèä äðîä úå÷úòä ïä úåéëðàä úå÷úòää åá ,àáä íéùøúäù êë θ′i: G/K → H/L
G
π
H
γ
zzuuuuu
φ
G/Kθ′i //
β
H/L
G/Mi
θi // H/Ni
(.L ≤ N ′i+1-ù çèáåî àì ìáà ,Mi+1 = K,Ni+1 = L, θi+1 = θ′i úç÷ì äéä øùôà úòë)
.H-ì G ïéá óéìçðå θ′i-á θi úà óéìçð ìáà ,úîãå÷ä äéðáä ìò øåæçð
úåøåáç úú ìù äøãñ G-ì ùéù çéðð .äøéúô G øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá ìëù úéôåñåøô äøåáç G éäú :12.5 äð÷ñî
ìò úéùôçä úéôåñåøôä äøåáçä ,Fω -ì úéôøåîåæéà G æà .∩iM
′i = 1-ù êë M ′
0,M′1,M
′2, . . . ≤ G úåçåúô
.X = N
úú ìù N äçôùî äì åðîàúä 11.4 èôùî ìù äçëåäá .X = N ìò úéùôçä úèùôåîä äøåáçä Φ éäú :äçëåä
ìù äçëåäá â äðòè éôì .(|N | = |X| = ℵ0 åìéôàå) |N | ≤ |X| = ℵ0 ,11.5 ìéâøú éôì .úåéìîøåð úåøåáç
äáéáñ ìëá ìëåî ïëåúéçù N = N | N ∈ N úåçåúô úåéìîøåð úåøåáç úú ìù äçôùî Fω-ì ùé 11.4 èôùî
àì øùàë) N = N0, N1, N2, . . . áåúëì øùôà ,|N | ≤ |N | ≤ ℵ0-ù ïååéë .1 àåä ïëìå ,1 ìù äçåúô
.∩∞i=0 Ni = 1-å (úåðåù Ni úåøåáçä ìë çøëäá
.G ∼= Fω íéé÷úî Iwasawa èôùî éôì
úáçøä øöåé β åìù ùøåùù êë ÷éøô éà íåðéìåô g ∈ K(z)[X] éäéå ,åéìòî éèðãðöñðøè øáéà z ,äãù K éäé :12.6 äîì
.K(z) ìòî ÷éøô éà g æà .F ∩ K = K -ù çéðð .K(z) ìù F = K(z)(β) äàåìâ
51
.K êåúá K ìù ãéøôä øåâñä L éäé :äçëåä
F FL FK
K(z) L(z) K(z)
K L K
.L(z) ìòî ÷éøô éà g-ù äìéçú äàøð
ú÷úòä ,F ∩ L = K-ù ïååéë .L(z)[X]-á g′|g æà .g′ = irr(β, L(z)) ∈ L(z)[X] éäé ,ïëà
Gal(FL/F ) → íåöîöä úå÷úòä ìù äáëøää àéä .ìò àéä Gal(FL/F ) → Gal(L/K) íåöîöä
íéé÷úî ,ìò äðåùàøäù ïååéë .ìò ïäéúù ïëì ,úåéëøò-ãç-ãç ïðéäù Gal(L(z))/K(z)) → Gal(L/K)
.íæéôøåîåæéà ïëìå ìò àéä Gal(FL/L(z))→ Gal(F/K(z)) íåöîöä ú÷úòäù ïàëî .F ∩L(z) = K(z)
,deg g = deg g′ íéé÷úî ,β éãé ìò L(z) ìòî úøöåð FL-ù ïååéë .[FL : L(z)] = [F : K(z)] èøôá
.L(z) ìòî ÷éøô éà g ïëì .g′ = g ,øîåìë
ïëì ,äãéøô F/K(z) äáçøää .äøåäè äãéøô éà K(z)/L(z) ïëì ,äøåäè äãéøô éà àéä K/L äáçøää
Gal(FK/K(z)) → úéëøò-ãç-ãçä íåöîöä ú÷úòä ïëì .FL ∩ K(z) = L(z) ïàëî .äãéøô FL/L(z)
ä÷ñôá åîë ,ïàëî .[FK : K(z)] = [FL : L(z)] èøôá .íæéôøåîåæéà ïëìå ,ìò äðéä Gal(FL/L(z))
.K(z) ìòî ÷éøô éà øàùð L(z) ìòî ÷éøô éà åðéäù ,g ,úîãå÷ä
øåáò úéôåñ ïåëéù úéòá ìë æà .E = K(z) éäéå åéìòî éèðãðöñðøè øáéà z ,úéøáâìà øåâñ äãù K éäé :12.7 èôùî
.Gal(E) ∼= Fω æà ,äéðî ïá K íà ,èøôá .äøéúô Gal(E)
(.íàåìîá åàáåé àì äçëåääî íé÷ìç) :äçëåä
.úìöôúî úéôåñ ïåëéù úéòá ìëå éðéèøô úéôåñ ïåëéù úéòá ìë øåúôì éã 12.2 äîì éôì
.Tsen èôùî åäæ .ïàë àáåé àì éðéèøô ïåëéù úåéòá ïåøúô
.C = Ker(α) éäé .G = Gal(E) øåáò úìöôúî úéôåñ ïåëéù úéòá (φ: G→ A, α: B → A) éäú
ïë åîë .λ(A) ∼= A ïëìå úéëøò-ãç-ãç λ æà .α λ = idA-ù êë λ: A → B íæéôøåîåîåä ùé äçðää éôì
.B = ⟨λ(A), C⟩ ∼= ⟨A,C⟩ ,èøôá .B = λ(A)⋉ C ,øîåìë ,C ∩ λ(A) = 1-å B = λ(A)C
.F1-ì íåöîöä ú÷úòä φ-å äàåìâ úáçøä F1/E øùàá ,A = Gal(F1/E) úåéììëä úìáâä éìá
.F1((t)) êåúá úåãù øéãâð .äðúùî t éäé
.(4.9 úåàîâåã) íìù K æà .F1 = F1K = F1E ,E = EK = K(z) ,K = K((t)) åéäé
52
K((z))
F1 F1
____ F1((t))
E
A
E
A
____ E((t))
A
K K ____ ____ K((t))
äðéä Gal(F1/E) → Gal(F1/E) íåöîöä ú÷úòäå úéôåñ äàåìâ úáçøä F1/E ,äàåìâ úøåú éôì
àéä .íæéôøåîåæéà äðéä Gal(F1((t))/E((t)))→ Gal(F1/E) íåöîöä ú÷úòä ,7.2 ìéâøú éôì .úéëøò-ãç-ãç
ïëì ,Gal(F1/E)→ Gal(F1/E)-å Gal(F1((t))/E((t)))→ Gal(F1/E) íåöîöä úå÷úòä ìù äáëøä
.íåöîöä éãé ìò Gal(F1/E) ∼= Gal(F1/E) = A :íæéôøåîåæéà àéä ïëì .ìò äðåøçàä
F1/E-ù ïååéë .F1 = E(β) æà .f = irr(β,E) ∈ K[z][X] øùàá ,F1 = E(β)-ù êë β ∈ F1 ùé
ùé ,éôåñðéà äãù K-ù ïååéë .ñôàä íåðéìåô äððéà f ìù D(z) äèððéîéø÷ñéãä ïëìå ,ãéøô íåðéìåô f ,äãéøô
,(úéøáâìà øåâñ K éë) K àåä åìù ìåöéôä äãù .ãéøô f(a,X) ∈ K[X] ,øîåìë ,D(a) = 0-ù êë a ∈ K
.F1 ⊆ K((z)) æà ,(E = K(z) úà äðùî àìù äî) ,z + a-á z úà óéìçð íà ,7.5 äîì éôì .K-á ìëåî èøôá
úà äðùî àìù äî) íéàúî c ∈ K× øåáò ,cz-á z úà óéìçð íà ,(4.12 äøòä éôì íâå) 6.3 äð÷ñî éôì
.F1 ⊆ Q2 := Quot(Kz−1) æà ,(E = K(z)
.Gal(F2/E) = C-ù êë F2 ⊆ Q1 := Quot(Kz) ùé 6.7 èôùî éôì
ä÷áãää éðåúð ìù ãéëìúä F éäéå Q = Quot(Kz, z−1) éäé
.(E, F1, F2, Q1, Q2, Q;A,C,B)
.α äìèää àéä Gal(F /E)→ Gal(F1/E) íåöîöä ú÷úòäå F1 ⊆ F íéé÷úî 3.8 äð÷ñî éôì
-å F ⊆ Q-ù ïååéë .åîöò ìò K(z) úà ÷éúòîù Q → Q1 K-ïåëéù íéé÷ 6.5 äð÷ñî éôì
íéøáéà ìéëî åðéà äæ äãù ,7.3 äð÷ñî éôì .K((z)) ìù äãù úú ìò F úà ÷éúòî äæ ïåëéù ,Q1 ⊆ K((z))
.K-á íðéàù K ìòî íééøáâìà íéøáéà ìéëî åðéà F ïëì .K-á íðéàù K ìòî íééøáâìà
éôì æà .K ìù éøáâìàä øåâñä L éäé .g = irr(β′, E) ∈ K[z][X]-å F = E(β′)-ù êë β′ ∈ F ùé
.L(z) ìòî ÷éøô éà íâ g ∈ L[z][X] ,12.6 äîì
-ù êë K éøáéà ìù x = (x1, . . . , xn) äøãñ àåöîì øùôàù úåàøì ì÷
,A äøåáç íò ,äàåìâ úáçøä K(x, z)F1/K(x, z) (à)
53
,B äøåáç íò ,äàåìâ úáçøä K(x, z)F1(β′)/K(x, z) (á)
.α: B → A ÷åéãá àéä äìàä úåáçøää éúù ïéá íåöîöä ú÷úòä (â)
.K(x) ìòî ÷éøô éà åðéä g-å g ∈ K[x][z][Y ] (ã)
K(x, z, β)(β′) // F = E(β′)
E(β) =F1 K(x, z, β)
C
// F1
C
E
A
K(x, z)
A
// K(z)
A
B
K K(x) // K
êë K-á a = (a1, . . . , an) íéøáéà úøãñ ùé (ïàë øáñåé àìù Bertini-Noether èôùî) ä÷éâåìá ïåø÷ò éôì
ìù F = E(β′) äáçøä øöåé g(a, X) ∈ K[X] ìù β′ ùøåùå K[x] → K íæéôøåîåîåä øéãâî x 7→ a-ù
.ïåëéùä úéòá úà úøúåôù E
(ïåúð éøáâìà øåâñá) åìù úåéôåñä úåãéøôä úåáçøää úöåá÷ ïëì .äéðî ïá E = K(z) íâ ,äéðî ïá K íà
.Gal(E) ∼= Fω ,12.4 äð÷ñî éôì ïëì .∩iGal(Mi) = 1 æà Mi∞i=0 ,øîàð ,äéðî úá àéä
:øúåé çéëåäì ïúéð úéáâìàä ä÷áãää úøæòá :12.8 äøòä
.úéùôç úéôåñåøô Gal(E) æà E = K(z)-å úéøáâìà øåâñK íà
.úìöôúî úéôåñ ïåëéù úéòáì íéðåù úåðåøúô "äáøä" ìù íåé÷ íéçéëåîù êëá úéùòð äììëää
54
Top Related