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UNIVERSIDAD TECNOLGICA DEL CHOCO
DIEGO LUIS CORDOBA
FACULTAD DE HUMANIDADES Y ARTES
PROGRAMA DE TRABAJO SOCIAL
MODALIDAD A DISTANCIA
MODULO DE ELEMENTOS DE ESTADSTICA Y NOCIONES DE
PROBABILIDADES
Elabor:
Eo!o"#$%a: JOHN ENRI&UE LUNA RENGIFO
&'#b( ) C*oMa+o (, -../
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CONTENIDO
TEMA Pa0#!a
PRIMERA PARTE
Historiaimportanciaconceptos
UNIDAD NUMERO UNO:
1. El mtodo estadstico.1.1. Etapas del mtodo estadstico.1.1.1. Planteamiento del problema.1.1.2. Fijacin de los objetivos.1.1.3. Las hiptesis.1.1.4. nidad de observacin ! de medida.1.1.". #eterminacin de la poblacin ! de la m$estra.1.1.%. &ecoleccin de la in'ormacin.1.1.(. )ritica* clasi'icacin ! ordenacin de la in'ormacin.1.1.+. ,ab$lacin de la in'ormacin.1.1.-. Presentacin de la in'ormacin.1.1.1. /n0lisis de la in'ormacin.1.1.11. P$blicacin de los res$ltados.1.2. ,cnicas de recoleccin de la in'ormacin.1.2.1. edicin.
La observacin.
La entrevista.La enc$esta./$to eval$acin.
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UNIDAD NUMERO DOS: LAS FRECUENCIAS.
2. Las Frec$encias2.1. #istrib$ciones de 'rec$encias.2.1.1.#istrib$cin de 'rec$encias simples.2.2. Propiedades de las 'rec$encias.2.3. #istrib$cin de 'rec$encias por intervalos.2.4. &epresentacin ra'ica.2.4.1.,ipos de ra'icas.2.4.1.1.Historamas de 'rec$encias.2.4.1.2. r0'icos de barras
2.4.1.3. r0'icos circ$lares2.". Historamas de 'rec$encias.- /$to eval$acin.
UNIDAD NUMERO TRES:
3. ediadas de tendencia central.3.1. edia aritmtica.3.1.1 Propiedades de la media aritmtica.3.2. La mediana.
3.3. La moda.3.4. edidas de posicin percentiles3.4.1. )$artiles.
&epresentacin ra'ica. )alc$lo matem0tico.
3.4.2. 5$intiles. &epresentacin ra'ica. )alc$lo matem0tico.
3.4.3. #eciles ! centiles.
- a$to eval$acin.UNIDAD NUMERO CUATRO
4. edidas de dispersin.4.1. &ano o recorrido.
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4.2. #esviacin media.4.3. 6arian7a ! desviacin est0ndar.
4.4. )oe'iciente de variabilidad. /$to eval$acin.
SEGUNDA PARTE
UNIDAD NUMERO CINCO". 8ntrod$ccin a las probabilidades.".1 8ntrod$ccin.".2. Escala de probabilidades.".3. Espacio m$estral de $n e9perimento.".4. ,cnicas de conteo.".4.1.Perm$taciones ! combinaciones.
- /$to eval$acin.-
UNIDAD NUMERO SEIS:
%. #istrib$ciones de m$estreo aleatorio.%.1. arco m$estral.%.2. Enc$esta preliminar o piloto.%.3 La m$estra.%.4. etodos de m$estreo aleatorio.%.". ,ama:o de la m$estra.%.".1. )alc$lo del tama:o de la m$estra.
- /$to eval$acin.UNIDAD NUMRO SIETE.
(. Pr$eba de hiptesis.(.1. La hiptesis.
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(.1.1. Hiptesis estadstica.(.1.2. Hiptesis n$la.
(.1.3. Hiptesis alternativa.(.2. )lases de pr$ebas.(.2.1. La pr$eba normal de medias poblacionales.(.2.2. ;ivel de sini'icacin.(.2.3. Procedimiento para la pr$eba de hiptesis.(.3. Pr$eba del )hi c$adrado.(.3.1. ,abla de continencia
- /$to eval$acin.
UNIDAD NUMERO OCHO.
+. /n0lisis de reresin ! correlacin lineal.+.1. &eresin lineal simple.+.2 )alc$lo de los coe'icientes.+.2.1. Procedimiento para el calc$lo de los coe'icientes.
- /$to eval$acin.
UNIDAD NMERO NUEVE.
-. ,asas e ndices.-.1. Las tasas.-.2. ;$mero ndice.-.2.1.
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ESTADSTICA
GENERALIDADES.
HISTORIA.
La palabra stadisti= proviene de la palabra italiana statista >$e
sini'ica estadstica* $tili7ada por primera ve7 por ott'ried/chen?all @1(1- A 1((2B* posteriormente $n pro'esor introd$jo el
termino estadstica a 8nlaterraC s$ $so '$e pop$lari7ado por Dir
ohn Dinclair en s$ obra Dtatistical /cco$nt o' Dcotland @1(-1
1(--B @8n'orme estadstico sobre EscociaB* no obstante* m$cho
antes la ente !a reistraba datos.
El 6iejo testamento contiene in'orme sobre levantamiento de
censosC la estadstica $bernamental en Gabilonia* Eipto ! &oma
tambin lo dem$estra. Por el a:o de 1+%* $illermo el
)on>$istador* orden la p$blicacin del #omesda! Goo=* >$e era
$n reistro de la propiedad* e9tensin ! valor de las tierras de
8nlaterra* lo >$e se constit$! en el primer reistro estadstico de
8nlaterra.
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IMPORTANCIA.
La estadstica se comporta como $na ciencia a$9iliar a todas las
ciencias* m0s si se tiene en c$enta >$e diariamente desde la
posicin $ o'icio a >$e estemos dedicados nos vemos en la
necesidad de tomar decisiones bajo incertid$mbre.
Para qu la Esta!st"#a los conceptos ! las tcnicas de la
estadstica se $tili7an para la planeacin* el control* la direccin einterpretacin de res$ltados de $na actividad.
/l res$mir al$nos de los aspectos >$e indican la importancia de la
estadstica podramos mencionar
a. Permite conocer la realidad de $na observacin o 'enmeno.
b. /!$da a determinar lo tpico o normal de la observacin.
c. 8ndica los cambios >$e se eneran en el 'enmeno observado.
d. &elaciona dos o m0s 'enmenos.
e. Permite determinar las ca$sas >$e dan orien al 'enmeno.
'. &eali7a estimativos sobre el comportamiento de $n 'enmeno.
. Facilita la obtencin de concl$siones a nivel m$estral
aplicables a toda la poblacin.
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Es $n error b$scar relacin directa entre la estadstica ! los
nImeros Inicamente* p$es no es solamente eso* ciertamente* laeneralidad de la estadstica* indica ci'ras b0sicamente relativasC
asesinatos* robos* ventas* e9portaciones* importaciones* abortos*
nacimientos* de'$nciones* etc.* por lo tanto* es b0sico el
conocimiento de las operaciones elementales ! las propiedades de
los sinos.
CONCEPTOS
Por lo anterior* es normal encontrar di'erentes conceptos sobre
estadstica seIn el a$tor* o la idea a representar.
no de los m0s elementales dice* >$e la estadstica es laar$pacin de datos ordenados en 'orma sistem0tica en c$adros
o r0'icos.
)onj$nto de tcnicas >$e a partir de la observacin de di'erentes
'enmenos* posibilitan hacer concl$siones.
DeIn el interes* >$e nos oc$pe en s$ $so* asi debemos
aprovechar al$na de las si$ientes s$bdivisiones
a. ESTADSTICA DESCRIPTIVA. #escribe c$antitativamente
$na serie de personas* l$ares o cosas.
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b. ESTADSTICA INFERENCIAL. De oc$pa de darin'ormacin para sacar concl$siones acerca de $n r$po de
personas l$ares o cosas* a partir de $n an0lisis p$nt$al o
m$estral.
c. TEORIA DECISORIAL* es $tili7ada especialmente por los
administradores para tomar decisiones en condiciones de
incertid$mbre c$ando por ejemplo* $n 'abricante de
aparatos de sonido no p$ede especi'icar precisamente la
demanda de s$s prod$ctos o c$ando en $na esc$ela se
deben asinar r$pos ! crear horarios sin tener el
conocimiento preciso del n$mero de est$diantes >$e
entraran en $n rado determinado.
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UNIDAD NMERO UNO
$. EL METODO ESTADSTICO
El mtodo estadstico es $tili7ado 'rec$entemente en las
investiaciones sociales* parte de la observacin de $n 'enmeno
permitiendo la libertad del 'enmeno ! s$ reistro para s$ an0lisis
'inal.
$.$ ETAPAS DEL METODO ESTADSTICO.
Las etapas del mtodo estadstico se p$eden n$merar a criterio del
investiador* no obstante* debe incl$ir los si$ientes actividades.
Planteamiento del problema.
Fijacin de los objetivos.
Form$lacin de la hiptesis.
#e'inicin de la $nidad de medida ! de observacin.
#eterminacin de la poblacin ! el tama:o de la m$estra. Distema de recoleccin de la in'ormacin.
)ritica* clasi'icacin ! ordenacin de la in'ormacin.
,ab$lacin de la in'ormacin.
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Presentacin de la in'ormacin.
/n0lisis de la in'ormacin. P$blicacin de los res$ltados.
$.$.$ PLANTEAMIENTO DEL PRO%LEMA.
)$ando decidimos reali7ar $na investiacin* debemos iniciar con
pi 'irme* por ello* se debe hacer claridad sobre el >$ ! el por>$
se desea est$diar alIn 'enmeno.
Para andar por caminos menos riesosos* se hace necesario
reali7ar $na e9ha$stiva revisin biblior0'ica* para conocer los
res$ltados de investiaciones similares >$e nos permita $bicar
n$estra prop$esta de manera histrica ! terica.
$.$.& FI'ACI(N DE LOS O%'ETIVOS.
na ve7 hemos determinado con claridad >$e vamos a investiar*
es necesario establecer n$estro alcance* es decir* c$al o c$ales
son n$estros objetivos* los c$ales deben ser escritos con claridadlejos de ambiJedadesC en los objetivos se hace necesario
di'erenciar entre objetivos enerales ! objetivos espec'icos. #e
i$al manera se establecen las metas >$e deben ser c$anti'icables.
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$.$.) LAS HIP(TESIS.
DeIn la in'ormacin o conocimiento sobre el 'enmeno ainvestiar por parte del investiador* se podr0n establecer las
hiptesis b$scando con ellas predecir de $na manera provisional lo
>$e p$eda llear a s$ceder* como se trata de $na hiptesis
estadstica* debe tener la posibilidad de ser probada ! si es del
caso recha7ada.
La hiptesis 'orm$lada debe estar relacionada con la media* la
proporcin* la varian7a* etc.* ! con la posibilidad de ser recha7arla
si es del caso* por ello se habla de hiptesis n$la ! la contraria a
ella hiptesis alternativa.
$.$.* UNIDAD DE O%SERVACI(N + DE MEDIDA.
La $nidad de observacin esta constit$ida por todos ! cada $no de
los elementos >$e hacen parte de la poblacin >$e previamente se
ha de'inido* indicando s$s caractersticas.
La $nidad de medida se determina de ac$erdo a las caractersticasde la $nidad de observacin* por ello* debe de'inirse tambin
previamente.
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$.$., DETERMINACI(N DE LA PO%LACI(N + LA MUESTRA.
Estadsticamente* en la poblacin a est$diar debe determinarse la
posibilidad de manejo* para ello* pensemos >$e en al$nos casos
desconocemos c$antos elementos e9isten en la poblacin* esta
poblacin la vamos a considerar como infinita
independientemente >$e s$ n$mero sea pe>$e:oC mientras >$e
p$ede darse el caso de $na poblacin m$! rande* pero >$e
sabemos con precisin c$antos elementos la componen* a esta
poblacin nos re'eriremos como $na poblacin finita.
El est$dio de todos los elementos de la poblacin se convertira en
$n censo* >$e por lo dem0s* es costoso en trminos de rec$rsos
'inancieros* demorados en el tiempo ! a veces innecesarios.
El est$dio en $na m$estra permite hacer in'erencia a toda la
poblacin a la c$al perteneceC la m$estra debe tener principalmente
dos caractersticasC de $na parte debe ser representativa ! de otra
debe ser optima* para ello* e9isten mtodos seIn sea la poblacin'inita o in'inita ! adem0s se re'iera a $na proporcin o $na variable.
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Lo >$e si debe >$edar desde !a claro es >$e esta debe ser
aleatoria o al a7ar* esto es* >$e todos los elementos tenan la
misma oport$nidad de ser seleccionados ! participar en ella* para
>$e la m$estra sea optima.
$.$.- RECOLECCION DE LA INFORMACI(N.
La recoleccin de la in'ormacin eneralmente se inicia l$eo de
haber reali7ado $na pr$eba piloto o pr$eba de campo* >$e permita
validar los c$estionarios establecidos para tal 'in. Esta pr$eba
tambin sirve como medio para obtener de manera apro9imada la
variabilidad de la poblacin* lo >$e posteriormente permite el
c0lc$lo e9acto del tama:o de la m$estra* adem0s se establecen los
tiempos promedios de aplicacin >$e s$elen ser de al$na $tilidad.
$.$. CRITICA CLASIFICACION + ORDENACI(N DE LA
INFORMACI(N.
na ve7 se ha recopilado toda la in'ormacin* debe ser sometida a
$na dep$racin >$e permita detectar 'alsedades* por ello* estaetapa es conveniente entrearla a $na persona >$e tena
conocimiento de la poblacin.
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L$eo de la critica o dep$racin* se debe ordenar el material
dep$rado e iniciar la clasi'icacin ! ordenacin de las di'erentesvariables cons$ltadas con la a!$da de hojas a$9iliares @este trabajo
se p$ede reali7ar mediante tcnicas sistemati7adasB.
$.$./ TA%ULACION DE LA INFORMACI(N.
,ab$lar o entablar la in'ormacin consiste en orani7ar toda la
in'ormacin respecto $na o m0s variables* estas tablas constar0n
de $n tit$lo* las col$mnas ! 'ilas necesarias >$e contenan los
di'erentes tems ! la c$anti'icacin de los res$ltadosC debe anotarse
adem0s* la '$ente de in'ormacin respectiva
$.$.0 PRESENTACI(N DE LA INFORMACI(N.
La lect$ra de la in'ormacin es de ma!or claridad c$ando se
presenta en c$adros* tablas ! r0'icos* ello permite $n mejor
an0lisis* por lo tanto* debe tenerse m$! en c$enta >$ien o >$ienes
son los destinatarios de la in'ormacin >$e se presenta.
$.$.$1 AN2LISIS DE LA INFORMACI(N.
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El an0lisis es el '$ndamento 'inal de la investiacin* conlleva a la
in'erencia a manera de concl$siones.
$.$.$$ PU%LICACI(N DE LA INFORMACI(N.
Es $na etapa de m$cha importancia* adem0s de >$e sirve $na
investiacin sino se ha de p$blicarKC de otra parte* se$ramente
m$chas personas o investiadores estar0n a esperas de los
res$ltados.
$.& T3CNICAS DE RECOLECCION DE INFORMACION
$.&.$ MEDICION: edir alo es determinar c$antas veces $nacierta $nidad de medida* >$e se denomina patrn de medida cabe
en el objeto >$e se mide.
Este concepto es aplicable tanto a las medidas 'sicas como a las
concept$alesC no obstante* para las medidas concept$ales no
e9isten patrones de'inidos* por lo tanto es tarea de >$ien reali7a lainvestiacin constr$ir o adaptar $no previamente.
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La medicin desde el p$nto de vista estadstico* b$sca describir*
cateori7ar ! eval$ar la calidad de las mediciones ! mejorar s$$tili7acin.
En los procesos de investiacin social* ! en especial en la
medicin* es necesario de'inir conceptos* niveles ! variables
@aleatoria* contin$a* discreta* c$alitativa* c$antitativaB.
La in'ormacin tiene di'erentes '$entes de obtencin* en trminos
enerales* p$ede ser 4r"5ar"a 6 s7#u8ar"a.
La "896r5a#"8 7s 4r"5ar"a* c$ando el investiador la obtiene
directamente a travs del contacto inmediato con el objeto de
an0lisis.
La "896r5a#"8 7s s7#u8ar"a* c$ando el investiador la
recoe a partir de investiaciones anteriores con propsitos
di'erentes* eneralmente no se entra en contacto directo con el
objeto de an0lisis.
Di por ejemplo* se re>$iere conocer la sit$acin n$tricional del $nr$po escolar* como parte de la in'ormacin necesaria para
determinar las ca$sas de la desercin escolar en $na determinada
poblacin* es posible obtener esta in'ormacin de los archivos >$e
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llevan la trabajadoras sociales de cada instit$cinC esta se
constit$!e en in'ormacin sec$ndaria. Pero si >$ien reali7a lainvestiacin decide* dise:ar s$s propios instr$mentos @enc$estas
por ejemploB* determinar la poblacin* ! aplicarlos a la poblacin o
m$estra* estamos hablando de $na in'ormacin primaria.
Es comIn en los procesos de investiacin la $tili7acin de
in'ormacin mi9ta.
)$ando se trata de in'ormacin primaria* las principales tcnicas de
recoleccin de in'ormacin son
a. La observacin.
b. La entrevista.
c. La enc$esta.
a. LA O%SERVACI(N. P$ede ser 4art"#"4a8t7* la c$al se
reali7a de manera permanente ! al a7ar* se observan los
di'erentes hechos de $n r$po de personas. )$ando la
observacin es 7stru#turaa* se presenta menor libertad para
escoer los hechos >$e se s$ceden ! >$e constit$!en el
contenido de la observacin* !a >$e el investiador sabe
previamente c$ales son los aspectos relevantes para s$
propsito.
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La observacin se constit$!e en $na herramienta de investiacin*
si se lora en ella por lo menos
5$e sirva a $n problema de investiacin* antes planteado.
5$e se realice $n planeamiento previo ! sistem0tico.
5$e se lleven con claridad ! de manera sistem0tica los
reistros.
5$e las observaciones sean sometidas a validacin ! control.
Por lo tanto* debe responder a
1. 5$e se deber0 observar.
2. )$al es la relacin entre el observador ! lo observado.
3. )$ales observaciones deben ser observadas.
4. )$ales procedimientos se tendr0n en c$enta >$e aranticen la
se$ridad de las observaciones.
;. LA ENTREVISTA: Es la tcnica apropiada c$ando se re>$iere
de testimonios ! reportes verbales de $n r$po de personas >$e
saben de ciertos acontecimientosC se concibe como la conversacin
>$e sostienen dos personas* ! >$e se lleva a cabo a iniciativa del
entrevistador con el objetivo de obtener in'ormacin necesaria para
la investiacin >$e reali7a.
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Las principales caractersticas >$e constit$!en $na entrevista son
/lto rado de 'le9ibilidad.
/lta cobert$ra desde el p$nto de vista poblacional.
Permite ase$rar la valide7 de las resp$estas.
Las pre$ntas >$e se reali7an en $na entrevista son de di'erente
tipo as
Pre$ntas de hechos.
- )$0l es s$ pro'esinK
- )$0nto tiempo lleva viviendo en esta com$nidadK
Pre$ntas sobre opiniones ! creencias.
- 5$ opinin tiene $sted de la act$al poltica deobiernoK
- )$0l considera el mejor candidato para las pr9imas
eleccionesK
Pre$ntas sobre est0ndares o patrones de accin.
- ,iene $sted di'ic$ltades para hacer amiosK
- )mo considera se p$ede mejorar el rendimiento del
r$poK
Pre$ntas sobre sentimientos.
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- )mo asimila $sted los res$ltados electoralesK
- De siente $sted aislado@aB por s$s compa:eros @asBK
Pre$ntas de control.
- )$ales son las personas mas in'l$!entes en esta
com$nidadK
- / >$ien considera $sted como lder en s$ barrioK
Pre$ntas cerradas o de resp$esta 'ija.
- )omo es el rendimiento del r$po en eneral
G$eno @ B &e$lar @ B /ceptable @ B alo @ B
- D$s inresos mens$ales son en DL6 enos de $no @ B
#os @ B ,res @ B mas de tres @ B.
Pre$ntas abiertas o de resp$esta libre.
- 5$ piensa $sted del c$rso de estadstica.
- Por>$ piensa retirarse de la $niversidad.
Las entrevistas eneralmente p$eden ser 7stru#turaas 6 86
7stru#turaas* en el primer caso* las pre$ntas* son
presentadas con e9actit$d en las palabras ! orden a todos los
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entrevistados* normalmente no se tiene la oport$nidad de hacer
pre$ntas por '$era de las proramadas a no ser de clari'icacin.En las no estr$ct$radas* las pre$ntas no est0n predeterminadas*
se hace con el 'in de permitir al entrevistado ma!or espontaneidad
! pro'$ndidad en s$s resp$estas
#. LA ENCUESTA: Es el instr$mento de ma!or $tili7acin como
tcnica para la recoleccin de in'ormacin primaria* especialmente
en las ciencias sociales. En eneral se p$de decir >$e la enc$esta
es $na tcnica para la obtencin de in'ormacin primaria* a partir
de $n nImero representativo de individ$os de $na poblacin
@m$estraB* ! >$e sirve para hacer $na pro!eccin sobre la
poblacin total.
E9isten di'erentes tipos de enc$estas seIn sean los propsitos deella* ! b0sicamente son
E
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D7 7=alua#"8 4r6>ra5?t"#a. D$ dise:o parte de 'actores
con alIn antecedente en c$anto al manejo por parte deoranismos de accin social* se b$sca la aplicacin
inmediata* para la modi'icacin o cambio del estado de las
cosas. /s* si se >$iere conocer como incide la armona de
este r$po independientemente de lo heteroneo >$e es*
en el rendimiento eneral* la enc$esta a aplicar ser0 de
este tipo.
P$ede tambin ser aplicada para conocer los e'ectos de $na
campa:a contra la prostit$cin o la droadiccin en $n r$po de
centros ed$cativos.
D7 "a>8st"#6. Este tipo se preoc$pa por la bIs>$eda del
como varios actores contrib$!en a la determinacin de $n'enmeno determinado. )on este dise:o se p$ede
averi$ar sobre los e'ectos de los movimientos sociales
hacia $na determinada poblacin* en la dismin$cin de la
o'erta de trabajo* etc.
D7 #ar?#t7r 4r7"#t"=6. )omo lo indica s$ nombre seoc$pa no de la e9plicacin sino de estimar '$t$ro del
comportamiento de alo. n caso tpico p$ede ser la
enc$esta >$e se aplica en la poblacin de ;$>$* para
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conocer los e'ectos en la demanda de los servicios
pIblicos con el incremento poblacional como consec$enciade la constr$ccin de la va /nimas A ;$>$.
D7 a8?l"s"s s7#u8ar"6. )$ando la investiacin se basa
en enc$estas anteriores con propsitos di'erentes. Dea el
caso de tomar la in'ormacin contenida en $n est$dio
reali7ado por la ,)H* para conocer el sentido de
pertenencia por se9o hacia la $niversidad* ! $tili7arla para
determinar la poblacin est$diantil por se9o ! edad.
El paso si$iente es el an0lisis de la in'ormacin* el c$al se clari'ica
en $nidad posterior.
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AUTOEVALUACION.
1. Para que sirve la informacin estadstica? __________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. En$ncie las etapas del mtodo estadstico.
3. Para >$e se $tili7a el mtodo estadstico.
4. 5$e es $na hiptesisK
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". )$ando se considera >$e $na poblacin es 'initaK%. )$ales son las principales '$entes de in'ormacinK
(. )$ando $na poblacin es in'initaK
+. En$ncia las tcnicas de recoleccin de in'ormacin primaria.
-. )$ales son las caractersticas >$e debe tener $na entrevista.
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1. en$mere los tipos de enc$esta >$e $sted conoceK.
UNIDAD NMERO DOS:
&. FRECUENCIAS
&.$ DISTRI%UCI(N DE FRECUENCIAS.
/otadas las etapas vistas en la $nidad anterior* podemos decir*
>$e la in'ormacin esta ordenada en tablas entendibles* p$es est0n
ordenadas ! clasi'icadas* decimos entonces* >$e hemos reali7ado
$na distrib$cin de 'rec$encias. Es decir* la distrib$cin de
'rec$encias* es $n mtodo para orani7ar ! res$mir los datos.
/ntes de entrar a precisar lo re'erente a la distrib$cin de
'rec$encias* es conveniente detenernos en determinar $na
simboloa >$e nos permita reali7ar todo lo relacionado con s$
est$dio estadstico* no sin antes advertir* >$e no e9iste $na
notacin Inica* por ello* es conveniente antes de abordar $n te9to
especi'ico* determinar la >$e en el se $tili7a.
n M ,ama:o de la m$estra
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; M tama:o de la poblacin
Ni M identi'icacin por cada valor observado.Oi @ identi'icacin por cada valor observado
9a M 'rec$encias absol$tas.
9r M 'rec$encia relativa.
FA M 'rec$encia absol$ta ac$m$lada.
F& M 'rec$encia relativa ac$m$lada.
Oc M marca de clase* en la variable contin$a.
m M el n$mero de valores de la variable !i* tambin
se considera como el n$mero de intervalos o
marcas de clase en la variable contin$a.
&.$.$ DISTRI%UCI(N DE FRECUENCIAS SIMPLES.
6amos a abordar este tema valindonos de $n ejemplo.
D$ponamos >$e en $na investiacin reali7ada sobre $na
poblacin 234 est$diantes de $n coleio de bachillerato* se
seleccionaron de manera aleatoria a %" de ellos a los c$ales se lesmidi s$ coe'iciente intelect$al @)8B* con el si$iente res$ltado.
; M 234n M %"
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N1 M+ N2 M +4 N3M + N4M 11
N....... N%" M 1-
,/GL/ ; 1
COEFICIENTE INTELECTUAL DE -, ALUMNOS DE UN
COLEGIO DE %ACHILLERATO.
+ +4 + 11 1- 12" 122 11 -% - ++ +2 +4
- -2 + 12 1 -% 11 + 12" 1 12 +4 -
+4 - 1 122 1- 1% -% 12 +4 - -+ - -2
1 12" + - ++ 122 11 -2 - 12 1- + ++
12 11 + 1% -% 1- ++ +4 1 - 12" +2 1-
Para elaborar la tabla si$iente tomemos antes los valores >$e
toma la variableC de $na ve7 ha0moslo de menor a ma!or* e
identi'i>$emos las veces >$e se repite la observacin* esto es* la
'rec$encia.
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CI CONTEO REPETICI(N
+ 8888 88 (
+2 88 2
+4 8888 8 %
++ 8888 4
- 8888 8888 -
-2 888 3
-% 8888 4
-+ 8 1
1 8888 "
12 8888 "
1% 88 2
1- 8888 "11 8888 "
122 888 3
12" 8888 4
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Podemos elaborar ahora* con la in'ormacin anterior* $na tabla de
'rec$encias* donde se identi'i>$en* las 'rec$encias absol$tas*las relativas ! las ac$m$ladasC de otra parte debemos observar
en esta tabla lo re'erente a las propiedades de las 'rec$encias
>$e en$nciaremos en painas posteriores.
TA%LA N &
DISTRI%UCI(N DE FRECUENCIAS
Oi 'a 'r F/ F&+ ( .1+ ( .1++2 2 .31 - .13-+4 % .-2 1" .231++ 4 .%2 1- .2-3
- - .13+ 2+ .431-2 3 .4% 31 .4((-% 4 .%2 3" ."3--+ 1 .1" 3% .""4
1 " .(( 41 .%3112 " .(( 4% .(+1% 2 .31 4+ .(3-1- " .(( "3 .+1%11 " .(( "+ .+-3122 3 .4% %1 .-3-12" 4 .%2 %" 1. %" 1.
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#e la tabla anterior* en especial de las col$mnas re'eridas a las
'rec$encias relativas @'rB ! las 'rec$encias relativas ac$m$ladas@F&B* podemos indicar al$nos elementos importantes* como
Dolamente* el %.2Q de los est$diantes presenta el m09imo
p$ntaje del )8* >$e es de 12" p$ntos.
El p$ntaje mnimo >$e es de + p$ntos lo presentan Inicamente
el 1.+Q.
El 44.( tiene $n )8 i$al o s$perior a 1 p$ntos.
&.& PROPIEDADES DE LAS FRECUENCIAS
1. Las 'rec$encias absol$tas @'aB* son siempre valores enteros.
2. La s$ma de las 'rec$encias absol$tas @'aB* es i$al a la
m$estra @nB.
3. Las 'rec$encias relativas @'rB* son siempre valores
'raccionarios entre ! 1.
4. La s$ma de las 'rec$encias relativas @'rB*es siempre i$al a
1.
5. El Iltimo valor de las 'rec$encias absol$tas ac$m$ladas
@F/B* es i$al a la m$estra.6. El Iltimo valor de las 'rec$encias relativas ac$m$ladas @F&B*
es siempre i$al a 1.
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&.) DISTRI%UCI(N DE LAS FRECUENCIAS POR INTERVALOS
En m$chos casos nos encontramos con $n ran n$mero de
observaciones de di'cil ar$pamiento en ra7n a >$e la distrib$cin
es m$! amplia* a veces con 'rec$encias pe>$e:as @$nitariasBC la
constr$ccin de $na tabla con estas caractersticas no o'rece
ma!or $tilidad en el an0lisis.
)$ando esto s$cede* es conveniente ac$dir a la constr$ccin de
$na tabla con datos ar$pados en intervalos* lo c$al notaremos con
la letra 5.
El c$antos intervalos se han de constr$ir* depende del investiador*
lo mismo >$e la amplit$d de ellos* no obstante* los est$diosos del
tema aconsejan $n nImero no in'erior a " ni ma!or a 1"
E9iste $na 'orm$la bastante $tili7ada para ello donde 5 @ $B).)
l6> 8
El procedimiento a se$ir A al menos el m0s aconsejado para
establecer los intervalos en $na tabla de 'rec$encias es elsi$iente
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1. #eterminar los valores mnimo ! m09imo de las
observaciones.
2. Establecer la di'erencia entre ambas* la c$al llamaremos
rano o recorrido* >$e denotaremos como R
3. #eterminar el nImero de intervalos de la manera como se
s$iri anteriormente.
#eterminar la amplit$d @)B del intervalo* mediante C @ R5.
4. Establecer la di'erencia en >$e ha sido alterado el
recorrido.
". #istrib$ir adec$adamente la cantidad de alteracin.
Para lorar lo anterior se s$iere dividir esa di'erencia entre
dos* ! el res$ltado se le resta al valor mnimo* ! el sobrante o
'altante* se le s$ma a la observacin m09ima* para de esta
manera obtener los lmites in'erior ! s$perior de la tabla.
%. )onstr$ir los intervalos* determinar las marcas de clases !
ar$par las 'rec$encias.
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,omemos como ejemplo el caso de las estat$ras @)mB de $n r$po
de " al$mnos de $n coleio* c$!os reistros son los si$ientes
,abla ; 3
ESTATURA EN CENTMETRO DE UN GRUPO DE CINCUENTA
ESTUDIANTES
1"" 1%2 1"3 1"+ 1%1 1"3 1"4
1"" 1"% 1"( 1% 1%2 1%- 1"2
1"" 1"4 1"+ 1"" 1"3 1"4 1"2
1"" 1"2 1"3 1"4 1"" 1%2 1%+
1%3 1%% 1%" 1% 1%+ 1%- 1"31"4 1"3 1% 1"( 1"4 1%- 1"4
1"+ 1%% 1"+ 1"( 1%2 1"% 1"+
1%2
Estatura CONTEO REPETICI(N
1"" 888888 %
1%2 8888 "
1"3 888888 %
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1"+ 8888 "
1%1 8 1
1"4 8888888 (
1"% 88 2
1"( 888 3
1% 888 3
1%- 888 3
1"2 888 3
1%+ 88 2
1%3 8 1
1%% 88 2
1%" 8 1
1b. Rbservacin mnima M 1"2C observacin m09ima M 1%-.
2b. #i'erencia entre las dos observaciones 1%- A 1"2M 1( l$eo &
M 1(
3c. ;$mero de intervalos m M 1S3.3 lo.nC m M 1 S3.3 lo"* l$eo
mM(4d. La amplit$d )M &Tm 1(T(C l$eo ) M 3.4 /pro9. M4*
"e. Lo c$al a$menta el recorrido en 11 !a >$e 4N( M 2+* l$eo
entonces* 11T2 M "."*
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%'. Este n$mero se le resta al limite in'erior* asi entonces 1"2 A "."M14%*"C el 'altante para este caso es* *"Cci'ra >$e le s$maremos al
limite s$perior* el c$al >$eda 1%-S"." M 1(4*".
(. Procedemos entonces a la constr$ccin de los intervalos*
determinacin las marcas de clases !* a la ar$pacin de las
'rec$encias.
)on el ejemplo anterior* podemos constr$ir $na tabla de
distrib$cin de esas 'rec$encias >$edando como si$e
Ta;la N *
DISTRI%UCI(N DE FRECUENCIAS DE LA ESTATURA EN
CENTMETROS DE UN GRUPO DE ,1 ESTUDIANTES
+"$ " +" 9a 9r FA FR14%." A 1"." 14+." .1".% A 1"4." 1"2." 1% .32 1% .321"4.% A 1"+." 1"%." 1% .32 32 .%41"+.% A 1%2." 1%." - .1+ 41 .+21%2.% 1%%." 1"-." 4 .+ 4" .-1%%.% 1(." 1%+." " .1 " 1.1(.% 1(4." 1(2." " 1. " 1.
&.* REPRESENTACION GRAFICA
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Los res$ltados obtenidos s$elen representarse adem0s de las
tablas ! c$adros* en ra'icas >$e permiten $na mejor lect$ra !an0lisis.
na ra'ica o diarama es $n dib$jo complementario de $na tabla o
c$adro* >$e 'acilita el an0lisis estadstico de $na serie de variables
>$e en ella se relacionan.
Las ra'icas deben contener
n tit$lo* >$e debe ser claro ! concreto* en el c$al se dice >$e
se relaciona adem0s de indicar c$ando ! donde se reali7aron las
observaciones.
n c$erpo* >$e es el ra'ico en si el c$al p$ede ser de di'erentes
'ormas* seIn la in'ormacin >$e se relaciona o el pIblico >$e
ha de recibir la in'ormacin.
nas notas adicionales >$e permite dar ma!or claridad en lo
re'erente a las escalas $tili7adas en cada eje* asi como los
crditos a >$ien s$ministro la in'ormacin.
Di los r0'icos no se $tili7an correctamente* se p$de con ellos antes
de aclarar la in'ormacin* distorsionarla.
&.*.$ TIPOS DE GRAFICOS:
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Los r0'icos m0s com$nes $tili7ados en la presentacin de lain'ormacin estadstica son
2.4.1.1 Grficos de lneas. D$ ma!or $tilidad es c$ando se >$iere
mostrar el comportamiento de $na variable c$antitativa a travs
del tiempo* est0n 'ormados por sementos de lneas rectas
$nidos entre siC cada semento reistra la variacin de la variable
en $n determinado tiempo. En el eje de las ordenadas* se
marcan los p$ntos seIn la escala seleccionada* >$e debe ser
i$ales si se trata de $na escala aritmticaC las distancias deben
ser i$ales en ambos ejesC en el eje de la variable se divide en
$nidades de tiempo.
6eamos en la niversidad ,ecnolica del )hoc #ieo L$s)rdoba* d$rante los a:os 21 al 2%* las matric$las en los
di'erentes proramas a distancias variaron como se m$estra en
el c$adro si$iente
,abla ; "
/,&8)L/D E; LRD P&R&//D / #8D,/;)8/ #E L/,)H
21 2%
/:os 6ariacinporcent$al
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21 -.22 1".
23 1.24 1%.2" 22."2% 2(.
La representacin ra'ica de la anterior in'ormacin mediante el
ra'ico de lneas ser0 de la si$iente manera.
r0'ica ; 1VARIACI(N POCENTUAL DE MATRICULAS DE
ESDTUDIANTES DE LA MODALIDAD A DISTANCIA EN LA
UTCH &11$ &11-
3
2"
2
1"
1
21 22 23 24 2" 2%
El ra'ico de lneas p$ede ser #654u7st6* es decir* dos lneas
c$ando se tienen dos variablesC are$emos al caso anterior la
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variacin de las matric$las en la modalidad presencial* con el 1"* el
2* el 23* el 2"* el 2 ! 3" por ciento respectivamente* con el !tendramos entonces
r0'ico ; 2
VARIACI(N POCENTUAL DE MATRICULAS DE
ESDTUDIANTES DE LA MODALIDAD A DISTANCIA +
PRESENCIAL EN LA UTCH
21 2%
3
2"
2
1"
1
"
21 22 23 24 2" 2%
&.*.$.& Grficos de barras. De elabora mediante la $tili7acin
de barras rectan$lares de ancho i$al ! con la misma distancia de
separacin entre $na ! otra es aconsejable c$ando se trata de
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distancia:
presencial:
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variables c$alitativas* o alIn comportamiento de la variable en
periodos cortos* tambin p$ede ser simple o comp$esto.Para el caso de barras simples* tomemos por ejemplo* la
in'ormacin sobre el nImero de hijos de las @asB participantes de $n
c$rso de estadstica.
,abla ; %
;E&R #E H8RD@/DB #E LRD@/DB P/&,8)8P/;,ED #E ;)&DR #E ED,/#
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1 2 3 4 "!To* mas
Podemos relacionar ahora* la pre'erencia entre el b0s>$etbol* el
'Itbol* la natacin ! el voleibol* entre $n r$po de hombres !
m$jeres* con el res$ltado si$iente
,abla ; (
PREFERENCIA POR ALGUNOS DEPORTES SEGN EL SEO
DEPORTE SEO HOM%RES MU'ERES TOTAL; Q ; Q ; Q
%?squ7t;6l % 31.% 13 %+.4 1- 1.
Ft;6l 1" (+.- 4 21.1 1- 1.
Nata#"8 11 "(.- + 42.1 1- 1.
=6l7";6l + 42.1 11 "(.- 1- 1.
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N'",ro (, *#1o$
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ra'ico ; 4PREFERENCIA POR ALGUNOS DEPORTES SEGN EL SEO
1
-
+
(
%
"
4
3
2
1
G0s>$etbol FItbol ;atacin 6oleibol
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!" #$%e &!ta
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&.*.$.) Grficos circulares. De conoce tambin como r0'icos
de pastel debido a s$ 'orma* consistente en $na circ$n'erencia
dividida en sectores* s$ ma!or $tilidad es en tipos de variables
c$alitativas* en especial con porcentajes o ci'ras absol$tas de
pocas observaciones en lo posible >$e no s$pere " observaciones
Di por ejemplo* sabemos >$e el estado civil de los participantes en$n c$rso de estadsticas es el si$iente " casados@asBC +
solteros@asBC % $nin libre* la representacin ra'ica ser0 la
si$iente
,abla ; +
ESTADO CIVIL DE LOS ASISTENTES A UN CURSO DESTADSTICA
ED,/#R )868L ;E&R PR&)E;,/E)/D/#RD " 2%.3DRL,E&RD + 42.1
;8R; L8G&E % 31.%
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ESTADO CIVIL DE LOS ASISTENTES A UN CURSO DE
STADSTICA
&.,. HISTOGRAMAS DE FRECUENCIAS
Los historamas de 'rec$encias tambin son representaciones
ra'icas* son diaramas de 'rec$encias $nidimensionales en $n
plano cartesiano eneralmente comp$estos por rect0n$los de
0reas proporcionales a las respectivas 'rec$encias $bicando los
intervalos de la variable en el eje hori7ontal @abscisasBC ! en el eje
vertical @ordenadasB las 'rec$encias de cada clase.
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Uni'n libre
31.6(
S!lter!s )as*42.1(*
Casad!s)as*
26.3(
Casad!s)as*
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En sntesis* los rect0n$los indican en la base la amplit$d de cada
intervalo ! en las alt$ras las 'rec$encias.
ra'ica ; %HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS DE LA ESTATURA EN
CENTMETROS DE UN GRUPO DE ,1 ESTUDIANTES
14% 1" 1"4 1"+ 1%2 1%% 1( 1(4
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2+
1,
16
14
12
1+
,
6
4
2
+
F
r
e
c
u
e
n
c
i
a
s
E$%a%'ra ,! ,!%2",%ro$ (, lo$ ,$%'(#a!%,$
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AUTOEVALUACION.
$. Para >$e sirve la distrib$cin de 'rec$encias.
&. En$ncie las propiedades de las 'rec$encias.
). )omo se determina la amplit$d de $n intervaloK.
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*. 5$e es el rano o recorridoK.
,. )$antos intervalos se aconseja constr$ir en $na tabla dedistrib$cin de 'rec$enciasK.
-. 5$e es $na marca de claseK.
. ediante >$e 'orm$la obtiene $sted el nImero de
intervalos.
/. )$ales son las principales ra'icas >$e se $tili7an en laestadstica.
0. En >$e tipo de variable se aconseja la ra'ica de
lneas.
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10. En >$e tipo de variable se aconseja la ra'ica depastel.
UNIDAD NMERO TRES
). MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
De conocen tambin con el nombre de medidas de posicin* ! sonlas >$e nos permiten determinar la posicin de $n valor respecto a
$n conj$nto de datos* el c$al consideramos como valor
representativo de las observaciones reali7adas.
El an0lisis de las mediadas de posicin es conveniente reali7arlo
$nido a los res$ltados de las medidas de dispersin >$e veremosen $n capit$lo posterior.
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Entre las principales medidas de tendencia central podemos
considerar las si$ientes
edia aritmtica.
ediana
odo o moda.
edia eomtrica.
edia armnica
edia c$adr0tica.
edia cIbica.
)entro o recorrido
)$artiles* deciles ! percentiles.
/ntes de se$ir adelante* es conveniente detenernos de manera
m$! r0pida para conocer $n concepto de m$cha $tilidad es esta$nidad* ! es el re'erido a las desviaciones.
DESVIACIONES @UB. Las desviaciones son las di'erencias >$e
se presentan entre los valores de la variable ! $n p$nto 'ijo* >$e
p$ede ser la media aritmtica o $n orien de trabajo.
).$ MEDIA ARITM3TICA
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C68#74t6. La media aritmtica matem0ticamente es de'inida como
la s$ma de todos lo valores observados dividida entre el n$merototal de observaciones.
Cal#ul6. D$ calc$lo es m$! sencilloC veamos el si$iente ejemplo
si $n pescador ase$ra >$e pesca diariamente $nos 3( =ilos de
sierra* debemos creerle a$n>$e sepamos >$e alIn da de la
semana no pesca nada* lo >$e s$cede es >$e al$nos das pesca
mas de 3( =ilos ! as compensa a>$ellos de baja cantidad* de
ac$erdo a la e9plicacin anterior sobre el concepto* veamos
,abla ; -DIAS DE PESCA TOTAL J"l6s
L$nes ("artes 42
ircoles
$eves 42
6iernes 3(
D0bado 42
#omino
L$nes ("
artes 42
ircoles 3
$eves 2-
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6iernes 2-
D0bado 3+
@ "8
Las observaciones* es decir* lo obtenido en cada da de pesca* se
representan
N1 M (" N2M 42 N3 M N4 M 42
N"M 3( N% M 42 N( M N+ M ("
N- M 42 N1 M 3 N11M 2- N12 M 2-
N13 M 3+
@ ,B*&B1B*&B)B*&B1B,B*&B)1B&0B&0B)/ @ */$$) $)
lu7>6 @ )
EL anterior ejemplo m$estra el c0lc$lo de la media aritmtica
c$ando se trata de datos simples* es decir* sin ar$par.
Di los datos est0n ar$pados procedemos de la si$iente manera
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#iamos >$e al pescador del ejemplo anterior se le hi7ose$imiento d$rante varios das ! se obt$vo
/r$pemos los datos de las observaciones del pescador rese:adas
en $n ejemplo anterior ! las $bicamos en la si$iente tabla.
,abla ; 1
KILOS DE SIERRA CAPTURADOS POR UNPESCADOR
)antidad Vl. Frec$encia @' aB 2
2- 23 13( 13+ 142 4(" 2
13
@ +"9a8
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@ 1&B&0&B)1$B)$B)/$B*&*B,& M
13
S"+S3S3(S3+S1%+S1" 4+1 M 13
13
lu7>6 @ )
).$.$ PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITM3TICA.
La media aritmtica tiene ciertas propiedades >$e permiten con
ma!or 'acilidad la sol$cin de al$nos problemasC las principales
son
La s$ma de las desviaciones respecto a la media aritmtica es
siempre i$al a cero @B.
Para la comprobacin siamos con el ejemplo del pescador.
RGDE&6/)8R;ED E#8/ /&8,W,8)/#ED68/)8R;ED
" "
, ) )/*& ) ,
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1 ) )*& ) ,
) ) 1*& ) ,1 ) ), ) )/*& ) ,)1 ) &0 ) /&0 ) /)/ ) $
Su5a 1
En datos ar$pados tendremos
,abla ; 11
DATOS AGRUPADOS DE LAS O%SERVACIONES DE PESCA
+" 9" "9a I "9a1 & 1 ) *&0 & ,/ / $-)1 $ )1 ) $ ) 1 1)/ $ )/ $ $*& * $-/ , &1, & $,1 )/ -
$) */$ 1
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La media de $na m$estra es i$al a la media ponderada de las
s$bm$estras* tom0ndose como ponderacin los tama:os de
esas s$bm$estras.
C654r6;a#"8:
$estra s$bm$estra 1.
s$bm$estra 2Ni 'i Ni'i 2 2- 2 "+3 1 33( 1 3(3+ 1 3+42 4 1%+(" 2 1"
4+1
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Ni 'i Ni'i3( 1 3(3+ 1 3+42 4 1%+(" 2 1"
+ 3-3Ni 'i Ni'i 2 2- 2 "+
3 1 3" ++
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NtM 3( N1 M1(.% N2M4-.1
La media aritmtica de las dos s$bm$estras de manera conj$ntaser0 i$al a
Nt M N1@'1B SN2@'2B Nt M 1(.%@"B S 4-.1@+B n1Sn2 C "S+
Nt M ++S3-2.+ Nt M 3( 13
La media aritmtica de $na constante por $na variable* es i$al
al prod$cto de la constante por la media aritmtica de la
variable.
S7a la #68sta8t7 K @ )
Var"a;l7 s6la =ar"a;l7 46r K
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=Ni 'i =Ni'i 2
+( 2 1(4- 1 -
111 1 111114 1 11412% 4 "4
22" 2 4"13 1443
Ni 'i Ni'i 2
2- 2 "+3 1 33( 1 3(3+ 1 3+42 4 1%+(" 2 1"
13 4+1
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La media aritmtica de $na constante mas $na variable* es i$al
a la constante m0s la media aritmtica de la variable.
C654r6;a#"8:
S7a la #68sta8t7 K @ )
Var"a;l7 s6la =ar"a;l7 B K
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Ni 'i Ni'i 2
2- 2 "+3 1 33( 1 3(
3+ 1 3+42 4 1%+(" 2 1"
13 4+1
VSNi 'i =Ni'i3 2 %32 2 %433 1 334 1 4
41 1 414" 4 1+(+ 2 1"%
13 "2
X = 481 = 37x3 =11113 X = 1443 = 111
13
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La s$ma de los c$adrados de las desviaciones es mnima*
c$ando dichas desviaciones se toman respecto a la mediaaritmtica.
C654r6;a#"8: tomemos la in'ormacin >$e hemos venido
trabajando de manera parcial* ! adem0s tomemos otros dos
par0metros* por ejemplo* as$mamos los par0metros PX M 3* !
,X M "* ambos di'erentes de la media.
,abla ; 12CALCULO DE LOS CUADRADOS DE LAS DESVIACIONES DE
LA MEDIA + DE OTROS PAR2METROS.
N N UY UY2
Parametro
PX#esv.
&espectoa pX
P2
Parametro
,X
#esv.&especto a ,X
,2
, ) )/ $*** )1 *, &1&, ,1 &, -&,*& ) , &, )1 $& $** ,1 / -*1 ) ) $)-0 )1 )1 011 ,1 ,1 &,11*& ) , &, )1 $& $** ,1 / -*) ) 1 1 )1 *0 ,1 $) $-0
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X = 48113 = 37!3 =4" X = #$"13 = 4"
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*& ) , &, )1 $& $** ,1 / -*1 ) ) $)-0 )1 )1 011 ,1 ,1 &,11
, ) )/ $*** )1 *, &1&, ,1 &, -&,*& ) , &, )1 $& $** ,1 / -*)1 ) *0 )1 1 1 ,1 &1 *11&0 ) / -* )1 $ $ ,1 &$ **$&0 ) / -* )1 $ $ ,1 &$ **$)/ ) $ $ )1 / -* ,1 $& $**
,01* -,*$ /$1$
Don obvios los res$ltados.
OTRO METODOS PARA EL CALCULO DE LA MEDIA
ARITM3TICA
a. De calc$la mediante la $tili7acin de las desviaciones conrespecto al orien de trabajo.
b. #e las observaciones 3% 42 " "+ %% (2 +
+%C ! adem0s* tiene las si$ientes 'rec$encias absol$tas +*
12* 1* 4* +* 14* %* -.
En primer trmino obtenamos la media aritmtica de la maneraconvencional como se e9plico anteriormente
,abla ;$mero 13
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el dato central* todo lo anterior* con el 'in de simpli'icar las
operaciones.
/si UYiM Oi Rt
/hora* tomemos la observacin "+ como n$estro orien de trabajo*
para as calc$lar a UYi
,abla ; 14INFORMACI(N PARA EL C2LCULO DE LA MEDIAARITM3TICA
+" 9a " "9a3% + 22 1(%42 12 1% 1-2" 1 + +"+ 4 %% + + %4(2 14 14 1-%+ % 22 132+% - 2+ 2"2
D$m. (1 1-%
La media aritmtica ser0 O M Rt S D$m UYiFaT n
M "+ S 1-% T (1 l$eo la media aritmtica + @ -1.-
;R,/ en el c0lc$lo de la media aritmtica* debe tenerse en c$enta
la e9istencia de valores e9tremos @altos o bajosB* para >$e el
an0lisis no se distorsione.
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3.2 LA MEDIANA. M7.
CONCEPTO. De de'ine como a>$el valor >$e s$pera a no m0s de
la mitad de las observaciones ! >$e a s$ ve7 es s$perado por no
m0s de la mitad de las observacionesC la mediana es $n valor
central.
CALCULO. Para s$ c0lc$lo se tiene en c$enta si el nImero de
observaciones es $na ci'ra par o impar !a sea en datos ar$padoso no ar$pados.
Di se trata de datos NO AGRUPADOS en $n n$mero "54ar de
observaciones* debemos ordenar los datos de menor a ma!or* o de
ma!or a menor.
,omemos las si$ientes observaciones N1 M 4C N2 M 2C N3M 1C
N4 M 12C N"M +C N%M 2C N(M 1".
Di los ordenamos de menor a ma!or tenemos
2 4 + 1 12 1" 2C l$eo* M7@ $1
,ambin podemos calc$lar la e como nS1T2C asi para el caso
anterior tendremos >$e n M (* l$eo
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eM (S1T2 M 4* lo >$e indica >$e la mediana corresponde a la
observacin nImero c$atro* correspondiente al valor de 1.
)$ando el n$mero de observaciones es $na ci'ra 4ar la mediana
es i$al al promedio aritmtico de las dos observaciones centrales*
es decir* a la s$ma de s$s valores dividido entre dos.
Di N1 M 4C N2M 1%C N3M %C N4M 1C N"M 1+ N% M 14
e M 4 % 1 14 1% 1+
e M 1S14T2 M 24T2 M 12.
)$ando se trata de datos AGRUPADOS* el c0lc$lo se reali7a
mediante la 'orm$la
nT2 A F/ @i1Be M L8 S )C donde
'a
L8 M limite in'erior del intervalo mediano* @donde se enc$entra la
posicin nT2B
n M n$mero de observaciones
F/ M 'rec$encia ac$m$lada anterior al intervalo mediano.
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'a M 'rec$encia del intervalo mediano.
) M amplit$d del intervalo.Dean las si$ientes observaciones
,abla ; 1"
DISTRI%UCIONES DE FRECUENCIA DE LOS CI DE ,1ESTUDIANTES
+"$ " +a 9a 9r FA FR14%." A 1"." 14+." .1".% A 1"4." 1"2." 1% .32 1% .321"4.% A 1"+." 1"%." 1% .32 32 .%4$,/.- $-&., $-1., 0 1.$/ *$ 1./&1%2.% 1%%." 1"-." 4 .+ 4" .-1%%.% 1(." 1%+." " .1 " 1.1(.% 1(4." 1(2." " 1.D$matoria " 1.
"T2 A 32
e M 1"+.% S 4C M 1"".4-
-
Lo anterior indica >$e el "Q obt$vo menos de 1"".4- p$ntos !
>$e el "Q obt$vo m0s de 1"".4- p$ntos.
3.3 MODA. MO
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C68#74t6. La moda o modo es valor de la variable con ma!or'rec$enciaC p$ede presentarse mas de $na observacin con el
mismo n$mero de 'rec$encia* es decir* varias modas* asi
estaramos hablando de multimodal* o con dos modas* bimodal.
Di tomamos el ejemplo anterior* encontramos >$e se trata de
$na distrib$cin bimodal* !a >$e se presentan dosobservaciones ar$padas con $na 'rec$encia de 1%* esta es la
modaC bimodalpara este caso.
,abla ; 1%DISTRI%UCIONES DE FRECUENCIA DE LOS CI DE ,1
ESTUDIANTES
+"$ " +" 9a 9r FA FR14%." A 1"." 14+." .1".% A 1"4." 1"2." 1% .32 1% .321"4.% A 1"+." 1"%." 1% .32 32 .%41"+.% A 1%2." 1%." - .1+ 41 .+21%2.% 1%%." 1"-." 4 .+ 4" .-1%%.% 1(." 1%+." " .1 " 1.
1(.% 1(4." 1(2." " 1.D$matoria " 1.
).* MEDIDAS DE POSICI(N PERCENTILES
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).*.$ CUARTILES. Llamados tambin c$artillas* son valoresposicionales >$e dividen la in'ormacin en c$atro partes i$ales* el
primer c$artil deja el 2"Q de la in'ormacin por debajo de l* ! el
("Q por encima* el se$ndo c$artil* al i$al >$e la mediana* divide
la in'ormacin en dos partes i$ales* ! por $ltimo el tercer c$artil
deja el ("Q por debajo de si* ! el 2"Q por encima.
REPRESENTACI(N GRAFICA.
51 52 53
Q 2"Q "Q ("Q 1Q
De necesita calc$lar tres )$artiles* el c$arto res$lta por resid$o.
D$ 'orm$la es la si$iente
=nT4 A F/ @i1B5J M L8 S )C donde
'a
= M orden del c$artil @1*2*3B
L8 M limite in'erior del intervalo* donde se enc$entra el c$artil
n M n$mero de observaciones
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F/ @i1B M 'rec$encia ac$m$lada hasta el intervalo anterior al >$e
contiene el c$artil.Fa M 'rec$encia del intervalo >$e contiene el c$artil.) M amplit$d de los intervalos.
,abla ; 1(
DISTRI%UCIONES DE FRECUENCIA DE LOS CI DE ,1
ESTUDIANTES
+"$ " +" 9a 9r FA FR14%." A 1"." 14+." .1".% A 1"4." 1"2." 1% .32 1% .321"4.% A 1"+." 1"%." 1% .32 32 .%4 51$,/.- $-&., $-1., 0 1.$/ *$ 1./& &1%2.% 1%%." 1"-." 4 .+ 4" .- 531%%.% 1(." 1%+." " .1 " 1.1(.% 1(4." 1(2." " 1.D$matoria " 1.
CALCULO MATEM2TICO.
Pr"57r #uart"l:
51M 1"4." S 1@"BT4 A1% 9 4 M 1"3.% 1%
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8nterpretacin del res$ltado el 2"Q de los al$mnos obt$vieron
menos de 1"3.% p$ntosC mientras >$e en $n ("Q s$ p$ntaje '$es$perior a 1"3.%.
S7>u86 #uart"l recordemos >$e debe ser i$al a la medianal$eo52M 1"+." S 2@"BT4 A32 9 4 M 1"".4
-8nterpretacin del res$ltado el "Q de los est$diantes obtienen
menos de 1"".4 p$ntos de )8* mientras el otro "Q obt$vo $n
p$ntaje ma!or a 1"".4.
T7r#7r #uart"l:51M 1%2." S 3@"BT4 A41 9 4 M 1"-
4
8nterpretacin del res$ltado el ("Q de los est$diantes obt$vomenos de 1"- p$ntos* mientras >$e en el 2"Q s$ p$ntaje '$e
s$perior.
).*.& UINTILES. Llamados tambin >$intillas* dividen la
in'ormacin en cinco partes i$ales* ar$padas en porcentajes
de 2* 4* %* ! +Q* lo c$al indica >$e se deben calc$larc$atro @4B par0metros.
REPRESENTACI(N GRAFICA.
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En trminos enerales* el calc$lo de c$al>$ier ercentil! se
reali7a mediante
5= M L8 S =nTr A F/ @i1B 9)
'a#onde
L8 M limite in'erior del intervalo >$e contiene el percentil. = M orden
del percentil.
F/ @i1 M 'rec$encia ac$m$lada hasta el intervalo anterior al >$e
contiene el percentil.
n M n$mero de observaciones.
) M amplit$d de los intervalos.
r M n$mero de partes en >$e se divide la in'ormacin.
'i M 'rec$encia del intervalo >$e contiene el percentil.
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AUTOEVALUACION.
$. Haa $n listado de los promedios >$e $sted conoce
&. 5$e son las desviaciones.
). Di la media de (" artc$los es de "2.% alones* ! la de 2"
artc$los es de 4+.4 alones* enc$entre la media de los 1artc$los.
*. La s$ma de las desviaciones es i$al a cero c$ando se tomancon respecto a la media aritmticaK
,. n r$po de valores p$ede tener mas de $na mediaaritmticaK
-. Para calc$lar las marcas de clase* se s$ma el lmite in'erior als$prior ! se divide por dosK
. en$ncie ! e9pli>$e $na de las propiedades de la mediaaritmtica.
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/. # $n ejemplo de observacin m$ltimodal.
0. 5$e son los c$artiles
1. 5$e relacin e9iste entre la mediana ! el se$ndo c$artil
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UNIDAD NMERO CUATRO
*. MEDIDAS DE DISPERSI(N
CONCEPTO. Llamados tambin estadra'os de dispersin*
determinan como se ar$pan o dispersan los datos alrededor de $n
promedio.
*.$ RANGO O RECORRIDO. R Es la mas sencilla de todas* !
solamente tiene en c$enta los valores e9tremos de los datos.
R @ "5?
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#onde* N M +S%S11S-S14S1S" M %3T( M -(
Ni2M +2S%2S112S-2S142S12S"2 M %23
/dem0s* n M (C N2 M +1
L$eo D2 M %23 A (@+1B
@ -&) ,- @ /
,ambin podemos calc$lar la varian7a mediante la se$nda
'orm$la asi
D2M %23T( A+1 M +- A +1 M +
Habamos anotado >$e la desviacin est0ndar D* es la ra7
c$adrada de la varian7aC l$eo para n$estro ejemplo tendremos
D M D2 l$eo* D M + C D M 2.+
*.* COEFICIENTE DE VARIA%ILIDAD. CV. R de variacin tiene
en c$enta el valor de la media aritmtica* para establecer $n
n$mero relativoC nos permite comparar varios datos >$e est0n
e9presados en di'erentes $nidades* ! se de'ine como la relacin
entre la desviacin tpica sobre la media aritmtica m$ltiplicada por
cien.
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CV @ S. $11
,omando la in'ormacin del ejemplo anterior* c$ando se calc$l la
varian7a* podemos ahora determinar le coe'iciente de variabilidad
)6
)6 M 2.+T-N1 )6 M 31.1Q
;ota este res$ltado lo podemos anali7ar mas adelante c$ando
tenamos el )6* de los datos ar$pados.
Cal#ul6 7 la =ar"a8a 4ara at6s a>ru4a6s:
D2M @Oi O B2 'a* o tambin* DM O2'a O2
8 8
con la in'ormacin del ejemplo del pescador >$e hemos venido
anali7ando constr$!amos $na tabla seIn las necesidades*
recordando >$e la media aritmtica es i$al a 3(* en ra7n a >$e
O M 4+1T13 de donde O M 3(
+" 9a +" + & +" +&9a +" 9a +& +&9a
2 3( 13%- 2(3+ 2- 2 + %4 12+ "+ +41 1%+23 1 ( 4- 4- 3 - -3( 1 3( 13%- 13%-3+ 1 1 1 1 3+ 1444 1444
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AUTOEVALUACION.
1. En$ncie las principales medidas de tendencia central.
2. 5$e concepto tiene $sted de la media aritmtica.
3. En$ncie tres propiedades de la media aritmtica.
4. E9pli>$e $n concepto de mediana.
". 5$e concepto dara $sted sobre la moda.
%. 5$e son los c$artiles.
(. 5$e son las mediadas de dispersin.
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SEGUNDA PARTE
Esta!st"#a II
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UNIDAD NUMERO CINCO
,. INTRODUCCI(N A LAS PRO%A%ILIDADES
,.$ INTRODUCCI(N.
Di nosotros '$ramos chinos* propondra dejar de lado esta $nidad*
p$es ellos consideran >$e las probabilidades son e9cl$sivamente
de #ios.
El concepto de 4r6;a;"l"a se p$de interpretar sin necesidad de
de'inirlo* pero teniendo en c$enta >$e nos sirve con m$cha claridad
para e9presar el rado de creencia sobre la oc$rrencia de $n
s$ceso. Las probabilidades $ardan relacin con la teora de los
conj$ntos* de m$cha importancia en la estadstica in'erencial.
n concepto enerali7ado sobre probabilidad dice >$e es lamedida del rado de con'ian7a >$e se tiene de >$e oc$rra el
acontecimiento en el pr9imo ensa!o.
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,.& ESCALA DE PRO%A%ILIDADES
$ #7rt7a a;s6luta
H7#6 =7r6s!5"l
1,
H7#6 "8=7r6s!5"l
I546s";"l"a a;s6luta 1
)onsec$ente con el concepto de probabilidad* entendemos >$e
e9isten eventos de los c$ales tenemos d$das* es decir* nopodemos ase$rar con certe7aC de all* >$e d$damos al lan7ar
n$estro j$icio* no obstante* e9isten sit$aciones en las c$ales
estamos se$ros de alo antes del s$ceso.
/nalicemos ! comentemos cada $na de las sit$aciones >$e
contiene el ra'ico.
a. H7#6 #"7rt6. )$ando son 'avorables todos los casos
posibles. anar la lotera si he comprado todos los billetes.
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b. H7#6 =7r6s!5"l. )$ando el s$ceso es s$sceptible de
reali7arse* pero los casos 'avorables son menores >$e la$nidad* pero ma!ores de *"* por ejemplo* anar la lotera
si he comprado mas de la mitad de los billetes.
c. H7#6 "8=7r6s!5"l. )$ando el s$ceso es s$sceptible de
reali7arse* pero los casos 'avorables son menores de *"*
sin >$e lle$en a ser cero. anar la lotera si he comprado
menos de la mitad de los billetes.
d. H7#6 "546s";l7. )$ando no e9iste posibilidad al$na de
casos 'avorables. anar la lotera si no he comprado ni $n
billete.
El calc$lo elemental de la probabilidad* desde el p$nto de vistacl0sico* es
Nu57r6 7 #as6s 9a=6ra;l7s 4 @
Nu57r6 7 #as6s 46s";l7s
)omo res$ltado de la 'orm$la anterior* ! concordante con el ra'ico*
tenemos >$e la probabilidad 4* siempre estar0 entre ! 1* es
decir* 4 menor >$e $pero ma!or >$e 1.
El caso tpico del lan7amiento de $na moneda normalX* siempre
debe caer o bien cara* o bien selloC ! cada probabilidad e>$ivale a
Z M *"
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#e lo anterior tambin se ded$ce* >$e la s$ma de probabilidades
de $n mismo evento es i$al a la $nidad.,.) ESPACIO MUESTRAL DE UN EPERIMENTO. U
El espacio m$estral de $n e9perimento* se p$ede representar en
'orma de c$adric$la o a travs del diarama del 0rbol.
a. E
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H
H
H H
H H
H
EjemploC c$al es la probabilidad de >$e los hijos de $na 'amilia
sean todos hombresK
P M )FT )P
M HHH HH H HH H H HH
L$eo P M 1T+
,.* T3CNICAS DE CONTEO.
Las tcnicas de conteo son de $tilidad c$ando en la pr0ctica se
hace casi imposible contar 'sicamente el n$mero de oc$rrencias de
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$n evento* lo >$e oblia a la bIs>$eda de $n mtodo corto* r0pido
! se$ro. #e las m0s $tili7adas vamos a tomar* las perm$taciones! las combinaciones.
,., PERMUTACIONES + COM%INACIONES.
Las 47r5uta#"687s P8 8P8 son tcnicas de conteo* >$e
consisten* en ordenar o hacer arrelos de todos los elementos de
$n conj$nto.
)alc$lo P8 M n\* ! se lee como perm$taciones de n elementos
tomados de n en nC asi $na perm$tacin es i$al a 8W @ene
'actorialB* donde nX e>$ivale a n$mero de elementos a ordenar.
Por de'inicin* \ Es i$al a $no.
D7sarr6ll6 7l 9a#t6r"al. 4\ M 4939291 M 24
+\ M+9(9%9"94939291 M4.32.
Ejemplos.
1. #e c$antas maneras se p$eden ordenar las letras de lapalabra CARO.
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6eamos como la palabra consta de c$atro @4B letras* Pn M4\
L$eo* P M 4939291 M 24C comprobemos
)/&R )/R& )&R/ )&/R )R/& )R&/
/)R& /)&R /&R) /&)R /R&) /R)&
&/)R &R)/ &)/R &R/) &/R) &)R/
R)&/ R&)/ R/)& R/&) R)/& R&/)
&. De desea ordenar en $na 'ila a los si$ientes al$mnos L8D/*
/;* PE#&R* /&,H/ ! RDEF/C de c$antas 'ormas di'erentes
se hacerK.
La sol$cin ser0 nPn M n\
"P" M "\ "N4N3N2N1 M 12
2. /l$ien >$iere colar % c$adros en lnea recta sobre $na
pared de s$ bibliotecaC de c$antas maneras lo p$ede hacerK
nPn M n\%P% M %\ %9"94939291 M(2
Las #65;"8a#"687s* @ 8Cr son arrelos de elementos sin
importar el orden en >$e se disponan* tambin es $n arrelo de
cierto n$mero de elementos tomados de $n conj$nto de eneX
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elementos en tal 'orma >$e el orden en >$e se disponan no
importa.Ejemplos
1. n cl$b >$e tiene 12 miembros * va a eleir* presidente*
vicepresidente* secretario ! tesoreroC c$antas planchas
di'erentes podr0 orani7ar para oc$par esos carosK.
,enemos n)rM n\ r\ @ n A r B\
12)4 M 12\ M 12\ M 4\ @ 12 A 4 B\ 4\ N +\
12N11N1N-N+\
M 11++T24 M 4-"4N3N2N1N+\
2. c$antos comits di'erentes se p$eden orani7ar de $n r$po
de + personas* si el comit lo con'orman solamente cincoK.
+ )" M +\ +N(N%N"\
"\ @ + A "B\ + )" M "\ N 3N2N1 M "%
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AUTOEVALUACION.
1. #e c$antas maneras p$ede 'ormarse $n comit de "
personas teniendo $n total de n$eveK
2. 5$e es $n espacio m$estralK
3. 5$e es $n e9perimentoK
4. 5$e di'erencia ha! entre perm$taciones ! combinacionesK
". La probabilidad de la oc$rrencia de $n evento debe ser ma!or
o i$ala cero ! menor >$e $noK
%. #e c$antas maneras p$ede 'ormar $na 'amilia de " hijos* si
desea >$e dos sean ni:as ! tres ni:osK
(. #etermine el valor de (\C +\C "\C 3\ Por 4\C "\ as %\
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n$mrica dos* cero* cinco* siete* etc.* ! p$eden adem0s ser
medidas.
-.$ Mar#6 5u7stral. De re'iere a $n listado act$ali7ado !
revisado >$e contiene todos los elementos constit$tivos de la
poblacin objeto de la investiacin.
-.& E8#u7sta 4r7l"5"8ar 6 4"l6t6. Es a>$ella recomendada
antes de iniciar la investiacin* con el 'in de probar el c$estionario
>$e ser0 sometido para la obtencin de la in'ormacin* permite
adem0s* conocer la poblacin* entrenar al entrevistador* asi como
precisar el tiempo re>$erido por cada entrevista* o enc$esta.
El objetivo principal del m$estreo* es considerar el ma!or n$mero
de $nidades con el menor costo posible.
-.) La 5u7stra* para >$e sea representativa de la poblacin*
re>$iere >$e todas las $nidades de la poblacin tenan la misma
probabilidad de ser seleccionada* es decir* debe ser al7at6r"a* al
aaro 4r6;a;"l!st"#a.
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-.* METODOS DEL MUESTREO ALEATORIO.
a4 Mu7str76 al7at6r"6 s"54l7. En el c$al se da i$al
oport$nidad de seleccin a cada elemento* o* a la m$estra
dentro de la poblacin.
b4 Mu7str76 al7at6r"6 7strat"9"#a6. aranti7a la
representatividad* red$ciendo el error de la m$estra al 'ormar
r$pos mas o menos homoneos.
4 Mu7str76 46r #68>l657ra6s. )$ando la $nidad
b0sica de m$estreo se enc$entra en la poblacin en r$pos o
conlomerados ! la seleccin de la $nidad permite la
observacin del total de los elementos de cada conlomerado
eleido. )ada conlomerado tiene las mismas caractersticas de
la poblacin.
(4 Mu7str76 46r ?r7as. De aplica al no disponer de $nmarco de re'erencia completo* ! el 0rea total se divide en
pe>$e:as 0reas ! estas son s$bm$estradas* ! cada $na si '$ere
necesario p$ede s$bdividirse.
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,4 Mu7str76 46r 9as7s. P$ede presentarse el caso derecoer cierta in'ormacin de la totalidad de elementos de $na
m$estra ! $na in'ormacin mas detallada* oblia a la e9traccin
de $na n$eva m$estra tomada de la anterior.
E9iste adem0s* $n m$estreo no aleatorio* circ$nstancial* o err0tico*
c$!os res$ltados no con'iables* en ra7n a >$e los elementos >$e
con'orman la m$estra son obtenidos de manera caprichosa ! a
j$icio del investiador.
/l$nos mtodos del m$estreo no aleatorio son
$estreo a j$icio* intencional $ opin0tico.
$estreo por conveniencia.
$estreo vol$ntario.
$estreo por c$otas.
-., TAMAXO DE LA MUESTRA.
Oa >$e hemos mencionado insistentemente la palabra m$estra* es
conveniente* adentrarnos $n poco en s$ concepto ! manera de
obtenerla.
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(4 R7#urs6s u5a86s 9"8a8#"7r6s t"7546. ;o
obstante de no ser de la parte tcnica* si o'recen $na idea deac$erdo a la investiacin >$e se intenta.
-.- CALCULO DEL TAMAXO DE LA MUESTRA
E9isten di'erentes 'orm$las para el calc$lo de la m$estraC se
s$ieren las si$ientes como 'orm$las para la obtencin de lam$estra optima* tanto de poblaciones 'initas e in'initas* seIn se
tena variable o proporcin.
NOTA: En el caso de las proporciones* c$ando deseamos obtener
el ma!or valor para $na m$estra* debemos asinar el "Q de la
probabilidad a PX.
PO%LACION FINITA INFINITA
EN VARIA%LE &N S&
NE&B &S&&S&
E&
EN PROPORCIONESP
E &B P
N
&P
E&
Diendo
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; M tama:o de la poblacin.
E M error de m$estreo @precisin de estimacinBD2 M varian7a.
P M probabilidad de 9ito
5 M probabilidad de 'racaso
U M nivel de con'ian7a
El res$ltado de la aplicacin de la 'orm$la en el calc$lo de la
m$estra siempre se aconseja se apro9ime al entero s$perior porpe>$e:a >$e sea la 'raccin decimal.
Ejemplos
1. 5$e tama:o debe tener $na m$estra para estimar el 3Q de
m$jeres >$e !a han tenido hijos ! >$e van peridicamente a
cons$lta inecolica* en $na poblacin de ". m$jeres*con $na se$ridad del -"QK.
SOLUCION:
n M KE2M *3 P95; M ". n M
U M *-" 1*-% ETU 2 S P5T;P M *"5 M *"
&eempla7ando los datos o valores en la 'orm$la* tenemos >$e
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*"9*" *2"
n M C n M *3T1*-% 2 S*"9*"T". *2 S *1
-4 na trabajadora social >$e presta s$s servicios en $na $nta
de /ccin )om$nal* desea hacer $n est$dio para determinar
las aptit$des de la com$nidad 'rente a los proramas >$e
desea emprender. #ebe calc$lar el tama:o de la m$estra*
para hacer $na estimacin de la proporcin de los ci$dadanos
! las ci$dadanas >$e est0n de ac$erdo con los proramas.
8nvestiaciones reali7adas anteriormente en 7onas similares*
dem$estran >$e el (2Q de las personas entrevistadas
contestaron a'irmativamente. /dem0s* se desea >$e el valor
de la estimacin est a *12 del valor verdadero* con $na
con'ian7a del -"Q.
SOLUCION:
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! 5 678 "'1,r,$
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E M ST ".
&ieso M *4"* l$eo U2 D2U M -"." 2* n MD M 2+. E2
n M K
&eempla7ando los datos o valores en la 'orm$la tenemos >$e
229 2+.2 313%; M n M
".
2
2"
AUTOEVALUACION
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! 5 ;-= >a"#l#a$
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1. 5$e es $na m$estra optimaK
2. Para >$e sirve $na enc$esta preliminar o pilotoK
3. En >$e consiste el m$estreo aleatorio simpleK
4. En$mere los di'erentes tipos de m$estreo no aleatorio
". )$ales son los elementos indispensables en la estimacin de
$na m$estra.
=4 8nteresa estimar el n$mero de accidentes de tr0nsito diarios
en $na ci$dadC )$antos das se re>$iere observar para no
errar en m0s de dos accidentes* con $na con'ian7a del -Q.
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c. Di se recha7a $na hiptesis verdadera* se comete error
tipo 8.d. Di se recha7a $na hiptesis 'alsa* la decisin es
correcta.
.$.& HIPOTESIS NULA. H6. Es a>$ella por medio de la c$al
se hace $na a'irmacin sobre $n par0metro >$e ha de ser
constatado con el res$ltado m$estral* si por ejemplo* el rector
del coleio dice >$e el valor promedio de las matric$las es de ]
+.*oo* esa es la hiptesis n$la* p$es es lo >$e debemos
veri'icar.
.$.) HIPOTESIS ALTERNATIVA Ha. De considera alternativa
toda hiptesis contraria a la hiptesis n$la* por c$anto o'rece
$na alternativa en la toma de decisionesC para el caso anterior*
es posible >$e el rector este e9aerando* o >$e realmente elvalor promedio de las matric$las sea s$perior o in'erior al valor
>$e el ha dicho el rector.
CLASES DE PRUE%AS. E9isten para la toma de decisiones
di'erentes tipos de pr$ebas* siendo las m0s conocidas la
pr$eba normal* la pr$eba del sino* de la varian7a* del chic$adrado* t de st$dent.
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/dem0s de la pr$eba anterior* e9isten otras de $so comIn
P&EG/ E; RGD&6/)8R;ED /P/&E/#/D* P&EG/ #ED8;RD* P&EG/ #EL )H8 )/#&/#R* P&EG/ #E L/
6/&8/;U/* P&EG/ #EL )REF8)8E;,E #E )R&&EL/)8R;*
no obstante* dedicaremos $n espacio a la pr$eba del chi
c$adrado* de m$cha $tilidad en las ciencias sociales.
)orresponde a distrib$ciones no paramtricas* s$ c0lc$lo se
reali7a a travs de las si$ientes 'orm$las
2
F6 F7
& @ F7
&
8 AD %C & @
5$ 5& 5) 5*
donde
N2 M
smbolo $tili7ado para re'erirnos al la pr$eba del chic$adrado.
FR M 'rec$encias observadas o reales.
FeM 'rec$encias esperadas o tericas.
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n M nImero de observaciones.
m M las s$mas verticales ! hori7ontales de las 'rec$encias de latabla de continencia.
.).$ Ta;la 7 #68t"8>78#"a* >$e es $n arrelo de $n
conj$nto de observaciones disp$estas con'orme los criterios de
clasi'icacin* el $no se e9presa a travs de las col$mnas ! el
otro en las 'ilas* ! seIn las clasi'icaciones >$e admita* se
denominar0* tabla de 2N2N* 2N3* etc.
E754l6s:
1. / c$atrocientas personas de ambos se9os se les dio a probar
mararina ! mante>$illa* ! se les pidi >$e e9presaran s$
pre'erencia.
/l nivel del "Q se p$ede a'irmar >$e se di'erencian
sini'icativamente las pre'erencias de los hombres ! de las
m$jeresKC los res$ltados se consinan en la si$iente tabla.
TA%LA DE CONTINGENCIA
SEO MARGARINA MANTEUILLAHOM%RES +% (4
MU'ERES 144 -%
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S6lu#"8:
HR E9iste di'erencia sini'icativa de las pre'erencias entre
hombres ! m$jeres* por $no de los dos prod$ctos.
H/ ;o e9iste di'erencia sini'icativa de las pre'erencias entre
hombres ! m$jeres* por $no de los dos prod$ctos
SEO MARGARINA MANTEUILLA TOTAL
HOM%RES +% (4 1%
MU'ERES 144 -% 24
TOTAL 23 1( 4
)alc$lo de las 'rec$encias esperadas @FeB
F1 M 1%T4 N 23 M -2 F2M 1%T4 N 1( M %+
F3 M 24T4 N 23 M 13+ F4 M 24T4 N 1( M 12
PRIMERA FORMULA:
N2M @+% A -2B2 S @ (4 A %+ B2 S @ 144 A 13+ B2 S @-% A 12 B2 -2 %+ 13+ 12
N2 M *3- S *"3 S *2% S *3"
N2 M 1*"3
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Gra6s 7 l";7rtaGB M @F A1B @)1B* donde F son las 'ilas! ) son las col$mnas.
N2@ *"BM "*-- 1*"3 ED E;R& 5E "*--* l$eo
cae en 7ona de aceptacin
SEGUNDA FORMULA:
SEO MARGARINA MANTEUILLA TOTAL
HOM%RES +% / (4 G 1% m1
MU'ERES 144 ) -% # 24 m2
TOTAL 23 m3 1( m4 4 n
& M 4 @ +%9-% (49144 B2 M 4 9 "(%. M 2.34..
1%92492391( 1."1.44. 1."1.44.
& M 23.4 M 1*"3 1".144
obviamente* >$e la decisin es la misma.1. En tres m$nicipios del )hocC Gaha Dolano* ;$>$ e 8stmina* se
seleccionaron 24* 2 ! 1% personas respectivamente. De lespre$nt >$e tipo de prorama de televisin pre'eran novelas*
m$sicales* ciencia 'iccin o comediasC las resp$estas son las de
la si$iente tabla.
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,/GL/ #E )R;,8;E;)8/
TIPO DEPROGRAMA
%AHIASOLANO NUUI ISTMINA TOTAL
NOVELAS ( 4 4 $,1
MUSICA 1 + % &*1
FICCI(N 4 " 3 $&1
COMEDIAS 3 3 3 01
TOTAL &*1 &11 $-1 -11
/l nivel del "Q* probar la hiptesis de >$e las pre'erencias por tipo
de prorama son las mismas en las tres ci$dades.
S6lu#"8:
HR Las pre'erencias por tipo de proramas son i$ales en los tres
m$nicipios.
H/ ;o son i$ales las pre'erencias por tipo de proramas en todos
lo m$nicipios.
,abla de continencia @ 3 N 4 B
TIPO DEPROGRAMA
%AHIASOLANO NUUI ISTMINA TOTAL
NOVELAS ( @%B 4 @"B 4 @ 4B $,1
MUSICA 1 @-%B + @+B % @%4B &*1
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)arlos/P&RG/#RD " 4( 1"3
DDPE;#8#RD " 14 +,R,/L %1 %4 1+
". n psicloo desea saber si es posible concl$ir >$e ha!
relacin entre el rado de libertad ! la posicin en $n plantel
ed$cativo en $na poblacin de est$diantes de bachillerato* el
psicloo seleccion $na m$estra de " est$diantes* la
hiptesis n$la esta dada bajo el s$p$esto de >$e los criterios
de clasi'icacin son independientes. La tabla de los res$ltados
es la si$iente
&/#R #E L8GE&,/#)L/DE L8E&R R#E&/#/ /L,/ ,R,/L1 /^R 3 3( 1"2 /^RD 1- "% "3 /^RD 1% %3 12"4 /^RD 1 3+ "2,R,/L 223 "
%. 4 est$diantes eleidos aleatoriamente se someten a $n test
de rendimiento encontr0ndose >$e el promedio es de (%
p$ntos con $na desviacin de 1%* con base a esta in'ormacin
! con $n nivel de sini'icacin del 1Q probar la hiptesis de
>$e el promedio eneral es de (% p$ntos.
(. $chos a:os de e9periencia sobre $n e9amen de inreso a la
$niversidad en $na 0rea especi'ica arroja $na clasi'icacin
promedio de %4 p$ntos con $na desviacin de +* %4
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