FLUID MECHANICS II
1. Forces in Fluids
http://www.homepages.ucl.ac.uk/ uceseug/Fluids2/
Newton’s laws
• Formulation for a system of material points:
• 2nd Newton’s Law:
d−→I
dt=
∑
i
d−→I i
d t=
∑
i
∑
j
−→F ij;
−→I i = mi
−→v i
• 3rd Newton’s Law:
F21F12−→F 12 =
−→F 21
• How to apply them to fluid???
1. FORCES IN FLUIDS 1
Continuous Fluid
Continuous FluidReal Fluid
• Continuous fluid is an approximation or model
• Molecular properties are averaged over a volume
• Molecular structure is not recognisable at any magnifications
• Conglomerations of molecules are replaced by fluid particles
1. FORCES IN FLUIDS 2
Forces on Fluid Particles
II
nFFτ
Fτ
nF II
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
I
G=mg
I
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Volume forces: G; Surface forces: Fn, Fτ
Note: The concept of continuous fluid replaces molecular
interaction and molecular interchange by equivalent
forces.
1. FORCES IN FLUIDS 3
Shear stress
τ
ττ
Fτ F
Fτ = τ A τ ⇔ shear stress
1. FORCES IN FLUIDS 4
Viscosity
• The property to resist the growth of shear deformation
Newtonian fluid: shear stress ∼ rate of shear strain τ = µdγ
dt
Deformation after a small time ∆ t:
yδ
∆ xa’
c’d’
b
cd
b’
u(y)
u(y+dy)
τ
a
y
γτ
γ =∆x
δy=
( u(y + δy) − u(y) )
δy∆t ⇒
dγ
dt=
du
dy⇒
τ = µdu
dy; µ — coefficient of viscosity
1. FORCES IN FLUIDS 5
Pressure
P P
Fn Fn Fn = P A
Pressure ⇔ normal stress
PPascal’s Law: Pressure at a point
does not depend on the direction
1. FORCES IN FLUIDS 6
Pressure distribution in a static fluid
z
mg
z
P( z )
z + dz
P( z + dz )
A
ρ
A
G = mg = ρ A dz g
B = A ( P (z)− P (z + dz) )
A ρ g dz = A ( P (z) − P (z + dz) )
P (z + dz) − P (z)
dz= −ρ g
dP
dz= −ρ g
1. FORCES IN FLUIDS 7
Pressure distribution in a static fluid
g z
P
g hρP =
z = 0
z = −h
P = 0
h
= −
ρ
zdP
dz= −ρ g
P (z) = −ρ g z + C
Pz=0 = 0; ⇒ C = 0
Pz=−h = ρ g h
P (h) = ρ g h
1. FORCES IN FLUIDS 8
Pressure change across streamlines
Fcr
dr ρ
α
VP( r )
P( r + dr )
��������
����������
����������
������������������������
������������������������
������������������
������������������
��������������
��������������
���������������������
���������������������
������������������
������������������
������������������
������������������
������������
������������
���������������������
���������������������
Gravity is neglected
Centripetal force:
Fc =m V 2
r
Fc is created by pressure:
Fc = ( P (r + dr) − P (r) )α r b
Mass of the particle:
m = ρ bα r dr
Substituting and dividing by α b rdr:
P (r + dr) − P (r)
dr= ρ
V 2
r
Limit dr → 0:
dP
dr= ρ
V 2
r
1. FORCES IN FLUIDS 9
Pressure change across streamlines
y
���������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������
Parallel flow:
Infinite radius ⇒dP
dy= 0
Pressure does not change across parallel
streamlines (gravity is neglected)
rΚV =
P
Pcore
Vortex:
dP
dr= ρ
K2
r3⇒ P = P∞ − ρ
K2
2 r2
Pressure decreasing towards the vortex
core.
1. FORCES IN FLUIDS 10
Bernoulli’s Equation
• In a steady, inviscid, incompressible flow the value a total pressure
is constant along a streamline:
P +ρ U2
2+ ρ g Z = const
P— static pressure;ρ U2
2— dynamic pressure
ρ g Z— hydrostatic pressure
The equation represents conservation of energy per unit volume.
1. FORCES IN FLUIDS 11
Neglecting viscosity
• The relative importance of viscosity is described by the non-dimensional
Reynolds number:
Re =ρ U L
µ=
U L
ν
U– characteristic velocity, L– characteristic size.
• For small Re the viscosity is important for the entire flow.
• For large Re the viscosity is still important in boundary layers near
solid surfaces and in viscous wakes downstream of bodies. In other
areas the flow can be considered as inviscid.
• In areas of inviscid flow Bernoulli’s equation can be applied.
1. FORCES IN FLUIDS 12
Flows with large Reynolds number
Streamlined body: Re =ρ L U∞
µ>> 1
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
L
U3
1
2
Inviscid region Viscous regions
◦1 External flow ◦2 Boundary layer ◦3 Wake
Bernoulli’s equation can be applied in◦1
1. FORCES IN FLUIDS 13
Flows with large Reynolds number
Bluff body: Re =ρ D U∞
µ>> 1
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
U
2
1
34D
Inviscid region:
◦1 External flow
Viscous regions:
◦2 Boundary layer
◦3 Wake
◦4 Separation region
Bernoulli’s equation can be applied in◦1
1. FORCES IN FLUIDS 14
Pressure coefficient
Cp
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
U
P
OA P0
Bernoulli’s equation along AO:
P∞ +ρ U2
∞
2= P0 .
At stagnation point O the value
P0 − P∞
ρ U2∞
/2= 1
does not depend on flow parame-
ters.
Pressure coefficient: Cp =P − P∞
ρ U2∞
/2
Cp is the universal way of representing pressure distribution, it depends on a
flow pattern (shape of a body and Reynolds number), but not directly on
flow velocity and body size.
1. FORCES IN FLUIDS 15
Friction coefficient
τw
y u(y)
U
Wall shear stress: τw = µdu
dy
∣
∣
∣
y=0
Friction coefficient: fw =τw
ρ U2∞
/2
fw is the universal way of representing distribution of wall shear stress
(friction) over a body surface. It depends on a shape of a body and a
Reynolds number.
1. FORCES IN FLUIDS 16
Drag force
P
Uαd
αddl = r
r
αD
τ
Form drag:
DP = b
π∫
−π
P cos αr dα
Friction drag:
Dτ = b
π∫
−π
τ sin α r dα
1. FORCES IN FLUIDS 17
Importance of Reynolds number
1. FORCES IN FLUIDS 20
Cylinder Drag
Drag coefficient:
CD =D
A ρ U2∞
/2
Pressure coefficient:
CP =P − P∞
ρ U2∞
/2
1. FORCES IN FLUIDS 21
Cylinder drag experiment
First year results: Re = 5.26 × 104 Classical results:
1. FORCES IN FLUIDS 24
Cylinder drag experiment
Dimensional: Nondimensional
1. FORCES IN FLUIDS 25
Lift Force
• Lift — the force perpendicular to the direction of velocity
Lift coefficient: CL =L
Aρ U2∞
/2.
For a cylinder: CL = −
1
2
πZ
−π
Cp(θ) sin(θ) dθ .
a
U θ
Flow is symmetric ⇒ No Lift: L = 0; CL = 0
1. FORCES IN FLUIDS 26
Cylinder lift: Magnus effectL
U
θa
Γ < 0
1. FORCES IN FLUIDS 27
Lift and Circulation
Circulation of velocity Γ along a contour can be used as a measure of
fluids rotation:
s
sV
0
S
Γ =
∮
S
Vs ds
s
1s
V1
V4 4sV3
3s
V22
Γ = V1 s1 + V2 s2 +
V3 s3 + V4 s4
Vθ
r
Γ = 2 π Vτ r
Lift per unit span satisfies...
Kutta-Joukowski theorem: L = −ρU∞ Γ
1. FORCES IN FLUIDS 28
Lift of a thin airfoil
For a thin body ( Uu,l ≈ U∞ ):
l
UUu
Ul
From Bernoulli:
Pl − Pu =ρ
2(U2
u − U2
l ) =ρ
2(Uu + Ul) (Uu − Ul) ≈ ρU∞ (Uu − Ul)
Lift per unit span:
L = l (Pl − Pu) = ρU∞ (Uu l − Ul l) = −ρU∞ Γ
1. FORCES IN FLUIDS 29
Top Related