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LA CINEMATIQUE
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La cinmatique est ltude du mouvementindpendamment des causes qui le provoquent.
Nous tudierons:
Les trajectoires de points
Les vitesses de points
Les acclrations de points
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2
. Rfrentiels et repres.
Le rfrentiel est un solide qui sert de rfrence pour dcrire le
mouvement dun point dun utre solide!
Pour l'observateur dans lewagon le mouvement de laballe est rectiligne.
Pour l'observateur sur le quaila trajectoire de la balle est
curviligne.
A un rfrentiel sont associs :
ep!re despace " # une$ deu% ou trois dimensions& qui donne la position dun p
rep!re de temps : une (orloge permet de mesurer le temps qui scoule entre )
stant est aussi c(oisi comme origine des dates.
L tr"ectoire# l vitesse et lcclrtion dun point sont des notions reltives
et donc dpendent du rfrentiel!
le : une balle est l+c(e dans un wagon qui est en mouvement par rapport # la
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$
2. Le vecteur position
,
%,
-,
tudie le mouvement de la balle par rapport # lobservateur dans le wagon.
n instant t au cours de la c(ute$ la balle est en un point ,.munie lespace dun rep!re /%e par rapport # lobservateur.
%
-
O
x et y sont lescoordonnescartsiennes du vecteurposition ;
ce sont des fonctions dutemps
{ }O, i , jr r
M MOM x i y j= +uuuur r r
( ) ( )OM x t i y t j= +uuuur r r
i
jr
OMuuuur
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2. Le vecteur position
tudie le mouvement de la balle par rapport # lobservateur dans le wagon.
n instant t au cours de la c(ute$ la balle est en un point ,.munie lespace dun rep!re /%e par rapport # lobservateur.
,
%
-
O
r (t)
-,
%,
On peut reprer le point Mpar des coordonnes
polaires : r(t)et %&t'
%&t'
{ }O, i , jr r
ijr
( ) ( )
( ) ( )
.cos( )
.sin( )
M t t
M t t
X r
Y r
=
=
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(
. Le vecteur vitesse
01
02
03
04
05
Prenons des p(otos # intervalles de temps rguliers 67$)3s.
0)
08
*tudions le vol dun oiseau
9i on les superpose$ on obtient une c(ronop(otograp(ie.
n peut tracer la trajectoire du centre de gravit de loiseau.
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)
. Le vecteur vitesse
01
0)
08
02
03
04
05
Position de loiseau # des intervalles de temps 67$)3s
t8t16t6) 67$3s
*leur des vitesses +
010862$2cm62$2.17)m
donc v)62$2.17)7$36;$;.17)m.s1
t3t86t6) 67$3s
08036 62$3.17)m
donc v262$3.17)7$36
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. Le vecteur vitesse
01
0)
08
02
03
04
05
*ecteur vitesse +
n trace la tangente # la trajectoire en 0).
*n 0)
>
Le vecteur est orient dans le sens du mouvement.
longueur dpend de lc(elle c(oisie : avec 1cm 7$7) m.s1$ on a 2$2 cm pour
v)6;.17)m.s1
2vr
2vr
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-
. Le vecteur vitesse
Le vecteur vitesse # linstant t est caractris par son origine : le point o@ se trouve lobjet # linstant t sa direction : tangent # la trajectoire son sens : dans le sens du mouvement
- sa longueur : en fonction de lc(elle c(oisieproportionnelle # la valeur de la vitesse :
18
81
)tt
00v
=
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.
. Le vecteur vitesse
01
0)
08
02
03
04
05*n 0
2
>
Avec 1cm 7$7) m.s1$ on a 2$3 cm pour v2
v26
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1/
. Le vecteur vitesse
01
0)
08
02
03
04
05
4vr
2vr
3vr 5v
r
6vr
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11
. Le vecteur vitesse
08
02
03
Lien vec le vecteur position +
9i on c(oisit de prendre des p(otos de loiseau # des intervalles de
temps
plus courts$ les position 08et 03vont se rapproc(er de 02. nparlera de vitesse instantane.devient tangent la trajectoire et dans le mme sens que le dplacement.3 5G Guuuuur
3 5 3 52
5 3
G G G Gv
t t t= =
uuuuur uuuuurr=
3 52
5 3
G Gv
t t=
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12
. Le vecteur vitesse instantane
02
Lien vec le vecteur position +
08
03
%
-
O
3 52
G G
v t=
uuuuur
r
3 5G G OG=
uuuuur uuur
Si t est trs trs etit, on remlace t ar !t et ar !OG OG uuur uuur
2dOGv
dt=
uuuuur
r
3 5 3 5 5 3G G G O OG OG OG= + =
uuuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
i
jr
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1$
. Le vecteur vitesse instantane
Le vecteur vitesse dun point matriel M estla drive par rapport au temps de son
vecteur position .
On calcule ses coordonnes en drivant parrapport au temps c!acune des coordonnesdu vecteur position "
xet vysont des fonctions du temps
dOMv
dt=
uuuurr
x
y
dxv
dt
dyvdt
=
=
OMuuuur
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10
. Le vecteur acclration
01
03
04
05
*ntre les positions 0)et 02le vecteur vitesse instantane du
centre dinertie varie.ecteur acclration nous rend compte de cette variation par rapport au tem
0)
08
02
La direction et le sens de lacclration nous sont donns par le vecteur
4vr
2vr
3vr
ar
4 23
4 2
v va
t t
=
r rr
2vr
2vr
4 2v vr r
4 2v vr r
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1(
. Le vecteur acclration
4 23
4 2
v v vat t t
= =
r rr
Si t est trs trs etit, on remlace t ar !t et ar ! "v v r r
dva
dt=
rr
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1)
. Le vecteur acclration
Lacclration dun point matriel , est gale # ladrive par rapport au temps de son vecteur vitesse
.
9es coordonnes sont :
avec donc
dva
dt=
rr
vr
ar
xx
y
y
dva
dt
dvadt
=
=
x
y
dxv
dt
dyv
dt
=
=
2
2
2
2
x
y
d xa
dt
d ya
dt
=
=
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1,
Les %uations !oraires x&t' et y&t'
Be sont des quations qui donnent les coordonnes %et - dun point matriel en fonction du temps
(xemple "x)3t*# et y)+t,
n peut alors obtenir les quations (oraires de lavitesse et de lacclration :
x
y
dxv
dt
dyv
dt
=
=
3
1#
x
y
v
v t
=
=
xx
y
y
dva
dt
dva
dt
=
=
$
1#
x
y
a
a
=
=
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1-
. Les %uations !oraires
-rivation parrapport au temps
-rivation parrapport au temps
nt/ration parrapport au temps
nt/ration parrapport au temps
Les intgrations par rapport au temps vont faireapparaCtre des constantes qui sont # dterminer #
partir des conditions initiales :Dci : %"t67&6 -"t67&6 v%"t67&6
6 6
8tE2
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1.
%uation de la traectoire dun point matriel M
Lorsque le mouvement est plan$ cest une quation quidonne la coordonne - dun point matriel en fonction
de %.*lle sobtient en combinant les quations (oraires$cette combinaison permet dliminer le temps t.
vec le%emple prcdent "
L%uation de la traectoire est donc " y)x,
22% & %. & %.
3 %
x xdonc y t x
= = = = 3
xt
=
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,ouvement Gectiligne Hniforme
Le mouvement est dit rectiline qund l
tr"ectoire est une droite!
Le mouvement est dit uniforme qund l
vitesse est constnte Les qutions deviennent
v
t
v
0
x
tx
0
( ) ( ) $ ( ) $ $
$ .t t t
a v v et x v t x= = = +
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L vitesse vrie de f3on uniforme
Les qutions deviennent
,ouvement GectiligneHniformment vari
t
v
v0
a
a0
x
tx0
2
( ) $ ( ) $ $ ( ) $ $ $
1' . ' .
2t t ta a v a t v x a t v t x= = + = + +
2
( ) $ ( ) $ $ ( ) $ $ $
1' . ' .
2t t ta a v a t v x a t v t x= = + = + +
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Mouvements rectiline tr"ectoire est
une droite selon 4
5inuso6dl
,ouvement Gectiligne9inusoIdal
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