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InstitutoPolitécnicoNacional
Escuela superior de ingeniería
mecánica y eléctrica
Unidad Culhuacán
ESIME
Asignatura: variable complea
Semestre !ercero
"ro#esor: $amíre% &rti% María 'er(nica
)ormulario de variable complea
*rupo: +E,-.
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 0
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I2/ICE
• )U2CI&2ES C&M"0E1AS
/E 'A$IA30E
C&M"0E1A4444444444444445.6• $E"$ESE2!ACI&2 *E&ME!$ICA /E0
/&MI2&7 C&2!$A/&MI2I& 8 $A2*& /E
0A )U2CI&244444444444444499956
• !I"&S /E )U2CI&2ES C&M"0E1AS /E
'A$IA30E C&M"0E1A444444449444444995;6
• )U2CI&2ES !$I*&2&ME!$ICAS C&2A$*UME2!&S C&M"0E1&S4444499
444444445
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/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 2
FUNCIONES
COMPLEJAS
DE
VARIABLE
COMPLEJA
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$egla de correspondencia:
z =w=u x + v x
/onde:
/om z = ⊂ Contrad z =
$e z = w =u x ∈
Im z = w =v x ∈
'ariables compleas de una #unci(n complea9
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 4
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o 'ariable
independiente
=o 'ariable dependiente
=
$epresentaci(n grá#ica9
C
A
#
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 5
W=
Z
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"ara hallar el domino de la #unci(n
complea9
Encontrar el domino de una #unci(n
complea de variable complea7 es
encontrar el conunto donde la
variable independiente = +toma valores compleos de tal manera >ue % si tiene
imagen
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 6
REPRESEN
ACION
!EOMERICA DEL
DOMINO"
CONRAD
OMINIO #
RAN!O DELA
FUNCION
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Sea:
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco $
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→
8 la regla de correspondencia:
z =w=u x + v x 7
d(nde: geométricamente el
/om#5%6? es el plano llamado plano compleo %
5en símbolos "0@6 y en este plano se encuentran las
pareas ordenadas %5$e5%67 Im5%66= es decir:
"0@ 8 ee imaginario
@?57y6?5$e5%67 Im5%66
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco %
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, ee real
*eométricamente el Contrad#5%6?C7
es el plano llamado: plano compleo B 5en símbolos: "06
y en el se encuentran las imágenes= son la parea de
ordenadas B?5u7v6?5$e5B67 Im5B667 es decir:
' ee imaginario
B?5u7v6?5$e5B67 Im5B6
u ee real
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco &
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)ormulas geométricas en su
#orma can(nica
$ecta x+ y=1
Circun#erencia: =
Elipse: x
2+ y
2
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 10
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Dipérbola x
2+ y
2
"arábola
− = −
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 11
IPOS
DEFUNCI
ONES
COMPLEJAS
DEVARIA
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)unci(n "olinomial9
Es una #unci(n de la #orma:
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 12
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z =a z +a − z − +a − z
− +…+a z +a z +a
donde: a a a … a
% es la variable del polinomio= ¿
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 13
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/onde: a ≠ y
a a − a − … a conz= x+
z es un polinomio de grado n si a ≠
Eemplos de #unci(n polinomial
z = z+ "olinomio de grado <
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 14
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z =
"olinomio de grado -
Coe#icientes >ue pertene%can a
los reales
Eponentes enteros positivos
)unci(n $acional9
Es un coe#iciente de dos #unciones poliomiales9
f ( z )=g z
h z =
an z +an−1 z − +…+a0 z
b zm+b zn−1+…+b z0
≠
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 15
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/onde: a y
≠
8 los coe#icientes pertenecen a los
reales
a a a … a
…
/onde: a a … a y … son
coe#icientes
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 16
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+¿ y bm z +bm−1 z − +…+b0 z ≠0
¿
= +
El dominio de f ( z )=g z
es:
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 1$
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/om
z = z∈ ∨ z ≠
)unci(n eponencial9
= = +
/onde: = =
w = v =
Se llama #unci(n eponencial complea
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 1%
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0as partes de la #unci(n
= = son:
• /om
= = + =
Contradominio de ?C
$egla de correspondencia: = ?
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 1&
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/onde:
= y v
=
"ropiedades algebraicas de
=/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 20
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1 2= 1 2
1
z2
= z1−" z 2
(¿¿ z1)n=nz , n=0 ,#1 ,#2 ,..
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 21
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$elaci(n de las #unciones
trigonométricas y eponenciales9
sin z= −−
z=¿ −−
2
tan z= j −−
jz − jz
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 22
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/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 23
FUNCIONES
TRIGONOM
ETRICAS
CON
ARGUMENT
OS
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)unciones trigonométricas con
argumentos %
sin( z )= −−
sin(− z)=− −−
sen5%6? sen5%6
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 24
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cos( z)= +−
cos(− z )= −−
cos5%6?cos5%6
tan
( z)=
s n z
tan (− z )=s n − z
−
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 25
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tan5%6?tan5%6
$elaci(n entre las #unciones trigonométricas con
argumento 5y69
z =s n
sin ( jy )= −−
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 26
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sin ( jy )= −−
j
s n = ! n
z =cos
( jy )=¿ +−
2
cos ( jy )= +−
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 2$
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cos =cos
)unciones hiperb(licas en términos
de #unciones eponenciales
sinh( z )¿ −−
cosh ( z)¿ +−
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 2%
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tanh ( z)¿ −−
z − z
)unciones hiperbolicas con argumentos %
sinh( z )= −−
sinh(− z)=− −−
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 2&
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senh5%6?
senh5%6
cosh ( z)= +−
cosh (− z)= −−
cosh5%6?cosh5%6
tanh ( z)=s n z
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 30
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tanh (− z )=−s n − z
−
tanh5%6?tanh5%6$elaci(n entre las #unciones hiperb(licas con argumento
5y69
z =s n
sinh ( jy )= −−
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 31
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sinh ( jy )= −−
s n = ! n
z =cos
( jy )=¿ +−
2
cos =cos
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 32
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Identidades de las #unciones
trigonométricas9
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)unciones trigonométricas
epresadas en #ormaestándar o rectangular con %?Gy9
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F9
cot z= sin x cos x
2 + 2 + j
sin y cos y2 + 2
9
!c z= cos xcos x
2 + 2 + j
s n x s n y2 + 2
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 36
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H9
c!c z= sin xcos y
2 + 2 + j
cos x sin y2 + 2
)unciones hiperbolicas epresadas en #orma estándar orectangular con %?Gy9
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+9
tanh z= sin x cos x
2 + 2 + j
sin y cos y2 + 2
F9
coth z= s n x cos x
2 + 2 + j
s n y cos y2 + 2
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 3%
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9
!chz= cos x cos y
2 + 2 + j
sin x sin y2 + 2
H9
c!chz= s n x cos y
2 + 2 + j
cos x s n y2 + 2
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 3&
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f ( z )= tan( z)!n z
f ( z )=c!c ( z)
f ( z )=!c ( z )
f ( z )=cot ( z) cos z
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 40
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Sea z =!n z =
con %?Gy45a6
Senh%? −−
499<
Senh%?-449.
Sust . en <
− − = 499+
Sust a en +
−
−
=
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 41
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−
− −
=
Euler
+ − − −
− − −
)actori%a
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 42
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(¿¿ x+− x) !ny=0+0 j(¿¿ x−− x)co!y+¿
"or igualdad de compleos
(¿¿ x−− x )=0…%4
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 43
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(¿¿ x+− x)=0………5
(¿¿ x−− x )=0 si y=(2n+1)& ∀ n∈ z
4499H
¿¿
6?- si ?-449
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 44
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(¿¿ x+− x)=0 !$!ny=0o x+− x=0
Seny? - si = 499J
/onde
−
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 45
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x=0 y y=(2n+1 )& n∈ z
no satis#ace la ecs
z=o+ j(2n+1)&
no anulan senh%
,?- y = satis#acen el sist de ecs9
,?- y =
@?-G anulan a senh%
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 46
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Senh%?- si ?- y y?n
Senh5%6? senh5%6
Cosh5%6? cosh5%6
!anh5%6? tanh5%6
Coth5%6? coth5%6
Sech5%6? sech5%6
Csc5%6? csch5%6
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 4$
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Senh5y6?
sen5y6
Cosh5y6? cos5y6
!anh5y6? tan5y6
Coth5y6? cot5y6
Sech5y6? sec5y6
Csch5y6? csc5y6
/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 4%