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Thorie des files dattente
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Introduction
Les rseaux de file dattente constituentun outil de modlisation des systmes vnements discrets. Ils sont
particulirement adapts pourmodliser les systmes de production
Arrive des clients Dpart des clients
File dattente Serveur
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Dfinitions
Une station : elle se compose dune filedattente et dun ou plusieurs serveurs.Les clients arrivent de lextrieur,attendent ventuellement dans la filedattente, reoivent le service, puis
quittent la station Un rseau de file dattente est un
ensemble de stations inter-connectes.
4
Dfinitions (suite) Une station est dfinie par :
Un processus darrive : distribution de probabilitpour les temps inter-arrives : A(t) = probabilit(temps entre deux arrives conscutifs t)
Un processus de service : B(x) = probabilit (temps
de service x) Une structure et une discipline :
Nombre de serveurs disponibles : C Capacit de la file : K (ventuellement ). Il sagit du nombre
de clients dans la file et du nombre de clients dans le serveur. Discipline de service :
PAPS (Premier arrive, premier servi) DAPS (dernier arrive, premier servi)
Notation de Kendall pour une file dattente :A/B/C/K
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Rseau de file dattente ouvert
Un rseau ouvert : les clients arrivent delextrieur, circulent dans le rseau travers lesdiffrentes stations puis quittent le rseau. Lenombre de clients est variable
Un rseau ouvert (mono-classe) est dfini par : La description de chacune des stations Le processus darrive des clients dans le rseau
Le cheminement des clients dans le rseau Dans un rseau ouvert capacit limite, le
nombre total de clients est born
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Exemple
Arrive desclients
Dpart desclients
S1
S2
S3
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Rseau de files dattente ferm
Dans un rseau ferm, le nombre de clientsest constant, il ny a ni arrive, ni dpart declients
Un rseau ferm mono-classe est dfini par : La description de chacune des stations Le nombre de clients prsents dans le rseau Le cheminement des clients dans le rseau
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Exemple de rseau ferm
S1 S2
S3
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Remarques On peut distinguer plusieurs classes de clients. Dans ce
cas, il faut : Dfinir le processus darrive et de service pour chaque classe La discipline de service entre les classes (modliser les
priorits entre les clients)
Une classe de clients est un ensemble de clientsstochastiquement quivalent
On distingue : Rseau mono-classe (ouvert, ferm) Rseau multi-classes (ouvert, ferm)
Dfinir les processus de cheminement des clients (taux de visitemoyen pour chaque station i et classe r : v ir), les processus deservice (taux de service moyen : sir) et pour chacune des classesventuellement, le processus de changement de classe dun client
10
Comment calculer le nombre devisites pour un rseau ouvert/ferm ?
Dans un rseau ouvert, le nombre devisites sera compt entre lentre et la
sortie dun client du rseau Dans un rseau ferm, le nombre de
visites est comptabilis entre deuxpassages conscutifs dun mme clientpar rapport une station prise commerfrence
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Les paramtres tudier Lors de lvaluation de la performance
dun rseau de files dattente, on peuttudier : Le dbit des clients chaque station Le taux dutilisation de chaque serveur Le nombre moyen de clients prsents
chaque station Le temps moyen de rponse dun client
une station
12
Terminologie et Notations
Ltat du systme = Nombre de client dans le systmede file dattente
Longueur de la file dattente = nombre de clients en
attente de service = tat du systme nombre declients en service N(t) : Nombre de clients dans le systme linstant t P(n) : Probabilit davoir n clients dans le systme
linstant t (en rgime permanent, le nombre de clientsdans le systme est indpendant du temps) = Pn
: Taux darrive moyen des clients : Taux de service moyen des clients
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Indicateurs de performance
=
Cn
npcn )()(
=0
)(n
nnp
1 p(0)U : Taux dutilisation moyen du serveur
Qf/XWf : Temps dattente moyen
Q/X (loi de Little)W : Temps de rponse moyen
(en rgimepermanent)
X : Dbit moyen
Qf : Longueur de la file dattente
Q : Nombre moyen de clients dans le systme
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Quelques rappels sur lesprocessus stochastiques
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Processus alatoire (stochastique)
Un processus alatoire est une famille devariables alatoires Xt, t T
Exemple 1:Xt : le niveau deau dans un rservoir linstant t, aprs sa mise en serviceXt, t 0 est un processus stochastique
paramtre continu t et espace dtatcontinu [0,c], c tant la profondeur deaudans le rservoir
16
Exemple 2 :Nt : le nombre de pices dans unsystme linstant tNt est un processus alatoire paramtre continu t et tats discrets(nombre de pices)
Fonction de rpartitionFX(x,t) = P(Xtx)=FXt(x)
Processus alatoire (stochastique)
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Processus Markovien Xt : un processus stochastique espace dtats
discrets ou continus et paramtres discrets oucontinus Dans les cas des systmes de production considrs
comme des Systmes vnements discrets, nousnous intressons aux processus stochastiques paramtre continu et espace dtat discret.
Un processus stochastique est dit Markovien siP(Xt+1 = j/X0=k0, X1=k1,Xt-1=kt-1,Xt=i) =P(Xt+1 = j/Xt=i) t et squence k0, k1, ..kt-1,i, j
18
Proprits dun processus Markovien
tant donn des vnements passs et un vnementprsent, tout vnement futur est indpendant desvnements passs et dpend uniquement de ltatprsent.
Pour dfinir un processus Markovien :P(Xt+dt = j / xt = i) = ij dt i,jAvec ij : le taux de transition de ltat i ltat j
Une chane de Markov est un graphe n sommets(reprsentant les tats 1,2,..n). Les arcs (i,j)reprsentent les transitions entre ltat i et j (ij 0)
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Proprit sans mmoire de la loi
exponentielle
P(Xt+t0/Xt0)= P(Xt+t0 et Xt0) / P(Xt0)= [P(Xt+t0) + P(Xt0) P(Xt+t0ou Xt0)] / P(Xt0)= [P(Xt+t
0) + P(Xt
0) 1] / P(Xt
0)
= [1-e-(t+t0) +(1-(1-e-(t0)))1] / (1 -(1-e-(t0)))= (e-(t0)) [-e-(t) +1] / (e-(t0))= [1 - e-(t)] = P(Xt)
t0 t0+tX
20
Exemple de processus Markovien
On considre une machine deux tats : Panne (P)
Marche (M) La dure de bon fonctionnement est une
loi exponentielle de taux (peut tre 1) La dure de rparation est une loi
exponentielle de taux (peut tre 1)
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Exemple (Suite)
P(Xt+dt=P/Xt=M) = dtCest la probabilit pour que la machinetombe en panne entre t et t+dt sachantqu t, elle tait en marche
P(Xt+dt=M/Xt=P) = dt
Cest la probabilit pour que la machinefonctionne entre t et t+dt sachant qut, elle tait en panne
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Exemple (Suite)
La chane de Markov pour cette exemple peuttre reprsente par :
M P
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Mise en quation dune Chane de Markov
p(Xt+dt=j)=p(Xt=j)(1- ji dt) + p(Xt=i) ij dt
p(Xt=j)= p(Xt=i) ij - p(Xt=j) ji
Cette quation est crire j=1..N
=
N
jii ,1
=
N
jii ,1
dtd
=
N
jii ,1
=
N
jii ,1
j
j1
jN
1j
Nj
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Rgime limite
Thorme :
Il existe un rgime limite indpendant de ltat initial siet seulement si il existe une seule classe dtats
ergodiques
3 classes dtatsergodiques
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Rgime limite
Rgime limite : t , p(Xt=j) p(j) ( p(Xt=j)= 0)
p(i) ij = p(j) ji : quations dquilibre
=
N
jii ,1
=
N
jii ,1
Dans ce cours, on sintressera au rgime permanent
Il suffit dcrire les quations dquilibre et
lquation de normalisation : p(i)=1=
N
i 1
dtd
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Processus de renouvellement
T={ti} : suite dinstants alatoires
Processus darrive. Xi = ti+1 ti : Temps inter-arrives
Le processus darrive T est un processus derenouvellement si les variables alatoires Xisont indpendantes et identiquementdistribues
t0=0 t1 t2 t3 t4 t5
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Processus de poisson
Un processus de poisson est un processus derenouvellement o les temps inter-arrivessont distribus selon une loi exponentielle.
Pour un processus de poisson de taux , laprobabilit dune arrive entre t et t+dt estdt (ne dpend pas du pass : sans
mmoire) Un processus de poisson de taux est un
processus Markovien et peut tre modlis parune chane de Markov.
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tude dune M/M/1
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tude dune M/M/1
Temps inter-arrives suit une loi exponentielle deparamtre
Temps de service suit une loi exponentielle de paramtre
Proprit sans mmoire de la loi exponentielle Temps inter-arrives et de service indpendants dupass
N(t) : nombre de clients dans la file linstantt est indpendant du pass : Processus Markovien
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Modlisation dune M/M/1 par uneChane de Markov
quations dquilibre : p(0)= p(1)(+) p(n)= p(n-1)+ p(n+1) n1On peut montrer par rcurrence que : p(n)= p(n+1) n0
0 1 2 n-1 n n+1 N
Hypothse : dt petit Un seul vnement entre t et t+dt
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Modlisation dune M/M/1 par une
Chane de Markov On pose : (taux de charge)
Si 1 : le systme est satur Si
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tude dune M/M/C
C serveurs
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valuation des performances On peut dmontrer par rcurrence :
1...npour!!
1...cnpour!
00
0
+==
=
=
cPcc
Pcc
Pn
P
cn
n
cn
c
n
n
1
1
00
)1(!!
=
+
=
ccn
P
c
c
n
nDo
Avec :c
=
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valuation des performances
( )
( )
02
1
02
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
00
1
)1(
1
1)
1
1(
!
!)(
P
c
!c
Pc!c
d
dP
c!c
d
dP
c!c
d
d
Pc!c
jPcc!
cjP
c
Pcc
jjPPcnQ
c
cc
j
j
c
j
jc
j
j
c
j
j
c
j
cj
jj
cjn
cn
f
=
=
=
=
=
=
=
===
+
++
=
+
=
+
=
=
+
=
=+
=
Le nombre moyen de clients dans la file
36
Optimisation des files dattente :Exemple dapplication
Le directeur logistique voudrait dterminer le nombrede magasiniers, affecter au magasin nouvellementimplant dans lusine, qui fournit les ouvriers enoutils et en pices. Les magasiniers reoivent unsalaire de 9$ lheure (y compris les avantages
sociaux). Une heure de travail dun ouvrier estvalue 30$ (y compris les avantages sociaux et letemps attendre les pices). Par exprience, ledirecteur de la logistique estime que les demandesdes ouvriers sont de lordre de 18 lheure alors quela capacit de service est de 20 demandes lheurepar magasinier. Combien de magasinier devrait-onaffecter au magasin, si on suppose que le processusdarrives et de services sont des processus depoisson et que le nombre douvriers qui se prsententau magasin est trs lev.
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Cot total (CT) = Cot dattente (Ca) + Cot de service (Cs)
Calculer le cot total en fonction de diffrentes valeurs quicorrespondent au nombre de magasiniers (nombre de serveurs) Le cot dattente est fonction du nombre moyen de clients dans le
systme. Le cot de service dpend du nombre de serveurs.
Le taux dutilisation du systme : le rapport entre la demande(mesure grce au taux ) et la capacit de service (produit dunombre de serveurs C et du taux de service )
= 18
= 20 C? serveurs
1=
cChoisir c /
Optimisation des files dattente :
Exemple dapplication (suite)
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Cot total
Nombre de serveurNombre optimum
Optimisation des files dattente :Exemple dapplication (Suite)
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Optimisation des files dattente :
Exemple dapplication (suite)
Lidal est demployer 2 magasiniers
* Pour calculer nfutiliser les transparents 32 et 33 ou voir table
54,90 $27,90 $27,00 $0,930,033
51,87 $33,87 $18,00 $1,1290,2292
279,00 $270,00 $9,00 $98,11
Cot totalCot
d'attente =30$ x ns
Cot deservice =9$ x M
Nombre moyen declients en attentedans le systme
(ns = nf + /)
Nombre moyen declients en attentedans la file (nf)
Nombre demagasiniers
(M)
40
Cas particulier : File dattente decapacit finie (K)
La file dattente est a une capacitlimite Exemple : Service durgence dun hpital
Le nombre maximum de client dans lesystme = K
Le nombre maximum de client enattente dans la file = K-C (CK)
==
Knpour0
1-K0,1,...,npourn
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M/M/1/K
0 1 2 n-1 n n+1 K
n
KK
n
nK
n
n
n
K
K
np
p
ppnp
ppnp
1
1
1
1)(
1
1)0(
11
1*)0(1)0(1)(
)0()0()(
1
00
+
+
=
=
=
==
=
=
+
==
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M/M/C/K
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Modle de ligne de fabrication
44
Introduction
Lorsque la structure du systme de production est simple ilnest pas ncessaire de faire appel des outils demodlisation tels que les rseaux de files dattente
Modle ligne de fabrication
Ce modle doit prendre en compte desphnomnes tels que les pannes des machines etles blocages dus la capacit de stockage
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Modle de rfrence
M1 B1 M2 B2 Bk-1 Mk
Taille C1 Taille C2 Taille Ck-1sk: taux de production moyenk: taux de pannek: taux de rparation
Distribus exponentiellement
Toutes les pices passent successivement sur toutes lesmachines
La machine M1 a toujours des pices en attente de service La machine Mka toujours de la place pour dposer sa
production
Hypothses
46
Taux de production de la ligne
En rgime stationnaire, si une machine tombe en panne, laproduction continueOn considre ti : le temps opratoire moyen de Mi (si = 1/ti)
Ci=, i=1..k
Mi Pi
i
ii
iii
i
i
tMP
tU
+
==
1
1.
1)(
1
)1
1.1(max
i
iii tMinU
+
=
Taux de production pourune machine i
Taux de production de la ligne
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Taux de production de la ligne
Si une machine tombe en panne, la production sarrte
Ci=0, i=1..k
M
P111
)(.1
1
1)(
max
max
1
MPt
U
MP
i
ik
i
=
+
=
=
Pk
k
k
p(Pi) i=p(M) ip(Pi)+p(M)=1
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Exercice
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nonc On considre un atelier flexible
comportant cinq stations de travail quisont les suivantes : Station 1 : chargement/dchargement (CD) Station 2 : centre dusinage n1 (CU1) Station 3 : centre dusinage n2 (CU2) Station 4 : centre dusinage n3 (CU3) Station 5 : poste dinspection (IN)
50
nonc (suite)
Latelier fabrique simultanment les deux types depices p1 et p2. Les ratios de production dsirs sont1/3 de p1 et 2/3 de p2. Les pices sont transportssur des palettes qui sont toutes identiques (10
palettes). Les gammes de fabrication des pices p1et p2 sont respectivement donnes par G1 et G2, lestemps de service dans chacune des stations est celuiprcis entre parenthse. G1 : CD(1) puis CU1 (3) puis CU2 (6) puis [IN (5) ou rien]
puis CD (1). Une pice sur deux est vrifie la stationdinspection.
G2 : CD (1) puis CU1 (6) puis CU3 (5) puis [IN (20) ou rien]puis CD (1). Une pice sur dix est vrifie la stationdinspection.
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nonc (suite) Les transports des pices entre les stations se font
par des convoyeurs mais leurs dures sontngligeables devant les temps dusinage, sauf leretour des pices de la station dinspection vers lastation de chargement/dchargement qui prend troisunits de temps.
Les stocks devant chacune des stations de travailsont suffisamment grands pour viter des blocages.
A la station de chargement/dchargement lorsquunepalette arrive, elle est dcharge de la pice termineet recharge aussitt par une nouvelle pice.
Toutes les files sont gres par la discipline PAPS.
52
Questions
Modliser latelier par un rseau de filedattente et caractriser ce rseau.
Calculer le temps de service moyen etle taux de visite moyen de chaquestation pour chaque type de produit etpour chaque station.
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Rseau de files dattente forme produit
54
Introduction
Cest quoi une forme produit ?
Pour certains rseaux de files dattente simples on peututiliser pour le calcul de ses performances sur ce quonappelle forme produit
On a M stations interconnectes dans le rseau de filesdattente en question
On considre ltat (n1, n2, , nM) o ni est le nombre declients la station i (le rseau tant monoclasse)
On veut connatre la probabilit p((n1, n2, , nM))
Forme produit : p((n1, n2, , nM)) = K.=M
iii n
1)(
Constante denormalisation
ne dpend que dela station i
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Cas dun rseau ouvert monoclasse Donnes
p01
p03
1
3
2
4
p12
p23
p24
p34
p43
p40
: taux darrive des clients de lextrieur pij : proportion de clients qui, quittant la station i, vont la
station j vi : taux de visite dun client une station i i : taux de service la station i
56
Cas dun rseau ouvert monoclasse
Dbit des stations
Au rgime permanent on a :
MipXpX
vX
Mipvpv
pp
Mippp
p
M
j
jijii
ii
M
j
jijii
M
j
iji
iMii
M
i
i
..1,
..1,
1..Mi,1
..1,1...
1
1
0
1
0
1
0
21
1
0
=+=
=
=+=
==
=+++
=
=
=
=
=
Ces quations sont
valables quelle que soitla loi darrive Les taux de service
ninterviennent pas Mais ces quations
toutes seules nepermettent pas dedterminer lesperformances du rseau
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Cas dun rseau ouvert monoclasse Hypothses de la forme Produit
1. Le processus darrive des clients extrieurs est unprocessus de Poisson
2. Le cheminement des clients dans le rseau est Markovien(les mouvements entre les stations ne dpendent que de ladernire station visite et pas des autres)
3. Chaque station contient Ci serveurs de temps de servicemoyen ti=1/i
4. Le temps de service est exponentiel5. Les files dattente sont illimites6. Les files dattente sont gres PAPS (sans premption)
58
Cas dun rseau ouvert monoclasse
Dans ces conditions on a :
Le nombre de clients dans une station donne ne dpendpas du nombre de clients dans les stations voisines
La station i se comporte comme si elle tait alimente par
un processus de Poisson de taux Xi
p((n1, n2, , nM))= =M
iii np
1)(
avec pi(ni) est la probabilit stationnaire davoir ni clientsdans une station M/M/Ci en isolation avec une charge i
i
ii X
=
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Cas dun rseau ouvert monoclasse Performances
Qi : Nombre moyen de clients dans la station i Wi : Temps de rponse moyen la station i
Pour le rseau, on a :
=
=
=
=
=M
iii
M
i
i
WvQ
W
1
1
60
Cas dun rseau ouvert multiclasses
Comme le cas dun rseau monoclasse
On tudie chaque station i en isolation avec un tauxde service ir et un taux darrive Xir, vrifiant :
RrMipXpXM
j
r
ji
r
j
r
i
r
i ..1;..1,1
0 ==+=
=
On dtermine les performances de chaque stationpour chaque classe
On dtermine les performances du rseau
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