8/17/2019 Deber Variables Multidimensionales
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VARIABLES MULTIDIMENSIONALES
1. Siendo
( ), 0.5 f x y xy=
la densidad de la probabilidad conjuna de la !ariable
( ), X Y
de"nida en el iner!alo para
( )0;2 X
#$ para
( )0;Y x
. %&robar si X
eY
son
independienes'
( )
( )
( )2 2
2
00 0 0
22
3 4
00
, 0,5
Probar si es : 0,5 1
10,5
4
1 11
4 16
xy R
x x
f x y xy
fdp xy dxdy
xy dy dx xy dx
y dx y
=
=
=
= = =
∫∫
∫ ∫ ∫
∫
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
22
2
00
22
2
00
:
1.2.
3. ,
1, 0,5
4
1, 0, 5
4
, 0,5 1
2
, 0, 5 1
2
,
Ry
Rx
Si X yY sonindependientes
f x y f x f y x g y
f x g y f x y
f x f x y dy xy dy xy x
g y f x y dx xy dy x y y
f x y xy f x y x x
g y y
f x y xy f y x y y
f x x
f x g y xy f x y
No son independ
==
=
= = = =
= = = =
= = = ≠
= = = ≠
= ≠
∴
∫ ∫
∫ ∫
ientes
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(. Siendo
( ) 2 2, 3 3 f x y x y y x= +
la densidad de la probabilidad conjuna de la
!ariable
( ), X Y
de"nidas en el iner!alo
( )0;1
. %)u*l es el !alor de
( )1 E Y x =
'
( )
( )
( )
2 2
2 2
11 1 1
2 2 2 2 3
00 0 0
11
2 3 2
00
, 3 3
Probar si es : 3 3 1
33 3
2
3 1 1 12 1
2 2 2 2
xy R
f x y x y y x
fdp x y y x dxdy
x y y x dy dx x y y x dx
x x dx x x
= +
+ =
+ = +
+ = + = = ÷ ÷
∫∫
∫ ∫ ∫
∫
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )( )
1
2 2 2
0
2 2
2
2 2
2
1
2 2 3 2
2 2
0
2
2
,; ,
33 3
2
3 3
3
2
3 3
3
2
2 2 33 3
42 3 2 3
4 3
2 2 3
Ry
Ry
Ry
E y x yg y x dx
f x y g y x f x f x y dy
f x
f x x y y x dy x x
x y y x g y x
x x
x y y x E y x y dy
x x
x y y x dy x x x x x x
x x E y x
x x
E y x
=
= =
= + = +
+=
+
+ ÷
= = ÷
÷+ ÷
+ = + ÷ ÷ ÷+ +
+ ÷= ÷+
=
∫
∫
∫
∫
∫
( ) 7
1 0, 710
= =
Eseban Alejando Vaca )erda+r1
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,. De-osrar ue
( ) ( ){ }/ E X E E X y=
#
( ) ( ){ }/ E Y E E Y x=
.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
,
,
,
,
,
,
Rx
Rx
Ry
Ry Rx
Ry Rx
Ry Rx
Ry Rx
Rx Ry
Rx Ry
f x
E x xf x dx
E x y xf x y dx H y
E H y H y g y dy
E E x y xf x y dx g y dy
E E x y xf x y g y dxdy
f x y f x y
g y
f x y E E x y x g y dxdy
g y
E E x y xf x y dxdy
E E x y xf x y dydx
E E x y x f x y dy dx
f x f x y
=
= =
=
=
=
=
=
==
=
=
∫
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ 1 442 4 43
( )( ) ( ) ( )
Ry
Rx
dy
E E x y xf x dx E x= =
∫
∫
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
,
,
,
,
,
,
Ry
Ry
Rx
Rx Ry
Rx Ry
Rx Ry
Rx Ry
Ry Rx
Ry Rx
g y
E y yg y dx
E y x yg y x dy H x
E H x H x f x dx
E E y x yg y x dy f x dx
E E x y yg y x f x dydx
f x y g y x
f x
f x y E E x y y f x dydx
f x
E E x y yf x y dydx
E E x y yf x y dxdy
E E x y y f x y dx dy
g y f x y dx
=
= =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ 1 442 4 43
( )( ) ( ) ( )
Rx
Ry
E E x y yg y dy E x= =
∫
∫
Eseban Alejando Vaca )erda+r1
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/. De-osrar ue una re0resin lineal enre dos !ariables. El coe"ciene de
correlacin -uesral
( ) xy R
puede ser calculado alernai!a-ene por2
xy
Sxy R
Sxx Syy=
×
( )
( )∑∑
−
−=
2
2
2 )(ˆ
y y
y x y R
i
i
xy
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2
2
0 12
2 2 22
0 1 1 1 1 1
2 2 2 2
2
22
2 2 2 41 1
2 2
ˆ( ): 0 1
ˆ( )ˆ
ˆ( )
i
xy xy
i
i
xy i i
i
i i ii
i i i i
xy
xxi xx xx
yyi
y x y Por definición R donde R
y y
y x y R sea y x A A x
y y
A A x y y A x A x y A x A x y x y
y y y y y y y y
S S
A x x A S S
S S y y
−= ≤ ≤
−
−= = +
−
+ − − + − − +−= = = =
− − − −
−
= = =−
∑∑
∑∑
∑ ∑ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑
∑∑( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2 2 _
2 22
xy xy
xy
yy yy xx yy xx
i i i
i xx
S S
RS S S S
x x x x x x x x S
n n n n
= → =
−= − + = − =
∑ ∑ ∑ ∑
Eseban Alejando Vaca )erda+r1
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3. De-osrar ue en una re0resin lineal -4liple$ el coe"ciene de la re0resin
se puede calcular por2
2
22
33
2
22
2
112
yy
mym y y y
S
S AS AS AS A R
++++=
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2
2
2
0 12
22
0 1 1 2 2
2 2
2
1 1 2 2 1 1 2 2
2
1 1 1 2 2 2
ˆ( ): 0 1
ˆ( )ˆ
....ˆ( )
... ...
i
xy xy
i
i
xy i i
i
n ni
i i
n n n n
i
y x y Por definición R donde R
y y
y x y R sea y x A A x
y y
A A x A x A x y y x y
y y y y
y A x A x A x A x A x A x y
y y
A x x A x x
−= ≤ ≤
−
−= = +
−
+ + + + −−= =
− −
− − − − + + + + −=
−− + −
=
∑∑
∑∑
∑∑∑ ∑
∑
∑( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
22 211 22
1 12
2
2
2 2 22 2 2
1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2
2
2 2 2 2
1 11 2 22
....
... 2 ....
nnn
n n n
yy
S S S S S
n n n n n n n
yy
A x x
S
A x x A x x A x x A A x x x x A A x x x x A A x
S
A S A S
+ + −
− + − + + − + − − + + − − + =
+ + +=
∑
∑64 7 48 64 7 48 64 7 48 6 4 44 7 4 4 48 6 4 44 7 4 4 48 6
( ) ( ) ( )
1 2
2 2
1 2 12 1 1 2 2
2
2 2 2
1 1 11 2 12 1 2 1 21 2 22 2 1 1 2 22
1 11
2
... 2 ... 2 2
... ... .... ...
y y ny
n nn n n n n
yy
S S S
n n n n n n n n n n
yy
n
A S A A S A A S A A S
S
A A S A S A S A A S A S A S A A S A S A S
S
A S
A
A
+ + + + +
+ + + + + + + + + + + +=
6 4 4 4 4 7 4 4 4 4 8 6 4 4 4 44 7 4 4 4 4 48 6 4 4 4 44 7 4 4 4 4 48
M
22
1 1 11 2 12 1112 1
222 1 21 2 22 2221 22 2
2 21 2 1 1 2 2
1 1 2 2
2
...
...
...
....
y n n yn
y n n yn
n n nn ny n n n n nny
y y n ny
yy
S A S A S A S S S S
S A S A S A S S S S S
S S S S A S A S A S S
A S A S A S
S
= + + + = + + + = = + + + + + +
=
L
L
M M O M MM
L
5. Los daos e6peri-enales dados de( ), , ,i i i X Y Z
se ajusan esad7sica-ene
8M7ni-os cuadrados9 a una e6presin no lineal de la :or-a2
B C Z A X Y = × ×.
Encuenre los !alores de A$ B # ) # el coe"ciene de la re0resin R(.
8Lineali;ar por -edio de lo0ari-os9
Eseban Alejando Vaca )erda+r1
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( ) ( )
( ){ { { { { {
0 1 2
0 1 2
ln ln
ln ln ln ln
B C
B C
x y A A A z
Z A X Y
Z A X Y
Z A B X C Y
z A A x A y
= × ×
= × ×
= + +
= + +
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
_ 22 2 2
_ 22 2 2
_ 2 2 2 2
1
2
1, 45 0, 98 0, 50
0, 82 0, 38 0, 68
6,84 1,7 1 3,9 3
0, 94 0, 98 0, 38 0, 57
3, 06 0, 98 1, 71 1, 39
2, 27 0, 38 1, 71 1, 630,50
0,5
xx i
yy i
zz i
xy yx
xz
yz
S x x
S y y
S z z
S S xy x y
S xz x z
S yz y z A
A
= − = − − =
= − = − − =
= − = − =
= = − = − − − =
= − = − − − = −
= − = − − − = −
=
( ) ( )
( ) ( )
1
1
2
0
2
1,18 1,41
0, 57 1, 39 1,18
7 0, 68 1, 63 1, 41
1,71+1,18 0,98 1,41 0,38 0,0264
1,18 1,3 9 1,4 1 1,6 3 0, 9999
3,93
!"0,0264 1,18 1, 41
1, 0267515
1,18
1,41
1,03
A
A
A
x y
A
B
C
Z X Y
Calclode R dee
−
− −
− = − − = −
= − + − =
− − − −= =
− −== −= −
= × ×
( )
( )
15 2
2 1
152
1
ˆ152735,62
0,9829155391,18
n
n
xponencial
Z Z
R
Z Z
=
=
−= = =
−
∑
∑
Eseban Alejando Vaca )erda+r1
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>. Una eor7a :7sica =ace pre!er ue y depender* de x se04n la e6presin
22 y C x p+ =
$ donde ) # p son dos consanes nu-?ricas. Esi-e los -ejores
!alores de ) # p por -edio del -?odo de los -7ni-os cuadrados a parir de
los daos si0uienes2
x 1 ( , / 3 5 <
y @.(
@.5
@.>
1./
(.5
,.(
3.@
Eseban Alejando Vaca )erda+r1
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{{ {
( ) ( )
( )
( )
( )
0
1
2
1
2 2
0
0 1
1 2
12
0 1 2
2 2
2 2
1
0
2
1
21
2
668,00 20,00 268,00
6, 43 1, 97 2, 54
65, 34 1, 97 20, 00 25, 91
25,910,097
268,00
1,97 0,097 20,00 0,038
t A
A
ty
tt
ty
yy
tt
yy
ty
y C x p
A p
y x C t x p
A C
y A A t
S A
S
A S A y A t R
S
S
S
S
A
A
R
+ =
== − =
= −
= +
=
= − =
= − =
= − =
= − =
= =
= − =
= ( ) ( )
( )
2
0,097 25,910,985
2,54
0,038 0,097
0,038 0,097
y t
y x
=
= +
= +
Eseban Alejando Vaca )erda+r1
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. Esable;ca la ecuacin de re0resin para los daos ue si0uen$ sabiendo ue
la ecuacin erica es de la :or-a
c x y!a z ⋅⋅= 8Lineali;ar por -edio de
lo0ari-os9
{ { { { { {0 1 3
0 1 3
ln ln ln ln
x c
Z X A A A Y
z a! y
z a x ! c y
Z A A X A Y
== + +
= + +
i x y z X Y Z X^2 Y^2 Z^2 X*Y X*Z Y*Z
1 2,00 2,00 4,00 2,00 0,69 1,39 4,00 0,48 1,92 1,39 2,77 0,96
2 2,00 1,00 6,00 2,00 0,00 1,79 4,00 0,00 3,21 0,00 3,58 0,00
3 0,00 5,00 1,00 0,00 1,61 0,00 0,00 2,59 0,00 0,00 0,00 0,00
4 1,00 3,00 3,00 1,00 1,10 1,10 1,00 1,21 1,21 1,10 1,10 1,21
5 2,00 4,00 2,00 2,00 1,39 0,69 4,00 1,92 0,48 2,77 1,39 0,96
Suma 7,00 4,79 4,97 13,00 6,20 6,82 5,26 8,84 3,13
Promedio 1,40 0,96 0,99 2,60 1,24 1,36 1,05 1,77 0,63
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
_ 2 2 2 2
_ 2 2 2 2
_ 2 2 2 2
1
2
2,60 1,40 0,64
1,24 0,96 0,32
1,36 0,99 0,38
1, 05 1, 40 0, 96 0, 29
1,77 1,40 0,99 0,38
0, 63 0, 96 0, 99 0, 33
0, 64 0, 29
0, 29 0
xx i
yy i
zz i
xy yx
xz
yz
S x x
S y y
S z z
S S xy x y
S xz x z
S yz y z
A
A
= − = − =
= − = − =
= − = − =
= = − = − = −
= − = − =
= − = − = −
− = −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
2
0
2
0,81
0,38 0,223
,32 0,33 0,81
0,990,223 0,96 0,81 1,40 1,46
0,223 0,38 0,81 0,33 0,93
0,38
"1,46+0, 223 0,81
4,29
1, 25
4,29 1, 25 x x c
A
A
A
X Y
a
!
z a! y y
−
−
= − = − = + =
− −= =
−==
= =
Eseban Alejando Vaca )erda+r1
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1@.&ara los daos si0uienes$ deer-inar2 a9. La reca de -7ni-os cuadrados$
b9. La par*bola de -7ni-os cuadrados$ # c9. %)u*l de los casos es un -ejor
ajuse # por u?'
a9 La reca de -7ni-os de cuadrados2
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
0
1
2
2
11 3 2
7,308 2,04 3,15
8, 54 3 2, 04 2, 42
2,421,21
2
2, 04 1, 21 3 1, 59
1,21 1,59
2, 42 2, 42 1, 21
0,933,15 2 3,15
xx
yy
xy
S
S
S
A
A
y x
R
= − =
= − =
= − =
= =
= − = −
= −
= = =
b9 La par*bola de -7ni-os cuadrados
c)
i
d)
x
e)
t
f)
y
g)
x
h)
t
i)
y
j)
x
k)
x
l)
t
m)
1
n)
1
o)
1
+)
0
)
1
r)
1
s)
0
$)
1
*)
0
)
0
w)
2
)
2
)
4
!)
0
aa)
4
ab)
1
a%)
0
a()
8
ae)
1
a&)
2
ag)
3
a)
3
ai)
9
a')
1
a)
9
al)
8
a)
2
an)
2
ao)
4
a+)
1
Eseban Alejando Vaca )erda+r1
i x y x^2 y^2 x*y
1 1 0,2 1 0,04 0,2
2 2 0,5 4 0,25 1
3 3 1,5 9 2,25 4,5
4 3 16 9 12
! 5 5 25 25 25
Suma 15 10,2 55 36,54 42,7
Promedio 3 2,04 11 7,308 8,54
8/17/2019 Deber Variables Multidimensionales
12/17
a")
ar)
4
as)
1
a$)
3
a*)
1
a)
2
a)
9
a)
6
a)
1
a!)
4
#a)
!
bb)
5
b%)
2
b()
5
be)
2
b&)
6
b)
2
b)
1
bi)
2
b')
1
#k)
S
bl)
1
b)
5
bn)
1
bo)
5
b+)
9
b)
3
br)
2
bs)
4
b$)
1
#u)
P
b)
3
b)
1
b)
2
b)
1
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1
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7
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4
%%)
8
%()
3
ce9
{
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
0 1 2
0 1 2
2 2
2 2
2 2
1
1 1
2
11 3 2
7,308 2,04 3,15
195,80 11,00 74,8
8, 54 3 2, 04 2, 42
45,00 11,00 3,00 12
37,74 11,00 2,04 15,3
2 12 2,42
12 74,8 15,3
t
xx
yy
tt
xy
xt
ty
y A A x A x
y y A A x A t
S
S
S
S
S
S
A A
A
−
= + +
= = + +
= − =
= − =
= − =
= − =
= − =
= − =
= − =
( ) ( )
( ) ( )
2
0
2
2
0,47
0,28
2,04+0,47 3,00 0,28 11,00 0,36
0,47 2,42 0,28 15,3 0,9993,15
0,36 0,47 0,28
A
A
y x x
=
= − =
− += =
= − +
c:9 De lo expuesto en las regresiones se concluye que la curva cuadrtica se a!usta
"e!or a los datos#
cg$
11.Enconrar una cur!a de re0resin # deer-inar el 0rado de ajuse del
si0uiene 0rupo de !alores2
c%$
ci$ De la gr&ca se deduce que la relaci'n entre las varia(les es lineal)
cj) n ck) x cl) y
cm)x
^
2
cn) y
^
2
co) x
y
cp) 1 cq) 1 cr) 5 cs) 2 ct) 2 cu) 8
Eseban Alejando Vaca )erda+r1
8/17/2019 Deber Variables Multidimensionales
13/17
5
,
0
0
,
4
3
2
5
,
0
0
9
,
4
8
1
,
4
5
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cw) 2
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0
0
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,
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0
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2
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0
0
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3
6
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0
0
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,
0
0
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2
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3
5
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0
0
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,
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5
0
0
,
0
0
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7
,
2
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0
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0
0
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d!) 7
0
,
0
0
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,5
2
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0
0
,
0
0
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2
,
5
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5
6,
4
0
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0
,
0
0
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,
9
5
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,
0
0
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0
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0
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0
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2
2
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6
2
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1
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Eseban Alejando Vaca )erda+r1
8/17/2019 Deber Variables Multidimensionales
14/17
0
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r
o
m
e
d
i
o
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7
,
5
0
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7
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17
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1
0
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0
1
,
9
5
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e"$
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( ) ( )
( ) ( )
0 1
2 2
2 2
1
0
2
2929,17 47,50 672,92
37,10 6, 07 0, 28
301,95 47,50 6,07 13,70
13,700,02
672,92
6, 07 0, 02 4 7, 50 5,1
0,02 13,700,999
0,28
5,1 0,02
xx
yy
xy
y A A x
S
S
S
A
A
R
y x
= +
= − =
= − =
= − =
= =
= − =
= =
= +
en$
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8/17/2019 Deber Variables Multidimensionales
15/17
8/17/2019 Deber Variables Multidimensionales
16/17
6 1,0 6
6
0
0
,
0
0
1 4 6 41 6
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a)
8
b)
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,
0
0
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0
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6
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52
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2
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4
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33
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id9
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( ) ( )
( ) ( )
_ 2 2 2 2
_ 2 2 2 2
_ 2 2 2 2
1
2
2300 43,33 422,22
1,43 1,17 0,068
71,63 8,37 1,63
45, 83 43, 33 1,17 4, 72
339, 83 43, 33 8, 37 22, 72
9,94 1,17 8,37 0,178
422
xx i
yy i
zz i
xy yx
xz
yz
S x x
S y y
S z z
S S xy x y
S xz x z
S yz y z
A
A
= − = − =
= − = − =
= − = − =
= = − = − = −
= − = − = −
= − = − =
=
( ) ( )
( ) ( )
1
1
2
0
2
, 22 4, 72 22, 72 0,11
4, 72 0, 068 0,1788 4,68
8,37+0,11 43,33 4,68 1,17 18,428
0,11 22,72 4,68 0,178 0,9649
1, 63
/"18,428 0,11 4,68
A
A
A
X Y
− − − = −
− = − = + =
− − −= =
− −
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i*$
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