1. Trascendentestempranas 7E 7E Clculodeunavariable
Trascendentestempranas CLCULO de una variable, Trascendentes
tempranas es ampliamente reconocido por su precisin matemtica,
claridad de la exposicin y notables ejemplos y conjuntos de pro-
blemas. Millones de estudiantes en todo el mundo han estudiado el
clculo a travs del estilo registrado de Stewart, mientras que los
instructores han adoptado su planteamiento una y otra vez. En la
sptima edicin, Stewart contina estableciendo el estndar para el
curso al tiempo que aade contenido cuidadosamente revisado. Las
pacientes expli- caciones, los excelentes ejercicios centrados en
la resolucin de problemas y las series de ejercicios cuidadosamente
graduadas que han hecho de los textos de Stewart best sellers,
continan proporcionando una base slida para esta edicin. Desde los
estudiantes con menos preparacin hasta los ms talentosos
matemticos, la redaccin y la presentacin de Stewart les sirven para
mejorar el entendimiento y fomentar la conanza. Caractersticas
Cuatro pruebas de diagnstico cuidadosamente diseadas en el lgebra,
geome- tra analtica, funciones y trigonometra aparecen al principio
del texto. stas proporcionan a los estudiantes una manera
conveniente de poner a prueba su conocimiento previo y poner al da
las tcnicas y habilidades que necesitan para comenzar con xito el
curso. Las respuestas estn incluidas y los estudiantes que
necesiten mejorar se remiten a los puntos en el texto o en la pgina
web del libro donde pueden buscar ayuda. Cada concepto se apoya en
ejemplos resueltos con precisin, muchos de ellos con explicaciones
paso a paso y ejercicios cuidadosamente seleccionados. La calidad
de este sistema pedaggico es lo que distingue a los textos de
Stewart de otros. Los ejemplos no son slo modelos para resolver
problemas o un medio para demos- trar las tcnicas, sino que los
estudiantes tambin desarrollan una visin analtica del tema. Para
proporcionar una mayor comprensin de los conceptos matem- ticos,
muchos de estos ejemplos detallados muestran soluciones que se
presentan grca, analtica y/o de forma numrica. Las notas al margen
amplan y aclaran los pasos de la solucin. El tema de las ecuaciones
diferenciales es unicado con el tema del modelaje. A los enfoques
cualitativos, numricos y analticos se les da la misma consideracin.
Se han incrementado el nmero de problemas a la serie de ejercicios
ms difciles de la seccin Problemas adicionales al nal de cada
captulo. Estas secciones refuerzan los conceptos que requieren los
estudiantes para aplicar las tcnicas de ms de un captulo del texto
y la paciencia mostrada en la forma de abordar un problema difcil.
Clculo deunavariable
2. C L C U L O D E U N A V A R I A B L E T R A S C E N D E N T
E S T E M P R A N A S S P T I M A E D I C I N
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:19 p.m. Pgina i
3. 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:19 p.m. Pgina ii
4. C L C U L O D E U N A V A R I A B L E T R A S C E N D E N T
E S T E M P R A N A S S P T I M A E D I C I N JAMES STEWART
McMASTER UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF TORONTO Traduccin Mara del
Carmen Rodrguez Pedroza Revisin tcnica Dr. Ernesto Filio Lpez
Unidad Profesional en Ingeniera y Tecnologas Aplicadas Instituto
Politcnico Nacional M. en C. Manuel Robles Bernal Escuela Superior
de Fsica y Matemticas Instituto Politcnico Nacional Dr. Abel Flores
Amado Coordinador de la materia de Clculo Instituto Tecnolgico y de
Estudios Superiores de Monterrey Campus Puebla Mtro. Gustavo
Zamorano Montiel Universidad Popular Autnoma del Estado de Puebla
Australia Brasil Corea Espaa Estados Unidos Japn Mxico Reino Unido
Singapur 00 Preliminares V1_i-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
06/04/12 12:16 a.m. Pgina iii
5. Clculo de una variable Trascendentes tempranas Sptima edicin
James Stewart Presidente de Cengage Learning Latinoamrica Fernando
Valenzuela Migoya Director Editorial, de Produccin y de Plataformas
Digitales para Latinoamrica Ricardo H. Rodrguez Gerente de Procesos
para Latinoamrica Claudia Islas Licona
GerentedeManufacturaparaLatinoamrica Ral D. Zendejas Espejel
GerenteEditorialdeContenidosenEspaol Pilar Hernndez Santamarina
Coordinador de Manufactura Rafael Prez Gonzlez Editores Sergio
Cervantes Gonzlez Gloria Luz Olgun Sarmiento Diseo de portada Irene
Morris Imagen de portada Irene Morris Composicin tipogrfica 6Ns
D.R. 2012 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compaa
de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe nm.
505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, Mxico, D.F.
Cengage LearningR es una marca registrada usada bajo permiso.
DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la
Ley Federal del Derecho de Autor podr ser reproducida, transmitida,
almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya
sea grfico, electrnico o mecnico, incluyendo, pero sin limitarse, a
lo siguiente: fotocopiado, reproduccin, escaneo, digitalizacin,
grabacin en audio, distribucin en Internet, distribucin en redes de
informacin o almacenamiento y recopilacin en sistemas de
informacin, a excepcin de lo permitido en el Captulo III, Artculo
27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento
por escrito de la Editorial. Traducido del libro Calculus. Single
variable. Early trascendentals. Seventh Edition. James Stewart
Publicado en ingls por Brooks/Cole, una compaa de Cengage Learning
2012 ISBN: 978-0-538-49867-8 Datos para catalogacin bibliogrfica
Stewart James Clculo de una variable. Trascendentes tempranas.
Sptima edicin ISBN: 978-607-481-881-9 Visite nuestro sitio en:
http://latinoamerica.cengage.com Impreso en Mxico 1 2 3 4 5 6 7 15
14 13 12 00 Preliminares V1_i-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
06/04/12 12:16 a.m. Pgina iv
6. A Bill Ralph y Bruce Thompson
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:19 p.m. Pgina v
7. 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:19 p.m. Pgina vi
8. vii Prefacio xiii Al estudiante xxv Exmenes de diagnstico
xxvii UN PREVIO DE CLCULO 1 1.1 Cuatro maneras de representar una
funcin 10 1.2 Modelos matemticos: un catlogo de funciones
esenciales 23 1.3 Nuevas funciones a partir de funciones viejas 36
1.4 Calculadoras gracadoras y computadoras 44 1.5 Funciones
exponenciales 51 1.6 Funciones inversas y logaritmos 58 Repaso 72
Principios para la resolucin de problemas 75 2.1 Problemas de la
tangente y la velocidad 82 2.2 Lmite de una funcin 87 2.3 Clculo de
lmites usando las leyes de los lmites 99 2.4 La denicin precisa de
lmite 108 2.5 Continuidad 118 2.6 Lmites al innito, asntotas
horizontales 130 2.7 Derivadas y razones de cambio 143 Redaccin de
proyecto & Primeros mtodos para encontrar tangentes 153 2.8 La
derivada como una funcin 154 Repaso 165 Problemas adicionales 170 1
Funciones y modelos9 2 Lmites y derivadas81 Contenido
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:19 p.m. Pgina vii
9. viii CONTENIDO 3.1 Derivadas de funciones polinomiales y
exponenciales 174 Proyecto de aplicacin & Construccin de una
montaa rusa 184 3.2 Reglas del producto y el cociente 184 3.3
Derivadas de funciones trigonomtricas 191 3.4 Regla de la cadena
198 Proyecto de aplicacin & Dnde debera un piloto iniciar el
aterrizaje? 208 3.5 Derivacin implcita 209 Proyecto de laboratorio
& Familias de curvas implcitas 217 3.6 Derivadas de funciones
logartmicas 218 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y
sociales 224 3.8 Crecimiento y decaimiento exponenciales 237 3.9
Razones relacionadas 244 3.10 Aproximaciones lineales y
diferenciales 250 Proyecto de laboratorio & Polinomios de
Taylor 256 3.11 Funciones hiperblicas 257 Repaso 264 Problemas
adicionales 268 4.1 Valores mximos y mnimos 274 Proyecto de
aplicacin & Clculo de arcoris 282 4.2 Teorema del valor medio
284 4.3 Cmo afecta la derivada la forma de una grca 290 4.4 Formas
indeterminadas y regla de lHospital 301 Redaccin de proyecto &
Los orgenes de la regla de lHospital 310 4.5 Resumen de trazado de
curvas 310 4.6 Gracacin con clculo y calculadoras 318 4.7 Problemas
de optimizacin 325 Proyecto de aplicacin & La forma de una lata
337 4.8 El mtodo de Newton 338 4.9 Antiderivadas 344 Repaso 351
Problemas adicionales 355 3 Reglas de derivacin173 4 Aplicaciones
de la derivada273
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:19 p.m. Pgina viii
10. CONTENIDO ix 5.1 reas y distancias 360 5.2 La integral
denida 371 Proyecto para un descubrimiento & Funciones rea 385
5.3 Teorema fundamental del clculo 386 5.4 Integrales indenidas y
el teorema del cambio neto 397 Redaccin de proyecto & Newton,
Leibniz y la invencin del clculo 406 5.5 Regla de sustitucin 407
Repaso 415 Problemas adicionales 419 6.1 reas entre curvas 422
Proyecto de aplicacin & El ndice Gini 429 6.2 Volmenes 430 6.3
Volmenes mediante cascarones cilndricos 441 6.4 Trabajo 446 6.5
Valor promedio de una funcin 451 Proyecto de aplicacin & El
clculo y el beisbol 455 Proyecto de aplicacin & Dnde sentarse
en el cine 456 Repaso 457 Problemas adicinales 459 7.1 Integracin
por partes 464 7.2 Integrales trigonomtricas 471 7.3 Sustitucin
trigonomtrica 478 7.4 Integracin de funciones racionales mediante
fracciones parciales 484 7.5 Estrategias para la integracin 494 7.6
Integracin utilizando tablas y sistemas algebraicos computarizados
500 Proyecto para un descubrimiento & Patrones en integrales
505 5 Integrales359 6 Aplicaciones de la integracin421 7 Tcnicas de
integracin463
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:20 p.m. Pgina ix
11. x CONTENIDO 7.7 Integracin aproximada 506 7.8 Integrales
impropias 519 Repaso 529 Problemas adicionales 533 8.1 Longitud de
arco 538 Proyecto para un descubrimiento & Concurso de la
longitud de arco 545 8.2 rea de una supercie de revolucin 545
Proyecto para un descubrimiento & Rotacin sobre una pendiente
551 8.3 Aplicaciones a la fsica y a la ingeniera 552 Proyecto para
un descubrimiento & Tazas de caf complementarias 562 8.4
Aplicaciones a la economa y a la biologa 563 8.5 Probabilidad 568
Repaso 575 Problemas adicionales 577 9.1 Modelado con ecuaciones
diferenciales 580 9.2 Campos direccionales y mtodo de Euler 585 9.3
Ecuaciones separables 594 Proyecto de aplicacin & Qu tan rpido
drena un tanque? 603 Proyecto de aplicacin & Qu es ms rpido,
subir o bajar? 604 9.4 Modelos de crecimiento poblacional 605 9.5
Ecuaciones lineales 616 9.6 Sistemas depredador-presa 622 Repaso
629 Problemas adicionales 633 8 Aplicaciones adicionales de la
integracin537 9 Ecuaciones diferenciales579
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:20 p.m. Pgina x
12. CONTENIDO xi 10.1 Curvas denidas por medio de ecuaciones
paramtricas 636 Proyecto de laboratorio & Circunferencias que
corren alrededor de circunferencias 644 10.2 Clculo con curvas
paramtricas 645 Proyecto de laboratorio & Curvas de Bzier 653
10.3 Coordenadas polares 654 Proyecto de laboratorio & Familias
de curvas polares 664 10.4 reas y longitudes en coordenadas polares
665 10.5 Secciones cnicas 670 10.6 Secciones cnicas en coordenadas
polares 678 Repaso 685 Problemas adicionales 688 11.1 Sucesiones
690 Proyecto de laboratorio & Sucesiones logsticas 703 11.2
Series 703 11.3 La prueba de la integral y estimacin de sumas 714
11.4 Pruebas por comparacin 722 11.5 Series alternantes 727 11.6
Convergencia absoluta y las pruebas de la razn y la raz 732 11.7
Estrategia para probar series 739 11.8 Series de potencias 741 11.9
Representacin de las funciones como series de potencias 746 11.10
Series de Taylor y de Maclaurin 753 Proyecto de laboratorio &
Un lmite escurridizo 767 Redaccin de proyecto & Cmo descubri
Newton la serie binomial 767 11.11 Aplicaciones de los polinomios
de Taylor 768 Proyecto de aplicacin & Radiacin proveniente de
las estrellas 777 Repaso 778 Problemas adicionales 781 10
Ecuaciones paramtricas y coordenadas polares635 11 Sucesiones y
series innitas689
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:20 p.m. Pgina xi
13. xii CONTENIDO A Nmeros, desigualdades y valores absolutos
A2 B Geometra de coordenadas y rectas A10 C Grcas de ecuaciones de
segundo grado A16 D Trigonometra A24 E Notacin sigma A34 F
Demostracin de teoremas A39 G El logaritmo denido como una integral
A48 H Nmeros complejos A55 I Respuestas a ejercicios de nmero impar
A63 ApndicesA1 ndiceA115
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:20 p.m. Pgina xii
14. xiii Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero
siempre hay una pizca de descubrimiento en la solucin de cualquier
problema. El problema puede ser modesto, pero si desafa su
curiosidad y pone en juego sus facultades inventivas para
resolverlo por sus propios medios, usted puede experimentar la
emocin y disfrutar el triunfo del descubrimiento. G E O R G E P O L
Y A El arte de la enseanza, dijo Mark Van Doren, es el arte de
ayudar a descubrir. He inten- tado escribir un libro que ayude a
los estudiantes a descubrir el Clculo, tanto por su uti- lidad
prctica como por su sorprendente belleza. En esta edicin, como en
las seis primeras ediciones, mi objetivo es mostrar a los
estudiantes un sentido de la utilidad del clculo y desarrollar en
ellos una competencia tcnica, pero tambin intento ilustrar la
belleza intrnseca de la materia. Sin duda, Newton experiment una
sensacin de triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos; es mi
deseo que los estudiantes compartan un poco de esa sensacin. El
nfasis est en la comprensin de los conceptos. Creo que casi todo el
mundo est de acuerdo en que esta comprensin debe ser el objetivo
principal de la enseanza del Clculo. De hecho, el impulso para la
actual reforma en la enseanza del Clculo vino desde la Conferencia
de Tulane en 1986, donde se formul su primera recomendacin:
Concentrarse en la comprensin de los conceptos He intentado
implementar este objetivo mediante la regla de los tres: Los temas
deben presentarse con enfoques geomtricos, numricos y algebraicos.
La visualizacin, la experimentacin numrica y grca y otros enfoques
han modicado la manera en que se ensea el razonamiento conceptual.
La regla de los tres se ha ampliado para convertirse en la regla de
los cuatro al hacer hincapi en la verbalizacin y lo descriptivo. En
la redaccin de la sptima edicin me he propuesto lograr una
comprensin con- ceptual y conservar an lo mejor del Clculo
tradicional. El libro contiene elementos de la reforma, pero dentro
del contexto de un currculo tradicional. He escrito otros libros de
clculo que podran ser preferidos por algunos maestros. La mayora de
ellos tambin vienen en versiones de una variable y de varias
variables. Clculo: Transcendentes tempranas, sptima edicin, versin
hbrida, es similar al presente libro en contenido y cobertura salvo
que todos los ejercicios de la seccin estn disponibles slo en
Enhanced WebAssign. El texto impreso incluye un repaso de todo el
material al nal de captulo. Clculo, sptima edicin, es similar al
presente libro de texto excepto que las funciones trigonomtricas
inversas, logartmicas y exponenciales se tratan en un segundo
semestre. Versiones alternativas Prefacio
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:20 p.m. Pgina xiii
15. xiv PREFACIO Clculo, sptima edicin, versin hbrida, es
similar a Clculo, sptima edicin, en contenido y cobertura, salvo
que todos los ejercicios al nal de la seccin estn disponibles slo
en Enhanced WebAssign. El texto impreso incluye un repaso de todo
el material al nal del captulo. Clculo esencial es un libro mucho
ms breve (800 pginas), aunque contiene casi todos los temas de
Clculo, sptima edicin. La relativa brevedad se logra a travs de una
exposicin ms concreta de algunos temas y poniendo algunas
caractersticas en el sitio web. Clculo esencial: transcendentes
tempranas se asemeja a Clculo esencial, slo que las funciones
trigonomtricas inversas, exponenciales y logartmicas se tratan en
el captulo 3. Clculo: conceptos y contextos, cuarta edicin, destaca
la comprensin conceptual an ms fuertemente que este libro. La
cobertura de temas no es enciclopdica y el material sobre funciones
trascendentes y ecuaciones paramtricas es tejido a lo largo del
libro en lugar de ser tratadas en captulos separados. Clculo:
primeros vectores introduce los vectores y las funciones
vectoriales en un primer semestre y las integra en todo el libro.
Es adecuado para los estudiantes que toman cursos de ingeniera y
fsica simultneamente con el de Clculo. Clculo aplicado abreviado
est destinado a estudiantes de negocios, ciencias sociales y
ciencias de la vida. Los cambios han sido resultado de los
comentarios de mis colegas y estudiantes de la Universidad de
Toronto y de la lectura de diarios, as como de las sugerencias de
los usuarios y los revisores. stas son algunas de las muchas
mejoras que he incorporado en esta edicin. Parte del material ha
sido reescrito para mayor claridad o mejor motivacin. Vase, por
ejemplo, la introduccin al tema de valores mximos y mnimos en la
pgina 274 y la introduccin a las series en la pgina 703. Se han
agregado nuevos ejemplos, y las soluciones a algunos de los
ejemplos existentes han sido ampliadas. Un caso puntual: he aadido
detalles para la solucin del ejemplo 2.3.11 porque cuando enseo la
seccin 2.3 de la sexta edicin me he dado cuenta de que los
estudiantes necesitan ms orientacin cuando se conguran las
desigualdades para el teorema de la compresin. El programa de arte
ha sido renovado: se han incorporado nuevas guras y un porcentaje
importante de las actuales guras han sido redibujadas. Se han
actualizado los datos de ejemplos y ejercicios para ser ms
pertinentes. Se han agregado tres nuevos proyectos: El ndice Gini
(pgina 429) explora cmo medir la distribucin del ingreso entre los
habitantes de un pas y es una atractiva aplicacin del tema de rea
entre curvas. (Agradezco a Klaus Volpert por sugerir este
proyecto.) En Familias de curvas implcitas (pgina 217) se
investigan variadas formas cambiantes de curvas denidas
implcitamente como parmetros en una familia. Las familias de curvas
polares (pgina 664) exhiben las fascinantes formas de curvas
polares y cmo evolucionan en el contexto de una familia. Qu hay de
nuevo en la sptima edicin?
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:20 p.m. Pgina xiv
16. PREFACIO xv Ms de 25% de los ejercicios de cada captulo son
nuevos. stos son algunos de mis favoritos: 1.6.58, 2.6.51,
2.8.13-14, 3.3.56, 3.4.67, 3.5.69-72, 3.7.22, 4.3.86, 5.2.51-53,
6.4.30, 11.2.49-50 y 11.10.71-72. Los medios de comunicacin y
tecnologa para apoyar el texto se han mejorado para dar a los
profesores mayor control sobre su curso, proporcionar ayuda
adicional para hacer frente a los diversos niveles de preparacin de
los estudiantes del curso de Clculo y fortalecer el apoyo para la
comprensin conceptual. Las caractersticas del nuevo Enhanced
WebAssign incluyen un Cengage YouBook personalizado, un repaso Just
in Time, un Show your Work, un Evaluador de respuestas, un Plan de
estudio personalizado, Master Its, solucin en videos, videoclips de
conferencias (con preguntas asociadas) y un Visualizing Calculus
(animaciones TEC con preguntas asociadas) que se han desarrollado
para facilitar el mejor aprendizaje de los estudiantes y hacer
exible el trabajo docente en el aula. El TEC (Herramientas para
Enriquecer el Clculo) ha sido completamente rediseado y est
disponible en Enhanced WebAssign, CourseMate y PowerLecture.
Selected Visuals y Modules estn disponibles en
www.stewartcalculus.com. EJERCICIOS CONCEPTUALES La manera ms
importante de fomentar la comprensin conceptual es a travs de los
pro- blemas que proponemos. Para ello he ideado varios tipos de
problemas. Algunos conjun- tos de ejercicios comienzan solicitando
la explicacin del signicado de los conceptos bsicos de la seccin.
(Vase, por ejemplo, los primeros ejercicios en 2.2, 2.5 y 11.2.)
Del mismo modo, todas las secciones de repaso comienzan con una
vericacin de conceptos y un Examen rpido Verdadero-Falso. Los
ejercicios de verificacin de comprensin conceptual a travs de
grficos o tablas se ven en los ejercicios 2.7.17, 2.8.35-40,
2.8.43-46, 9.1.11-13, 10.1.24-27 y 11.10.2. Otro tipo de ejercicio
donde se utiliza la descripcin verbal para vericar la compren- sin
conceptual est en los ejercicios 2.5.10, 2.8.58, 4.3.63-64 y
7.8.67. Considero de valor especial los problemas que combinan y
comparan los enfoques numricos, grcos y alge- braicos (ver
ejercicios 2.6.39-40, 3.7.27 y 9.4.2). CONJUNTOS DE EJERCICIOS Cada
conjunto de ejercicios es cuidadosamente calicado, progresando
desde ejercicios CALIFICADOS conceptuales bsicos y problemas para
el desarrollo de habilidades hasta problemas ms desaantes de
aplicaciones y demostraciones. DATOS DEL MUNDO REAL Mis ayudantes y
yo hemos pasado mucho tiempo buscando en bibliotecas, ponindonos en
contacto con empresas y organismos gubernamentales, y buscando
informacin en inter- net con el n de presentar, motivar e ilustrar
los conceptos del Clculo a partir de datos del mundo real. Como
resultado, muchos de los ejemplos y ejercicios se tratan con
funcio- nes definidas por estos datos numricos o grficos. Vase, por
ejemplo, la figura 1 en la seccin 1.1 (sismogramas del terremoto de
Northridge), ejercicio 2.8.36 (porcentaje de la poblacin menor de
18 aos), ejercicio 5.1.16 (velocidad del transbordador espa- cial
Endeavour) y la gura 4 en la seccin 5.4 (consumo de energa de San
Francisco). PROYECTOS Una manera de interesar y activar a los
estudiantes es hacerlos trabajar (quizs en grupos) en proyectos
extendidos que den la sensacin de triunfo al obtener un logro
sustancial una vez nalizados. He incluido cuatro tipos de
proyectos: proyectos de aplicacin que invo- lucran aplicaciones
diseadas para apelar a la imaginacin de los estudiantes. El
proyecto posterior a la seccin 9.3 pregunta si una pelota lanzada
verticalmente hacia arriba tarda ms tiempo en llegar a su altura
mxima o en volver a su altura original. (La respuesta Mejoras
tecnolgicas Caractersticas 00 Preliminares
V1_i-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 06/04/12 06:48 a.m. Pgina
xv
17. xvi PREFACIO podra sorprenderle.) En la siguiente seccin,
10.2, se muestra cmo utilizar las curvas de Bzier en el diseo de
formas que representan letras para una impresora lser. La redac-
cin de proyectos pide a los estudiantes comparar mtodos actuales
con los de los funda- dores del Clculo, por ejemplo, el mtodo de
Fermat para encontrar rectas tangentes; para esto se sugieren
referencias. Los proyectos para un descubrimiento anticipan
resultados que se analizan ms adelante o fomentan el descubrimiento
a travs del reconocimiento de patrones (vase la posterior a la
seccin 7.6). Otros proyectos se encuentran en la Gua del instructor
(vase, por ejemplo, el grupo ejercicio 5.1: Posicin a partir de
muestras). RESOLUCIN DE PROBLEMAS Los estudiantes suelen tener
dicultades con problemas para los que no existe algn pro-
cedimiento bien denido para obtener la respuesta. Creo que nadie ha
mejorado mucho la estrategia de George Polya con sus cuatro etapas
para resolver un problema, por lo que, en consecuencia, he incluido
una versin de sus principios para resolver problemas despus del
captulo 1. Estos principios, tanto explcita como implcitamente, se
aplican en todo el libro. Despus de los otros captulos he colocado
secciones llamadas Problemas adicio- nales, que incluyen ejemplos
de cmo afrontar problemas difciles de Clculo. En la selec- cin de
los variados problemas para estas secciones tom en cuenta el
consejo de David Hilbert: un problema matemtico debe ser difcil
para convencernos, pero no inaccesible como para frustrar nuestros
esfuerzos. Cuando propongo estos desaantes problemas en tareas y
exmenes, los calico de manera diferente. Aqu premio
signicativamente a un estudiante por sus ideas y aportaciones
orientadas hacia una solucin y por reconocer cu- les principios de
solucin de problemas son relevantes. TECNOLOGA La disponibilidad de
la tecnologa no hace menos, sino ms importante comprender clara-
mente los conceptos que subyacen en las imgenes en la pantalla.
Cuando se utilizan correctamente, las calculadoras y dispositivos
de gracacin son poderosas herramientas para analizar y comprender
los conceptos. Este libro de texto puede utilizarse con o sin
tecnologa y empleo dos smbolos especiales para indicar claramente
cundo se requiere un tipo especial de mquina. El icono ; indica un
ejercicio que denitivamente necesita de esta tecnologa, pero no
indica que no sea posible usarla en otros ejemplos. El smbolo se
utiliza para problemas que requieren todos los recursos de un
sistema algebraico compu- tarizado (Derive, Maple, Mathematica o la
TI-89/92). A pesar de todo, la tecnologa no deja obsoletos al lpiz
y el papel. Con frecuencia son preferibles los clculos y trazos
hechos manualmente para ilustrar y reforzar algunos conceptos.
Tanto profesores como estudian- tes necesitan desarrollar la
capacidad de decidir cundo es apropiado trabajar a mano o con
mquina. TEC es un acompaante de este libro de texto y est pensado
para enriquecer y comple- mentar su contenido (disponible desde
internet en www.stewartcalculus.com y en Enhan- ced WebAssign y
CourseMate). Desarrollado por Harvey Keynes, Dan Clegg, Hubert Hohn
y por m, TEC utiliza un enfoque exploratorio y de descubrimiento.
En las seccio- nes del libro donde la tecnologa es particularmente
apropiada, los iconos al margen diri- gen a estudiantes hacia
mdulos TEC que proporcionan un entorno de laboratorio en el que
puede explorar el tema de diferentes maneras y en distintos
niveles. Visual son ani- maciones de guras en el texto; Module son
actividades ms elaboradas e incluyen ejer- cicios. Los profesores
pueden optar por participar en varios niveles diferentes, que van
desde simplemente alentar a los estudiantes a usar Visual y Module
para la exploracin indepen- diente, hasta asignar ejercicios
especcos de los incluidos en Module, o a la creacin de ejercicios
adicionales, laboratorios y proyectos que hacen uso de Visual y
Module. TAREAS SUGERIDAS Aqu se presentan tareas sugeridas en forma
de preguntas y tratan de emular un asistente efectivo de enseanza
al funcionar como un discreto tutor. En cada seccin del texto se
incluyen sugerencias para los ejercicios representativos
(normalmente impares), indicando en rojo el nmero del ejercicio.
Los ejercicios estn construidos de manera que no revelan ms de la
solucin real de lo que es mnimo necesario para avanzar ms y estn
disponibles a los estudiantes en stewartcalculus.com, CourseMate y
Enhanced WebAssign. HERRAMIENTAS PARA ENRIQUECER EL CLCULO SAC
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:20 p.m. Pgina xvi
18. PREFACIO xvii ENHANCED WEBASSIGN La tecnologa est teniendo
impacto en la forma en que se asignan tereas a estudiantes, par-
ticularmente en grupos numerosos. El uso de tareas en lnea es
creciente y su inters depende de la facilidad de uso, calidad de
calicacin y conabilidad. Con la sptima edicin hemos estado
trabajando con la comunidad de Clculo y WebAssign para desarrollar
un sistema ms slido de tareas en lnea. Hasta 70% de los ejercicios
de cada seccin son asignables como tareas en lnea, incluyendo
respuestas libres, opcin mltiple y otros varios formatos. El
sistema tambin incluye ejemplos activos, en los que los estudiantes
son guiados paso a paso en tutoriales a travs de ejemplos
textuales, con enlaces al libro de texto y a las soluciones en
video. Las nuevas mejoras al sistema incluyen un eBook
personalizable, una muestra de las caractersticas de su trabajo
(Show Your Work), un repaso de prerrequisitos de preclculo (Just in
Time), un editor de tareas mejorado (Assignment Editor) y un eva-
luador de respuestas (Answer Evaluator) que acepta respuestas
matemticamente equiva- lentes y permite la calicacin de las tareas
del mismo modo en que lo hace el profesor. www.stewartcalculus.com
Este sitio incluye lo siguiente: Tareas sugeridas Repaso de lgebra
Mi calculadora miente y la computadora me dijo Historia de las
matemticas, con vnculos a los mejores sitios histricos Tpicos
adicionales (complementados con conjuntos de ejercicios): series de
Fourier, frmulas para el trmino del residuo en la serie de Taylor,
rotacin de ejes Problemas archivados (ejercicios de prctica que
aparecieron en las ediciones anteriores, junto con sus soluciones)
Problemas de desafo (algunos de los problemas especiales que
aparecieron en secciones de ediciones anteriores) Vnculos para
tpicos particulares a recursos externos de la web Tools for
Enriching Calculus (TEC), Module y Visual Exmenes de diagnstico El
libro comienza con cuatro exmenes de diagnstico relacionados con
lgebra bsica, geometra analtica, funciones y trigonometra. Un
previo de Clculo Se presenta una visin general del tema e incluye
una lista de preguntas para motivar el estudio del clculo. 1
Funciones y modelos Desde el principio, se hace hincapi en varias
representaciones de las funciones: verbal, numrica, visual y
algebraica. Una discusin de los modelos matemticos conduce a una
revisin de las funciones estndar, incluyendo las funciones
exponenciales y logartmicas, desde estos cuatro puntos de vista. 2
Lmites y derivadas El material sobre lmites est motivado por un
debate previo sobre los problemas de la recta tangente y la
velocidad. Los lmites son tratados desde puntos de vista
descriptivos, grcos, numricos y algebraicos. La seccin 2.4, sobre
la denicin precisa e-d de un lmite, es una seccin opcional. Las
secciones 2.7 y 2.8 tratan de derivadas (especialmente con
funciones denidas grca y numricamente) antes de estudiar las reglas
de derivacin en el captulo 3. Aqu los ejemplos y ejercicios
exploran los signicados de derivadas en diversos contextos. Las
derivadas de orden superior se presentan en seccin 2.8. 3 Reglas de
derivacin Aqu se derivan todas las funciones bsicas, incluyendo las
exponenciales, logartmicas y trigonomtricas inversas. Cuando las
derivadas se calculan en situaciones aplicadas, se pide a los
estudiantes explicar su signicado. En este captulo se estudian el
crecimiento y decaimiento exponencial. Contenido
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:20 p.m. Pgina xvii
19. xviii PREFACIO 4 Aplicaciones de la derivada Los hechos
bsicos relativos a los valores extremos y a las formas de las
curvas se dedu- cen del teorema del valor medio. Las grcas con
tecnologa hacen hincapi en la interaccin entre el Clculo y las
calculadoras y el anlisis de las familias de curvas. Se proporcio-
nan algunos problemas importantes, incluyendo una explicacin del
porqu necesita levantar su cabeza 42 para ver la parte superior de
un arcoris. 5 Integrales Los problemas del rea y la distancia
sirven para motivar el estudio de la integral denida, recurriendo a
la notacin sigma cada vez que sea necesario. (En el apndice E se
proporciona un tratamiento completo de la notacin sigma.) Se
enfatiza la explicacin del signicado de la integral en diversos
contextos y en la estimacin de sus valores en grcas y tablas. 6
Aplicaciones de la integracin Aqu presento las aplicaciones de la
integracin rea, volumen, trabajo, valor promedio que razonablemente
pueden hacerse sin tcnicas especializadas de integracin. Se hace
hincapi en mtodos generales. El objetivo es que los estudiantes
puedan dividir una can- tidad en trozos pequeos, estimarla con
sumas de Riemann, y reconocer su lmite como una integral. 7 Tcnicas
de integracin Aqu se cubren los mtodos estndar pero, por supuesto,
el verdadero desafo es recono- cer qu tcnica se utiliza mejor en
una situacin dada. En consecuencia, en la seccin 7.5 presento una
estrategia para la integracin. El uso de sistemas algebraicos
computarizados se explica en la seccin 7.6. Aqu aparecen las
aplicaciones de integracin: rea de una supercie y longitud de un
arco, para las que es til tener disponibles todas las tcnicas de
integracin, as como aplicacio- nes a la biologa, la economa y la
fsica (fuerza hidrosttica y centros de masa). Tambin he incluido
una seccin de probabilidad. Aqu hay ms aplicaciones de las que en
realidad se pueden cubrir en un curso determinado, as que los
profesores deben seleccionar las aplicaciones adecuadas para
interesar a los estudiantes y a ellos mismos. 9 Ecuaciones
diferenciales El modelado es el tema que unica este tratamiento
preliminar de las ecuaciones diferen- ciales. Los campos
direccionales y el mtodo de Euler se estudian antes de resolver las
ecuaciones lineales y separables de forma explcita, por lo que los
enfoques cualitativos, numricos y analticos reciben igual
consideracin. Estos mtodos se aplican a los mode- los
exponenciales, logsticos y otros para el estudio del crecimiento de
la poblacin. Las primeras cuatro o cinco secciones de este captulo
son una buena introduccin a las ecua- ciones diferenciales de
primer orden. Una seccin nal opcional utiliza el modelo depre-
dador-presa para ilustrar los sistemas de ecuaciones diferenciales.
Este captulo introduce las curvas paramtricas y polares y las
aplicaciones del Clculo en ellas. Las curvas paramtricas estn bien
adaptadas a los proyectos de laboratorio; los tres presentados
involucran a familias de curvas y curvas de Bzier. Un breve
tratamiento de las cnicas en coordenadas polares prepara el camino
para las leyes de Kepler en el captulo 13. 11 Sucesiones y series
innitas Las pruebas de convergencia tienen justicaciones intuitivas
(vase la pgina 714) as como demostraciones formales. Las
estimaciones numricas de sumas de series estn basadas en cul prueba
se us para demostrar una convergencia. El nfasis est en la serie y
polinomios de Taylor y sus aplicaciones a la fsica. Las
estimaciones de error incluyen los de dispositivos de gracacin.
Clculo. Trascendentes tempranas, sptima edicin, se apoya en un
conjunto completo de materiales auxiliares desarrollados bajo mi
direccin. Cada parte se ha diseado para mejorar la comprensin del
estudiante y facilitar la enseanza creativa. Con esta edicin, 8
Aplicaciones adicionales de la integracin 10 Ecuaciones paramtricas
y coordenadas polares Material auxiliar
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:20 p.m. Pgina xviii
20. PREFACIO xix se han desarrollado nuevos medios y tecnologas
que ayudan al estudiante a visualizar el clculo y a los
instructores a personalizar el contenido para mejorar la forma en
que ensean su curso. Las tablas en las pginas xxiiixxiv describen
cada uno de estos auxiliares. Para la preparacin de sta y las
anteriores ediciones he invertido mucho tiempo leyendo las
opiniones (aunque a veces contradictorias) de un gran nmero de
astutos revisores. Agradezco enormemente a todos ellos por el
tiempo dedicado a la cuidadosa lectura y a la comprensin del
enfoque adoptado. He aprendido algo de cada uno de ellos. REVISORES
DE LA SPTIMA EDICIN Agradecimientos Amy Austin, Texas A&M
University Anthony J. Bevelacqua, University of North Dakota
Zhen-Qing Chen, University of WashingtonSeattle Jenna Carpenter,
Louisiana Tech University Le Baron O. Ferguson, University of
CaliforniaRiverside Shari Harris, John Wood Community College Amer
Iqbal, University of WashingtonSeattle Akhtar Khan, Rochester
Institute of Technology Marianne Korten, Kansas State University
Joyce Longman, Villanova University Richard Millspaugh, University
of North Dakota Lon H. Mitchell, Virginia Commonwealth University
Ho Kuen Ng, San Jose State University Norma Ortiz-Robinson,
Virginia Commonwealth University Qin Sheng, Baylor University
Magdalena Toda, Texas Tech University Ruth Trygstad, Salt Lake
Community College Klaus Volpert, Villanova University Peiyong Wang,
Wayne State University Maria Andersen, Muskegon Community College
Eric Aurand, Easteld College Joy Becker, University of
WisconsinStout Przemyslaw Bogacki, Old Dominion University Amy
Elizabeth Bowman, University of Alabama in Huntsville Monica Brown,
University of MissouriSt. Louis Roxanne Byrne, University of
Colorado at Denver and Health Sciences Center Teri Christiansen,
University of MissouriColumbia Bobby Dale Daniel, Lamar University
Jennifer Daniel, Lamar University Andras Domokos, California State
University, Sacramento Timothy Flaherty, Carnegie Mellon University
Lee Gibson, University of Louisville Jane Golden, Hillsborough
Community College Semion Gutman, University of Oklahoma Diane
Hoffoss, University of San Diego Lorraine Hughes, Mississippi State
University Jay Jahangiri, Kent State University John Jernigan,
Community College of Philadelphia Brian Karasek, South Mountain
Community College Jason Kozinski, University of Florida Carole
Krueger, The University of Texas at Arlington Ken Kubota,
University of Kentucky John Mitchell, Clark College Donald Paul,
Tulsa Community College Chad Pierson, University of Minnesota,
Duluth Lanita Presson, University of Alabama in Huntsville Karin
Reinhold, State University of New York at Albany Thomas Riedel,
University of Louisville Christopher Schroeder, Morehead State
University Angela Sharp, University of Minnesota, Duluth Patricia
Shaw, Mississippi State University Carl Spitznagel, John Carroll
University Mohammad Tabanjeh, Virginia State University Capt.
Koichi Takagi, United States Naval Academy Lorna TenEyck, Chemeketa
Community College Roger Werbylo, Pima Community College David
Williams, Clayton State University Zhuan Ye, Northern Illinois
University REVISORES DE LA TECNOLOGA
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:20 p.m. Pgina xix
21. xx PREFACIO REVISORES DE EDICIONES ANTERIORES B. D.
Aggarwala, University of Calgary John Alberghini, Manchester
Community College Michael Albert, Carnegie-Mellon University Daniel
Anderson, University of Iowa Donna J. Bailey, Northeast Missouri
State University Wayne Barber, Chemeketa Community College Marilyn
Belkin, Villanova University Neil Berger, University of Illinois,
Chicago David Berman, University of New Orleans Richard Biggs,
University of Western Ontario Robert Blumenthal, Oglethorpe
University Martina Bode, Northwestern University Barbara Bohannon,
Hofstra University Philip L. Bowers, Florida State University Amy
Elizabeth Bowman, University of Alabama in Huntsville Jay Bourland,
Colorado State University Stephen W. Brady, Wichita State
University Michael Breen, Tennessee Technological University Robert
N. Bryan, University of Western Ontario David Buchthal, University
of Akron Jorge Cassio, Miami-Dade Community College Jack Ceder,
University of California, Santa Barbara Scott Chapman, Trinity
University James Choike, Oklahoma State University Barbara Cortzen,
DePaul University Carl Cowen, Purdue University Philip S. Crooke,
Vanderbilt University Charles N. Curtis, Missouri Southern State
College Daniel Cyphert, Armstrong State College Robert Dahlin M.
Hilary Davies, University of Alaska Anchorage Gregory J. Davis,
University of WisconsinGreen Bay Elias Deeba, University of
HoustonDowntown Daniel DiMaria, Suffolk Community College Seymour
Ditor, University of Western Ontario Greg Dresden, Washington and
Lee University Daniel Drucker, Wayne State University Kenn Dunn,
Dalhousie University Dennis Dunninger, Michigan State University
Bruce Edwards, University of Florida David Ellis, San Francisco
State University John Ellison, Grove City College Martin Erickson,
Truman State University Garret Etgen, University of Houston
Theodore G. Faticoni, Fordham University Laurene V. Fausett,
Georgia Southern University Norman Feldman, Sonoma State University
Newman Fisher, San Francisco State University Jos D. Flores, The
University of South Dakota William Francis, Michigan Technological
University James T. Franklin, Valencia Community College, East
Stanley Friedlander, Bronx Community College Patrick Gallagher,
Columbia UniversityNew York Paul Garrett, University of
MinnesotaMinneapolis Frederick Gass, Miami University of Ohio Bruce
Gilligan, University of Regina Matthias K. Gobbert, University of
Maryland, Baltimore County Gerald Goff, Oklahoma State University
Stuart Goldenberg, California Polytechnic State University John A.
Graham, Buckingham Browne & Nichols School Richard Grassl,
University of New Mexico Michael Gregory, University of North
Dakota Charles Groetsch, University of Cincinnati Paul Triantalos
Hadavas, Armstrong Atlantic State University Salim M. Hadar, Grand
Valley State University D. W. Hall, Michigan State University
Robert L. Hall, University of WisconsinMilwaukee Howard B.
Hamilton, California State University, Sacramento Darel Hardy,
Colorado State University Gary W. Harrison, College of Charleston
Melvin Hausner, New York University/Courant Institute Curtis
Herink, Mercer University Russell Herman, University of North
Carolina at Wilmington Allen Hesse, Rochester Community College
Randall R. Holmes, Auburn University James F. Hurley, University of
Connecticut Matthew A. Isom, Arizona State University Gerald
Janusz, University of Illinois at Urbana-Champaign John H. Jenkins,
Embry-Riddle Aeronautical University, Prescott Campus Clement
Jeske, University of Wisconsin, Platteville Carl Jockusch,
University of Illinois at Urbana-Champaign Jan E. H. Johansson,
University of Vermont Jerry Johnson, Oklahoma State University
Zsuzsanna M. Kadas, St. Michaels College Nets Katz, Indiana
University Bloomington Matt Kaufman Matthias Kawski, Arizona State
University Frederick W. Keene, Pasadena City College Robert L.
Kelley, University of Miami Virgil Kowalik, Texas A&I
University Kevin Kreider, University of Akron Leonard Krop, DePaul
University Mark Krusemeyer, Carleton College John C. Lawlor,
University of Vermont Christopher C. Leary, State University of New
York at Geneseo David Leeming, University of Victoria Sam Lesseig,
Northeast Missouri State University Phil Locke, University of Maine
Joan McCarter, Arizona State University Phil McCartney, Northern
Kentucky University James McKinney, California State Polytechnic
University, Pomona Igor Malyshev, San Jose State University Larry
Manseld, Queens College Mary Martin, Colgate University Nathaniel
F. G. Martin, University of Virginia Gerald Y. Matsumoto, American
River College Tom Metzger, University of Pittsburgh Michael Montao,
Riverside Community College Teri Jo Murphy, University of Oklahoma
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:20 p.m. Pgina xx
22. PREFACIO xxi Martin Nakashima, California State Polytechnic
University, Pomona Richard Nowakowski, Dalhousie University Hussain
S. Nur, California State University, Fresno Wayne N. Palmer, Utica
College Vincent Panico, University of the Pacic F. J. Papp,
University of MichiganDearborn Mike Penna, Indiana UniversityPurdue
University Indianapolis Mark Pinsky, Northwestern University Lothar
Redlin, The Pennsylvania State University Joel W. Robbin,
University of WisconsinMadison Lila Roberts, Georgia College and
State University E. Arthur Robinson, Jr., The George Washington
University Richard Rockwell, Pacic Union College Rob Root,
Lafayette College Richard Ruedemann, Arizona State University David
Ryeburn, Simon Fraser University Richard St. Andre, Central
Michigan University Ricardo Salinas, San Antonio College Robert
Schmidt, South Dakota State University Eric Schreiner, Western
Michigan University Mihr J. Shah, Kent State UniversityTrumbull
Theodore Shifrin, University of Georgia Wayne Skrapek, University
of Saskatchewan Larry Small, Los Angeles Pierce College Teresa
Morgan Smith, Blinn College William Smith, University of North
Carolina Donald W. Solomon, University of WisconsinMilwaukee Edward
Spitznagel, Washington University Joseph Stampi, Indiana University
Kristin Stoley, Blinn College M. B. Tavakoli, Chaffey College Paul
Xavier Uhlig, St. Marys University, San Antonio Stan Ver Nooy,
University of Oregon Andrei Verona, California State UniversityLos
Angeles Russell C. Walker, Carnegie Mellon University William L.
Walton, McCallie School Jack Weiner, University of Guelph Alan
Weinstein, University of California, Berkeley Theodore W. Wilcox,
Rochester Institute of Technology Steven Willard, University of
Alberta Robert Wilson, University of WisconsinMadison Jerome
Wolbert, University of MichiganAnn Arbor Dennis H. Wortman,
University of Massachusetts, Boston Mary Wright, Southern Illinois
UniversityCarbondale Paul M. Wright, Austin Community College Xian
Wu, University of South Carolina Adems, me gustara dar las gracias
a Jordan Bell, George Bergman, Leon Gerber, Mary Pugh y Simon Smith
por sus sugerencias; Al Shenk y Dennis Zill por su permiso para
utilizar ejercicios de sus textos de clculo; COMAP por su permiso
para utilizar el material de los proyectos; George Bergman, David
Bleecker. Dan Clegg, Victor Kaftal, Anthony Lam, Jamie Lawson, Ira
Rosenholtz, Paul Sally, Lowell Smylie y Larry Wallen por sus ideas
para los ejercicios; Dan Drucker por el proyecto del derby de
rodillos; Tho- mas Banchoff, Tom Farmer, Fred Gass, John Ramsay,
Larry Riddle, Philip Strafn y Klaus Volpert por sus ideas para los
proyectos; Dan Anderson, Dan Clegg, Jeff Cole, Dan Drucker y
Barbara Frank por resolver los nuevos ejercicios y sugerir formas
para mejo- rarlos; Marv Riedesel y Mary Johnson por su precisin en
la correccin; y Jeff Cole y Dan Clegg por su cuidadosa preparacin y
correccin del manuscrito de respuesta. Asimismo, doy las gracias a
quienes han contribuido a pasadas ediciones: Ed Barbeau, Fred
Brauer, Andy Bulman-Fleming, Bob Burton, David Cusick, Tom
DiCiccio, Garret Etgen, Chris Fisher, Stuart Goldenberg, Arnold
Good, Gene Hecht, Harvey Keynes, E.L. Koh, Zdislav Kovarik, Kevin
Kreider, Emile LeBlanc, David Leep, Gerald Leibowitz, Larry
Peterson, Lothar Redlin, Carl Riehm, John Ringland, Peter
Rosenthal, Doug Shaw, Dan Silver, Norton Starr, Saleem Watson, Alan
Weinstein y Gail Wolkowicz. Tambin agradezco a Kathi Townes,
Stephanie Kuhns y Rebekah Million of TECHarts por sus servicios de
produccin y al siguiente personal de Brooks/Cole: Cheryll Linthi-
cum, gerente de proyecto de contenido; Liza Neustaetter, editor
asistente; Maureen Ross, editor de medios; Sam Subity, gerente de
medios de edicin; Jennifer Jones, director de marketing; y Vernon
Boes, director de arte. Todos han hecho un trabajo excepcional. He
sido muy afortunado de haber trabajado con algunos de los mejores
en el negocio de la edicin en Matemticas durante las ltimas tres
dcadas: Ron Munro, Harry Camp- bell, Craig Barth, Jeremy Hayhurst,
Gary Ostedt, Bob Pirtle, Richard Stratton y ahora Liz Covello.
Todos ellos han contribuido en gran medida al xito de este libro.
JAMES STEWART
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:20 p.m. Pgina xxi
23. xxii PREFACIO Asimismo, deseamos agradecer la valiosa
colaboracin de los profesores Dr. Ernesto Filio Lpez de UPITA
(IPN), M. en C. Manuel Robles Bernal, L.F.M. Luis ngel Filio
Rivera, de ESIME Zacatenco (IPN), M. en C. Lilia Quintos Vzquez, de
ESIME Ticomn (IPN), Dr. Abel Flores Amado, del ITESM Campus Puebla
y al Mtro. Gustavo Zamorano Montiel, de la UPAEP (Puebla), en la
revisin de esta sptima edicin en espaol. Adems agradecemos al Dr.
Hugo Gustavo Gonzlez Hernndez, Director del Departamento de
Ciencias y al Dr. Abel Flores Amado, Coordinador de la materia de
Clculo as como a los siguientes profesores del ITESM Campus Puebla
por la con- fianza depositada en la obra Clculo Trascendentes
tempranas de Stewart y adoptarlo para sus cursos. Dr. Juan Jos Gmez
Diaz Master Aida Ignacia Salazar C. Master lvaro Andrade Andrade
Master Jorge Luis Figueroa Ramrez Dr. Juan Manuel Merlo Dr. Julio
Csar Ramrez San Juan Master Luis Daniel Bravo Atentamente, Los
Editores.
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:20 p.m. Pgina xxii
24. Auxiliares para instructores Power Lecture ISBN
0-8400-5421-1 Este DVD contiene todo el arte del texto en formatos
de PowerPoint y jpeg, ecuaciones clave y tablas del texto completo
predefinidas de conferencias en PowerPoint, una versin electrnica
de la gua del instructor, un generador de soluciones, un software
de pruebas ExamView, herramientas para enriquecer el clculo (TEC),
un video de instrucciones y un comando JoinIn sobre el contenido de
TurningPoint. Instructors Guide Por Douglas Show ISBN 0-8400-5418-1
Cada seccin del texto se analiza desde varios puntos de vista. La
gua del instructor (Instructors Guide) contiene tiempo sugerido de
asignacin, puntos a destacar, temas de debate del texto, materiales
bsicos para la clase, sugerencias para trabajo en taller y
ejercicios de trabajo de grupo en una forma adecuada para su
entrega y sugiere las asignaciones de tareas. Una versin electrnica
de la gua del instructor est disponible en el DVD de PowerLecture.
Complete Solutions Manual Single Variable Early Transcendentals Por
Daniel Anderson, Jeffery A. Cole y Daniel Drucker ISBN
0-8400-4936-6 Contiene las soluciones detalladas de todos los
ejercicios del texto. Solution Builder
www.cengage.com/solutionbuilder Esta base de datos en lnea para el
instructor ofrece soluciones muy elaboradas para todos los
ejercicios en el texto. El generador de soluciones (Solution
Builder) permite crear impresiones personalizadas de soluciones
seguras (en formato PDF) que coinciden exactamente con los
problemas asignados en clase. Printed Test Bank Por William Steven
Harmon ISBN 0-8400-5419-X Contiene textos especficos de opcin
mltiple y exmenes de respuesta libre. ExamView Testing Crear,
entregar y personalizar los exmenes en formatos impresos en lnea
con ExamView, permite una evaluacin de fcil uso a travs de un
software tutorial. ExamView contiene cientos de elementos para
exmenes de respuesta mltiple y libre. ExamView est disponible en el
DVD de PowerLecture. Auxiliares para instructores y estudiantes
Stewart Website www.stewartcalculus.com Contenido: Tareas sugeridas
Repaso de lgebra Temas adicionales Ejercicios de simulacin
Problemas de desafo Enlaces web Historia de las matemticas
Herramientas para enriquecer el clculo (TEC) Tools for Enriching
Calculus Por James Stewart, Harvey Keynes, Dan Clegg y el
desarrollador Hu Hohn Herramientas para enriquecer el clculo (TEC)
funciona como una poderosa herramienta para instructores, as como
un entorno tutorial en el que los estudiantes pueden explorar y
revisar temas seleccionados. Los mdulos de simulacin en Flash en
TEC incluyen instrucciones escritas y en audio de los conceptos y
ejercicios. TEC est accesible en CourseMate, WebAssign y
PowerLecture. Los elementos seleccionados en Visual y Module estn
disponibles en www.stewartcalculus.com. Enhanced WebAssign
www.webassign.net El sistema de distribucin de tareas de WebAssign
permite a los instructores entregar, recoger, calificar y elaborar
listas a travs de la web. Enhanced WebAssign para el Clculo de
Stewart involucra ahora a los estudiantes en la revisin del con-
tenido al comienzo del curso y al principio de cada seccin as como
en los conocimientos previos. Adems, para los problemas
seleccionados, los estudiantes pueden obtener ayuda adicional en
forma de mayor retroalimentacin (las respuestas) y solu- ciones en
video. Otras caractersticas clave incluyen: miles de problemas del
Clculo de Stewart. Un personalizable Cengage YouBook, un plan de
estudio personal, una muestra de su trabajo, un repaso en el
momento, un evaluador de respuestas, mdulos de animaciones y
visualizacin del Clculo, concursos, videos de conferencias (con
preguntas asociadas) y mucho ms. Cengage Customizable YouBook
YouBook es un eBook en Flash interactivo y personalizable, que
tiene todo el contenido del Clculo de Stewart. Las caractersticas
de YouBook son una herramienta de edicin de texto que permite a los
profesores modificar la narrativa del libro de texto segn sea
necesario. Con YouBook, los profesores pueden reordenar rpidamente
captulos y secciones enteras u ocultar cualquier contenido que no
ensean, para crear un libro electrnico que coincida perfectamente
con su plan de estudios. Los profesores pueden personalizar an ms
el texto aadiendo sus ideas o enlaces de video en YouTube. Los
activos de medios adicionales incluyen: figuras animadas,
videoclips, destacando notas y ms. YouBook est disponible en
Enhanced WebAssign. TEC Electrnicos Impresos xxiii
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:20 p.m. Pgina xxiii
25. CourseMate www.cengagebrain.com CourseMate es una perfecta
herramienta de autoaprendizaje para estudiantes y no requiere ningn
apoyo de los profesores. CourseMate trae conceptos con aprendizaje
interactivo, estudio y herramientas interactivas para la preparacin
de exmenes que apoyan al libro de texto impreso. CourseMate para el
Clculo de Stewart incluye: un libro electrnico interactivo,
herramientas para enriquecer el clculo, videos, cuestionarios,
tarjetas en flash y ms. Para los profesores, CourseMate incluye
Engagement Tracker, una herramienta de primera en su tipo que
supervisa el trabajo estudiantil. Maple CD-ROM Maple proporciona un
dispositivo avanzado de clculo matemtico de alto rendimiento
plenamente integrado con smbolos numricos, todos accesibles desde
un entorno tcnico desde WYSIWYG. CengageBrain.com Para accesos de
materiales adicionales del curso y recursos de apoyo, por favor
visite www.cengagebrain.com. En esta pgina busque por ISBN o por
ttulo (desde la cubierta posterior de su libro) usando el comando
de bsqueda en la parte superior de la pgina. Esto le llevar a la
pgina del producto donde se pueden encontrar gratuitamente recursos
de apoyo. Auxiliares para estudiantes Student Solutions Manual
Single Variable Early Transcendentals Por Daniel Anderson, Jeffery
A. Cole y Daniel Drucker ISBN 0-8400-4934-X Proporciona soluciones
completamente detalladas para todos los ejercicios impares en el
texto, dando a los estudiantes una oportunidad de verificar sus
respuestas y asegurar que hicieron los pasos correctos para llegar
a una respuesta. Study Guide Single Variable Early Transcendentals
Por Richard St. Andre ISBN 0-8400-5420-3 Para cada seccin del
texto, la gua de estudio proporciona a los estudiantes una breve
introduccin, una breve lista de conceptos al profesor as como
resumen y preguntas de enfoque con respuestas explicadas. La gua de
estudio tambin contiene preguntas Tecnologa Plus y preguntas tipo
examen de opcin mltiple y de estilo su propia respuesta. CalcLabs
with Maple Single Variable Por Philip B. Yasskin y Robert Lopez
ISBN 0-8400-5811-X CalcLabs with Mathematica Single Variable Por
Selwyn Hollis ISBN 0-8400-5814-4 Cada uno de estos comprensibles
manuales de laboratorio ayudar a los estudiantes a aprender a usar
las herramientas de tecnologa a su disposicin. CalcLabs contienen
ejercicios claramente explicados y una variedad de proyectos para
acompaar el texto y laboratorios. A Companion to Calculus Por
Dennis Ebersole, Doris Schattschneider, Alicia Sevilla y Kay Somers
ISBN 0-495-01124-X Escrito para mejorar el lgebra y las habilidades
para resolver problemas de los estudiantes que estn tomando un
curso de Clculo. Cada captulo de este acompaante tiene una clave
referente a un tema de Clculo, que proporciona antecedentes
conceptuales y tcnicas de lgebra especficos necesarios para
comprender y resolver problemas de Clculo relacionados con ese
tema. Est diseado para cursos de Clculo que incluyen la revisin de
los conceptos de preclculo o para uso individual. Linear Algebra
for Calculus Por Konrad J. Heuvers, William P. Francis, John H.
Kuisti, Deborah F. Lockhart, Daniel S. Moak y Gene M. Ortner ISBN
0-534-25248-6 Este comprensible libro est diseado para complementar
el curso de Clculo. Proporciona una introduccin y un repaso de las
ideas bsicas del lgebra lineal. Electrnicos Impresos xxiv
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:20 p.m. Pgina xxiv
26. xxv Al estudiante Leer un libro de texto de Clculo es
diferente a la lectura de un peridico, una novela o incluso un
libro de fsica. No se desaliente si tiene que leer un prrafo ms de
una vez para entenderlo. Debe tener lpiz, papel y calculadora
disponibles para esbozar un diagrama o hacer un clculo. Algunos
estudiantes comienzan por abordar sus problemas de tarea y leen el
texto slo si se bloquean en un ejercicio. Sugiero que un plan mucho
mejor es leer y comprender una seccin del texto antes de enfrentar
los ejercicios. En particular, debe leer con cuidado las deniciones
para ver el signicado exacto de cada trmino. Antes de leer cada
ejemplo, le sugiero que lle- gue a la solucin tratando de resolver
el problema usted mismo. Obtendr mucho ms que mirando la solucin si
es que lo hace. Parte del objetivo de este curso es inducir el
pensamiento lgico. Es muy importante apren- der a escribir las
soluciones de los ejercicios de una manera articulada, paso a paso,
con comen- tarios explicativos, no slo una cadena de ecuaciones o
frmulas desconectadas. Las respuestas a los ejercicios de nmero
impar aparecen al nal del libro, en el apndice I. Algunos
ejercicios piden una explicacin verbal, interpretacin o descripcin.
En tales casos no hay una nica forma correcta de expresar la
respuesta, por lo que no se preocupe si no ha encon- trado la
respuesta denitiva. Adems, a menudo hay varias formas diferentes
para expresar una respuesta numrica o algebraica, as que si su
respuesta aparenta ser diferente a la ma, no asuma inmediatamente
que se equivoc. Por ejemplo, si la respuesta dada al nal del libro
es y usted obtuvo , entonces est usted en lo correcto y
racionalizar el denominador demostrar que las respuestas son
equivalentes. El icono ; indica un ejercicio que sin duda requiere
el uso de una calculadora gracadora o una computadora con software
de grcos (en la seccin 1.4 se analiza el uso de estos disposi-
tivos de gracacin y algunas de las dicultades que puedan surgir).
Sin embargo, esto no sig- nica que los dispositivos de grcos no
puedan utilizarse para comprobar el trabajo de otros ejercicios. El
smbolo se reserva para problemas en los que se requieren todos los
recursos 1(1 s2) s2 1 SAC
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:20 p.m. Pgina xxv
27. xxvi de un sistema algebraico computarizado (Derive, Maple,
Mathematica o la TI-89/92). Tambin se usar el smbolo | para cuidar
que no se cometa un error. He puesto este smbolo en los mrgenes en
situaciones donde he advertido que gran parte de mis estudiantes
tienden a come- ter el mismo error. Las Herramientas para
enriquecer el clculo, acompaantes de este texto, estn indicadas por
medio del smbolo y estn disponible en Enhanced WebAssign y en
CourseMate (los recursos Visual y Module estn disponibles en
www.stewartcalculus.com). Aqu se dirige al estudiante a los mdulos
en los que puede explorar los aspectos del Clculo para los que la
computadora es particularmente til. En TEC tambin se encuentra
Tareas sugeridas para ejercicios representativos que estn indicados
con nmero en rojo: 5. Estas sugerencias pueden encontrarse en
stewartcalculus.com as como en Enhanced WebAssign y CourseMate.
Estas sugerencias de tareas hacen preguntas al estudiante que le
permiten avanzar hacia una solucin sin dar realmente la respuesta.
Es nece- sario que el estudiante siga activamente cada pista con
lpiz y papel a la mano para destacar los detalles. Si una
sugerencia particular no permite resolver el problema, puede hacer
clic para ver la siguiente sugerencia. Le recomiendo que conserve
este libro para nes de consulta despus de terminar el curso. Es
probable que olvide algunos de los detalles especcos del Clculo,
por lo que el libro servir como una referencia til cuando sea
necesario utilizar el Clculo en cursos posteriores. Puesto que este
libro contiene ms material del que es posible cubrir en todo un
curso, tambin puede servir como un valioso recurso para un trabajo
cientco o de ingeniera. El Clculo es un tema apasionante,
justamente considerado uno de los mayores logros del intelecto
humano. Espero que el estudiante descubra que no slo es til, sino
tambin intrn- secamente hermoso. JAMES STEWART TEC
98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii
05/04/12 11:20 p.m. Pgina xxvi
28. Exmenes de diagnstico El xito en Clculo depende en gran
medida del conocimiento de las matemticas que le preceden: lgebra,
geometra analtica, funciones y trigonometra. Los siguientes exmenes
estn destinados a diagnosticar las debilidades que el estudiante
pueda tener en estas reas. Despus de cada examen puede vericar sus
respuestas comparndolas con las respuestas determinadas y, si es
necesario, actualizar sus habilidades haciendo referencia a los
materiales de repaso que se proporcionan. Examen de diagnstico:
lgebraA 1. Evale las siguientes expresiones sin utilizar
calculadora: a) b) c) d) e) f) 2. Simplifique las siguientes
expresiones. Escriba su respuesta sin exponentes negativos: a) b)
c) 3. Desarrolle y simplifique las siguientes expresiones: a) b) c)
d) e) 4. Factorice las siguientes expresiones: a) b) c) d) e) f) 5.
Simplifique las siguientes expresiones racionales: a) b) c) d) 34
34 34 1634 2 3 2 523 521 s200 s32 3a3 b3 4ab2 2 3x32 y3 x2 y12 2 x
34x 53x 6 42x 5 2x 32 (sa sb )(sa sb ) x 23 2x2 5x 124x2 25 x4
27xx3 3x2 4x 12 x3 y 4xy3x32 9x12 6x12 2x2 x 1 x2 9 x 3 2x 1 x2 3x
2 x2 x 2 y x x y 1 y 1 x x2 x2 4 x 1 x 2 xxvii Examen de
diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m.
Pgina xxvii
29. xxviii EXMENES DE DIAGNSTICO 6. Racionalice y simplifique
las siguientes expresiones. a) b) 7. Reescriba las siguientes
expresiones completando un trinomio cuadrado perfecto. a) b) 8.
Resuelva las siguientes ecuaciones (encuentre slo las soluciones
reales). a) b) c) x2 x 12 0 d) e) f) g) 9. Resuelva las siguientes
desigualdades y exprese la solucin en intervalos: a) b) c) d) e)
10. Indique si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera
o falsa: a) b) c) d) e) f) s10 s5 2 s4 h 2 h x2 x 1 2x2 12x 11 x 5
14 1 2 x 2x x 1 2x 1 x 2x2 4x 1 0 x4 3x2 2 0 3x 4 10 2x4 x12 3s4 x
0 4 5 3x 17 x2 2x 8 xx 1x 2 0 x 4 3 2x 3 x 1 1 p q2 p2 q2 sab sa sb
sa2 b2 a b 1 TC C 1 T 1 x y 1 x 1 y 1x ax bx 1 a b 1. a) b) c) d)
e) f) 2. a) b) c) 3. a) b) c) d) e) 4. a) b) c) d) e) f) 5. a) b)
c) d) 81 81 1 81 25 9 4 1 8 6s2 48a5 b7 x 9y7 11x 2 4x2 7x 15 a b
4x2 12x 9 x3 6x2 12x 8 2x 52x 5 2x 3x 4 x 3x 2x 2 xx 3x2 3x 9 3x12
x 1x 2 xyx 2x 2 x 2 x 2 x 1 x 3 1 x 2 x y 6. a) b) 7. a) b) 8. a)
b) c) d) e) f) g) 9. a) b) c) d) e) 10. a) Falsa b) Verdadera c)
Falsa d) Falsa e) Falsa f) Verdadera 6 1 3, 4 1 1 2s2 1, s2 2 3, 22
3 12 5 4, 3 2, 4 2, 0 1, 1, 7 1, 4 5s2 2s10 1 s4 h 2 (x 1 2)2 3 4
2x 32 7 Respuestas al examen de diagnstico A: lgebra Si tiene usted
dicultades con este examen, puede consultar Review of Algebra
(repaso de lgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com Examen
de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m.
Pgina xxviii
30. EXMENES DE DIAGNSTICO xxix 1. Encuentre la ecuacin de la
recta que pasa por y a) tiene pendiente b) es paralela al eje x c)
es paralela al eje y d) es paralela a la recta 2. Encuentre la
ecuacin de la circunferencia con centro en y que pasa por el punto
. 3. Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya
ecuacin es . 4. Sean y puntos en el plano. a) Encuentre la
pendiente de la recta determinada por y . b) Encuentre la ecuacin
de la recta que pasa por y . Cules son los puntos de interseccin
con los ejes? c) Encuentre el punto medio del segmento . d)
Encuentre la longitud del segmento . e) Encuentre la ecuacin de la
perpendicular que biseca a . f) Encuentre la ecuacin de la
circunferencia para la que es dimetro. 5. Trace la regin en el
plano xy denida por la ecuacin o desigualdades. a) b) c) d) e) f) 3
x2 y2 6x 10y 9 0 A7, 4 B5, 12 A B A B AB AB AB AB 1 y 3 y 1 1 2 x y
x2 1 x2 y2 4 9x2 16y2 144 2, 5 2x 4y 3 1, 4 3, 2 x 4 y y 2 Examen
de diagnstico: geometra analticaB 1. a) b) c) d) 2. 3. Centro ,
radio 5 4. a) b) ; interseccin en x 4, interseccin en y c) d) e) f)
y 3x 1 y 5 x 2 y 1 2 x 6 x 12 y 42 52 3, 5 4 3 4x 3y 16 0 16 3 1, 4
20 3x 4y 13 x 12 y 42 100 5. y x1 2 0 y x0 y x0 4 3 _1 2 y x 0 y x0
4_4 y x0 2 1 a) b) c) d) e) f) _1 3 2 _2 y=-1 +=4 y=1- x 1 2
Respuestas al examen de diagnstico B: geometra analtica Si tiene
usted dicultades con este examen, puede consultar el repaso de
geometra analtica en los apndices B y C. Examen de
diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m.
Pgina xxix
31. xxx EXMENES DE DIAGNSTICO 1. La grca de una funcin f est
dada a la izquierda. a) Determine el valor de . b) Estime el valor
de . c) Para qu valores de x es ? d) Estime los valores de x tales
que . e) Establezca el dominio y el rango de . 2. Si , evale el
cociente de diferencias y simplique su respuesta. 3. Encuentre el
dominio de la funcin a) b) c) 4. Qu aspecto tiene cada una de las
grcas siguientes a partir de la grca de f? a) b) c) 5. Sin usar
calculadora, haga un bosquejo de cada una de las grcas siguientes:
a) b) c) d) e) f) g) h) 6. a) Evale y . b) Trace la grca de f 7. Si
y , encuentre cada una de las siguientes funciones: a) b) c) f 1 f
2 f x 2 f x 0 f f x x3 f 2 h f 2 h f x 2x 1 x2 x 2 tx s3 x x2 1 hx
s4 x sx2 1 y f x y 2 f x 1 y f x 3 2 y x3 y x 13 y x 23 3 y 4 x2 y
sx y 2sx y 2x y 1 x1 f 2 f 1 f x x2 2x 1 tx 2x 3 f t t f t t t Sea
f x 1 x2 2x 1 si x 0 si x 0 Examen de diagnstico: funcionesC y 0 x
1 1 FIGURA PARA EL PROBLEMA 1 1. a) b) 2.8 c) d) e) 2. 3. a) b) c)
4. a) Reexin respecto al eje x b) Alargamiento vertical en un
factor de 2 y despus un desplazamiento de 1 unidad hacia abajo c)
Desplazamiento de 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba
5. 2 3, 1 2.5, 0.3 3, 3, 2, 3 12 6h h2 , 2 2, 1 1, , , 1 1, 4 6. a)
7. a) b) b) c) 3, 3 f tx 4x2 8x 2 y x0_1 1 t f x 2x2 4x 5 t t tx 8x
21 Respuestas al examen de diagnstico C: funciones Si tiene usted
dicultades con este examen, vea las secciones 1.1-1.3 de este libro
y x0 a) 1 1 yb) x0 1 _1 c) y x0 (2, 3) yd) x0 4 2 e) y x0 1 f) y x0
1 g) y x 0 1 _1 yh) x0 1 1 Examen de
diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m.
Pgina xxx
32. EXMENES DE DIAGNSTICO xxxi 1. Convierta de grados a
radianes. a) b) 2. Convierta de radianes a grados. a) b) 3.
Encuentre la longitud del arco de circunferencia de radio 12 cm si
el arco subtiende un ngulo central de 30. 4. Encuentre los valores
exactos de: a) tan(p3) b) sen(7p6) c) sec(5p3) 5. Exprese las
longitudes de a y b de la gura en trminos de u. 6. Si y , donde x y
y estn entre 0 y p2, evale sen (x y). 7. Demuestre las identidades:
a) tan u sen u cos u sec u b) 8. Encuentre todos los valores de x
tales que sen 2x sen x y . 9. Trace la grca de la funcin y 1 sen 2x
sin usar calculadora. 300 18 56 2 tan3 sec y 5 4 0 x 2 sen x 1 3 2
tan x 1 tan2 x sen 2x Examen de diagnstico: trigonometraD a b 24
FIGURA PARA EL PROBLEMA 5 Si tiene usted dicultades con este examen
de diagnstico, vea el apndice D de este libro. 1. a) b) 2. a) b) 3.
4. a) b) c) 5. a) 24 sen u b) 1053 360 114.6150 2 cm 2 1 2s3 24 cos
6. 8. 9. 1 15 (4 6s2 ) 0, 3, , 53, 2 _ x0 2 y Respuestas al examen
de diagnstico D: trigonometra Examen de
diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m.
Pgina xxxi
33. Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii
05/04/12 11:22 p.m. Pgina xxxii
34. Un previo de Clculo El Clculo es fundamentalmente diferente
de las matemticas que ha estudiado anteriormente: el Clculo es
menos esttico y ms dinmico. Se ocupa de los cambios y el
movimiento; estudia cantidades que se aproximan a otras cantidades.
Por eso puede ser til tener una visin general del tema antes de
comenzar su estudio intensivo. Aqu damos un vistazo de algunas de
las ideas principales del Clculo, mostrando cmo surge el concepto
de lmite cuando intentamos resolver diversos problemas. 1 Ziga
Camernik / Shutterstock PichuginDmitry/Shutterstock Brett Mulcahy /
Shutterstock iofoto / Shutterstock Cuando termine este curso, podr
usted estimar el nmero de trabajadores necesarios para construir
una pirmide, explicar la formacin y ubicacin del arcoris, disear
una montaa rusa para un viaje suave y calcular la fuerza sobre una
presa. 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008
05/04/12 11:25 p.m. Pgina 1
35. 2 UN PREVIO DE CLCULO El problema del rea Los orgenes del
clculo se remontan a unos 2500 aos a los antiguos griegos, quienes
calcularon reas usando el mtodo de agotamiento. Los griegos saban
cmo encontrar el rea de cualquier polgono al dividirlo en tringulos
como se ve en la figura 1 y sumar las reas de estos tringulos. Un
problema mucho ms difcil es encontrar el rea encerrada por una gura
curvada. El mtodo griego de agotamiento consista en inscribir y
circunscribir polgonos en la gu- ra y a continuacin aumentar el
nmero de lados de los polgonos. La gura 2 ilustra este proceso para
el caso especial de un crculo con polgonos regulares inscritos. Sea
el rea del polgono inscrito con n lados. A medida que aumenta n, el
rea se parece cada vez ms y ms al rea del crculo. As, decimos que
el rea del crculo es el lmite de las reas de los polgonos
inscritos, y escribimos Los griegos no utilizaron explcitamente el
concepto de lmite. Sin embargo, por razona- miento indirecto,
Eudoxo (siglo V a.C.) utiliz la tcnica de agotamiento para obtener
la conocida frmula para el rea de un crculo: En el captulo 5
utilizaremos una idea similar para encontrar las reas de regiones
del tipo que se muestra en la gura 3. Nos aproximaremos al rea
deseada por medio de reas de rectngulos (como en la gura 4),
disminuyendo el ancho de los rectngulos y luego calculando el rea A
como el lmite de estas sumas de reas de rectngulos. El problema del
rea es el problema central en la rama del Clculo llamado clculo
integral. Las tcnicas que vamos a desarrollar en el captulo 5 para
encontrar reas tam- bin nos permitirn calcular el volumen de un
slido, la longitud de una curva, la fuerza de las aguas contra una
presa, la masa y el centro de gravedad de una varilla y el trabajo
realizado al bombear agua hacia afuera de un tanque. El problema de
la tangente Considere el problema de encontrar la ecuacin de la
recta tangente t a una curva con ecuacin en un punto dado P. (En el
captulo 2 daremos una definicin precisa FIGURA 3 1 n 10 x y (1, 1)
10 x y (1, 1) 1 4 1 2 3 4 0 x y 1 (1, 1) FIGURA 4 10 x y y= A (1,
1) A A AAAA FIGURA 2 A r2 . An y fx A lm n l An An FIGURA 1
A=A+A+A+A+A A A A A A En Preview Visual, puede ver cmo las reas de
los polgonos inscritos y circunscritos se aproximan al rea del
crculo. TEC 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008
05/04/12 11:25 p.m. Pgina 2
36. UN PREVIO DE CLCULO 3 de una recta tangente. Por ahora
podemos considerarla como una recta que toca la curva en P como en
la gura 5.) Como sabemos que el punto P se encuentra en la recta
tangen- te, podemos encontrar la ecuacin de t si sabemos su
pendiente m. El problema es que necesitamos dos puntos para
calcular la pendiente y tenemos slo un punto P de t. Para sortear
el problema encontramos en primer lugar una aproximacin a m tomando
un punto cercano Q de la curva y calculamos la pendiente de la
recta secante PQ. De la gura 6 vemos que Ahora imaginemos que Q se
mueve a lo largo de la curva hacia P como en la gura 7. Puede ver
que la recta secante gira y se acerca a la recta tangente como su
posicin limi- te. Esto signica que la pendiente de la recta secante
se acerca ms y ms a la pen- diente m de la recta tangente.
Escribimos y decimos que m es el lmite de cuando Q se aproxima a P
a lo largo de la curva. Puesto que x se aproxima a a cuando Q se
aproxima a P, tambin podramos utilizar la ecuacin 1 para escribir
En el captulo 2 veremos ejemplos especcos de este procedimiento. El
problema de la tangente ha dado lugar a la rama del clculo llamada
clculo dife- rencial, inventada ms de 2 000 aos despus que el
clculo integral. Las principales ideas detrs del clculo diferencial
se deben al matemtico francs Pierre de Fermat (16011665) y fueron
desarrolladas por los matemticos ingleses John Wallis (16161703),
Isaac Barrow (16301677) e Isaac Newton (16421727) y el matemtico
alemn Gottfried Leibniz (16461716). Las dos ramas de clculo y sus
principales problemas, el problema del rea y el pro- blema de la
tangente, parecen ser muy diferentes, pero resulta que hay una
conexin muy estrecha entre ellos. El problema de la tangente y el
rea son problemas inversos en un sentido que se describe en el
captulo 5. Velocidad Cuando miramos el velocmetro de un automvil y
leemos que se est desplazando a 48 mi/h, qu informacin estamos
obteniendo? Si la velocidad se mantiene constante, despus de una
hora nos habremos desplazado 48 mi. Pero, si vara la velocidad del
coche, qu signi- ca decir que la velocidad en un instante dado es
48 mi/h? A n de analizar esta situacin, examinemos el caso de un
automvil que viaja a lo largo de una carretera recta en el que
suponemos que es posible medir la distancia recorrida por el
vehculo (en pies) a intervalos de un segundo como se registra en la
siguiente tabla: mPQ f x f a x a 1 2 mPQ mPQ mPQ m lm Q lP mPQ m lm
x l a f x f a x a 0 y x P y= t P Q t 0 x y y 0 xa x -f(a)P{a,f(a)}
x-a t Q{x, } FIGURA 5 La recta tangente enP FIGURA 6 La recta
secante PQ FIGURA 7 Recta secante aproximndose a la recta tangente
t Tiempo transcurrido (s) 0 1 2 3 4 5 d Distancia (pies) 0 2 9 24
42 71 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008
05/04/12 11:25 p.m. Pgina 3
37. 4 UN PREVIO DE CLCULO Un primer paso para hallar la
velocidad una vez que han transcurrido 2 segundos, es encontrar la
velocidad promedio durante el intervalo : Del mismo modo, la
velocidad promedio en el intervalo es Tenemos la sensacin de que la
velocidad en el instante 2 no puede ser muy diferente de la
velocidad promedio durante un corto intervalo de tiempo desde . As
que ima- ginemos que se ha medido la distancia recorrida en
intervalos de tiempo de 0.1 segundo como se ve en la siguiente
tabla: Entonces podemos calcular, por ejemplo, la velocidad
promedio en el intervalo de tiempo : Los resultados de estos
clculos se muestran en la siguiente tabla: Las velocidades promedio
durante intervalos sucesivamente ms pequeos parecen estar
aproximndose cada vez ms a un nmero cercano a 10 y, por tanto,
esperaramos que la velocidad en exactamente sea de 10 pies/s. En el
captulo 2 deniremos la velocidad instantnea de un objeto en
movimiento, como el valor lmite de las velocidades promedio durante
intervalos de tiempo cada vez ms pequeos. En la gura 8 se muestra
una representacin grca del movimiento del automvil al ubicar los
puntos correspondientes a la distancia recorrida como funcin del
tiempo. Si escribimos , entonces es el nmero de pies recorridos
despus de t segundos. La velocidad promedio en el intervalo de
tiempo es que es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ
en la gura 8. La velocidad cuan- do es el valor lmite de esta
velocidad promedio cuando t se aproxima a 2; es decir, y de la
ecuacin 2 reconocemos que esto es lo mismo que la pendiente de la
recta tangen- te a la curva en P. 2 t 4 2 t 3 t t 2 2, 2.5 t 2 f td
ft 2, t t 2 v v lm t l 2 f t f 2 t 2 16.5 piess 42 9 4 2 velocidad
promedio cambio en la posicin tiempo transcurrido velocidad
promedio 24 9 3 2 15 piess velocidad promedio 15.80 9.00 2.5 2 13.6
piess velocidad promedio cambio en la posicin tiempo transcurrido f
t f 2 t 2 FIGURA 8 t d 0 1 2 3 4 5 10 20 P{2,f(2)} Q{t,f(t)} t 2.0
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 d 9.00 10.02 11.16 12.45 13.96 15.80 Intervalo
de tiempo Velocidad promedio (piess) 15.0 13.6 12.4 11.5 10.8 10.2
2, 2.5 2, 2.12, 2.22, 2.32, 2.42, 3
98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12
11:25 p.m. Pgina 4
38. UN PREVIO DE CLCULO 5 As, cuando resolvemos el problema de
la tangente en el clculo diferencial, tambin estamos resolviendo
problemas relativos a velocidades. Las mismas tcnicas permiten
resolver problemas relacionados con tasas de cambio en las ciencias
naturales y sociales. El lmite de una sucesin En el siglo V a.C. el
lsofo griego Zenn de Elea plante cuatro problemas, ahora cono-
cidos como Paradojas de Zenn, que estaban diseados para cuestionar
algunas de las ideas sobre el espacio y el tiempo que se sostenan
en esos das. La segunda paradoja de Zenn se reere a una carrera
entre el hroe griego Aquiles y una tortuga a la que se ha dado
cier- ta ventaja al inicio. Zenn argumentaba, como se hace ver
enseguida, que Aquiles nunca podra rebasar a la tortuga. Supongamos
que Aquiles empieza en la posicin y la tortu- ga comienza en
posicin (vase la gura 9). Cuando Aquiles alcanza el punto , la
tortuga est ms adelante en la posicin . Cuando Aquiles llega a , la
tortuga est en . Este proceso contina indenidamente y as parece que
la tortuga siempre estar por delante! Pero esto desafa el sentido
comn. Una manera de explicar esta paradoja es con el concepto de
sucesin. Las posiciones sucesivas de Aquiles o las posiciones
sucesivas de la tortuga forman lo que se conoce como una sucesin.
En general, una sucesin es un conjunto de nmeros escritos en un
orden denido. Por ejemplo, la sucesin puede describirse dando la
siguiente frmula para el -simo trmino: Podemos visualizar esta
sucesin ubicando sus trminos en una recta numrica como en la gura
10a) o dibujando su grca como en la gura 10b). En cualquiera de las
dos representaciones observamos que los trminos de la sucesin se
aproximan cada vez ms y ms a 0 al aumentar . De hecho, podemos
encontrar trminos tan pequeos como queramos haciendo sucientemente
grande. En estas condiciones, decimos que el lmite de la sucesin es
0, y lo indicamos escribiendo En general, la notacin se utiliza si
los trminos de se aproximan al nmero L cuando n es sucientemente
gran- de. Esto signica que los nmeros pueden acercarse al nmero L
tanto como se quiera si se toma una n sucientemente grande. an 1 n
{1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , . . .} FIGURA 9 Aquiles Tortuga a a a a
a t t t t . . . . . . a1 t1 a2 t1 t2 a3 t2 t3 a1, a2, a3, . . . t1,
t2, t3, . . . an n an 1n n n an lm n l 1 n 0 lm n l an L an 1 n1 2
3 4 5 6 7 8 FIGURA 10 10 aaaa a) b)
98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12
11:25 p.m. Pgina 5
39. 6 UN PREVIO DE CLCULO El concepto de lmite de una sucesin
ocurre cada vez que utilizamos la representacin decimal de un nmero
real. Por ejemplo, si entonces Los trminos de esta sucesin son
aproximaciones racionales de . Regresemos a la paradoja de Zenn.
Las posiciones sucesivas de Aquiles y la tortuga forman sucesiones
y , donde para toda n. Puede demostrarse que ambas sucesiones
tienen el mismo lmite Es precisamente en este punto p que Aquiles
alcanza a la tortuga. La suma de una serie Otra de las paradojas de
Zenn, segn Aristteles, es la siguiente: un hombre parado en una
sala no puede caminar hasta la pared. Para ello, primero tendra que
recorrer la mitad de la distancia, despus recorrer la mitad de la
distancia restante y, a continuacin, recorrer la mitad de lo que
falta. Este proceso puede mantenerse siempre y nunca puede ser
terminado. (Vase la gura 11.) Por supuesto, sabemos que el hombre
realmente puede llegar a la pared, lo que sugiere que tal vez la
distancia total puede expresarse como la suma de una innidad de
distancias cada vez ms pequeas como sigue: a1 3.1 a2 3.14 a3 3.141
a4 3.1415 a5 3.14159 a6 3.141592 a7 3.1415926 FIGURA 11 1 2 1 4 1 8
1 16 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 2n 3 an tn an tn lm nl an lm n l an p lm
n l tn 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008
05/04/12 11:25 p.m. Pgina 6
40. UN PREVIO DE CLCULO 7 Zenn argumentaba que no tiene sentido
sumar una innidad de nmeros. Pero hay otras situaciones en que
utilizamos implcitamente sumas innitas. Por ejemplo, en notacin
decimal, el smbolo 0.3 0.3333... signica y as, en cierto sentido,
debe ser cierto que Ms generalmente, si denota el n-simo dgito en
la representacin decimal de un nmero, entonces Por tanto, algunas
sumas innitas o series innitas, como se les llama, tienen un
signica- do. Pero debemos denir cuidadosamente lo que es la suma de
una serie innita. Regresando a la serie en la ecuacin 3, denotamos
por la suma de los n primeros trminos de la serie. Por tanto,
Observe que como le aadimos cada vez ms trminos, las sumas
parciales parecen ser ms cercanas a 1. De hecho, se puede demostrar
que si es sucientemente grande (es decir, si se suman sucientes
trminos de la serie), podemos aproximar la suma parcial tanto como
queramos al nmero 1. Por tanto, parece razonable decir que la suma
de la serie innita es 1 y escribir 3 10 3 100 3 1000 3 10000 3 10 3
100 3 1000 3 10000 1 3 dn 0.d1d2 d3 d4 . . . d1 10 d2 102 d3 103 dn
10n n sn 1 2 1 4 1 8 1 2n 1 sn s16 1 2 1 4 1 216 0.99998474 s10 1 2
1 4 1 1024 0.99902344 s7 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 0.9921875
s6 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 0.984375 s5 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32
0.96875 s4 1 2 1 4 1 8 1 16 0.9375 s3 1 2 1 4 1 8 0.875 s2 1 2 1 4
0.75 s1 1 2 0.5
98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12
11:25 p.m. Pgina 7
41. 8 UN PREVIO DE CLCULO En otras palabras, la razn de que la
suma de la serie sea 1 es que En el captulo 11 analizaremos con ms
detalle estas ideas y utilizaremos la propuesta de Newton de
combinar las series innitas con el clculo diferencial e integral.
Resumen Hemos visto que el concepto de lmite surge al intentar
encontrar el rea de una regin, la pendiente de la recta tangente a
una curva, la velocidad de un mvil o la suma de una serie innita.
En cada caso el problema comn es el clculo de una cantidad como el
lmite de otras cantidades fciles de calcular. Esta idea bsica de
lmite separa al Clculo de otras reas de las matemticas. De hecho,
podramos denir al Clculo como la parte de las matemticas que
estudia lmites. Despus de que Sir Isaac Newton invent su versin del
Clculo, la us para explicar el movimiento de los planetas alrededor
del Sol. Hoy el Clculo se utiliza para determinar las rbitas de los
satlites y naves espaciales, en la prediccin de tamaos de poblacin,
en la estimacin de la rapidez con la que los precios del petrleo
suben o bajan, en la prediccin meteorolgica, en medir el ritmo
cardiaco del corazn, en el clculo de las primas de segu- ros de
vida y en una gran variedad de otras reas. En este libro
exploraremos algunos de estos usos del Clculo. Con el n de dar una
idea del poder del Clculo, terminamos este panorama preliminar con
una lista de algunas de las preguntas que usted podr responder
mediante el Clculo: 1. Cmo podemos explicar el hecho, ilustrado en
la gura 12, de que el ngulo de elevacin desde un observador hasta
el punto ms alto en un arcoris es 42? (Consulte la pgina 282.) 2.
Cmo podemos explicar las formas de las latas en supermercados?
(Consulte la pgina 337.) 3. Dnde est el mejor lugar para sentarse
en una sala de cine? (Consulte la pgina 456.) 4. Cmo podemos disear
una montaa rusa para un viaje suave? (Consulte la pgina 184.) 5. A
qu distancia de la pista de un aeropuerto debe un piloto iniciar el
descenso? (Consulte la pgina 208.) 6. Cmo podemos utilizar las
curvas y el diseo de las formas para representar letras en una
impresora lser? (Consulte la pgina 653.) 7. Cmo podemos estimar el
nmero de trabajadores que fueron necesarios para construir la gran
pirmide de Keops en Egipto? (Consulte la pgina 451.) 8. Dnde debe
colocarse un parador en corto para atrapar una pelota de beisbol
lanzada por un jardinero y lanzarla al plato (home)? (Consulte la
pgina 456.) 9. Una bola lanzada verticalmente hacia arriba, tarda
ms tiempo en llegar a su altura mxima o en volver a su posicin
original de lanzamiento? (Consulte la pgina 604.) lm n l sn 1 Rayos
del Sol Observador Rayos del Sol 42 FIGURA 12 138
98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12
11:25 p.m. Pgina 8
42. Funciones y modelos1 A menudo una grca es la mejor manera
de representar una funcin porque transmite mucha informacin en un
vistazo. En la fotografa se muestra la grca de la aceleracin del
suelo, creada por el terremoto de 2008 en la provincia de Sichuan,
en China. La ciudad ms golpeada fue Beichuan, como muestra la
imagen. Mark Ralston / AFP / Getty Images
CortesadetheIRISConsortium.www.iris.edu 9 Los objetos fundamentales
con los que trata el Clculo son las funciones. Este captulo prepara
el camino para el Clculo discutiendo las ideas bsicas sobre las
grcas de funciones y la manera de transformarlas y combinarlas.
Destacamos que una funcin puede representarse de diferentes
maneras: mediante una ecuacin, una tabla, una grca o en palabras.
Veremos los principales tipos de funciones que aparecen en el
Clculo y describiremos cmo se utilizan estas funciones para modelar
matemticamente fenmenos del mundo real. Tambin analizaremos el uso
de calculadoras gracadoras y programas de gracacin por
computadora.
43. 10 CAPTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Las funciones surgen
siempre que una cantidad depende de otra. Considere las cuatro
situaciones siguientes: A. El rea A de un crculo depende de su
radio r. La regla que relaciona A con r est dada por la ecuacin A
r2 . Con cada nmero positivo r hay asociado un valor de A, por lo
que decimos que A es una funcin de r. B. La poblacin humana del
mundo P depende del tiempo t. La tabla muestra las estima- ciones
de la poblacin mundial P(t) en el tiempo t, para algunos aos. Por
ejemplo, P(1950) 2560000000 Pero para cada valor del tiempo t hay
un valor correspondiente de P, por lo que decimos que P es una
funcin de t. C. El costo C de envo de un paquete por correo depende
de su peso w. Aunque no hay alguna frmula simple que relacione a w
con C, la oficina de correos tiene una regla para determinar C
cuando se conoce w. D. La aceleracin vertical a de suelo, medida
por un sismgrafo durante un terremoto, es una funcin del tiempo
transcurrido t. La figura 1 muestra una grfica generada por la
actividad ssmica durante el terremoto de Northridge que sacudi Los
ngeles en 1994. Para un determinado valor de t, la grfica
proporciona un valor correspon- diente de a. 1.1 Cuatro maneras de
representar una funcin Poblacin (millones)Ao 1900 1650 1910 1750
1920 1860 1930 2070 1940 2300 1950 2560 1960 3040 1970 3710 1980
4450 1990 5280 2000 6080 2010 6870 FIGURA 1 Aceleracin vertical de
suelo durante el terremoto de Northridge {cm/s@} (segundos)
Departamento de Minas y Geologa de California 5 50 10 15 20 25 a t
100 30 _50 Cada uno de estos ejemplos describe una regla segn la
cual, a un nmero dado (r, t, w o t), se le asigna otro nmero (A, P,
C, o a). En cada caso decimos que el segundo nme- ro es una funcin
del primero. Una funcin f es una regla que asigna a cada elemento x
de un conjunto D exacta- mente un elemento, llamado f(x), de un
conjunto E. Usualmente consideramos funciones para los cuales los
conjuntos D y E son conjuntos de nmeros reales. Al conjunto D se le
denomina dominio de la funcin. El nmero f(x) es el valor de f en x
y se lee f de x. El rango de f es el conjunto de todos los valores
posibles de f(x) conforme x vara a travs de todo el dominio. Un
smbolo que representa un nmero arbitrario en el dominio de una
funcin f se llama variable independiente. Un smbolo que representa
un nmero en el rango de f se conoce como variable dependiente. En
el ejemplo A, r es la variable independiente, y A es la variable
dependiente.
44. EJEMPLO 1 La grfica de una funcin f se muestra en la figura
6. a) Encuentre los valores de f(1) y f(5). b) Cul es el dominio y
el rango de f ? SOLUCIN a) De la figura 6 vemos que el punto (1, 3)
est en la grfica de f, por lo que el valor de f en 1 es f(1) 3. (En
otras palabras, el punto en la grfica que se encuentra por encima
de x 1 est 3 unidades por encima del eje x.) Cuando x 5, la grfica
se encuentra aproximadamente a 0.7 unidades por debajo del eje x,
as que estimamos que f(5) 0.7. b) Vemos que f(x) est definida
cuando 0 x 7, por lo que el dominio de f es el intervalo cerrado 0,
7 . Observe que f toma todos los valores de 2 a 4, as que el rango
de f es y 2 y 4 2, 4 SECCIN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA
FUNCIN 11 Es til pensar en una funcin como una mquina (vase la
figura 2). Si x est en el dominio de la funcin f, cuando x entra en
la mquina, que se acepta como una entrada, la mquina produce una
salida f(x) de acuerdo con la regla de la funcin. As, podemos pen-
sar el dominio como el conjunto de todas las posibles entradas, y
en el rango como el conjunto de todas las posibles salidas. Las
funciones preprogramadas en una calculadora son buenos ejemplos de
una funcin como una mquina. Por ejemplo, el comando raz cuadrada en
su calculadora computa esa funcin. Oprima la tecla etiquetada (o )s
sx e introduzca la entrada x; si x 0, entonces x no est en el
dominio de esta funcin; es decir, x no es una entrada aceptable, y
la calcu- ladora indicar un error. Si x 0, entonces aparecer una
aproximacin a sx en la pan- talla. As, el comando sx en la
calculadora no es exactamente el mismo que la funcin matemtica f
definida por .f x sx Otra forma de imaginar una funcin es con un
diagrama de flechas como en la f