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, e
vertical
DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DEVARIAS VARIABLES Y SU INTERPRETACIN
GEOMTRICA
Recordemos que la grfica de representa una superficie . Si
ntonces el punto est sobre la superficie . El plano
interseca a la superficie en la curva (es decir, es la traza
de la superficie sobre el plano . De manera semejante, el plano vertical
interseca a la superficie en la curva . Ambas curvas pasan por el
punto .
bserve que la curva es la grfica de la funci!n de manera que la
pendiente de su recta tangente en el punto es "a curva
es la grfica de la funci!n as# que la pendiente de su tangente
en el punto es
En las ligas $%er en &D ' "&D), puede arrastrar el punto * sobre la curva +
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cuando
igura - derivada parcial en P respecto a/
$%er en &D ' "&D)$%er en &D ' 0vie1)
igura - derivada parcial en P respectoa 2
$%er en &D ' "&D)$%er en &D ' 0vie1)
*or consiguiente, las derivadas parciales 2 pueden interpretarse
geom3tricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas 2
en el punto , respectivamente.
"as derivadas parciales pueden tambi3n ser vistas como razones de cambio. Si
, entonces representa la raz!n de cambio de con respecto a ,
permanece fija. De manera semejante, representa la raz!n de
cambio de con respecto a , cuando permanece fija.
Ejemplo
4allar la ecuaci!n de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersecci!n
del paraboloide 2 el plano , cuando .
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/software/dparcialX.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/software/dparcialX-jview.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/software/dparcialY.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/software/dparcialY-jview.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/software/dparcialX-jview.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/software/dparcialY.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/software/dparcialY-jview.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/software/dparcialX.html7/26/2019 Documents.mx 44 Derivadas Parciales de Funciones de Varias Variables y Su Interpretacion Geometrica
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Soluci!
En este caso la pendiente de la recta tangente esta dada por
con lo cual, la recta es , pero pasa por el punto
2 as#
En la figura - se muestra la recta tangente 2 la parbola
"as ecuaciones param3tricas de la recta tangente son
"a grfica del paraboloide, la parbola 2 la recta tangente se muestran en la figura
5.
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igura & 6angente en *$%er en &D ' 0vie1)
igura 7 6angente en *
Ejemplo "
El plano interseca al elipsoide formando una elipse.
Determine las ecuaciones param3tricas para la recta tangente a la elipse el el
punto .
Soluci!
"a ecuaci!n define a impl#citamente como una funci!n de
e , entonces
+on lo cual la pendiente de la recta tangente esta dada por
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/software/tangente1.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/software/tangente1.html7/26/2019 Documents.mx 44 Derivadas Parciales de Funciones de Varias Variables y Su Interpretacion Geometrica
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*ero como la recta tangente pasa por el punto , entonces
De donde su ecuaci!n es 8 2 sus ecuaciones param3tricas son
igura & 6angente en *
$%er en &D ' 0vie1)
O#$e%&'ci! ( si es una funci!n de dos variables e , entonces sus
derivadas parciales 2 tambi3n son funciones de dos variables, de modo que
podemos considerar sus derivadas parciales 2 , las cuales
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/software/tangente2.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/software/tangente2.html7/26/2019 Documents.mx 44 Derivadas Parciales de Funciones de Varias Variables y Su Interpretacion Geometrica
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Entonces tenemos que
O#$e%&'ci! ( note que las derivadas parciales mi/tas 2 en el ejemploanterior, son iguales. Esto no es una casualidad 2 en la ma2or#a de los casos
prcticos se da. El siguiente teorema, descubierto por el matemtico franc3s
Ale/is +lairaut (-9-& ' -9:;
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2 al usar el teorema de +lairaut, se puede demostrar que si
estas funciones son continuas.
Ejemplo *+
"as ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se usan para e/presar le2es
f#sicas. *or ejemplo, la ecuaci!n diferencial parcial
se conoce como ecuaci!n de "aplace, en =onor a *ierre "aplace (-97> ' -?59
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donde es una constante, describe el movimiento de una onda, que puede
ser una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de unacuerda vibrante.
Si 2 son funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe quela funci!n
satisface la ecuaci!n de onda.
Soluci!
"as derivadas de con respecto a estn dadas por
"as derivadas de con respecto atestan dadas por
Sustitu2endo obtenemos que
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Ejemplo *-
Si 2 son funciones doblemente derivables de una sola variable, compruebeque la funci!n
satisface la ecuaci!n diferencial parcial
Soluci!
"as derivadas de con respecto a estn dadas por
Sustitu2endo
Ejemplo *.
Si se dijera que e/iste una funci!n cu2as derivadas parciales son
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2 usted lo creer#aB
Soluci!
*or el teorema de +lairaut, puesto que 2 son
continuas en todo debieran ser iguales. *or lo tanto no e/iste tal funci!n.
Ejemplo */
Cna barra de metal de un metro de largo se calienta de manera irregular 2 de
forma tal que a metros de su e/tremo izquierdo 2 en el minutos, su
temperatura en grados cent#grados esta dada por
con
-. 6race la grfica de para 2
5. +alcule 2 +ul es la interpretaci!n prctica (ent3rminos de temperatura< de estas derivadas parcialesB. E/plique por qu3cada una tiene el signo que tiene.
&. +alcule +ul es su signoB. +ul es su interpretaci!n ent3rminos de temperaturaB
Soluci!
-. "a grfica de las funciones 2 se muestran en la figura 5.
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igura :
bserve que la figura nos indica la temperatura inicial en cada punto de la
barra 2 la temperatura despu3s de un minuto. ote que el punto ms
caliente de la barra en cualquier instante est a .; metros del e/tremo
izquierdo (F F
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observe que en este caso tenemos como la derivada parcial es
creciente conforme crece 2 negativa para cualquier valor de ,
concluimos que la temperatura va disminu2endo, pues las pendientes de
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las rectas tangentes a son negativas 2 van siendo ms grandes
conforme aumenta, esto cuando estamos a .? metros del e/tremo
izquierdo. El signo negativo de la derivada nos indica que cuando vamos en
la direcci!n del eje positivo (=acia el e/tremo derec=o de la barra< la
temperatura disminu2e.
"as siguientes tablas de valores 2 la grfica - nos permiten observar con
claridad lo e/plicado antes.
&. "a derivada parcial respecto a est dada por
bserve que para 2 cualquier valor de 2
para 2 cualquier valor de lo cual nos permite
concluir que la temperatura va aumentando desde cero =asta llegar a la
mitad de la barra 2 luego va disminu2endo =asta cero, es decir, que la partems caliente de la barra es la mitad.
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Ejemplo *0
"as ecuaciones
definen a 2 como funciones de las variables independiente e . E/prese
en t3rminos de 2 .
Soluci!
*ara calcular derivemos las ecuaciones (7< respecto a
A=ora usemos la regla de +ramer para =allar
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De donde
Ejemplo *1
+ompruebe que la funci!n satisface la ecuaci!n
diferencial de "aplace en derivadas parciales
Soluci!
+alculemos las derivadas parciales
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2 al sumar (;