Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Modelisation de strategies en finance demarche
Seance 11 : Approche moyenne-variance de Markowitz
Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, [email protected]
Ecole de gestionUniversite de Sherbrooke
Le 29 mars 2017
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Table de matiere
Modele de MarkowitzFrontiere efficiente de MarkowitzPortefeuille optimalPortefeuille optimal avec l’actif sans risque
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finance de marche
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Table de matiere
Modele de MarkowitzFrontiere efficiente de MarkowitzPortefeuille optimalPortefeuille optimal avec l’actif sans risque
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Portefeuille : le rendement et la variance
Rπt2,t1=
N∑i=1
ωiR(i)t2,t1
, R(i)t2,t1
=P
(i)t2
P(i)t1
− 1, ωi ≡V
(i)t1
V πt1
µπ =N∑i=1
ωi ER(i)t2,t1
, σ2π =
N∑i=1
N∑j=1
ωiωjcov(R
(i)t2,t1
,R(j)t2,t1
)µπ = ωT︸︷︷︸
1×N
· µ︸︷︷︸N×1
, σ2π = ωT︸︷︷︸
1×N
· Σ︸︷︷︸N×N
· ω︸︷︷︸N×1
, ωT︸︷︷︸1×N
· 1︸︷︷︸N×1
= 1
Pour deux actifs :
µπ = ωTµ = ω1µR1 + ω2µR2 , ωT1 = ω1 + ω2 = 1
σ2π = ωTΣω = ω2
1σ2R1
+ ω22σ
2R2
+ 2ω1ω2σR1R2
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Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : deux actifs
0.0135 0.014 0.0145 0.0155.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5x 10
−4
RB
CN
σπ
µπ
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : diversification
0 0.005 0.01 0.0155.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5x 10
−4
σπ
µπ
RB
CN
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : trois actifs
0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.0194
5
6
7
x 10−4
RB
IO
CN
σπ
µπ
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Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : deux actifs, vente a decouvert permise
0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019
5
6
7
8
9x 10
−4
σπ
µπ
RB
CN
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : trois actifs, vente a decouvert permise
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−5
0
5
10
x 10−4
σπ
µπ
RBIO
CN
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Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Ensemble de portefeuilles en Matlab
mu = nanmean(r, 1)’;
sigma = nancov(r);
g = -1:0.05:2;
%g = 0:0.05:1;
[w1 w2] = meshgrid( g, g );
w = [ w1(:) w2(:) ]’;
w(3, :) = 1 - sum( w, 1 );
%w = w( :, w(3,:) >= 0 );
mu_p = w’ * mu;
sigma_p = zeros( size(mu_p) );
for i = 1:length(sigma_p)
sigma_p(i) = sqrt( w(:,i)’ * sigma * w(:,i) );
end
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Table de matiere
Modele de MarkowitzFrontiere efficiente de MarkowitzPortefeuille optimalPortefeuille optimal avec l’actif sans risque
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Optimisation sous contraintes
I Le probleme d’optimisation :
σ2π = ωTΣω → min
ω
ωTµ = µπ, ωT1 = 1
I Le Lagrangien :
L = ωTΣω − λ1
(ωTµ− µπ
)− λ2
(ωT
1− 1)→ min
ω,λ1,λ2
I Le gradient :
∂L∂ωi
= 2 (Σω)i − λ1µi − λ2 = 0, i = 1, 2, . . .N
I Le systeme d’equations pour ω, λ1, λ2 :2Σω − λ1µ− λ21 = 0
ωTµ = µπωT
1 = 1
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Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Solution analytique (1)
ω∗ =1
2Σ−1 (λ1µ+ λ21)
ω∗Tµ =1
2
(λ1µ
T + λ21T)
Σ−1µ = Aλ1 + Bλ2
ω∗T1 =1
2
(λ1µ
T + λ21T)
Σ−11 = Bλ1 + Cλ2
A =1
2µTΣ−1µ, B =
1
2µTΣ−1
1, C =1
21TΣ−1
1
{Aλ1 + Bλ2 = µπBλ1 + Cλ2 = 1
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Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Solution analytique (2)
{Aλ1 + Bλ2 = µπBλ1 + Cλ2 = 1
λ1 =Cµπ − B
AC − B2, λ2 =
A− BµπAC − B2
ω∗ =(Cµπ − B) Σ−1µ+ (A− Bµπ) Σ−1
1
2 (AC − B2)
σ2π =
(Cµπ − B)2
2 (AC − B2)+
1
2C
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Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : la frontiere efficiente
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−5
0
5
10
x 10−4
σπ
µπ
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Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : les portefeuilles efficients
−5 0 5 10
x 10−4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
µπ
ω∗
RBIOCN
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Minimum global de la variance
ωmgv = Σ−11/
2C , µmgv = B/C , σ2mgv = 1 /2C
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
−5
0
5
10
x 10−4
σπ
µπ
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Solution analytique en Matlab
s_inv = inv( sigma );
un = ones( size( mu ) );
A = mu’ * s_inv * mu / 2;
B = mu’ * s_inv * un / 2;
C = un’ * s_inv * un / 2;
W = ( s_inv * mu * ( C * mu_p - B ) + ...
s_inv * un * ( A - B * mu_p ) ) / 2 ...
/ ( A * C - B^2 );
sigma_p = sqrt( ( C * mu_p - B ) .^ 2 / 2 / C ...
/ ( A * C - B^2 ) + 1 / 2 / C);
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Table de matiere
Modele de MarkowitzFrontiere efficiente de MarkowitzPortefeuille optimalPortefeuille optimal avec l’actif sans risque
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : trois actifs + actif sans risque
0 0.02 0.04 0.06 0.08−2
−1
0
1
2
3
4x 10
−3
σπ
µπ
RB
IOCN
Rf
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Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Optimisation sous contraintes
Si un des actifs est sans risque, la matrice Σ−1 n’existe pas.
σ2π = ωTΣω → min
ω
ωTµ+ ω0Rf = µπ, ωT1 + ω0 = 1
L = ωTΣω − λ1
(ωTµ+ ω0Rf − µπ
)− λ2
(ωT
1 + ω0 − 1)
∂L∂ωi
= 2 (Σω)i − λ1µi − λ2 = 0, i = 1, 2, . . .N
−λ1Rf − λ2 = 02Σω − λ1µ − λ21 = 0
ωTµ + ω0Rf = µπωT
1 + ω0 = 1λ1Rf + λ2 = 0
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Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Solution analytique
Aλ1 + Bλ2 + Rf ω0 = µπBλ1 + Cλ2 + ω0 = 1Rf λ1 + λ2 = 0
λ1 =µπ − Rf
A′, λ2 = −Rf
µπ − Rf
A′
ω∗ = (µπ − Rf )12 Σ−1 (µ− Rf 1)
A′, ω∗0 = 1− (µπ − Rf )
B ′
A′
A′ =1
2(µ− Rf 1)T Σ−1 (µ− Rf 1) , B ′ =
1
21TΣ−1 (µ− Rf 1)
σ2π =
(µπ − Rf )2
2A′, σπ =
|µπ − Rf |√2A′
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Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : la frontiere efficiente
0 0.02 0.04 0.06 0.08−2
−1
0
1
2
3
4x 10
−3
σπ
µπ
RB
IOCN
Rf
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Exemple : les portefeuilles efficients
−2 −1 0 1 2 3 4
x 10−3
−5
0
5
µπ
ω∗
RBIOCNRf
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Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Position de la frontiere efficiente
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
−5
0
5
10
x 10−4
σπ
µπ
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Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Portefeuille de marche : ω∗0 = 0
ωM =1
2B ′Σ−1 (µ− Rf 1) , µM = Rf +
A′
B ′, σ2
M =A′
2B ′2
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
−5
0
5
10
x 10−4
σπ
µπ
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Portefeuilles efficients : la covariance
I Covariance de deux portefeuilles sur la frontiereefficiente
cov(Rπ,Rπ
′)
= ωTΣω′ =1
2A′(µπ − Rf )
(µ′π − Rf
)I La formule de CAPM est vraie pour toutes les paires de
portefeuilles efficients, y compris celui de marche
βπ,π′ =cov
(Rπ,Rπ
′)
σ2π′
=(µπ − Rf ) (µπ′ − Rf ) /(2A′)
(µπ′ − Rf )2 /(2A′)
=µπ − Rf
µπ′ − Rf
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Portefeuille optimal
Actif sans risque
Extensions possibles
I Contraintes, par exempleI la vente a decouvert n’est pas permise,I limites sur l’exposition a certaines classes d’actifs, . . .
I Taux d’interet sans risque sont differents pour le pret etle depot
I D’autres objectifs pour l’optimisation, par exemple,CVaR
I Pour plus de possibilites en Matlab, voir
http://www.mathworks.com/help/finance/asset-
allocation-and-portfolio-optimization.html