8/3/2019 Connectivity Augmentation
http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 1/23
A . F r a n k , C o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s i n n e t w o r k d e s i g n , i n : M a t h e m a t i c a l P r o g r a m m i n g : S t a t e o f
t h e A r t 1 9 9 4 , e d s . , J . R . B i r g e a n d K . G . M u r t y ) , T h e U n i v e r s i t y o f M i c h i g a n , p p . 3 4 - 6 3 . ( W i t h t h e r e f e r e n c e s
s l i g h t l y u p d a t e d ) .
C O N N E C T I V I T Y A U G M E N T A T I O N
+
A n d r a s F r a n k *
A p r i l 1 9 9 4
A B S T R A C T T h e p r o b l e m o f c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n c o n s i s t s o f n d i n g a m i n i m u m c o s t o f n e w e d g e s t o b e
a d d e d t o a g i v e n g r a p h s o a s t o s a t i s f y s o m e p r e s c r i b e d c o n n e c t i v i t y r e q u i r e m e n t s . T h i s p a p e r s u r v e y s c a s e s w h e n
p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m s a n d / o r g o o d c h a r a c t e r i z a t i o n s a r e a v a i l a b l e f o r t h e m i n i m u m .
1 . I N T R O D U C T I O N
I n n e t w o r k d e s i g n i t i s a f u n d a m e n t a l p r o b l e m t o c o n s t r u c t g r a p h s o r s u b g r a p h s o f a g r a p h o f m i n i m u m c o s t
s a t i s f y i n g c e r t a i n c o n n e c t i v i t y s p e c i c a t i o n s .
S h o r t e s t p a t h s b e t w e e n t w o s p e c i e d n o d e s , o r m i n i m u m c o s t s p a n n i n g t r e e s m a y b e v i e w e d a s ( w e l l - k n o w n )
s p e c i a l c a s e s o f t h i s p r o b l e m . V e r y o f t e n a s t a r t i n g g r a p h i s a l r e a d y a v a i l a b l e a n d t h e g o a l i s t o a u g m e n t t h e g r a p h .
F o r e x a m p l e , a t l e a s t h o w m a n y n e w e d g e s m u s t b e a d d e d t o a d i g r a p h t o m a k e i t s t r o n g l y c o n n e c t e d ?
H a v i n g s u c h a b r o a d c l a s s o f p r o b l e m s ( a l r e a d y a s p e c i a l c a s e , t h e w e l l - k n o w n S t e i n e r - t r e e p r o b l e m , h a s a v a s t
l i t e r a t u r e ) , i t i s o f n o s u r p r i s e t h a t a l a r g e n u m b e r o f c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s i s N P - c o m p l e t e . B u t t h e r e
a r e i n t e r e s t i n g s p e c i a l c a s e s , a s w e l l , w h e n p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m s a r e a v a i l a b l e . I n v e s t i g a t i o n s a n d r e s u l t s m a y b e
c a t e g o r i z e d i n t o t h r e e m a i n d i r e c t i o n s . O n e i s c o n c e r n e d w i t h h e u r i s t i c s , o f t e n b a s e d o n d e e p t h e o r e t i c a l b a c k g r o u n d
s u c h a s t h e p o l y h e d r a l m e t h o d , t h a t w o r k w e l l i n p r a c t i c e . A n e x c e l l e n t s u r v e y p a p e r b y M . G r o t s c h e l , C . L . M o n m a
a n d M . S t o e r 1 9 9 2 ] s u m m a r i z e s t h i s t y p e o f r e s u l t s . A n o t h e r l i n e i s t o d e v e l o p e a p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h m s w h o s e
r u n n i n g t i m e i s p o l y n o m i a l a n d t h e o u t p u t i s p r o v a b l y n o t m u c h w o r s e t h a n t h e o p t i m u m . I n a r e c e n t P h . D . T h e s i s
D . P . W i l l i a m s o n 1 9 9 3 ] p r o v i d e s a r i c h c l a s s o f p r o b l e m s o f t h i s t y p e a l o n g w i t h a p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h m s f o r t h e i r
s o l u t i o n .
T h e p u r p o s e o f t h e p r e s e n t p a p e r i s t o s u r v e y c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s f o r w h i c h a n a l g o r i t h m i s
a v a i l a b l e t o n d t h e e x a c t o p t i m u m i n ( s t r o n g l y ) p o l y n o m i a l t i m e . T h o u g h p o l y n o m i a l l y s o l v a b l e p r o b l e m s a r e o f t e n
t o o r e s t r i c t e d t o b e u s e d d i r e c t l y i n p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s , t h e y m a y s e r v e w e l l a s b u i l d i n g b l o c k s i n a m o r e c o m p l e x
p r o c e d u r e . I n m a n y c a s e s , s u c h a s t h e k - e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m o f d i g r a p h s , t h e p r o p o s e d a l g o r i t h m
i s p u r e l y c o m b i n a t o r i a l a n d s t r o n g l y p o l y n o m i a l .
S u c h a l g o r i t h m s h a v e t h e f e a t u r e ( a s o p p o s e d t o t h e e l l i p s o i d m e t h o d , s a y ) t h a t t h e y c a n b e r u n i n p r a c t i c e
a n d u s e d f o r l a r g e g r a p h s . I n s o m e o t h e r c a s e s , s u c h a s t h e k - n o d e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m o f d i g r a p h s ,
a t h e o r e t i c a l b a c k g r o u n d h a s b e e n d e v e l o p e d w h i c h , a t l e a s t , e n s u r e s a p o l y n o m i a l - t i m e a l g o r i t h m v i a t h e e l l i p s o i d
m e t h o d . B u t s u c h m e t h o d s m i g h t b e n e v e r u s e d i n p r a c t i c e a n d t h e i r e x i s t e n c e s h o u l d b e c o n s i d e r e d m e r e l y a s a
c h a l l e n g e t o d e s i g n p u r e l y c o m b i n a t o r i a l s o l u t i o n a l g o r i t h m s . A l s o , t h e s e a l g o r i t h m s a r e i m p o r t a n t f r o m t h e o r e t i c a l
p o i n t o f v i e w i n o r d e r t o e x p l o r e t h e b o r d e r l i n e ( i f t h e r e i s a n y ) b e t w e e n N P - c o m p l e t e n e s s a n d p o l y n o m i a l s o l v a b i l i t y .
W e w i l l u s e t w o b a s i c m e a s u r e m e n t s f o r c o n n e c t i v i t y . G i v e n a d i r e c t e d o r u n d i r e c t e d g r a p h G ( x y ) =
( x y G ) ( r e s p e c t i v e l y , ( x y ) = ( x y G ) ) d e n o t e s t h e m a x i m u m n u m b e r o f e d g e - d i s j o i n t ( o p e n l y d i s j o i n t ) p a t h s
f r o m x t o y . K . M e n g e r ' s c l a s s i c a l t h e o r e m a s s e r t s t h a t i n a n u n d i r e c t e d g r a p h i f x a n d y a r e n o t a d j a c e n t , t h e n
( x y ) i s e q u a l t o t h e m i n i m u m n u m b e r o f n o d e s w h o s e d e l e t i o n s e p a r a t e s x a n d y . O t h e r v e r s i o n s o f M e n g e r ' s
+
R e s e a r c h s u p p o r t e d b y t h e H u n g a r i a n N a t i o n a l F o u n d a t i o n f o r S c i e n t i c R e s e a r c h G r a n t , O T K A 2 1 1 8
* D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e , E o t v o s U n i v e r s i t y , M u z e u m k r t . 6 - 8 , B u d a p e s t , H u n g a r y , H - 1 0 8 8 .
T h e p a p e r w a s w r i t t e n w h i l e t h e a u t h o r w a s v i s i t i n g L a b o r a t o i r e A r t e m i s , I n s t i t u t I M A G , U n i v e r s i t y o f
G r e n o b l e , 3 8 0 4 1 G r e n o b l e C E D E X B . P . 5 3 , F r a n c e
1
8/3/2019 Connectivity Augmentation
http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 2/23
t h e o r e m p r o v i d e s m i n - m a x f o r m u l a f o r a n d i n d i r e c t e d a n d i n u n d i r e c t e d g r a p h s . F o r e x a m p l e , i n a d i g r a p h
( x y ) i s e q u a l t o t h e m i n i m u m n u m b e r o f e d g e s l e a v i n g a n x y - s u b s e t o f n o d e s . ( A s e t X i s c a l l e d a n d x y - s e t f
x 2 X y 62 X . ) T h i s i s a n e q u i v a l e n t f o r m u l a t i o n o f t h e m a x - o w m i n - c u t t h e o r e m . ( ( x y ) m a y b e c o n s i d e r e d a s
t h e m a x i m u m o w v a l u e f r o m x t o y p r o v i d e d t h a t t h e c a p a c i t y o f e a c h e d g e i s 1 . )
A n u n d i r e c t e d g r a p h G i s c a l l e d k - e d g e - c o n n e c t e d i f e v e r y c u t h a s a t l e a s t k e d g e s . W h e n k = 1 w e s i m p l y
s a y G i s c o n n e c t e d . A d i g r a p h D i s c a l l e d k - e d g e - c o n n e c t e d i f e v e r y ( n o n - e m p t y , p r o p e r ) s u b s e t o f n o d e s h a s
a t l e a s t k e x i t i n g e d g e s . W h e n k = 1 w e c a l l D s t r o n g l y c o n n e c t e d . B y M e n g e r ' s t h e o r e m a d i g r a p h o r a n
u n d i r e c t e d g r a p h i s k - e d g e - c o n n e c t e d i f a n d o n l y i f t h e r e a r e k e d g e - d i s j o i n t p a t h s f r o m e v e r y n o d e t o e v e r y o t h e r
o n e .
T h e g e n e r a l f o r m o f t h e a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s w e i n v e s t i g a t e i s a s f o l l o w s . G i v e n a d i r e c t e d o r u n d i r e c t e d
g r a p h G = ( V E ) a n d a n o n - n e g a t i v e i n t e g e r f u n c t i o n r ( x y ) o n t h e s e t o f o r d e r e d p a i r s o f n o d e s , s e r v i n g a s a
d e m a n d f u n c t i o n , a d d a m i n i m u m n u m b e r o f n e w e d g e s t o G ( o r , m o r e g e n e r a l l y , a m i n i m u m c o s t o f n e w e d g e s ,
i f a c o s t - f u n c t i o n i s g i v e n o n t h e s e t o f p o s s i b l e n e w e d g e s ) s o t h a t
( x y G
+
) r ( x y ) ( 1 1 a )
o r
( x y G
+
) r ( x y ) ( 1 1 b )
h o l d s f o r e v e r y p a i r o f n o d e s x y o f t h e r e s u l t i n g g r a p h ( d i g r a p h ) G
+
. A c c o r d i n g l y , w e m a y s p e a k a b o u t e d g e -
c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m o r n o d e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m .
B e s i d e t h e s e m i n i m i z a t i o n f o r m s , w e w i l l c o n s i d e r d e g r e e - c o n s t r a i n e d a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s , a s w e l l , w h e r e a
l o w e r a n d u p p e r b o u n d i s g i v e n a t e v e r y n o d e v f o r t h e n u m b e r o f n e w e d g e s i n c i d e n t t o v
A n a t u r a l r e l a x a t i o n o f t h e a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i s t h e m a x o w v e r s i o n . S u p p o s e t h a t g ( u v ) i s a n o n -
n e g a t i v e c a p a c i t y f u n c t i o n o n t h e p a i r s o f n o d e s u v ( u v 2 V ) a n d l e t r ( u v ) b e a d e m a n d f u n c t i o n . T h e p r o b l e m
i s t o i n c r e a s e t h e e x i s t i n g c a p a c i t i e s s o t h a t i n t h e r e s u l t i n g n e t w o r k t h e m a x i m u m o w v a l u e b e t w e e n u a n d v i s a t
l e a s t r ( u v ) f o r e a c h p a i r f u v g o f n o d e s a n d s u c h t h a t t h e s u m o f c a p a c i t y i n c r e m e n t s i s m i n i m u m .
I f g ( u v ) a n d r ( u v ) a r e i n t e g e r - v a l u e d a n d t h e c a p a c i t y i n c r e m e n t s a r e a l s o r e q u i r e d t o b e i n t e g e r - v a l u e d , t h e n
t h e e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i s e q u i v a l e n t t o t h e m a x - o w v e r s i o n . N a m e l y , t h e l a t t e r p r o b l e m c a n
b e f o r m u l a t e d a s a m a x - o w v e r s i o n b y l e t t i n g g ( u v ) = 1 w h e n ( u v ) i s a n e d g e o f G a n d g ( u v ) = 0 o t h e r w i s e .
C o n v e r s e l y , i f g i s i n t e g e r - v a l u e d , w e c a n d e n e a g r a p h h a v i n g g ( u v ) p a r a l l e l e d g e s b e t w e e n e a c h p a i r o f n o d e s u
a n d v a n d t h e n a s o l u t i o n t o t h e e d g e - c o n n e c t i v i t y p r o b l e m y i e l d s a s o l u t i o n t o t h e i n t e g e r - v a l u e d m a x - o w p r o b l e m .
T h i s e q u i v a l e n c e , h o w e v e r , d o e s n o t m e a n a l g o r i t h m i c e q u i v a l e n c e a n d w e a r e g o i n g t o e x h i b i t s t r o n g l y p o l y n o -
m i a l t i m e a l g o r i t h m s f o r t h e m o r e d i c u l t m a x - o w a u g m e n t a t i o n p r o b l e m . ( A p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m i s c a l l e d
s t r o n g l y p o l y n o m i a l i f i t u s e s o n l y t h e b a s i c o p e r a t i o n s l i k e c o m p a r i n g , a d d i n g , s u b t r a c t i n g , m u l t i p l y i n g , a n d
d i v i d i n g n u m b e r s , a n d t h e n u m b e r o f t h e s e o p e r a t i o n s i s i n d e p e n d e n t o f t h e n u m b e r s o c c u r i n g i n t h e i n p u t . )
W e w i l l a l s o i n v e s t i g a t e t h e q u e s t i o n o f w h e n t h e f r a c t i o n a l a u g m e n t a t i o n a l l o w s b e t t e r s o l u t i o n t h a n t h e i n t e g e r -
v a l u e d . F o r e x a m p l e , l e t V b e a s e t o f n n o d e s , g 0 a n d r 1 . I f o n l y i n t e g e r s a r e a l l o w e d f o r t h e i n c r e m e n t s ,
t h e n t h e v a l u e o f t h e b e s t s o l u t i o n i s n 1 : t a k e a n y t r e e o n V a n d i n c r e a s e t h e c a p a c i t y o f i t s e d g e s b y o n e . I f w e
m a y u s e f r a c t i o n a l i n c r e m e n t s , t h e n t h e v a l u e o f t h e b e s t s o l u t i o n i s n = 2 : t a k e a n y c i r c u i t o f n n o d e s , i n c r e a s e t h e
c a p a c i t y o f i t s e d g e s b y 1 / 2 .
O n t h e o t h e r h a n d , w e w i l l s e e p r o b l e m s ( c o n c e r n i n g m a i n l y u n d i r e c t e d g r a p h s ) w h e n t h e o p t i m u m o f t h e
i n t e g e r - v a l u e d s o l u t i o n i s a t m o s t o n e h a l f b i g g e r t h a n t h a t o f t h e f r a c t i o n a l s o l u t i o n , a n d p r o b l e m s ( e s p e c i a l l y w h e n
G i s d i r e c t e d ) w h e n t h e r e i s a n o p t i m a l s o l u t i o n t o t h e m a x - o w a u g m e n t a t i o n p r o b l e m t h a t i s i n t e g e r - v a l u e d .
G i v e n t w o e l e m e n t s s t a n d a s u b s e t X o f a g r o u n d - s e t U , w e s a y t h a t X i s a n s
t - s e t f s 2 T t 62 T X
s e p a r a t e s s f r o m t ( o r x a n d t ) f X \ f s t g = 1 . A f a m i l y f X
1
; : : : ; X
t
g o f p a i r w i s e d i s j o i n t , n o n - e m p t y
s u b s e t s o f U i s c a l l e d a s u b - p a r t i t i o n .
L e t G = ( U E ) a n u n d i r e c t e d g r a p h . d
G
( X Y ) d e n o t e s t h e n u m b e r o f u n d i r e c t e d e d g e s b e t w e e n X Y
a n d Y X
d
G
( X Y ) = d
G
( X U Y ) ( = d
G
( U X Y ) ) d
G
( X ) s t a n d s f o r d
G
( X U X ) . O b s e r v e t h a t
d
G
( X Y ) =
d
G
( U X U Y ) . W h e n i t d o e s n o t c a u s e a m b i g u i t y w e l e a v e o u t t h e s u b s c r i p t .
F o r a d i r e c t e d g r a p h D = ( U A ) %
D
( X ) d e n o t e s t h e n u m b e r o f e d g e s e n t e r i n g X
D
( X ) = %
D
( U X ) a n d
D
( X ) : = m i n ( %
D
( X )
D
( X ) ) . N o t e t h a t
D
( X ) =
D
( U X ) d
D
( X Y ) d e n o t e s t h e n u m b e r o f e d g e s w i t h
o n e e n d i n X Y a n d o n e e n d i n Y X
d
D
( X Y ) = d
D
( X U Y ) ( = d
D
( U X Y ) A n a r b o r e s c e n c e
2
8/3/2019 Connectivity Augmentation
http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 3/23
F i s a d i r e c t e d t r e e i n w h i c h e v e r y n o d e b u t o n e h a s i n - d e g r e e 1 a n d t h e e x c e p t i o n a l n o d e , c a l l e d t h e r o o t , i s o f
i n - d e g r e e 0 . ( E q u i v a l e n t l y , t h e r e i s a d i r e c t e d p a t h f r o m t h e r o o t t o e v e r y o t h e r n o d e o f F )
L e t M = ( U A E ) b e a m i x e d g r a p h c o m p o s e d a s t h e u n i o n o f a d i r e c t e d g a p h D = ( U A ) a n d a n
u n d i r e c t e d g r a p h G = ( U E ) . L e t %
M
( X ) = %
D
( X ) + d
G
( X )
M
( X ) =
D
( X ) + d
G
( X ) a n d
M
( X ) =
m i n ( %
M
( X )
M
( X ) ) . W e s a y t h a t a n o d e v o f a M s d i - E u l e r i a n f %
D
( v ) =
D
( v ) M i s c a l l e d d i - E u l e r i a n
i f e v e r y n o d e o f M i s d i - E u l e r i a n .
S p l i t t i n g o a p a i r o f e d g e s e = u s ; f = s t m e a n s t h a t w e r e p l a c e e a n d f b y a n e w e d g e u t . T h e r e s u l t i n g
m i x e d g r a p h w i l l b e d e n o t e d b y M
e f
. T h i s o p e r a t i o n i s d e n e d o n l y i f b o t h e a n d f a r e u n d i r e c t e d ( r e s p e c t i v e l y ,
d i r e c t e d ) a n d t h e n t h e n e w l y a d d e d e d g e u t i s c o n s i d e r e d u n d i r e c t e d ( d i r e c t e d ) . A c c o r d i n g l y , w e s p e a k o f u n d i r e c t e d
o r d i r e c t e d s p l i t t i n g s .
F o r a f u n c t i o n m V ! R w e u s e t h e n o t a t i o n m ( X ) =
P
( m ( v ) v 2 V ) . F o r a n u m b e r x l e t x
+
=
m a x ( x 0 )
2 . S U B G R A P H S V E R S U S S U P E R G R A P H S
T o c l a r i f y a s i m p l e l i n k b e t w e e n o p t i m a l s u b g r a p h s a n d o p t i m a l s u p e r g r a p h s , w e s t a r t w i t h a s p e c i c p r o b l e m .
W e a r e g i v e n a d i g r a p h D = ( V A ) w i t h t w o s p e c i e d n o d e s s a n d t . O n e o f t h e s i m p l e s t c o n n e c t i v i t y p r o p e r t y o n e
m a y c o n s i d e r i n D s
( s t ) 1 ( 2 1 )
t h a t i s , t h e r e i s a p a t h f r o m s t o t . I t i s w e l l - k n o w n t h a t ( 2 . 1 ) h o l d s i f a n d o n l y i f e v e r y s
t - s e t h a s a n e x i t i n g e d g e .
W h e n ( 2 . 1 ) h o l d s , o n e m a y c o n s i d e r t h e s h o r t e s t p a t h p r o b l e m , a s t a r t i n g p o i n t o f c o m b i n a t o r i a l o p t i m i z a t i o n ,
t h a t c o n s i s t s o f n d i n g a p a t h f r o m s t o t o f m i n i m u m c o s t w i t h r e s p e c t t o a g i v e n c o s t f u n c t i o n c o n E . F o r
n o n - n e g a t i v e c , t h i s m a y b e c o n s i d e r e d a s a S U B G R A P H p r o b l e m : g i v e n a d i g r a p h , n d a m i n i m u m c o s t s u b g r a p h
s a t i s f y i n g ( 2 . 1 ) . D i j k s t r a ' s c l a s s i c a l a l g o r i t h m f o r n d i n g a s h o r t e s t p a t h s i s o f O ( n
2
) c o m p l e x i t y .
I f ( 2 . 1 ) d o e s n o t h o l d , t h e n a n a t u r a l t a s k i s t o a u g m e n t o p t i m a l l y D s o a s t o s a t i s f y ( 2 . 1 ) . A u g m e n t a t i o n m a y
b e c o n s i d e r e d a s a S U P E R G R A P H p r o b l e m : g i v e n a d i g r a p h D a n d a d i g r a p h H = ( V F ) o f p o s s i b l e n e w e d g e s
w h i c h i s e n d o w e d w i t h a n o n - n e g a t i v e c o s t f u n c t i o n c n D + H c o n s t r u c t a m i n i m u m c o s t s u p e r g r a p h o f D s a t i s f y i n g
( 2 . 1 ) .
T h i s a u g m e n t a t i o n p r o b l e m m a y b e s o l v e d b y a s h o r t e s t p a t h c o m p u t a t i o n i n t h e d i g r a p h D + H w h e r e t h e
c o s t o f t h e e d g e s o f H i s d e t e r m i n e d b y c a n d t h e c o s t o f t h e o r i g i n a l e d g e s i s d e n e d t o b e 0 .
T h i s e a s y p r i n c i p l e m a y b e a p p l i e d t o p r o p e r t i e s o t h e r t h a n ( 2 . 1 ) . I f o n e i s a b l e t o s o l v e t h e m i n i m u m c o s t
s u b g r a p h p r o b l e m , o n e c a n s o l v e t h e c o r r e s p o n d i n g s u p e r g r a p h ( t h a t i s , t h e a u g m e n t a t i o n ) p r o b l e m , a s w e l l . B e l o w
w e l i s t s o m e o t h e r c o n n e c t i v i t y p r o p e r t i e s w h e n t h e s u b g r a p h p r o b l e m i s e c i e n t l y s o l v a b l e a n d , t h e r e f o r e , s o i s t h e
a u g m e n t a t i o n p r o b l e m . B u t w e a l r e a d y h a s t e n t o e m p h a s i z e t h a t t h e f o c u s o f t h i s p a p e r w i l l b e o n p o l y n o m i a l l y
s o l v a b l e a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s w h e r e t h e c o r r e s p o n d i n g s u b g r a p h p r o b l e m i s N P - c o m p l e t e .
P r o p e r t i e s i n a d i g r a p h f o r w h i c h t h e m i n i m u m c o s t s u b g r a p h p r o b l e m ( a n d t h e m i n i m u m c o s t a u g m e n t a t i o n
p r o b l e m , a s w e l l ) i s s o l v a b l e i n s t r o n g l y p o l y n o m i a l t i m e :
( s t ) k ( 2 2 )
( s t ) k ( 2 3 )
( s x ) k f o r e v e r y x 2 V ( 2 4 )
( s x ) k f o r e v e r y x 2 V ( 2 5 )
3
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T h e m i n i m u m c o s t s u b g r a p h p r o b l e m w i t h r e s p e c t t o ( 2 . 2 ) i s e q u i v a l e n t t o n d i n g m i n - c o s t o w o f v a l u e k
T a r d o s , 1 9 8 5 ] B y a n e a s y e l e m e n t a r y c o n s t r u c t i o n , o b s e r v e d a l r e a d y i n F o r d a n d F u l k e r s o n , 1 9 6 2 ] , ( 2 . 3 ) g o e s b a c k
t o ( 2 . 2 ) .
F i n d i n g a m i n i m u m c o s t s u b g r a p h s a t i s f y i n g ( 2 . 4 ) i s t r i c k i e r . F i r s t , w e m a y a s s u m e t h a t n o e d g e o f D e n t e r s
s . S i n c e t h e c o s t f u n c t i o n i s s u p p o s e d t o b e n o n - n e g a t i v e , i t i s e n o u g h t o c o n s i d e r d i g r a p h s s a t i s f y i n g ( 2 . 4 ) w h i c h
a r e m i n i m a l w i t h r e s p e c t t o e d g e - d e l e t i o n . T h e m a i n o b s e r v a t i o n i s t h a t s u c h d i g r a p h s a r e p r e c i s e l y t h o s e i n w h i c h
( a ) t h e i n - d e g r e e o f e v e r y n o d e v 6= s i s p r e c i s e l y k a n d ( b ) t h e u n d e r l i n i n g u n d i r e c t e d g r a p h i s t h e u n i o n o f k
d i s j o i n t s p a n n i n g t r e e s . ( T h e e q u i v a l e n c e m a y b e p r o v e d b y E d m o n d s ' 1 9 7 3 ] d i s j o i n t a r b o r e s c e n c e t h e o r e m ) . B y t h i s
e q u i v a l e n t f o r m u l a t i o n t h e p r o b l e m i s t o n d a m i n i m u m c o s t c o m m o n b a s i s o f t w o m a t r o i d s M
1
a n d M
2
d e n e d o n
t h e e d g e - s e t o f D . H e r e M
1
i s a p a r t i t i o n m a t r o i d i n w h i c h a s e t i s i n d e p e n d e n t i f c o n t a i n s a t m o s t k e d g e s e n t e r i n g
a n y n o d e v 6= s M
2
i s d e n e d t o b e t h e s u m o f k c o p i e s o f t h e c i r c u i t m a t r o i d o f t h e u n d e r l i n i n g u n d i r e c t e d g r a p h
( t h a t i s , a s u b s e t o f e d g e s o f D i s i n d e p e n d e n t i n M
2
i f i t i s t h e u n i o n o f k f o r e s t s ) .
S i n c e t h e r e a r e s t r o n g l y p o l y n o m i a l a l g o r i t h m s f o r t h e w e i g h t e d m a t r o i d i n t e r s e c t i o n p r o b l e m E d m o n d s , 1 9 7 9 ]
F r a n k , 1 9 8 1 b ] , t h e m i n i m u m c o s t s u b g r a p h p r o b l e m w i t h r e s p e c t t o ( 2 . 4 ) i s a l s o s o l v a b l e . B y e x p l o i t i n g t h e p a r t i c u l a r
s t r u c t u r e o f t h e t w o m a t r o i d s i n q u e s t i o n , H . G a b o w 1 9 9 1 ] d e v e l o p e d a m o r e e c i e n t a l g o r i t h m .
N o t e t h a t t h e s p e c i a l c a s e o f ( 2 . 4 ) w h e n k = 1 i s t a n t a m o u n t t o n d i n g a m i n i m u m c o s t a r b o r e s c e n c e o f r o o t s
f o r w h i c h D . R . F u l k e r s o n 1 9 7 4 ] d e s c r i b e d a p a r t i c u l a r l y e l e g a n t a l g o r i t h m .
N o e l e m e n t a r y r e d u c t i o n o f P r o p e r t y ( 2 . 5 ) t o ( 2 . 4 ) i s k n o w n . A s o l u t i o n t o t h e s u b g r a p h m i n i m i z a t i o n p r o b l e m
w i t h r e s p e c t t o ( 2 . 5 ) w a s d e s c r i b e d i n F r a n k a n d T a r d o s , 1 9 8 9 ] . I t u s e d a t r i c k y r e d u c t i o n t o s u b m o d u l a r o w s
E d m o n d s a n d G i l e s , 1 9 7 7 ] , a c o m m o n g e n e r a l i z a t i o n o f n e t w o r k o w s a n d m a t r o i d i n t e r s e c t i o n . H e r e w e d o n o t
r e p e a t t h e r e d u c t i o n b u t p r o v i d e a m i n - m a x t h e o r e m c o n c e r n i n g t h e c o r r e s p o n d i n g a u g m e n t a t i o n p r o b l e m , w h i c h i s
d e d u c i b l e f r o m t h e t h e o r y o f s u b m o d u l a r o w s b u t w a s n o t e x p l i c i t e l y s t a t e d i n F r a n k a n d T a r d o s ] .
L e t u s c a l l a d i g r a p h s a t i s f y i n g ( 2 . 5 ) k - o u t - c o n n e c t e d ( f r o m s ) L e t D = ( V E ) b e a d i g r a p h w i t h a
s p e c i e d n o d e s a n d a s s u m e o u r t a s k i s t o a u g m e n t D t o o b t a i n a k - o u t - c o n n e c t e d d i g r a p h . L e t H = ( V F ) d e n o t e
t h e d i g r a p h o f p o s s i b l e n e w e d g e s a n d c F ! R
+
a c o s t f u n c t i o n . I n o r d e r t o h a v e a s o l u t i o n a t a l l w e a s s u m e t h a t
t h e u n i o n g r a p h D + H s k - o u t - c o n n e c t e d .
L e t F d e n o t e t h e f a m i l y o f p a i r s ( A B ) o f t w o n o n - e m p t y d i s j o i n t s u b s e t s o f n o d e s s o t h a t s 2 A . F o r a p a i r
( A B ) l e t ( A B ) =
D
( A B ) d e n o t e t h e n u m b e r o f e d g e s o f D f r o m A t o B . B y a v e r s i o n o f M e n g e r ' s t h e o r e m a
d i g r a p h i s k - o u t - c o n n e c t e d f r o m s i f a n d o n l y i f V ( A B ) + ( A B ) k . D e n e t h e d e c i e n c y p
d e f
( A B )
o f a p a i r ( A B ) b y k ( V ( A B ) + ( A B ) ) w h e n t h i s n u m b e r i s p o s i t i v e a n d b y z e r o o t h e r w i s e . C l e a r l y ,
a d d i n g a s u b s e t X o f e d g e s o f H t o D y i e l d s a k - o u t - c o n n e c t e d d i g r a p h i f a n d o n l y i f t h e r e a r e a t l e a s t p
d e f
( A B )
e d g e s i n X g o i n g f r o m A t o B f o r e v e r y p a i r ( A B ) 2 F
T H E O R E M 2 . 1 T h e m i n i m u m c o s t o f e d g e s o f H w h o s e a d d i t i o n t o D r e s u l t s i n a d i g r a p h w h i c h i s k -
o u t - c o n n e c t e d f r o m s i s e q u a l t o m a x (
P
y ( A B ) p ( A B ) ) w h e r e y 0 i s s u c h t h a t , f o r e v e r y e d g e x y 2 F
P
( y ( A B ) x 2 A y 2 B ) c ( x y ) . M o r e o v e r , i f c i s i n t e g e r - v a l u e d , y m a y b e c h o s e n i n t e g e r - v a l u e d .
A c t u a l l y , t h i s t h e o r e m a s s e r t s t h a t a c e r t a i n l i n e a r p r o g r a m i s t o t a l l y d u a l i n t e g r a l . I t t u r n s o u t t h a t t h e t h e o r e m
c a n b e s t a t e d i n a m o r e a b s t r a c t f o r m . L e t H = ( V F ) b e a d i r e c t e d g r a p h e n d o w e d w i t h a c o s t f u n c t i o n c E ! R
a n d a c a p a c i t y f u n c t i o n g E ! Z
+
. L e t p b e a n o n - n e g a t i v e i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n o n t h e p a i r s ( A B ) o f d i s j o i n t
s u b s e t s o f V . W e s a y t h a t p s i n t e r s e c t i n g b i - s u p e r m o d u l a r f
p ( X Y ) + p ( X Y ) p ( X \ X Y Y ) + p ( X X Y \ Y ) ( 2 6 )
h o l d s w h e n e v e r p ( X Y ) p ( X Y ) > 0 Y \ Y 6= ;
F o r a v e c t o r x d e n e d o n t h e e d g e - s e t F l e t
x
( A B ) =
P
( x ( u v ) u v 2 F u 2 A v 2 B )
T H E O R E M 2 . 2 L e t g F ! Z
+
b e a n i n t e g e r - v a l u e d c a p a c i t y f u n c t i o n s o t h a t
g
( A B ) p ( A B ) f o r
e v e r y p a i r ( A B ) . T h e n t h e l i n e a r p r o g r a m
m i n ( c x 0 x g
x
( A B ) p ( A B ) f o r e v e r y d i s j o i n t A B ) ( 2 7 )
4
8/3/2019 Connectivity Augmentation
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i s t o t a l l y d u a l i n t e g r a l . I n p a r t i c u l a r , ( 2 . 7 ) h a s a n i n t e g e r - v a l u e d o p t i m u m a n d i f i n a d d i t i o n c i s i n t e g e r -
v a l u e d , t h e d u a l l i n e a r p r o g r a m a l s o h a s a n i n t e g e r - v a l u e d o p t i m u m .
( T h i s t h e o r e m m a y b e p r o v e d b y u s i n g t h e s t a n d a r d u n c r o s s i n g t e c h n i q u e a s w a s d o n e i n F r a n k , 1 9 7 9 a n d 1 9 8 4 ]
f o r t h e s p e c i a l s p e c i a l c a s e w h e n p ( A B ) m a y b e p o s i t i v e o n l y o n c o m p l e m e n t a r y p a i r s ( i . e . A B = V )
N o t e t h a t t h e r o l e o f t h e t w o v a r i a b l e s o f p i s n o t s y m m e t r i c . I t b e c o m e s s y m m e t r i c i f ( 2 . 6 ) i s r e q u i r e d o n l y w h e n
p ( X Y ) p ( X Y ) > 0 X \ X Y \ Y 6= ; . I n t h i s c a s e p i s c a l l e d c r o s s i n g b i - s u p e r m o d u l a r . T h e o r e m 2 . 2
i s n o m o r e t r u e f o r c r o s s i n g b i - s u p e r m o d u l a r f u n c t i o n s . B u t i n S e c t i o n 4 w e w i l l p r o v e t h a t a m i n - m a x t h e o r e m d o e s
h o l d w h e n H i s a c o m p l e t e d i r e c t e d g r a p h ( i . e . e a c h o f t h e p o s s i b l e n ( n 1 ) e d g e s b e l o n g t o H ) a n d c 1 . S u c h
a r e s u l t w i l l a l l o w u s t o s o l v e t h e n o d e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i n d i r e c t e d g r a p h w h e n a r b i t r a r y e d g e s
m a y b e a d d e d .
3 . E D G E - C O N N E C T I V I T Y A U G M E N T A T I O N O F D I G R A P H S
I n t h e p r e v i o u s c h a p t e r w e h a v e s e e n t h a t t h e m i n i m u m c o s t s u b g r a p h p r o b l e m , a n d t h e r e f o r e t h e m i n i m u m
c o s t a u g m e n t a t i o n p r o b l e m , i s t r a c t a b l e f o r p r o p e r t i e s ( 2 . 1 ) a n d ( 2 . 2 ) .
T h e n e x t n a t u r a l p r o p e r t y t o b e i n v e s t i g a t e d i s s t r o n g c o n n e c t i v i t y . T h e m i n i m u m c o s t s u b g r a p h p r o b l e m r e a d s :
n d a m i n i m u m c o s t s t r o n g l y c o n n e c t e d s p a n n i n g s u b g r a p h o f a g i v e n d i g r a p h . T h i s i s N P - c o m p l e t e e v e n i f t h e c o s t
f u n c t i o n i s i d e n t i c a l l y 1 s i n c e i f o n e i s a b l e t o n d a s t r o n g l y c o n n e c t e d s u b g r a p h o f m i n i m u m c a r d i n a l i t y , t h e n o n e
i s a b l e t o d e c i d e i f a d i g r a p h c o n t a i n s a s t r o n g l y c o n n e c t e d s u b g r a p h o f c a r d i n a l i t y n ( t h e n u m b e r o f n o d e s ) a n d t h i s
l a t t e r p r o p e r t y i s e q u i v a l e n t f o r a d i g r a p h t o h a v e a H a m i l t o n i a n c i r c u i t .
T h e c o r r e s p o n d i n g a u g m e n t a t i o n p r o b l e m a s k s , g i v e n a d i g r a p h D = ( V E ) a n d a n o t h e r d i g r a p h H = ( V F )
( e n d o w e d w i t h a n o n - n e g a t i v e c o s t - f u n c t i o n c ) , f o r t h e m i n i m u m c o s t o f e d g e s o f H w h o s e a d d i t i o n t o D c r e a t e s a
s t r o n g l y c o n n e c t e d d i g r a p h .
A s i m i l a r a r g u m e n t s h o w s t h a t t h e a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i s a l s o N P - c o m p l e t e , e v e n f o r c 1 , i f n o r e s t r i c t i o n
i s m a d e f o r H . O n e i n t e r e s t i n g r e s t r i c t i o n i s w h e n t h e r e i s a p a t h i n D f r o m v t o u f o r e a c h e d g e u v o f H . ( F o r
e x a m p l e , w h e n H a r i s e s f r o m D b y r e - o r i e n t i n g e a c h e d g e . ) F o r t h e c a r d i n a l i t y c a s e , a t h e o r e m o f L u c c h e s i a n d
Y o u n g e r 1 9 7 8 ] a s s e r t s i n t h e p r e s e n t c o n t e x t t h a t t h e m i n i m u m c a r d i n a l i t y o f n e w e d g e s o f H t o b e a d d e d t o D
t o p r o v i d e a s t r o n g l y c o n n e c t e d d i g r a p h i s e q u a l t o t h e m a x i m u m n u m b e r o f H - i n d e p e n d e n t s o u r c e - s e t s o f
D . ( A p r o p e r n o n - e m p t y s u b s e t X o f V i s c a l l e d a s o u r c e - s e t i f n o e d g e o f D e n t e r s X a n d a f a m i l y o f s o u r c e - s e t s
s H - i n d e p e n d e n t i f n o e d g e o f H e n t e r s m o r e t h a n o n e o f t h e m . F o r l a t e r p u r p o s e s w e d e n e s i n k - s e t s a s t h e
c o m p l e m e n t o f s o u r c e - s e t s ) . T h e t h e o r y o f s u b m o d u l a r f u n c t i o n s ( e s t a b l i s h e d i n E d m o n d s a n d G i l e s , 1 9 7 7 ] e x t e n d s
t h i s t h e o r e m t o t h e w e i g h t e d c a s e . I n F r a n k , 1 9 8 1 a ] a s t r o n g l y p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m w a s d e v e l o p e d t o n d t h e
m i n i m u m i n q u e s t i o n .
T h e a u g m e n t a t i o n p r o b l e m f o r s t r o n g c o n n e c t i v i t y w a s s o l v e d b y K . P . E s w a r a n a n d R . E . T a r j a n 1 9 7 6 ] i n t h e
c a s e w h e n a n y p o s s i b l e n e w e d g e i s a l l o w e d t o b e a d d e d a n d c 1 . I n a d i g r a p h t h e s i n k - s e t s a r e c l o s e d u n d e r
t a k i n g i n t e r s e c t i o n a n d u n i o n . H e n c e t h e m i n i m a l s i n k - s e t s ( w i t h r e s p e c t t o c o n t a i n m e n t ) a r e p a i r w i s e d i s j o i n t . L e t
p
1
d e n o t e t h e i r n u m b e r . S i m i l a r l y , t h e m i n i m a l s o u r c e - s e t s a r e p a i r w i s e d i s j o i n t . L e t p
2
d e n o t e t h e i r n u m b e r . S i n c e
i n a s t r o n g l y c o n n e c t e d d i g r a p h t h e r e a r e n o s o u r c e - s e t s a n d s i n k - s e t s , a t l e a s t m a x ( p
1
p
2
) n e w e d g e s m u s t b e a d d e d .
T h e n e x t t h e o r e m a s s e r t s t h a t t h i s b o u n d i s a c h i e v a b l e . N o t e t h a t i t i s n o t d i c u l t t o c a l c u l a t e p
1
( o r p
2
) s i n c e p
1
i s t h e n u m b e r o f s i n k - n o d e s ( n o d e s w i t h n o l e a v i n g e d g e s ) o f t h e d i g r a p h a r i s i n g f r o m D b y c o n t r a c t i n g e a c h s t r o n g
c o m p o n e n t i n t o o n e n o d e .
T H E O R E M 3 . 1 ( K . P . E s w a r a n a n d R . E . T a r j a n , 1 9 7 6 ) G i v e n a d i r e c t e d g r a p h D = ( V E ) t h e m i n i m u m
n u m b e r o f n e w e d g e s w h o s e a d d i t i o n t o D c r e a t e s a s t r o n g l y c o n n e c t e d d i g r a p h i s m a x ( p
1
p
2
)
T h e p r o o f o f E s w a r a n a n d T a r j a n i s c o n s t r u c t i v e a n d g i v e s r i s e t o a l i n e a r - t i m e a l g o r i t h m .
A s w e m e n t i o n e d b e f o r e , t h e m i n i m u m c o s t v e r s i o n o f t h e p r o b l e m i s N P - c o m p l e t e . H o w e v e r , t h e m i n i m u m
n o d e - c o s t a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i s s o l v a b l e a s w i l l b e s h o w n i n a m o r e g e n e r a l c o n t e x t .
I n o r d e r t o g e n e r a l i z e t h e c a r d i n a l i t y c a s e o f t h e s t r o n g c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m , s u p p o s e t h a t a
s u b s e t T o f n o d e s i s s p e c i e d i n a d i g r a p h D = ( V E ) a n d o u r p u r p o s e i s t o a d d a m i n i m u m n u m b e r o f n e w e d g e s
s o t h a t e v e r y e l e m e n t o f T b e r e a c h a b l e f r o m e v e r y o t h e r e l e m e n t o f T . I t i s n o t d i c u l t t o s e e F r a n k , 1 9 9 2 ] t h a t
5
8/3/2019 Connectivity Augmentation
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t h i s p r o b l e m i s N P - c o m p l e t e . W e w i l l s h o w , h o w e v e r , ( e v e n i n a m o r e g e n e r a l c o n t e x t ) t h a t t h i s p r o b l e m i s s o l v a b l e
i n p o l y n o m i a l t i m e i f t h e n e w e d g e s a r e r e q u i r e d t o h a v e b o t h e n d - n o d e s i n T
L e t u s t u r n t o t h i s g e n e r a l c a s e w h e n w e r e q u i r e k - e d g e - c o n n e c t i v i t y f o r t h e a u g m e n t e d d i g r a p h , t h a t i s t h e
d e m a n d f u n c t i o n r ( u v ) k . T h e d i r e c t e d k - e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m w a s s o l v e d b y D . R . F u l k e r s o n
a n d L . S . S h a p l e y 1 9 7 1 ] w h e n t h e s t a r t i n g d i g r a p h D = ( V ; ) h a s n o e d g e s a t a l l , b y Y . K a j i t a n i a n d S . U e n o 1 9 8 6 ]
w h e n t h e s t a r t i n g d i g r a p h i s a d i r e c t e d t r e e a n d b y F r a n k 1 9 9 2 a ] f o r a n a r b i t r a r y s t a r t i n g d i g r a p h . T h e m a j o r i d e a
t h a t l e d t o t h e s o l u t i o n t o t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m c a m e f r o m t h e r e c o g n i t i o n t h a t d e g r e e - p r e s c r i b e d a u g m e n t a t i o n
p r o b l e m s s e r v e a s u s e f u l i n t e r m e d i a t e p r o b l e m s .
L e t D = ( V E ) b e a d i g r a p h a n d m
o
m
i
V ! Z
+
t w o i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n s s o t h a t m
o
( V ) = m
i
( V )
T H E O R E M 3 . 2 A d i r e c t e d g r a p h D = ( V E ) c a n b e m a d e k - e d g e - c o n n e c t e d b y a d d i n g a s e t F o f n e w
e d g e s s a t i s f y i n g
%
F
( v ) = m
i
( v ) a n d
F
( v ) = m
o
( v ) ( 3 1 )
f o r e v e r y n o d e v 2 V i f a n d o n l y i f b o t h
% ( X ) + m
i
( X ) k a n d ( X ) + m
o
( X ) k ( 3 2 )
h o l d f o r e v e r y X V
N o t e t h a t F m a y c o n t a i n p a r a l l e l e d g e s o r e v e n l o o p s . I t i s a n i m p o r t a n t o p e n p r o b l e m t o n d c h a r a c t e r i z a t i o n s
f o r t h e e x i s t e n c e o f a n F w i t h o u t l o o p s a n d p a r a l l e l e d g e s . T o g e t r i d o f t h e l o o p s i s a t l e a s t e a s y ( s e e , C o r o l l a r y 3 . 6 ) .
A c r u c i a l o b s e r v a t i o n i s t h a t T h e o r e m 3 . 2 i s n o t h i n g b u t a r e - f o r m u l a t i o n o f W . M a d e r ' s d i r e c t e d s p l i t t i n g o
t h e o r e m :
T H E O R E M 3 . 3 M a d e r , 1 9 8 2 ] L e t D = ( V + s A ) b e a d i r e c t e d g r a p h f o r w h i c h % ( s ) = ( s ) a n d ( )
( x y ) k f o r e v e r y x y 2 V . T h e n t h e e d g e s e n t e r i n g a n d l e a v i n g s c a n b e p a r t i t i o n e d i n t o % ( s ) p a i r s s o
t h a t s p l i t t i n g o a l l t h e s e p a i r s l e a v e s a k - e d g e - c o n n e c t e d d i g r a p h .
T o d e r i v e T h e o r e m 3 . 2 , e x t e n d D b y a n e w n o d e s a n d f o r e a c h v 2 V a d j o i n m
i
( v ) ( r e s p e c t i v e l y , m
o
( v ) )
p a r a l l e l e d g e s f r o m s t o v ( f r o m v t o s ) . N o w b y ( 3 . 2 ) t h e h y p o t h e s e s o f T h e o r e m 3 . 3 a r e s a t i s e d a n d h e n c e w e c a n
s p l i t o p a i r s o f e d g e s t o o b t a i n a k - e d g e - c o n n e c t e d d i g r a p h . T h e r e s u l t i n g s e t o f n e w e d g e s ( c o n n e c t i n g o r i g i n a l
n o d e s ) s a t i s e s t h e r e q u i r e m e n t .
M a d e r s t a t e d h i s t h e o r e m i n t h e f o r m t h a t t h e r e i s a p a i r o f e d g e s , e n t e r i n g a n d l e a v i n g s , w h i c h i s s p l i t t a b l e
i n t h e s e n s e t h a t t h e i r s p l i t t i n g o d o e s n o t d e s t r o y ( ) . S i n c e % ( s ) = ( s ) , b y r e p e a t e d a p p l i c a t i o n s o f t h i s o n e
g e t s T h e o r e m 3 . 3 . A n e x a m p l e ( i n w h i c h % ( s ) = 1 ( s ) = 2 ) s h o w s t h a t t h e e x i s t e n c e o f a s p l i t t a b l e p a i r i s n o t
n e c e s s a r i l y t r u e w i t h o u t t h e a s s u m p t i o n % ( s ) = ( s ) . A s a s l i g h t g e n e r a l i z a t i o n o f M a d e r ' s t h e o r e m I c a n p r o v e t h a t
t h e r e i s a s p l i t t a b l e p a i r i f % ( s ) ( s ) < 2 % ( s ) b u t I d o n o t k n o w a n y a p p l i c a t i o n o f t h i s r e s u l t .
I n F r a n k , 1 9 9 2 ] t h e f o l l o w i n g c h a r a c t e r i z a t i o n w a s d e r i v e d f o r t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m .
T H E O R E M 3 . 4 A d i r e c t e d g r a p h D = ( V E ) c a n b e m a d e k - e d g e - c o n n e c t e d b y a d d i n g a t m o s t n e w
e d g e s i f a n d o n l y i f
X
i
( k % ( X
i
) ) a n d
X
i
( k ( X
i
) ) ( 3 3 )
h o l d s f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n f X
1
; : : : ; X
t
g o f V
T h i s w a s p r o v e d w i t h t h e h e l p o f T h e o r e m 3 . 2 . ( T h e p r o o f m e t h o d g i v e s r i s e t o a p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m
w h i c h i s a c t u a l l y s t r o n g l y p o l y n o m i a l e v e n i n t h e c a p a c i t a t e d c a s e ) . H e r e w e p r o v e a n e x t e n s i o n o f T h e o r e m 3 . 2 a n d ,
u s i n g t h a t , d e r i v e a n e x t e n s i o n o f T h e o r e m 3 . 4 .
S i n c e ( 3 . 3 ) i s a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h e f r a c t i o n a l a u g m e n t a t i o n , a s w e l l , w e c a n c o n c l u d e t h a t t h e i n t e g e r -
v a l u e d o p t i m u m i s t h e s a m e a s t h e f r a c t i o n a l o p t i m u m .
L e t u s t u r n t o t h e g e n e r a l i z a t i o n o f T h e o r e m 3 . 2 a n d 3 . 4 .
6
8/3/2019 Connectivity Augmentation
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T H E O R E M 3 . 5 L e t T b e a g r o u n d - s e t , p a n o n - n e g a t i v e , i n t e g e r - v a l u e d s e t - f u n c t i o n o n T f o r w h i c h
p ( ; ) = p ( T ) = 0 a n d p ( X ) + p ( Y ) p ( X \ Y ) + p ( X Y ) h o l d s w h e n e v e r p ( X ) > 0 p ( Y ) > 0 X \ Y 6= ; T
( X Y ) 6= ; . L e t m
i
m
o
b e t w o n o n - n e g a t i v e i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n s o n T f o r w h i c h m
i
( T ) = m
o
( T ) =
T h e r e e x i s t s a d i g r a p h H = ( T F ) f o r w h i c h
%
H
( X ) p ( X ) f o r e v e r y X T ( 3 4 )
a n d
%
H
( v ) = m
i
( v ) f o r e v e r y v 2 T ( 3 5 a )
H
( v ) = m
o
( v ) f o r e v e r y v 2 T ( 3 5 b )
i f a n d o n l y i f
m
i
( X ) p ( X ) f o r e v e r y X T ( 3 6 a )
a n d
m
o
( T X ) p ( X ) f o r e v e r y X T ( 3 6 b )
P r o o f . T h e n e c e s s i t y o f ( 3 . 6 ) i s s t r a i g h t f o r w a r d . T o s e e t h e s u c i e n c y l e t m = m
i
+ m
o
a n d c a l l a s e t X
i n - t i g h t ( r e s p . , o u t - t i g h t ) i f ( 3 . 6 a ) ( r e s p . , ( 3 . 6 b ) ) i s s a t i s e d w i t h e q u a l i t y . W e n e e d 4 e a s y l e m m a t a .
L E M M A 1 I f X Y a r e t w o d i s j o i n t o u t - t i g h t s e t s , t h e n m ( T ( X Y ) ) = 0
P r o o f . W e h a v e m
i
( X ) p ( X ) = m
o
( T X ) = m
o
( X ) a n d m
i
( Y ) p ( Y ) = m
o
( T Y ) = m
o
( Y )
f r o m w h i c h m
i
( X ) + m
i
( Y ) 2 m
o
( X ) m
o
( Y ) . T h e r e f o r e m ( X ) + m ( Y ) 2 = m ( T ) a n d h e n c e
m ( T ( X Y ) ) = 0 , a s r e q u i r e d .
L E M M A 2 I f X Y a r e t w o i n - t i g h t s e t s f o r w h i c h T = X Y , t h e n m ( X \ Y ) = 0
P r o o f . W e h a v e m
o
( T X ) + m
o
( T Y ) p ( X ) + p ( Y ) = m
i
( X ) + m
i
( Y ) = 2 m
i
( T X ) m
i
( T Y )
T h e r e f o r e m ( T X ) + m ( T Y ) 2 a n d h e n c e m ( X \ Y ) = 0 , a s r e q u i r e d .
L E M M A 3 I f X i s o u t - t i g h t , Y i s i n - t i g h t a n d t h e s u p e r m o d u l a r i n e q u a l i t y h o l d s f o r p ( X ) a n d p ( Y ) ( f o r
e x a m p l e , i f X Y o r Y X o r X Y a r e c r o s s i n g ) , t h e n m ( Y X ) = 0
P r o o f . F r o m m
o
( T X ) = p ( X ) a n d m
i
( Y ) = p ( Y ) w e h a v e m
o
( T X ) + m
i
( Y ) = p ( X ) + p ( Y )
p ( X \ Y ) + p ( X Y ) m
o
( T ( X Y ) ) + m
i
( X \ Y ) = m
o
( T X ) m
o
( Y X ) + m
i
( Y ) m ( Y X )
a n d h e n c e 0 m ( Y X ) 0 , a s r e q u i r e d .
L E M M A 4 T h e i n t e r s e c t i o n a n d t h e u n i o n o f t w o c r o s s i n g i n - t i g h t ( r e s p e c t i v e l y , o u t - t i g h t ) s e t s X Y a r e
i n - t i g h t ( r e s p . , o u t - t i g h t ) .
P r o o f . W e p r o v e t h e l e m m a o n l y w h e n X Y a r e i n - t i g h t . T h e n m
i
( X ) + m
i
( Y ) = p ( X ) + p ( Y ) p ( X \
Y ) + p ( X Y ) m
i
( X \ Y ) + m
i
( X Y ) = m
i
( X ) + m
i
( Y ) f r o m w h i c h e q u a l i t y h o l d s e v e r y w h e r e a n d t h e
l e m m a f o l l o w s .
T o p r o v e t h e t h e o r e m l e t t b e a n o d e f o r w h i c h m
i
( t ) i s p o s i t i v e . I f t h e r e i s n o i n - t i g h t s e t c o n t a i n i n g t , d e n e
Z
i
= ; . B y L e m m a 2 i f t h e r e a r e t w o i n - t i g h t s e t s c o n t a i n i n g t , t h e n t h e i r u n i o n Z i s n o t T , a n d t h e n , b y L e m m a
4 Z i s i n - t i g h t . T h e r e f o r e t h e u n i o n Z
i
o f a l l i n - t i g h t s e t s c o n t a i n i n g t i s a l s o i n - t i g h t . I f t h e r e i s n o o u t - t i g h t s e t i n
T t , d e n e Z
o
= T . B y L e m m a 1 i f t h e r e a r e t w o o u t - t i g h t s e t s i n T t , t h e n t h e i r i n t e r s e c t i o n i s n o n - e m p t y , a n d
t h e n , b y L e m m a 4 , t h e i n t e r s e c t i o n Z
o
o f a l l o u t - t i g h t s e t s i n T t i s o u t - t i g h t .
7
8/3/2019 Connectivity Augmentation
http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 8/23
I t f o l l o w s f r o m L e m m a 3 t h a t t h e s u p e r m o d u l a r i n e q u a l i t y d o e s n o t h o l d f o r p ( Z
o
) a n d p ( Z
i
) , t h e r e f o r e Z
o
\ Z
i
=
; o r Z
o
Z
i
= T . W e c l a i m t h a t m
o
( Z
o
Z
i
) > 0 . F o r o t h e r w i s e , i f Z
o
Z
i
= T , t h e n 0 = m
o
( Z
o
Z
i
) =
m
o
( T Z
i
) p ( Z
i
) = m
i
( Z
i
) 0 H e n c e Z
i
= ; a n d m
o
( T ) = 0 , a c o n t r a d i c t i o n . I f m
o
( Z
o
Z
i
) = 0 a n d
Z
o
\ Z
i
= ; , t h e n m
i
( Z
o
) p ( Z
o
) = m
o
( T Z
o
) = a n d h e n c e m
i
( T Z
o
) = 0 . B u t t h e n Z
o
= T Z
i
= ; a n d
m
o
( T ) = 0 , a c o n t r a d i c t i o n .
C h o o s e a n e l e m e n t s n Z
o
Z
i
f o r w h i c h m
o
( s ) > 0 . D e n e p ( X ) = p ( X ) 1 f X s a t s - s e t , p ( X ) > 0 a n d
d e n e p ( X ) = p ( X ) o t h e r w i s e . C l e a r l y p s a t i s e s t h e h p o t h e s i s o f t h e t h e o r e m . L e t m
o
( s ) = m
o
( s ) 1 m
o
( v ) =
m
o
( v ) f v 6= s . L e t m
i
( t ) = m
i
( t ) 1 m
i
( v ) = m
i
( v ) f v 6= t . B e c a u s e t h e r e i s n o i n - t i g h t t s - s e t , ( 3 . 6 a ) h o l d s
w i t h r e s p e c t t o p m
i
. S i m i l a r l y , t h e r e i s n o o u t - t i g h t s e t i n T f s t g a n d t h e r e f o r e ( 3 . 6 b ) h o l d s w i t h r e s p e c t t o
p m
o
B y i n d u c t i o n , t h e r e i s a d i g r a p h H = ( T F ) s a t i s f y i n g t h e r e q u i r e m e n t s o f t h e t h e o r e m w i t h r e s p e c t t o
p m
i
m
o
. B u t t h e n H = ( T F + s t ) s a t i s e s t h e r e q u i r e m e n t s w i t h r e s p e c t t o p m
i
m
o
R E M A R K T h e p r o o f o f t h e t h e o r e m g i v e s r i s e t o a ( s t r o n g l y ) p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m t o n d t h e d e s i r e d d i g r a p h
H p r o v i d e d t h a t t h e f o l l o w i n g o r a c l e s a r e a v a i l a b l e f o r p . F o r a n y p a i r o f n o d e s x y a n d v e c t o r m V ! Z
+
, m i n i m i z e
m ( X ) p ( X ) o v e r t h e s e t s X ( A ) c o n t a i n i n g b o t h x a n d y , ( B ) n e i t h e r x n o r y
C O R O L L A R Y 3 . 6 I n T h e o r e m 3 . 5 H m a y b e c h o s e n l o o p l e s s i f a n d o n l y i f ( 3 . 6 ) h o l d s a n d
m ( v ) = m
i
( v ) + m
o
( v ) f o r e v e r y v 2 T ( 3 7 )
P r o o f . I f t h e r e i s a l o o p l e s s H s a t i s f y i n g ( 3 . 5 ) , t h e n e v e r y e d g e e n t e r i n g v l e a v e s T v a n d h e n c e m
i
( v )
m
o
( T v ) , t h a t i s , m
i
( v ) + m
o
( v ) m
o
( T v ) + m
o
( v ) = a n d t h e n e c e s s i t y o f ( 3 . 7 ) f o l l o w s .
T o s e e t h e s u c i e n c y , l e t u s s t a r t w i t h a s o l u t i o n H = ( T F ) p r o v i d e d b y T h e o r e m 3 . 5 a n d a s s u m e t h a t H h a s
a m i n i m u m n u m b e r o f l o o p s . I f t h i s m i n i m u m i s z e r o , w e a r e d o n e . S u p p o s e t h a t a t a n o d e v t h e r e i s a l o o p e n H
I f t h e r e i s a n e d g e f = x y o f H w i t h e n d - n o d e s d i e r e n t f r o m v t h e n w e c a n r e p l a c e e a n d f b y x v a n d v y . T h e
r e v i s e d d i g r a p h c l e a r l y s a t i s e s ( 3 . 4 ) a n d ( 3 . 5 ) a n d h a s o n e l e s s l o o p t h a n H , a c o n t r a d i c t i o n . T h e r e f o r e v i s o n e o f
t w o e n d - n o d e s o f e a c h e d g e o f H . B u t t h e n v v i o l a t e s ( 3 . 7 ) .
T H E O R E M 3 . 7 L e t p b e t h e s a m e a s i n T h e o r e m 3 . 5 . T h e r e e x i s t s a d i g r a p h H = ( T F ) s a t i s f y i n g ( 3 . 4 )
s o t h a t H h a s a t m o s t e d g e s i f a n d o n l y i f
X
p ( X
i
) ( 3 7 a )
a n d
X
p ( T X
i
) ( 3 7 b )
h o l d s f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n f X
1
; : : : ; X
t
g o f T
P r o o f . T h e n e c e s s i t y o f ( 3 . 7 ) i s s t r a i g h t f o r w a r d . W e p r o v e t h e s u c i e n c y w i t h t h e f o l l o w i n g i d e a . D e t e r m i n e
r s t t w o f u n c t i o n s m
i
a n d m
o
s a t i s f y i n g ( 3 . 6 ) a n d a p p l y t h e n T h e o r e m 3 . 5 . T o t h i s e n d l e t m
i
a n d m
o
b e i n t e g e r -
v a l u e d f u n c t i o n o n T s a t i s f y i n g ( 3 . 6 ) ( b u t n o t n e c e s s a r i l y m
o
( T ) = m
i
( T ) ) a n d a s s u m e t h a t m
i
a n d m
o
a r e m i n i m a l
w i t h r e s p e c t t o t h i s ( 3 . 6 a ) a n d ( 3 . 6 b ) , r e s p e c t i v e l y . ( T h a t i s , ( 3 . 6 a ) , s a y , i s d e s t r o y e d i f w e r e d u c e m
i
b y o n e o n a n y
e l e m e n t v w h e r e m
i
( v ) > 0 )
C L A I M m
i
( T ) a n d m
o
( T )
P r o o f . B y s y m m e t r y w e m a y a s s u m e t h a t m
i
( T ) m
o
( T ) . I n c r e a s e m
o
s o t h a t m
o
( T ) = m
i
( T ) ( t h i s w a y
w e m a y l o o s e t h e m i n i m a l i t y o f m
o
b u t i t d o e s n o t m a t t e r ) . S i n c e m
i
i s m i n i m a l , e v e r y e l e m e n t v 2 T f o r w h i c h
m
i
( v ) > 0 b e l o n g s t o a n i n - t i g h t s e t . L e t F = f X
1
; : : : ; X
t
g b e a f a m i l y o f i n - t i g h t s e t s s o t h a t e a c h v w i t h p o s i t i v e
m
i
( v ) b e l o n g s t o a m e m b e r o f F a n d F i s m i n i m u m . T h e r e a r e n o t w o c r o s s i n g m e m b e r s o f F s i n c e , b y L e m m a 4 ,
8
8/3/2019 Connectivity Augmentation
http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 9/23
t h e i r u n i o n i s i n - t i g h t , c o n t r a d i c t i n g t h e m i n i m a l i t y o f F I f F h a v e t w o m e m b e r s X Y f o r w h i c h T = X Y , t h e n b y
L e m m a 2 , m ( X \ Y ) = 0 . A p p l y i n g ( 3 . 7 b ) t o f T X T Y g w e h a v e m
i
( T ) = m
i
( X ) + m
i
( Y ) = p ( X ) + p ( Y )
F i n a l l y , i f F c o n s i s t s o f d i s j o i n t s u b s e t s , t h e n b y ( 3 . 7 a ) w e g e t m ( T ) =
P
j
m
i
( X
j
) =
P
j
p ( X
j
)
N o w t h e t h e o r e m d i r e c t l y f o l l o w s f r o m T h e o r e m 3 . 5
T h e o r e m 3 . 7 i m p l i e s t h e f o l l o w i n g g e n e r a l i z a t i o n o f T h e o r e m 3 . 4 . L e t D = ( V E ) b e a d i r e c t e d g r a p h a n d T a
s u b s e t o f n o d e s . W e s a y t h a t D s k - e d g e - c o n n e c t e d i n T f ( u v ) k f o r e v e r y p a i r o f n o d e s u v 2 T
T H E O R E M 3 . 8 G i v e n a d i g r a p h D a n d a s u b s e t T o f n o d e s , i t i s p o s s i b l e t o m a k e D k - e d g e - c o n n e c t e d i n
T b y a d d i n g a t m o s t n e w e d g e s c o n n e c t i n g e l e m e n t s o f T i f a n d o n l y i f
X
i
( k % ( X
i
) ) a n d
X
i
( k ( X
i
) ) ( 3 8 )
h o l d s f o r e v e r y f a m i l y F = f X
1
; : : : ; X
t
g o f s u b s e t s V f o r w h i c h ; X
i
\ T T a n d F T i s a s u b - p a r t i t i o n
o f T
P r o o f . F o r e v e r y s u b s e t X o f T d e n e p ( X ) : = m a x ( ( k % ( X Z ) )
+
Z V T ) . T h i s p s a t i s e s t h e
h y p o t h e s i s o f T h e o r e m 3 . 5 a n d ( 3 . 7 ) t r a n s f o r m s t o ( 3 . 8 ) a n d h e n c e T h e o r e m 3 . 7 i m p l i e s T h e o r e m 3 . 8 .
M o r e c a n b e s a i d i f D i s d i - E u l e r i a n o u t s i d e T , t h a t i s , % ( v ) = ( v ) f o r e v e r y v 2 V T
C O R O L L A R Y 3 . 9 S u p p o s e t h a t D i s d i - E u l e r i a n o u t s i d e T . I t i s p o s s i b l e t o m a k e D k - e d g e - c o n n e c t e d i n
T b y a d d i n g a t m o s t n e w e d g e s c o n n e c t i n g e l e m e n t s o f T i f a n d o n l y i f ( 3 . 8 ) h o l d s f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n
F = f X
1
; : : : ; X
t
g o f V f o r w h i c h ; X
i
\ T T
P r o o f . I f t h e c o n d i t i o n o f T h e o r e m 3 . 8 a r e s a t i s e d , w e a r e d o n e . S u p p o s e i n d i r e c t l y t h a t t h e r e i s a f a m i l y
F = f X
1
; : : : ; X
t
g f o r w h i c h F T i s a s u b - p a r t i t i o n a n d F v i o l a t e s ( 3 . 8 ) . W e m a y a s s u m e t h a t
P
X
i
i s m i n i m u m .
S i n c e a s u b - p a r t i t i o n o f V s a t i s e s ( 3 . 8 ) , t h e r e a r e t w o m e m b e r s X Y o f F w h o s e i n t e r s e c t i o n i s n o n - e m p t y . B y t h e
h y p o t h e s i s e v e r y n o d e i n X \ Y i s d i - E u l e r i a n , t h e r e f o r e % ( X ) + % ( Y ) % ( X Y ) + % ( Y X ) . R e p l a c i n g X a n d
Y b y X Y a n d Y X w e o b t a i n a f a m i l y F w h i c h a l s o v i o l a t e s ( 3 . 8 ) , c o n t r a d i c t i n g t h e m i n i m a l c h o i c e o f F
S i n c e t h e c o n d i t i o n i n C o r o l l a r y 3 . 9 i s n e c e s s a r y e v e n i f n e w e d g e s a r e a l l o w e d t o h a v e e n d - n o d e s n o t o n l y i n T
i t a l s o f o l l o w s t h a t t h e m i n i m u m n u m b e r o f n e w e d g e s w h o s e a d d i t i o n m a k e s a d i g r a p h k - e d g e - c o n n e c t e d i n T d o e s
n o t d e p e n d i f w e m a y o n l y a d d e d g e s w i t h e n d - n o d e s i n T o r a r b i t r a r y n e w e d g e s a r e a l l o w e d , p r o v i d e d t h a t D s
d i - E u l e r i a n o u t s i d e T
T h e f o l l o w i n g g e n e r a l i z a t i o n o f C o r o l l a r y 3 . 9 i s d u e t o B a n g - J e n s e n , F r a n k , a n d J a c k s o n , 1 9 9 3 ] . L e t D = ( V E )
b e a d i g r a p h a n d l e t T ( D ) = f v 2 V %
D
( v ) 6=
D
( v ) g b e t h e s e t o f n o n - d i - E u l e r i a n n o d e s . L e t k b e a p o s i t i v e
i n t e g e r a n d r ( x y ) ( x y 2 V ) a n o n - n e g a t i v e i n t e g e r - v a l u e d d e m a n d f u n c t i o n s a t i s f y i n g
r ( x y ) = r ( y x ) k f o r e v e r y x y 2 V a n d ( 3 9 a )
r ( x y ) k f o r e v e r y x y 2 T ( D ) ( 3 9 b )
L e t R ( ; ) = R ( V ) = 0 a n d f o r X V l e t R ( X ) : = m a x ( r ( x y ) X s e p a r a t e s x a n d y ) . L e t u s d e n e
q
i
( X ) = R ( X ) %
D
( X ) q
o
( X ) = R ( X )
D
( X )
T H E O R E M 3 . 1 0 B a n g - J e n s e n , F r a n k a n d J a c k s o n , 1 9 9 4 ] G i v e n a d i g r a p h D = ( V E ) p o s i t i v e i n t e g e r s k
, a n d a d e m a n d f u n c t i o n r ( x y ) s a t i s f y i n g ( 3 . 9 ) , D c a n b e e x t e n d e d t o D
+
b y a d d i n g n e w d i r e c t e d e d g e s
s o t h a t
( x y D
+
) r ( x y ) f o r e v e r y x y 2 V ( 3 1 0 )
i f a n d o n l y i f b o t h
X
j
q
i
( X
j
) ( 3 1 1 a )
9
8/3/2019 Connectivity Augmentation
http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 10/23
a n d
X
j
q
o
( X
j
) ( 3 1 1 b )
h o l d f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n f X
1
; : : : ; X
t
g o f V
C O R O L L A R Y 3 . 1 1 G i v e n a n E u l e r i a n d i g r a p h D = ( V E ) a n d a s y m m e t r i c d e m a n d f u n c t i o n r ( x y ) D
c a n b e e x t e n d e d t o a n E u l e r i a n d i g r a p h D
+
b y a d d i n g n e w e d g e s s o t h a t ( 3 . 1 0 ) h o l d s i f a n d o n l y i f ( 3 . 1 1 )
i s s a t i s e d .
O u r n e x t p r o b l e m i s t o n d a k - e d g e - c o n n e c t e d a u g m e n t a t i o n o f m i n i m u m c a r d i n a l i t y i f u p p e r a n d l o w e r b o u n d
a r e i m p o s e d b o t h o n t h e i n - d e g r e e s a n d o n t h e o u t - d e g r e e s o f t h e d i g r a p h o f n e w l y a d d e d e d g e s . L e t f
i
g
i
a n d
f
o
g
o
b e f o u r n o n - n e g a t i v e i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n s o n V ( i n n i t e v a l u e s a r e a l l o w e d f o r g
i
a n d g
o
) . T h e f o l l o w i n g
t w o r e s u l t s a p p e a r e d i n F r a n k , 1 9 9 2 ] .
T H E O R E M 3 . 1 2 G i v e n a d i r e c t e d g r a p h D = ( V E ) a n d a p o s i t i v e i n t e g e r k D c a n b e m a d e k - e d g e -
c o n n e c t e d b y a d d i n g a s e t F o f p r e c i s e l y n e w e d g e s s o t h a t b o t h
f
i
( v ) %
F
( v ) g
i
( v ) ( 3 1 2 a )
a n d
f
o
( v )
F
( v ) g
o
( v ) ( 3 1 2 b )
h o l d f o r e v e r y n o d e v o f D i f a n d o n l y i f b o t h
k % ( X ) g
i
( X ) ( 3 1 3 a )
a n d
k ( X ) g
o
( X ) ( 3 1 3 b )
h o l d f o r e v e r y s u b s e t ; X V a n d b o t h
X
j
( k % ( X
j
) j = 1 ; : : : ; t ) + f
i
( X
0
) ( 3 1 4 a )
a n d
X
j
( k ( X
j
) j = 1 ; : : : ; t ) + f
o
( X
0
) ( 3 1 4 b )
h o l d f o r e v e r y p a r t i t i o n f X
0
X
1
X
2
; : : : ; X
t
g o f V w h e r e o n l y X
0
m a y b e e m p t y .
O n e m a y b e i n t e r e s t e d i n d e g r e e - c o n s t r a i n e d a u g m e n t a t i o n s w h e n t h e r e i s n o r e q u i r e m e n t f o r t h e n u m b e r o f n e w
e d g e s .
T H E O R E M 3 . 1 3 G i v e n a d i r e c t e d g r a p h D = ( V E ) a n d a p o s i t i v e i n t e g e r k D c a n b e m a d e k - e d g e -
c o n n e c t e d b y a d d i n g a s e t F o f n e w e d g e s s a t i s f y i n g ( 3 . 1 2 ) i f a n d o n l y i f ( 3 . 1 3 ) h o l d s a n d a n d
X
j
( k % ( X
j
) j = 1 ; : : : ; t ) + f
i
( X
0
) ( 3 1 5 a )
a n d
X
j
( k ( X
j
) j = 1 ; : : : ; t ) + f
o
( X
0
) ( 3 1 5 b )
h o l d f o r e v e r y p a r t i t i o n f X
0
X
1
X
2
; : : : ; X
t
g o f V w h e r e o n l y X
0
m a y b e e m p t y a n d : = m i n ( g
o
( V ) g
i
( V ) )
1 0
8/3/2019 Connectivity Augmentation
http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 11/23
W e c l o s e t h i s s e c t i o n b y a n o t h e r g e n e r a l i z a t i o n o f T h e o r e m 3 . 8 . L e t D = ( V A ) b e a d i g r a p h w i t h t w o s p e c i e d
n o n - e m p t y s u b s e t s S T o f n o d e s ( w h i c h m a y o r m a y n o t b e d i s j o i n t ) . W e s a y t h a t D s k - e d g e - c o n n e c t e d f r o m
S t o T i f t h e r e a r e k e d g e - d i s j o i n t p a t h s f r o m e v e r y n o d e o f S t o e v e r y n o d e o f T . ( W h e n S = T w e a r e b a c k a t
k - e d g e - c o n n e c t i v i t y i n T . ) W e s a y t h a t a f a m i l y o f s u b s e t s o f n o d e s i s ( S T ) - i n d e p e n d e n t i f i t c o n t a i n s a t m o s t
o n e t s - s e t f o r e v e r y p a i r s 2 S t 2 T
T H E O R E M 3 . 1 4 A d i g r a p h D = ( V E ) c a n b e m a d e k - e d g e - c o n n e c t e d f r o m S t o T b y a d d i n g a t m o s t
n e w e d g e s w i t h t a i l s i n S a n d h e a d s i n T i f a n d o n l y i f
X
j
( k % ( X
j
) ) ( 3 1 6 )
h o l d s f o r e v e r y c h o i c e o f ( S T ) - i n d e p e n d e n t f a m i l y o f s u b s e t s X
j
V w h e r e T \ X
j
6= ; S X
j
6= ; f o r
e a c h X
j
I n a l l o t h e r t h e o r e m s i n t h i s s e c t i o n ( e x c e p t t h e L u c c h e s i - Y o u n g e r t h e o r e m ) s u b - p a r t i t i o n s p l a y e d t h e m a i n r o l e
i n t h e c h a r a c t e r i z a t i o n i n q u e s t i o n . I n T h e o r e m 3 . 1 4 t h e c h a r a c t e r i z a t i o n i s m o r e c o m p l i c a t e d . I n f a c t , i t s p r o o f
g o e s a l o n g a l i n e c o m p l e t e l y d i e r e n t f r o m t h e a p p r o a c h a p p l i e d f o r p r o v i n g t h e p r e v i o u s t h e o r e m s . T h e t h e o r e m i s
a c o n s e q u e n c e o f a g e n e r a l r e s u l t o f F r a n k a n d J o r d a n , 1 9 9 5 ] o n c r o s s i n g b i - s u p e r m o d u l a r f u n c t i o n s , w h i c h a m o n g
o t h e r s , g i v e s r i s e t o a s o l u t i o n t o t h e n o d e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m o f d i r e c t e d g r a p h s . T h i s i s t h e t o p i c
o f t h e n e x t s e c t i o n .
4 . N O D E - C O N N E C T I V I T Y A U G M E N T A T I O N O F D I G R A P H S
G i v e n a d i r e c t e d g r a p h D = ( V E ) , h o w m a n y n e w e d g e s h a v e t o b e a d d e d t o D t o m a k e i t k - n o d e - c o n n e c t e d ,
i n s h o r t , k - c o n n e c t e d . R e c a l l t h a t a d i g r a p h i s c a l l e d k - c o n n e c t e d i f i t r e m a i n s s t r o n g l y c o n n e c t e d a f t e r d e l e t i n g a t
m o s t k 1 n o d e s . T h a t i s , k - c o n n e c t i v i t y i s d e n e d o n l y i f k n 1 I f k = n 1 , t h e n i n a k - c o n n e c t e d d i g r a p h
x y i s a n e d g e f o r e v e r y o r d e r e d p a i r f x y g o f n o d e s . T h i s c a s e i s u n i n t e r e s t i n g s o w e w i l l a s s u m e t h a t k n 2
A l s o , w h e n k = 1 , e d g e - c o n n e c t i v i t y a n d n o d e - c o n n e c t i v i t y c o i n c i d e ( : s t r o n g c o n n e c t i v i t y ) s o w e w i l l a s s u m e t h a t
k 2
I n S e c t i o n 2 w e i n d i c a t e d t h a t a r e l a t e d a u g m e n t a t i o n p r o b l e m , w h e n t h e g o a l i s t o r e a c h k - c o n n e c t i v i t y f r o m a
s p e c i e d n o d e , c o u l d b e s o l v e d F r a n k a n d T a r d o s , 1 9 8 9 ] , i n c l u d i n g t h e m i n i m u m c o s t v e r s i o n . T h e g e n e r a l m i n i m u m
c o s t k - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i s N P - c o m p l e t e s o w e c o n c e n t r a t e o n l y o n t h e m i n i m u m c a r d i n a l i t y c a s e .
M a s u z a w a , H a g i h a r a a n d T o k u r a 1 9 8 7 ] s o l v e d i t w h e n t h e s t a r t i n g d i g r a p h i s a n a r b o r e s c e n c e ( a d i r e c t e d t r e e s o
t h a t e v e r y n o d e i s r e a c h a b l e f r o m a s o u r c e - n o d e ) . T h e i r r e s u l t e a s i l y e x t e n d s t o b r a n c h i n g s :
T H E O R E M 4 . 1 M a s u z a w a e t a l . , 1 9 8 7 ] , T h e m i n i m u m n u m b e r o f e d g e s w h o s e a d d i t i o n m a k e s a b r a n c h i n g
D = ( V E ) k - c o n n e c t e d i s (
P
( k ( v ) )
+
v 2 V ) , t h a t i s , t h e s u m o f o u t - d e c i e n c i e s o f t h e n o d e s .
F o r m o r e g e n e r a l d i g r a p h s s t r o n g e r l o w e r b o u n d s a r e r e q u i r e d . O n e n a t u r a l i d e a i s t o m i m i c t h e a p p r o a c h a p p l i e d
s u c c e s s f u l l y i n T h e o r e m 3 . 4 . F o r a s u b s e t X o f n o d e s ( w i t h V X k + 1 ) l e t I ( X ) ( r e s p e c t i v e l y , O ( X ) ) d e n o t e
t h e s e t o f n o d e s i n V X f r o m w h i c h t h e r e i s a n e d g e t o X ( i n t o w h i c h t h e r e i s a n e d g e f r o m X ) . I n a k - c o n n e c t e d
d i g r a p h t h e c a r d i n a l i t y o f I ( X ) a n d O ( X ) m u s t b e a t l e a s t k . T h e r e f o r e , i f t h e d i g r a p h i s n o t k - c o n n e c t e d , w e m a y
c a l l t h e q u a n t i t y Q
I
( X ) : = ( k I ( X ) )
+
t h e i n - d e c i e n c y a n d Q
O
( X ) : = ( k O ( X ) )
+
t h e o u t - d e c i e n c y
o f s e t X . C l e a r l y , i f t h e r e i s a f a m i l y o f d i s j o i n t s e t s ( e a c h h a v i n g c a r d i n a l i t y a t m o s t V 1 k ) ) , t h e n t h e s u m o f t h e
i n - d e c i e n c i e s a n d t h e s u m o f o u t - d e c i e n c i e s a r e b o t h l o w e r b o u n d s f o r t h e n e c e s s a r y n u m b e r o f n e w e d g e s . T h e o r e m
3 . 4 a s s e r t e d t h a t t h e m a x i m u m o f t h e a n a l o g o u s l o w e r b o u n d s i n t h e e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o v i d e s t h e
c o r r e c t m i n i m u m f o r t h e n u m b e r o f n e w e d g e s . U n f o r t u n a t e l y , t h i s i s n o t t h e c a s e f o r n o d e - c o n n e c t i v i t y e v e n i f t h e
s t a r t i n g d i g r a p h i s k 1 c o n n e c t e d . A n e x a m p l e i n J o r d a n , 1 9 9 5 ] s h o w s t h a t t h e m i n i m u m o f t h e r e q u i r e d n e w
e d g e s m a y b e k 1 l a r g e r t h a n t h e m a x i m u m s u m o f o u t - o r i n - d e c i e n c i e s o f a s u b - p a r t i t i o n . ( O n t h e o t h e r h a n d ,
i n a r e c e n t p a p e r F r a n k a n d J o r d a n , 1 9 9 5 b ] w e c a n d e r i v e f r o m t h e g e n e r a l m i n - m a x t h e o r e m b e l o w t h a t t h i s g a p
a c t u a l l y c a n n e v e r g e t b i g g e r t h a n k 1 )
1 1
8/3/2019 Connectivity Augmentation
http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 12/23
T h e o r e m 2 . 1 h o w e v e r s u g g e s t s t h a t , i n s t e a d o f s i n g l e s e t s , i t m i g h t b e h e l p f u l t o c o n s i d e r p a i r s o f d i s j o i n t s e t s .
L e t u s c a l l a n o r d e r e d p a i r ( A B ) o f n o n - e m p t y d i s j o i n t s u b s e t s o f n o d e s o n e - w a y i f t h e r e i s n o e d g e i n D f r o m
A t o B . T h e d e c i e n c y p
d e f
( A B ) o f a o n e - w a y p a i r i s d e n e d b y ( k ( V ( A B ) ) )
+
. C l e a r l y i n a k -
c o n n e c t e d a u g m e n t a t i o n o f D a t l e a s t t h a t m a n y e d g e s f r o m A t o B m u s t b e a d d e d t o D . F i n a l l y , c a l l t w o p a i r s
( A
i
B
i
) ( i = 1 2 ) i n d e p e n d e n t a t l e a s t o n e o f A
1
\ A
2
a n d B
1
\ B
2
i s e m p t y .
T H E O R E M 4 . 2 F r a n k a n d J o r d a n , 1 9 9 5 ] A d i g r a p h D = ( V E ) c a n b e m a d e k n o d e - c o n n e c t e d b y a d d i n g
a t m o s t n e w e d g e s i f a n d o n l y i f
X
( p
d e f
( X Y ) ( X Y ) 2 F ) ( 4 1 )
h o l d s f o r e v e r y f a m i l y F o f p a i r w i s e i n d e p e n d e n t o n e - w a y p a i r s .
S i n c e t h i s i s a c h a r a c t e r i z a t i o n f o r a g e n e r a l s t a r t i n g d i g r a p h , o n e m a y e x p e c t t h a t T h e o r e m 4 . 1 , w h e r e t h e
s t a r t i n g d i g r a p h i s a b r a n c h i n g , c a n b e d e r i v e d f r o m i t . S o f a r w e w e r e n o t a b l e t o d o t h a t . T h e f o l l o w i n g c o n j e c t u r e ,
i f t r u e , i s a g e n e r a l i z a t i o n o f T h e o r e m 4 . 2 .
C O N J E C T U R E I f D i s a s i m p l e a c y c l i c d i g r a p h , t h e n t h e m i n i m u m n u m b e r o f n e w e d g e s w h o s e a d d i t i o n
m a k e s D k - c o n n e c t e d i s e q u a l t o t h e m a x i m u m o f t h e s u m o f o u t - d e c i e n c i e s a n d t h e s u m o f i n - d e c i e n c i e s
o f n o d e s .
N o t e t h a t M . B u s s i e c k 1 9 9 2 ] p o i n t e d o u t t h a t t h e t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t e m e n t f o r e d g e - c o n n e c t i v i t y e a s i l y
f o l l o w s f r o m T h e o r e m 3 . 4 .
A c t u a l l y , T h e o r e m 4 . 2 i s a s p e c i a l c a s e o f a m o r e g e n e r a l r e s u l t . L e t V b e a g r o u n d - s e t a n d S T t w o ( n o n -
n e c e s s a r i l y d i s j o i n t ) s u b s e t s o f V . L e t A d e n o t e t h e s e t o f a l l d i r e c t e d e d g e s s t f o r w h i c h s 2 S t 2 T
L e t A d e n o t e t h e s e t o f a l l o r d e r e d p a i r s ( X Y ) w i t h X S Y T . W e c a l l X a n d Y t h e t a i l a n d t h e h e a d
o f t h e p a i r , r e s p e c t i v e l y . A d i r e c t e d e d g e x y c o v e r s a p a i r ( X Y ) 2 F f x 2 X y 2 Y . W e s a y t h a t a s u b - f a m i l y
F o f A s i n d e p e n d e n t i f e v e r y e d g e o f A c o v e r s a t m o s t o n e m e m b e r o f F . T h i s i s e q u i v a l e n t t o r e q u i r i n g t h a t
t h e r e a r e n o t w o m e m b e r s ( X
i
Y
i
) ( i = 1 2 ) o f F f o r w h i c h X
1
\ X
2
6= ; a n d Y
1
\ Y
2
6= ;
L e t p b e a n o n - n e g a t i v e , i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n d e n e d o n A f o r w h i c h p ( X ; ) = p ( ; Y ) = 0 . W e s a y t h a t p
s c r o s s i n g b i - s u p e r m o d u l a r f
p ( X Y ) + p ( X Y ) p ( X \ X Y Y ) + p ( X X Y \ Y ) ( 4 2 )
h o l d s w h e n e v e r p ( X Y ) p ( X Y ) > 0 X \ X Y \ Y 6= ;
F o r a n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n x d e n e d o n A , d e n e
x
( X Y ) =
P
( x ( s t ) s 2 X t 2 Y ) . W e s a y t h a t x
c o v e r s p o r t h a t x s a c o v e r i n g o f p f
x
p T h e m a i n r e s u l t i n F r a n k a n d J o r d a n , 1 9 9 5 ] i s :
T H E O R E M 4 . 3 F o r a n i n t e g e r - v a l u e d c r o s s i n g b i - s u p e r m o d u l a r f u n c t i o n p t h e f o l l o w i n g m i n - m a x e q u a l i t y
h o l d s .
p
: = m i n ( z ( A ) z a n i n t e g e r - v a l u e d c o v e r i n g o f p ) =
p
: = m a x ( p ( F ) : F A F i n d e p e n d e n t ) .
T h e o r e m 4 . 2 a s w e l l a s T h e o r e m s 3 . 4 a n d 3 . 7 a r e s p e c i a l c a s e s o f t h i s r e s u l t a n d T h e o r e m 3 . 5 c a n a l s o e a s i l y
b e d e r i v e d f r o m i t . ( I n F r a n k a n d J o r d a n , 1 9 9 5 ] a d i c u l t m i n - m a x t h e o r e m o n i n t e r v a l s o f E . G y } o r i w a s a l s o
s h o w n t o b e a c o n s e q u e n c e b u t t h i s h a s n o t h i n g t o d o w i t h c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n ) . H a v i n g s o m a n y c o r o l l a r i e s ,
i t i s i n d e e d s u r p r i s i n g t h a t t h e p r o o f o f T h e o r e m 4 . 3 i s s h o r t a n d i s r a t h e r s t a n d a r d ( d e m o n s t r a t i n g n i c e l y t h a t
n d i n g t h e r i g h t n o t i o n s a n d f o r m u l a t i o n o f r e s u l t s m i g h t s u b s u m e s o p h i s t i c a t e d p r o o f s ) . T h i s p r o o f i s , h o w e v e r ,
n o t c o n s t r u c t i v e ! T h o u g h t h e t h e o r e m m a y b e u s e d t o d e v e l o p a p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m f o r n d i n g a m i n i m u m
k - c o n n e c t e d a u g m e n t a t i o n o f a d i g r a p h , t h e a l g o r i t h m i s b a s e d o n t h e e l l i p s o i d m e t h o d . D e s i g n i n g a c o m b i n a t o r i a l
a l g o r i t h m f o r t h i s t a s k i s o n e o f t h e m o s t c h a l l e n g i n g a l g o r i t h m i c a l p r o b l e m o f t h e a r e a . W e d o n o t k n o w s u c h a n
a l g o r i t h m e v e n i f D s ( k 1 ) - c o n n e c t e d , t h a t i s , t h e g o a l i s t o i n c r e a s e t h e c o n n e c t i v i t y o f D o n l y b y 1 . ( F o r k = 1
E s w a r a n a n d T a r j a n h a v e s u c h a n a l g o r i t h m . I n a r e c e n t p a p e r w e d e v e l o p e d a n a l g o r i t h m f o r k = 2 F r a n k a n d
J o r d a n , 1 9 9 5 b ]
I n t h e s a m e p a p e r w e w e r e a b l e t o s h o w t h a t i n T h e o r e m 4 . 2 , i f D s ( k 1 ) - c o n n e c t e d , t h e n t h e o p t i m a l d i g r a p h
o f n e w e d g e s m a y b e c h o s e n t o c o n s i s t s o f d i s j o i n t d i r e c t e d p a t h s a n d c i r c u i t s . T h i s i m p l i e s
1 2
8/3/2019 Connectivity Augmentation
http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 13/23
T H E O R E M 4 . 4 L e t D b e a k - c o n n e c t e d d i g r a p h f o r w h i c h t h e i n - d e g r e e a n d o u t - d e g r e e o f e v e r y n o d e i s k
T h e n i t i s p o s s i b l e t o a d d d i s j o i n t d i r e c t e d c i r c u i t s t o D s o t h a t t h e r e s u l t i n g d i g r a p h D
+
i s ( k + 1 ) - c o n n e c t e d .
N o t e t h a t i t i s n o t a l w a y s p o s s i b l e t o i n c r e a s e t h e c o n n e c t i v i t y o f a d i g r a p h b y a d d i n g a d i r e c t e d H a m i l t o n i a n
c i r c u i t . ( T a k e a d i g r a p h a r i s i n g f r o m K
3 3
b y r e p l a c i n g e a c h e d g e b y t w o o p p o s i t e l y d i r e c t e d e d g e s . )
5 . E D G E - C O N N E C T I V I T Y A U G M E N T A T I O N W I T H U N D I R E C T E D E D G E S
T h e p u r p o s e o f t h e p r e s e n t c h a p t e r i s t o r e v i e w r e s u l t s c o n c e r n i n g e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n w h e n o n l y
u n d i r e c t e d e d g e s a r e a l l o w e d t o b e a d d e d . T y p i c a l l y t h e s t a r t i n g g r a p h G = ( V E ) i s a l s o u n d i r e c t e d b u t m a n y
r e s u l t s e x t e n d s t o m i x e d s t a r t i n g g r a p h s a s w e l l .
L e t r ( x y ) b e a s y m m e t r i c , n o n - n e g a t i v e , i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n d e n e d o n t h e p a i r s o f n o d e s . A d d a m i n i m u m
n u m b e r o f n e w e d g e s t o G s o t h a t ( x y G
+
) r ( x y ) h o l d s f o r e v e r y p a i r o f n o d e s x y o f t h e a u g m e n t e d g r a p h
G
+
T h e r s t r e s u l t s c o n c e r n e d t h e s p e c i a l c a s e w h e n t h e s t a r t i n g g r a p h h a s n o e d g e s . F o r t h e f r a c t i o n a l v e r s i o n
o f t h i s c a s e R . E . G o m o r y a n d T . C . H u 1 9 6 1 ] p r o v i d e d a n e l e g a n t s o l u t i o n a n d p r o v e d t h a t t h e o p t i m a l ( f r a c t i o n a l )
a u g m e n t a t i o n c a n b e r e a l i z e d b y h a l f - i n t e g e r s . W . C h o u a n d H . F r a n k 1 9 7 0 ] s o l v e d t h e i n t e g e r - v a l u e d v e r s i o n . I n
a n o t h e r p a p e r H . F r a n k a n d W . C h o u 1 9 7 0 ] s o l v e d t h e r e s t r i c t e d p r o b l e m w h e n n o p a r a l l e l e d g e s a r e a l l o w e d t o b e
u s e d . J . E d m o n d s 1 9 6 4 ] p r o v e d t h a t i f t h e r e e x i s t s a s i m p l e g r a p h w i t h a s p e c i e d d e g r e e s e q u e n c e a n d e a c h d e g r e e
i s a t l e a s t k , t h e n t h e r e i s a k - e d g e - c o n n e c t e d s i m p l e g r a p h w i t h t h e g i v e n d e g r e e s e q u e n c e .
T h e r s t p a p e r s c o n c e r n i n g g e n e r a l s t a r t i n g g r a p h s a p p e a r e d i n 1 9 7 6 . K . E s w a r a n a n d R . E . T a r j a n a n d J .
P l e s n i k s o l v e d t h e 2 - e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m . E s w a r a n a n d T a r j a n a l s o p r o v i d e d a l i n e a r t i m e
a l g o r i t h m w h i l e P l e s n i k ' s p a p e r i s t h e r s t w h e r e t h e i d e a o f s p l i t t i n g o t e c h n i q u e a p p e a r s . I n a t i n y n o t e a t t h e e n d
o f h i s p a p e r , P l e s n i k r e m a r k s t h a t t h e 2 - e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n t h e o r e m a l s o f o l l o w s f r o m a ( t h e n r e c e n t )
t h e o r e m o f L o v a s z o n s p l i t t i n g o e d g e s . I t t u r n e d o u t t h a t t h i s a p p r o a c h h a s f a r r e a c h i n g c o n s e q u e n c e s . T h e g e n e r a l
k - e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m w a s s o l v e d b y T . W a t a n a b e a n d A . N a k a m u r a 1 9 8 7 ] . I n t h e i r s o l u t i o n
t h e r e i s n o r e s t r i c t i o n o n t h e n u m b e r o f c o p i e s a n e w e d g e m a y b e a d d e d . I t i s a n i m p o r t a n t o p e n p r o b l e m t o n d
a l g o r i t h m s t h a t d o e s n o t a d d p a r a l l e l e d g e s . V e r y r e c e n t l y t h i s t a s k w a s s o l v e d f o r t h e s p e c i a l c a s e s k 5 b y T a o k a ,
T a k a f u j i a n d W a t a n a b e 1 9 9 4 ] .
T h e f u n d a m e n t a l m i n - m a x t h e o r e m o f W a t a n a b e a n d N a k a m u r a a s f o l l o w s .
T H E O R E M 5 . 1 T h e m i n i m u m n u m b e r o f e d g e s w h o s e a d d i t i o n m a k e s a n u n d i r e c t e d g r a p h G = ( V E )
k - e d g e - c o n n e c t e d ( k 2 ) i s e q u a l t o
m a x d (
X
i
( k d ( X
i
) ) ) = 2 e ( 5 1 )
w h e r e t h e m a x i m u m i s t a k e n o v e r a l l s u b - p a r t i t i o n s f X
1
; : : : ; X
t
g o f V
T h e p r o o f o f W a t a n a b e a n d N a k a m u r a i s b a s e d o n t h e r e c o g n i t i o n t h a t t h e a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s f o r d i e r e n t
k ' s a r e s t r o n g l y r e l a t e d . T h e y p r o v e v a r i o u s e x c i t i n g s t r u c t u r a l p r o p e r t i e s o f e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n s . B e l o w
w e c i t e t w o o f t h e m . T h e s e a r e n o t o n l y t h e b a s i s o f t h e i r a u g m e n t a t i o n a l g o r i t h m b u t s e r v e a s a f r a m e w o r k f o r
s u b s e q u e n t i m p r o v e d a l g o r i t h m s , a s w e l l ( G u s e l d , N a o r a n d M a r t e l , 1 9 9 0 ] , G a b o w , 1 9 9 1 ] , B e n c z u r , 1 9 9 4 ] ) .
L e t u s r s t s t u d y h o w a n o p t i m a l s u b - p a r t i t i o n f o r ( 5 . 1 ) m a y b e f o u n d . I t i s a n e a s y o b s e r v a t i o n t h a t f o r a n y
x e d i n t e g e r l t h e r e l a t i o n " ( x y ) l " o n t h e n o d e - s e t o f a g r a p h G = ( V E ) i s a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n s h i p .
A n e q u i v a l e n c e c l a s s m a y b e c a l l e d a n e d g e - c o n n e c t i v i t y c o m p o n e n t ( i n s h o r t , e c - c o m p o n e n t ) o r a n l -
c o m p o n e n t . ( T h a t i s , a n l - c o m p o n e n t i s a m a x i m a l s u b s e t o f n o d e s f o r w h i c h ( x y ) l ) F r o m t h e d e n i t i o n i t i s
s t r a i g h t f o r w a r d t h a t t h e f a m i l y F
e c
o f a l l e c - c o m p o n e n t s i s a l a m i n a r f a m i l y ( a n d h e n c e i t h a s a t m o s t 2 n m e m b e r s ) .
F o r l = 0 t h e n o d e - s e t V i s a n e c - c o m p o n e n t a n d f o r l = E + 1 e a c h s i n g l e n o d e i s a e c - c o m p o n e n t .
1 3
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C a l l a s u b s e t X V e x t r e m e f d ( X ) > d ( X ) h o l d s f o r e v e r y p r o p e r , n o n - e m p t y s u b s e t X o f X . I f w e
c h o o s e a n o p t i m a l s u b - p a r t i t i o n i n ( 5 . 1 ) s o t h a t t h e u n i o n o f i t s m e m b e r s h a s m i n i m u m c a r d i n a l i t y , t h e n t h e s u b -
p a r t i t i o n c o n s i s t s o f e x t r e m e s e t s . I n o t h e r w o r d s i t s u c e s t o r e s t r i c t ( 5 . 1 ) o n s u b - p a r t i t i o n s c o n s i s t i n g o f e x t r e m e
s e t s . T h e f o l l o w i n g l e m m a i s b a s i c t o e x p l o r e t h e s t r u c t u r e o f e x t r e m e s e t s .
L E M M A 5 . 2 E a c h e x t r e m e s e t i s a n e d g e - c o n n e c t i v i t y c o m p o n e n t .
P r o o f . L e t C b e a n e x t r e m e s e t a n d l e t l : = m i n ( ( x y ) x y 2 C ) . S i n c e V a n d e a c h s i n g l e t o n i s a n e c -
c o m p o n e n t , w e m a y a s s u m e t h a t 1 < C < V . W e h a v e t o s h o w t h a t ( x y ) < l f o r a n y p a i r x 2 C y 2 V C
T h i s i s c l e a r l y t h e c a s e i f d ( C ) < l s o s u p p o s e t h a t d ( C ) l . B y M e n g e r ' s t h e o r e m t h e r e i s a s e t M f o r w h i c h
M \ C a n d C M a r e n o n - e m p t y a n d d ( M ) = l . B y t a k i n g t h e c o m p l e m e n t i f n e c e s s a r y , w e m a y a s s u m e t h a t
x 2 M I f y 62 M , t h e n w e h a v e d ( C ) + d ( M ) d ( C \ M ) + d ( C M ) > d ( C ) + d ( C M ) a n d t h e r e f o r e
( x y ) d ( C M ) < d ( M ) = l I f y 2 M , t h e n w e h a v e d ( C ) + d ( M ) d ( C M ) + d ( M C ) > d ( C ) + d ( M C )
a n d t h e r e f o r e ( x y ) d ( M C ) < d ( M ) = l
B y t h i s l e m m a t h e f a m i l y F
o f e x t r e m e s e t s i s a s u b - f a m i l y o f F
e c
a n d t h e r e f o r e i t i s a l a m i n a r f a m i l y . S i n c e
t h e e c - c o m p o n e n t s o f G c a n b e c o m p u t e d w i t h t h e h e l p o f a G o m o r y - H u t r e e , F
c a n a l s o b e c o m p u t e d . T h e n i c e
t h i n g i s t h a t t h e f a m i l y o f e x t r e m e s e t s i n c l u d e s a l l i n f o r m a t i o n w h i c h i s r e q u i r e d t o d e t e r m i n e t h e o p t i m u m i n ( 5 . 1 )
f o r a n y k
T h i s m a y b e d o n e r e c u r s i v e l y . F o r e a c h e x t r e m e s e t X l e t u s d e n e t h e r e c u r s i v e k - d e c i e n c y R
k
( X )
a s f o l l o w s . F o r s i n g l e t o n s l e t R
k
( v ) : = ( k d ( v ) )
+
I f f o r a l l m a x i m a l e x t r e m e s u b s e t s X o f a n e x t r e m e s e t
X ( w h i c h f o r m , i n c i d e n t a l l y , a s u b - p a r t i t i o n o f X ) R
k
( X ) h a s a l r e a d y b e e n d e t e r m i n e d , t h e n d e n e R
k
( X ) =
m a x ( k d ( X )
P
( R
k
( X ) X i s a m a x i m a l e x t r e m e s u b s e t o f X ) ) . P a r a l l e l t o t h i s w e m a y s t o r e a s u b - p a r t i t i o n
R
k
( X ) o f X . I t c o n s i s t s o f t h e s i n g l e s e t X i f t h e m a x i m u m i n t h e d e n i t i o n o f R
k
( X ) i s a t t a i n e d o n t h e r s t t e r m .
I f t h e m a x i m u m i s a t t a i n e d o n t h e s e c o n d t e r m , t h e n l e t R
k
( X ) = ( R
k
( X ) X i s a m a x i m a l e x t r e m e s u b s e t o f
X ) . F r o m d e n i t i o n i t i s c l e a r t h a t , a m o n g t h e s u b - p a r t i t i o n s R o f V c o n s i s t i n g o f e x t r e m e s e t s , R
k
( V ) m a x i m i z e s
t h e s u m
P
( k d ( X ) X 2 R ) a n d t h e r e f o r e R
k
i s a n o p t i m a l s o l u t i o n t o ( 5 . 1 ) .
N o t o n l y t h e b e s t s u b - p a r t i t i o n s f o r d i e r e n t v a l u e s o f k m a y b e e n c o d e d i n t o a s i n g l e l a m i n a r f a m i l y ( o f t h e
e x t r e m e s e t s ) b u t W a t a n a b e a n d N a k a m u r a p r o v e d t h a t t h e o p t i m a l e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n s f o r i n c r e a s i n g
k m a y b e c h o s e n a s a s e q u e n c e o f e v e r i n c r e a s i n g s u p e r g r a p h s :
T H E O R E M 5 . 3 S u p p o s e t h a t t h e e d g e - c o n n e c t i v i t y o f t h e s t a r t i n g g r a p h G i s l . T h e r e i s a s e q u e n c e
G = G G
+ 1
G
+ 2
; : : : o f g r a p h s s o t h a t f o r e a c h i l G
i + 1
i s a s u p e r g r a p h o f G
i
a n d G
i
i s a n i - e d g e -
c o n n e c t e d a u g m e n t a t i o n o f G u s i n g a m i n i m u m n u m b e r o f n e w e d g e s .
W a t a n a b e a n d N a k a m u r a d e s c r i b e d h o w t o c o m p u t e t h i s s e q u e n c e i n p o l y n o m i a l t i m e . G u s e l d , N a o r a n d
M a r t e l 1 9 9 0 ] a n d G a b o w 1 9 9 1 ] f o u n d i m p r o v e m e n t s f o r t h e c o m p l e x i t y . O n e a p p a r e n t d i s a d v a n t a g e o f t h i s a p p r o a c h
i s t h a t t h e r e s u l t i n g a l g o r i t h m i s n o t s t r o n g l y p o l y n o m i a l i f t h e t a r g e t e d g e - c o n n e c t i v i t y k i s v e r y b i g . T h i s i s c l e a r l y
s o s i n c e t h e a p p r o a c h u s e s o n e - b y - o n e a u g m e n t a t i o n s . A . B e n c z u r 1 9 9 4 ] h o w e v e r d e v i s e d a c l e v e r g r o u p i n g t e c h n i q u e
t o m a k e t h e a l g o r i t h m o f W a t a n a b e a n d N a k a m u r a s t r o n g l y p o l y n o m i a l .
T h e r s t s t r o n g l y p o l y n o m i a l a l g o r i t h m F r a n k 1 9 9 2 ] f o r t h e k - e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m f o l l o w e d
a d i e r e n t l i n e . O n e o f i t s b a s i c i d e a s , t h e u s e o f s p l i t t i n g o t e c h n i q u e , w a s s u g g e s t e d b y P l e s n i k 1 9 7 6 ] w h e n k = 2
a n d b y C a i a n d S u n 1 9 8 9 ] f o r a r b i t r a r y k 2 . U s i n g s p l i t t i n g o i s e q u i v a l e n t t o u s e d e g r e e - p r e s c r i b e d a u g m e n t a t i o n
p r o b l e m s .
T H E O R E M 5 . 4 L e t G = ( V E ) b e a n u n d i r e c t e d g r a p h a n d m a n o n - n e g a t i v e i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n o n
V G c a n b e m a d e k - e d g e - c o n n e c t e d ( k 2 ) b y a d d i n g a s e t F o f n e w e d g e s s o t h a t
d
F
( v ) = m ( v ) ( 5 2 )
h o l d s f o r e v e r y n o d e v i f a n d o n l y i f m ( V ) i s e v e n a n d
d ( X ) + m ( X ) k ( 5 3 )
1 4
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h o l d s f o r e v e r y n o n - e m p t y p r o p e r s u b s e t X o f V
T h i s t h e o r e m i s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f L o v a s z ' t h e o r e m o n s p l i t t i n g o :
T H E O R E M 5 . 5 L o v a s z 1 9 7 4 , 1 9 7 9 ] S u p p o s e t h a t i n a g r a p h G = ( V + s E ) d ( s ) > 0 i s e v e n a n d
( x y ) k ( 5 4 )
h o l d s f o r e v e r y p a i r o f n o d e s x y 2 V . T h e n t h e e d g e s i n c i d e n t t o s c a n b e p a i r e d i n t o d ( s ) = 2 p a i r s s o t h a t
s p l i t t i n g o t h e s e p a i r s t h e r e s u l t i n g d i g r a p h o n n o d e - s e t V i s k - e d g e - c o n n e c t e d .
T o d e r i v e T h e o r e m 5 . 4 , a d d a n e w n o d e s t o D a n d m ( v ) p a r a l l e l e d g e s b e t w e e n v a n d s f o r e v e r y v 2 V . T h e n
( 5 . 3 ) i s e q u i v a l e n t t o ( 5 . 4 ) a n d t h e e d g e - s e t F a r i s i n g i n T h e o r e m 5 . 5 f r o m t h e s p l i t t i n g o o p e r a t i o n s s a t i s e s t h e
r e q u i r e m e n t s i n T h e o r e m 5 . 4 .
A n e q u i v a l e n t f o r m o f T h e o r e m 5 . 1 o f W a t a n a b e a n d N a k a m u r a i s :
T H E O R E M 5 . 1 ' A n u n d i r e c t e d g r a p h G = ( V E ) c a n b e m a d e k e d g e - c o n n e c t e d b y a d d i n g a t m o s t n e w
e d g e s i f a n d o n l y i f
X
i
( k d ( X
i
) ) 2 ( 5 5 )
h o l d s f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n f X
1
; : : : ; X
t
g o f V
P r o o f o f T h e o r e m 5 . 1 ' f r o m T h e o r e m 5 . 4 . L e t m b e a n i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n f o r w h i c h ( 5 . 3 ) h o l d s a n d m s
m i m i m a l w i t h r e s p e c t t o t h i s p r o p e r t y . C a l l a s e t X t i g h t i f i t s a t i s e s ( 5 . 3 ) w i t h e q u a l i t y . W e c l a i m t h a t i f X a n d Y
a r e i n t e r s e c t i n g t i g h t s e t s , t h e n b o t h X Y a n d Y X a r e t i g h t a n d m ( X \ Y ) = 0 . I n d e e d , k m ( X ) + k m ( Y ) =
d ( X ) + d ( Y ) d ( X Y ) + d ( Y X ) k m ( X Y ) + k m ( Y X ) = k m ( X ) + k m ( Y ) + 2 m ( X \ Y )
f r o m w h i c h t h e c l a i m f o l l o w s .
B y t h e m i n i m a l i t y o f m t h e r e i s a f a m i l y F o f t i g h t s e t s s o t h a t e a c h v f o r w h i c h m ( v ) i s p o s i t i v e b e l o n g s
t o a m e m b e r o f F . C h o o s e F s o t h a t
P
( X X 2 F ) i s m i n i m u m . T h i s c h o i c e a n d t h e c l a i m s h o w s t h a t F s
l a m i n a r . T h e r e f o r e t h e m a x i m a l m e m b e r s o f F f o r m a s u b - p a r t i t i o n f X
1
; : : : ; X
t
g o f V c o v e r i n g a l l e l e m e n t s v w i t h
m ( v ) > 0
I t f o l l o w s f r o m ( 5 . 5 ) t h a t m ( V ) =
P
i
m ( X
i
) =
P
i
( k d ( X
i
) ) 2 B y i n c r e a s i n g m i f n e c e s s a r y , w e m a y
a s s u m e t h a t m ( V ) = 2 . F i n a l l y , b y a p p l y i n g T h e o r e m 5 . 4 t o t h i s m , T h e o r e m 5 . 1 ' f o l l o w s .
L e t u s t u r n t o t h e g e n e r a l a u g m e n t a t i o n p r o b l e m w h e n w e a r e g i v e n a n a r b i t r a r y s t a r t i n g g r a p h G = ( V E )
a n a r b i t r a r y ( s y m m e t r i c , n o n - n e g a t i v e , i n t e g e r - v a l u e d ) d e m a n d f u n c t i o n r ( x y ) a n d t h e g o a l i s t o d e t e r m i n e t h e
m i n i m u m n u m b e r o f n e w e d g e s t o b e a d d e d t o G s o a s t o o b t a i n a g r a p h G
+
f o r w h i c h
( x y G
+
) r ( x y ) ( 5 6 )
h o l d s f o r e v e r y p a i r o f n o d e s x y i n t h e a u g m e n t e d g r a p h G
+
. W e m a y c a l l a n a u g m e n t a t i o n s a t i s f y i n g ( 5 . 6 ) f e a s i b l e .
I f F i s t h e s e t o f n e w e d g e s i n a f e a s i b l e a u g m e n t a t i o n , a v e c t o r i n Z
V
d e n e d b y ( d
F
( v ) v 2 V ) i s c a l l e d a n
a u g m e n t a t i o n v e c t o r .
R e c a l l t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g a u g m e n t a t i o n p r o b l e m f o r d i r e c t e d g r a p h s i s N P - c o m p - l e t e a l r e a d y f o r v e r y s p e c i a l
d e m a n d f u n c t i o n s ( e . g . , w h e n r ( x y ) = 1 w h e n b o t h x a n d y b e l o n g t o a s u b s e t T o f n o d e s a n d 0 o t h e r w i s e ) . I n
t h i s l i g h t i t i s e s p e c i a l l y s u r p r i s i n g t h a t t h e u n d i r e c t e d a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i s t r a c t a b l e f o r a n y s t a r t i n g g r a p h a n d
f o r a n y d e m a n d f u n c t i o n F r a n k 1 9 9 2 ] .
I n o r d e r t o f o r m u l a t e t h e g e n e r a l a u g m e n t a t i o n r e s u l t , l e t u s d e n e a s e t - f u n c t i o n R o n t h e s u b s e t s o f V s o t h a t
R ( ; ) = R ( V ) : = 0 a n d
R ( X ) : = m a x ( r ( x y ) x 2 X y 2 V X ) ( 5 7 )
B y M e n g e r ' s t h e o r e m ( x y ) r ( x y ) h o l d s i n a g r a p h f o r e v e r y p a i r o f n o d e s x y i f a n d o n l y i f d ( X ) R ( X )
f o r e v e r y s u b s e t X V . T h a t i s , R ( X ) s e r v e s a s a l o w e r b o u n d f o r t h e n u m b e r o f e d g e s i n a c u t X V X a n d
q ( X ) : = ( R ( X ) d ( X ) )
+
m a y b e c o n s i d e r e d a s t h e d e c i e n c y o f X . N o w
m a x ( d (
X
i
q ( X
i
) ) = 2 e f X
1
X
2
; : : : ; X
t
g a s u b - p a r t i t i o n o f V ) ( 5 8 )
1 5
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i s a l o w e r b o u n d f o r t h e m i n i m u m n u m b e r ( G r ) o f n e w e d g e s . T h e o r e m 5 . 1 a s s e r t s t h a t t h i s l o w e r b o u n d i s
a c h i e v a b l e i f r k ( 2 )
O n t h e w a y t o g e n e r a l i z e T h e o r e m 5 . 1 w e h a v e t o p r e p a r e , h o w e v e r , t o o v e r c o m e a l i t t l e a n o m a l y i n d i c a t e d
a l r e a d y b y t h e f a c t t h a t T h e o r e m 5 . 1 i s n o t t r u e f o r k = 1 ( t a k e a a s t a r t i n g g r a p h o n f o u r n o d e s w i t h n o e d g e s )
w h i l e t h e a u g m e n t a t i o n p r o b l e m w h e n k = 1 i s t r i v i a l . T h i s d i s t i n c t i o n m u s t b e h a n d l e d i n t h e g e n e r a l c a s e , a s w e l l .
T o t h i s e n d l e t C ( 6= V ) b e t h e n o d e - s e t o f a c o m p o n e n t o f G a n d c a l l C a m a r g i n a l c o m p o n e n t ( w i t h r e s p e c t
t o t h e d e m a n d f u n c t i o n r ) f q ( C ) 1 a n d q ( X ) = 0 f o r e v e r y p r o p e r s u b s e t o f C
T h e s o l u t i o n i n F r a n k , 1 9 9 2 ] t o n d a m i n i m a l f e a s i b l e a u g m e n t a t i o n o f G c o n s i s t s o f t w o p a r t s . I n t h e r s t
p a r t t h e m a r g i n a l c o m p o n e n t s a r e e l i m i n a t e d w h i l e t h e s e c o n d o n e c o n s i s t s o f p r o v i n g ( a l g o r i t h m i c a l l y ) t h a t ( G r )
i s e q u a l t o t h e m a x i m u m i n ( 5 . 8 ) w h e n t h e r e a r e n o m a r g i n a l c o m p o n e n t s . ( T h i s i s , b y t h e w a y , t h e c a s e i f G s
c o n n e c t e d ) .
L e t C b e a m a r g i n a l c o m p o n e n t , G
1
= G C a n d l e t r
1
d e n o t e t h e d e m a n d f u n c t i o n r e s t r i c t e d o n t h e n o d e
s e t o f G
1
. I t i s p r o v e d i n F r a n k , 1 9 9 2 ] t h a t ( G r ) = ( G
1
r
1
) + q ( C ) . I t i s a l s o s h o w e d h o w a n o p t i m a l f e a s i b l e
a u g m e n t a t i o n o f G
1
c a n b e e x t e n d e d t o a n o p t i m a l f e a s i b l e a u g m e n t a t i o n o f G b y a d d i n g q ( C ) ( w h i c h i s 0 o r 1 )
e d g e . T h i s w a y w e c a n g e t r i d o f t h e m a r g i n a l c o m p o n e n t s o n e b y o n e .
T H E O R E M 5 . 6 I f G h a s n o m a r g i n a l c o m p o n e n t s , t h e r e i s a f e a s i b l e a u g m e n t a t i o n o f G u s i n g a t m o s t
n e w e d g e s i f a n d o n l y i f
X
i
q ( X
i
) 2 ( 5 9 )
h o l d s f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n f X
1
X
2
; : : : ; X
t
g o f V . O r , e q u i v a l e n t l y , t h e m i n i m u m n u m b e r o f n e w e d g e s
( G r ) = m a x ( d (
P
i
q ( X
i
) ) = 2 e f X
1
X
2
; : : : ; X
t
g a s u b - p a r t i t i o n o f V )
C O R O L L A R Y 5 . 6 ' L e t G = ( V E ) b e a n u n d i r e c t e d g r a p h , r ( u v ) a n i n t e g e r - v a l u e d d e m a n d - f u n c t i o n
s u c h t h a t G h a s n o m a r g i n a l c o m p o n e n t s , a n d g a n i n t e g e r - v a l u e d c a p a c i t y f u n c t i o n o n E . T h e r e i s a n
o p t i m a l s o l u t i o n t o t h e u n d i r e c t e d m a x - o w a u g m e n t a t i o n p r o b l e m w h i c h i s h a l f i n t e g r a l . F u r t h e r m o r e , a n
o p t i m a l i n t e g e r - v a l u e d s o l u t i o n i s e i t h e r o p t i m a l a m o n g t h e r e a l - v a l u e d a u g m e n t a t i o n s o r i t s t o t a l i n c r e m e n t
i s o n e h a l f b i g g e r t h a n t h a t o f a ( r e a l - v a l u e d ) o p t i m a l s o l u t i o n .
T h e k e y t o t h e p r o o f o f T h e o r e m 5 . 6 i s t h e f o l l o w i n g d e e p s p l i t t i n g o t h e o r e m o f W . M a d e r .
T H E O R E M 5 . 7 M a d e r , 1 9 7 8 ] L e t G = ( V + s E ) b e a ( c o n n e c t e d ) u n d i r e c t e d g r a p h i n w h i c h 0 < d
G
( s ) 6=
3 a n d t h e r e i s n o c u t - e d g e i n c i d e n t w i t h s . T h e n t h e r e e x i s t s a p a i r o f e d g e s e = s u ; f = s t s o t h a t
( x y G ) = ( x y G
e f
)
h o l d s f o r e v e r y x y 2 V
( F o r a r e l a t i v e l y s i m p l e p r o o f , u s i n g s u b m o d u l a r i t y , s e e F r a n k , 1 9 9 2 b ] . ) I n S e c t i o n 3 i t w a s p o i n t e d o u t t h a t
M a d e r ' s d i r e c t e d s p l i t t i n g o t h e o r e m i s e q u i v a l e n t t o T h e o r e m 3 . 2 o n t h e e x i s t e n c e o f a k - e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n -
t a t i o n o f a d i g r a p h s a t i s f y i n g p r e s c r i p t i o n s o f t h e i n - d e g r e e a n d o u t - d e g r e e . A n a l o g o u s l y , T h e o r e m 5 . 7 i s e q u i v a l e n t
t o
T H E O R E M 5 . 7 ' L e t m V ! Z
+
b e a n i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n s o t h a t m ( V ) i s e v e n a n d m ( C ) 2 f o r
e a c h c o m p o n e n t C o f G = ( V E ) . T h e r e i s a s e t F o f n e w e d g e s s o t h a t G
+
= ( V E + F ) i s a f e a s i b l e
a u g m e n t a t i o n o f G a n d d
F
( v ) = m ( v ) f o r e v e r y n o d e v ( t h a t i s , m i s a n a u g m e n t a t i o n v e c t o r ) i f a n d o n l y i f
m ( X ) R ( X ) d
G
( X ) ( 5 1 0 )
f o r e v e r y X V
T h e m a t e r i a l o f t h e c l o s i n g p a r t o f t h i s s e c t i o n i s t a k e n f r o m a r e c e n t w o r k o f B a n g - J e n s e n , F r a n k a n d J a c k s o n ,
1 9 9 4 ] . T h e y p r o v e d a n e x t e n s i o n o f M a d e r ' s t h e o r e m w h e n t h e g r a p h i s a m i x e d o n e b u t a l l e d g e s i n c i d e n t t o s a r e
u n d i r e c t e d . T h i s w a s u s e d t o d e r i v e a g e n e r a l i z a t i o n o f T h e o r e m 5 . 6 .
1 6
8/3/2019 Connectivity Augmentation
http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 17/23
L e t N = ( V E + A ) b e a m i x e d g r a p h c o m p o s e d f r o m a n u n d i r e c t e d g r a p h G = ( V E ) a n d a d i r e c t e d g r a p h
D = ( V A ) i n w h i c h T ( D ) = f v 2 V %
D
( v ) 6=
D
( v ) g i s t h e s e t o f n o n - d i - E u l e r i a n n o d e s . L e t k 2 b e a n
i n t e g e r a n d r ( x y ) ( x y 2 V ) a n o n - n e g a t i v e , i n t e g e r - v a l u e d d e m a n d f u n c t i o n s a t i s f y i n g
r ( x y ) = r ( y x ) k f o r e v e r y x y 2 V a n d ( 5 1 1 a )
r ( x y ) k f o r e v e r y x y 2 T ( D ) ( 5 1 1 b )
L e t R ( ; ) = R ( V ) = 0 a n d f o r X V l e t R ( X ) : = m a x ( r ( x y ) X s e p a r a t e s x a n d y ) . W e s a y t h a t
a c o m p o n e n t C o f N s m a r g i n a l ( w i t h r e s p e c t t o r ) f r ( u v ) ( u v N ) f o r e v e r y u v 2 C a n d r ( u v )
( u v N ) + 1 f o r e v e r y u v s e p a r a t e d b y C . L e t
N
( X ) : = m i n ( %
D
( X ) + d
G
( X )
D
( X ) + d
G
( X ) )
T H E O R E M 5 . 8 B a n g - J e n s e n , F r a n k a n d J a c k s o n , 1 9 9 4 ] G i v e n a m i x e d g r a p h N , i n t e g e r s k 2 0 , a n d
a d e m a n d f u n c t i o n r ( x y ) s a t i s f y i n g ( 5 . 1 1 ) s o t h a t t h e r e i s n o m a r g i n a l c o m p o n e n t s , N c a n b e e x t e n d e d t o
a m i x e d g r a p h N
+
b y a d d i n g n e w u n d i r e c t e d e d g e s s o t h a t
( x y N
+
) r ( x y ) f o r e v e r y x y 2 V ( 5 1 2 )
i f a n d o n l y i f
X
( R ( X
i
)
N
( X
i
) ) 2 ( 5 1 3 )
h o l d s f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n f X
1
; : : : ; X
t
g o f V
B e f o r e T h e o r e m 5 . 6 w e i n d i c a t e d h o w t o g e t r i d o f m a r g i n a l c o m p o n e n t s w h e n t h e s t a r t i n g g r a p h i s u n d i r e c t e d .
A s i m i l a r r e d u c t i o n w o r k s f o r m i x e d u n d i r e c t e d g r a p h s a s w e l l . W h e n N i s a n u n d i r e c t e d g r a p h , T h e o r e m 5 . 8
s p e c i a l i z e s t o T h e o r e m 5 . 6 . W h e n r k f o r a n i n t e g e r k 2 T h e o r e m 5 . 8 s p e c i a l i z e s t o :
C O R O L L A R Y 5 . 9 L e t N = ( V A E ) b e a m i x e d g r a p h a n d k 2 1 i n t e g e r s . N c a n b e m a d e k - e d g e
c o n n e c t e d b y a d d i n g n e w u n d i r e c t e d e d g e s i f a n d o n l y i f
X
( k
N
( X
i
) ) 2
h o l d s f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n f X
1
; : : ; X
t
g o f V
T h i s c o r o l l a r y i s n o t t r u e f o r k = 1 . ( L e t N b e a d i g r a p h w i t h 4 n o d e s a n d 3 e d g e s s o t h a t t h e h e a d s o f t h e
e d g e s a r e d i s t i n c t b u t t h e i r t a i l s c o i n c i d e ) . H o w e v e r , t h e f o l l o w i n g c a n b e p r o v e d .
T H E O R E M 5 . 1 0 A m i x e d g r a p h N w i t h c o n n e c t e d u n d e r l y i n g g r a p h c a n b e m a d e s t r o n g l y c o n n e c t e d b y
a d d i n g n e w u n d i r e c t e d e d g e s i f a n d o n l y i f ( ) f o r a n y f a m i l y F o f + 1 d i s j o i n t s u b s e t s o f n o d e s c o n t a i n s
( n o t n e c e s s a r i l y d i s t i n c t ) m e m b e r s X Y f o r w h i c h %
N
( X ) > 0 a n d
N
( Y ) > 0
( A m i x e d g r a p h i s s t r o n g l y c o n n e c t e d i f e v e r y n o d e i s r e a c h a b l e f r o m e v e r y o t h e r n o d e a l o n g a p a t h n o t
u s i n g o p p o s i t e l y o r i e n t e d e d g e s . )
6 . N O D E - C O N N E C T I V I T Y A U G M E N T A T I O N O F U N D I R E C T E D G R A P H S
I n t h i s s e c t i o n w e w a n t t o m a k e a n u n d i r e c t e d g r a p h G = ( V E ) k - c o n n e c t e d b y a d d i n g a m i n i m u m n u m b e r
o f n e w e d g e s . I n p r e v i o u s s e c t i o n s w e p o i n t e d o u t t h a t t h e k - e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i s t r a c t a b l e
f o r b o t h d i r e c t e d a n d u n d i r e c t e d g r a p h s . I t t u r n e d o u t , t h a t u n d i r e c t e d e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n b e h a v e s
b e t t e r t h a n t h e d i r e c t e d o n e i n t h e s e n s e t h a t e v e n t h e g e n e r a l - d e m a n d a u g m e n t a t i o n i s s o l v a b l e i n t h e u n d i r e c t e d
c a s e . S e c t i o n 4 d e s c r i b e d a n i c e m i n - m a x t h e o r e m f o r t h e d i r e c t e d k - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n . F r o m t h e s e d a t a
o n e h o p e s t h a t t h e u n d i r e c t e d k - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m a l s o h a s a s o l u t i o n . U n f o r t u n a t e l y , a t p r e s e n t ,
i t i s n o t k n o w n i f t h e p r o b l e m i s N P - c o m p l e t e o r i t i s p e r h a p s i n c o - N P \ N P o r e v e n i n P
1 7
8/3/2019 Connectivity Augmentation
http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 18/23
F o r g e n e r a l k , F . H a r a r y 1 9 6 2 ] f o u n d t h e s o l u t i o n w h e n t h e s t a r t i n g g r a p h h a s n n o d e s b u t n o e d g e s . W a n g
a n d K l e i t m a n 1 9 7 3 ] d e t e r m i n e d a n e c e s s a r y a n d s u c i e n t c o n d i t i o n f o r t h e e x i s t e n c e o f a k - c o n n e c t e d g r a p h w i t h
s p e c i e d d e g r e e s e q u e n c e .
F o r g e n e r a l s t a r t i n g g r a p h s , s o l u t i o n s a r e k n o w n o n l y f o r s m a l l k . W h e n k = 1 t h e p r o b l e m i s o b v i o u s . P l e s n i k
1 9 7 6 ] a n d E s w a r a n a n d T a r j a n 1 9 7 6 ] p r o v e d a m i n - m a x f o r m u l a f o r k = 2 a n d t h e l a t t e r p a p e r d e s c r i b e d a l i n e a r -
t i m e a l g o r i t h m , a s w e l l , t o c o n s t r u c t t h e o p t i m a l a u g m e n t a t i o n . F o r a s u b s e t X o f n o d e s l e t N ( X ) d e n o t e t h e s e t o f
n o d e s i n V X w h i c h h a v e a n e i g h b o u r i n X . I n a k - c o n n e c t e d g r a p h N ( X ) k w h e n e v e r X V k 1
T h e r e f o r e , i n a k c o n n e c t e d a u g m e n t a t i o n o f G a t l e a s t q
( X ) : = ( k N ( X ) )
+
n e w e d g e s m u s t b e i n t h e c u t
X V X . H e n c e
m a x ( d (
X
i
q
( X
i
) ) = 2 e f X
i
g a s u b - p a r t i t i o n o f V ) ( 6 1 )
i s a l o w e r b o u n d f o r t h e m i n i m u m n u m b e r o f n e w e d g e s . T h e o r e m 5 . 1 a s s e r t e d t h a t i n t h e e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g -
m e n t a t i o n a n a n a l o g o u s l o w e r b o u n d i s a c h i e v a b l e , e x c e p t t h e ( o t h e r w i s e t r i v i a l ) c a s e o f k = 1 . T h e d i c u l t y o f t h e
n o d e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n a r i s e s f r o m t h e f a c t t h a t t h i s k i n d o f t r o u b l e m a y o c c u r f o r a n y b i g k . F o r e x a m p l e ,
l e t G b e a s t a r , t h a t i s , G i s a s i m p l e g r a p h o n n n o d e s i n w h i c h e v e r y e d g e i s i n c i d e n t t o a n o d e s . T h e b o u n d o f
( 6 . 1 ) w h e n k = 2 s d ( n 1 ) = 2 e . B u t t o m a k e G 2 - c o n n e c t e d o n e n e e d s n 2 e d g e s . F r o m t h i s e x a m p l e w e m a y
e x t r a c t a n o t h e r l o w e r b o u n d f o r k = 2 . L e t c ( X ) d e n o t e t h e n u m b e r o f c o m p o n e n t s o f t h e g r a p h a r i s i n g f r o m G b y
d e l e t i n g t h e n o d e - s e t X . T h e n a t l e a s t c ( v ) 1 n e w e d g e s h a v e t o b e a d d e d t o G t o m a k e i t 2 - c o n n e c t e d ,
T H E O R E M 6 . 1 E s w a r a n a n d T a r j a n , 1 9 7 6 ] , P l e s n i k , 1 9 7 6 ] A n u n d i r e c t e d g r a p h G c a n b e m a d e 2 - c o n n e c t e d
b y a d d i n g a t m o s t n e w e d g e s i f a n d o n l y i f
X
i
( 2 N ( ( X
i
) ) 2 f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n f X
i
g o f V ( 6 2 )
w h e r e ( X
i
V 3 ) a n d
c ( v ) + 1 ( 6 3 )
f o r e v e r y n o d e v 2 V
F o r t h e 3 - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m a n a n a l o g o u s t h e o r e m h o l d s :
T H E O R E M 6 . 2 W a t a n a b e a n d N a k a m u r a , 1 9 8 8 a n d 1 9 9 3 ] A n u n d i r e c t e d g r a p h G c a n b e m a d e 3 - c o n n e c t e d
b y a d d i n g a t m o s t n e w e d g e s i f a n d o n l y i f
X
i
( 3 N ( ( X
i
) ) 2 f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n f X
i
g o f V ( 6 2 )
w h e r e ( X
i
V 4 ) a n d
c ( X ) + 1 ( 6 3 )
f o r e v e r y 2 - e l e m e n t s u b s e t X o f V
W a t a n a b e a n d N a k a m u r a a l s o d e v e l o p e d a p o l y n o m i a l - t i m e a l g o r i t h m t o n d t h e o p t i m a l a u g m e n t a t i o n . A
l i n e a r t i m e a l g o r i t h m ( a n d a n o t h e r p r o o f ) w a s g i v e n b y H s u a n d R a m a c h a n d r a n 1 9 9 1 ] . J o r d a n 1 9 9 5 b ] s o l v e d t h e
d e g r e e - c o n s t r a i n e d 3 - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m w h e n t h e s t a r t i n g g r a p h i s 2 - c o n n e c t e d . I n p a r t i c u l a r , h e
p r o v e d t h a t G c a n b e m a d e o p t i m a l l y 3 - c o n n e c t e d b y a d d i n g d i s j o i n t p a t h s .
M o r e g e n e r a l l y , i f t h e s t a r t i n g g r a p h G s k 1 c o n n e c t e d , t h e n b o t h m a x d (
P
i
q
( X
i
) ) = 2 e a n d m a x ( c ( X ) 1 )
a r e l o w e r b o u n d s f o r t h e n u m b e r o f n e w e d g e s w h e r e f X
i
g i s a s u b - p a r t i t i o n o f V c o n s i s i t i n g o f s u b s e t s o f a t m o s t
V k 1 e l e m e n t s a n d X i s a c u t - s e t o f p r e c i s e l y k 1 e l e m e n t s . T h e o r e m s 6 . 1 a n d 6 . 2 a r e e q u i v a l e n t t o s a y i n g
t h a t t h e m a x i m u m o f t h e s e t w o l o w e r b o u n d s a r e a c h i e v a b l e w h e n k = 2 3 . B u t n o t s o i f k = 4 a s i s s h o w n b y K
3 3
H e r e t h e o p t i m u m i s 4 w h i l e t h e r s t m a x i m u m i s 3 a n d t h e s e c o n d i s 2 . F o r t h i s c a s e ( t h a t i s , t o n d a m i n i m a l
4 - c o n n e c t e d a u g m e n t a t i o n o f a 3 - c o n n e c t e d g r a p h ) a p o l y n o m i a l a l g o r i t h m w a s d e v e l o p e d b y T . - s . H s u 1 9 9 2 ] . H e
a l s o s h o w e d t h a t t h e m a x i m u m o f t h e t w o l o w e r b o u n d s i s a c h i e v a b l e e x c e p t f o r s o m e w e l l - d e s c r i b e d s m a l l g r a p h s .
1 8
8/3/2019 Connectivity Augmentation
http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 19/23
A r e l a t e d n i c e r e s u l t o f J o r d a n 1 9 9 4 b ] a s s e r t s t h a t a 3 - r e g u l a r 3 - c o n n e c t e d g r a p h o n a t l e a s t 8 n o d e s c a n b e m a d e
4 - c o n n e c t e d b y a d d i n g a p e r f e c t m a t c h i n g .
F o r h i g h e r k t h e c o m p l e t e b i p a r t i t e g r a p h K
k 1 k 1
s h o w s t h a t t h e g a p b e t w e e n t h e m a x i m u m a n d t h e m i n i m u m
m a y b e a s b i g a s k 3 . T . J o r d a n 1 9 9 5 ] p r o v e d t h a t t h i s i s t h e l a r g e s t p o s s i b l e g a p f o r a n y ( k 1 ) - c o n n e c t e d s t a r t i n g
g r a p h . R e l y i n g o n t h i s t h e o r e m , h e d e v e l o p e d a p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m t o m a k e a n a r b i t a r y ( k 1 ) - c o n n e c t e d
g r a p h k - c o n n e c t e d a n d t h e s o l u t i o n p r o v i d e d b y t h e a l g o r i t h m u s e s a t m o s t ( k 3 )
+
m o r e e d g e s t h a n t h e o p t i m u m .
T o c o m p u t e t h i s o p t i m u m e x a c t l y s e e m s t o b e p r e t t y m u c h o u t o f r e a c h a t t h e t i m e o f w r i t i n g t h i s p a p e r .
T h e r e i s a f r a c t i o n a l v e r s i o n o f t h e c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m . W e s a y t h a t a w e i g h t i n g o n t h e e d g e - s e t
o f a g r a p h G s c o n n e c t e d i f t h e t o t a l w e i g h t o f e v e r y c u t i s a t l e a s t 1 . W e s a y t h a t a w e i g h t i n g i s k - c o n n e c t e d ,
i f l e a v i n g o u t a n y s e t o f a t m o s t k 1 n o d e s l e a v e s a g r a p h w i t h c o n n e c t e d w e i g h t i n g . C l e a r l y i f a l l w e i g h t s a r e 1 ,
t h e n t h i s d e n i t i o n g i v e s b a c k t h e o r i g i n a l d e n i t i o n o f k - c o n n e c t i v i t y .
T h e f r a c t i o n a l n o d e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i s t h e f o l l o w i n g . L e t G = ( V E ) b e a s i m p l e u n d i r e c t e d
g r a p h . D e n e w
G
( x y ) = 1 i f x y i s a n e d g e o f G a n d w
G
( x y ) = 0 o t h e r w i s e . T h e g o a l i s t o d e t e r m i n e a n o n - n e g a t i v e
w e i g h t i n g w o n t h e e d g e s e t o f t h e c o m p l e t e g r a p h o n V s o t h a t w + w
G
s k - c o n n e c t e d a n d 1 w i s m i n i m u m .
B y a n e l e m e n t a r y c o n s t r u c t i o n t h i s p r o b l e m c a n b e r e d u c e d t o t h e d i r e c t e d n o d e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n
p r o b l e m . A s a c o n c e q u e n c e o f T h e o r e m 4 . 2 o n e m a y d e r i v e t h a t t h e o p t i m a l f r a c t i o n a l a u g m e n t a t i o n m a y b e c h o s e n
h a l f - i n t e g r a l . F o r e x a m p l e , i f t h e s t a r t i n g g r a p h i s K
k 1 k 1
, t h e n a n o p t i m u m f r a c t i o n a l a u g m e n t a t i o n i s 1 / 2 o n
t h e e d g e s o f a c i r c u i t i n b o t h p a r t s , t h a t i s i t s t o t a l v a l u e i s k 1 . C o m p a r e t h i s w i t h t h e i n t e g e r o p t i m u m w h i c h i s
2 ( k 2 )
7 . P O L Y H E D R A L A N D A L G O R I T H M I C A S P E C T S
I n S e c t i o n s 3 a n d 5 w e s a w t h a t t h e c a r d i n a l i t y v e r s i o n o f t h e k - e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i s
t r a c t a b l e f o r b o t h d i r e c t e d a n d u n d i r e c t e d g r a p h s , w h i l e t h e m i n i m u m c o s t v e r s i o n i s N P - c o m p l e t e . B u t t h e r e
i s a r e s t r i c t e d c l a s s o f c o s t f u n c t i o n s , t h e n o d e - i n d u c e d c o s t s , w h e n e v e n t h e m i n i m u m c o s t a u g m e n t a t i o n p r o b l e m
i s s o l v a b l e . T h e i d e a i s b a s e d o n t h e f a c t t h a t t h e d e g r e e s e q u e n c e s b e l o n g i n g t o p o s s i b l e g r a p h s o f n e w e d g e s i n
f e a s i b l e a u g m e n t a t i o n s o f t h e s t a r t i n g g r a p h s p a n a g - p o l y m a t r o i d . G - p o l y m a t r o i d s g e n e r a l i z e p o l y m a t r o i d s w h i c h
a r e g e n e r a l i z a t i o n o f m a t r o i d p o l y h e d r a . T h e m a t r o i d g r e e d y a l g o r i t h m m a y b e e x t e n d e d t o g - p o l y m a t r o i d s a n d t h i s
f e a t u r e m a k e s i t p o s s i b l e t o s o l v e m i n i m u m n o d e - c o s t a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s .
A n o t h e r i m p o r t a n t p r o p e r t y o f g - p o l y m a t r o i d s i s t h a t t h e i r i n t e r s e c t i o n w i t h a b o x i s a g a i n a g - p o l y m a t r o i d .
T h i s i s w h y t h e d e g r e e - c o n s t r a i n e d a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s c a n b e h a n d l e d ( s e e , f o r e x a m p l e T h e o r e m 3 . 1 2 ) .
H e r e w e i l l u s t r a t e s o m e d e t a i l s o f t h i s p o l y m a t r o i d a l a p p r o a c h c o n c e r n i n g t h e u n d i r e c t e d c a s e . T h e b a s i c
f r a m e w o r k i s s i m i l a r f o r d i r e c t e d a u g m e n t a t i o n . ( D e t a i l s m a y b e f o u n d i n F r a n k , 1 9 9 2 ] ) .
L e t V b e a n i t e g r o u n d - s e t a n d b 2
V
! Z f 1 g a n i n t e g e r - v a l u e d s e t - f u n c t i o n w h i c h i s z e r o o n t h e e m p t y
s e t . W e c a l l b f u l l y ( i n t e r s e c t i n g ) s u b m o d u l a r f
b ( X ) + b ( Y ) b ( X \ Y ) + b ( X Y ) ( 7 1 )
h o l d s f o r e v e r y ( i n t e r s e c t i n g ) X Y V . A s e t f u n c t i o n p i s c a l l e d s u p e r m o d u l a r f p i s s u b m o d u l a r . W e s a y
t h a t p s s k e w s u p e r m o d u l a r i f f o r e v e r y X Y V a t l e a s t o n e o f t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t i e s h o l d s :
p ( X ) + p ( Y ) p ( X \ Y ) + p ( X Y )
p ( X ) + p ( Y ) p ( X Y ) + p ( Y X )
N o t e t h a t i n t e r s e c t i n g s u p e r m o d u l a r f u n c t i o n s a r e s k e w s u p e r m o d u l a r .
W e s a y t h a t a p a i r ( p b ) o f s e t - f u n c t i o n s i s a s t r o n g p a i r f p ( r e s p . b ) i s f u l l y s u p e r m o d u l a r ( s u b m o d u l a r )
a n d t h e y a r e c o m p l i a n t , t h a t i s ,
b ( X ) p ( Y ) b ( X Y ) p ( Y X ) ( 7 2 )
h o l d s f o r e v e r y X Y S I f p a n d b a r e i n t e r s e c t i n g s u p e r - a n d s u b m o d u l a r f u n c t i o n s a n d ( 7 . 2 ) h o l d s f o r i n t e r s e c t i n g
X Y , t h e n ( p b ) i s c a l l e d a w e a k p a i r .
1 9
8/3/2019 Connectivity Augmentation
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G i v e n a s t r o n g p a i r ( p b ) , t h e p o l y h e d r o n
Q ( p b ) = f x 2 R
S
p ( A ) x ( A ) b ( A ) f o r e v e r y A S g
i s c a l l e d a g e n e r a l i z e d p o l y m a t r o i d ( i n s h o r t , g - p o l y m a t r o i d . ) F o r t e c h n i c a l r e a s o n s t h e e m p t y s e t i s a l s o
c o n s i d e r e d a s a g - p o l y m a t r o i d . ( P r o p e r t i e s o f g - p o l y m a t r o i d s w e r e e x t e n s i v e l y s t u d i e d i n F r a n k a n d T a r d o s , 1 9 8 8 ] . )
I t c a n b e p r o v e d t h a t Q = Q ( p b ) i s n o n - e m p t y a n d t h a t Q u n i q u e l y d e t e r m i n e s p a n d q , t h a t i s , d i e r e n t s t r o n g
p a i r s d e n e d i e r e n t g - p o l y m a t r o i d s . O n t h e o t h e r - h a n d ( p b ) i s a g - p o l y m a t r o i d f o r a n y w e a k p a i r . L e t f a n d g
b e t w o i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n s o n V w i t h f g a n d l e t B = f x f x g g a b o x .
T H E O R E M 7 . 1 F o r a w e a k p a i r ( p b ) t h e i n t e r s e c t i o n M = Q ( p b ) \ B i s a n i n t e g r a l g - p o l y m a t r o i d .
M i s n o n - e m p t y i f a n d o n l y i f
g ( Z
0
) +
X
i 1
b ( Z
i
) p (
i 0
Z
i
) a n d
f ( Z
0
) +
X
i 1
p ( Z
i
) b (
i 0
Z
i
)
h o l d s f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n f Z
i
g o f V w h e r e o n l y p a r t Z
0
m a y b e e m p t y .
T h i s t h e o r e m i s i n t h e b a c k g r o u n d o f c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n r e s u l t s ( s u c h a s T h e o r e m 3 . 1 2 ) w h e n u p p e r a n d
l o w e r b o u n d s a r e i m p o s e d o n t h e d e g r e e s o f t h e a u g m e n t e d g r a p h .
C o n t r a - p o l y m a t r o i d s f o r m a s p e c i a l c l a s s o f g - p o l y m a t r o i d s . G i v e n a f u l l y s u p e r m o d u l a r , m o n o t o n e i n c r e a s i n g
f u n c t i o n p
C ( p ) = f x 2 R
S
x 0 x ( A ) p ( A ) f o r e v e r y A S g
i s c a l l e d a c o n t r a - p o l y m a t r o i d . S u c h a p i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y t h e p o l y h e d r o n b u t w e a k e r f u n c t i o n s m a y
a l s o d e n e c o n t r a - p o l y m a t r o i d s .
T H E O R E M 7 . 2 L e t p
b e a s k e w s u p e r m o d u l a r f u n c t i o n . T h e n C ( p
) i s a c o n t r a - p o l y m a t r o i d w h o s e
u n i q u e ( m o n o t o n e , f u l l y s u p e r m o d u l a r ) d e n i n g f u n c t i o n p i s g i v e n b y p ( X ) : = m a x (
P
p
( X
i
) ) w h e r e t h e
m a x i m u m i s t a k e n o v e r a l l s u b - p a r t i t i o n s f X
i
g o f X
T h i s t h e o r e m ( p r o v e d i n F r a n k , 1 9 9 2 ] ) m a d e i t p o s s i b l e t h a t m i n i m u m n o d e - c o s t a n d d e g r e e - c o n s t r a i n e d a u g -
m e n t a t i o n p r o b l e m s t o b e c o m e t r a c t a b l e . T h e l i n k b e t w e e n a u g m e n t a t i o n s a n d c o n t r a - p o l y m a t r o i d s i s r e v e a l e d b y
t h e o b s e r v a t i o n t h a t t h e f u n c t i o n q ( X ) = R ( X ) d
G
( X ) i s s k e w s u p e r m o d u l a r . ( F o r t h e n o t a t i o n , s e e T h e o r e m
5 . 6 . )
R e c a l l t h e n o t i o n o f a n a u g m e n t a t i o n v e c t o r . C o m b i n i n g T h e o r e m 7 . 2 a n d T h e o r e m 5 . 6 t o g e t h e r w e o b t a i n :
C O R O L L A R Y 7 . 3 F o r a c o n n e c t e d g r a p h G , a n i n t e g e r v e c t o r z i s a n a u g m e n t a t i o n v e c t o r i f a n d o n l y i f
z ( V ) i s e v e n a n d z 2 C ( q )
S u p p o s e w e a r e g i v e n a n o n - n e g a t i v e c o s t - f u n c t i o n c o n V . F o r e a c h p o s s i b l e n e w e d g e x y d e n e a c o s t b y
c ( x ) + c ( y ) . W e c a l l s u c h a f u n c t i o n a n o d e - i n d u c e d c o s t f u n c t i o n . W i t h a s l i g h t m o d i c a t i o n o f t h e g r e e d y a l g o r i t h m
o n e c a n n d a n i n t e g e r - v a l u e d e l e m e n t z o f C ( q ) w i t h z ( V ) e v e n w h i c h m i n i m i z e s c z . T h e r e f o r e , f o r n o d e - i n d u c e d
c o s t - f u n c t i o n s , t h e m i n i m u m c o s t e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m c a n b e s o l v e d i n p o l y n o m i a l t i m e .
R E F E R E N C E S
1 9 9 4 ] J . B a n g - J e n s e n , A . F r a n k a n d B . J a c k s o n , P r e s e r v i n g a n d i n c r e a s i n g l o c a l e d g e - c o n n e c t i v i t y i n m i x e d g r a p h s ,
S I A M J . D i s c r e t e M a t h e m a t i c s , t o a p p e a r .
2 0
8/3/2019 Connectivity Augmentation
http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 21/23
1 9 9 4 ] A . B e n c z u r , A u g m e n t i n g u n d i r e c t e d c o n n e c t i v i t y i n R N C a n d i n r a n d o m i z e d
̂
O ( n
3
) t i m e . P r o c e e d i n g s o f
S T O C 1 9 9 4 .
1 9 9 2 ] M . B u s s i e c k , A u g m e n t i n g c a p a c i t i e s o f n e t w o r k s , p r e p r i n t ( T U B r a u n s c h w e i g , A b t e i l u n g f u r M a t h . O p t ,
G e r m a n y ) .
1 9 8 9 ] G - R . C a i a n d Y - G . S u n , T h e m i n i m u m a u g m e n t a t i o n o f a n y g r a p h t o k - e d g e - c o n n e c t e d g r a p h , N e t w o r k s , V o l .
1 9 , ( 1 9 8 9 ) 1 5 1 - 1 7 2 .
1 9 7 0 ] W . C h o u a n d H . F r a n k , S u r v i v a b l e c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s a n d t h e t e r m i n a l c a p a c i t y m a t r i x , I E E E T r a n s .
C i r c u i t T h e o r y , V o l . C T - 1 7 , N o . 2 , M a y 1 9 7 0 , p p . 1 9 2 - 1 9 7 .
1 9 6 4 ] J . E d m o n d s , E x i s t e n c e o f k - e d g e - c o n n e c t e d o r d i n a r y g r a p h s w i t h p r e s c r i b e d d e g r e e s , J . R e s e a r c h o f t h e N a t i o n a l
B u r e u o f S t a n d a r d s , V o l . 6 8 B , N o . 2 p p 7 3 - 7 4 .
1 9 7 3 ] J . E d m o n d s , E d g e - d i s j o i n t b r a n c h i n g s i n : C o m b i n a t o r i a l A l g o r i t h m s ( B . R u s t i n , e d . ) , A c a d . P r e s s , N e w Y o r k ,
( 1 9 7 3 ) , 9 1 - 9 6 .
1 9 7 0 ] J . E d m o n d s , S u b m o d u l a r f u n c t i o n s , m a t r o i d s , a n d a c e r t a i n p o l y h e d r a i n : C o m b i n a t o r i a l S t r u c t u r e s a n d t h e i r
a p p l i c a t i o n s ( R . G u y , H . H a n a n i , N . S a u e r , a n d J . S c h o n h e i m , e d s . ) , G o r d o n a n d B r e a c h , N e w Y o r k , 1 9 7 0 , p p .
6 9 { 8 7 .
1 9 7 9 ] J . E d m o n d s , M a t r o i d i n t e r s e c t i o n , A n n a l s o f D i s c r e t e M a t h . 4 , ( 1 9 7 9 ) 3 9 - 4 9 .
1 9 7 7 ] J . E d m o n d s a n d R . G i l e s , A m i n - m a x r e l a t i o n f o r s u b m o d u l a r f u n c t i o n s o n g r a p h s , A n n a l s o f D i s c r e t e M a t h -
e m a t i c s 1 , ( 1 9 7 7 ) , 1 8 5 - 2 0 4 .
1 9 7 6 ] K . P . E s w a r a n a n d R . E . T a r j a n , A u g m e n t a t i o n p r o b l e m s , S I A M J . C o m p u t i n g , V o l . 5 , N o . 4 D e c e m b e r 1 9 7 6 ,
6 5 3 - 6 6 5 .
1 9 6 2 ] L . R . F o r d , D . R . F u l k e r s o n , F l o w s i n N e t w o r k s , P r i n c e t o n U n i v . P r e s s , P r i n c e t o n N J . 1 9 6 2 .
1 9 7 9 ] A . F r a n k , K e r n e l s y s t e m s o f d i r e c t e d g r a p h s , A c t a S c i e n t i a r u m M a t h e m a t i c a r u m ( S z e g e d ) 4 1 , 1 - 2 ( 1 9 7 9 ) 6 3 - 7 6 .
1 9 8 1 a ] A . F r a n k , H o w t o m a k e a d i g r a p h s t r o n g l y c o n n e c t e d , C o m b i n a t o r i c a 1 N o . 2 ( 1 9 8 1 ) 1 4 5 - 1 5 3 .
1 9 8 1 b ] A . F r a n k , A w e i g h t e d m a t r o i d i n t e r s e c t i o n a l g o r i t h m , J . A l g o r i t h m s 2 ( 1 9 8 1 ) 3 2 8 - 3 3 6 .
1 9 8 4 ] A . F r a n k , S u b m o d u l a r o w s , i n : P r o g r e s s i n C o m b i n a t o r i a l O p t i m i z a t i o n ( e d . W . P u l l e y b l a n k ) , A c a d e m i c
P r e s s ( 1 9 8 4 ) 1 4 7 - 1 6 5 .
1 9 8 9 ] A . F r a n k , O n c o n n e c t i v i t y p r o p e r t i e s o f E u l e r i a n d i g r a p h s , A n n a l s o f D i s c r e t e M a t h . 4 1 ( 1 9 8 9 ) 1 7 9 - 1 9 4 ( N o r t h
H o l l a n d ) .
1 9 9 2 a ] A . F r a n k , A u g m e n t i n g g r a p h s t o m e e t e d g e - c o n n e c t i v i t y r e q u i r e m e n t s , S I A M J . o n D i s c r e t e M a t h e m a t i c s ,
( 1 9 9 2 F e b r u a r y ) , V o l . 5 , N o 1 . , p p . 2 2 - 5 3 .
1 9 9 2 b ] A . F r a n k , O n a t h e o r e m o f M a d e r , P r o c e e d i n g s o f t h e G r a p h T h e o r y C o n f e r e n c e h e l d i n D e n m a r k , 1 9 9 0 ,
A n n a l s o f D i s c r e t e M a t h e m a t i c s , V o l . 1 0 1 , ( 1 9 9 2 ) 4 9 - 5 7 .
1 9 9 5 ] A . F r a n k a n d T . J o r d a n , M i n i m a l e d g e - c o v e r i n g s o f p a i r s o f s e t s , J . C o m b i n a t o r i a l T h e o r y , S e r . B , V o l . 6 5 ,
N o . 1 ( 1 9 9 5 , S e p t e m b e r ) p p . 7 3 - 1 1 0 .
1 9 9 5 b ] A . F r a n k a n d T . J o r d a n , I n c r e a s i n g c o n n e c t i v i t y o f d i g r a p h s , i n : I n t e g e r P r o g r a m m i n g a n d C o m b i n a t o r i a l
O p t i m i z a t i o n ( E d s . : E . B a l a s a n d J . C l a u s e n ) L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , 9 2 0 S p r i n g e r , 1 9 9 5 , p p . 4 1 4 - 4 2 5 ,
2 1
8/3/2019 Connectivity Augmentation
http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 22/23
1 9 8 8 ] A . F r a n k a n d
E . T a r d o s , G e n e r a l i z e d p o l y m a t r o i d s a n d s u b m o d u l a r o w s , M a t h e m a t i c a l P r o g r a m m i n g , S e r .
B . 4 2 ( 1 9 8 8 ) 4 8 9 - 5 6 3 .
1 9 8 9 ] A . F r a n k a n d
E . T a r d o s , A n a p p l i c a t i o n o f s u b m o d u l a r o w s , L i n e a r A l g e b r a a n d i t s A p p l i c a t i o n s , 1 1 4 / 1 1 5 ,
( 1 9 8 9 ) 3 2 9 - 3 4 8 .
1 9 7 0 ] H . F r a n k a n d W . C h o u , C o n n e c t i v i t y c o n s i d e r a t i o n s i n t h e d e s i g n o f s u r v i v a b l e n e t w o r k s , I E E E T r a n s . C i r c u i t
T h e o r y , V o l . C T - 1 7 , N o . 4 M a y 1 9 7 0 , p p . 4 8 6 - 4 9 0 .
1 9 7 4 ] D . R . F u l k e r s o n , P a c k i n g r o o t e d d i r e c t e d c u t s i n a w e i g h t e d d i r e c t e d g r a p h , M a t h . P r o g r a m m i n g 6 ( 1 9 7 4 ) 1 - 1 3 .
1 9 7 1 ] D . R . F u l k e r s o n a n d L . S . S h a p l e y , M i n i m a l k - a r c - c o n n c e t e d g r a p h s , N e t w o r k s 1 , ( 1 9 7 1 ) 9 1 - 9 8 .
1 9 9 1 ] H . N . G a b o w , A m a t r o i d a p p r o a c h t o n d i n g e d g e - c o n n e c t i v i t y a n d p a c k i n g a r b o r e s c e n c e s , P r o c . 2 3 r d A n n u a l
A C M S y m p . o n T h e o r y o f C o m p . , 1 9 9 1 . p p . 1 1 2 - 1 2 2 .
1 9 6 1 ] R . E . G o m o r y a n d T . C . H u , M u l t i - t e r m i n a l n e t w o r k o w s , S I A M J . A p p l . M a t h , 9 ( 1 9 6 1 ) 5 5 1 - 5 7 0 .
1 9 8 7 ] D . G u s e l d , O p t i m a l m i x e d g r a p h a u g m e n t a t i o n , S I A M J . C o m p u t i n g , V o l . 1 6 , N o . 4 , ( 1 9 8 7 ) 5 9 9 - 6 1 2 .
1 9 9 2 ] M . G r o t s c h e l , C . L . M o n m a a n d M . S t o e r , D e s i g n o f s u r v i v a b l e n e t w o r k s , i n H a n d b o o k i n O p e r a t i o n s R e s e a r c h
a n d M a n a g e m e n t S c i e n c e ( V o l u m e o n N e t w o r k s ) , t o a p p e a r .
1 9 6 2 ] F . H a r a r y , T h e m a x i m u m c o n n e c t i v i t y o f a g r a p h , P r o c . o f 1 9 6 2 N a t . A c a d . o f S c i . , V o l . 4 8 , N o . 2 , J u l y 1 9 6 2 .
1 9 9 2 ] T . - s . H s u , O n f o u r - c o n n e c t i n g a t r i c o n n e c t e d g r a p h , i n : P r o c . 3 3 ' r d A n n u a l I E E E S y m p . o n F O C S , 1 9 9 2 .
1 9 9 1 ] T . - s . H s u a n d V . R a m a c h a n d r a n , A l i n e a r t i m e a l g o r i t h m n f o r t r i c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n , i n : P r o c . 3 2 n d
A n n u a l I E E E S y m p . o n F o u n d a t i o n s o f C o m p . S c i , p p . 5 4 8 - 5 5 9 .
1 9 8 8 ] B . J a c k s o n , S o m e r e m a r k s o n a r c - c o n n e c t i v i t y , v e r t e x s p l i t t i n g , a n d o r i e n t a t i o n i n d i g r a p h s , J . G r a p h T h e o r y ,
1 2 , N o . 3 . ( 1 9 8 8 ) 4 2 9 - 4 3 6 .
1 9 9 5 ] T . J o r d a n , O n t h e o p t i m a l v e r t e x - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n , J . C o m b i n a t o r i a l T h e o r y , S e r . B , V o l . 6 3 ( N o .
1 ) 1 9 9 5 , 8 - 2 0 .
1 9 9 3 ] T . J o r d a n , I n c r e a s i n g t h e v e r t e x c o n n e c t i v i t y i n d i r e c t e d g r a p h s , i n : P r o c e e d i n g s o f t h e r s t E S A C o n f e r e n c e ,
S p r i n g e r L e c t u r e N o t e s o n C o m p u t e r S c i e n c e s , 7 2 6 , ( 1 9 9 3 ) p p . 2 3 6 - 2 4 7 .
1 9 9 4 ] T . J o r d a n , T r i c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n w i t h d e g r e e c o n s t r a i n t s , i n p r e p a r a t i o n ( a l s o i n : C o n n e c t i v i t y i n
g r a p h s , M a s t e r T h e s i s , 1 9 9 1 , E o t v o s U n i v e r s i t y , B u d a p e s t ( i n H u n g a r i a n ) ) .
1 9 9 4 b ] T . J o r d a n , C o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n o f r e g u l a r g r a p h s , i n p r e p a r a t i o n .
1 9 7 4 ] L . L o v a s z , C o n f e r e n c e o n G r a p h T h e o r y , l e c t u r e , P r a g u e , 1 9 7 4 .
1 9 7 6 ] L . L o v a s z , O n t w o m i n - m a x t h e o r e m s i n g r a p h t h e o r y , J . C o m b i n a t o r i a l T h e o r y , S e r . B , 2 1 ( 1 9 7 6 ) 2 6 - 3 0 .
1 9 7 6 ] L . L o v a s z , O n s o m e c o n n e c t i v i t y p r o p e r t i e s o f E u l e r i a n g r a p h s , A c t a M a t . A k a d . S c i . H u n g a r i c a e . 2 8 ( 1 9 7 6 )
1 2 9 - 1 3 8 .
1 9 7 9 ] L . L o v a s z , C o m b i n a t o r i a l P r o b l e m s a n d E x e r c i s e s , N o r t h - H o l l a n d 1 9 7 9 .
1 9 7 8 ] C . L . L u c c h e s i a n d D . H . Y o u n g e r , A m i n i m a x r e l a t i o n f o r d i r e c t e d g r a p h s , J . L o n d o n M a t h . S o c . ( 2 ) 1 7 ( 1 9 7 8 )
3 6 9 - 3 7 4 .
2 2
8/3/2019 Connectivity Augmentation
http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 23/23
1 9 7 8 ] W . M a d e r , A r e d u c t i o n m e t h o d f o r e d g e - c o n n e c t i v i t y i n g r a p h s , A n n . D i s c r e t e M a t h . 3 ( 1 9 7 8 ) 1 4 5 - 1 6 4 .
1 9 8 2 ] W . M a d e r , K o n s t r u k t i o n a l l e r n - f a c h k a n t e n z u s a m m e n h a n g e n d e n D i g r a p h e n , E u r o p . J . C o m b i n a t o r i c s ( 1 9 8 2 )
3 , 6 3 - 6 7 .
1 9 9 0 ] D . N a o r , D . G u s e l d a n d C h . M a r t e l , A f a s t a l g o r i t h m f o r o p t i m a l l y i n c r e a s i n g t h e e d g e - c o n n e c t i v i t y , 3 1 s t
A n n u a l S y m p o s i u m o n F o u n d a t i o n s o f C o m p u t e r S c i e n c e , 1 9 9 0 , p p 6 9 8 - 7 0 7 .
1 9 7 6 ] J . P l e s n i k , M i n i m u m b l o c k c o n t a i n i n g a g i v e n g r a p h , A r c h i v d e r M a t h e m a t i k , V o l . X X V I I , 1 9 7 6 , F a s c . 6 ,
6 6 8 - 6 7 2 .
1 9 8 2 ] A . S c h r i j v e r , M i n - m a x r e l a t i o n s f o r d i r e c t e d g r a p h s , A n n a l s o f D i s c r e t e M a t h e m a t i c s 1 6 ( 1 9 8 2 ) 2 6 1 - 2 8 0 .
1 9 7 9 ] Y . S h i l o a c h , E d g e - d i s j o i n t b r a n c h i n g s i n d i r e c t e d m u l t i g r a p h s , I n f o r m . P r o c . L e t t e r s 8 , ( 1 9 7 9 ) 2 4 - 2 7 .
1 9 9 4 ] S . T a o k a , D . T a k a f u j i a n d T . W a t a n a b e , S i m p l i c i t y p r e s e r v i n g a u g m e n t a t i o n o f t h e e d g e - c o n n e c t i v i t y o f a g r a p h ,
T h e I n s t i t u t e o f E l e c t r o n i c s , I n f o r m a t i o n a n d C o m m u n i c a t i o n E n g i n e e r s , T e c h n i c a l R e p o r t o f I E I C E , C O M P 9 3 - 7 3
( 1 9 9 4 - 0 1 ) ( D e p a r t m e n t o f C i r c u i t s a n d S y s t e m s , F a c u l t y o f E n g i n e e r i n g , H i r o s h i m a U n i v e r s i t y ) .
1 9 8 5 ]
E . T a r d o s , A s t r o n g l y p o l y n o m i a l m i n i m u m c o s t c i r c u l a t i o n a l g o r i t h m , C o m b i n a t o r i c a 5 ( 1 9 8 5 ) 2 4 7 - 2 5 5 .
1 9 7 3 ] D . L . W a n g a n d D . J . K l e i t m a n , O n t h e e x i s t e n c e o f n - c o n n e c t e d g r a p h s w i t h p r e s c r i b e d d e g r e e s ( n 2 )
N e t w o r k s , 3 , ( 1 9 7 3 ) p p . 2 2 5 - 2 3 9 .
1 9 8 7 ] T . W a t a n a b e a n d A . N a k a m u r a , E d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s , C o m p u t e r a n d S y s t e m S i e n c e s ,
V o l 3 5 , N o . 1 , ( 1 9 8 7 ) 9 6 - 1 4 4 .
1 9 8 8 ] T . W a t a n a b e a n d A . N a k a m u r a , 3 - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s , i n P r o c e e d i n g s I E E E I n t e r n a t i o n a l
S y m p o s i u m o n C i r c u i t s a n d S y s t e m s , 1 9 8 8 , p p . 1 8 4 7 - 1 8 5 0 .
1 9 9 3 ] T . W a t a n a b e a n d A . N a k a m u r a , A m i n i m u m 3 - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n o f a g r a p h , J . C o m p u t e r a n d S y s t e m
S c i e n c e s , V o l . 4 6 , N o . 1 , 1 9 9 3 , p p . 9 1 - 1 2 8 .
1 9 9 3 ] D . P . W i l l i a m s o n , O n t h e d e s i g n o f a p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h m s f o r a c l a s s o f g r a p h p r o b l e m s , P h . D . T h e s i s ,
M a s s a c h u s e t t s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y .
2 3
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