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PREGUNTA n 21En unc ono circular recto Iy una cuerda d I . a generatriz mid 12mid e a CIrCU f e cm
1 e 16 cm. S. I. n erencia de Ichou f Ia distancia d I a basen erencia a la e centro de di hvolume cuerda es 4 IC an del co no (en c 3) em, entonces elm es:A) 640n
3B) 641n
3C) 642n
30) 643n3E) 644n
3
Reempl azando en ( I )
RESPUESTA640n3
. ?
RESOLUCIONTema Cono de revoluci6n
ALTERNAT~
Calcule el 1 y 3 cm resoecti 'o umen ( 3 pechvamentrecto '. en cm ) die.circunscrito I e cono .as dos f circulares eras.
A) 80n0) 83n
B) 81n C) 82nE ) 84n
RESOLUCIONTema Esf era
Se sabe que W = nr2h3Al trazar OM j_ AB --7LOMB: OB= 4J5
(I )
MB=MA=8
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Andlisis y procedimientNos piden W 0cone:
r - - - - - - -I2I
,,," "
m1:H0102=30o
Como OlH II VM , entoncesm
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Como O Centro d I--;. e cuadrado ABeDOA=J2COM)
Si el cilindro C21 es tal q /su area lateral e t ue su area total es 3n onces el / vecesarea lateral de C1es:
Se trazaG --E//AOyGF//OMPor teorfa de la base mediaAO=2(EG)OM=2(GF)
Por teorfa de I .e aClones met .cas~EGP:_2_ _ 1 182-h2+--(mJ2)2~FGP: _ 2 _ _ 1 162 - h2 +--m2
A) nR2
( J 2 ) 4 0B) nR2( J 2 ) 3 0
Luego
:. OP=24J2 RESOLUCIONTema: CI d1 In roArea de la superficie del cili dIn roRESPUESTA
24J2ALTERNAT IVA l>fj) Th1 ,
PREGUNTAN 0E 24n la figura Cradio R ' 1es un cilindro .y altura h S. circular reet dreg I . I en C 0 eu ar cuadr 1se Inscribeangul un proinscrib ar y luego ismaI e un T en e tel C1 IndTO cireula s e prisma seproceso b. r recto C /teniendo I . . 2Y aSIse repitos cilindros C C e, 4, C5, ...
Area totalIA.sT=2n~ +2nRh
Area de la s .perficie lateralIA.SL=2nRh
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Andlisis y procedimientoNos piden IA.SL de C1.
I1
Dato: En el cilindro 21 se tieneIA.T(C21) =3IA.SL(C21)
Sea R21 el radio de la base del cilindro 21.
L(c1)=2nRh (II)Reemplazando (I) en (II)tenemos
IA.sL(Cl)=nR(R21) ( I I I )Hallando R21 en funci6n de R tenemos 1 0 si-guiente.Analizamos las bases.
Del grafieo se observa que
R J 2C2 ---7 R2= --2
RC3 ---7 R3= -2R 1 2C4 ---7 R4=4RC5 ---7 R5= -4
Por indueei6n se tiene queR RC21 ---7 R -----21 - 1024 - 210
( IV) t . CRESPUESTA
ALTERNATIVA ./0
PREGUNTA N .O 25En la figura ABCDEF. ... es un polfgono regulareuyo lado mide 2 em. Calcule PF (en em).
A) 4~ PB) 2Ji3C) 3J6D) 612E) 4J6
E
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RESOLUCION PREGUNTA N.o 26Dos circunferencias C1 YC2 de centro 0 Y0',respectivamente, son tangentes exteriormenteen T. Desde 0 se traza una tangente a C2 en PYdesde 0' se traza una tangente a C1en Q (OPno se interseca con O'Q). Si se tiene que PQ seinterseca con 00' en T, entonces la relaci6n delos radios de dichas circunferencias es:
Tema: Polfgonos regularesRecuerde que
A) 13 B)12 C) 1
ABCDEFG ...: polfgono regular
[ mA B ~mBC~mm~ ... ]Andlisis y procedimientoPidenPF.
D) 2 E) 3
RESOLUCIONTema: Circunferencia
re ot.C Del grafico LlBCE
Se cumpIe que
E~mQT=mTP
Andlisis y procedimientorPiden R
m
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Oebido a la propiedad mQT = mTP, tenemosm-xPQO'=m-xQPO=8
EnP, a+8=90---7 m-xQO'P=900
Luego, OPO'Q es un rectangulo---7 r=R
. . _ C _ = 1R
RESPUESTA1
ALTERNAT~
s I om C y CD, respectivamente,ue AM = 2-12 em y BN = ,In em. Si P
es el punta de interseeci6n de los segmentos- -AM y BN, entonees el valor de PM+PN enem es:
A) 2,12+J175
B) 2J2 +2ffi5
C) 3~ +Jfi5
0) 2J2 +3ffi5
E ) 312 +3ffi5
RESOLUCIONTema: Semejanza de triangulos
2b1L--- ~ ~_A D RA ' 20 ---,1--- 20 -----,1'%
Nos pidenPM+PN
PeroAM=2J22-12m+4m =212 ---7 m=--5
Tambien L.BPA y L.NPQ son semejantes, entoneesBP=2x; PN=3x
PeroBN =J17
J172x +Sx = Jfi ---7 x =5
LuegoPN= 3J175
.. PM +PN =2-12+3J175RESPUESTA2, ' f2, + 3 - J 1 75
ALTERNATIVA .e
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PREGUNTA n 28En una eireunfereneia de 10 em de radio, doseuerdas se eortan de manera que el producto delos segmentos que eada una determina sobre sf es1296 em4. Determine a que distaneia (en em) delcentro se halla el punta de interseeci6n.
A) 5B) 6C) 7D) 8E) 9
RESOLUCIONTema: Relaciones metricas en la cireunferenciaReeordemos el teorema de las euerdas en laeircunfereneia.
. ?Andlisis y procedimientoDato:
abcd=1296 y R=10
Nos pidenx.Por teorema de las euerdas tenemos
(R+x)(R-x) =acTambien ac=bd
( I )
En el dato(ac)(bd)=1296
--7 (ac)2=1296
Luegoac=36 y R=lO
En (I) tenemos(10+x)(10-x) =36
Resolviendo x=8.
.0to9 ALTERNAT~ 4 !)PREGUNTA N.O 29Los diarnetros Af y CD de una cireunferencia son~- -perpendieulares. Si E E BD, AE interseea a CDen el punta F y FD =1 em, entonees la longitudde la eireunfereneia eireunserita al triangulo FED(en em) es:
A) nhB) 2nhC) 2nJ3D) 3nJ2E) 3nJ3
RESOLUCIONTema: Circunfereneia y figuras eireunseritasSe sabe que la longitud de una eircunfereneia deradio Res igual a 2nR.
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Andlisis y procedimientNos piden I I 0, a ongitudcircunscrita al L:::D de la circunferen 'E=2nR cia
Datos:
A
---7 m D F = 90En el ~DOF:
notable 45, R = J 22
Luego la longitud de la '
(
t: circunfere '2" ":) ncia es igual a
" nJ2RESPUESTAnJ2
AL lERNA TIVA l>fl'
M a t e _ . . . . . . . a r 1PREGUNTA N.o 30EI volumen /by el area latase tria eral de un 'gular son 50 3 pnsma recto dmente C I I m y 200 2 e. .' a Cll eel radio ( m , respectiva-inscrita en la base del e,n m) de la circunferen 'pnsma, cia
A) 0,25D) 2
B) 0,5 C) 1E) 3
RESOLUCIONTema Pr'lsma rectoSe sabe que
lA . . 6 . =p rdonde
B c
Se pide rDel primer dato
(pr)h=50 m2Del segund d ato
2ph=200 m2Del (I ) 7II)
r=0,5
(I )
(II)
RESPUESTA0,5
ALlERNATIVA l..~
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PREGUNTA n 31En un triangulo Ali C en el espacio, la altura relati-va aAC es 5J3 em. Sus vertices A y C estan en unplano horizontal P y el vertice B es exterior a P demodo que el diedro B-AC-B' (B' es la proyeeei6nde B sobre P) mide 37. SiAB'= 10em, entoneesla longitud de AB (en em) es:
A) 10B) 10,6C)JmD) 5../6E) 6.J5
RESOLUCIONTema: Geometrfa del espacio (angulo diedro)Cuando se pide ealcular la medida de un angulodiedro,recuerdeque podemos utiliz r e:Sade las tres reetas pe en . u es, n e l - i deque di e to minos.It re a.
"na Isisy procedimientoPidenAB.
AB=xB
Al trazar B'M .l AC por teorema de las tresperpendieulares:
BM .lAC
Del dato:m
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M a t e . . . . . . . . a f 1PREGUNTA N.o 33En la figura 0 es el centro del /t. circulo trinco. Si OA-1 M igonorne-_ uy tan 8 _ , , 1 3
I--3 ' calcule 1/
a regi6n e area desombreada ( 2n u ).
B
Se cumple que (lAx
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Andlisis y procedimiento
A) 1 . ( 1- cos8)2 2 -cos8
Del datotan 8 = J33
---7 8=30
1 . ( 1 - COS 8 )2 2+cos8
= : ~ ) 2 - n G r= 9
RESPUESTA8 1 C9
RESOLUCIONTema: clreu ferencia t .igoriometrincaAndlisis y procedimientoSe pide A reaL:ABCDel grafico
ALTERNAT IVA l>~ 6.BHO ~ 6.CPO-cos8 _l-h1 - hPREGUNTA s 34
E n la .ircunferenci .a trigonornet .mostrada, el areo 8 ( 1 C ) nca de la figuraE -.1C2' , calcule el .
la . area deregion sombread r--... AM=8 ---7 h= 11- cos8
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RESOLUCIONTema: Id entidades t .compuestos rigonometricas de arcos
Se sabe que
x
AndlisisfA 1x1 1 Y procedimientL::,.ABc=-2 +_ x 1 Pid 0
en simplificar la ex . /2 (1- cos 8) presion E.
1( E = (1- a2b2) (= " 2 1+ 1 ) tan tx l-tan x)1-cos8 7
=~~12.b tOa a~ot.C
IA -L::,.ABC -IA :: .AOB +IA AL . . . > . O C A
Entonces
ALTERNAT~E=(1_a2b 2h a n ( 4 X 3 X ) (+-tan 4x _ 3 X )777E = (1- a2b2).( a+ b ).( a-b1-ab 1- )+ab
PREGUNTA s 35Si tan(4X) (=a y tan 3 X ) _. 7 -~simplificar
entonces al
E = (1- a2b2) . tan (x ) . tan(~).7 ' se obtiene: Finalmente
A) a-bB) a2_b2C) a+bD) abE) alb ALTERNATIVA J ..
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f (x) = ~ . h+ 21sen xlcos x
Del graficoo < sen2x < 10> -sen2x >-11> 1-sen2x > 01> . J 1 - sen 2x > 01> f(x) > 0
__ Ran ( f ) =(0; I)
PREGUNTA n 36Si x E \ n ; 5 4 n ) , determine el rango de la funci6n
A) \ 0 ; ; )B) (0; I)C) (0; - fi )D) (0; 13)E ) (0; J2 +1)
RESPUESTA(0; I)
ALTERNATIVA J ..
Andlisis y procedimiento 12nn
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1
M a t e . . . . . . . . a f 1Analisis y procedimiento
logs (tanu) +10 (s tan S + 6) - 11-2 ogs 9logs (tan S)(tan S 6) =logsJ9tan2S+6t Sn =3tan2S+6t Sn -3=0
x
1 _ 12 - -x I-x
2=1-xResolviendo Ia ecuaci /on cuadratica
.. x= J5-12tanS = -6.j36-4(1)(-3)
2
RESPUESTA-1+J5
2
tan S= -3 2.J3
Como SE 10. n )' " 2 ,entonces tanS> o .
p
A~nS- 3
LTERNA~ , _- +2J?
RESPUESTA22 -12.J3ogs (tan S) + log (t 1anS+6)- I2 " ogs 9
Determine Ivalor de sec2SALTERNATIVA l/~
A) 24-12J3B) 22 -12.J3C) 20 -12~,13D) 18 -12.J3E) 12-J12
PREGUNTA N.o 39SiA B yC son I /23 os angulos de u ./, Y3 son las Ion it d n tnangulo 12. 91 u es d ' , ;a dichos an e sus lades 0gulos respe f puestoscalcule el valor de I c ivarnente y senA=La expresi6n si . 'D sen (A gUlente:= + B) +sen CA } C53 cos A + 42 ) + sen (B + C)cosB +35cosCESOLUCION
Tema:Identidades triigonometri sec2e =1+ tan 2 e teas fundamentales
108xA+lo Bx =logx(A B ) n Iog A=108xAn
A) L B) L4 C)L
6L
8
D) -10 E )L-12
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RESOLUCION 1,2 + 2,3 + 3 1,2Tema: Resoluci6n de triangulos oblicuangulos sen A +senB + senC senA
abcTeorema de senos: -- =- =--senA senB senC 6,5 1,2Len A +senB +senCTeorema de proyecciones
a=bcosC+ccosB65L---7 senA+senB+senC=~ (I )
b=acosC+ccosA Por el teorema de proyecci6n tenemos
B
1,2=3cosB +2,3cosC3=1,2cosB+2,3cosA2,3=3cosA + 1,2cosC
c= acosB + bcosA
Sumando las tres relaciones t . CI )
c
b
D.L121800-C 1800-B 1800-A~ ~ ~D = sen(A + B) + sen(A + C) + sen(B + C)53 cos A + 42cosB + 35cosC
RESPUESTAL12
D = senC + senB +senA53 cos A + 42 cos B +35 cos C ( a )
ALTERNATIVA): ..~
BPREGUNTA N.o 402.Cual es la ecuaci6n de la circunferencia cuyocentro esta sobre la recta y+x=O. Ademas, pasapor los puntos (3; 4) y ( 3 . J 2 ; J 7 ) ?
A
1,2 2,3 3
A) )2+y2=5B) 2 2x +y =9C) )2+y2=150) )2+y2=16E ) )2+y2=25
Por el teorema de senos tenemos
-----=senA senB senC
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RESOLUCIONTema: Ecuaci / dn e la .ircunferen .ia
II. (3; 4) /\ (3)2; J 7 ) E re entonces(3_h)2+(4+h)2=r2
( 3 .J 2 " _ h)2 + (. h7 )2j j + h =r2Igualando tenemo s que h=OLuego ,entonces k= O
Andlisis y procedimientoEcuaci6n de la .ircunferencia:
re: (x_h)2+ ( 2 .y-k) =r2Por dato
Como (3 4) O?E'fD---7
re:2+i=25
I. (h; k) L: y+x=O ---7 k=-hPor 1 0 tantore: (x_h)2+ (y+h)2=r2
RESPUESTAx2+y2=25 .c
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