7/27/2019 Diktat PDB1
1/82
!"#"#
$#%""&"#'()#
7/27/2019 Diktat PDB1
2/82
i
"*# *" + " "# ,#"
""#*#+""-##.
+ " !" #" # $#%"" &"#
' ()# # " +
' & $ '## "'/ 01 &" #+#'"# ## #2# #" ""- -.*#
#*#"*"'##*
10#
#***0."#")"#
**+#"+"#+"#,#"#.#'
##'#*".#"2.#"'#+""#")#"
## #2# " + * +.## #
" . " '# ""# ## 2 # ##
**+ +"#' *# * #' * 1 *"
#######.,"##
#%"+##'"##'***3
""#"+"##.""
"#+#"*"##'##+#
2 +#'"# .#"2.#" ## *# #2
#'##."*"+)#"#)#2)#"'# *# )+ *%" "#""- ++ *#'
#,"##+"#'#,#"#"++"*#"2
" # '# )+ *#' * ""- ## +# +
##," +#'"# '# "" ## +"# '#
.+$# **###"2" # '###
.++*#+#"###"2""#
*#*"#+#'#*#")
45*"+#"$#%""&"#
'()##02#"#'*-"*#'+
## # *"# '# .+ #
+#"##"# +*)+*# #+#*##
*#")"#"
6#7
7/27/2019 Diktat PDB1
3/82
ii
00 "#,#"0
0 "#,#"8##8#
0 #'"#"#,#"
!
0 ## 3
+"#
9"+"# 0
1 ##&,"#!#"8# 03 :" 07
:"
; 8##
7/27/2019 Diktat PDB1
4/82
iii
+&/*0 &%ABC3
/* /,+#'"# yy 2= #0AB3;
/* /,penyelesaian )sin(2 xyy = untuk21)0( =y
7/27/2019 Diktat PDB1
5/82
1
#$$%%"
#%%&%$%"
#$'%$%%"
#$$$%"1.1 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial (differential equation) adalah persamaan yang melibatkan
variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebas.
Berikut ini adalah contoh persamaan diferensial:
)sin(xedx
dy x+= , (1)
)cos('2" xyyy =+ , (2)
t
u
y
u
x
u
=
+
2
2
2
2
, (3)
023 2 =+ ydydxx . (4)
Persamaan diferensial (disingkat PD) dibagi dalam dua kelas yaitu biasa dan parsial.
Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) adalah suatu persamaan
diferensial yang melibatkan hanya satu variabel bebas. Jika diambil y(x) sebagai suatu
fungsi satu variabel, dengan x dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel tak
bebas, maka suatu persamaan diferensial biasa (disingkat PDB) dapat dinyatakan dalam
bentuk
( ) 0,...,,,, )( = nyyyyxF .Jelas bahwa persamaan (1), (2), dan (4) adalah PDB, sedangkan (3) adalah tidak.
Sebenarnya, (3) adalah suatu persamaan diferensial parsial (partial differential equation).
Persamaan diferensial parsial (disingkat PDP) adalah suatu persaman diferensial yang
melibatkan dua atau lebih variabel bebas.
Tingkat (order) dari persamaan diferensial didefinisikan sebagai tingkat dari
derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. Sebagai contoh:
(a) 01063
32
=+ ydx
dyx
dx
ydx adalah PDB tingkat 3,
(b) 0)](sin[)( =+ txtx adalah PDB tingkat 2,
(c) 0=+ ayy adalah PDB tingkat 2,
(d) 0)()( =+ txtx adalah PDB tingkat 1,
7/27/2019 Diktat PDB1
6/82
&"#,#"" D7
2
(e) 0=
y
u
x
uadalah PDP tingkat 1,
(f)2
2
2
2
2
2
y
u
x
u
t
u
+
=
adalah PDP tingkat 2.
Dari persamaan di atas mudah dilihat mana yang merupakan variabel bebas atau
variabel tak bebas. Sebagai contoh, pada (a) variabel tak bebasnya yaituy =y(x), pada (b)
variabel tak bebasnyax dalam tyang dinyatakan secara eksplisit. Pada (c) dan (d) dipilih
variabel bebasnya adalah sembarang tetapi biasanya dianggapy =y(x) danx =x(t).
Persamaan diferensial parsial (e) mempunyai variabel tak bebas u = u(x, y),
sedangkan pada (f) variabel tak bebasnya yaitu u = u(x, y, t). Seringkali dinotasikan
derivatif parsial dengan subscript(tulisan di bawah garis), seperti kasus (e) dapat ditulis
menjadi 0= yx uu dan untuk (f) menjadi yyxxtt uuu += .
Derajat (degree) dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat dari sukuderivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. Sebagai contoh:
(a)2
22
31dx
yd
dx
dy=
+ adalah PDB tingkat dua berderajat satu.
(b) ( ) ( ) 043 =+ yyyx adalah PDB tingkat dua berderajat tiga.
(c) 0
22
2
2
2
2
=
yx
u
y
u
x
uadalah PDP tingkat dua berderajat dua.
Selanjutnya pada buku ini hanya akan dibahas mengenai persamaan diferensial
biasa. Kata-kata persamaan diferensial diartikan sebagai persamaan diferensial biasa
kecuali keadaannya diperjelas bahwa yang dimaksud adalah persamaan diferensial
parsial.Suatu persamaan diferensial dengan syarat tambahan pada fungsi yang tidak
diketahui dan derivatif-derivatifnya, semua diberikan pada nilai yang sama untuk variabel
bebas, merupakan suatu masalah nilai awal (initial-value problem). Syarat tambahan
tersebut dinamakan syarat awal (initial conditions). Jika syarat tambahan diberikan pada
lebih dari satu nilai variabel bebas, dinamakan masalah nilai batas (boundary-value
problem) dan syaratnya dinamakan syarat batas.
Sebagai contoh, masalah 2)(,1)(;2 ===+ yyeyyx
adalah masalah nilai
awal, sebab dua syarat tambahan diberikan pada =x . Masalah
1)1(,1)0(;2 ===+ yyeyyx
adalah suatu masalah syarat batas, sebab dua syarat
tambahan diberikan pada nilai yang berbeda yaitux = 0 danx = 1.
, %
Suatu persamaan diferensial adalah linear dalam himpunan satu atau lebih variabel-
variabel tak bebas jika hanya jika setiap suku persamaan yang memuat variabel-variabel
tersebut atau derivatif-derivatifnya adalah berderajat satu.
Suatu persamaan diferensial yang tidak linear dalam beberapa variabel tak bebas
dikatakan tidak linear dalam variabel tersebut. Suatu persamaan diferensial yang tidak
linear dalam himpunan semua variabel tak bebas secara sederhana dikatakan tak linear.
Sebagai contoh:
7/27/2019 Diktat PDB1
7/82
&"#,#"" D7
3
Persamaan Diferensial Linearitas
)cos(24 xyyxy =++ Linear, biasa, dan tingkat 2
)cos(24 xyyyy =++ Tidak linear karena memuat yy
)sin(2
2
uvut
v
x
u=+++
Linear dalam v tetapi tidak linear dalam u karena
memuat sin(u). Jadi, persamaan adalah tidak linear.
)sin(2
2
tyxtd
dy
td
xd=++
Linear dalam setiap variabel tak bebasx dany, tetapi
tidak linear dalam himpunan {x,y}. Jadi, persamaan
adalah tidak linear.
," -#
Persamaan diferensial tingkat 1 dan 2 secara umum dapat dituliskan seperti
( ) 0,, =yyxF , (5a)( ) 0,,, = yyyxF , (5b)dengan notasi yang jelas untuk persamaan tingkat tinggi, sehingga persamaan
seringkalidiasumsikan dapat diselesaikan untuk derivatif tertinggi dan dituliskan
( )yxfy ,= , (6a)
( )yyxfy = ,, . (6b)
Suatu fungsi terdiferensialy = (x) adalah penyelesaian dari (5) pada intervalJjika( ) 0)(),(, = xxxF , x J. Biasanya suatu persamaan tingkat satu mempunyai suatu
keluarga penyelesaian y = (x, c) yang tergantung pada parameter tunggal c. Suatupersamaan tingkat dua biasanya mempunyai dua parameter dalam keluarga
penyelesaiannya, misalnya y = (x, c1, c2). Parameter-parameter tersebut adalah sepertikonstanta-konstanta integrasi.
Selanjutnya, suatu persamaan diferensial dikatakan berbentuk diferensial jika
dituliskan sebagai
M(x,y) dx +N(x,y) dy = 0. (7)
Suatu fungsi terdiferensialy = (x) adalah penyelesaian dari (8) jika substitusiy = (x), dxxdy )(=
ke (7) membentuk identitas. Suatu fungsi terdiferensial x = (y) adalah suatupenyelesaian dari (8) jika substitusi
x = (y), dyydx )(=
ke (7) membentuk identitas.
..//..))))Pada persamaan-persamaan berikut ini, klasifikasikan sebagai persamaan diferensial
biasa (PDB) atau persamaan diferensial parsial (PDP), berikan tingkatnya. Jika
persamaan tersebut adalah PDB, nyatakan variabel bebas dan tak bebasnya, dan juga
nyatakan apakah persamaan itu linear atau tidak linear.
1. 42tyyt = 2. 22 3yyty =
3. ( )23
tyyyt = 4. ( ) ) 01122
=++ dyxdxyx
7/27/2019 Diktat PDB1
8/82
&"#,#"" D7
4
5. )(cos)tan(2
=+ r
d
dr6. )2sin( tx
dt
dx=+
7.t
etyyy 3)sin(2 =+ 8.3y
t
t
y
dt
dy=
9. )3cos(29252
2
txdt
dx
dt
xd=++ 10. )(
2
pbapdt
dp=
11. 0=+
+
xt
t
u
x
u12. ( ) 022 22 =++ yyy
13. 1)4( = tyy 14. 02
=+
+
y
t
y
x
y
15.
)32(
)31(
xy
yx
dy
dx
+=
Buktikan bahwa sebuah atau beberapa fungsi yang diberikan adalah suatu penyelesaian
dari persamaan yang diberikan.
16. 0)1( =++ yyxyx ;xexy =)(1 , 1)(2 += xxy
17. 051292 =+++ yyyy ;xexxy += )1()(
18. 084 2 =++ yyxyx ; )ln()( 21
xxxy
=
19. yyy 136 = ; )2cos()(3 xexy x=
20. ( ) )2sin(34 2 xxyy =+ ; ( ) )2sin()2cos()( 216
1
32
253
12
1 xxxxxxy ++=
7/27/2019 Diktat PDB1
9/82
5
#()%&"
#$$%" #'%'*'()%&"
#&*&()%&",
Suatu persamaan diferensial biasa tingkat satu derajat satu adalah suatu persamaan
yang memuat satu variabel bebas, biasanya dinamakan x, satu variabel tak bebas,
biasanya dinamakany, dan derivatif
dx
dy. Suatu persamaan diferensial tingkat satu derajat
satu dapat diambil dalam bentuk
( )yxfdx
dy,= (1)
dengan f(x, y) adalah kontinu di x dan y. Seringkali persamaan (1) dituliskan dalam
bentuk lain seperti
M(x,y)dx +N(x,y)dy = 0. (2)
Gambar 2.1: Keluarga kurvaf(x) =x2
2kx +y2.
Suatu persamaan diferensial memberikan informasi tentang fungsi tak diketahui
y(x). Penyelesaian umum (general solution) dari suatu persamaan diferensial tingkat satu
7/27/2019 Diktat PDB1
10/82
&"#,#"" D7
6
adalah keluarga dari semua fungsi y(x) yang memenuhi persamaan. Setiap fungsi dalam
keluarga tersebut adalah suatu penyelesaian khusus (particular solution) dari persamaan
diferensial. Dalam beberapa kasus, keluarga fungsi-fungsi akan tergantung oleh suatukonstanta k, dan grafik dari fungsi tersebut akan berbentuk suatu keluarga dari kurva-
kurva pada bidang XY tetapi tidak saling bersentuhan satu dengan yang lainnya, seperti
pada Gambar 2.1.
Selanjutnya akan dibicarakan beberapa bentuk persamaan diferensial biasa tingkat
satu derajat satu beserta metode elementer untuk menyelesaikannya.
, 0
Suatu persamaan diferensial terpisahkan (separable differential equation) adalah
suatu persamaan diferensial biasa tingkat satu yang secara aljabar dapat direduksi ke
suatu bentuk diferensial baku dengan setiap suku tak nol memuat secara tepat satu
variabel. Sebagai contoh yaitu f(x)dx + g(y)dy = 0, dengan penyelesaiannya tentu sajaadalah
kdyygdxxf =+ )()( .Persamaan diferensial (1) adalah terpisahkan jika dapat dituliskan ke bentuk
)()( yQxPdx
dy= , (3)
sedangkan jika persamaan diferensial diberikan dalam bentuk (2), maka persamaan
diferensial ini dikatakan terpisahkan jika dapat dituliskan ke bentuk
f(x)G(y)dx + F(x)g(y)dy = 0. (4)
Suatu penyelesaian umum untuk persamaan (3) dapat ditemukan dengan lebih dahulu
mengalikannya dengan dx , selanjutnya dibagi dengan Q(y) dan diintegralkan:
kdxxPyQ
dy+= )()( . (5)
Untuk persamaan (4), penyelesaian dapat ditemukan dengan lebih dahulu membaginya
dengan hasil kali )()( yGxF untuk memisahkan variabel dan selanjutnya diintegralkan:
=+ kdyyGyg
dxxF
xf
)(
)(
)(
)(. (6)
Perlu dicatat bahwa bentuk (5) dan (6) sebenarnya dapat dibawa ke bentuk yang
sama menjadi
=+ kdyyNdxxM )()( .Berikut ini diberikan langkah-langkah untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial
terpisahkan yang diberikan dalam bentuk (1):
Langkah 1. Persamaan dituliskan dalam bentuk (3) untuk menentukan Q(y), dan
diselesaikan persamaan Q(y) = 0 untuk memperoleh penyelesaian konstan
dari PD.
Langkah 2. Digunakan beberapa operasi aljabar untuk memisahkan variabel dan
selanjutnya diintegralkan.
Jika mungkin, diselesaikan untuky sebagai fungsi darix. Penyelesaian ini
biasanya tergantung pada suatu konstanta k
Langkah 3. Dituliskan penyelesaian umum untuk PD yang diperoleh pada langkah 1
dan 2 dengan memperhatikan apakah penyelesaian konstan dapat diperoleh
dari penyelesaian pada Langkah 2.
7/27/2019 Diktat PDB1
11/82
&"#,#"" D7
7
Langkah 4. Jika suatu nilai awal y(x0) = y0 diberikan, digunakan syarat tersebut untuk
menemukan konstanta kdan penyelesaian khusus dari masalah nilai awal.
Perlu dicatat bahwa mungkin penyelesaian khususnya adalah penyelesaiankonstan pada Langkah 1.
Untuk kasus Q(y) = 0 dan Q(y) 0 harus dilakukan secara terpisah pada langkah 1 dan 2,
sebab pembagian oleh Q(y) pada langkah 2 tidak dapat dilakukan untukQ(y) = 0.
1..2,,Selesaikan masalah nilai awal
ydx
dy2= , y(1) = 5.
-#,Dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:Langkah 1. Diambil Q(y) = 2y dan diselesaikan 2y = 0, diperolehy(x) = 0 adalah
penyelesaian konstan untuk PD.
Langkah 2. Memisahkan variabel dan mengintegralkan kedua sisi.
= dxydy
2 ln (y) = 2x + k kxey += 2
xcey 2= , dengan kec = jikay > 0, dan kec = jikay < 0.
Langkah 3. Karena penyelesaian konstan bisa diperoleh dari penyelesaian pada
Langkah 2 dengan mengambil c = 0, maka penyelesaian umum untuk
persamaan diferensial adalah:x
cey2
= .
Langkah 4. Disubstitusikan 1 untukx dan 5 untuky pada penyelesaian umum:1.2
5
=
ce
2
5ec=
.Jadi, penyelesaian khusus untuk PD:xx
eeexy2222 55)( == .
Grafik dari penyelesaian khusus ditunjukkan pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2: Grafik penyelesaian yy 2= untuky(1) = 5.
1..2,,
Tentukan penyelesaian umum untuk persamaan diferensial
)sin(2 xydx
dy= .
Selanjutnya tentukan penyelesaian khususnya jika 21
)0( =y .
7/27/2019 Diktat PDB1
12/82
&"#,#"" D7
8
-#,Dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:Langkah 1. Diambil Q(y) = y
2dan diselesaikan y
2= 0, diperoleh y(x) = 0 adalah
penyelesaian konstan untuk PD.Langkah 2. dxxdyy )sin(2 =
kdxxdyy += )sin(2
kxy += )cos(1 ( ) 1)cos( = kxy .
Langkah 3. Penyelesaian umum untuk persamaan diferensial adalah:
y(x) = 0 atau ( ) 1)cos()( = kxxy ,karenay(x) = 0 tidak bisa diperoleh dari penyelesaian kedua.
Langkah 4. Penyelesaian konstan tidak memenuhi syarat awal. Karena itu
( ) ( ) 1121 1)0cos()0(
=== kky k= 1.
Jadi, penyelesaian khusus untuk PD:
( )
1
1)cos()(
+= xxy ,yang diilustrasikan pada Gambar 2.3. Ini didefinisikan hanya untuk
7/27/2019 Diktat PDB1
13/82
&"#,#"" D7
9
Gambar 2.4: Grafik penyelesaianx
yy 12
= untuky(1) = 2.
Langkah 4. Disubstitusikanx = 1 dany = 2 ke penyelesaian Langkah 2, diperoleh
( )31
21 ln=k .
Penyelesaian yang diberikan dalam bentuk implisit dituliskan kembali
dalam bentuk eksplisit yaitu
2
2
3
3
x
xy
+=
dengan grafiknya dinyatakan pada Gambar 2.4.
1..2,,$Gerak suatu benda jatuh dalam suatu media penahan dinyatakan dengan
bvgtd
dv=
ketika daya tahannya sebanding dengan kecepatan v. Tentukan kecepatan setiap saat
dengan persyaratan 0)0( =v .
-#,Dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:Langkah 1. Diselesaikan Q(v) = g bv = 0, diperoleh penyelesaian konstan
b
gtv =)( .
Langkah 2. dtbvg
dv= kdtbvg
dv+=
ktbvgb
+= )ln(1
)()ln( ktbbvg +=
)( ktbebvg
+= ( ))(1 ktbeg
bv
+= .
Langkah 3. Penyelesaian konstan tidak bisa diperoleh dari penyelesaian pada
Langkah 2 untuk suatu nilai k, maka penyelesaian umum untuk
persamaan diferensial adalah:
( )
=
+ )(1)(
ktb
b
b
g
egtv .
7/27/2019 Diktat PDB1
14/82
&"#,#"" D7
10
Langkah 4. Karena penyelesaian konstan tidak memenuhi syarat awal, disubstitusi
t= 0 dan v = 0 ke penyelesaian pada Langkah 2, diperoleh
( ) 01 = bkegb 0=bkeg ge bk =
)ln(gbk= )ln(1
gb
k = .
Jadi persamaan kecepatan dari benda jatuh dinyatakan dengan
( )bteb
gtv
= 1)( .
1..2,,!Selesaikan persamaan-persamaan diferensial di bawah ini dengan memisahkan
variabel-variabel.
(a)y
x
dx
dy 2=
(b)( )3
2
1 xy
x
dx
dy
+=
-#,
(a) Karena tidak aday sehingga 01
=y
, maka tidak ada suatu penyelesaian konstan
untuk PD. Selanjutnya dicari penyelesaian tak konstan.
Persamaan diferensial ditulis kembali menjadi
xdxdyy2
=
dan selanjutnya diselesaikan sebagai berikut:
= xdxydy2 = xdxydy
2 kxy
+=32
32
3y2 2x3 = 6k.(b) Seperti pada soal bagian (a), persamaan tidak mempunyai penyelesaian
konstan. Selanjutnya persamaan dapat ditulis kembali menjadi
xdx
xdyy
3
2
1 +=
dan diselesaikan sebagai berikut:
+= xdxx
ydy 3
2
1 ( ) 13
2
1ln3
1
2 kx
y
++= ( ) 232
1ln23 kxy =+
dengan k2 = 6k1.
1..2,,'Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut ini:
(a) x(y2
+ 2)dx +y(x2
+ 1)dy = 0
(b) (y2
+ 1)dx + (x2
+ 1)dy = 0
-#,
(a) Persamaan dibagi oleh (y2
+ 2)(x2
+ 1) menjadi
dyy
ydx
x
x
2122
++
+= 0.
Menggunakan teknik integrasi fungsi rasional, diperoleh
7/27/2019 Diktat PDB1
15/82
&"#,#"" D7
11
+
++
dyy
ydx
x
x
2122
= k1
( ) ( )1ln1ln 2212
21 +++ yx = k1
( )( ){ }11ln 22 ++ yx = ln (k2) [ln (k2) = 2k1]x
2y
2+x
2+y
2+ 1 = k2
x2y
2+x
2+y
2= k. [k= k2 1]
(b) Persamaan dibagi oleh (y2
+ 1)(x2
+ 1) menjadi
dyy
dxx 1
1
1
122
++
+= 0,
dan diintegralkan sebagai berikut:
+
+
+
dy
y
dx
x 1
1
1
122
= k1
arctan(x) + arctan(y) = arctan(k). [arctan(k)= k1]
Dengan memisalkan
arctan(x) = , arctan(y) =, arctan(k) = tan() =x, tan() =y, tan() = k,
diperoleh
+= tan(+) = tan() )tan()tan().tan(1
)tan()tan(=
+
kxy
yx=
+
1
kx
xky
+
=
1.
Untuk menghindari kesalahan, penyelesaian umum dapat diperiksa dengan
diferensiasi. Sebagai contoh, penyelesaian untuk Contoh 2.2.2 dapat diperiksa sebagai
berikut.
y(x) = ( ) 11)cos( +x
dx
dy = ( ) ( ))sin(1)cos( 2 xx +
= ( ) ( ))sin(1cos 2 xx + = y
2sin(x).
./.))+,
Pada soal 1 40, tentukan penyelesaian umum untuk persamaan diferensial.
1. ( )2sin xxy = 2. xey 3= 3.
yey
= 4. 3yy =
5. 12 = yy 6. ( )1+= yxyy
7. ( ) xeyy 21 += 8. 21)cos( yxy = 9. )tan(xyy = 10. )sin(xyy =
11. 21yxy
= ,x 0 12. 21
+= yy
13.12
12
+=
y
xy 14. ) ) 018 22 =+ yxyyx
7/27/2019 Diktat PDB1
16/82
&"#,#"" D7
12
15. 0)cos()sin(2 =+ dpptdtp 16.( ) 11
2
1 +=
++ y
x
xy
x
x
dx
dy
17. ( ) ( )yxyx +=+ 1212 18. 22 1 xyyx =+
19. 0)(5)( 44 =+ txttx 20.29 x
dt
dx=
21.x
eyy
=2 22. yyx += 12
23. 022 =+ ydyaxdxb 24. dyxydxx 343
=
25. 032 2 =+ dyxxydx 26. 023 32 =+ dyxydxx
27. 022 =+ xydydxy 28. 02
=
x
ydxxdy
29. 02 1 =+
dyxdx 30. 0)cos( =+ ydydxx
31. 03 2 =+ dxyxdy 32. 0= dredre
33. 044
41 =+ dredre 34. 02 =
dyedx
xy
35. 0)cosh()sinh( 1 =+
dyxydxx 36. dyxydxxy )2sin()2cos(2 21
=
37. 0)cos()sin( =+ dyydxy 38. dyxydxxy )cos()cos()sin()sin( =
39. dyyxdxyx )sin()cosh()cos()sinh( =
40. dyyxdxyx )cosh()2cos()sinh()2sin(2 =
Pada soal 41 60, selesaikan masalah nilai awal.
41. 32xyy = , y(1) = 2 42. yxy = , y(0) = 3
43.y
xy
)ln(= , y(1) = 2 44. 22 += xyxyy , y(0) = 0
45. xdx
dyy = 1 ,y(1) = 1 46. ( ) )sin(4 xxey y = , y(2) = 4
47.yx
ey+
= ,y(0) = 0 48. ( ) xyyy 232 += , y(1) = 249. 094 =+ ydyxdx ,y(3) = 0 50. ydyxdxyx 324 23
= , y(4) = 8
51. ( ) 022
=+xedyxydx ,y(0) = 2 52.
( )112
=
xyy ,y(0) = 1
53.1
1
+
= y
xy ,y(0) = 1 54. 1
1
+
+= x
yy ,y(0) = 1
55. ( ) xxyyx =+ 21 ,y(0) = 2 56. 22221 ytytdt
dy+++= ,y(0) = 1
57.1
12
2
+=
y
xyxy ,y(1) = 2 58. ( ) ( ) 023 =++ dyxdxy ,y(1) = 7
59. ( ) ( ) 01213 322 =+ dyyxdxyx ,y(2) = 2,560. dyyxdxyx )2sin()sin(2)2cos()cos( = ,y(1,5) = 0,5
7/27/2019 Diktat PDB1
17/82
&"#,#"" D7
13
," %0
Suatu fungsi F(x,y) adalah fungsi homogen berderajat n dalamx dany jika
F(x, y) = n F(x,y)untuk setiap parameter . Sebagai contoh:
(a)22
22
),(yxyx
yxyxF
++
+= adalah fungsi homogen berderajat 0.
(b)22 2
),(vuvu
vuvuG
++
+= adalah fungsi homogen berderajat 1.
(c)vu
uvuH
+=),( adalah fungsi homogen berderajat
21 .
Persamaan (2) dinamakan persamaan diferensial dengan koefisien fungsi
homogen jika M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen berderajat sama, katakan n.
Lebih lanjut, jika persamaan tersebut dibawa ke bentuk (1), maka persamaan dapat
dituliskan kembali menjadi
( )
===
x
yf
Nx
Mx
yxN
yxM
dx
dy
x
yn
x
yn
,1
,1
),(
),(. (7)
Perlu dicatat bahwa ruas kanan tidak berubah apabila secara bersamaan x diganti dengan
ax dan y diganti dengan ay. Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan
persamaan tersebut:
Langkah 1. Dimisalkanx
xyxu
)()( = untukx 0, atau ekuivalen dengany(x) = u(x).x,
dan derivatifnya dx
duxudx
dy+= atau dy = udx +xdu.
Langkah 2. Disubstitusikan persamaan pada Langkah 1 ke persamaan diferensial dan
dikelompokkan dalam dua suku diferensial dx dan du sehingga akan
diperoleh persamaan diferensial terpisahkan.
Langkah 3. Diselesaikan persamaan diferensial terpisahkan.
Langkah 4. Disubstitusikanx
yu = ke persamaan yang diperoleh pada Langkah 3
sebagai penyelesaian untuk PD awal.
1..2,",
Selesaikan persamaan diferensial
(x2 3y2)dx + 2xy dy = 0.-#,
M(x,y) = x2
3y2 M(x, y) = 2 M(x,y),
N(x,y) = 2xy N(x, y) = 2 N(x,y).Oleh karena itu persamaan awal adalah persamaan diferensial dengan koefisien
fungsi homogen, dan diselesaikan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Langkah 1. Dimisalkany = ux,x 0, dengan diferensialnya dy = udx +xdu.
Langkah 2. Disubstitusikan persamaany dan dy ke persamaan awal:
(x2
3(ux)2)dx + 2xux(u dx +x du) = 0
(1 u2)dx + 2ux du = 0
du
u
udx
x 21
21
+ = 0. [PD Terpisahkan]
7/27/2019 Diktat PDB1
18/82
&"#,#"" D7
14
Langkah 3. PD terpisahkan diselesaikan sebagai berikut:
duu
udx
x
21
21= k1
ln(x) ln(1 u2) = ln k [ln k= k1]
21 u
x
= k.
Langkah 4. Disubstitusikanx
yu = , diperoleh penyelesaian untuk PD awal:
x3
= k(x2
y2).
Biasanya jika N(x,y) lebih sederhana daripada M(x,y), maka akan lebih disukai
untuk menggunakan substitusi y = ux. Sebaliknya, jika M(x,y) lebih sederhana daripada
N(x,y), digunakan substitusix = wy dengany 0.
1..2,",Selesaikan persamaan diferensial
022 =
+++ dyyxxydx .
-#,
Langkah 1. Dimisalkanx = wy,y 0, dengan dx = w dy +y dw.
Langkah 2. Disubstitusikan persamaanx dan dx ke PD awal, diperoleh
( ) dyyywwyydwwdyy
++++ 222 = 0
dywydwy
++22
1 = 0
dyy
dw
w
1
1
1
2+
+
= 0. [karenay 0]
Langkah 3. PD pada Langkah 2 diselesaikan sebagai berikut:
++
dyy
dw
w
1
1
1
2= k1
)ln(1ln 2 yww +
++ = ln k [ln k= k1]
y =
++ wwk 12 .
Langkah 4. Disubstitusikany
xw = , diperoleh penyelesaian untuk PD awal:
++= 222 yxxky .
1..2,","Selesaikan persamaan diferensial
02 22 =+ xyyxy .
-#,
Persamaan dapat dituliskan kembali menjadi
7/27/2019 Diktat PDB1
19/82
&"#,#"" D7
15
=
x
yx
y
dx
dy 1
2
1.
Langkah 1. Dimisalkanx
xyxu
)()( = untukx 0, dengan derivatifnya
dx
duxu
dx
dy+= .
Langkah 2. Disubstitusikan persamaan pada Langkah 1 ke PD di atas:
=+
uu
dx
duxu
1
2
1
u
u
dx
dux
2
12 +=
x
dxdu
u
u=
+ 1
22
.
Langkah 3. Diselesaikan PD terpisahkan pada Langkah 2, diperoleh
( ) kxu lnln1ln 2 +=+ x
ku =+1
2.
Langkah 4. Penyelesaian umum untuk PD awal yaitu
y2 +x2
kx = 0.
Secara khusus, terdapat suatu persamaan diferensial tak terpisahkan yang
merupakan modifikasi dari persamaan (7), yaitu
)(xhx
yg
x
y
dx
dy
+= . (8)
Dengan menggunakan substitusi yang sama akan diperoleh
)()( xhugdx
dux =
yang juga terpisahkan:
dxx
xhdu
ug
)(
)(
1= .
1..2,",$Selesaikan persamaan diferensial
y
xx
x
yy
23cos2
+= .
-#,
Langkah 1. Dimisalkanx
xyxu )()( = untukx 0, dengan derivatifnya
dx
duxu
dx
dy+= . Diambil
x
yx
yg
1=
dan )22 cos2)( xxxh = .
Langkah 2. Disubstitusikan persamaan pada Langkah 1 ke PD awal:
)u
xx
dx
dux
22 cos2= ( )dxxxudu 2cos2= .
Langkah 3. Diselesaikan PD terpisahkan pada Langkah 2, diperoleh
( ) kxu += 2221 sin ( ) kxu 2sin2 2 += .
7/27/2019 Diktat PDB1
20/82
&"#,#"" D7
16
Langkah 4. Disubstitusikanx
xyxu
)()( = ke persamaan pada Langkah 3, diperoleh
penyelesaian umum untuk PD awal yaitu
( ) kxxy 2sin2 2 += .
./.))+,"Pada soal 1 22, tentukan penyelesaian umum untuk persamaan diferensial yang
diberikan.
1. yxyx += 2. xyyx 32 =
3. 222 xxyyyx += 4. 222 xxyyyx ++=
5. 222 xxyyyx += 6. ( ) 3122 1 xxyyxy ++= 7. ( ) yyyx =+ 8. 3323 yxyxy +=
9. 032 22 =++ yxyxy 10. 022 =+ yxyyx
11.2
2
x
y
x
yy += 12. xyyyx =
13.x
yxyyx 24 cos3= 14.
x
yxyyx sec
2+=
15. 0tan2
=x
yxyyx 16. ( ) 02 2 =+ ydxxdyxxdx
17. 2xyyx += 18. ( ) 0224 2 =++ xydydxyx
19.
= x
y
y
xy sin 20. 3
5
4y
exyyx
x
+=
21.ty
yt
dt
dy
3
3
+= 22.
ty
yt
dt
dy
4
2322
+=
Pada soal 23 32, selesaikan masalah nilai awal.
23.22 4xy
dx
dyxy += ,y(1) = 1 24. yxyx 22 += ,y(0,5)= 0
25. 22 42 xyyxy += ,y(2) = 4 26.xy
xyy
+= ,y(0) = 2
27.xyxyy
+= ,y(1) = 1 28.
txtx
dtdx
3
44
2 += ,x(1) = 1
29.323
2
1yyx
dx
dyx = ,y(1) = 1 30. yxyx += ,y(1) = 1
31.x
yxyy
23
+= ,y(2) = 6 32.2
2
1x
y
x
yy ++= ,y(1) = 0
,$ %
Pada persamaan (2), jika M(x, y) dan N(x, y) adalah fungsi linear dalam x dan y,
maka persamaan tersebut dinamakan persamaan diferensial dengan koefisien fungsi
linear. Dengan kata lain, persamaan ini mempunyai bentuk:
7/27/2019 Diktat PDB1
21/82
&"#,#"" D7
17
(ax + by + c)dx + (px + qy + r)dy = 0 (9)
dengan a, b, c,p, q, rR.
Berikut ini diperhatikan dua kasus beserta langkah penyelesaiannya:
Kasus 1.q
b
p
a= ataupx + qy = k(ax + by) untuk suatu kR.
Langkah 1. Dimisalkan ax + by = u, dengan diferensialnya yaitu
b
adxdudy
= .
Langkah 2. Disubstitusikan persamaan pada Langkah 1 ke PD awal untuk
memperoleh PD terpisahkan dalamx dan u.
Langkah 3. Diselesaikan PD terpisahkan.
Langkah 4. Disubstitusikan u = ax + by ke penyelesaian pada Langkah 3
untuk memperoleh penyelesaian PD awal.
Kasus 2.qb
pa ataupx + qyk(ax + by) untuk setiap kR.
Langkah 1. Dimisalkanx = u +x1dany = v +y1 denganx1 dany1 berturut-
turut adalah nilai x dan y yang merupakan penyelesaian dari
sistem persamaan linear
ax + by + c = 0
px + qy + r = 0.
Langkah 2. Disubstitusikan persamaan x dan y pada Langkah 1 beserta
diferensialnya, dx = du dan dy = dv, ke PD awal, untuk
memperoleh PD koefisien fungsi homogen dalam u dan v.
Langkah 3. Diselesaikan PD yang diperoleh dari Langkah 2.
Langkah 4. Disubstitusikan u = x x1 dan v = y y
1 untuk memperoleh
penyelesaian PD awal.
1..2,$,
Selesaikan persamaan diferensial
( ) ( ) 0196392 =++ dyyxdxyx .-#,
Karena 3x 6y = 3(x 2y), PD diselesaikan dengan langkah-langkah seperti berikut:
Langkah 1. Dimisalkanx 2y = u dengan dy =2
dudx .
Langkah 2. Disubstitusikan persamaan pada Langkah 1 ke PD awal, diperoleh
( ) ( ) 21939dudx
udxu
++ = 0
( ) ( )duudxu 1931 ++ = 0
dx = duu
u
1
193
+
+[PD terpisahkan]
Langkah 3. Diselesaikan PD terpisahkan sebagai berikut:
dx = kduuu
++
+ 1
193
x = kduu
+
++ 1
163
x = 3u + 16ln(u + 1) + k.
7/27/2019 Diktat PDB1
22/82
&"#,#"" D7
18
Langkah 4. Disubstitusikan u = x 2y, diperoleh penyelesaian umum untuk PD
awal yaitu
x = 3(x 2y) + 16ln(x 2y + 1) + k.
1..2,$,Selesaikan persamaan diferensial
( ) ( ) 0373737 =+ dyyxdxyx .-#,
Karena 7x 3y k(3x 7y) untuk sebarang k R, maka PD diselesaikan dengan
langkah-langkah sebagai berikut:
Langkah 1. Sistem persamaan linear
7x 3y 7 = 0
3x 7y 3 = 0
mempunyai penyelesaianx = 1 dany = 0. Karena itu dimisalkanx = u
+ 1 dany = v dengan diferensialnya dx = du dan dy = dv.Langkah 2. Disubstitusikan persamaanx dany serta diferensialnya di Langkah 1 ke
PD awal, diperoleh
( ) ( ) 07337 =+ dvvuduvu yang merupakan PD dengan koefisien fungsi homogen.
Langkah 3. Diselesaikan PD pada Langkah 2 sebagai berikut:
Dimisalkan v = tu, untukt= t(u) dan u 0, dengan dv = tdu + udt.
Selanjutnya disubstitusikan ke PD, diperoleh
( ) ( )( )udttdutuudutuu ++ 7337 = 0
) ( )dttudutu 7317 22 + = 0
duu7 = dt
tt
2173
duu7
=
dt
t
t21
73
)ln(7 u = ( ) ( ) ktt ++ 52 11ln
)ln(7 u = ( ) ( ) kuv
uv +
+
5211ln
( ) ( ) )ln(711ln 52 uuv
uv +
+ = k
( ) ( )
+527
11lnuv
uvu = k
Langkah 4. Disubstitusikan u =x 1 dan v =y, diperoleh penyelesaian umum
untuk PD awal yaitu
( ) ( ) 152
11 kyxyx =+ . [ln k1 = k]
./.))+,$Pada soal 1 9, tentukan penyelesaian umum dari persamaan diferensial yang diberikan.
1.542
32
+
=
yx
xyy 2.
5
1
+
+=
xy
xyy
3. xy
xy
y 21
421
++
= 4. 92
32
++
++
= yx
yx
y
7/27/2019 Diktat PDB1
23/82
&"#,#"" D7
19
5.4
3
++
++=
yx
yxy 6.
53
222
+
+=
yx
yxy
7.926
63
++
++=
yx
yxy 8.
1
1
++
+=
yx
yxy
9.yx
yxy
+
+=
2
5210.
xy
yxy
2
32
+
++=
,!
Suatu persamaan diferensial berbentuk (2) dinamakan persamaan diferensial
eksak (exact differential equation)jika hanya jika terdapat suatu fungsi f sehingga
x
fM
= dan
y
fN
= dalam keseluruhan suatu daerah. Jadi, dipunyai
0=+ dyy
fdx
x
f
atau [ ] 0),( =yxfd . Penyelesaiannya yaitu kyxf =),( dengan k
adalah konstanta sebarang.
Meskipun beberapa persamaan eksak mudah untuk dikenal dan diselesaikan,
umumnya tidak mungkin untuk mengatakan dengan pendugaan apakah suatu persamaan
diferensial tingkat satu yang diberikan adalah eksak atau tidak. Berikut ini adalah kriteria
sederhana untuk keeksakan.
.,!,
Jikax
fyxM
=),( dan
y
fyxN
=),( adalah kontinu, maka persamaan diferensial
(2) adalah eksak jika hanya jikax
N
y
M
= .
,
Jika persamaan diferensial (2) adalah eksak, maka terdapat suatu fungsi
diferensial ),( yxf sehingga [ ] 0),( =yxfd . Dipunyai
x
fyxM
=),( dan
y
fyxN
=),(
sebagai suatu syarat keeksakan. Sebagai tambahan, jikaMdanNterdiferensial, maka
x
N
yx
f
xy
f
y
M
===
22
dengan derivatif parsial campuran darifada dan kontinu. Karena itu,y
M
dan
x
N
ada, kontinu, dan sama.
Untuk membuktikan kebalikan dari teorema, diasumsikan bahwax
N
y
M
= .
Karena itu terdapat fungsifsehingga
Mx
f=
dan N
y
f=
.
7/27/2019 Diktat PDB1
24/82
&"#,#"" D7
20
Diambil pertama kali intergral ),( yxM terhadapx, dan tergantungy. Diperkenalkan
variabel tyang memberikan pernyataan
)(),(),(0
ycdtytMyxf xx
+= . (10)
Bukti akan lengkap jika dapat ditentukan )(yc dan ),( yxNy
f=
.
Berdasarkan (10), diperoleh
y
f
= )('),(
0
ycdtytMy
x
x+
= )('
),(
0
ycdty
ytMx
x+
= )('),(
0
ycdtt
ytNx
x+
= )('),(),( 0 ycyxNyxN +
Jadi y
f
akan sama dengan ),( yxN , seperti yang diminta, jika ),()(' 0 yxNyc = ,
yang berarti
=y
ydttxNyc
0
),()( 0 .
Telah ditunjukkan bahwa jikax
N
y
M
= , maka
+=y
y
x
xdttxNdtytMyxf
00
),(),(),( 0 . (11)
Bukti lengkap.
Dengan menggunakan hipotesis yang sama, kita dapat membuktikan syarat cukupdari teorema di atas dengan pertama kali mengintegralkan N x y( , ) terhadap y, dan
tergantungx. Dengan cara ini kita temukan fungsi g yang dinyatakan oleh
+=y
y
x
xdttxNdtytMyxg
00
),(),(),( 0 (12)
Berikut ini akibat yang memberikan dua cara menuliskan penyelesaian.
,!,
Jika persamaan diferensial 0),(),( =+ dyyxNdxyxM adalah eksak, maka untuk
),( 00 yx dan sebarang titik ),( yx ,
1000 ),(),(),( kdttxNdtytMyxf
y
y
x
x =+= (13)atau
2000
),(),(),( kdttxNdtytMyxgy
y
x
x=+= (14)
adalah suatu penyelesaian umum untuk persamaan diferensial.
Berikut ini langkah-langkah untuk menyelesaikan PD eksak berbentuk (2).Langkah 1. Dituliskan fungsi diferensial
Mx
f=
dan N
y
f=
.
7/27/2019 Diktat PDB1
25/82
&"#,#"" D7
21
Langkah 2. Diselesaikan
f(x,y) = )(),( 1 ykdxyxM + ,f(x,y) = )(),( 2 xkdyyxN + .
Langkah 3. Dibandingkan kedua persamaan pada Langkah 2 untuk menentukan k1(y)
dan k2(x) sehingga diperolehf(x,y).
Langkah 4. Penyelesaian umum untuk PD adalah
f(x,y) = k.
Untuk Langkah 2 dan Langkah 3 dapat dilakukan dengan cara lain seperti yang
ditunjukkan pada bukti syarat cukup dari Teorema 2.5.1.
1..2,!,Tunjukkan bahwa diferensial-diferensial berikut adalah eksak dan selesaikan
persamaan diferensial yang berkorespondensi:
(a) ( ) ( ) 0419 2 =+ dyxydxyx .(b) ) ) 0)cos(2)cos()sin(2)sin( =++ dyxyedxxyye xx .
-#,(a) Untuk persamaan ini,
19),( 2 += yxyxM 1=
y
M
xyyxN += 4),( 1=
x
N,
karena itu PD adalah eksak dan diselesaikan sebagai berikut:
Langkah 1. Fungsi diferensialnya yaitu
19 2 +=
yx
x
fdan xy
y
f+=
4 .
Langkah 2. ) )(319),( 132 ykxyxxdxyxyxf ++=+=
( ) )(24),( 22 xkyxydyxyyxf ++=+=
Langkah 3. Dengan membandingkan kedua persamaan di atas, diperoleh
k1(y) = 2y2
dan k2(x) = 3x2
x, karena itu23 23),( yxyxxyxf += .
Langkah 4. Penyelesaian umum untuk PD adalah
kyxyxx =+
23
23 .
(b) )sin(2)sin(),( xyyeyxMx
= )sin(2)cos( xyey
M x=
,
)cos(2)cos(),( xyeyxNx
+= )sin(2)cos( xyex
N x=
,
karena itu PD adalah eksak.
Langkah 1. Fungsi diferensialnya yaitu
)sin(2)sin( xyyex
f x=
dan )cos(2)cos( xye
y
f x+=
.
Langkah 2. f(x,y) = ( ) dxxyyex )sin(2)sin(
7/27/2019 Diktat PDB1
26/82
&"#,#"" D7
22
f(x,y) = )()cos(2)sin( 1 ykxyyex
++
y
f
= )()cos(2)cos( 1 ykxyex
++ .
Langkah 3. Dengan membandingkan persamaany
f
pada Langkah 1 dan 2,
diperoleh 0)(1 = yk atau k1(y) = konstanta. Karena itu, dipunyai
1)cos(2)sin(),( kxyyeyxfx
++= .
Langkah 4. Penyelesaian umum PD adalah
kxyyex
=+ )cos(2)sin( .
./.))+,!
Pada soal 1 23, tentukan penyelesaian umum untuk PD yang diberikan.1. ( ) ( ) 02243 22 =+++ dyyxdxxyx 2. ( ) dyyxdxxy )(csc)cot( 22 =+ 3. ( ) ( ) 02243 22 =+ dyxydxxyx 4. 01213 34 =+ yxyy 5. ( ) 01 =++ dyxedxye xyxy 6. ( ) 02 =++ dyeydxye xx 7. ( ) dyyxdxxy )sin(4)cos( 2 =+ 8. ( ) ( ) 02 2 =+++ dyxexdxyxe yy
9. ( ) ( ) 02222 22 =+++ yxydx
dyxyx 10. ( ) ( ) 021 =+++
dx
dyxeyye
xyxy
11. ( ) 0ln)cos( =
+++
dx
dye
y
xyx y 12. ( ) 022 =++
dx
dyyxxxy
13. ( ) 0)sin()cos( 2 =+ dyyxydxy 14. ( ) ( ) 0232 22 =+ dyyxdxxxy 15. ( ) 0
22
=++ dyydxxe yx 16. ( ) 02)sin()cos( 2 =++ dyxydxyxxx
17. ( ) 02)3cos(3)3sin(2 2 =++dx
dyyyxyx 18. ( ) ( ) 02cos2cos2 =
dx
dyyxyx
19. ( ) 0242 2 =++++ yyxexyyey xyxy 20. ( ) ( ) 03)cos()sin(2 223 =+++ dyeyyxdxeyyx xx 21. ) ) 0333 23232 =++++ dyyexyexydxeyx yyy 22. ( ) ( ) 01026103 222 =+++ dyyxxydxxyy
23. ( ) 02)sin().sin(2)cos().cos( =++ yyyxxyx
Pada soal 24 30, tentukan penyelesaian khusus untuk PD yang diberikan.
24. ) )dyyxyedxyxye xx )(2)sin()(2)cos( +=+ ,y(0) = 25. ( ) 0)(sec5)tan(2 22 =++ dyyxdxyx , ( )
421 =y
26. ( ) 01
22=+
+
dyydxx
yx
,y(4) = 3
27. ( )[ ] 021ln1
=++
dyyxdxx
y,y(2) = 4
7/27/2019 Diktat PDB1
27/82
&"#,#"" D7
23
28. ( ) 01
22=+
+dyydxx
yx,y(0) = 4
29. ( ) 0)3cos()3sin(3 =+ dyydxye x ,y(0) =
30. ( ) ( ) 0)sin(3)cos(2 232 =++ dyyyxxdxyxyx ,y(0) = 2
,'
Jika suatu persamaan diferensial berbentuk (2) mempunyai sifaty
M
x
N
maka
persamaannya dinamakan persamaan diferensial tak eksak. Seringkali, suatu persamaan
diferensial tak eksak dapat diubah ke persamaan diferensial eksak dengan mengalikan
keseluruhan persamaan dengan suatu faktor yang tepat, yang disebut faktor
pengintegralan (integrating factor).Pengamatan berikut seringkali membantu dalam menemukan faktor pengintegralan:
1. Jika suatu persamaan diferensial tingkat satu memuat kombinasi
( )222
1yxdydyxdx +=+ ,
dicoba fungsi 22 yx + sebagai suatu pengali.
2. Jika suatu persamaan diferensial tingkat satu memuat kombinasi
)(xydydxxdy =+ ,
dicoba fungsixy sebagai suatu pengali.
3. Jika suatu persamaan diferensial tingkat satu memuat kombinasi ydxxdy , dicoba
21
xatau
21
ysebagai suatu pengali. Jika tidak, dicoba
xy1 atau
221
yx +atau
fungsi dari pernyataan tersebut, sebagai suatu faktor integral, dengan mengingat:
xy
ydxxdy
x
yd
=
ln ,
22
1tan
yx
ydxxdy
x
yd
+
=
.
Teorema berikut menunjukkan kemungkinan lain untuk menemukan faktor
pengintegralan dari persamaan diferensial tak eksak bentuk (2).
.,',
(a) Jika
x
N
y
M
N
1adalah suatu fungsi dari x saja, katakan f(x), maka
( ) dxxf )(exp adalah suatu faktor pengintegralan.
(b) Jika
y
M
x
N
M
1adalah suatu fungsi y saja, katakan g(y), maka
( ) dyyg )(exp adalah suatu faktor pengintegralan.,
(a) Berdasarkan hipotesis, jika )(xp adalah faktor pengintegralan yang tergantung
pada variabelx saja, maka
7/27/2019 Diktat PDB1
28/82
&"#,#"" D7
24
0),()(),()( =+ dyyxNxpdxyxMxp
adalah diferensial eksak. Dari Teorema 2.5.1, dipunyai syarat perlu
)()( Npx
Mpy
=
xdpdN
xNp
yMp +
=
.
Akhirnya, diperoleh
)(.)(1
xfxpx
N
y
M
Np
xd
pd=
=
yang mempuyai suatu penyelesaian umum
= dxxfxp )(exp)( .(b) Analog.
Diberikan langkah-langkah untuk menyelesaikan PD tak eksak bentuk (2):
Langkah 1. Dihitung
y
MMy
= dan
x
NNx
= .
Langkah 2. Terdapat dua kasus.
Kasus 1 : DihitungN
NM xy .
Jika pernyataan ini adalah fungsix saja, maka dipilih faktor pengintegralan
= dxN
NMxp
xyexp)( .
Kasus 2: Dihitung M
MN yx
.
Jika pernyataan ini adalah fungsiy saja, maka dipilih faktor pengintegralan
= dyM
MNyq
yxexp)( .
Langkah 3. Persamaan awal dikalikan dengan faktor pengintegralan dan diselesaikan
persamaan baru (eksak) seperti pada subbab sebelumnya.
1..2,',Tentukan faktor pengintegralan dari persamaan di bawah ini dan selesaikan
persamaan yang berkorespondensi
( ) ( ) 023 2232 =++++ dyyxdxyyxyx .-#,
Langkah 1. 32 23),( yyxyxyxM ++= 22 323 yxxMy ++= ,
22),( yxyxN += xNx 2= .
Langkah 2. Karena 3=
N
NM xymerupakan fungsi x saja, maka faktor
pengintegralannya adalah
( ) xexdxp 33exp)( == .Langkah 3. Persamaan awal dikalikan denganp(x) dan diselesaikan.
( ) ( ) 023 223323 =++++ dyyxedxyyxyxe xx .
7/27/2019 Diktat PDB1
29/82
&"#,#"" D7
25
Diambil fungsi diferensialnya adalah ),( yxf dengan
(i) x
f
= ( )323
23 yyxyxe
x
++
(ii)y
f
= ( )223 yxe x + .
Persamaan (ii) diintegralkan terhadapy kemudian diderivatifkan
terhadapx:
f(x,y) = )(3
323 xk
yyxe x +
+
x
f
= ( ) )('
332
3233 xk
yyxeyxe
xx+
++
(iii) = ( ) )('32 323 xkyyxyxe x +++ .Dibandingkan persamaan (i) dan (iii), diperoleh 0)(' =xk atau dengan
kata lain k(x) = konstanta. Oleh karena itu, penyelesaian umum untuk
PD yaitu
ky
yxex
=
+
3
323 .
./.))+,'Pada soal 1 15, tentukan faktor pengintegralan yang merupakan suatu fungsi x atau y
saja dan gunakan untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial.
1. (y2
x)dx + 2ydy = 0 2. ydx (x + 6y2
)dy = 03. (2x
3+y)dx xdy = 0 4. (5x
2y)dx +xdy = 0
5. (5x2
y2)dx + 2ydy = 0 6. (x +y)dx + tan(x) dy = 0
7. (2x2y 1)dx +x
3dy = 0 8. y
2dx + (xy 1)dy = 0
9. (x2
+ 2x +y)dx + 2dy = 0 10. (2y3
+ 1)dx + (3xy2
+x3)dy = 0
11. (2cos(y) + 4x2)dx =xsin(y)dy 12. y(x +y)dx + (x + 2y 1)dy = 0
13. (3xey
+ 2y)dx + (x2ey
+x)dy = 0 14. (4xy + 3y2
x)dx +x(x + 2y)dy = 0
15. y(x +y + 1)dx +x(x + 3y + 2)dy = 0
Pada soal 16 19, gunakan faktor pengintegralan yang diberikan untuk mencari
penyelesaian umum persamaan diferensial.
16. (4x2y + 2y
2)dx + (3x
3+ 4xy)dy = 0,p(x,y) =xy
2
17. (3y2 + 5x2y)dx + (3xy + 2x3)dy = 0,p(x,y) =x2y18. (y
5+x
2y)dx + (2xy4
2x3)dy = 0,p(x,y) =x
2y3
19. y3dx + (xy
2x
2)dy = 0,p(x,y) =x
2y
2
20. Tunjukkan bahwa persamaan diferensial
(axy2
+ by)dx + (bx2y + ax)dy = 0
adalah eksak hanya jika a = b. Jika ab, tunjukkan bahwaxmyn adalah faktor
pengintegralan dengan
ba
abm
+
+=
2dan
ba
ban
+
+=
2.
7/27/2019 Diktat PDB1
30/82
&"#,#"" D7
26
,*
Berdasarkan definisi, suatu persamaan diferensial tingkat satu dikatakan linear
dalamy jika tidak dapat memuat hasil kali, pangkat atau kombinasi nonlinear lainnya dari
y atau y . Dipunyai bentuk yang paling umum yaitu
)()()( xHyxGdx
dyxF =+ (15)
atau muncul dalam bentuk yang lebih biasa seperti
)()( xQyxPdx
dy=+ . (16)
Jika 0)( =xP , maka persamaan dapat diselesaikan dengan integrasi langsung, atau
jika 0)( =xQ , maka persamaan adalah terpisahkan.
.,*,Persamaan (16) mempunyai
dxxP )(exp sebagai suatu faktor pengintegralan.
,
Jika persamaan (16) dikalikan dengan ( ) dxxP )(exp , maka persamaan dapatdituliskan dalam bentuk
=
dxxPdxxP exQey
dx
d )()()(
yang mempunyai penyelesaian
+=
kdxexQeydxxPdxxP )()(
)( . (17)
Jadi, dipunyai langkah-langkah untuk menyelesaikan suatu persamaan (16).
Prosedur berikut ini seringkali membantu dalam mencari penyelesaian persamaan
(16):
Langkah 1. Dihitung faktor pengintegralan.
Langkah 2. Sisi kanan persamaan yang diberikan dikalikan dengan faktor tersebut dan
sisi kiri dituliskan sebagai derivatif dariy kali faktor pengintegralan.
Langkah 3. Dintegralkan dan diselesaikan persamaan untuky.
1..2,*,Selesaikan persamaan di bawah ini dengan metode faktor pengintegralan:
(a)2
xyadx
dyx = (b) )sec()tan( xxy
dx
dy=+
-#,
(a) Persamaan ditulis kembali menjadi xyx
a
dx
dy=
+ .
Langkah 1. Faktor pengintegralannya adalaha
xdxx
a =
exp .
Langkah 2. Persamaan dapat direduksi menjadi
7/27/2019 Diktat PDB1
31/82
&"#,#"" D7
27
aaa
xyaxdx
dyx
=
11 ( ) aa xyx
dx
d =
1.
Langkah 3. yx a = ka
x a+
2
2 y = akx
a
x+
2
2.
(b) Langkah 1. Faktor integralnya adalah ( ) )sec()tan(exp xxdx = Langkah 2. Persamaan direduksi menjadi
)sec()tan()sec( xxydx
dyx + = sec
2(x)
( ))sec(xydx
d= sec
2(x)
Langkah 3. Penyelesaian umum untuk PD awal yaitu
kxxy += )tan()sec( atau )cos()sin( xkxy += .
./.))+,*Selesaikan persamaan diferensial menggunakan metode faktor pengintegralan.
1. 2xyy = 2. xyy =+2
3.x
yyx1
2 = , x > 0 4. xyyx =+ , x > 0
5. ( ) xxeyxyx 212 =++ 6. ( ) xexxyyx 22 21 =++ 7. 1)sin()cos( =+ xyxy ,
22
7/27/2019 Diktat PDB1
32/82
&"#,#"" D7
28
Suatu persamaan diferensial Bernoulli mempunyai bentuk
nyxQyxP
xd
yd)()( =+ (18)
Secara jelas, untuk n = 0 atau 1 maka persamaan adalah linear; sedangkan untuk nilai
lainnya maka persamaan adalah tidak linear.
Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan Bernoulli:
Langkah 1. Diperkenalkan variabel tak bebasn
yz
=1 dengan yynz
n =)1( .
Langkah 2. Persamaan (17) dikalikan dengann
yn
)1( , diperoleh
)()1()()1()1( 1 xQnyxPnyynnn
=+
.
Menggunakan persamaan di Langkah 1 akan didapatkan
)()1()()1( xQnzxPnz =+ . (19)
Langkah 3. Berdasarkan rumus (17), diperoleh penyelesaian untuk (19), yaitu
+=
kdxexQnezdxxPndxxPn )()1()()1(
)()1(
Langkah 4. Penyelesaian umum dari persamaan (18) dapat dicari dengan
mensubstitusikann
y1
untukz. Jika n > 0, maka persamaan (18) juga
mempunyai penyelesaiany = 0.
1..2,3,Selesaikan persamaan Bernoulli
222 xy
dx
dyyx = .
-#,Persamaan ditulis kembali menjadi
1
22
1
= y
xy
xdx
dy.
Langkah 1. Dimisalkan 2yz = dengan derivatifnyaxd
ydy
xd
yd
yd
zd
xd
zd2== .
Langkah 2. Persamaan diferensial dikalikan dengann
yn
)1( , kemudian
disubstitusikanz dan z akan didapatkan
xz
xdx
zd=
+
1.
Langkah 3. Penyelesaian untuk persamaan di atas yaitu
( ) kxxkdxexekdxexez xxdx
xdx
x +=+=
+
=
2)ln()ln(
11
.
Langkah 4. Disubstitusikan 2yz = , diperoleh penyelesaian umum untuk PD awal
yaitu
xkxy += 2 .
7/27/2019 Diktat PDB1
33/82
&"#,#"" D7
29
,3, 44
Persamaan diferensial Riccati mempunyai bentuk
)()()( 2 xRyxQyxPdx
dy++= (20)
Secara jelas, jika 0)( =xR , maka persamaan menjadi persamaan Bernoulli. Jika
0)( xR , penyelesaian umum dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Langkah 1. Diambil satu penyelesaian khusus )(xuy = (biasanya sudah diketahui),
dan karena itu dipunyai
)()()( 2 xRuxQuxPdx
ud++= . (21)
Langkah 2. Disubstitusikan y uz
= +1
dengan derivatifnya
xd
zd
zxd
ud
zu
dx
d
dx
yd2
11=
+= (22)
ke persamaan Riccati, diperoleh
xd
zd
zxd
ud
2
1 = )(
1)(
1)(
2
xRz
uxQz
uxP +
++
+
= )(1
)(12
)(2
2xR
zuxQ
zz
uuxP +
++
++
= )()(1
)()(1
)(2
)(2
2 xRxQz
uxQxPz
xPz
uuxP +++++
= ( )
+++++ )(1)(1)(2)()()(
2
2xQ
zxP
zxP
zuxRuxQuxP .
Karena (21), persamaan disederhanakan menjadi
xd
zd
z2
1 = )(
1)(
1)(
22
xQz
xPz
xPz
u++
xd
zd= )()()(2 xQzxPxzPu .
Diperoleh persamaan diferensial tingkat satuz:
( ) )()()(2 xPzxQxPuxd
zd=++ . (23)
Langkah 3. Persamaan (23) diselesaikan untukz menggunakan rumus (17).
Langkah 4. Disubstitusikan penyelesaian z kez
uy1
+= untuk memperoleh
penyelesaian umum PD awal.
1..2,3,
Selesaikan persamaan Riccati22 yy
dx
dy+= dengan y = 2 adalah penyelesaian
khususnya.
-#,
Langkah 1. Dipunyai suatu penyelesaian khusus y = u(x) = 2.
7/27/2019 Diktat PDB1
34/82
&"#,#"" D7
30
Langkah 2. Dimisalkanz
y1
2 += . Karena itu persamaan Riccati direduksi menjadi
( ) 111.2.2 =+ zxd
zd 13 =+ z
xd
zd
Langkah 3. Penyelesaian untuk persamaan di langkah 2 yaitu:
3
1
3
1.1 333
33=
+=
+
=
xxxdxdx
kekeekdxeez .
Langkah 4. Penyelesaian umum untuk PD awal yaitu
313
12
+=
xke
y .
./.))+,3
Pada soal 1 20, tentukan penyelesaian untuk persamaan diferensial Bernoulli yangdiberikan.
1. 2yyy =+ 2. 21 xyyxy =+
3. xyyxy += 23 4. 1
=+ xyyy
5. 3yyy += 6. ( ) 4213 yxyy =+
7. 1
=+ xyxyy 8. 1332
+= xayyy
9. 323 yyxyx = 10.y
yyx1
=
11.2
3y
xxyy =+ 12.
y
xxyy =+
13. yyxyx += 53102 14.x
exyxyxy 22)1(2 =+
15.32
=+ yxexyyx
16. 3223 yxyxy =+
17. 22 xyxyy =+ 18.21
xyyx
y =+
19. yxyx
y =+1
20. 33
yxyy =
Pada soal 21 23, gunakan penyelesaian khusus yang diberikan untuk menentukan
penyelesaian umum persamaan diferensial Riccati.
21.2
2
4
1
xyy =+ ,y =
x2
122. 132 += xxyy ,y =x
23.)cos(2
)(sin)(cos2222
x
yxx
dx
dy += ,y = sin(x)
7/27/2019 Diktat PDB1
35/82
&"#,#"" D7
31
..//..))))
Pada soal 1 24, selesaikan persamaan diferensial tingkat satu dengan suatu metode yangcocok.
1. 431
+=+ xyx
y 2. 0)2()43( 22 =+++ dyxxydxxyy
3. 0)( =+ xdydxyx 4. 132
+=+ xyx
y
5. 0)2( =+ xdydxeyx
6. )cos(xyy =
7. xxyy 22 =+ 8. 0)( 22 =+ dyxdxxyy
9. 0))2sin(3( =+ dydxxx 10. 0)1( 3342 =+ dyyxdxyx
11. 0)43( =++ dyyxydx 12. 0)1).(sin( = dydxyx
13. 1)1( 2 =+ xyyx 14. 0)3(3 22 =++ dyyxxydx
15.x
eyy 55 =+ 16. xyyyx 2)cos( 2 =+
17. yeyxx
=+ )1( 18. 0)1)(( 2 =+++ dyxeyxdxy
19. 212 yxy = 20. 0)22()1(2
=++++ dyyxydxy
21. 0)cos()cos( =+ yxxy 22. 0)21( 22 =++++
dyedxeyxyx
23.yx
yx
e
e
dx
dy
+
=2
24.)2(
1
+
+=
yy
x
dx
dy
Pada soal 25 30, tentukan penyelesaian khusus untuk persamaan diferensial yangmemenuhi syarat batas yang diberikan.
25. 01)(cos2 =+ yxy ,y(0) = 5 26.2
23 xeyyx =+ ,y(1) = e
27. )sec()sec( xxyy =+ ,y(0) = 4 28. 01
=+ yx
y ,y(2) = 2
29. 0)12( =+ yxy ,y(1) = 2
30. )cos()sec()tan( xxxyy +=+ ,y(0) = 1
7/27/2019 Diktat PDB1
36/82
32
"
#
#**++"#", -.#
",,Diketahui keluarga kurva pada bidangXYyang dinyatakan oleh persamaan F(x,y, k)
= 0 dengan k= parameter. Kurva yang memotong tegak lurus kurva-kurva tersebut
dinamakan trayektori ortogonal dari kurva F.
1..2",,Diberikan keluarga kurva y = mx dan y
2+ x
2= k
2yang disajikan pada satu sistem
koordinat kartesius seperti Gambar 3.1 di bawah ini.
Gambar 3.1: Keluarga kurvay = mx dany2
+x2
= k2.
Terlihat bahwa suatu garis berpotongan dengan suatu lingkaran. Garis arah antara
lingkaran (pada titik potong) dan garis adalah saling tegak lurus atau ortogonal,
karena itu kedua kurva dikatakan ortogonal di titik potongnya. Dengan kata lain garis
lurusy = mx adalah trayektori ortogonal dari keluarga lingkaran tersebut. Sebaliknya
dapat dikatakan juga bahwa setiap lingkaran merupakan trayektori ortogonal dari
garisy = mx.
7/27/2019 Diktat PDB1
37/82
&"#,#"" D7
33
Langkah-langkah menentukan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva F(x,y, k)
= 0:
Langkah 1. Ditentukan persamaan diferensial untuk keluarga kurva, yaitu( )kyxfy ,,=
Langkah 2. Disubstitusikan k= F(x,y) untuk memperoleh persamaan diferensial
implisit bagi F(x,y, k) = 0 berbentuk
( )yxfdx
dy,= .
Langkah 3. Dituliskan persamaan diferensial yang berkaitan untuk keluarga ortogonal,
yaitu
( )yxfdx
dy
,
1= .
Langkah 4. Diselesaikan persamaan diferensial baru. Penyelesaiannya adalah keluarga
trayektori ortogonal.
1..2",,
Tentukan keluarga trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut ini.
(a) y = cx2.
(b) y2
+x2
= 2cx.
-#,
(a) Langkah 1. Persamaan diferensial untuk keluarga kurvay = cx2
yaitu
cxdx
dy2= .
Langkah 2. Disubstitusikan2x
yc = untuk memperoleh persamaan
diferensial implisit:
x
yx
x
y
dx
dy 2..2
2== .
Langkah 3. Persamaan diferensial untuk keluarga ortogonal yaitu
y
x
dx
dy
x
y 2
12
== .
Langkah 4. Diselesaikan persamaan diferensial baru (terpisahkan):
xdxydy =2 12 kxdxydy += 12
212 kxy +=
1
22
22 kxy=+
.Jadi, persamaan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva
2cxy = adalah kxy =+222 .
(b) Langkah 1. Persamaan diferensial untuk keluarga kurvay2
+x2
= 2cx:
y
xc
dx
dy = .
Langkah 2. Disubstitusikanx
xyc
2
22+
= , diperoleh
xy
xy
dx
dy
2
22
= .
7/27/2019 Diktat PDB1
38/82
&"#,#"" D7
34
Langkah 3. Persamaan diferensial untuk keluarga ortogonal yaitu
22
2
yx
xy
dx
dy
= .
Langkah 4. Diambil variabel barux
yu = , maka dipunyai
udx
dux
dx
dy+= .
Karena itu, diperoleh
21
2
u
uu
dx
dux
=+
2
3
1
1
u
uu
xdx
du
+= .
Penyelesaian konstannya yaitu u + u3
= 0 yang memberikan hasil
u = 0. Penyelesaian tak konstan dicari sebagai berikut:
dxxduuu
u 113
2
=+
.
Dengan metode integrasi fungsi rasional, dipunyai
=
+ dx
xdu
u
u
u
1
1
212
( ) )ln()ln(1ln)ln( 2 kxuu +=+
kxu
u=
+ 12
dengan k 0. Dengan mensubstitusikan kembalix
yu = ,
diperoleh persamaan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva
y2
+x2
= 2cx:
=+=
kyxyy
220 .
Gambar 3.2: Keluarga kurvay = cx2
dan trayektori ortogonalnya.
7/27/2019 Diktat PDB1
39/82
&"#,#"" D7
35
Gambar 3.3: Keluarga kurvay
2+x
2= 2cx dan trayektori ortogonalnya.
", #0%
Beberapa bahan radioaktif mengalami disintegrasi yang berbanding lurus dengan
banyaknya bahan yang ada pada saat itu. Sebagai contoh, jika Xadalah bahan radioaktif
danN(t) adalah banyaknya bahan pada saat t, maka laju perubahanN(t) terhadap waktu t
adalah
)()(
tkNdt
tdN= (1)
dengan kadalah konstanta positif (k> 0). DimisalkanN(0) =N0 adalah banyaknya bahan
mula-mula dariX, maka diperoleh
( ) ( )ktNtN = exp0 . (2)
Jelas bahwa dalam menentukanN(t) diperlukan lebih dulu untuk mencari konstanta k.
1..2",,
Diketahui bahwa setengah dari banyak semula inti radioaktif mengalami disintegrasi
dalam suatu periode 1500 tahun.
a) Berapa persen inti radioaktif semula akan tersisa setelah 4500 tahun ?
b) Setelah berapa tahun hanya sepersepuluh dari banyak semula yang tersisa?
-#,
Diketahui bahwa untukt= 1500 dipunyaiN= 021N , karena itu
1500.002
1 keNN = 211500. =
ke 211500. lnln =
ke
( )21ln1500 = k ( )
21
15001 ln=k .
Jadi
( )( ) ( )150021
021
15000lnexp
t
NNN t == .
(a) Sesaat setelah 4500 tahun, dipunyai
( ) 081
21
015004500
NNN == .
Jadi, sesaat setelah 4500 tahun maka inti radioaktif akan menjadi 12,5% dari
semula.
7/27/2019 Diktat PDB1
40/82
&"#,#"" D7
36
(b) Jika 0101 NN = , maka
( )15002100101
t
NN = )2ln(1500)10ln(t
= 89,4982)2ln(
)10ln(1500 =t .
Jadi, inti radioaktif akan menjadi sepersepuluh dari semula sesaat setelah
4982,89 tahun.
"," &0#
Diandaikan P(t) adalah banyaknya individu pada suatu populasi yang mempunyai
laju kelahiran dan kematian konstan berturut-turut dan . Dinamika suatu populasidapat digambarkan oleh persamaan diferensial
)()(
tkPdt
tdP= . (3)
dengan k= .
1..2",",
Pada suatu kultur bakteri tertentu, banyaknya bakteri mengalami kenaikan enam kali
lipat dalam 10 jam. Berapa lama akan diperoleh populasi menjadi dua kali lipatnya.
-#,Dimisalkan P(t)adalah banyaknya bakteri pada saat t, maka
kPdt
dP= .
Dinotasikan P0 adalah banyak bakteri pada saat t= 0, maka
( )ktPP exp0= .
Karena P(10) = 6P0, maka dipunyai
6P0 = P0.exp(10k) 10
)6ln(=k .
Karena itu
tPtP10
)6ln(0 exp)( = .
Selanjutnya untukP(t) = 2P0, maka dipunyai
tPP10
)6ln(00 exp2 =
dan karena itu)6ln(
)2ln(10=t .
1..2",",Diandaikan bahwa ketika danau diisi dengan ikan, laju kelahiran dan kematian
berturut-turutdanberbanding terbalik dengan P .(a) Tunjukkan bahwa
( )2021)( PkttP += .(b) Jika P0 = 100 dan setelah 6 bulan terdapat 169 ikan di dalam danau, maka
berapakah banyaknya ikan dalam danau tersebut setelah 1 tahun?
-#,
(a) Waktu diukur dalam bulan. Karena dan berbanding terbalik dengan P maka terdapat k1 dan k2 sehingga
7/27/2019 Diktat PDB1
41/82
&"#,#"" D7
37
P
k 1= dan
P
k 2= .
Dari persamaan (3) diperoleh
Pkdt
dP=
dengan k= k1 k2. Persamaan ini mempunyai penyelesaian umum
CkttP +=)(2 .
Jika P(0) = P0, maka dari persamaan ini diperoleh
02)(2 PkttP += .
Karena itu
( )2021)( PkttP += . (4)
(b) Jika P0 = 100 dan P(6) = 169, maka dari persamaan (4) diperoleh( )2103169 += k k= 1.
Karena itu P(12) = 162
= 256.
",$ 2&%6
Berdasarkan hukum pendinginan Newton, laju perubahan waktu dari temperatur
T(t) untuk suatu benda yang diletakkan pada suatu media bertemperatur konstan A adalah
sebanding denganA T. Ini berarti bahwa
( )TAkdt
dT=
dengan kadalah konstanta positif.
1..2",$,
Suatu tempat berisi susu mentega dengan temperatur awal 25 C didinginkan dengan
pengaturan temperatur pada 0 C. Diandaikan bahwa temperatur susu mentega
mengalami penurunan sampai 15 C setelah 20 menit. Kapan akan menjadi 5 C?
-#,Dicatat bahwaA = 0, T(0) = 25, T(20) = 15. Dinotasikan t1 adalah waktu ketika T(t1)
= 5. Berdasarkan hukum pendinginan Newton
kTdt
dT= .
Penyelesaian umum untuk persamaan ini adalah T(t) = C.exp(kt). Berdasarkan
syarat awal T(0) = 25, dipunyai C = 25 dan T(t) = 25exp(kt). Berikutnya dicari
konstanta k. Karena T(20) = 15 = 25exp(20k) maka dipunyai)
20
ln35
=k . Rumus
untuk temperatur adalah
( )
= ttT
20
lnexp25)( 3
5
.
Selanjutnya dapat dicari t1:
( )
== 1
35
120
lnexp255)( ttT
( )01.63
ln
)5ln(20
351
==t .
7/27/2019 Diktat PDB1
42/82
&"#,#"" D7
38
",! %0
Rangkaian listrik paling sederhana adalah rangkaian seri. Dalam rangkaian ini
dipunyai satu sumber tegangan listrik (gaya elektromotif) seperti generator, aki atau
batere, dan sebuah resistor, yang memanfaatkan energi, misalnya lampu listrik (Gambar
3.4).
ResistorSumber
Sakelar
I
Gambar 3.4: Rangkaian listrik sederhana.
Kalau sakelar ditutup, arus Iakan mengalir melalui resistor, dan ini akan menyebabkan
turunnya tegangan, sehingga mengakibatkan terjadinya perbedaan tegangan antara kedua
ujung resistor. Percobaan menunjukkan berlakunya hukum berikut:
Selisih tegangan ER antara kedua ujung resistor sebanding dengan kuat arus I.
ER =RI (5)
Konstanta kesebandingan R disebut tahanan resistor. Kuat arus Idiukur dalam ampere,
tahananR dalam ohm, dan teganganER dalam volt.
Dua elemen penting lainnya dalam rangkaian yang lebih rumit adalah induktor dan
kapasitor. Percobaan telah menghasilkan hukum berikut:
Selisih tegangan EL antara kedua ujung induktor sebanding dengan
laju perubahan kuat arus I terhadap waktu.
dt
dILEL = (6)
Konstanta kesebandingan L disebut induktansi dan diukur dalam henry; waktu tdiukur
dalam detik.
Selisih tegangan ECantara kedua ujung kapasitor sebanding dengan
muatan listrik Q dalam kapasitor.
QC
EC1
= (7)
Konstanta C disebut kapasitansi dan diukur dalam farad; muatan Q diukur dalam
coulomb. Karena
dt
dQtI =)(
maka
=t
tC dttI
CE
0
)(1
. (8)
ArusI(t) dalam suatu rangkaian dapat ditentukan melalui penyelesaian persamaan-
persamaan yang diperoleh dari penerapan hukum tegangan Kirchoff:
Jumlah semua selisih tegangan dalam suatu rangkaian tertutup adalah nol,
atau selisih tegangan antara kedua ujung rangkaian sama dengan
jumlah selisih tegangan di tempat lain dalam rangkaian tersebut.
7/27/2019 Diktat PDB1
43/82
&"#,#"" D7
39
",!,
R
E(t)
L Gambar 3.5: RangkaianRL
Untuk rangkaianRL dalam Gambar 3.5 dan berdasarkan hukum tegangan Kirchoff
serta (5) dan (6), diperoleh:
)(tERIdt
dI
L=+
. (9)
Kasus A. JikaE(t) =E0 (konstanta), maka dari (9) diperoleh PD:
L
EI
L
R
dt
dI 0=+ .
PD diselesaikan dengan faktor integral yaitu:
I(t) =
+
kdtee
dt
L
Edt LR
LR
0 =t
LR
keR
E +0 . (10)
Suku yang terakhir mendekati nol jika tmenuju tak hingga, sehinggaI(t) mendekati
nilai batasRE0 . Setelah waktu yang cukup lama,Ipraktis akan menjadi konstan pada
nilai yang tidak tergantung pada k, jadi tidak tergantung pada syarat awal yang
mungkin telah diberikan. Penyelesaian khusus untuk syarat awalI(0) = 0 adalah
I(t) =
tLR
eR
E10
denganR
Ldisebut konstanta waktu induktif.
Kasus B. Jika tEtE sin)( 0= , maka dari (9) diperoleh PD:
t
L
EI
L
R
dt
dIsin0=+ .
PD diselesaikan dengan faktor integral yaitu:
+
=
kdtetetI
dt
L
Edt LR
LR
)sin()( 0
dan dengan integrasi parsial diperoleh penyelesaian umum:
( )tLtRLR
EketI
tLR
cossin)(222
0 +
+=
. (11)
Suatu sistem listrik (atau dinamis) dikatakan berada dalam keadaan stabil (steady
state) jika peubah-peubah yang menjelaskan perilakunya merupakan fungsi periodik dari
waktu atau konstan, sedangkan sistem dikatakan dalam keadaan peralihan (transient
state) atau keadaan tidak stabil jika sistem tidak dalam keadaan stabil. Peubah yang
7/27/2019 Diktat PDB1
44/82
&"#,#"" D7
40
menggambarkan keadaan itu masing-masing disebut fungsi keadaan stabil dan fungsi
peralihan.
Pada Kasus A, fungsiRE0 merupakan fungsi keadaan stabil atau penyelesaian
keadaan stabil untuk (9), sedangkan dalam Kasus B penyelesaian keadaan stabilnya
adalah suku terakhir dalam persamaan (11).
1..2",!,
Pada rangkaianRL, jika diketahuiR = 1 ohm,L = 10 henry,E(t) = 2sin(5t) voltI(0) =
6 ampere, maka menggunakan rumus (11), diperoleh
I(t) = ( )ttket
5cos505sin2501
2101
+
.
Selanjutnya menggunakan syarat awal, diperoleh
( )1.5002501
21.6 += k 250115106=k .
Jadi
I(t) = ( )ttet
5cos505sin2501
2
2501
15106101
+
.
",!,
R
E(t)
C
Gambar 3.6: RangkaianRC
Dengan mengaplikasikan hukum tegangan Kirchoff dan (5), (7) pada rangkaian RC
dalam Gambar 3.6, diperoleh persamaan
dt
dEI
Cdt
dIR =+
1(12)
yang mempunyai penyelesaian umum
+=
kdtdtdEe
RetI tt RCRC
11
1)( (13)
Kasus A. JikaE= konstanta, maka 0=dt
dE, dan (13) menjadi
RC
t
ektI
= .)( (14)
denganRCdisebut konstanta waktu kapasitifuntuk rangkaian tersebut.
Kasus B. Jika tEtE sin)( 0= , maka
tEdt
dEcos0= .
Selanjutnya disubstitusikan ke (13) dan dengan integrasi parsial diperoleh:
7/27/2019 Diktat PDB1
45/82
&"#,#"" D7
41
I(t) =( )
( )tRCtRC
CEke
tRC sincos
12
01
++
+
(15)
Suku yang pertama akan terus turun dengan naiknya t, sedangkan suku kedua
menggambarkan arus keadaan stabil.
1..2",!,
Diketahui rangkaianRCdenganR = 12 ohm, C=36
1farad, dan )3sin(36)( ttE = volt.
ArusI(t) pada rangkaian dihitung menggunakan rumus (15), yaitu
I(t) = ( ))3sin()3cos(2
33ttke t ++
.
Jika diketahuiI(0) = 0, maka k=
2
3 dan
I(t) = ( ))3sin()3cos(2
3
2
3 3tte
t++
.
..//..))))""
Pada soal 1 14, carilah trayektori ortogonal untuk kurva yang diberikan.
Selanjutnya gambarkan grafik sebagian kurva dan trayektorinya
1. x2
+ (y C)2
= C2
2. y2
= kx3
3. y2
=x + C 4. y = 2x + C
5. Cxy +=2
21 6. y = ln(x) + C
7. x2
+ 2y2
= C 8. y = Cx3
9. y = Cex
10. xy = C
11. y2
x2
= C2
12. 23
Cxy =
13. xCy = 14. x2
+ (y C2) = 1 + C
2
15. Diambil Q(t) sebagai banyaknya substansi suatu radioaktif pada waktu t. Diamati
secara eksperimental dengan alat pengukur banyaknya radiasi (Geiger Counter)
bahwa laju pada saat suatu sampel meluruh adalah berbanding lurus dengan
banyaknya substansi saat itu. Diandaikan bahwa substansi awalnya adalah 100 gram
dan setelah 7 hari yang tertinggal hanya 50 gram. Tentukan Q sebagai fungsi dari t.
16. Diambil Q(t) sebagai banyaknya substansi suatu radioaktif pada waktu t. Diamati
secara eksperimental dengan alat pengukur banyaknya radiasi (Geiger Counter)
bahwa laju pada saat suatu sampel meluruh adalah berbanding lurus dengan
banyaknya substansi saat itu. Diandaikan bahwa sejumlah tertentu ditempatkan
dalam suatu container dan setelah 10 tahun banyaknya telah berkurang 0,01%.
Berapa persen (dari jumlah aslinya) yang akan tersisa setelah 25 tahun.
7/27/2019 Diktat PDB1
46/82
&"#,#"" D7
42
17. Waktu paruh aktif Cobalt adalah 5,27 tahun. Diandaikan bahwa suatu kecelakaan
nuklir pada suatu daerah tertentu mempunyai tingkat radiasi Cobalt 100 kali tingkat
yang dapat diterima untuk habitat manusia. Berapa lama daerah tersebut dapatdidiami?
18. Suatu zat radioaktif meluruh secara eksponensial. Banyaknya zat dalam suatu
sampel adalaht
etP035,040)(
= mg setelah ttahun. Tentukan waktu paruhnya.
19. Radioaktif Carbon-14 meluruh secara eksponensial. Waktu paruh Carbon-14 adalah
5730 tahun. Radioaktif tersebut terkumpul dalam tanaman ketika mereka bertumbuh,
dan meluruh setelah tanaman mati. Suatu sampel tulang terdiri 20% dari jumlah
Carbon-14 asli. Berapakah umur sampel tersebut?
20. Dalam kehidupan sel terdapat suatu bahan reaksi Yyang mempunyai reaksi kimia Y
+ YY2 dengan Y2 hilang secara cepat. Diambily(t) adalah banyaknya bahan reaksi
kimia Ypada saat t, dan diketahui bahwa23,0 y
dt
dy= dengany dalam miligram dan
t dalam menit. Ketika percobaan dimulai pada saat t = 0, suatu sistem terdiri 10
miligram Y. Nyatakan banyaknya setelah waktu t.
21. Suatu koloni bakteri bertumbuh secara eksponensial. Diambil P(t) sebagai ukuran
populasi yang diukur dalam miligram. Diandaikan pada saat t= 0 jam populasinya
adalah 10 mg, ketika t= 2 jam populasinya adalah 16 mg.
(a) Nyatakan populasi untuk setiap saat.
(b) Perkirakan populasinya ketika t= 5 jam.
22. Suatu koloni bakteri bertumbuh secara eksponensial. Diambil P(t) sebagai ukuran
populasi yang diukur dalam miligram. Diandaikan pada saat t= 0 jam populasinya
adalah 20 mg, daan menjadi dua kali lipatnya ketika t= 2,5 jam.
(a) Nyatakan populasi untuk setiap saat.
(b) Perkirakan populasinya ketika t= 6 jam.23. Suatu populasi serangga dalam suatu daerah meningkat pada laju yang sebanding
dengan populasinya pada saat itu. Dengan meniadakan faktor luar, populasi
berkembang tiga kali lipat dalam waktu dua minggu. Pada suatu hari terdapat
migrasi 15 serangga ke daerah tersebut dan 16 dimakan oleh populasi burung lokal
dan 7 meninggal karena alam. Jika mula-mula terdapat 100 serangga dalam daerah
itu, apakah populasi akan bertahan? Jika tidak, kapan mereka semua akan mati?
24. Suatu obat X sedang diatur melalui urat nadi sebanyak 6 mg per jam. Ginjal
memindahkan obat atau racun dari aliran darah dengan laju 30% dari jumlah yang
diberikan ketika waktu t yang diukur dalam jam. Ketika perawatan dimulai pada
waktu t= 0, badan tidak berisi obatX.
(a) Tentukan banyaknya obat dalam darah pada saat t.
(b) Tingkat kandungan dari obat terjadi ketika darah terdiri paling sedikit 5 mg.
Kapan tingkat kandungan terjadi pertama kali?
25. Diandaikan bahwa temperatur suatu cangkir kopi mengikuti hukum pendinginan
Newton. Jika kopi mempunyai temperatur 200Fketika baru saja dituangkan, dan 1
menit sesudahnya telah dingin sampai 190Fdalam suatu ruang pada 70F, tentukan
kapan kopi mencapai temperatur 150F.
26. Diandaikan bahwa suatu mayat ditemukan dalam suatu ruang hotel pada tengah
malam yang bertemperatur 80 F. Suhu ruangan tetap pada 60 F. Dua jam
kemudian temperatur mayat turun sampai 75F. Tentukan waktu kematian.
7/27/2019 Diktat PDB1
47/82
&"#,#"" D7
43
27. Untuk rangkaianRL pada Gambar 3.5, tentukan arusI(t) jika diketahuiR = 100 ohm,
L = 2,5 henry,E0 = 110 volt, danI(0) = 0.
28. Tentukan persamaan untuk arusI(t) dalam rangkaianRL pada Gambar 3.5 jikaI(0) =0,E0 = 110 volt,R = 550 ohm, danL = 4 henry. Kapan arus mencapai 90% dari nilai
batasnya?
29. Tentukan kuat arus dalam rangkaian RL pada Gambar 3.5 jika R 1 ohm, L = 1
henry, dan E(t) = 1 voltuntuk 0 t 3 detik, E(t) = 0 untuk t> 3 detik, dengan
syarat awalI(0) = 0,5 ampere.
30. Tentukan kuat arus dalam rangkaian RL pada Gambar 3.5 jika R = 1 ohm, L = 10
henry, danE(t) = 6 voltuntuk 0 t 10 detik,E(t) = 0 untuk t> 10 detik, dengan
syarat awalI(0) = 6 ampere.
31. Tentukan kuat arus dalam rangkaianRL pada Gambar 3.5 jikaR = 2 ohm,E(t) = 4
volt, L(t) = (100 t) henry untuk 0 t 100 detik, L(t) = 0 untuk t> 100 detik,
dengan syarat awalI(0) = 0 ampere.
32. Tentukan kuat arusI(t) dalam rangkaianRCpada Gambar 3.6 jikaR = 100 ohm, C=0,01farad, danE(t) = 110sin(314t) volt, dengan syarat awalI(0) = 0 ampere.
33. Tentukan kuat arusI(t) dalam rangkaianRCpada Gambar 3.6 jikaE= 100 volt, C=
0,25farad, danR berubah-ubah menurut rumusR = (100 t) ohm pada 0 t 100
detik,R = 0 pada t> 100 detik, dengan syarat awalI(0) = 1 ampere.
Untuk soal 34 38, carilah penyelesaian keadaan stabil untuk (15) jikaR = 50 ohm, C=
0,04farad, danE(t) sama dengan
34. 125
35. 125sin(t)
36. 110cos(314t)
37. 100cos(2t) + 25sin(2t) + 200cos(4t) + 25sin(4t)38.
te50 + 1012sin(t)
7/27/2019 Diktat PDB1
48/82
44
$
%
#(%%"
#(%+%%" #$''%,+"
#%(++%++"
#%(!*-"
# ( +% + % $"
Pada umumnya persamaan tingkat dua atau tingkat tinggi lebih sulit untuk
diselesaikan daripada persamaan tingkat satu, dengan demikian akan dikonsentrasikan
terutama pada kasus paling sederhana dari persamaan linear dengan koefisien-koefisienkonstan. Pertama kali akan diperlihatkan dua kasus tak linear yang khusus.
$, %%
, &-4#%&&7#,
Diberikan persamaan diferensial tingkat dua dalam bentuk
( )yxFy = , (1)
dengan ( )yxF , adalah fungsi kontinu. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial jenistersebut dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
Langkah 1. Diambil zy = , denganz =z(x), maka dipunyai zy = .
Langkah 2. PD (1) direduksi ke persamaan diferensial tingkat satu menjadi( )zxFz ,= (2)
dan diselesaikan untukz.
Langkah 3. Disubstitusikan kembali yz = dan diselesaikan untuky.
Penyelesaian akhir akan mempunyai dua konstanta sebarang, katakan k1 dan k2.
Pada umumnya hal ini adalah merupakan kasus dari semua persamaan tingkat dua.
Dengan dua konstanta sebarang maka diperlukan dua syarat untuk mendapatkan suatu
penyelesaian tunggal. Terdapat dua jenis syarat:
1. Syarat awal:y(x0) = a dan ( ) bxy = 0 , yang menetapkan suatu nilai dan kemiringanfungsi di suatu titik tunggal.
2. Syarat batas:y(x1) = a dany(x2) = b, yang menetapkan suatu nilai untuk setiap dua
titik berbeda.
7/27/2019 Diktat PDB1
49/82
!"
&"#,#"" D7
45
1..2$,,Selesaikan masalah nilai batas untuk
0=+ yyx ,y(1) = 1 dany(3) = 0.-#,
Langkah 1. Diambil )(xzy = , maka dipunyai zy = .
Langkah 2. Persamaan awal direduksi dan diselesaikan:
0=+ zzx x
dx
z
dz= ln(z) = ln(x) + k
x
kz 1= .
Langkah 3.x
ky 1= 21 )ln( kxky += .
Langkah 4. Karenay(1) = 1 dany(3) = 0, makak2 = 1 dan k1ln(3) + k2 = 0
3ln
11 =k .
Jadi3ln
ln1
xy = .
1..2$,,"Selesaikan persamaan
( ) 0321 22 =+++ xyxyx .-#,
Langkah 1. Diambil )(xzy = , maka dipunyai zy = .
Langkah 2. Persamaan awal direduksi dan diselesaikan:
) 0321 22 =+++ xxzzx ( )222 1
3
1
2
xxz
x
xz
+=
++
z =( )
+
++
+ 12222 1
2exp
1
3
1
2exp kdxdx
x
x
xxdx
x
x
=( )22
1
1
3
1 xxx
k
++
+
Langkah 3. y =( ) +
++
dxxx
dxx
k22
1
1
3
1
= ( ) 22231 1lnln3arctan kxxxk +++ .
, &-4#%&&7##,Diberikan persamaan diferensial tingkat dua dalam bentuk
( )yyFy = , (3)
dengan ( )F y y, adalah fungsi kontinu. Untuk menyelesaikan persamaan diferensialjenis tersebut dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
Langkah 1. Diambil py = , denganp =p(y), maka dipunyai
yd
pdp
xd
yd
yd
pd
xd
pdy === . (4)
7/27/2019 Diktat PDB1
50/82
!"
&"#,#"" D7
46
Langkah 2. Persamaan diferensial (3) direduksi ke tingkat satu menjadi
( )pyFdydpp ,= (5)
dan diselesaikan untukp.
Langkah 3. Disubstitusikan kembali yp = dan diselesaikan untuky.
1..2$,,$Selesaikan persamaan diferensial berikut ini dengan reduksi tingkat:
yyy = .
-#,
Langkah 1. Diambil )(ypy = , maka dipunyaidy
dppy = .
Langkah 2. Persamaan awal direduksi dan diselesaikan:
ypdy
dpp = 0=
y
dy
dpp
(i) p = 0, atau
(ii) 0= ydy
dp dyydp =
22
12
12 kyp += .
Langkah 3. Disubstitusikandx
dyp = , diperoleh
(i) y = k, atau
(ii) ( )2
122
1kydx
dy+= 222
1
dx
yk
dy=
+
21
1
1 2
1tan
1kx
k
y
k+=
2112
11 tan kkxkky += .
Jadi penyelesaian umum untuk PD yaitu
( )
+=
431 tan kxkk
ky
dengan 121
3 kk = dan k4 = k1k2.
1..2$,,!Selesaikan persamaan diferensial berikut ini dengan reduksi tingkat:
( ) 032 =+ yey y .-#,
Langkah 1. Diambil )(ypy = dan dipunyaidy
dppy = .
Langkah 2. Persamaan awal direduksi dan diselesaikan:
032 =+ pedy
dpp
y 022 =
+ pe
dy
dpp
y
(i) p = 0, atau
7/27/2019 Diktat PDB1
51/82
!"
&"#,#"" D7
47
(ii) 022 =+ pedy
dp y dye
p
dp y22
= 1
2
21
1
kep
y+
= .
Langkah 3. Disubstitusikandx
dyp = , diperoleh
(i) y = k, atau
(ii)
12
21
1
kedx
dyy
+= ( ) dxdyke y =+ 1221 21
2
41 kxyke y +=+ .
Jadi penyelesaian umum untuk PD yaitu
+=+
=
212
41 kxyke
kyy .
1..2$,,'Selesaikan persamaan diferensial
( ) 01
12
=
++ y
yy .
-#,
Langkah 1. Diambil )(ypy = dan dipunyaidy
dppy = .
Langkah 2. Persamaan awal direduksi dan diselesaikan:
01
1 2 =
++ p
ydy
dpp 0
11 =
++ p
ydy
dpp
(i) p = 0, atau
(ii) 01
1 =
++ p
ydy
dp dy
yp
dp
+=
11
y
ekp
y
= 1 .
Langkah 3. Disubstitusikandx
dyp = , diperoleh
(i) y = k, atau
(ii)y
ek
dx
dyy
= 1 dxkdyyey
1= ( ) 211 kxkeyy
+=
+=
1
ln 21
y
kxky .
Jadi penyelesaian umum untuk PD yaitu
( )
=
=
+
121ln
y
kxky
ky.
./.))+$,Untuk soal 1 16, selesaikan persamaan diferensial dengan reduksi tingkat.
1. ( )3yyy += 2. 1=+ yyx
3. 02 =+ yyx 4. yyx = 32
5. 1+=+ xyy 6. )tanh(xyy =
7. ( )21 yy += 8. ( )2yyyx =+
7/27/2019 Diktat PDB1
52/82
!"
&"#,#"" D7
48
9. ( ) 02 =+ yyy 10. ( ) 03 =+ yyy
11. ( )
2
2 yyy=
12. ( ) 02
=+yyy
13. ( ) 03 =+ yey y 14. ( ) 02 2 =+ yy
15. ( ) 0)cos(3 =+ yyy 16. ( )( ) 01 21 =++ yyy
17. Selesaikan masalah nilai awal 12 =++ xyyx ,y(1) = 2, 1)1( =y .
18. Carilah kurvay(x) yang melalui titik asal yang bersifat yy = dan garis tangennya
di titik asal adalahy =x.
19. Carilah kurvay(x) yang melalui (0, 0) dan (1, 1) yang bersifat ( )22 yyy = .
20. Carilah kurva y(x) yang melalui titik asal yang bersifat yy 12= dan garis
tangennya di titik asal adalah sumbu-x.
$, %8
$,,{y1(x),y2(x), ,yn(x)} dikatakan tidak bebas linear (linear dependent) jika terdapat
konstanta-konstanta k1, k2, , kn yang tidak semuanya nol sehingga
k1y1(x) + k2y2(x) + + knyn(x) = 0.
Jika bukan kasus tersebut, maka fungsi-fungsi tersebut dikatakan bebas linear (linear
independent).
$,,
Wronskian dari {y1(x), y2(x), , yn(x)} yang bersifat bahwa setiap fungsimempunyai derivatif sampai tingkat ke-(n 1), adalah
( )
)1()1(2
)1(1
21
21
21
21 ,,,
=
nn
nn
n
n
n
n
yyy
yyy
yyy
yyy
yyyW
.
.$,,Jika Wronskian dari {y1(x), y2(x), , yn(x)} adalah tak nol di suatu titik tertentu x0,
maka himpunan fungsi adalah bebas linear di titikx0.,
Diasumsikan terdapat n konstanta real k1, k2, , kn sehingga
k1y1(x0) + k2y2(x0) + + knyn(x0) = 0.
Diderivatifkan terhadap x sampai (n 1) kali, diperoleh suatu sistem n persamaan
homogen dalam k1, k2, , kn:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=+++
=+++
=+++
=+++
0
0
0
0
0
)1(
0
)1(
220
)1(
11
0022011
0022011
0022011
xycxycxyc
xycxycxyc
xycxycxyc
xycxycxyc
n
nn
nn
nn
nn
nn
.
7/27/2019 Diktat PDB1
53/82
!"
&"#,#"" D7
49
Berdasarkan hipotesis, Wronskian dari himpunan n fungsi {y1(x), y2(x), , yn(x)}
adalah tak nol di suatu titik tertentux0, yaitu
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0)1(
0)1(
20)1(
1
00201
00201
00201
0
=
xyxyxy
xyxyxy
xyxyxyxyxyxy
xW
nn
nn
n
n
n
.
Oleh karena itu sistem akan mempunyai penyelesaian trivial, yaitu
k1 = k2 = = kn = 0.
Jadi, himpunan n fungsi {y1(x),y2(x), ,yn(x)} adalah bebas linear dix =x0.
1..2$,,
Tentukan Wronskian dari fungsi-fungsi berikut(a) {sin 3x, cos 3x} (b) {x,x
2,x
3}
-#,
(a) 33cos33sin33sin33cos3
3cos3sin)( 22 ==
= xx
xx
xxxW .
(b)32
32
2
620
321)( x
x
xx
xxx
xW == .
1..2$,,
Tunjukkan bahwa fungsi {1 x, 1 +x, 1 3x} tidak bebas linear untuk semua nilaix.-#,
Wronskian {1 x, 1 +x, 1 3x} yaitu
0
000
311
3111
)( =
+
=
xxx
xW
untuk semua nilaix. Oleh karena itu fungsi {1 x, 1 +x, 1 3x} adalah tidak bebas
linear untuk semua nilaix.
$," 2&
.$,",Persamaan diferensial tingkat dua homogen selalu mempunyai dua penyelesaian yang
bebas linear. Jika y1(x) dan y2(x) adalah dua penyelesaian yang bebas linear untuk
persamaan, maka
y(x) = k1y1(x) + k2y2(x)
adalah penyelesaian umumnya.
Secara khusus, persamaan linear tingkat dua homogen mempunyai bentuk
0)()(2
2
=++ yxQxd
ydxP
xd
yd. (6)
Jikay1(x) dany2(x) adalah dua penyelesaian bebas linear dari persamaan tersebut, maka
7/27/2019 Diktat PDB1
54/82
!"
&"#,#"" D7
50
y(x) = k1(x)y1(x) + k2(x)y2(x) (7)
adalah penyelesaian umum untuk persamaan (6).
.$,",Diandaikany1(x) dany2(x) adalah dua penyelesaian bebas linear dari persamaan (6),
maka fungsi koefisien (coefficient functions) P(x) dan Q(x) secara tunggal ditentukan
olehy1(x) dany2(x).
,Berdasarkan hipotesis,y1(x) dany2(x) adalah dua penyelesaian yang bebas linear dari
persamaan. Dipunyai
=++
=++
0)()()()()(
0)()()()()(
222
111
xyxQxyxPxy
xyxQxyxPxy.
Persamaan tersebut dapat diperlakukan sebagai persamaan linear homogen dalam
variabel P(x) dan Q(x). Karena y1(x) dan y2(x) adalah bebas linear,
makaWronskiannya
)()()()()( 212121
21xyxyxyxy
yy
yyxW =
=
adalah tak nol. Karena itu persamaan linear mempunyai penyelesaian tunggal untuk
P(x) dan Q(x) yang diberikan oleh
)(
)(
)()()()(
)()()()()(
2121
2121
xW
xW
xyxyxyxy
xyxyxyxyxP
=
=
dan
)(
)()()()()( 2121
xW
xyxyxyxyxQ
= .
.$,","Diandaikan u(x) adalah penyelesaian tak nol dari persamaan (6), maka
[ ]
=x
x
x u
ddttPxuxv
0 02
)()(exp)()( (8)
adalah penyelesaian khusus untuk persamaan.
,
Berdasarkan hipotesis, u(x) dan v(x) adalah penyelesaian persamaan. Maka dipunyai
(i) 0)()()()()( =++ xuxQxuxPxu
dan
(ii) 0)()()()()( =++ xvxQxvxPxv .
Dari (i) v(x) (ii) u(x), diperoleh
( ) ( ) 0)( =+ vuvuxPvuvu yang berarti
( ) ( ) 0)( =+ vuvuxPvuvu
yang merupakan persamaan linear tingkat satu dalam ( )vuvu , dan diperolehpenyelesaiannya yaitu
= x
xdttPvuvu
0
)(exp