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Funciones Exponenciales
Carlos A. Rivera-Morales
Prec álculo 2
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1 ObjetivosPropiedades de los ExponentesFunciones ExponencialesLa funci ón exponencial naturalAplicaciones
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Propiedades de los ExponentesFunciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Objetivos:
Discutiremos:propiedades de exponentes
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Propiedades de los ExponentesFunciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Objetivos:
Discutiremos:propiedades de exponentesfunciones exponenciales
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Propiedades de los ExponentesFunciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Objetivos:
Discutiremos:propiedades de exponentesfunciones exponencialesla función exponencial natural
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P i d d d l E
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Propiedades de los ExponentesFunciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Objetivos:
Discutiremos:propiedades de exponentesfunciones exponencialesla función exponencial naturalaplicaciones
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P i d d d l E t
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Propiedades de los ExponentesFunciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Objetivos:
Discutiremos:propiedades de exponentesfunciones exponencialesla función exponencial naturalaplicaciones
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Propiedades de los Exponentes
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Propiedades de los ExponentesFunciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Propiedades de ExponentesSean a, b números reales positivos y x, y números realescualesquiera. Entonces:
1 a x > 0, para toda x ∈ ; en particular a0 = 12 a x a y = ax + y
3 ax
a y = ax − y
4 (a x )y = axy
5
(a
b )x
= a x
bx6 ( ab )
− x = bx
a x
7 a x = ay si, y sólo si, x = y, siempre que a = 1 .
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Propiedades de los Exponentes
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Propiedades de los ExponentesFunciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Ejercicios: Resuelva las siguientes ecuaciones.1 53 x +4 = 5 x +2
2 3 × 92 x = 3 x +1
3 9x − 2 = 3 3 x
4 a x − 3 = a4 x +4 ; suponga que a > 0, a = 1.
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Propiedades de los Exponentes
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Propiedades de los ExponentesFunciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Funciones ExponencialesDenici´ on: Sea a∈ , a> 0, a = 1. Entonces, la exponencialcon base a , es la función denida por f (x ) = ax .
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Propiedades de los Exponentes
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op edades de os po e tesFunciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Funciones ExponencialesDenici´ on: Sea a∈ , a> 0, a = 1. Entonces, la exponencialcon base a , es la función denida por f (x ) = ax . El dominio def es = {n úmeros reales }. Su imagen o rango es
+ = (0 , + ∞ )
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Propiedades de los Exponentes
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ContenidoObjetivos
p pFunciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Funciones ExponencialesDenici´ on: Sea a∈ , a> 0, a = 1. Entonces, la exponencialcon base a , es la función denida por f (x ) = ax . El dominio def es = {n úmeros reales }. Su imagen o rango es
+ = (0 , + ∞ )
Notas:La restricci ón a > 0 es indispensable, porque si la base afuera cero o un n úmero negativo, se presentaŕıanexpresiones no denidas en , tales como 0 − 1 , (− 2) 12 .
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Propiedades de los Exponentes
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Funciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Funciones ExponencialesDenici´ on: Sea a∈ , a> 0, a = 1. Entonces, la exponencialcon base a , es la función denida por f (x ) = ax . El dominio def es = {n úmeros reales }. Su imagen o rango es
+ = (0 , + ∞ )
Notas:La restricci ón a > 0 es indispensable, porque si la base afuera cero o un n úmero negativo, se presentaŕıanexpresiones no denidas en , tales como 0 − 1 , (− 2) 12 .El caso a = 1 se ha excluido porque en este caso se tendŕıa1x = 1, para cada x ∈ . Esto es, f (x ) = 1 x es una funci ónconstante.
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Funciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Ejercicio: Graque las funci ón f (x ) = 2 x :
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dPropiedades de los Exponentes
l
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Funciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Ejercicio: Graque las funci ón f (x ) = 2 x :
Figura: Gráca de f (x ) = 2 x
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C t idPropiedades de los ExponentesF i E i l
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Funciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Ejercicio: Graque las funci ón f (x ) = 2 x :
Figura: Gráca de f (x ) = 2 x
Verif́ıquelo con la calculadora gr´ aca.Rivera-Morales, Carlos A. Funciones Exponenciales
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Funciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Ejercicio: Graque las funci ón f (x ) = ( 12 )x = 2 − x :
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Funciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Ejercicio: Graque las funci ón f (x ) = ( 12 )x = 2 − x :
Figura: Gráca de f (x ) = 2 x
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Funciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Ejercicio: Graque las funci ón f (x ) = ( 12 )x = 2 − x :
Figura: Gráca de f (x ) = 2 x
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Funciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Ejercicio: Graque las funciones f (x ) = 2 x , f (x ) = ( 12 )x = 2 − xen el mismo sistema cartesiano:
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Objetivosp
La funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Ejercicio: Graque las funciones f (x ) = 2 x , f (x ) = ( 12 )x = 2 − xen el mismo sistema cartesiano:
Figura: Grácas de f (x ) = 2 x , f (x ) = ( 12 )x = 2 − x
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Objetivosp
La funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Ejercicio: Graque las funciones f (x ) = 2 x , f (x ) = ( 12 )x = 2 − xen el mismo sistema cartesiano:
Figura: Grácas de f (x ) = 2 x , f (x ) = ( 12 )x = 2 − x
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Objetivos La funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Casos b ásicos de la funci ón exponencial:
Figura: Posibles gr ácas b ásicas de f (x ) = a x
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Objetivos La funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Ejercicio: Graque las funciones f (x ) = 1 ,5x , f (x ) = 3 x ,f (x ) = 5 x en el mismo sistema cartesiano:
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ContenidoObj i
Propiedades de los ExponentesFunciones ExponencialesL f i´ i l l
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Objetivos La funci´ on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Ejercicio: Graque las funciones f (x ) = 1 ,5x , f (x ) = 3 x ,f (x ) = 5 x en el mismo sistema cartesiano:
Figura: Grácas de f (x ) = 1 ,5x , f (x ) = 3 x , f (x ) = 5 x
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ContenidoObj ti
Propiedades de los ExponentesFunciones ExponencialesL f i´ i l t l
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Objetivos La funci on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Ejercicio: Graque las funciones f (x ) = 1 ,5x , f (x ) = 3 x ,f (x ) = 5 x en el mismo sistema cartesiano:
Figura: Grácas de f (x ) = 1 ,5x , f (x ) = 3 x , f (x ) = 5 x
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Objetivos La funci on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Ejercicio: Graque las funciones f (x ) = ( 23 )x , f (x )( 13 )x = 3 − x ,f (x ) = ( 12 )
x = 0 ,5x en el mismo sistema cartesiano:
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Objetivos La funci on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Ejercicio: Graque las funciones f (x ) = ( 23 )x , f (x )( 13 )x = 3 − x ,f (x ) = ( 12 )
x = 0 ,5x en el mismo sistema cartesiano:
Figura: Grácas de f (x ) = ( 23 )x , f (x )( 13 )
x = 3 − x , f (x ) = ( 12 )x = 0 ,5x
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Objetivos La funci on exponencial naturalAplicaciones
Funciones Exponenciales
Ejercicio: Graque las funciones f (x ) = ( 23 )x , f (x )( 13 )x = 3 − x ,f (x ) = ( 12 )
x = 0 ,5x en el mismo sistema cartesiano:
Figura: Grácas de f (x ) = ( 23 )x , f (x )( 13 )
x = 3 − x , f (x ) = ( 12 )x = 0 ,5x
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Funciones Exponenciales
Algunas propiedades de las funciones exponenciales:
Si f (x ) = ax con a > 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈
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j pAplicaciones
Funciones Exponenciales
Algunas propiedades de las funciones exponenciales:
Si f (x ) = ax con a > 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈
2 f (0) = a0
= 1
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Aplicaciones
Funciones Exponenciales
Algunas propiedades de las funciones exponenciales:
Si f (x ) = ax con a > 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈
2 f (0) = a0
= 13 f (1) = a1 = a
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Funciones Exponenciales
Algunas propiedades de las funciones exponenciales:
Si f (x ) = ax con a > 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈
2 f (0) = a0
= 13 f (1) = a1 = a4 Si x < y , entonces ax < a y . Esto es, f es estrictamente
creciente en todo su dominio.
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Funciones Exponenciales
Algunas propiedades de las funciones exponenciales:
Si f (x ) = ax con a > 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈
2 f (0) = a0
= 13 f (1) = a1 = a4 Si x < y , entonces ax < a y . Esto es, f es estrictamente
creciente en todo su dominio.5
f es biyectiva. Por lo tanto, tiene funci´ on inversa f − 1
.
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Aplicaciones
Funciones Exponenciales
Algunas propiedades de las funciones exponenciales:
Si f (x ) = ax con a > 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈
2 f (0) = a0
= 13 f (1) = a1 = a4 Si x < y , entonces ax < a y . Esto es, f es estrictamente
creciente en todo su dominio.5
f es biyectiva. Por lo tanto, tiene funci´ on inversa f − 1
.6 Si x tiende a + ∞ entonces ax tiende a + ∞ .
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Funciones Exponenciales
Algunas propiedades de las funciones exponenciales:
Si f (x ) = ax con a > 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈ 2
f (0) = a0
= 13 f (1) = a1 = a4 Si x < y , entonces ax < a y . Esto es, f es estrictamente
creciente en todo su dominio.5
f es biyectiva. Por lo tanto, tiene funci´ on inversa f − 1
.6 Si x tiende a + ∞ entonces ax tiende a + ∞ .7 Si x tiende a −∞ entonces ax tiende a 0.
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Funciones Exponenciales
Algunas propiedades de las funciones exponenciales:
Si f (x ) = ax con a > 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈ 2
f (0) = a0
= 13 f (1) = a1 = a4 Si x < y , entonces ax < a y . Esto es, f es estrictamente
creciente en todo su dominio.5
f es biyectiva. Por lo tanto, tiene funci´ on inversa f − 1
.6 Si x tiende a + ∞ entonces ax tiende a + ∞ .7 Si x tiende a −∞ entonces ax tiende a 0.8 El eje-X es una aśıntota horizontal de la gr´ aca de f .
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Funciones Exponenciales
Algunas propiedades de las funciones exponenciales:
Si f (x ) = ax con 0 < a < 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈
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Aplicaciones
Funciones Exponenciales
Algunas propiedades de las funciones exponenciales:
Si f (x ) = ax con 0 < a < 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈ 2
f (0) = a0
= 1
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p
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Algunas propiedades de las funciones exponenciales:
Si f (x ) = ax con 0 < a < 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈ 2
f (0) = a0
= 13 f (1) = a1 = a
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Algunas propiedades de las funciones exponenciales:
Si f (x ) = ax con 0 < a < 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈ 2
f (0) = a0
= 13 f (1) = a1 = a4 Si x < y , entonces ax > a y . Esto es, f es estrictamente
decreciente en todo su dominio.
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Algunas propiedades de las funciones exponenciales:
Si f (x ) = ax con 0 < a < 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈ 2
f (0) = a0
= 13 f (1) = a1 = a4 Si x < y , entonces ax > a y . Esto es, f es estrictamente
decreciente en todo su dominio.5
f es biyectiva. Por lo tanto, tiene funci´ on inversa f − 1
.
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Algunas propiedades de las funciones exponenciales:
Si f (x ) = ax con 0 < a < 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈ 2
f (0) = a0
= 13 f (1) = a1 = a4 Si x < y , entonces ax > a y . Esto es, f es estrictamente
decreciente en todo su dominio.5
f es biyectiva. Por lo tanto, tiene funci´ on inversa f − 1
.6 Si x tiende a + ∞ entonces ax tiende a 0.
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Algunas propiedades de las funciones exponenciales:
Si f (x ) = ax con 0 < a < 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈ 2
f (0) = a0
= 13 f (1) = a1 = a4 Si x < y , entonces ax > a y . Esto es, f es estrictamente
decreciente en todo su dominio.5
f es biyectiva. Por lo tanto, tiene funci´ on inversa f − 1
.6 Si x tiende a + ∞ entonces ax tiende a 0.7 Si x tiende a −∞ entonces ax tiende a + ∞ .
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Algunas propiedades de las funciones exponenciales:
Si f (x ) = ax con 0 < a < 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈ 2
f (0) = a0
= 13 f (1) = a1 = a4 Si x < y , entonces ax > a y . Esto es, f es estrictamente
decreciente en todo su dominio.5
f es biyectiva. Por lo tanto, tiene funci´ on inversa f − 1
.6 Si x tiende a + ∞ entonces ax tiende a 0.7 Si x tiende a −∞ entonces ax tiende a + ∞ .8 El eje-X es una aśıntota horizontal de la gr´ aca de f .
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Funci ón Exponencial NaturalDenici´ on: La funci´on exponencial natural , es la funcióndenida por f (x ) = ex , donde e es la base natural.
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Funci ón Exponencial NaturalDenici´ on: La funci´on exponencial natural , es la funcióndenida por f (x ) = ex , donde e es la base natural.
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Funci ón Exponencial NaturalDenici´ on: La funci´on exponencial natural , es la funcióndenida por f (x ) = ex , donde e es la base natural.
Nota: El número es un n úmero irracional y es usual denirlocomo el ĺımite cuando n tiende a innito de la sucesi´ on (1 + 1n )
n
.
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Funci ón Exponencial NaturalDenici´ on: La funci´on exponencial natural , es la funcióndenida por f (x ) = ex , donde e es la base natural.
Nota: El número es un n úmero irracional y es usual denirlocomo el ĺımite cuando n tiende a innito de la sucesi´ on (1 + 1n )
n
.Esto es,
e = ĺımn →+ ∞ (1 + 1n )
n
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Funciones Exponenciales
Figura: El número irracional e.
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Figura: El número irracional e.
Una aproximaci´on usual de e es e = 2 ,71828.Rivera-Morales, Carlos A. Funciones Exponenciales
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Ejercicio: Graque las funci ón f (x ) = ex
:
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Ejercicio: Graque las funci ón f (x ) = ex
:
Figura: Gráca de f (x ) = e x .
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Ejercicio: Graque las funci ón f (x ) = ex
:
Figura: Gráca de f (x ) = e x .
Verif́ıquelo con la calculadora gr´ aca.Rivera-Morales, Carlos A. Funciones Exponenciales
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Ejercicio: Use la calculadora gr´aca para trazar la gr´ aca delas siguientes funciones exponenciales. Para cada funci´ on,indique la ecuaci ón de cualquier aśıntota de la gr´ aca.
1 y = 3 − x2
2 y = 5 x +2−
13 y = − 2−| x |
4 y = e− 0 ,5 x
5 y = 3 + ex − 2
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Aplicaci´ on: Crecimiento bacterial
Las funciones exponenciales resultan ´ utiles para describir elcrecimiento de ciertas poblaciones.
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Aplicaci´ on: Crecimiento bacterial
Las funciones exponenciales resultan ´ utiles para describir elcrecimiento de ciertas poblaciones. El principio b´ asico quegobierna el crecimiento poblacional es el siguiente: mientrasmayor sea la poblaci´on, mayor es el n úmero de descendientes,que, a su vez, contribuyen al crecimiento poblacional.
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Aplicaci´ on: Crecimiento bacterial
Las funciones exponenciales resultan ´ utiles para describir elcrecimiento de ciertas poblaciones. El principio b´ asico quegobierna el crecimiento poblacional es el siguiente: mientrasmayor sea la poblaci´on, mayor es el n úmero de descendientes,que, a su vez, contribuyen al crecimiento poblacional. A manerade ejemplo, supongamos que a nivel experimental se observaque el número de bacterias en un cultivo se duplica cada d́ıa. Sihay 1000 ejemplares al comienzo, se obtiene la tabla siguiente,donde t es el tiempo en d́ıas y f (t ) es el conteo de bacterias enel tiempo t.
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Aplicaci´ on: Crecimiento bacterial
Las funciones exponenciales resultan ´ utiles para describir elcrecimiento de ciertas poblaciones. El principio b´ asico quegobierna el crecimiento poblacional es el siguiente: mientrasmayor sea la poblaci´on, mayor es el n úmero de descendientes,que, a su vez, contribuyen al crecimiento poblacional. A manerade ejemplo, supongamos que a nivel experimental se observaque el número de bacterias en un cultivo se duplica cada d́ıa. Sihay 1000 ejemplares al comienzo, se obtiene la tabla siguiente,donde t es el tiempo en d́ıas y f (t ) es el conteo de bacterias enel tiempo t.
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Aplicaci´ on: Crecimiento bacterial
Podemos modelar ese crecimiento bacterial de la formaf (t ) = (1000)2 t . Con esta f órmula se puede predecir la cantidadde bacterias en cualquier momento t.
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Aplicaci´ on: Crecimiento bacterial
Podemos modelar ese crecimiento bacterial de la formaf (t ) = (1000)2 t . Con esta f órmula se puede predecir la cantidadde bacterias en cualquier momento t. La gráca de f se muestra
a continuaci´on.
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Ejercicio: Crecimiento loǵıstico Las poblaciones animalesno pueden crecer sin restricci´ on debido a la limitaci´on dehábitat y suministros de alimentos.
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Ejercicio: Crecimiento loǵıstico Las poblaciones animalesno pueden crecer sin restricci´ on debido a la limitaci´on dehábitat y suministros de alimentos. En tales condiciones lapoblaci ón sigue un modelo de crecimiento loǵıstico
P (t ) = a1+ be− rt ,
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Ejercicio: Crecimiento loǵıstico Las poblaciones animalesno pueden crecer sin restricci´ on debido a la limitaci´on dehábitat y suministros de alimentos. En tales condiciones lapoblaci ón sigue un modelo de crecimiento loǵıstico
P (t ) = a1+ be− rt ,
donde a, b y r son constantes positivas.
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Ejercicio: Crecimiento loǵıstico Las poblaciones animalesno pueden crecer sin restricci´ on debido a la limitaci´on dehábitat y suministros de alimentos. En tales condiciones lapoblaci ón sigue un modelo de crecimiento loǵıstico
P (t ) = a1+ be− rt ,
donde a, b y r son constantes positivas.
Para cierta poblaci´ on de peces, en un peque ño estanquea = 1200, b = 11, r = 0 ,2 y t se mide en años. Los peces seintrodujeron en el estanque en el tiempo t = 0.
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Ejercicio: Crecimiento loǵıstico (Continuaci´ on)1 ¿Cu ántos peces se introdujeron en el estanque?2 Calcule la poblaci´on luego de 10, 20 y 30 años.3 Eval úe P (t ) para valores grandes de t.4 ¿A qué valor tiende la poblaci´ on según t tiende a + ∞ ?5 Graque la funci´on usando 80 como valor m´aximo de x y
1300 como valor máximo de y; use 0 como valor mı́nimopara cada variable.
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u c o es po e c a es
Aplicaci´ on: Desintegraci´ on o decaimiento radiactivo
Determinadas cantidades f́ısicas decrecen o decaen en formaexponencial.
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Aplicaci´ on: Desintegraci´ on o decaimiento radiactivoDeterminadas cantidades f́ısicas decrecen o decaen en formaexponencial. En tales casos, si a es la base de un modeloexponencial de decaimiento, entonces 0 < a < 1. Uno de los
ejemplos m ás comunes de decaimiento exponencial es ladesintegraci´on de una sustancia radiactiva o is´ otopo.
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Aplicaci´ on: Desintegraci´ on o decaimiento radiactivoDeterminadas cantidades f́ısicas decrecen o decaen en formaexponencial. En tales casos, si a es la base de un modeloexponencial de decaimiento, entonces 0 < a < 1. Uno de los
ejemplos m ás comunes de decaimiento exponencial es ladesintegraci´on de una sustancia radiactiva o is´ otopo. La vidamedia o periodo radiactivo de un isótopo es el tiempo que serequiere para que la mitad de la cantidad original de unamuestra se desintegre.
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Aplicaci´ on: Desintegraci´ on o decaimiento radiactivoDeterminadas cantidades f́ısicas decrecen o decaen en formaexponencial. En tales casos, si a es la base de un modeloexponencial de decaimiento, entonces 0 < a < 1. Uno de los
ejemplos m ás comunes de decaimiento exponencial es ladesintegraci´on de una sustancia radiactiva o is´ otopo. La vidamedia o periodo radiactivo de un isótopo es el tiempo que serequiere para que la mitad de la cantidad original de unamuestra se desintegre. La vida media es la principalcaracteŕıstica que distingue una sustancia radiactiva de otra.
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Aplicaci´ on: Desintegraci´ on o decaimiento radiactivoDeterminadas cantidades f́ısicas decrecen o decaen en formaexponencial. En tales casos, si a es la base de un modeloexponencial de decaimiento, entonces 0 < a < 1. Uno de los
ejemplos m ás comunes de decaimiento exponencial es ladesintegraci´on de una sustancia radiactiva o is´ otopo. La vidamedia o periodo radiactivo de un isótopo es el tiempo que serequiere para que la mitad de la cantidad original de unamuestra se desintegre. La vida media es la principalcaracteŕıstica que distingue una sustancia radiactiva de otra. Elisótopo del polonio 210 P 0 tiene una vida media de alrededor de140 d́ıas; esto es, dada cualquier cantidad de esa sustancia, lamitad se desintegrar´ a en 140 d́ıas.
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Aplicaci´ on: Desintegraci´ on radiactivaSi inicialmente hab́ıa 20 miligramos de 210 P 0 , la tabla siguienteindica la cantidad restante después de varios intervalos detiempo.
Ejercicio: Determine una funci´on exponencial para modelarmatem´aticamente la situaci´ on anterior.
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Aplicaci´ on: Desintegraci´ on radiactivaLa gráca siguiente muestra la naturaleza exponencial de ladesintegraci´on.
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Ejercicio: Decaimiento radiactivo Suponga que la funci ón f
mide la masa presente de carbono 14 (14C) (en gramos). Suvida media es 5715. La cantidad de carbono 14 presente despuésde t años est á dada por f (t ) = 10( 12 )
t5715 .
1 Determine la cantidad inicial.2 Determine la cantidad presente luego de 2000 a˜ nos.3 Trace la gr áca de esta funci ón en el intervalo desde t = 0
hasta t = 10000.
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Aplicaci´ on: F´ormulas del interés compuestoSuponga que se invierte una cantidad de dinero P , conocidocomo principal , a una tasa de interés anual r compuesta nveces en un año; el interés i por periodo es i = rn . Después de t
años, el monto de dinero acumulado A está dado por lasfórmula siguientes:
1 Para n incrementos por a˜no: A = P (1 + rn )nt
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Aplicaci´ on: F´ormulas del interés compuestoSuponga que se invierte una cantidad de dinero P , conocidocomo principal , a una tasa de interés anual r compuesta nveces en un año; el interés i por periodo es i = rn . Después de t
años, el monto de dinero acumulado A está dado por lasfórmula siguientes:
1 Para n incrementos por a˜no: A = P (1 + rn )nt
2
Para interés compuesto continuo: A = P ert
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Ejercicio: Interés compuesto Si se invierten 3000 d ólares a
una tasa de interés de 3.5 % por a˜ no, determine la cantidad dela inversi ón nal de 5 años para los siguientes métodos decapitalizaci´on.
1 Anual2 Semianual3 Mensual4 Semanal5 Por dı́a6 Por hora7 De manera continua.
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